curso 11183 aula 05 v2

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Aula 05
Física p/ ENEM 2016
Professores: Vinicius Silva, Wagner Bertolini
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Curso de Física para o ENEM 2016 
Teoria e exercícios comentados 
Aula 05 ± Gravitação Universal. 
 
 
 
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SUMÁRIO PÁGINA 
1. Introdução 1 
2. Gravitação Universal 21 
2.1. Introdução Histórica 21 
2.2 As leis de Kepler. 22 
2.2.1 A primeira lei de Kepler 22 
2.2.2 Segunda lei de Kepler 23 
2.2.3 Terceira lei de Kepler 24 
2.3 A Lei da Gravitação Universal 25 
2.4. Campo gravitacional e a aceleração da gravidade. 26 
2.5. Corpos em órbita 30 
2.6. Energia potencial gravitacional 32 
2.7. Velocidade de escape. 32 
3. Questões Propostas 34 
4. Questões Comentadas 45 
5. Gabarito 75 
6. Fórmulas mais utilizadas na aula 75 
 
 
 
1. Introdução 
 
Olá minha querida amiga, meu querido amigo que nos acompanha no 
Estratégia ENEM, tudo bem com você? 
 
Espero que sim, pois a aula de hoje é fascinante. Nos levará às estrelas, 
literalmente. O tema da aula envolve o estudo dos astros, e dos corpos 
celestes, estamos falando da Gravitação Universal, esse tema de relevância 
importantíssima dentro das competências e habilidades do ENEM. 
 
Nessa aula vamos aprender as leis de Kepler, um pouco do histórico da 
gravitação universal, como calcular a aceleração da gravidade em seus 
diversos casos e ainda vamos aprender o que seria a energia potencial 
gravitacional do ponto de vista da gravitação. 
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Muita coisa nos espera, mas tenho a certeza de que você está preparado(a) 
e faremos uma aula muito interessante. 
 
Não deixe de assistir aos vídeos da teoria e exercícios resolvidos 
para você. 
 
2. Gravitação Universal 
 
A Gravitação Universal é um tema muito bacana, que estuda a interação 
dos astros por meio das forças gravitacionais. As forças gravitacionais 
foram descobertas por Isaac Newton, na mesma época em que ele 
descobriu as famosas Leis de Newton da dinâmica. 
 
2.1. Introdução Histórica 
 
Primeiro vamos fazer uma introdução história sobre o assunto. 
 
As primeiras ideias sobre gravitação surgiram há muito tempo, numa época 
em que a filosofia natural era muito influenciada pela filosofia clássica, 
pensadores como Ptolomeu pensavam como a IgreMD�³PDQGDYD´� 
 
Nesse sentido nasceu a ideia do geocentrismo, ou seja, a Terra era o 
considerada o centro do universo, isso foi ao encontro do que pensava a 
Igreja à Época, pois era uma ideia totalmente ligada ao antropocentrismo 
que considerava o homem o centro de tudo, nada mais justo que pensar 
na Terra, lugar onde o homem vivia, como o centro do universo. 
 
Essas ideias eram meramente oriundas de observações do universo e de 
alguns fenômenos. No entanto, não eram alicerçadas nos pilares do método 
científico. 
 
No entanto, o tempo passou, o mundo evoluiu e o método científico foi 
ganhando corpo dentro da comunidade científica e alguns pensadores 
ganharam destaque no assunto Gravitação. Eles tinham suas ideias 
baseadas em método científico. 
 
Por conta de todo o contexto da época esses pensadores foram fortemente 
criticados pela Igreja e sofreram muitas perseguições, mas a luta pela 
demonstração de suas teses superou qualquer perseguição e muitos deles 
como, por exemplo, Galileu, Copérnico e Kepler introduziram um novo 
modelo para o universo, o Heliocentrismo. 
Johannes Kepler (1571 ± 1630) foi um matemático e astrônomo alemão 
cuja principal contribuição à astronomia e astrofísica foram as três leis do 
movimento planetário. 
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Kepler estudou as observações do lendário astrônomo Tycho Brahe, e 
descobriu, por volta de 1605, que estas observações seguiam três leis 
matemáticas relativamente simples. Suas três leis do movimento 
planetário desafiavam a astronomia e a física de Aristóteles e Ptolomeu. 
Sua afirmação de que a Terra se movia, seu uso de elipses em vez de 
epiciclos, e sua prova de que as velocidades dos planetas variavam, 
mudaram a astronomia e a física. 
Em 1596, Kepler publicou Mysterium Cosmographicum, onde expôs 
argumentos favoráveis às hipóteses heliocêntricas. Em 1609 publicou 
$VWURQRPLD�1RYD«�'H�0RWLEXV�6WHOODH�0DUWLV, onde apresentou as três leis 
do movimento dos planetas, que hoje levam seu nome:[1] 
x Os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol num dos 
focos. 
 
x O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais 
em tempos iguais. (lei das áreas) 
 
x Os quadrados dos períodos de revolucão (T) são proporcionais 
aos cubos das distâncias médias (a) do Sol aos planetas. T2 = 
ka3, onde k é uma constante de proporcionalidade. 
O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela 
falta de simetria decorrente do fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e 
o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo. 
2.2 As leis de Kepler. 
 
É importante lembrar que as leis de Kepler descrevem o movimento dos 
planetas tomando como referencial o Sol. 
 
2.2.1 A primeira lei de Kepler 
 
Primeira lei de Kepler (lei das órbitas): 
 
 
 
 
 
 
 
³Os planetas descrevem órbitas 
elípticas em torno do Sol, o qual 
ocupa um dos focos da elipse´. 
 
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F1 F2Sol
Planeta
 
 
Figura ± Planeta girando em torno do sol em uma órbita elíptica. 
Observação: Relembrando a Matemática. 
 
Elipse é o lugar geométrico dos pontos cujas soma das distâncias a 
dois pontos fixos denominados focos (F1 e F2) é constante. 
F1 F2
P (x,y)
 
Figura ± elipse. 
 
 
2.2.2 Segunda lei de Kepler 
 
 
 
 
 
 
 
F1 Sol
Planeta
A
 
 
³A reta imaginária que liga o Sol ao 
planeta descreve áreas proporcionais aos 
intervalos de tempo dos percursoV´. 
 
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F1 
Sol
Planeta
A2A1�'t1 �'t2
 
 
Ou seja, 
 
 '
'Ÿ '
1 1
2 2
.A k t
A t
A t 
 
$�FRQVWDQWH�³N´�p�FKDPDGD�GH�YHORFLGDGH�DUHRODU. 
 
Observações: 
 
x Note que essa constante mede a variação da área com o intervalo 
de tempo. 
 
x A Os corpos não se movem com velocidades constantes ao redor do 
sol, a velocidade é tanto maior quanto menor for a distância do corpo 
ao Sol. 
 
 
x O ponto mais próximo do Sol chama-se periélio enquanto que o 
ponto mais afastado chama-se afélio, a velocidade do planeta é 
maior no periélio que no afélio. No afélio a velocidade da Terra é de 
aproximadamente 29,3 km/h enquanto que no periélio é de 30,2 
km/s 
 
 
2.2.3 Terceira lei de Kepler 
 
 
 
 
 
 
³Também conhecida como lei dos períodos, afirma 
que o quadrado do período de translação de um planeta é 
diretamente proporcional ao cubo do raio médio da 
respectiva órbita´. 
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F1 Sol
Planeta
Centro
Periélio Afélio
Rp Ra 
Raio médio
 
Observe a figura e note que o raio médio é igual a média aritmética entre 
Ra e Rp. Então, 
 
2
A P
M
R RR � 
 
 
Do enunciado da 3ª lei de Kepler, podemos escrever a seguinte relação: 
 
2 3T KR 
 
A constante de proporcionalidade K é diferente da constante da 2ª lei a 
qual traduz a velocidade areolar, na 3ª lei, a constante de 
proporcionalidade depende da massa do Sol e do planeta. 
 
Observação: Na grande maioria das questões a órbita será considerada 
circular, logo não será necessário o cálculo do raio médio. 
 
2.3 A Lei da Gravitação Universal 
 
Newton também deu sua parcela de contribuição para a gravitação. Foi ele 
quem pensou em uma lei matemática que descrevesse a força com que a 
Terra atraia tudo que estivesse ao seu redor. 
 
Estamos falando da famosa história da maçã que caiu em sua cabeça. 
 
Foi aquilo que levou Newton a pensar em um modelo matemático que 
descrevesse esse fenômeno de forma precisa e que pudesse, a partir disso, 
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mostrar muitas outras influências da atração terrestre sobre os corpos que 
estão inseridos no seu campo gravitacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matematicamente a lei acima é traduzida pela seguinte expressão: 
 
 
2
. .G M mF
d
 
 
 
M
m
d
F F
 
Essa expressão é a famosa lei da gravitação universal, onde G é a constante 
de gravitação universal e assume o valor de 6,67. 10-11 Nm²/kg². 
 
2.4. Campo gravitacional e a aceleração da gravidade. 
 
A Terra, por ter uma massa muito elevada, cria nas suas proximidades um 
campo de força denominado campo gravitacional, essa particularidade não 
é uma propriedade exclusiva da Terra, mas também de vários corpos de 
massa elevada. 
 
Duas massas atraem-se com forças cujas 
intensidades são diretamente proporcionais às 
massas e inversamente proporcionais ao 
quadrado da distância que o separa os seus 
centros. 
 
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m
Terra
M
R
F
r
 
 
A essa força que o planeta exerce sobre os corpos que estão próximos a 
sua superfície, quando podemos desprezar r quando em comparação com 
R, denominou-se de peso. A sua definição matemática é a seguinte: 
 
m
Terra
M
R
F
 
 
 
P = m.g, onde g é a intensidade do vetor campo gravitacional. 
 
Igualando as expressões do peso e da força gravitacional da lei da 
gravitação universal, temos: 
 
 
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2
2
. .
.
.
G M m
m g
d
G Mg
d
 
 
 
Denominou-VH�GH�DFHOHUDomR�GD�JUDYLGDGH�R�YDORU�GH�³J´��RX�VHMD�R�YDORU�
de g calculado por meio da expressão acima resulta no valor da aceleração 
da gravidade nas proximidades da superfície da Terra. 
 
 
 
 
 
 
Sim, existe uma outra fórmula a qual considera a distancia entre o centro 
do corpo e o centro da terra , observe: 
 
m
Terra
M
R
Fr
 
 
Nesse caso, devemos levar em consideração a distância efetiva entre o 
corpo e a Terra, logo teremos: 
 
Professor, e existe alguma outra 
fórmula pra calculaU�R�YDORU�GH�³J´�HP�
outras situações em que não seja nas 
proximidades da terra? 
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� �
2
2
. .
.
.
G M m
m g
d
G Mg
R r
 
 � 
 
Outros três casos menos frequentes em concursos é o cálculo do campo 
gravitacional no interior a Terra, e em uma latitude qualquer T, observe as 
fórmulas seguintes: 
 
 Nesse caso o campo gravitacional é dado por: 
 
 I) campo no interior da Terra 
r
Terra
R
 
 
4
3
g G d rS§ · ˜¨ ¸© ¹ 
 
Onde G é a constante de gravitação universal e d é a densidade de massa 
do planeta. 
 
II) em uma latitude qualquer: 
 
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R T
r
 
Nesse caso o valor para a aceleração da gravidade é dado pela expressão: 
 
2 2
2 cos
GMg R
R
Z T �
 
 
Logo, da expressão acima podemos chegar a expressão da gravidade no 
equador, fazendo T = 0°, e admitindo que GM/R² é a gravidade nos pólos, 
onde T = 90°, temos: 
 
2
0g g RZ � 
 
Aceleração da gravidade no equador. 
 
A conclusão é que no equador a gravidade assume valor mínimo, enquanto 
que nos polos a gravidade é máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
Cuidado! Não confunda os conceitos de peso e de massa, no equador, 
realmente seu peso será menor, logo a atração que a Terra fará sobre o 
Professor, quer dizer que se eu quiser ficar 
mais magro, devo pegar um avião para um 
lugar que fique perto da linha do equador, 
pois lá meu peso será menor? 
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seu corpo será menor, mas a sua massa continuará sendo a mesma, pois 
ela diz respeito à quantidade de matéria que você possui. 
 
Graficamente podemos então assim descrever o comportamento do campo 
gravitacional de acordo com a distância ao centro da Terra: 
 
 
 
2.5. Corpos em órbita 
 
Quando um satélite orbita em torno da Terra ou em torno de qualquer corpo 
de massa elevada ele descreve um movimento circular com velocidade 
constante e um período constante também, vamos aprender agora a 
calcular essas duas grandezas: 
 
Observação: todo satélite que orbita em órbita geoestacionária tem o 
mesmo período de rotação da terra (24h) 
 
Observe a figura abaixo: 
 
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F
R
h
V
V
V
 
I) Velocidade: 
 
Perceba que a força de atração gravitacional entre os corpos é a única força 
do sistema que aponta para o centro da trajetória curvilínea que o satélite 
descreve, então ela se comporta como resultante centrípeta e a aceleração 
da gravidade na altitude h é a aceleração centrípeta, então equacionando:� �
� �
2
2
2
2 ,
cp h
v GM
a e g
r R h
igualando
v GM
mas r R h
r R h
GM
v
R h
 
�
 �
�
Ÿ �
 
 
Essa expressão permite calcular a velocidade do satélite, mas se o período 
é o intervalo de tempo 't que o satélite necessita para percorrer uma volta 
em sua órbita, então: 
 
� �
� �3
2
2
2
rT
V
R h
T
GM
R h
R h
T
GM
S
S
S
 
�Ÿ 
�
�Ÿ 
 
 
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Por meio dessa expressão, calculamos o período. 
 
Caso tenhamos h desprezível em relação a R, caso de um satélite rasante, 
então: 
 
3GM R
v e T
R GM
 
 
 
Essa expressão é muito comum em provas, você vai em cima da fórmula e 
mata a questão facilmente. 
 
2.6. Energia potencial gravitacional 
 
Pode-se demonstrar que a energia potencial gravitacional, adotando-se o 
referencial no infinito, é dada por: 
 
p
MmE G
r
 �
 
 
Onde r é a distância entre o corpo em questão e o centro do planeta que 
gera o campo gravitacional. 
 
 
 
 
A energia potencial calculada por meio dessa fórmula é válida apenas nas 
proximidades da Terra, é uma aproximação, e na verdade ela traduz a 
diferença de energia potencial gravitacional entre dois níveis desnivelados 
SRU�³K´� 
 
2.7. Velocidade de escape. 
 
Velocidade de escape é a menor velocidade que deve-se lançar um corpo 
da superfície terrestre, de tal sorte que ele escape do campo gravitacional 
da Terra, não voltando mais para a sua superfície. 
 
 
Professor, e a energia potencial que 
eu aprendi que vale mgh? Eu aprendi 
isso nas aulas de energia, como eu 
vou diferenciar? 
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Demonstração: 
 
A
B
R
Terra
Infinito
 
 
 
 
� 
§ ·� � ¨ ¸© ¹
 
2
0
2
2
A B
A A B
mec mec
c P P
E E
E E E
mv MmG
R
GM
v
R
 
 
Substituindo os valores das constantes, para o caso da Terra, V0 = 11,3 
km/s. Haja velocidade, meu amigo! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Questões Propostas 
 
01. (Unicamp 2015) A primeira lei de Kepler demonstrou que os planetas 
se movem em órbitas elípticas e não circulares. A segunda lei mostrou que 
os planetas não se movem a uma velocidade constante. 
PERRY, Marvin. Civilização Ocidental: uma história concisa. São Paulo: 
Martins Fontes, 1999, p. 289. (Adaptado) 
 
É correto afirmar que as leis de Kepler 
 
a) confirmaram as teorias definidas por Copérnico e são exemplos do 
modelo científico que passou a vigorar a partir da Alta Idade Média. 
b) confirmaram as teorias defendidas por Ptolomeu e permitiram a 
produção das cartas náuticas usadas no período do descobrimento da 
América. 
c) são a base do modelo planetário geocêntrico e se tornaram as premissas 
cientificas que vigoram até hoje. 
d) forneceram subsídios para demonstrar o modelo planetário heliocêntrico 
e criticar as posições defendidas pela Igreja naquela época. 
 
2. (ENEM 2013) A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, 
estabelece a intensidade da força de atração entre duas massas. Ela é 
representada pela expressão: 
 
1 2
2
m mF G
d
 
 
onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, d à distância entre eles, 
G à constante universal da gravitação e F à força que um corpo exerce 
sobre o outro. 
O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de 
mesma massa, orbitando a Terra. 
 
 
 
Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre 
cada satélite em função do tempo? 
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±
 
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
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3. (ENEM PPL 2015) Observações astronômicas indicam que no centro 
de nossa galáxia, a Via Láctea, provavelmente exista um buraco negro cuja 
massa é igual a milhares de vezes a massa do Sol. Uma técnica simples 
para estimar a massa desse buraco negro consiste em observar algum 
objeto que orbite ao seu redor e medir o período de uma rotação completa, 
T, bem como o raio médio, R, da órbita do objeto, que supostamente se 
desloca, com boa aproximação, em movimento circular uniforme. Nessa 
situação, considere que a força resultante, devido ao movimento circular, 
é igual, em magnitude, à força gravitacional que o buraco negro exerce 
sobre o objeto. 
A partir do conhecimento do período de rotação, da distância média e da 
constante gravitacional, G, a massa do buraco negro é 
a) 
2 2
2
4 R
.
GT
Ɏ 
b) 
2 3
2
R
.
2GT
Ɏ 
c) 
2 3
2
2 R
.
GT
Ɏ 
d) 
2 3
2
4 R
.
GT
Ɏ 
e) 
2 5
2
R
.
GT
Ɏ 
 
4. (Fuvest 2015) A QRWtFLD� ³6DWpOLWH� EUDVLOHLUR� FDL� QD� 7HUUD� DSyV�
ODQoDPHQWR� IDOKDU´�� YHLFXODGD� SHOR� MRUQDO� O Estado de S. Paulo de 
10/12/2013, relata que o satélite CBERS-3, desenvolvido em parceria entre 
Brasil e China, foi lançado no espaço a uma altitude de 720 km (menor do 
que a planejada) e com uma velocidade abaixo da necessária para colocá-
lo em órbita em torno da Terra. Para que o satélite pudesse ser colocado 
em órbita circular na altitude de 720 km, o módulo de sua velocidade (com 
direção tangente à órbita) deveria ser de, aproximadamente, 
 
Note e adote: 
- 3raio da Terra 6 10 km u 
- 24massa da Terra 6 10 kg u 
- constante da gravitação universal � �11 3 2G 6,7 10 m / s kg� u 
a) 61km / s 
b) 25 km / s 
c) 11km / s 
d) 7,7 km / s 
e) 3,3 km / s 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
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A(s) questão(ões) a seguir refere(m)-se ao texto abaixo. 
 
Em seu livro O pequeno príncipe, Antoine de Saint-Exupéry imaginou 
haver vida em certo planeta ideal. Tal planeta teria dimensões curiosas e 
grandezas gravitacionais inimagináveis na prática. Pesquisas científicas, 
entretanto, continuam sendo realizadas e não se descarta a possibilidade 
de haver mais planetas no sistema solar, além dos já conhecidos. 
Imagine um hipotético planeta, distante do Sol 10 vezes mais longe 
do que a Terra se encontra desse astro, com massa 4 vezes maior que a 
terrestre e raio superficial igual à metade do raio da Terra. Considere a 
aceleração da gravidade na superfície da Terra expressa por g.5. (Fgv 2015) Esse planeta completaria uma volta em torno do Sol em 
um tempo, expresso em anos terrestres, mais próximo de 
a) 10. 
b) 14. 
c) 17. 
d) 28. 
e) 32. 
 
6. (Fgv 2015) Um objeto, de massa m, a uma altura h acima do solo 
desse planeta, com h muito menor do que o raio superficial do planeta, 
teria uma energia potencial dada por m g h˜ ˜ multiplicada pelo fator 
a) 10. 
b) 16. 
c) 32. 
d) 36. 
e) 54. 
 
7. (Unesp 2014) Saturno é o sexto planeta a partir do Sol e o segundo 
maior, em tamanho, do sistema solar. Hoje, são conhecidos mais de 
sessenta satélites naturais de Saturno, sendo que o maior deles, Titã, está 
a uma distância média de 1 200 000 km de Saturno e tem um período de 
translação de, aproximadamente, 16 dias terrestres ao redor do planeta. 
 
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Tétis é outro dos maiores satélites de Saturno e está a uma distância média 
de Saturno de 300 000 km. 
Considere: 
 
 
 
O período aproximado de translação de Tétis ao redor de Saturno, em dias 
terrestres, é 
a) 4. 
b) 2. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
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8. (Unesp 2013) No dia 5 de junho de 2012, pôde-se observar, de 
determinadas regiões da Terra, o fenômeno celeste chamado trânsito de 
Vênus, cuja próxima ocorrência se dará em 2117. 
 
 
 
Tal fenômeno só é possível porque as órbitas de Vênus e da Terra, em torno 
do Sol, são aproximadamente coplanares, e porque o raio médio da órbita 
de Vênus é menor que o da Terra. 
Portanto, quando comparado com a Terra, Vênus tem 
 
a) o mesmo período de rotação em torno do Sol. 
b) menor período de rotação em torno do Sol. 
c) menor velocidade angular média na rotação em torno do Sol. 
d) menor velocidade escalar média na rotação em torno do Sol. 
e) menor frequência de rotação em torno do Sol. 
 
9. (Fgv 2013) A massa da Terra é de 246,0 10 kg˜ , e a de Netuno é de 
261,0 10 kg˜ . A distância média da Terra ao Sol é de 111,5 10 m˜ , e a de Netuno 
ao Sol é de 124,5 10 m˜ . A razão entre as forças de interação Sol-Terra e Sol-
Netuno, nessa ordem, é mais próxima de 
a) 0,05. 
b) 0,5. 
c) 5. 
d) 50. 
e) 500. 
 
10. (Epcar (Afa) 2012) A tabela a seguir resume alguns dados sobre 
dois satélites de Júpiter. 
 
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Nome 
Diâmetro 
aproximado 
(km) 
Raio médio da órbita 
em relação ao centro 
de Júpiter (km) 
Io 33,64 10˜ 54,20 10˜ 
Europa 33,14 10˜ 56,72 10˜ 
 
Sabendo-se que o período orbital de Io é de aproximadamente 1,8 dia 
terrestre, pode-se afirmar que o período orbital de Europa expresso em 
dia(s) terrestre(s), é um valor mais próximo de 
a) 0,90 
b) 1,50 
c) 3,60 
d) 7,20 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos 
anos. As figuras abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a de 
maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são 
circulares, que o raio da órbita terrestre T(R ) mede 111,5 10 m˜ e que o raio da 
órbita de Júpiter J(R ) equivale a 117,5 10 m˜ . 
 
 
 
 
11. (Unicamp 2012) De acordo com a terceira lei de Kepler, o período 
de revolução e o raio da órbita desses planetas em torno do Sol obedecem 
à relação 
2 3
J J
T T
T R
T R
§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
 em que em que JT e TT são os períodos de Júpiter e 
da Terra, respectivamente. Considerando as órbitas circulares 
representadas na figura, o valor de JT em anos terrestres é mais próximo 
de 
a) 0,1. 
b) 5. 
c) 12. 
d) 125. 
 
12. (Unicamp 2012) A força gravitacional entre dois corpos de massa 1m
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e 2m tem módulo 1 22
m mF G
r
 , em que r é a distância entre eles e 
2
11
2
NmG 6,7 10
kg
� ˜ . Sabendo que a massa de Júpiter é 27Jm 2,0 10 kg ˜ e que a 
massa da Terra é 24Tm 6,0 10 kg ˜ , o módulo da força gravitacional entre 
Júpiter e a Terra no momento de maior proximidade é 
a) 181,4 10 N˜ 
b) 182,2 10 N˜ 
c) 193,5 10 N˜ 
d) 301,3 10 N˜ 
 
13. (Unicamp simulado 2011) Em 1665, Isaac Newton enunciou a Lei 
da Gravitação Universal, e dela pode-se obter a aceleração gravitacional a 
uma distância d de um corpo de massa M , dada por � �2Mg G ,d sendo G = 
6,7 x 10í11 Nm2 /kg2 a constante de gravitação universal. Sabendo-se o 
valor de G, o raio da Terra, e a aceleração da gravidade na superfície da 
Terra, foi possível encontrar a massa da Terra, Mt = 6,0 x 1024 kg. 
A aceleração gravitacional sobre um determinado satélite orbitando a Terra 
é igual a g = 0,25m/s2. 
 
A distância aproximada do satélite ao centro da Terra é de 
a) 1,7 x 103 km. 
b) 4,0 x 104 km. 
c) 7,0 x 103 km. 
d) 3,8 x 105 km. 
 
14. (Espcex (Aman) 2011) O campo gravitacional da Terra, em 
determinado ponto do espaço, imprime a um objeto de massa de 1 kg a 
aceleração de 25m / s . A aceleração que esse campo imprime a um outro 
objeto de massa de 3 kg, nesse mesmo ponto, é de: 
a) 20,6m / s 
b) 21m / s 
c) 23m / s 
d) 25m / s 
e) 215m / s 
 
15. (Unb 2011) O problema de dois corpos é muito utilizado em sistemas 
de química teórica. Foi originalmente aplicado e resolvido por Newton como 
um sistema composto por um único planeta e um único sol, supostamente 
estático, utilizadas a lei da gravitação e suas leis de movimento. Entretanto, 
para o problema de um planeta orbitando sob a ação de dois sóis, a solução 
analítica desse sistema mostrou-se impossível. O problema de três corpos 
é um exemplo típico de sistema caótico. A transição entre um regime 
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ordenado e um caótico pode ser observada na fumaça expelida pela ponta 
de um cigarro. Inicialmente, a fumaça se eleva conforme um fluxo suave e 
ordenado, denominado fluxo laminar. Poucos centímetros acima observa-
se um comportamento desordenado e turbulento da fumaça. No caso de 
sistemas populacionais biológicos, sabe-se que, devido a efeitos de 
predação e de quantidade limitada de alimento, o sistema eventualmente 
atinge o estado caótico. 
 
Considerando o texto acima e o assunto nele abordado, julgue os itens 
seguintes. 
 
a) Sistemas químicos com propriedades precisamente definidas, como, por 
exemplo, o da molécula de 2H
� , não podem ser modelados como 
problemas que envolvem três corpos. 
b) No caso da fumaça do cigarro, o aparecimento de um fluxo turbulento 
decorre do aumento da velocidade de escoamento causado pelo empuxo. 
b) É impossível que um indivíduo colocadono interior de um elevador em 
queda livre e, depois, em um elevador acelerado no espaço interestelar 
distinga, com base nas experiências realizadas no interior dos elevadores, 
se está no elevador no espaço ou no elevador em queda livre. 
c) Se a distância entre a Terra e o Sol for quatro vezes maior no afélio que 
no periélio, a velocidade linear da Terra, no ponto mais afastado do Sol, 
será duas vezes menor em relação àquela apresentada no ponto mais 
próximo. 
d) O fenômeno das marés, que não pode ser explicado, nem mesmo 
parcialmente, por meio da lei de gravitação universal, é uma evidência 
de que o sistema planetário no qual a Terra se encontra é caótico, tal 
qual definido no texto. 
 
16. (Unesp 2007) Dois satélites giram ao redor da Terra em órbitas 
circulares de raios R1 e R2, com velocidades v1 e v2, respectivamente. Se 
R2 tiver o dobro do valor de R1, pode-se dizer que 
a) 2 1v v 2. 
b) 2 1
2
v v .
2
§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
 
c) � �2 1v 2 v . 
d) 2 1v 2v . 
e) 2 1v 4v . 
 
 
17. (ENEM 2012) A característica que permite identificar um planeta no 
céu é o seu movimento relativo às estrelas fixas. Se observarmos a posição 
de um planeta por vários dias, verificaremos que sua posição em relação 
às estrelas fixas se modifica regularmente. A figura destaca o movimento 
de Marte observado em intervalos de 10 dias, registrado da Terra. 
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Qual a causa da forma da trajetória do planeta Marte registrada na figura? 
a) A maior velocidade orbital da Terra faz com que, em certas épocas, ela 
ultrapasse Marte. 
b) A presença de outras estrelas faz com que sua trajetória seja desviada 
por meio da atração gravitacional. 
c) A órbita de Marte, em torno do Sol, possui uma forma elíptica mais 
acentuada que a dos demais planetas. 
d) A atração gravitacional entre a Terra e Marte faz com que este planeta 
apresente uma órbita irregular em torno do Sol. 
e) A proximidade de Marte com Júpiter, em algumas épocas do ano, faz 
com que a atração gravitacional de Júpiter interfira em seu movimento. 
 
18. (ENEM ± 2009) O ônibus espacial Atlantis foi lançado ao espaço com 
cinco astronautas a bordo e uma câmera nova, que iria substituir uma outra 
danificada por um curto-circuito no telescópio Hubble. Depois de entrarem 
em órbita a 560 km de altura, os astronautas se aproximaram do Hubble. 
Dois astronautas saíram da Atlantis e se dirigiram ao telescópio. Ao abrir a 
porta de acesso, um deles exclamou: "Esse telescópio tem a massa grande, 
mas o peso é pequeno." 
 
 
 
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Considerando o texto e as leis de Kepler, pode-se afirmar que a frase dita 
pelo astronauta 
 
A) se justifica porque o tamanho do telescópio determina a sua massa, 
enquanto seu pequeno peso decorre da falta de ação da aceleração da 
gravidade. 
B) se justifica ao verificar que a inércia do telescópio é grande comparada 
à dele próprio, e que o peso do telescópio é pequeno porque a atração 
gravitacional criada por sua massa era pequena. 
C) não se justifica, porque a avaliação da massa e do peso de objetos em 
órbita tem por base as leis de Kepler, que não se aplicam a satélites 
artificiais. 
D) não se justifica, porque a força-peso é a força exercida pela gravidade 
terrestre, neste caso, sobre o telescópio e é a responsável por manter o 
próprio telescópio em órbita. 
E) não se justifica, pois a ação da força-peso implica a ação de uma força 
de reação contrária, que não existe naquele ambiente. A massa do 
telescópio poderia ser avaliada simplesmente pelo seu volume. 
 
19. (ENEM ± 2009) Na linha de uma tradição antiga, o astrônomo grego 
Ptolomeu (100-170 d.C.) afirmou a tese do geocentrismo, segundo a qual 
a Terra seria o centro do universo, sendo que o Sol, a Lua e os planetas 
girariam em seu redor em órbitas circulares. A teoria de Ptolomeu resolvia 
de modo razoável os problemas astronômicos da sua época. Vários séculos 
mais tarde, o clérigo e astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543), 
ao encontrar inexatidões na teoria de Ptolomeu, formulou a teoria do 
heliocentrismo, segundo a qual o Sol deveria ser considerado o centro do 
universo, com a Terra, a Lua e os planetas girando circularmente em torno 
dele. Por fim, o astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-
1630), depois de estudar o planeta Marte por cerca de trinta anos, verificou 
que a sua órbita é elíptica. Esse resultado generalizou-se para os demais 
planetas. 
A respeito dos estudiosos citados no texto, é correto afirmar que 
 
A) Ptolomeu apresentou as ideias mais valiosas, por serem mais antigas e 
tradicionais. 
B) Copérnico desenvolveu a teoria do heliocentrismo inspirado no contexto 
político do Rei Sol. 
C) Copérnico viveu em uma época em que a pesquisa científica era livre e 
amplamente incentivada pelas autoridades. 
D) Kepler estudou o planeta Marte para atender às necessidades de 
expansão econômica e científica da Alemanha. 
E) Kepler apresentou uma teoria científica que, graças aos métodos 
aplicados, pôde ser testada e generalizada. 
 
 
 
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4. Questões Comentadas 
 
01. (Unicamp 2015) A primeira lei de Kepler demonstrou que os planetas 
se movem em órbitas elípticas e não circulares. A segunda lei mostrou que 
os planetas não se movem a uma velocidade constante. 
PERRY, Marvin. Civilização Ocidental: uma história concisa. São Paulo: 
Martins Fontes, 1999, p. 289. (Adaptado) 
 
É correto afirmar que as leis de Kepler 
 
a) confirmaram as teorias definidas por Copérnico e são exemplos do 
modelo científico que passou a vigorar a partir da Alta Idade Média. 
b) confirmaram as teorias defendidas por Ptolomeu e permitiram a 
produção das cartas náuticas usadas no período do descobrimento da 
América. 
c) são a base do modelo planetário geocêntrico e se tornaram as premissas 
cientificas que vigoram até hoje. 
d) forneceram subsídios para demonstrar o modelo planetário heliocêntrico 
e criticar as posições defendidas pela Igreja naquela época. 
 
Resposta: item D. 
 
Comentário: 
 
Item A. Incorreto. A época em que isso ocorreu não foi na alta idade média, 
foi por volta do século XVI que Nicolau Copérnico (1473-1543) apresentou 
um modelo heliocêntrico, em que o Sol estava no centro do universo. 
 
Kepler era defensor do Heliocentrismo e Copérnico também. Ambos 
basearam as suas conclusões no método científico. 
 
Item B: Incorreto. Ptolomeu era defensor do Geocentrismo, portanto, 
contrário pensamentos de Kepler. 
 
Item C: Incorreto. Geocêntrico não! Kepler era defensor do heliocentrismo. 
 
Item D: Correto. As Leis de Kepler foram fundamentais para a 
demonstração do modelo heliocêntrico, que era rebatido pela Igreja, que, 
a época defendia ideias ligadas ao antropocentrismo. 
 
2. (ENEM 2013) A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, 
estabelece a intensidade da força de atração entre duas massas. Ela é 
representada pela expressão: 
 
1 2
2
m mF G
d
 
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onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, d à distância entre eles, 
G à constante universal da gravitação e F à força que um corpo exerce 
sobre o outro. 
O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de 
mesma massa, orbitando a Terra. 
 
 
 
Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre 
cada satélite em função do tempo? 
a) 
b) 
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±
 
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c) 
d) 
e) 
 
Resposta: item B. 
 
Comentário: 
 
A força é constante com o tempo, ela não depende do tempo, mas depende 
da distância entre os satélites e das massas envolvidas. As massas são 
iguais para todos, conforme o enunciado. 
 
Assim, basta a gente escolher um gráfico constante com o tempo. 
 
Quanto aos planetas, aqueles que estão mais perto terão forças maiores, 
enquanto que os que estão mais longe terão forças menores. 
 
Assim, o item que satisfaz é o B. 
 
3. (ENEM PPL 2015) Observações astronômicas indicam que no centro 
de nossa galáxia, a Via Láctea, provavelmente exista um buraco negro cuja 
massa é igual a milhares de vezes a massa do Sol. Uma técnica simples 
para estimar a massa desse buraco negro consiste em observar algum 
objeto que orbite ao seu redor e medir o período de uma rotação completa, 
T, bem como o raio médio, R, da órbita do objeto, que supostamente se 
desloca, com boa aproximação, em movimento circular uniforme. Nessa 
situação, considere que a força resultante, devido ao movimento circular, 
é igual, em magnitude, à força gravitacional que o buraco negro exerce 
sobre o objeto. 
 
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A partir do conhecimento do período de rotação, da distância média e da 
constante gravitacional, G, a massa do buraco negro é 
a) 
2 2
2
4 R
.
GT
Ɏ 
b) 
2 3
2
R
.
2GT
Ɏ 
c) 
2 3
2
2 R
.
GT
Ɏ 
d) 
2 3
2
4 R
.
GT
Ɏ 
e) 
2 5
2
R
.
GT
Ɏ 
 
Resposta: item D. 
 
Comentário: 
 
Vamos utilizar a fórmula do período vista na parte teórica para encontrar a 
massa do buraco negro. Basta isolar a massa que temos na fórmula 
estudada. A massa será a do buraco negro, pois é ele que atrai os corpos 
para o seu centro. 
 
S
S
S
Ÿ 
 
 
3
3
2 2
2 3
2
2
4. .
4.
RT
GM
RT
GM
RM
GT
 
 
4. (Fuvest 2015) A QRWtFLD� ³6DWpOLWH� EUDVLOHLUR� FDL� QD� 7HUUD� DSyV�
ODQoDPHQWR� IDOKDU´�� YHLFXODGD� SHOR� MRUQDO� O Estado de S. Paulo de 
10/12/2013, relata que o satélite CBERS-3, desenvolvido em parceria entre 
Brasil e China, foi lançado no espaço a uma altitude de 720 km (menor do 
que a planejada) e com uma velocidade abaixo da necessária para colocá-
lo em órbita em torno da Terra. Para que o satélite pudesse ser colocado 
em órbita circular na altitude de 720 km, o módulo de sua velocidade (com 
direção tangente à órbita) deveria ser de, aproximadamente, 
 
Note e adote: 
- 3raio da Terra 6 10 km u 
- 24massa da Terra 6 10 kg u 
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- constante da gravitação universal � �11 3 2G 6,7 10 m / s kg� u 
a) 61km / s 
b) 25 km / s 
c) 11km / s 
d) 7,7 km / s 
e) 3,3 km / s 
 
Resposta: item D. 
 
Comentário: 
 
Vamos utilizar a fórmula da velocidade de rotação do satélite em torno de 
um planeta. Lembre-se de considerar a altitude do satélite. 
 
�
�
 �
 
 
 
11 24
3
11 24
6
6,7.10 .6,0.10
6,72.10
6,7.10 .6,0.10
6,72.10
7,7 /
GM
v
R h
v
v
v km s
 
 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
A(s) questão(ões) a seguir refere(m)-se ao texto abaixo. 
 
Em seu livro O pequeno príncipe, Antoine de Saint-Exupéry imaginou 
haver vida em certo planeta ideal. Tal planeta teria dimensões curiosas e 
grandezas gravitacionais inimagináveis na prática. Pesquisas científicas, 
entretanto, continuam sendo realizadas e não se descarta a possibilidade 
de haver mais planetas no sistema solar, além dos já conhecidos. 
Imagine um hipotético planeta, distante do Sol 10 vezes mais longe 
do que a Terra se encontra desse astro, com massa 4 vezes maior que a 
terrestre e raio superficial igual à metade do raio da Terra. Considere a 
aceleração da gravidade na superfície da Terra expressa por g. 
 
 
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5. (Fgv 2015) Esse planeta completaria uma volta em torno do Sol em 
um tempo, expresso em anos terrestres, mais próximo de 
a) 10. 
b) 14. 
c) 17. 
d) 28. 
e) 32. 
 
Resposta: item E. 
 
Comentário: 
 
Vamos usar a Terceira lei de Kepler na sua forma comparativa. 
 
� �
2 2
1 2
3 3
1 2
22
2
33
2
1
10
31,6
T T
R R
Tano
R R
T anos
 
 
 
 
Vejam que a forma comparativa vale muito a pena em questões de prova 
que apresentam dois corpos celestes girando em torno de outro (sol). 
 
6. (Fgv 2015) Um objeto, de massa m, a uma altura h acima do solo 
desse planeta, com h muito menor do que o raio superficial do planeta, 
teria uma energia potencial dada por m g h˜ ˜ multiplicada pelo fator 
a) 10. 
b) 16. 
c) 32. 
d) 36. 
e) 54. 
 
Resposta: item B. 
 
Comentário: 
 
Vamos utilizar a fórmula da gravidade vista na parte teórica da aula: 
 
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p
p 2
p
G M
g
R
˜ 
 (1) 
 
Podemos afirmar que, da análise do texto apresentado: 
 
p T
p T
M 4 M
1R R
2
 ˜­°® ˜°¯
 (2) 
 
Logo, fazendo a substituição de (2) em (1), 
� �T T T
p 2 22 TTT
p
G 4 M 4 G M G Mg 161 R1 RR 42
Assim,
g 16 g
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
§ · ˜˜¨ ¸© ¹
 ˜ 
 
Calculando a energia potencial do planeta, 
 
� �planeta
planeta
p p
p
E m g h m 16 g h
E 16 m g h
 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
 ˜ ˜ ˜ 
 
Assim, o fator pedido na questão é 16. 
 
7. (Unesp 2014) Saturno é o sexto planeta a partir do Sol e o segundo 
maior, em tamanho, do sistema solar. Hoje, são conhecidos mais de 
sessenta satélites naturais de Saturno, sendo que o maior deles, Titã, está 
a uma distância média de 1 200 000 km de Saturno e tem um período de 
translação de, aproximadamente, 16 dias terrestres ao redor do planeta. 
 
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Tétis é outro dos maiores satélites de Saturno e está a uma distância média 
de Saturno de 300 000 km. 
Considere: 
 
 
 
O período aproximado de translação de Tétis ao redor de Saturno, em dias 
terrestres, é 
a) 4. 
b) 2. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
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Resposta: item B. 
 
Comentário: 
 
Nessa questão vamos utilizar mais uma vez a terceira lei de Kepler. Vamos 
 
Veja que os dados da questão são os seguintes: 
 
Foram dados na questão os seguintes valores numéricos: 
 
 
5 5
1 2 1r 1.200.000km 12 10 km; r 300.000km 3 10 km;T 16dias. u u 
 
Aplicando a Terceira Lei de Kepler na forma comparativa, conforme vimos 
nas videoaulas, com o exemplo da Lua e do satélite : 
 
32 3 2 5
2 2 2
51 1
32
22
2
2
T r T 3 10
 
T r 16 12 10
T 1 256
 T 4 
256 4 64
T 2 dias. 
§ ·§ · § · u§ · Ÿ Ÿ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ u© ¹ © ¹ © ¹
§ · Ÿ Ÿ¨ ¸© ¹
 
 
 
8. (Unesp 2013) No dia 5 de junho de 2012, pôde-se observar, de 
determinadas regiões da Terra, o fenômeno celeste chamado trânsito de 
Vênus, cuja próxima ocorrência se dará em 2117. 
 
 
 
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Tal fenômeno só é possível porque as órbitas de Vênus e da Terra, em torno 
do Sol, são aproximadamente coplanares, e porque o raio médio da órbita 
de Vênus é menor que o da Terra. 
Portanto, quando comparado com a Terra, Vênus tem 
 
a) o mesmo período de rotação em torno do Sol. 
b) menor período de rotação em torno do Sol. 
c) menor velocidade angular média na rotação em torno do Sol. 
d) menor velocidade escalar média na rotação em torno do Sol. 
e) menor frequência de rotação em torno do Sol. 
 
Resposta: item B. 
 
Comentário: 
 
Mais uma que se resolve fácil com conhecimentos teóricos da 3ª Lei de 
Kepler, lembre-se da análise qualitativa que foi feita no PDF e na videoaula, 
onde mostramos que quanto maior o raio médio, maior o período de 
translação de um planeta em torno do sol. 
 
Assim, partindo desse raciocínio, podemos afirmar que, como o raio médio 
de vênus é menor que o da Terra, então seu período é menor que o da 
Terra. 
 
Veja a análise matemática da Terceira Lei de Kepler e da velocidade orbital 
de acordo ainda com a metodologia adotada por nõs durante a parte teórica 
do curso. 
 
 
2 2
Vênus Terra
3 3
Vênus Terra
T T
.
r r
 
 
 
Sendo o raio médio da órbita de Vênus menor que o da Terra, o período de 
translação de Vênus é menor que o da Terra, logo a frequência é maior. 
 
± a velocidade angular é: 2 .
T
Ɏɘ Como Vênus tem menor período, sua 
velocidade angular é maior. 
 
De acordo com o que foi visto na parte teórica da aula, a velocidade de 
orbital do satélite será dada por: 
 
 Ÿ Ÿ 
2
CTP G 2
m v G M m G MR F v .
r rr
 
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Sendo o raio médio da órbita de Vênus menor que o da Terra, Vênus tem 
maior velocidade linear que a Terra. 
 
9. (Fgv 2013) A massa da Terra é de 246,0 10 kg˜ , e a de Netuno é de 
261,0 10 kg˜ . A distância média da Terra ao Sol é de 111,5 10 m˜ , e a de Netuno 
ao Sol é de 124,5 10 m˜ . A razão entre as forças de interação Sol-Terra e Sol-
Netuno, nessa ordem, é mais próxima de 
 
a) 0,05. 
b) 0,5. 
c) 5. 
d) 50. 
e) 500. 
 
Resposta: item D. 
 
Comentário: 
 
Trata-se de uma questão muito simples, na qual você deverá utilizar a 
fórmula da força de atração gravitacional das massas. 
 
Aplicando a fórmula da atração gravitacaional: 
 
Note que foram fornecidos os seguintes dados 
24 26 11 12
T T TS NSm 6 10 kg; m 1 10 kg; d 1,5 10 m; d 4,5 10 m. u u u u 
 
Aplicando a lei da gravitação universal por duas vezes e calculando a razão 
entre elas, ou seja, fazendo a divisão entre as expressões encontradas: 
 
� �
� �
� �
� �
�
­ °° y Ÿ u Ÿ®° °¯
§ ·§ · u u u Ÿ u u ˜ u Ÿ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸u u© ¹ © ¹
 
T
ST 2 2
TS NSST T
2N SN NTSSN 2
NS
22 24 12
2 2ST NS STT
26 11SN N TS SN
ST
SN
G M mF
d dF G M m
 
G M m F G M mdF
d
F d Fm 6 10 4,5 10
 6 10 9 10 
F m d F 1 10 1,5 10
F 54.
F
 
 
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Assim, encontramos a resposta da questão como sendo igual a 50, uma 
vez que temos que encontrar o valor mais próximo. 
 
10. (Epcar (Afa) 2012) A tabela a seguir resume alguns dados sobre 
dois satélites de Júpiter. 
 
Nome 
Diâmetro 
aproximado 
(km) 
Raio médio da órbita 
em relação ao centro 
de Júpiter (km) 
Io 33,64 10˜ 54,20 10˜ 
Europa 33,14 10˜ 56,72 10˜ 
 
Sabendo-se que o período orbital de Io é de aproximadamente 1,8 dia 
terrestre, pode-se afirmar que o período orbital de Europa expresso em 
dia(s) terrestre(s), é um valor mais próximo de 
a) 0,90 
b) 1,50 
c) 3,60 
d) 7,20 
 
Resposta: item C. 
 
Comentário: 
 
Nossa pessoal! Vejam como é importante dominar a forma comparativa da 
aplicação da Terceira Lei de Kepler. Reiteradas vezes durante a aula temos 
questões de vestibulares requerendo do aluno aplicação da terceira lei. 
 
2 22 2Europa Europa 2Io
Europa3 3 5 3 5 3
Europa Io
T TT (1,8) T 13,27
r r (6,72.10 ) (4,20.10 )
 o o |
 
 
O problema dessa questão é mesmo em relação aos cálculos, que são um 
pouco desagradáveis, vai logo se acostumando a fazer continhas sem a 
máquina calculadora (rsrsrsrsrs). 
 
EuropaT 3,64| dias terrestres. 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
 
Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos 
anos. As figuras abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a de 
maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são 
circulares, que o raio da órbita terrestre T(R ) mede 111,5 10 m˜ e que o raio da 
órbita de Júpiter J(R ) equivale a 117,5 10 m˜ . 
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11. (Unicamp 2012) De acordo com a terceira lei de Kepler, o período 
de revolução e o raio da órbita desses planetas em torno do Sol obedecem 
à relação 
2 3
J J
T T
T R
T R
§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
 em que em que JT e TT são os períodos de Júpiter e 
da Terra, respectivamente. Considerando as órbitas circulares 
representadas na figura, o valor de JT em anos terrestres é mais próximo 
de 
 
a) 0,1. 
b) 5. 
c) 12. 
d) 125. 
 
Resposta: item D. 
 
Comentário: 
 
Meu povo!! Pelo Amor de God!! Isso não cai em prova, isso despenca! 
Estamos na terceira questão envolvendo a terceira lei de Kepler, então se 
liga na probabilidadedo assunto na prova do ENEM. Dá pra contextualizar 
muito com esse tema, e por isso ele pode ser levado em consideração para 
a prova do ENEM. 
 
Mais uma vez vamos aplicar a 3ª Lei na forma comparativa. 
 
3 32 2 11
2 3J J J
J J11T T
T R T 7,5 10
 T 5 T 125 11,2.
T R 1 1,5 10
§ · § ·§ · u§ ·¨ ¸ Ÿ Ÿ Ÿ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ © ¹ u© ¹ © ¹© ¹
 
 
Entre as opções dadas, a resposta mais próxima é 12 anos terrestres. 
 
No ENEM é assim, não fique se prendendo a detalhes numéricos, pois 
muitas questões são aproximadas. 
 
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12. (Unicamp 2012) A força gravitacional entre dois corpos de massa 1m
e 2m tem módulo 1 22
m mF G
r
 , em que r é a distância entre eles e 
2
11
2
NmG 6,7 10
kg
� ˜ . Sabendo que a massa de Júpiter é 27Jm 2,0 10 kg ˜ e que a 
massa da Terra é 24Tm 6,0 10 kg ˜ , o módulo da força gravitacional entre 
Júpiter e a Terra no momento de maior proximidade é 
 
a) 181,4 10 N˜ 
b) 182,2 10 N˜ 
c) 193,5 10 N˜ 
d) 301,3 10 N˜ 
 
Resposta: item B. 
 
Comentário: 
 
Mais uma questão da UNICAMP ± SP que não exige muito do aluno. 
 
Foram fornecidos vários dados numéricos, ou seja, a auqestão se 
resume a aplicação da fórmula da força gravitacional, como 
mostramos abaixo: 
 
mT = 6,0u1024 kg; 
mJ = 2,0u1027 kg; 
RT = 1,5u1011 m; 
RJ = 7,5u1011 m; 
G = 6,7u10±11 N˜m2/kg2. 
 
Cuidado com a distância mínima entre os planetas! 
 
A distância mínima entre eles é dada por: 
 
11 11 11
J Tr R R 7,5 10 1,5 10 r 6 10 m. � u � u Ÿ u 
 
Substituindo os valores na fórmula da força gravitacional: 
 
� �
24 27 41
11T J
2 2 2211
18
m m 6 10 2 10 8 10F G F 6,7 10 
r 36 106 10
F 2,2 10 N.
� u u u u Ÿ u Ÿuu
 u
 
 
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13. (Unicamp simulado 2011) Em 1665, Isaac Newton enunciou a Lei 
da Gravitação Universal, e dela pode-se obter a aceleração gravitacional a 
uma distância d de um corpo de massa M , dada por � �2Mg G ,d sendo G = 
6,7 x 10í11 Nm2 /kg2 a constante de gravitação universal. Sabendo-se o 
valor de G, o raio da Terra, e a aceleração da gravidade na superfície da 
Terra, foi possível encontrar a massa da Terra, Mt = 6,0 x 1024 kg. 
 
A aceleração gravitacional sobre um determinado satélite orbitando a Terra 
é igual a g = 0,25m/s2. 
 
 
 
 
A distância aproximada do satélite ao centro da Terra é de 
 
a) 1,7 x 103 km. 
b) 4,0 x 104 km. 
c) 7,0 x 103 km. 
d) 3,8 x 105 km. 
 
Resposta: item B. 
 
Comentário: 
 
Essa é uma de aceleração gravitacional, assunto muito presente em 
questões de vestibulares e que será certamente mais explorado pelo ENEM. 
 
Foram fornecidos alguns dados numéricos e vamos, a partir deles 
determinar a gravidade no local de acordo com a fórmula da gravidade em 
certa altitude, vista na parte teórica do curso e nas videoaulas também. 
 
Mt = 6,0 u 1024 kg; 
G = 6,7 u 10í11 N.m2 /kg2; 
g = 0,25 m/s2. 
 
Aplicando a fórmula conhecida: 
 
�
 Ÿ 
u u u # u u
t t
2
11 24
14 7
GM G Mg d
gd
substituindo :
6,7 10 6 10d 16 10 4 10 m
0,25
 
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Transformando para km, obtemos a resposta do item B. 
 
Cuidado com o detalhe do enunciado, pois foi requerida a distância até o 
centro da Terra e não até a sua superfície, que caso fosse a pergunta, 
bastaria subtrair, desse valor encontrado acima, o raio da Terra. 
 
14. (Espcex (Aman) 2011) O campo gravitacional da Terra, em 
determinado ponto do espaço, imprime a um objeto de massa de 1 kg a 
aceleração de 25m / s . A aceleração que esse campo imprime a um outro 
objeto de massa de 3 kg, nesse mesmo ponto, é de: 
 
 
a) 20,6m / s 
b) 21m / s 
c) 23m / s 
d) 25m / s 
e) 215m / s 
 
Resposta: item D. 
 
Comentário: 
 
Olha aí meu povo, uma pegadinha de prova. A banca do Espcex está 
pensando que vocês caem nessa. 
 
Para qualquer corpo que está localizado nesse local a aceleração é a 
mesma, ou seja, é a aceleração da gravidade. 
 
Assim, a aceleração imposta, independente da massa será a da gravidade 
naquele local. 
 
Por exemplo, em um ponto da superfície da Terra em que a aceleração da 
gravidade vale 9,8m/s2, eu, que tenho 80kg, terei a mesma aceleração da 
gravidade que a minha filha, que tem pouco mais de 20kg. 
 
15. (Unb 2011) O problema de dois corpos é muito utilizado em sistemas 
de química teórica. Foi originalmente aplicado e resolvido por Newton como 
um sistema composto por um único planeta e um único sol, supostamente 
estático, utilizadas a lei da gravitação e suas leis de movimento. Entretanto, 
para o problema de um planeta orbitando sob a ação de dois sóis, a solução 
analítica desse sistema mostrou-se impossível. O problema de três corpos 
é um exemplo típico de sistema caótico. A transição entre um regime 
ordenado e um caótico pode ser observada na fumaça expelida pela ponta 
de um cigarro. Inicialmente, a fumaça se eleva conforme um fluxo suave e 
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ordenado, denominado fluxo laminar. Poucos centímetros acima observa-
se um comportamento desordenado e turbulento da fumaça. No caso de 
sistemas populacionais biológicos, sabe-se que, devido a efeitos de 
predação e de quantidade limitada de alimento, o sistema eventualmente 
atinge o estado caótico. 
 
Considerando o texto acima e o assunto nele abordado, julgue os itens 
seguintes. 
 
1. Se a distância entre a Terra e o Sol for quatro vezes maior no afélio que 
no periélio, a velocidade linear da Terra, no ponto mais afastado do Sol, 
será duas vezes menor em relação àquela apresentada no ponto mais 
próximo. 
2.O fenômeno das marés, que não pode ser explicado, nem mesmo 
parcialmente, por meio da lei de gravitação universal, é uma evidência 
de que o sistema planetário no qual a Terra se encontra é caótico, tal 
qual definido no texto. 
 
Resposta: correta e incorreta 
 
Comentário: 
 
Item 1: Correto. Considere que M é a massa do Sol, m é a massa da Terra 
e r raio da órbita, a força gravitacional do Sol sobre a Terra exerce o 
papel de resultante centrípeta quando a Terra passa por esses dois 
pontos. Assim: 
 
 Ÿ Ÿ 
2
CTP Grav 2
mv GMm GMF F v .
r rr
 
 
Aplicando ao planeta quando ele está no Afélio e no Periélio: 
 
 Ÿ 
 
Ÿ 
a a
p
a p
GM 1 GMAfélio: v v
4r 2 r
GMPeriélio : v
r
1por tanto v v
2 
 
Item 2: Incorreto. A lei de Newton da Gravitação Universal explica a 
formação das marés, pois é através das distâncias que são variáveis em 
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cada momento que a lua se posiciona entre a Terra e o Sol que temos forças 
gravitacionais distintas, por consequência, marés altas e baixas. 
 
16. (Unesp 2007) Dois satélites giram ao redor da Terra em órbitas 
circulares de raios R1 e R2, com velocidades v1 e v2, respectivamente. Se 
R2 tiver o dobro do valor de R1, pode-se dizer que 
 
a) 2 1v v 2. 
b) 2 1
2
v v .
2
§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
 
c) � �2 1v 2 v . 
d) 2 1v 2v . 
e) 2 1v 4v . 
 
Resposta: item B. 
 
Comentário: 
 
Lembrem-se da fórmula da velocidade orbital: 
 
 GMv .
R 
 
Vamos então dividir uma equação pela outra, oportunidade em que 
poderemos encontrar a relação entre as velocidades: 
 
Lembre-se de que R2 = 2 R1: 
 
2 1 2
2 1
1 11
v R vGM 1 2
 v v .
v GM v 222R
 u Ÿ Ÿ 
 
 
17. (ENEM 2012) A característica que permite identificar um planeta no 
céu é o seu movimento relativo às estrelas fixas. Se observarmos a posição 
de um planeta por vários dias, verificaremos que sua posição em relação 
às estrelas fixas se modifica regularmente. A figura destaca o movimento 
de Marte observado em intervalos de 10 dias, registrado da Terra. 
 
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Qual a causa da forma da trajetória do planeta Marte registrada na figura? 
a) A maior velocidade orbital da Terra faz com que, em certas épocas, ela 
ultrapasse Marte. 
b) A presença de outras estrelas faz com que sua trajetória seja desviada 
por meio da atração gravitacional. 
c) A órbita de Marte, em torno do Sol, possui uma forma elíptica mais 
acentuada que a dos demais planetas. 
d) A atração gravitacional entre a Terra e Marte faz com que este planeta 
apresente uma órbita irregular em torno do Sol. 
e) A proximidade de Marte com Júpiter, em algumas épocas do ano, faz 
com que a atração gravitacional de Júpiter interfira em seu movimento. 
 
Resposta: item A. 
 
Comentário: 
 
Mais uma vez vamos utilizar a fórmula da velocidade orbital, demonstrada 
na teoria e nas videoaulas: 
 
 G Mv .
r 
 
Veja que a velocidade é inversamente proporcional à raiz quadrada do raio 
da órbita. Como a Terra está mais próxima do Sol que Marte, sua velocidade 
orbital e maior, possuindo, em consequência, também maior velocidade 
angular e menor período. 
 
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A figura mostra seis posições da Terra e as seis correspondentes posições 
de Marte, bem como a trajetória de Marte para um observador situado na 
Terra. Os intervalos de tempo entre duas posições consecutivas são, 
aproximadamente, iguais. Note que devido à maior velocidade orbital da 
Terra, da posição 1 até a 3, Marte parece avançar, de 3 a 5 ele parece 
regredir, tornando a avançar de 5 a 6. Aliás, esse fenômeno foi um dos 
grandes argumentos para que o heliocentrismo de Copérnico superasse o 
geocentrismo de Ptolomeu. 
 
18. (ENEM ± 2009) O ônibus espacial Atlantis foi lançado ao espaço com 
cinco astronautas a bordo e uma câmera nova, que iria substituir uma outra 
danificada por um curto-circuito no telescópio Hubble. Depois de entrarem 
em órbita a 560 km de altura, os astronautas se aproximaram do Hubble. 
Dois astronautas saíram da Atlantis e se dirigiram ao telescópio. Ao abrir a 
porta de acesso, um deles exclamou: "Esse telescópio tem a massa grande, 
mas o peso é pequeno." 
 
 
 
Considerando o texto e as leis de Kepler, pode-se afirmar que a frase dita 
pelo astronauta 
 
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A) se justifica porque o tamanho do telescópio determina a sua massa, 
enquanto seu pequeno peso decorre da falta de ação da aceleração da 
gravidade. 
 
B) se justifica ao verificar que a inércia do telescópio é grande comparada 
à dele próprio, e que o peso do telescópio é pequeno porque a atração 
gravitacional criada por sua massa era pequena. 
 
C) não se justifica, porque a avaliação da massa e do peso de objetos em 
órbita tem por base as leis de Kepler, que não se aplicam a satélites 
artificiais. 
 
D) não se justifica, porque a força-peso é a força exercida pela gravidade 
terrestre, neste caso, sobre o telescópio e é a responsável por manter o 
próprio telescópio em órbita. 
 
E) não se justifica, pois a ação da força-peso implica a ação de uma força 
de reação contrária, que não existe naquele ambiente. A massa do 
telescópio poderia ser avaliada simplesmente pelo seu volume. 
 
Resposta: item D. 
 
Comentário: 
 
Item A: incorreto, pois o tamanho do telescópio não determinada a sua 
massa, pois isso vai depender da densidade média do corpo. 
 
Item B: incorreto. A magnitude da atração gravitacional dar-se-á pela 
aceleração da gravidade no ponto considerado. 
 
Item C: incorreto, pois as leis de Kepler aplicam-se aos satélites artificiais 
sim. Não há impedimento para a aplicação das leis. 
 
Item D: Correto! Isso aí! Temos aí o conceito de gravidade na posição que 
o telescópio ocupa. 
 
Item E: Incorreta. A ação e reação não possui limitações no sentido em que 
foram informadas. E o volume não define a massa, isso depende muito da 
densidade média do corpo. 
 
19. (ENEM ± 2009) Na linha de uma tradição antiga, o astrônomo grego 
Ptolomeu (100-170 d.C.) afirmou a tese do geocentrismo, segundo a qual 
a Terra seria o centro do universo, sendo que o Sol, a Lua e os planetas 
girariam em seu redor em órbitas circulares. A teoria de Ptolomeu resolvia 
de modo razoável os problemas astronômicos da sua época. Vários séculos 
mais tarde, o clérigo e astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543), 
ao encontrar inexatidões na teoria de Ptolomeu, formulou a teoria do 
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Teoria e exercícios comentados 
Aula 05 ± Gravitação Universal. 
 
 
 
±
 
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heliocentrismo, segundo a qual o Sol deveria ser considerado o centro do 
universo, com a Terra, a Lua e os planetas girando circularmente em torno 
dele. Por fim, o astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler (1571-
1630), depois de estudar o planeta Marte por cerca de trinta anos, verificou 
que a sua órbita é elíptica. Esse resultado generalizou-se para os demais 
planetas. 
A respeito dos estudiosos citados no texto, é correto afirmar que 
 
A) Ptolomeu apresentou as ideias mais valiosas, por serem mais antigas e 
tradicionais. 
 
B) Copérnico desenvolveu a teoria do heliocentrismo inspirado no contexto 
político do Rei Sol. 
 
C) Copérnico viveu em uma época em que a pesquisa científica era livre e 
amplamente incentivada pelas autoridades. 
 
D) Kepler estudou o planeta Marte para atender às necessidades de 
expansão econômica e científica da Alemanha. 
 
E) Kepler apresentou uma teoria científica que, graças aos métodos 
aplicados, pôde ser testada e generalizada. 
 
Resposta: item E. 
 
Comentário: 
 
Item A. Incorreto. As ideias de Ptolomeu não são mais valiosas, pois foram 
derrubadas por Kepler. 
 
Item B. Incorreto. Rei Sol??? Onde foi que você viu isso?? Eu não vi em 
nenhumlugar. 
 
Item C. Incorreto. Certamente a pesquisa científica não era incentivada na 
época de Copérnico. 
 
Item D. Incorreto. A Alemanha passava por muitos conflitos políticos à 
época, isso fez com que os estudos de Kepler não fossem tão incentivados 
à época. 
 
Item E. Correta. Nesse item temos um resumo de toda a ideia da teoria de 
Kepler para o Heliocentrismo. 
 
 
 
5. GABARITO 
 
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Teoria e exercícios comentados 
Aula 05 ± Gravitação Universal. 
 
 
 
±
 
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01. D 02.B 03.D 04.D 05.E 
06.B 07.B 08.B 09.D 10.C 
11.D 12.B 13.B 14.D 15.CE 
16.B 17.A 18.D 19.E 
 
 
6. Fórmulas mais utilizadas na aula 
 
 
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