Lei dos senos e lei dos cossenos

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Exercícios de Geometria Plana. 
Lei dos senos e lei dos cossenos. 
 
QUESTÃO 1 
No triângulo representado na figura a seguir, AB e 
AC têm a mesma medida, e a altura relativa ao lado 
BC é igual a da medida de BC. 
 
 
 
Com base nesses dados, o cosseno do ângulo CAB 
é 
 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
QUESTÃO 2 
Após um naufrágio, um sobrevivente se vê na 
situação de ter que atravessar um rio de águas 
calmas. Prudente, decide só atravessá-lo depois de 
ter estimado a largura do rio. Improvisou então uma 
trena métrica e um transferidor rústicos e, para 
calcular a distância entre duas árvores, digamos 
uma árvore A, situada na margem em que se 
encontrava, e uma árvore B, situada na margem 
oposta, procedeu da seguinte forma: 
 
- postando-se ao lado da árvore A e usando o 
transferidor construído, aferiu o ângulo entre a 
visada para a árvore B e para uma árvore C, situada 
na mesma margem em que se encontrava, obtendo 
o valor 105º; 
 
- caminhou até a árvore C e, usando a trena 
métrica, estimou em 300 metros a distância entre 
esta e a árvore A; 
 
- estando então junto à árvore C, mediu o ângulo 
entre as visadas para a árvore A e a árvore B, 
obtendo o valor 30º. 
 
 
 
Após os procedimentos descritos, as informações 
obtidas foram reunidas e foi estimada corretamente 
a distância entre a árvore A e a árvore B, obtendo o 
valor de, aproximadamente: 
 
(A) 150 metros. 
(B) 175 metros. 
(C) 189 metros. 
(D) 212 metros. 
(E) 250 metros. 
 
(considerar = 1,41 e = 1,73.) 
QUESTÃO 3 
Dois dos ângulos internos de um triângulo tem 
medidas iguais a 30° e 105°. Sabendo que o lado 
oposto ao ângulo de medida 105° mede ( +1) 
cm, é correto afirmar que a área do triângulo mede, 
em cm
2
: 
 
A) . 
B) 
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C) 
D) 
E) 
QUESTÃO 4 
Em um triângulo, as medidas de seus lados, em 
metros, são três números inteiros consecutivos e a 
medida do maior ângulo é o dobro da medida do 
menor. A medida do menor lado deste triângulo é 
 
A) 3 m 
B) 4 m 
C) 5 m 
D) 6 m 
QUESTÃO 5 
Leia com atenção o problema proposto a Calvin na 
tira seguinte. 
 
 
 
Fonte: Jornal O Estado de S. Paulo, 28/04/2007 
 
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de 
um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60
o
, 
então a resposta correta que Calvin deveria 
encontrar para o problema é, em centímetros, 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 6 
No losango ABCD de lado 1, representado na figura, 
tem-se que M é o ponto médio de , N é o ponto 
médio de e MN = . Então, DM é igual a 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 7 
Um engenheiro precisa conhecer a medida de cada 
lado de um terreno triangular cujo perímetro é 20 m, 
porém a planta do terreno foi rasgada e o que restou 
foi um pedaço, como na figura a seguir. 
 
 
 
Os lados do triângulo que não aparecem totalmente 
na planta do terreno medem 
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A) 3 m e (12 − 3 ) m. 
B) 5 m e 7 m. 
C) 4,5 m e 7,5 m. 
D) 8 m e 4 m. 
E) 3 m e 9 m. 
QUESTÃO 8 
Uma maneira de obter polígonos regulares a partir 
de um retângulo ABCD de lados 80 cm e 40 cm é 
através de dobraduras. Se dobrarmos essa folha 
retangular de modo que dois vértices diagonalmente 
opostos coincidam, obtemos a seguinte figura: 
 
 
 
Considerando a informação sobre a dobradura, 
assinale a afirmativa INCORRETA: 
 
a) O segmento EB vale 50 cm. 
b) Os triângulos ABE e GBF são congruentes. 
c) O segmento EF mede 55 cm. 
d) O triângulo BEF não é equilátero. 
QUESTÃO 9 
Uma pessoa viaja do ponto C ao ponto A, passando 
pelo ponto B, cada trecho percorrido em linha reta, 
como ilustrado na figura a seguir. A distância CA é 
de 40 km, a distância CB é de 60 km, e o ângulo 
ACB mede 60
o
. Se a pessoa viajasse de C até A, 
em linha reta, sem passar por B, quanto 
economizaria na distância percorrida, em km? 
Indique o valor inteiro mais próximo. Dado: use a 
aproximação ≈ 2,6. 
 
 
 
A) 70 km 
B) 72 km 
C) 74 km 
D) 76 km 
E) 78 km 
QUESTÃO 10 
Considere o triângulo ABC de 
lados e ângulos 
internos . 
Sabendo-se que a 
equação admite c 
como raiz dupla, pode-se afirmar que 
 
A ( ) = 90°. 
B ( ) = 60°. 
C ( ) = 90°. 
D ( ) O triângulo é retângulo apenas se = 45°. 
E ( ) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa. 
QUESTÃO 11 
Na figura abaixo, , e são as medidas dos 
ângulos internos do triângulo ABC 
 
 
 
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Construindo-se um novo triângulo FGH de lados 
medindo sen( ), sen( ) e sen( ), pode-se afirmar 
que: 
A) FGH não é semelhante ao triângulo ABC e está 
inscrito em uma circunferência de raio 1. 
B) FGH é semelhante ao triângulo ABC e está 
circunscrito em uma circunferência de diâmetro 1. 
C) FGH é semelhante ao triângulo ABC e está 
inscrito em uma circunferência de diâmetro 1. 
D) FGH não é semelhante ao triângulo ABC e está 
circunscrito em uma circunferência de raio 1. 
QUESTÃO 12 
No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido 
por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala 
Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 
km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de 
Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida 
pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. 
 
O Estado de S.Paulo, 13 mar. 2011. (Adaptado.) 
 
 
 
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que 
cos α ≈ 0,934, onde α é o ângulo Epicentro-Tóquio-
Sendai, e que 2
8
 · 3
2
 · 93,4 ≅ 215.100, a 
velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do 
tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: 
 
(A) 10. 
(B) 50. 
(C) 100. 
(D) 250. 
(E) 600. 
QUESTÃO 13 
O acelerador de partículas do Laboratório Nacional 
de Luz Síncrotron (LNLS) tem a forma de um 
dodecágono regular inscrito em um círculo com 
diâmetro de 30 metros. Em cada um de seus 
vértices, está instalado um dipolo (eletroímã usado 
para defletir os elétrons de suas trajetórias nos 
vértices), conforme figura. A distância, em metros, 
entre dois dipolos adjacentes é 
 
 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
QUESTÃO 14 
Observe a seguir a ilustração de um pistão e seu 
esquema no plano. 
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O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco 
que gira em torno do centro A. 
 
Considere que: 
– o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 
1 polegada e 4 polegadas; 
– à medida que o disco gira, o pistão move-se 
verticalmente para cima ou para baixo, variando a 
distância AC e o ângulo BÂC. 
 
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, 
a distância entre A e C, em polegadas, pode ser 
obtida pela seguinte equação: 
 
a) y = 4 + sen(x). 
b) y = 4 + cos(x). 
c) y = sen(x) + . 
d) y = cos(x) + . 
QUESTÃO 15 
Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC 
formam uma PA . Sabendo-se também que o 
perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo mede 
120°, então o produto dos comprimentos dos lados 
é igual a 
 
a) 25 
b) 45 
c) 75 
d) 105 
e) 125 
QUESTÃO 16 
Para explorar o potencial turístico de uma cidade, 
conhecida por suas belas paisagens montanhosas, 
o governo pretende construir um teleférico, ligando o 
terminal de transportes coletivos ao pico deum 
morro, conforme a figura a seguir. 
 
 
Para a construção do teleférico, há duas 
possibilidades: 
 
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de 
transportes coletivos (ponto A), com uma parada 
intermediária (ponto B), e o ponto de chegada 
localizado no pico do morro (ponto C); 
 
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o 
de chegada localizado no ponto C, sem parada 
intermediária. 
 
Supondo que m, = 200 m, BÂP = 
20º e = 50º, é correto afirmar que a distância 
entre os pontos A e C é de: 
 
a) 700 m 
b) 702 m 
c) 704 m 
d) 706 m 
e) 708 m 
QUESTÃO 17 
Um engenheiro deseja calcular a distância entre o 
ponto A, na margem de um rio, e o ponto B não 
acessível do outro lado do rio. Para isso, mediu a 
distância de A até outro ponto acessível C e mediu 
os ângulos e . As medidas encontradas 
pelo engenheiro foram AC = 100 m, = 105º 
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e = 45º. A distância entre A e B, em metros, 
é: 
 
a) 
b) 
c) 50 
 
d) 
e) 
QUESTÃO 18 
Considere as seguintes informações: 
 De dois pontos A e B, localizados na 
mesma margem de um rio, avista-se um 
ponto C, de 
difícil acesso, localizado na margem oposta; 
 Sabe-se que B está distante 1.000 metros 
de A; 
 Com o auxílio de um teodolito (aparelho 
usado para medir ângulos) foram obtidas as 
seguintes 
medidas: e . 
Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o 
ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que seu 
comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o 
comprimento da ponte será de aproximadamente 
(A) 524 metros 
(B) 532 metros 
(C) 1048 metros 
(D) 500 metros 
(E) 477 metros 
 
Dado: Considere sen 80
o 
= 0,985, sen 70
o 
= 0,940, 
cos 80
o 
= 0,174 e cos 70
o 
= 0,340. 
QUESTÃO 19 
A figura a seguir apresenta um esquema de alguns 
trajetos retilíneos que servem de opções de 
percurso para uma ambulância que, partindo do 
local de um acidente ocorrido no ponto A, deve 
seguir em direção a um hospital localizado no ponto 
H. 
 
Considerando que a ambulância leva 12 minutos 
para percorrer os 18 km do trajeto , rodando à 
velocidade média v, então, mantida esta velocidade, 
se o motorista optasse pelo trajeto + , 
quanto tempo a ambulância gastaria para percorrê-
lo? (Use a aproximação: = 1,7) 
A) 13 minutos e 48 segundos. 
B) 13 minutos e 36 segundos. 
C) 13 minutos e 30 segundos. 
D) 13 minutos e 24 segundos. 
E) 13 minutos e 12 segundos. 
QUESTÃO 20 
Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor 
distância da Terra em muitos anos. As figuras a 
seguir ilustram a situação de maior afastamento e a 
de maior aproximação dos planetas, considerando 
que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita 
terrestre (RT) mede 1,5 × 10
11 
m e que o raio da 
órbita de Júpiter (RJ) equivale a 7,5 × 10
11
 m. 
 
Maior afastamento 
 
 
 
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Maior aproximação 
 
 
 
 
Quando o segmento de reta que liga Júpiter ao Sol 
faz um ângulo de 120º com o segmento de reta que 
liga a Terra ao Sol, a distância entre os dois 
planetas é de 
 
 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
QUESTÃO 21 
A figura mostra, em planta, o trecho de um rio onde 
se deseja construir uma ponte AB . De um ponto C, 
a 100 metros de B, mediu-se o ângulo = 45
º
 
e, do ponto A , mediu-se o ângulo = 30
º
. 
 
O comprimento da ponte AB é: 
 
a. 100 m 
b. 200 m 
c. m 
d. 200 m 
e. 200 m 
QUESTÃO 22 
A figura a seguir representa uma porção do mapa 
rodoviário de uma cidade, em que o quadrilátero 
ABCD é um trapézio isósceles; DEFC, BIJC e 
AHGB são quadrados de lados medindo 2 km, 6 km 
e 2 km respectivamente, e ∠DCB = 60o. É 
CORRETO afirmar que a distância percorrida por 
um veículo que trafega pela poligonal EDABGI é 
igual a: 
 
 
 
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a) 
b) 
c) 
d) 
QUESTÃO 23 
A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um 
rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser 
reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas 
margens opostas do rio. Para medir a distância 
entre esses pontos, um topógrafo localizou um 
terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A e na 
mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. 
Usando um teodolito (instrumento de precisão para 
medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito 
empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo 
observou que os ângulos e mediam, 
respectivamente, 30° e 105°, conforme ilustrado na 
figura a seguir. 
 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar 
que a distância, em metros, do ponto A ao ponto B é 
de: 
 
a) 200 
b) 180 
c) 150 
d) 100 
e) 50 
QUESTÃO 24 
Admita que, para se deslocar da cidade A para a 
cidade B, é preciso passar pela cidade C. Se o 
ângulo ACB mede 120
o
, a distância AC é de 60 km 
e a distância BC é de 70 km. Qual a distância entre 
as cidades A e B? Indique o valor mais próximo. 
(Dado: use a aproximação ≈ 11,27). 
 
 
 
A) 117,0 km 
B) 116,9 km 
C) 115,8 km 
D) 114,7 km 
E) 112,7 km 
QUESTÃO 25 
As medidas dos lados de um triângulo são 
proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de seus 
ângulos internos são, portanto, 
 
a) 
b) 
c) 
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d) 
e) 
QUESTÃO 26 
Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O 
primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um 
curso de 45° em relação ao norte, no sentido 
horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h 
em um curso de 105° em relação ao norte, também 
no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que 
distância se encontrarão separados os navios, 
supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e 
velocidade desde que deixaram o porto? 
 
a) 10 km. 
b) 14 km. 
c) 15 km. 
d) 17 km. 
e) 22 km. 
QUESTÃO 27 
João e Maria saem da mesma cidade A, em 
trajetórias retilíneas que formam um ângulo de 60°. 
João percorre 10 km e chega à cidade C, e Maria 
percorre 20 km e chega à cidade B, como mostra o 
esquema a seguir: 
 
 
 
Que distância Maria ainda deve percorrer para 
chegar à cidade C onde se encontra João? 
 
a) 20 km 
b) 30 km 
c) 10 km 
d) 10 km 
e) 20 km 
QUESTÃO 28 
Na figura a seguir, A, B e C representam três 
cidades. Um motorista parte de A em direção a B, 
percorrendo 20 km. Em seguida, dirige-se de B 
para C, distantes 20 km. Se tivesse ido diretamente 
de A para C, teria percorrido uma distância de 
 
 
 
a) 32 km. 
b) 20 km. 
c) 18 km. 
d) 16 km. 
QUESTÃO 29 
Na figura a seguir, o ângulo é tal que 0 < < 
90
o
. 
 
 
Então, é igual a 
A) 
B) 2 
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C) 
D) 
QUESTÃO 30 
Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo 
equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo 
BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e = 
90
0
 . 
 
 
Qual é a medida do segmento AD? 
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
QUESTÃO 31 
No triângulo ABC, exibido na figura, = 5 cm, 
 = 8 cm e o ângulo = 60
°
. 
 
 
 
Seja p, em cm, a medida do perímetro do triângulo 
ABC. O volume, em litros, do cubo com aresta p é: 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
QUESTÃO 32 
O para-brisa frontal de um carro tem formatoplano 
retangular, medindo 1,41 m de comprimento por 1 m 
de altura. Os limpadores de para-brisa desse carro 
funcionam no sistema oposto, ou seja, contêm duas 
palhetas idênticas, fixadas nos cantos inferiores do 
para-brisa, como mostra a figura. 
 
 
Ao serem acionadas, as palhetas fazem um 
movimento em sentido circular para limpar o vidro. 
Considere que as pontas das palhetas ficam rentes 
uma da outra ao passarem pelo ponto A, em que o 
menor ângulo formado entre as palhetas é θ, tal que 
cosθ = −0,125. 
Tendo em vista estes dados, o tamanho da palheta 
é, em metros, 
 
(A) 0,80 
(B) 0,94 
(C) 1,00 
(D) 1,08 
(E) 1,41 
QUESTÃO 33 
Os lados de um losango medem 4 e um dos seus 
ângulos 30º. A medida da diagonal menor do 
losango é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
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d) . 
e) . 
QUESTÃO 34 
Os pontos P e Q estão em uma semicircunferência 
de centro C e diâmetro , formando com A o 
triângulo APQ, conforme indica a figura. 
 
 
 
Sabendo-se que é paralelo a , e que AB = 
3PQ = 6 cm, então, sen é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 35 
Se a medida de um dos ângulos internos de um 
paralelogramo é 120° e se as medidas de dois de 
seus lados são respectivamente 6 m e 8 m, então a 
medida, em metros, da diagonal de maior 
comprimento deste paralelogramo é 
 
a) 2 . 
b) 3 . 
c) 2 . 
d) 3 . 
QUESTÃO 36 
A figura mostra um quadrado ABCD no qual os 
segmentos BC e EC medem 4 cm e 1 cm, 
respectivamente. 
 
 
a) Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, E 
e C. 
b) Calcule o seno e o cosseno do ângulo α. 
QUESTÃO 37 
Na figura, é diâmetro da circunferência de 
centro O; M é o ponto médio do raio e B é o 
centro da circunferência menor, que passa por M e 
cujo raio é r. 
 
Sendo P o ponto de intersecção das circunferências, 
determine: 
 
 
 
 
A) a medida de em função de r. 
B) o cosseno do ângulo . 
QUESTÃO 38 
Na ilustração a seguir, a casa situada no ponto B 
deve ser ligada com um cabo subterrâneo de 
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energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a 
distância AB, são medidos a distância e os ângulos 
a partir de dois pontos O e P, situados na margem 
oposta do rio, sendo O, A e B colineares. Se OPA = 
30
o
, POA = 30
o
, APB = 45
o
 e OP = (3 + 3) km, 
calcule AB em hectômetros. 
 
 
QUESTÃO 39 
Para medir a altura h de uma montanha, um 
topógrafo se posiciona em um ponto A , ao sul da 
torre, e mede o ângulo α = 60°, que é a elevação da 
montanha nesse ponto. Caminhando 240 m a leste 
de A e posicionando-se em um ponto B, ele mede 
outro ângulo de elevação que é β = 30°, conforme 
ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
Calcule: 
a) o valor, em graus, do ângulo . 
b) a altura h da montanha, em metros. 
QUESTÃO 40 
Três cargas elétricas pontuais, de intensidades −1,0 
C, +3,0 C e +4,0 C, estão localizadas no vácuo, 
respectivamente nos pontos A, B e P do triângulo 
ilustrado. O triângulo ABP é retângulo em A, o 
ângulo ABP mede 30
o
 e a distância entre B e P é de 
2 cm. 
 
 
 
A) Usando a lei dos cossenos, determine o valor 
absoluto da força resultante na carga localizada no 
ponto P, exercida pelas cargas situadas em A e B. 
Dado: considere a constante elétrica no vácuo 9 × 
10
9
 Nm
2
/C
2
 e ≈ 3,6. 
B) Usando a lei dos senos, determine o seno do 
ângulo α que a força resultante na carga situada em 
P forma com a vertical. Dado: use a aproximação 
sen(60º) ≈ 0,87. 
QUESTÃO 41 
ATENÇÃO: Esta questão apresenta mais de uma 
afirmativa correta. Assinale-as. 
 
Quem passa na Avenida Litorânea, em São Luís do 
Maranhão, pode notar a presença de navios 
ancorados, esperando atracação no Porto do Itaqui. 
Em determinado instante, um observador, situado 
em um ponto O dessa avenida, visualiza três navios 
nos pontos (A, B e C), conforme demonstra a 
figura. 
 
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Naquele instante, sabe-se que 
 
• a distância do observador O ao navio B era 
de 1000 m; 
• a distância entre os navios A e B era de 
500 m; 
• os ângulos , e mediam 90º, 
30º e 45º respectivamente. 
Use: sen(105º) = 0,97 
 
A partir dessas informações, identifique as 
afirmativas corretas: 
 
I. O ângulo media 135º. 
II. A distância entre os navios B e C era de 500 m. 
III. A distância do observador O ao navio C era de 
970 m. 
IV. A distância entre os navios A e C era igual à 
soma das distâncias entre os navios A e B e os 
navios C e B. 
 
V. A distância do observador O ao navio A era de 
500 m. 
 
QUESTÃO 42 
 
Na figura, tem-se 
 
 
Com base nesses dados, calcule . 
QUESTÃO 43 
Assinale a(s) porposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. O sistema é possível e 
indeterminado. 
 
02. O número A = 101
50
 – 1é um múltiplo de 4. 
 
04. Considere x um número real estritamente 
positivo. Se o expoente de x no quinto termo do 
desenvolvimento de 
 é um 
número inteiro, então n é um número par. 
08. Na figura a seguir, a, b e c são as medidas dos 
lados do triângulo ABC e , e são 
os senos dos ângulos . Então, podemos 
afirmar que o determinante da matriz 
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é igual a zero. 
 
 
QUESTÃO 44 
Considere os números 
complexos 
 e e as suas representações no plano complexo 
xOy. Considere ainda que, se z é um número 
complexo, então representa o seu conjugado. 
 
Sobre o exposto, é correto afirmar que 
 
01) 
 
02) 
 
04) pertencem à circunferência de equação 
x
2
 + y
2
 = 2. 
 
08) é solução da equação z
2
 − 2z + 4 = 0. 
 
16) a medida do segmento que une é 
(1+ ) unidades de comprimento. 
QUESTÃO 45 
Determine a área, em centímetros quadrados, 
interior a um triângulo acutângulo de ângulos 
conhecidos, 60º e 75º, e lado comum adjacente a 
esses ângulos medindo 35 cm. 
 
(Use: cos 30º = 0,8; cos 45º = 0,7 e sen 105º = 0,9). 
QUESTÃO 46 
Uma cidade B fica exatamente ao norte de uma 
cidade A. Um avião partiu de A e seguiu uma 
trajetória retilínea que fazia um ângulo de 75
º
 em 
relação ao norte, no sentido oeste. Depois de o 
avião percorrer 1.000 km, sua trajetória sofreu um 
desvio de um ângulo de graus (veja a figura a 
seguir); o avião percorreu mais 2.000 km em linha 
reta e alcançou a cidade B. Calcule 
 
 
 
A) a distâcia entre as cidades A e B; 
B) o valor de . 
Se necessário, use sen75
º
 = 0,96 e cos75
º
 = 0,25. 
QUESTÃO 47 
Considere uma gangorra composta de uma tábua 
de 240 cm de comprimento, equilibrada, em seu 
ponto central, sobre uma estrutura na forma de um 
prisma cuja base é um triângulo equilátero de altura 
igual a 60 cm, como mostra a figura. Suponha que a 
gangorra esteja instalada sobre um piso 
perfeitamente horizontal. 
 
 
 
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a) Desprezando a espessura da tábua e supondo 
que a extremidade direita da gangorra está a 20 cm 
do chão, determine a altura da extremidade 
esquerda. 
 
b) Supondo, agora, que a extremidade direita da 
tábua toca o chão, determine o ângulo α formado 
entre a tábua e a lateral mais próxima do prisma, 
como mostra a vista lateral da gangorra, exibida a 
seguir. 
 
 
QUESTÃO 48 
 
 
No triângulo acutângulo ABC, ilustradona figura, o 
comprimento do lado mede , o ângulo 
interno de vértice C mede a, e o ângulo interno de 
vértice B mede . Sabe-se, também, que 
2 cos (2α) + 3 cos α + 1 = 0. 
Nessas condições, calcule 
 
a) o valor de sen α; 
b) o comprimento do lado . 
QUESTÃO 49 
A) Determine o perímetro do triângulo na forma 
decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use 
algum destes dados: 35
2
 =1.225; 36
2
 =1.296; 37
2
 
=1.369. 
 
B) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em 
cartolina. Decidiu construir o triângulo com as 
seguintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm e 16 cm. 
Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? 
QUESTÃO 50 
Assinale o que for correto. 
 
01) Se e 0 < < , 
então . 
02) Se a = 10 cm e b = 20 cm são as medidas de 
dois lados de um paralelogramo de 
área , então a medida do menor ângulo 
formado por esses dois lados é igual a 60
o
. 
 
04) Sendo e arcos do primeiro quadrante tais 
que e , 
então . 
08) Um triângulo ABC em que os lados AB e AC 
medem, respectivamente, 8 cm e 6 cm e o 
ângulo mede 60
o
 tem o lado BC 
medindo . 
16) Se A, B e C, nas condições da alternativa 
anterior, representam cidades em um mapa feito na 
escala 1 cm : 50.000 cm, então, em linha reta, as 
cidades B e C distam mais que 3 km uma da outra. 
QUESTÃO 51 
Na figura a seguir determine a medida do segmento 
AB, em cm, sabendo que sen a = 0,6. 
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QUESTÃO 52 
Um topógrafo deseja calcular a distância entre 
pontos situados à margem de um riacho, como 
mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as 
distâncias mostradas na figura, bem como os 
ângulos especificados na tabela, obtidos com a 
ajuda de um teodolito. 
 
Visada ângulo 
 
 
 
a) Calcule a distância entre A e B. 
 
b) Calcule a distância entre B e D. 
QUESTÃO 53 
A figura ilustra as medidas que um topógrafo tomou 
para calcular a distância do ponto A a um barco 
ancorado no mar. 
 
sen62º = 0,88; cos62º = 0,47 
sen70º = 0,94; cos70º = 0,34 
 
 
A Use os dados obtidos pelo topógrafo e calcule a 
distância do ponto A ao barco. 
É conveniente traçar a altura do triângulo ABC. 
 
B Use esses mesmos dados para calcular o valor de 
cos48º. Se quiser, utilize os produtos: 
88 × 94 = 8.272 e 47 × 34 = 1.598. 
QUESTÃO 54 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. Um antigo mapa escondido embaixo de uma 
rocha continha as seguintes instruções para se 
encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada 
pelos tropeiros naquela região: a partir da rocha 
ande 4 km, em linha reta, no sentido leste-oeste. 
Depois disso, gire 60º para norte e caminhe, em 
linha reta, 3 km. A menor distância entre o local 
onde está enterrada a panela de moedas de ouro e 
a rocha onde estava escondido o mapa é de 
aproximadamente 6 km. 
 
02. A equação sen2x + cosx = 0 admite 4 soluções 
no intervalo [0, 3 ]. 
 
04. O valor numérico de y na 
expressão é . 
 
08. Se secx = e então tgx + cotgx 
é igual a . 
 
16. A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma 
função periódica f, de em , de período 2. 
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QUESTÃO 55 
Considerando C1 a circunferência de centro em um 
ponto O e raio r cm; considerando o retângulo 
ABCD, inscrito em C1, de modo que o 
ângulo meça 150°; considerando o losango 
MNPQ cujos vértices são pontos médios dos lados 
do retângulo ABCD e considerando a circunferência 
C2 inscrita no losango MNPQ, assinale o que for 
correto. 
 
01) A medida do maior lado do retângulo ABCD é 
maior do que 2r cm. 
 
02) A região limitada pelo retângulo ABCD preenche 
menos do que 25% da região limitada pela 
circunferência C1. 
 
04) A medida do perímetro do losango MNPQ é a 
metade da medida do perímetro do retângulo ABCD. 
 
08) O comprimento da circunferência C2 
mede cm. 
 
16) A área da coroa circular limitada pelas 
circunferências C1 e C2 mede cm
2
. 
QUESTÃO 56 
Para calcular a distância de um ponto B a um ponto 
A do outro lado de um rio, um engenheiro mediu a 
distância de B a um ponto acessível C e, com um 
teodolito, mediu os ângulos e , conforme 
figura a seguir. Determine o que se pede: 
 
 
a) Calcule o valor do seno do ângulo = 75°. 
 
b) Calcule o valor da secante do ângulo = 75°. 
 
c) Sabendo que = 30 m, = 45° e = 
75°, determine o valor da distância entre o ponto B e 
o ponto A . 
QUESTÃO 57 
Uma bola branca está posicionada no ponto Q de 
uma mesa de bilhar retangular, e uma bola 
vermelha, no ponto P, conforme a figura ao lado. A 
reta determinada por P e Q intersecta o lado L da 
mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do 
segmento , e o ângulo agudo formado por 
e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, 
após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao 
partir de Q, forma um ângulo agudo com o 
segmento e o mesmo ângulo agudo com o 
lado L antes e depois da reflexão. Determine a 
tangente de e o seno de . 
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QUESTÃO 58 
Uma roda gigante de formato circular com 10 metros 
de raio é composta de oito gôndolas, cujos centros 
são os vértices de um octógono regular. A roda gira 
no sentido anti-horário, iniciando seu giro com a 
gôndola 1 posicionada na plataforma de embarque 
(conforme indica a figura a seguir), que se encontra 
no mesmo nível do centro da roda gigante, cuja 
altura em relação ao solo é de 12 m. 
 
 
 
Responda aos itens a seguir, desconsiderando as 
dimensões das gôndolas e sem usar aproximações 
para efeito dos cálculos. 
 
a) Se a roda gigante girar 30° no sentido anti-
horário, qual será a altura da gôndola 1 em relação 
ao nível do solo? 
 
b) Determine a distância entre duas gôndolas 
consecutivas. 
 
c) Determine o comprimento do arco entre duas 
gôndolas consecutivas. 
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QUESTÃO 1 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam AH a altura 
sobre 
 . 
 
 
Então, 
 
. 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
O ângulo mede 180° - 105° - 30° = 45°. Pela 
lei dos senos, temos: 
 
 
Assim, a distância entre as árvores situadas em A e 
B é de aproximadamente 212 metros. 
 
QUESTÃO 3 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Seja ABC o triângulo, com B = 105° e C = 30°. 
Como a soma dos ângulos de um triângulo é 
sempre igual a 180°, segue que A = 45°. 
Também, AC = +1. A partir disso, temos duas 
alternativas de solução: 
 
I. Pela lei dos senos, temos . As 
fórmulas trigonométricas de adição de arcos nos 
dão sen 105° = sen (60° + 45°) = sen 60°cos 45° + 
sen 45°cos 60° = , daí BC = 
AC. . 
 
Por fim, a fórmula do seno para a área de triângulos 
nos dá 
 
 
 
II. Se H é o pé da altura baixada de B a reta suporte 
do lado AC, então B > 90° garante que H está 
sobre o lado AC. O triangulo ABH é então retângulo 
e isósceles; sendo AH = BH = x, temos CH = 
+1 – x , e assim 
 
 
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o que nos dá x = 1. 
Logo, . 
 
QUESTÃO 4 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam (x – 1), x e (x + 1) as medidas dos lados do 
triângulo, tem-se a figura a seguir: 
 
 
 
Aplicando a lei dos cossenos, tem-se: 
 
 
 
 
Agora, aplicando a lei dos senos:Utilizando as duas equações obtidas, tem-se: 
 
 
 
Portanto, os lados do triângulo medem 4, 5 e 6 
metros, sendo a medida do menor lado igual a 4 m. 
 
QUESTÃO 5 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Considere a figura, construída de acordo com o 
enunciado do problema, onde x é a distância de A a 
B. 
 
Pela lei dos cossenos, temos: 
. 
Portanto, a distância do ponto A ao ponto C 
é cm. 
 
QUESTÃO 6 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando as informações do enunciado, temos: 
 
 
Aplicamos a lei dos cossenos no triângulo MBN, 
obtemos: 
 
 
Assim, 
 
 
Aplicando novamente a lei dos cossenos, porém no 
triângulo MAD, concluímos que: 
 
 
 
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QUESTÃO 7 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a e b os lados desconhecidos do triângulo, 
conforme mostra a figura: 
 
Sabendo que a + b + 8 = 20 e portanto b = 12 – a, e 
utilizando a lei dos cossenos: 
 
 
QUESTÃO 8 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja AE = x. Então, DE = BE = 80 – x. Veja: 
 
 
No triângulo ABE, temos: 
 
Logo, AE = 30 cm e BE = 50 cm. Assim, cos α = . 
Além disso, o ângulo mede (90 – α), o 
ângulo mede α, o ângulo mede (90 – 
α), e o ângulo BFG mede α. Portanto, os triângulos 
ABE e GBF são congruentes, e BF = BE. 
 
No triângulo BEF, pela lei dos cossenos: 
 
A alternativa C é incorreta. 
 
QUESTÃO 9 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Temos AB
2
 = 1.600 + 3.600 – 2 · 40 · 60 · = 
2.800 e AB = = ≈ 20 · 2,6 = 52 km. 
Daí, se a pessoa viaja de C até B sem passar por A, 
ela economiza (60 + 52) – 40 = 72 km no trajeto. 
 
QUESTÃO 10 
E 
 
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RESOLUÇÃO: 
Se a equação em x: x
2
 – 2bcos α · x + b2 – a2 0 
admite c como raiz dupla, então tem-se a seguinte 
identidade de polinômios: 
x
2 – 2b cos α · x + (b2 – a2) (x – c)
2
 ⇒ x2 – 2b 
cos α · x + (b
2
 – a2) x2 – 2cx + c2 ⇒ 
 
 
Pode-se concluir então que o triângulo de lados a, b 
e c é sempre retângulo e b é a hipotenusa. 
 
 
QUESTÃO 11 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Pela lei dos senos temos: 
 
 onde R é o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo. 
Assim, o triângulo FGH formado com as medidas 
dos lados iguais aos senos dos ângulos teria os 
lados proporcionais aos lados do triângulo 
dado, sendo, portanto, semelhante a ele. 
Aplicando a lei dos senos ao triângulo FGH a razão 
1 entre os lados e os senos, portanto, seria 2r = 1. 
Assim, o triângulo FGH estaria inscrito numa 
circunferência de diâmetro 1. 
 
QUESTÃO 12 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Considerando ΔS a distância entre Sendai e o 
epicentro do tsunami, e aplicando a lei dos 
cossenos, temos: 
(ΔS)
2
 = (320)
2
 + (360)
2
 – (2 · 320 · 360 · 0,934) 
ΔS = 130 km 
 
De acordo com o enunciado, o tempo necessário 
para que a onda atingisse Sendai foi de 13 minutos. 
Assim, a velocidade média, em km/h, com que a 1ª 
onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi 
de: 
 
Vm = 
Vm = 
Vm = 600 km/h 
 
QUESTÃO 13 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Cada ângulo central da circunferência circunscrita 
mede 30° (360 ÷ 12 = 30). 
 
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Pela lei dos cossenos, temos: 
 
 
QUESTÃO 14 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Usando a lei dos cossenos no triângulo ABC, temos: 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 15 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Representando os lados desse triângulo por x – r, x 
e x + r (com x > r > 0), temos que: 
 
x – r + x + x + r = 15 3x = 15 x = 5 
 
Dessa forma, podemos construir o seguinte 
triângulo: 
 
 
 
 
Pela lei dos cossenos, temos: 
(5 + r)
2
 = (5 – r)
2
 + 5
2
 – 2 · (5 – r) · 5 · cos 120º 
 25 + 10r + r
2
 = 25 – 10r + r
2
 + 25 + 25 – 
5r 
 25r = 50 r = 2 
 
Portanto, os lados do triângulo medem 3, 5 e 7. 
Logo o produto dos comprimentos de seus lados é 3 
· 5 · 7 = 105. 
 
QUESTÃO 16 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Observando o quadrilátero ABNP, temos que o 
ângulo B mede 160º (a soma dos quatro ângulos 
internos deve ser 360°). Assim, o ângulo interno B 
do triângulo ABC deve medir 360 – 160 – 50 = 150º. 
Como cos150º = –cos30º, aplicando lei dos 
cossenos, temos: 
 
 
 
QUESTÃO 17 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Se e 
então , pois 105° + 45° + 30° = 180° 
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Aplicando a lei dos senos: 
 
 
QUESTÃO 18 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir das informações dadas, constrói-se a 
seguinte figura: 
 
 
Pela lei dos senos, 
 
 
Como o triângulo ACD é retângulo, temos: 
 
. 
 
Portanto, o comprimento mínimo da ponte é de 
aproximadamente 524 metros. 
 
QUESTÃO 19 
B 
RESOLUÇÃO: 
Como pode ser observado na figura abaixo, 
o ângulo = 180º – 60º= 120º e a soma dos 
ângulos internos é igual a 180º. 
 
BA = BH, logo, o triângulo é isósceles. 
 
Utilizando a lei dos senos para determinar o valor de 
, obtemos: 
 . 
Como temos: 
 = = km ⇒ = = 6 1,7 ⇒ 
= = 10,2 km. 
Portanto: 
 + = 10,2 + 10,2 = 20,4 km. 
O tempo T que o motorista gastaria para 
percorrer + com a mesma velocidade é de: 
 13 minutos e 36 segundos. 
 
QUESTÃO 20 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
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Aplicando o teorema dos cossenos ao triângulo 
formado por Jupiter, Terra e Sol, temos: 
D
2
 = + – 2 × RJ × RT × cos 120º 
Assim, 
cos 120º = – . 
Portanto, . 
 
QUESTÃO 21 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando a lei dos senos, tem-se: 
 
 
QUESTÃO 22 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Marcando alguns valores na figura, temos: 
 
 
Resta-nos descobrir os valores de AD e GI. 
Isolando o trapézio ABCD, podemos descobrir o 
valor de AD da seguinte maneira: 
 
 
cos60° = 0,5 = x = 2 · 0,5 = 1 
AD = 6 – 2 · 1 = 6 – 2 = 4 km 
 
Para descobrir o valor de GI podemos aplicar a lei 
dos cossenos no triângulo GBI: 
(GI)
2
 = 6
2
 + 2
2
 – 2 · 6 · 2 · cos120° 
(GI)
2
 = 36 + 4 – 24 (–cos 60°) 
(GI)
2
 = 40 – 24 · (–0,5) = 40 + 24 · 0,5 = 40 + 12 = 
52 
 
Daí, conclui-se 
que: . E que o 
trajeto todo 
mede: 
 
 
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QUESTÃO 23 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
No triângulo ABC, o ângulo mede 180° – 
105° – 30° = 45°. Assim, pela lei dos senos, temos: 
 metros. 
Logo, a distância entre os pontos A e B é 
de metros. 
 
QUESTÃO 24 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Temos AB 
= = 
 = 10.11,27 = 112,7 km. 
 
QUESTÃO 25 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Considere a figura: 
 
 
 
 
Pela lei dos cossenos: 
 
k
2
 = (2k)
2
 + (2k)
2
 – 2 · 2k · 2k · cos β ⇒k2 = 8k2 – 
8k
2
 · cos β ⇒ 8k2 · cos β = 7k2 ⇒ cos β = . 
 
Portanto, os cossenos dos ângulos internos 
do triângulo medem . 
 
QUESTÃO 26 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir dos dados do enunciado, construímos a 
seguinte figura, em que O é o porto (ponto de 
partida), N1 e N2 são os navios na posição em que 
se encontram após uma hora de viagem, e x é a 
distância entre os dois navios. 
 
 
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O ângulo N1ÔN2 mede 45° + 15° = 60°. Pela lei dos 
cossenos: 
 
 km. 
 
 
QUESTÃO 27 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Pela lei dos cossenos, temos: 
 
x
2
 =10
2
 + 20
2
 – 2 · 10 · 20 · cos(60°) 
x
2
 = 100 + 400 – 400 · (0,5) 
x
2
 = 500 – 200 = 300 
x = km 
 
QUESTÃO 28 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Pela lei dos cossenos, temos: 
 
 
QUESTÃO 29 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Pela lei dos cossenos: 
 
Portanto, 
 
Mas, 
 
 
 
Então, 
 
Assim, 
 
 
QUESTÃO 30 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o triângulo ABC é equilátero, seus ângulos 
medem 60° cada. Pela lei dos cossenos no triângulo 
ABD, temos: 
 
 
 
 
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QUESTÃO 31 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Aplicando lei dos cossenos no triângulo: 
AC
2
 = 5
2
 + 8
2
 – 2 × 5 × 8 × cos 60° 
AC
2
 = 25 + 64 – 80 × 0,5 
AC
2
 = 89 – 40 = 49 
AC = 7 
 
Logo, p = 7 + 5 + 8 = 20 e p
3
 = 20 × 20 × 20 = 8.000 
cm
3
 = 8.000 ml = 8 L. 
 
QUESTÃO 32 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando a lei dos cossenos no triângulo formado 
pelas duas palhetas e a base do retângulo, e sendo 
x a medida da palheta, tem-se: 
 
 
QUESTÃO 33 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A diagonal menor é oposta ao ângulo agudo. Assim, 
dividindo-se esse losango pela diagonal menor 
temos um triângulo isósceles de lados medindo 4, 
ângulo do vértice de 30° e a base é o que se deseja 
conhecer. 
 
Pela lei dos cossenos, temos: 
x
2
 = 4
2
 + 4
2
 – 2 · 4 · 4 · cos30° 
x
2
 = 16 + 16 – 16 · cos30° 
x
2 
= 16 · (1 + 1 – 2 · cos30°) 
 
Substituindo o valor de cos 30°, temos: 
 
 
QUESTÃO 34 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Aplicando a lei dos senos no triângulo APQ, tem-
se: 
 
QUESTÃO 35 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A diagonal maior será oposta ao ângulo obtuso, de 
120°. Usando a lei dos cossenos, temos: 
d
2
 = 6
2
 + 8
2
 – 2 · 6 · 8 · cos(120°) 
d
2
 = 36 + 64 – 2 · 48 · (–0,5) 
d
2
 = 100 + 48 = 148 
d = 
d = 2 
 
QUESTÃO 36 
GABARITO: 
 
a) Usar o teorema de Pitágoras nos triângulos 
retângulos ABE e ABC para obter os valores 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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AE = 5 cm e AC = .Assim o perímetro 
será 
. 
 
b) Usar a lei do cosseno no triângulo de vértices A, 
C e E para obter o cosseno de α: 
 
Usar a lei dos senos no triângulo de vértices A, C e 
E para obter o seno de α (observando que o 
ângulo ) assim 
 
Outras formas de chegar a solução do item b: 
1. usar apenas a lei do cosseno e a relação 
fundamental 
 
2. usar apenas a lei dos senos e a relação 
fundamental 
 
3. calcular seno e cosseno de (usando o 
triângulo retângulo de vértices ABE) e as fórmulas 
de soma e/ou diferença de arcos para obter o seno 
e o cosseno de α. 
 
QUESTÃO 37 
GABARITO: 
De acordo com a construção, é possível afirmar 
que: 
PB = r 
OB = OP = 2 · r 
AB = 4 · r 
 
A) Sejam α e β os ângulos destacados na figura: 
 
 
 
Então, no triângulo OBP: 
2α + 2β = 180 → 2(α + β) = 180 → α + β = 90°. 
 
Ou seja, o ângulo APB é reto e, portanto, retângulo, 
possibilitando a aplicação do teorema de Pitágoras: 
AB
2
 = PB
2
 + AP
2 
16r 
2
 = r 
2
 + AP
2 
AP = 
B) Utilizando a lei dos cossenos no triângulo POB: 
r 
2
 = (2r)
2
 + (2r)
2
 – 2 · 2r · 2r · cos(2α) 
7r 
2
 = 8r 
2
 · cos(2α) 
cos(2α) = 
 
QUESTÃO 38 
GABARITO: 
Resposta: 20 
Solução: 
Usando a lei dos senos no triângulo OPA temos 
AP/(1/2) = (3+ )/( /2) e AP = ( +1) km . 
Novamente, da lei dos senos no triângulo APB, 
segue que AB/( /2) = ( +1)/sen75
o
. Temos 
sen 75
o
 = sen(30
o
 + 45
o
) = 1/2 · /2 + 
/2 · /2 = ( + 1) )/4 e substituindo na 
igualdade anterior, obtemos AB = /2 · 4/ = 2 
km = 20 hm. 
 
QUESTÃO 39 
GABARITO: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Seja O o pé da perpendicular baixada do ponto C. 
Assim, OC = h. 
 
No triângulo AOC: 
 
 
 
No triângulo BOC: 
 
 
 
No triângulo AOB, pelo teorema de Pitágoras: 
 
Assim, 
 
 
 
No triângulo ABC, pela lei dos cossenos: 
 
 
 
 
 
 
a) O ângulo CÂB mede 90°. 
 
b) A montanha mede metros. 
 
QUESTÃO 40 
GABARITO: 
A) A distância AP mede 2 × sen(30º) = 1 cm = 10
−2
 
m. A força entre as cargas em A e P tem 
intensidade FAP = 9 x 10
9
 x 4 x 1/(10
−2
)
2
 = 36 x 
10
13
 N, e a força entre as cargas em B e P tem 
intensidade FBP = 9 × 10
9
 × 4 × 3/(2 × 10
−2
)
2
 = 
27 × 10
13 
N. No triângulo com lados FAP, FBP e a 
resultante FR, o ângulo oposto a FR mede 60º. A Lei 
dos Cossenos nos dá o módulo da força resultante, 
que, de acordo com a aproximação mencionada no 
enunciado, vale: FR = (4
2
 + 3
2
 – 2 × 4 × 3 × cos 
60º)
1/2
 × 9 × 10
13 
≈ 3,24 × 10
14
 N. 
 
B) Pela lei dos senos, temos que FR/sen(60º) = 
FBP/sen(α), de modo que sen(α) = 2,7 × 10
14
 × 
0,87/(3,24 × 10
14
) = 0,725. 
 
QUESTÃO 41 
GABARITO: 
I - III - V 
 
I) Verdadeiro. No triângulo OBC, temos que o 
ângulo mede 105°. Como o triângulo OAB é 
retângulo, temos: 
 
Portanto, med = 105 + 30 = 135°. 
II) Falso. Pela lei dos senos, temos: 
 m. 
III) Verdadeiro. Pela lei dos senos: 
 m. 
IV) Falso, pois ABC é um triângulo. 
 
V) Verdadeiro. Pelo Teorema de Pitágoras, no 
triângulo OAB: 
 m. 
 
QUESTÃO 42 
GABARITO: 
A partir de e , conclui-se 
que . Usando a lei dos senos no 
triângulo ABD obtém-se . 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Assim, 
 
Por outro lado: 
sen 15º = sen(45º – 30º) = sen 45º · cos 30º – sen 
30º · cos 45º = 
Logo, BD 
= 
 
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo BDC tem-
se: 
 = + – 2 · · · cos 
60º ⇒ = 25 + 100 – 2 · 10 · 
5 · 
⇒ = 25 + 100 – 50 – 50 
⇒ = 75 + 50 + 25 + 50 – 50 ⇒ 
⇒ = 150 ⇒ = = 5 u.c. 
 
QUESTÃO 43 
GABARITO: 
02 + 04 + 08 = 14 
RESOLUÇÃO: 
01. Incorreta. Escalonando o sistema, obtemos: 
 
 
 
Portanto, o sistema é impossível. 
 
02. Correta. Ao elevar o número 101 a qualquer 
expoente, obtemos um número que tem algarismo 
das unidades igual a 1 e que, subtraído de 1, resulta 
em final 00, que é múltiplo de 4. 
 
04. Correta. Desenvolvendo o binômio 
, obtemos: 
 
 
Uma vez que o expoente de x é inteiro, temos: 
 
n – 12 = 2k 
n = 2k + 12 
n = 2 · (k + 6) 
 
A variável n é, portanto, par. 
 
08. Correta. 
 
Aplicando a lei dos senos: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Observe que a 2ª linha é proporcional à 3ª linha. 
Assim, temos que det(A) = 0. 
 
QUESTÃO 44 
GABARITO: 
11 
RESOLUÇÃO: 
01 + 02 + 08 = 11 
 
Sabemos que |z1| = |z2| = 2, que arg(z1) = rad e 
que arg(z2) = rad. 
 
01) Verdadeira. Sabe-se que . Como |z1| = 
|z2|, tem-se que . 
 
02) Verdadeira. 
 
 
Portanto, 
 
04) Falsa. A circunferência x
2
 + y
2
 = 2 tem centro 
(0, 0) e raio . Portanto, z1 e z2 não pertencem a 
ela, pois seus módulos valem 2. 
 
08) Verdadeira. 
 
 
Portanto, z1 é uma das raízes da equação z
2
 − 2z + 
4 = 0. 
 
16) Falsa. Considere o triângulo formado pela 
origem do sistema, z1 e z2. O maior ângulo é oposto 
ao lado (x) que representa a distância entre z1 e z2, 
como rad = 60º e rad = 210º, temos que 
este mede 210º – 60º = 150º. Como os módulos de 
z1 e z2 são iguais a 2, pela lei dos cossenos, temos: 
 
 
QUESTÃO45 
GABARITO: 
A partir dos dados, temos: 
 
sen 60° = cos 30° = 0,8 
sen 45° = cos 35° = 0,7 
 
Observe a figura: 
 
A partir da lei dos senos, encontramos x: 
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A área do triângulo é dada por: 
 
 
QUESTÃO 46 
GABARITO: 
Sendo d a distância procurada e aplicando lei dos 
cossenos em relação ao ângulo de 75
º
 e seu lado 
oposto com 2 mil km, temos: 
 
2
2
 = 1
2
 + d
2
 – 2 × 1 × d × cos75° 
4 = 1 + d
2
 – 2d × 0,25 
d
2
 – 0,5d + 1 – 4 = 0 
2d
2
 – d – 6 = 0. 
 
Resolvendo a equação: 
 
 
 
A solução negativa não convém, logo, a distância 
entre A e B é de 2 mil km. 
 
Como o triângulo ABC é isósceles, seus ângulos da 
base medem 75°. Então, 
 
 
 
QUESTÃO 47 
GABARITO: 
 
a) O centro da tábua está sempre a 60 cm do chão. 
Se o extremo direito dessa tábua está a 20 cm do 
chão, então a diferença de altura entre o extremo 
direito e o centro da tábua é igual a 40 cm, como 
mostra a figura a seguir. 
 
 
 
 
Considerando que uma metade da tábua tem 120 
cm de comprimento e usando semelhança de 
triângulos, constatamos que a diferença de altura 
entre as extremidades da tábua, que denominamos 
x, pode ser obtida a partir da equação . 
Daí, x = 80 cm, de modo que a extremidade 
esquerda da tábua está a 80 + 20 = 100 cm do 
chão. 
 
Resposta: A extremidade esquerda da gangorra 
está a 1 m do chão. 
 
a') O centro da tábua está sempre a 60 cm do chão. 
Essa distância corresponde à base média do 
trapézio cujos vértices são as extremidades da 
tábua e suas projeções verticais sobre o solo, como 
mostra a figura a seguir. 
 
 
 
Se o extremo direito da tábua está a 20 cm do chão, 
então . Desse modo, x + 20 = 120, ou 
simplesmente x = 100 cm. 
 
Resposta: A extremidade esquerda da gangorra 
está a 1 m do chão. 
 
a'’) A figura seguinte mostra o triângulo obtido 
prolongando o segmento de reta que representa a 
tábua, até que esse encontre a linha horizontal que 
representa o chão. 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Usando semelhança de triângulos, 
obtemos . Logo, 3z = 120 + z, ou 
seja, . Recorrendo, novamente, à 
propriedade da semelhança de triângulos, 
concluímos que . 
Assim, , de modo que 
x = 100 cm. 
 
Resposta: A extremidade esquerda da gangorra 
está a 1 m do chão. 
 
b) O triângulo formado pela metade direita da tábua, 
pela lateral da base e pelo chão tem ângulos 
internos , como mostra a figura a seguir, 
que representa o lado direito da gangorra. Da figura, 
concluímos que = 180º – 60º = 120º. Além disso, 
sen( ) = . Logo, = 30º, de modo que 
= 180º – 120º – 30º = 30º. 
 
 
 
Resposta: O ângulo mede 30º. 
 
b') O triângulo da base da gangorra é isósceles e 
tem altura 60 cm, como mostra a figura seguinte, na 
qual se vê a metade direita da gangorra. 
 
 
 
Para determinar a metade do comprimento da 
aresta da base da gangorra, usamos o teorema de 
Pitágonas, que diz que (2r)
2 
= 60
2
 + r
2
, ou 
seja, Além disso, o 
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 120 cm 
(metade do comprimento da tábua) tem catetos de 
comprimento 60 cm e (s + r). Usando novamente o 
teorema de Pitágoras, obtemos 120² = 60² + (r + s)², 
de modo 
que 
 Assim, 
Usando, agora, a lei dos senos e observando 
que , 
temos Logo
, , de modo 
que . 
 
Resposta: O ângulo a mede 30º. 
 
b'’) O triângulo da base da gangorra é isósceles e 
tem altura 60 cm, como mostra a figura a seguir, na 
qual se vê a metade direita da gangorra. 
 
 
A partir do triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 
120 cm e que tem um cateto com 60 cm de 
comprimento, concluímos que cos(30º + ) 
= = . Logo, 30º + = 60º, de modo 
que = 30º. 
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Resposta: O ângulo mede 30º. 
 
QUESTÃO 48 
GABARITO: 
a) 2(cos 2 α – sen 2α) + 3 cos α + 1 = 0 → 2(cos 2α 
– 1 + cos 2α) + 3 cos α + 1 = 0 → 2 cos 2α – 2 + 2 
cos 2α + 3 cos α + 3 cos α + 1 = 4 cos 2α + 3 cos 
2α – 1 = 0. 
Resolvendo a equação 4 cos 2α + 3 cos 2α - 1 = 
0 obtemos: 
 = 32 – 4(4)(–1) 
 = 25. 
Então 
cos α = ou cos α = –1 (não convém). 
Se cos α = , temos que sen 2α = 1 – cos 2α → 
sen 2α = 1 – = sen α = . 
b) 
I) Se cos α = 2 cos 2 – 1 → cos 2 = → 
cos = . 
II) cos α = 1 – 2 sen 2 → = 1 – 2 sen 
2 ⇔ sen2 = → sen = . 
III) O ângulo interno de vértice A mede 
. 
 
Aplicando a lei dos senos, temos: 
 
 
QUESTÃO 49 
GABARITO: 
A) 
l
2
 = 6
2
 + 8
2
 – 2 · (6) · (8) · cos 60° = 52 
l = 2 
O perímetro é igual a 21,2 cm. 
B) Não conseguirá construir o triângulo, pois em 
todo triângulo a medida de um lado é menor que a 
soma das medidas dos outros dois. 
Outra solução é usar a lei dos cossenos: 
 
16
2
 = 6
2
 + 8
2
 – 2 · (6) · (8) cos 
156 = –96 cos → cos = 
Porém é menor que –1, portanto, não existe 
tal triângulo. 
 
QUESTÃO 50 
28 
 
RESOLUÇÃO: 
04 + 08 + 16 = 28 
 
01) Falsa. 
 
 
 
 
02) Falsa. 
 
 
 
Se a área do paralelogramo é , 
então: . Assim, 
observando a figura, tem-se: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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04) Verdadeira. 
 
Como visto no item 01, 
E , 
pois 
Então, 
 
08) Verdadeira. 
 
Pela lei dos cossenos, 
 
 
16) Verdadeira. 
 equivale, em tamanho real, 
a 
 
 
QUESTÃO 51 
GABARITO: 
 
Da relação fundamental da trigonometria temos: 
sen
2
 a + cos
2
 a = 1 ⇒ (0,6)2 + cos2 a = 1 ⇒ cos a = 
0,8 
 
Da lei dos cossenos, aplicada no triângulo BCP, 
obtemos: 
100
2
 = 100
2
 + y
2
 – 2 · 100 · y · cos a ⇒ y2 – 2 · 100 
· 0,8 = 0 ⇒ 
⇒ y2 – 160y = 0 ⇒ y = 160 ou y = 0 (não convém) 
 
No triângulo ABC, tem-se: 
sen a = ⇒ 0,6 = ⇒ x = 96 cm 
 
QUESTÃO 52 
GABARITO: 
a) Como a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é igual a 180º, o ângulo mede 180 – 
30 – 30 = 120º. Aplicando a lei dos senos ao 
triângulo ABC, obtemos 
 ou 
 
 
 
 
a’) 
 
 
O triângulo ABC é isósceles, de modo que AB = AC. 
Tomando E como o ponto médio do segmento , 
observamos que o triângulo ABE é retângulo. Desse 
modo, 
, ou 
Logo, AB = = m 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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a’’) Como a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é igual a 180º, o ângulo mede 180 – 
30 – 30 = 
120º. Além disso, o triângulo ABC é isósceles, de 
modo que AB = AC. Aplicando, então, a lei dois 
cossenos 
ao triângulo ABC, obtemos 
BC
2
 = AB
2
 + AC
2
 – 2 · AB · AC · cos(CÂB), 
15
2 
= 2AB
2
 – 2 · AB
2
 cos(120º), 
15
2
 = 2AB
2
 – 2 AB
2
 . 
Logo, 3 AB
2
 = 15
2
, donde AB = = m 
 
b) Aplicando, agora, a lei dos cossenos ao triangulo 
BCD, obtemos 
BD
2
 = BC
2
 + CD
2
 – 2 · BC · CD cos( ) = 15
2
 + 
10
2
 – 2 · 15 · 10 = 175 
Logo, BD = = m. 
 
 
QUESTÃO 53 
GABARITO: 
A O ângulo C mede 180° - 48° - 62° = 70°. Pela lei 
dos senos: 
 
 
 
A distância do ponto A ao barco é de 
aproximadamente 46,8 metros. 
 
B 
 
 
QUESTÃO 54 
05 
 
RESOLUÇÃO: 
01 + 04 = 05 
 
01. Correta. Aplicando lei dos cossenos na triângulo 
da figura, temos:x
2
 = 3
2
 + 4
2
 – 
x
2
 = 9 + 16 – 24 (–0,5) 
x
2
 = 25 + 12 = 37. 
 
Como o quadrado mais próximo de 37 é 36, x vale 
aproximadamente 6 (6
2
 = 36). 
 
02. Incorreta. Organizando a equação, temos: 
 
sen2x + cosx = 2senxcosx + cosx = cosx(2senx + 1) 
= 0 
 
Logo, 
 
ou 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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, 
o que totaliza 5 soluções no intervalo. 
 
04. Correta. 
 
 
 
08. Incorreta. 
 
sec
2
x = 5 = tg
2
x + 1 
tg
2
x = 5 – 1 = 4. 
 
Como x pertence ao 3º quadrante, sua tangente é 
positiva. 
 
Então, tgx = 2 e cotgx = = 0,5. 
tgx + cotgx = 2,5 ou . 
 
16. Incorreta. A função irá repetir o valor de f(0) 
apenas em f(4), logo seu período é 4. 
 
QUESTÃO 55 
24 
 
RESOLUÇÃO: 
08 + 16 = 24 
 
 
 
01) Incorreta. 
No triângulo AOB, pela lei dos cossenos: 
 
< 2r. 
 
02) Incorreta. 
Como o ângulo AÔB mede 150°, então BÔC mede 
180° – 150° = 30°. Assim, no triângulo BOC, pela lei 
dos cossenos: 
 
Logo, a área do retângulo ABCD 
é 
A área do círculo C1 é 
A área do retângulo 
preenche da área do 
círculo. 
 
04) Incorreta. 
No retângulo AMOQ podemos observar que as 
diagonais AO e MQ são iguais ao raio do círculo C1 
. Assim, os perímetoros são: 
 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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08) Correta. 
No triângulo MOQ, temos, pelas relações métricas 
no triângulo retângulo: 
 
Logo, o comprimento da circunferência C1 
é cm. 
 
16) Correta. 
 
 
QUESTÃO 56 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) Temos que: 
sen = sen (75°) = sen (45° + 30°) = sen 45° · 
cos 30° + sen 30° · cos 45° = 
= 
 
b) Temos que: 
cos (75°) = cos (30° + 45°) = cos 30° · cos 45° – sen 
30° · sen 45° = 
= 
Logo, sec(75º) = = 
 
c) Pela Lei dos Senos, temos que: 
 
 
Assim, D(B,A) = m. 
 
QUESTÃO 57 
GABARITO: 
Consideremos primeiro como x a medida da 
distância QR. Como Q é ponto médio de PR, temos 
que a medida de PR é 2x. 
 
A fim de utilizar o cos 60° = 0,5 traçamos as 
projeções ortogonais de P e Q sobre a reta RL, 
encontrando os pontos S e U. Chamemos de T o 
ponto onde a bola branca encontra a lateral da 
mesa, e de “a” a distância ente S e T. Observe a 
figura com alguns resultados: 
 
 
 
No triângulo PRU, a hipotenusa é 2x. Utilizando cos 
60° = 0,5 temos que RU = 0,5 · 2x = x. 
No triângulo QRS, a hipotenusa é x. Utilizando cos 
60° = 0,5 temos que RS = 0,5x ou . 
Como os triângulos PRU e QRS são semelhantes 
pelo caso AAA em uma razão 2, temos que PU é o 
dobro de QS. 
Como os triângulos QST e PUT são semelhantes 
pelo caso AAA e sabendo que PU é o dobro de QS, 
temos que TU é o dobro de TS, e mede 2a. 
 
De acordo com todas as afirmações anteriores, 
podemos concluir que: 
RS = 
SU = 3a = x – = 
Logo, a = e 2a = . 
 
Aplicando agora o sen 60° nos triângulos QRS e 
PRU, temos que QS e PU medem, respectivamente, 
 e . 
Por fim, calculando tg α: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Para calcular o seno de θ, podemos utilizar a lei dos 
senos e, para tal, precisamos descobrir a medida y 
do lado QT, oposto ao ângulo de 60° no triângulo 
QRT. Utilizando Pitágoras no triângulo QST, temos: 
 
 
Aplicando a lei dos senos, temos: 
 
 
QUESTÃO 58 
GABARITO: 
a) Considere a figura a seguir em que G1 denota a 
gôndola 1 e C o centro da roda gigante. 
 
 
 
Do triângulo CNM, retângulo em N, temos 
sen 30° = ⇒ ⇒ h = 5 m. 
 
Como a plataforma de embarque está no mesmo 
nível do centro da roda gigante e esse se encontra a 
12 metros de altura do solo, segue que a altura H da 
gôndola 1 em relação ao solo é 
H = h + 12 = 5 + 12 ⇒ H = 17 m. 
 
b) Sabemos que os centros das gôndolas são 
vértices de um octógono regular, logo cada ângulo 
entre duas gôndolas consecutivas é igual a = 
45°. Sejam Gi e Gj duas gôndolas consecutivas. 
Logo C, Gi e Gj formam um triângulo isósceles de 
lado 10 m. 
 
 
 
Pela lei dos cossenos temos 
d
2
 = 10
2
 + 10
2
 – 2 × 10 × 10 × cos 45° 
⇒ d2 = 200 – 200 × 
⇒ d2 = 100(2 – ) 
⇒ d = 10 
Portanto, a distância entre duas gôndolas 
consecutivas é 10 metros. 
 
c) Temos que o comprimento da roda gigante tem 
medida igual à 2 r = 2 (10) = 20 . Devido à 
disposição das gôndolas, conforme o enunciado da 
questão, tem-se oito arcos congruentes, logo o 
comprimento do arco entre duas gôndolas 
consecutivas é: metros. 
	Exercícios de Geometria Plana.
	Lei dos senos e lei dos cossenos.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
	Questão 27
	Questão 28
	Questão 29
	Questão 30
	Questão 31
	Questão 32
	Questão 33
	Questão 34
	Questão 35
	Questão 36
	Questão 37
	Questão 38
	Questão 39
	Questão 40
	Questão 41
	Questão 42
	Questão 43
	Questão 44
	Questão 45
	Questão 46
	Questão 47
	Questão 48
	Questão 49
	Questão 50
	Questão 51
	Questão 52
	Questão 53
	Questão 54
	Questão 55
	Questão 56
	Questão 57
	Questão 58
	Questão 1
	A
	Resolução:
	Questão 2
	D
	Resolução:
	Questão 3
	A
	Resolução:
	Questão 4
	B
	Resolução:
	Questão 5
	C
	Resolução:
	Questão 6
	B
	Resolução:
	Questão 7
	B
	Resolução:
	Questão 8
	C
	Resolução:
	Questão 9
	B
	Resolução:
	Questão 10
	E
	Resolução:
	Questão 11
	C
	Resolução:
	Questão 12
	E
	Resolução:
	Questão 13
	E
	Resolução:
	Questão 14
	D
	Resolução:
	Questão 15
	D
	Resolução:
	Questão 16
	A
	Resolução:
	Questão 17
	D
	Resolução:
	Questão 18
	A
	Resolução:
	Questão 19
	B
	Resolução:
	Questão 20
	D
	Resolução:
	Questão 21
	A
	Resolução:
	Questão 22
	C
	Resolução:
	Questão 23
	D
	Resolução:
	Questão 24
	E
	Resolução:
	Questão 25
	C
	Resolução:
	Questão 26
	B
	Resolução:
	Questão 27
	D
	Resolução:
	Questão 28
	B
	Resolução:
	Questão 29
	C
	Resolução:
	Questão 30
	D
	Resolução:
	Questão 31
	B
	Resolução:
	Questão 32
	B
	Resolução:
	Questão 33
	C
	Resolução:
	Questão 34
	B
	Resolução:
	Questão 35
	A
	Resolução:
	Questão 36
	Gabarito:
	Questão 37
	Gabarito:
	Questão 38
	Gabarito:
	Questão 39
	Gabarito:
	Questão 40
	Gabarito:
	Questão 41
	Gabarito:
	Questão 42
	Gabarito:
	Questão 43
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 44
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 45
	Gabarito:
	Questão 46
	Gabarito:
	Questão 47
	Gabarito:
	Questão 48
	Gabarito:
	Questão 49
	Gabarito:
	Questão 50
	28
	Resolução:
	Questão 51
	Gabarito:
	Questão 52
	Gabarito:
	Questão 53
	Gabarito:
	Questão 54
	05
	Resolução:
	Questão 55
	24
	Resolução:
	Questão 56
	Gabarito:
	Questão 57
	Gabarito:
	Questão 58
	Gabarito: