Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

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MATRIZES, 
DETERMINANTES 
E 
SISTEMAS LINEARES 
Elaborado Por: 
Cristiano De Angelis 
Introdução 
Este trabalho tem como objetivos, reforçar conteúdos e introduzir 
conceitos matemáticos, através de Matrizes, Determinantes e 
Sistemas Lineares. É possível desenvolver atividades que envolvam, 
problemas, cálculos, algoritmos, combinatória, trigonometria, 
logaritmo, e uso de softwares. 
Sem dúvida, cabe ao ensino de matemática o desenvolvimento 
do raciocínio e nesse sentido matrizes, determinantes e sistemas 
lineares são interessantes para serem trabalhados, utilizando se 
possível material de apoio. 
Este trabalho está estruturado de tal forma que a parte teórica e 
os exercícios visam a exploração deste conteúdo. Num segundo 
momento, passamos a exercícios mais específicos, ligados a este 
conteúdo matemático como forma de exemplificar o uso do 
software como recurso didático. 
1. Matrizes 
 Matriz é um conjunto com elementos dispostos em linhas e 
colunas. 
 
Exemplo: 






534
463 1a linha 
 
2a linha 
1a coluna 
2a coluna 
3a coluna 
A = B = 













710
345
230
1a coluna 
2a coluna 
3a coluna 
1a linha 
2a linha 
3a linha 
 A indicação do número de linhas e colunas é chamada de 
ordem da matriz. Nos exemplos, A tem ordem (2X3) e B tem 
ordem (3X3), ou, simplesmente 3. Matriz quadrada é toda 
matriz que tem igual número de linhas e colunas (ordem n). 
 
 O elemento que está na linha i e coluna j é representado 
por aij. Desta forma, uma matriz genérica de ordem m x n é 
representada por: 












anmananan
maaaa
maaaa
...321
......
2...232221
1...131211
A = 
1.1 Matrizes Com Denominações 
Especiais 
 Matriz Linha 
 Matriz Coluna 
 Matriz Quadrada 
 * Diagonal principal de uma matriz quadrada 
 * Diagonal secundária de uma matriz quadrada 
 Matriz Nula 
 Matriz Diagonal 
 Matriz Identidade ou Unidade 
 Matriz Transposta 
 Matriz Simétrica 
 Matriz Oposta 
 Matriz Escalar 
Exercícios 
1. Determinar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz de ordem 3 
definida por aij = i + j. 
 
2. A transposta de uma matriz A= (aij) é a matriz A
T = (bij), tal que as linhas de 
uma são as colunas de outra. Se A tem ordem nxm, então At tem ordem mxn e 
bij = aji, para todo i e todo j. Determinar a matriz transposta da matriz de ordem 
2x3 definida por aij = i-j. 
 
3. Matriz identidade é toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal 
são iguais a 1e os demais iguais a zero. Quantos zeros tem uma matriz 
identidade de ordem n? 
 
4. Seja A de ordem 15x20 definida por aij = i - j + 10. Determinar o elemento b98 
de AT. 
1.2 Igualdade De Matrizes 
 Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, e 
somente se, os elementos que ocupam a mesma posição 
são iguais. 
SÓ EXISTE IGUALDADE DE MATRIZES QUE POSSUEM A MESMA ORDEM. 
Exemplo: 






4
2
x
8






4
2
1
y






nm
yx








54
27





54
27
nm
yx

 b) 
 = 
serão iguais se, e somente se: x = 1 e y = 8 
A = B = 
a) Estas matrizes, A e B: 
2. Operações Com Matrizes 
 Vamos apresentar as operações básicas com matrizes através de 
exemplos: 
A = B = C = 
 
 
a) A - 2.B = - = 
 
 
b) A . C = . = = 
 
 
c) A . B = . = = 
 





 
10
21





 
11
20






 201
011





 
10
21





 
22
40






 12
21





 
10
21






 201
011








200010
400121








201
413





 
10
21





 
11
20








1010
2220





 
11
42
d) B . A = . = = 
 
 
e) A . I = . = = 
 





 
11
20





 
10
21





 
10
21








1201
2000








11
20






10
01








1000
2001





 
10
21
 A.I = A, para qualquer matriz A (I é o 1 das matrizes). 
 
 Em geral A.B B.A (não comutativa). 
 
 Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B+C)=A.B + A.C 
(distributiva). 
 
 Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B.C)=(A.B).C 
(associativa). 

Exercícios 
1. Numa turma, os graus que seis alunos receberam em três provas bimestrais são 
dadas pela seguinte matriz A: 
 
 
 
 
 
 
A matriz B informa o peso de cada uma das provas: 2, 3 e 5 nesta ordem. B = 
 
Use as matrizes A e B para calcular as notas finais dos alunos e analise os graus 
dos aprovados e dos reprovados, sabendo que é necessário 60 pontos para 
aprovação. 
 
0 7 8
7 8 0
7 0 8
6 6 6
1 0 4 0
0 4 1 0


















2
3
5










2. Uma micro-empresa, em abril teve a seguinte matriz custo, 
 5 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3 0 0
distribuição Salário 
Aluguel, água, 
 luz,etc matéria prima 
Em maio houve vários aumentos, colocados na matriz B, 
 1 1 2 1 0 2 1 0 5 1 1 0, , , ,
A = 
B = 
Utilize A e B para calcular o custo total do mês de maio. Muitos empresários 
repassaram os 12% de aumento do salário mínimo para o preço do produto final, 
alegando que o custo aumentou 12%. 
3. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções arroz, carne e salada usados 
num restaurante: 
1
3
2










C = 
arroz 
carne 
salada 
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na 
composição dos pratos tipo P1, P2, P3 deste restaurante: 
2 1 1
1 2 1
2 1 0










P = 
Prato P1 
Prato P2 
Prato P3 
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é: 
7
9
8










4
4
4










9
11
4










2
6
8










2
2
4










(A) (B) (C) (D) (E) 
4. A matriz A = [aij]5x5, com i, j {1, 2, 3, 4 , 5}, revela um caminho ligando 
alguns pontos do desenho, onde aij = 1 significa: “existe uma ligação entre Pi e Pj ” 
e aij = 0 significa: “não existe uma ligação entre Pi e Pj ”. 
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
















A = P1 
P2 
P3 
P4 
P5 
Saindo de P1, sem repetir trechos, qual o ponto final do caminho? 
(A) P1 
(B) P2 
(C) P3 
(D) P4 
(E) P5 
3. Matriz Inversa 
 A inversa de uma matriz A, quando existir, é a matriz 
representada por tal que : = 
 
 
Exemplo: 
 
A
1
AA
1

I






15
16
A
1








65
11






15
16
 . 







65
11
 = 







6555
6656= 





10
01
 A = tem = como inversa, pois 
4. Determinantes e Sistemas 
Lineares 
4.1 Sistema De Equações Na Forma Matricial 
 Um sistema de equações do primeiro grau pode ser posto na 
forma matricial. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 A matriz A é chamada de MATRIZ PRINCIPAL, a X de MATRIZ DAS 
INCÓGNITAS e a B de MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES. 
Dado o sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
   
   
3 
2 8 7 4 
1 3 2 
y x 
z y x 
z y x 
, 
podemos colocá-lo na forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1 1 
8 7 4 
3 2 1 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
y 
x 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
2 
1 
, ou seja, A . X = B. 
 A X B 
4.2 Determinante De Uma Matriz De Ordem 2 
 
 Sistema genérico de duas equações e duas incógnitas: 




feydx
cbyax
 
bfbeydbx
cebeyaex


 
afaeyadx
cdbdyadx


bfcexbdae  )( afcdyaebd  )(
bfcex  afcdy  afad 
bdae  aebd  aebd 
bdafy 
bdae 
bdae
bfce


bdae
cdaf


(* -1) 
Assim temos: 
 
 x = e y = 
 
 
 Observamos que denominadores são iguais nas duas 
expressões, sendo formados pelos elementos da matriz principal 
do sistema. Se forem nulos, não poderemos determinar a solução 
(divisão por zero). 
 
 Desta forma, é este denominador que determina a existência e 
a unicidade da solução. Como poderíamos chamar algo que 
determina? 
Vamos definir e representar o determinante da matriz 
por 
 
 
 
 
 
Determinante de uma matriz de ordem 2 é o produto dos 
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da 
diagonal secundária. 






ed
ba
ed
ba
 = det (A) = ae - bd
4.3 Resolução De Um Sistema 2x2 Por Determinantes 
 
 Nas expressões encontradas para x e y observamos que os 
numeradores são também determinantes. Na primeira, a matriz 
utilizada teve a primeira coluna substituída pela matriz B. Na 
segunda expressão, foi substituída a segunda coluna. 
 
Exemplo: 




feydx
cbyax
  





ed
ba
 * 





y
x
 = 





f
c
bdae
bfce


bdae
cdaf

x = e y = 
 
Chamando 
 = det (A) = ae - bd,
,cdaf
fd
ca
yebfce
ef
bc
x  temos:






y
ye
x
x
 Esta regra, válida apenas se , é chamada de REGRA DE 
CRAMMER. 
0
4.4 Discussão de Um Sistema 2x2 
 Um sistema pode ser de três tipos: 
 
 
 DETERMINADO: possui uma única solução. 
 INDETERMINADO: possui mais de uma solução. 
 IMPOSSÍVEL: não possui solução. 
 
 
 x = 1 e y = 1 é o único par de soluções: Determinado. 
 
 x = 1 e y = 1, 
 x = 2 e y = 0 e 
 x = 0 e y = 2 são algumas das infinitas soluções: Indeterminado. 
 
 não tem solução: Impossível. 
 
 Podemos classificar um sistema analisando os determinantes. 
A regra de Crammer, ainda que válida apenas caso , nos 
induz à discussão do sistema. 
 
Vamos, por exemplo, considerar que: 
0
2
0
0
2
0
0
existe e é único 
não está definido 
tem infinitas respostas 
Assim, temos: 
0 Determinado 








00
0
0
youx
yx
e
Indeterminado 
Impossível 
4.5 Determinantes De Ordem n 
 
 Vimos a origem e o cálculo de um determinante de ordem 2. 
Este foi útil na resolução e discussão de um sistema de ordem 2, 
bem como na identificação de matrizes inversíveis de ordem 2. De 
forma análoga, podemos obter determinantes de ordens 
superiores a 2. 
 
a) Determinante De Ordem 3: 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Dada a matriz A = , temos: 
det(A)= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13 
 -a13 . a22 . a31 - a12 . a21 . a33 - a23 . a32 . a11 
Exemplo: 












112
140
321
 -4 - 4 + 0 
- 24 - 0 - 1 = -33 
= 
* No sentido da 
diagonal secundária 
troca-se o sinal. 
 No cálculo do det(A) observamos o seguinte: 
* Usamos 6 parcelas (fatorial de 3). 
* Cada parcela é o produto de 3 elementos da matriz. 
* Em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e 
coluna. 
* A metade das parcelas tem o sinal trocado. 
* A soma de n! parcelas. 
* Cada parcela é o produto de n elementos da matriz. 
* em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e 
coluna. 
* A metade das parcelas tem o sinal trocado. 
b) Determinate De Ordem n: 
 
 Com base no que foi observado no cálculo do determinante de 
ordem 3, temos que o determinante de uma matriz de ordem n é: 
 Vamos calcular o determinante através do baixamento de 
ordem. Desta forma determinantes de ordem superior a 3 são 
expressos em função de determinantes de ordem 3 e, então, 
calculados. Inicialmente, definimos co-fator cij de um elemento 
aij da matriz A: 
cij é o produto de pelo determinante da matriz obtida da A eliminando-
se a linha i e a coluna j. 
1
 ji( ) 
Para se obter o baixamento de ordem procede-se da seguinte forma: 
(1) Escolhe-se qualquer linha ou coluna da matriz. 
(2) Multiplica-se cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu 
co-fator. 
(3) Soma-se todos os produtos obtidos. 
4.6 Propriedades Dos Determinantes 
 
 As propriedades dos determinantes são decorrentes da 
definição de determinante. 
 As propriedades abaixo são enunciadas para as linhas de uma 
matriz quadrada A. 
 Contudo, são válidas também para as colunas. 
(1) Se A tem uma linha nula, então det(A) =0 
(2) Permutando-se duas linhas de A, det(A) inverte o sinal. 
(3) Se A tem duas linhas iguais, então det(A) =0 
(4) Se A tem duas linhas múltiplas, então det(A) =0 
(5) det(A.B) = det(A).det(B) 
(6) Multiplicando uma linha de A por k real, det(A) fica multiplicado por k. 
(7) Se Li e Lj são linhas de A e k é real, temos: 
 substituindo Li por Li + k.Lj, det (A) não se altera. 
Exemplo: 
321
111
cba
Sabendo que = 2, calcular 
222
311
333  cba
a b c  3 3 3
1 1 1
1 2 3
 Tocar a segunda linha pela terceira. 
 Substituindo a primeira linha pela segunda multiplicada por 
uma constante (3) somada com a primeira linha. 
a b c  3 3 3
1 2 3
1 1 1
 Multiplicar a terceira linha por uma constante (2). 
a b c  3 3 3
1 2 3
2 2 2
Determinante = 2 . (-1) . 2 = -4 
4.7 Cálculo Da Inversa De Uma Matriz De Ordem 2 
 
 Podemos calcular a inversa de uma matriz A de ordem 2 da 
seguinte forma: 
(1) Elementos da diagonal principal: trocar de posição. 
(2) Elementos da diagonal secundária: trocar de sinal. 
(3) Dividir todos os elementos por det(A). 
Resolução De Exercícios Com 
Auxílio de Software 
 
Conclusão 
O nosso objetivo com este trabalho, foi obter informações mais 
detalhadas a respeito de Matrizes, Determinantes e Sistemas 
Lineares. 
O desafio no qual a dupla se propôs foi descobrir outras formas 
de apresentar este conteúdo, apresentando também o uso de 
software para que de alguma forma possa facilitar a compreensão, 
descobrindo novas possibilidades de uso do material numa 
aplicação à sala de aula. 
Foi válida essa experiência, pois podemos perceber, a 
importânciado conteúdo e do “material concreto” no ensino da 
matemática, principalmente, pelo estímulo que ele traz, pois não 
desejamos que a matemática de hoje se torne monótona e repetitiva. 
Referências Bibliográficas 
BACCARO, Nelson. e CYRINO, Hélio. Matemática. segundo grau, volume 
2, editora Ática, 6a edição, p. 96 a 152. 
 
GENTIL, Nelson. e outros. Matemática para o 2o. grau. volume 2, editora 
Ática, 277 exercícios resolvidos e 754 exercícios propostos, p. 139 a 
208. 
 
MÓTTOLA, Paulo R. de Carvalho. Móttola Matemática pra o vestibular. 2a 
edição, p. 109 a 126. 
 
TEXEIRA, José Carlos. e outros. Matemática - Matrizes - Determinantes - 
Sistemas Lineares. livro 15, sistema anglo de ensino, Anglo Vestibulares, 
p. 1 a 86.