Sistemas de numeração

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CÁLCULO NUMÉRICO
Prof° Eduardo
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No estudo de sistemas digitais recorre-se a
diferentes sistemas de numeração.
Sistema Decimal
É o nosso sistema natural.
Dígitos 0,1,2,....,9.
Números superiores a 9; convencionamos o significado da posição de cada dígito em relação a uma potência de 10.
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Por exemplo, o número 7986 traduz um
valor numérico calculado por:
Conforme observa-se, um número é expresso
pela soma de potências da base 10
multiplicadas pelos dígitos correspondentes.
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Sistema de Numeração Binário
Em sistemas descritos por variáveis lógicas recorremos ao sistema de numeração de base 2.
A vantagem desta utilização resulta da correspondência direta entre os dígitos 0 e 1 e os valores lógicos 0 e 1.
Neste sistema, os dígitos binários representam os coeficientes das potências de base 2.
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Por exemplo, o número 1910 (o subscrito indica a base) é
representado pela seqüência de dígitos binários:
100112 = 1x24 + 0x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20
100112 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 1910
Na prática, cada dígito binário recebe a
denominação de bit (binary digital digit), conjuntos
de 4 bits são chamados nibble e de 8 bits
denominam-se byte.
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Notamos, que de maneira geral, a regra básica
de formação de um número consiste no 
somatório de cada dígito multiplicado por uma
potência da base relacionada à posição daquele
dígito.
O algarismo menos significativo ( base elevada
a zero = 1) localiza-se à direita, ao passo que os
mais significativos(maiores potências da base)
ficam à esquerda.
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Abaixo temos algumas potências de 2
 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
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Exemplo: Converter o número 0011102 em decimal.
Lembrando que 0 zero à esquerda de um número é um algarismo não significativo, temos:
0011102 = 11102
11102 = 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 =
11102 = 8 + 4 + 2 + 0 = 1410
Exemplo: Converter o número 1010102 em decimal.
1010102 = 1x25+0x24+1x23+0x22 + 1x21 + 0x20 
1010102 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 4210
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Considere-se a divisão inteira de N por 2. Dado que
cada divisão desloca o ponto decimal uma posição
para a esquerda temos: 
O dígito menos significativo x1 corresponde ao resto
da divisão inteira e o quociente corresponde a um
novo número N’ = ...x8x4x2 , onde x2 passa a ser o
algarismo menos significativo.
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Aplicando divisões sucessivas e considerando o resto,
obtém-se a seqüência de dígitos binários que 
representam o número N no sistema binário.
Vejamos o exemplo:
19 |2 
 1 9|2
 1 4|2
 0 2|2
 0 1|2
 1 0	1910 = 100112
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Vejamos outro exemplo:
	30|2
 0 15|2
 1 7|2
 1 3|2
 1 1|2
 1 0		3010 = 111102
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Neste sistema a base é 8, e os dígitos são 0,1,2,...7
Há uma relação especial entre o sistema octal e o
sistema binário que reside no fato de que três dígitos
binários representarem oito (23) números distintos.
Esta relação permite efetuar conversões entre estes
sistemas de forma quase imediata como veremos 
adiante.
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Utilizamos o conceito básico de formação de um número
já explicado. Observemos o exemplo: 
Converter 3458 em decimal.
3458 = 3x82 + 4x81 + 5x80
3458 = 192 + 32 + 5 = 22910
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Vejamos outro exemplo:
Converter 4778 em decimal.
4778 = 4x82 + 7x81 + 7x80
4778 = 256 + 56 + 7 = 31910
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O processo é análogo ao da conversão decimal para
binário, ou seja, empregar divisões sucessivas pela base.
Exemplificando: 
Converter 9010 para octal.
90|8
 2 11|8
 3 1|8
 1 0		9010 = 1328
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Vejamos outro exemplo:
Converter 12810 para octal.
128|8
 0 16|8
		 0 2|8
 2 0		12810 = 2008
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Para realizar a conversão basta converter cada dígito octal no
seu correspondente binário. Isto se deve à relação
Anteriormente mencionada.
Exemplificando. Converter 778 em binário.
Converter 1238 em binário
 
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Utiliza-se o processo inverso do anterior. 
Separamos o número binário em grupos de três bits à
partir da direita. Depois, convertemos cada grupo de bits 
para o sistema octal.
Exemplificando:
Converter 11100102 em octal
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Vejamos outro exemplo: Converter 100012 em octal.
100012 = 10 001 = 218
Converter 11101002 em octal.
11101002 = 1 110 100 = 1648
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Este sistema tem base 16 e portanto possui 16
dígitos. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F são os
dígitos deste sistema. O dígito A representa a
quantidade 10, B representa 11, até o F que
representa 15. 
Este sistema é bastante utilizado em
microcomputadores tanto em hardware como em
software.
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Novamente usamos o conceito básico de formação
de um número já explicado.
Exemplificando. Converter 2D16 em decimal.
2D16 = 2x161 + 13x160 = 32 + 13 = 4510.
Vejamos outro exemplo. Converter 1C316 em decimal.
1C316 = 1x162 + 12x161 + 3x160 = 
256 + 192 + 3 = 45110.
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Novamente usamos divisões sucessivas
Exemplificando. Converter 100010 em hexadecimal.
1000|16
 8 62|16
 14 3|16
 3 0		100010 = 3E816
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Vejamos mais um exemplo:
Converter 12010 em hexadecimal
120|16
 8 7|16
 7 0		12010 = 7816
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É análoga à conversão do sistema octal para o binário. Desta
vez, precisamos de quatro bits para representar cada dígito
hexadecimal.	
Exemplificando. Converter AB316 em binário.
Vejamos outro exemplo. Converter F8DD16 em binário.
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Novamente é análoga à conversão do sistema octal
para o binário. Desta vez agrupamos os bits de 4
em 4 à partir da direita. 
Exemplificando: 
Converter 10011102 em hexadecimal.
	10011102 = 100 1110 = 4E16
Converter 11000110112 em hexadecimal.
	11000110112 = 11 0001 1011 = 31B16
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Exercícios Propostos
Efetue as conversões indicadas:
Converta para o sistema decimal
a) 11000102	b) 01111002	c) 100001001102
1010110001102 e) 4318	f) 7528	 g) 1778
5368 f) 20F16 g) 4BE16	h) 100A16 i) 9F016
Converta para o sistema binário
14410 b) 30110 c) 7210 d) 23110 e) 1678
4448 g) 70118 h) 10108 i) 20216 j) F1616
k) AA0B16 l) D99F16 m) C7916 n) 200B16
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Converta para o sistema Octal
33110 b) 100010 c) 12810 d) 25510
11002 f) 10011102 g) 100011101112
1110111002 i) 76516 j) CBD16 k) FADA16
Converta para o sistema Hexadecimal
125310 b) 81910 c) 301410 d) 160010
7508 f) 3478 g) 1178 h) 5128
0111001000110112 j) 100011101100012
k) 1101110002 l) 11111101111102
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“Os maus só são maus, porque os bons não são melhores”
Stº Agostinho
Fim
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