69281935 Espacos Metricos

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LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. Ed. IMPA: Rio de Janeiro. 2007 
 
Página 195+, ex. 33 
 
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jj
k
II
jj
n
n
j
jjjjj
n
n
nn
kkk
k
Nknn
kk
n
n
N
n
n
n
i
n
Nn
n
fgntgg
afag
AgfgIg
IIIaaI
yfxfyx
ConvUniff
fgAgCf
ConvUniffCfIf
CA
CAAghntghtg
tghtgtftgtghtghtghtftfhtfhnhIt
fgCg
k
hththC
Itt
ConvxIx
h
k
htItNk
hthIt
hntfhtfhthItii
Af
CAi
CAC
FfNnAf
n
h
tfhtfhItCfANn
Ihthtf
CF
CANnAF
Iam
h
afhaf
axRmCfIaafCfF
bIabafCf
LimfCfIf
CLimfIfICCbaI
Gráfico contenha que altura de retânguloqualquer Gráfico e que talserra uma Seja
 Seja
.;;:Construir 
;:, Seja
:0
.,. Como
:,0,
..;::Demo.
 em denso é Cada i.2:3 Lema
 em aberto é Logo,
22
:,
2
: Seja
ii ndocontradize ,01lim,lim,,
 de,generalida de perda sem ,Suponhamos
.
,
1
,:, contrário, Caso:Demo.
,:,;0:2 Lema
0,:,
. Seja:Demo.
 em aberto é Cada 1.:1 Lema
 em denso é logo completo*, métrico espaço é pois ,iprovar Basta
, derivada, de def. Pela
:,; seja ,
 definição,por :Demo.
. em denso é Baire*,por Logo,
. em *denso e aberto é ,: Então
,,0:0,:,: Seja :a Equivale
.*magro é ,,: :1 Teorema
;:
uniforme conv. da *métrica a com ::,;, Sejam
int
1
1
0
0
0
0
0
00
ε
ε
δ
εδδ
εε
δδδ
δ
ξξξ
ξ
δξδ
ξ
εδδε
⊂>′
=
∈≤−ℜ
=<=
<−⇒<−>∃
∈
≤−∈∃∈∀>∀
∈⇒∈ℜ
⇒∈⇒>−+
+−++<−+−+++−+≤−+<+∃∈∀
≤−∈
=≤=∀⇒∈
∈→
∈∃⇒⊂
∀≤∈∃∈∀
>∃∈∀>∃
>−−+=∃∈∀ 
∈
∈⇒∈∀∈






>
−+∃∈∀∈=∈∀
∈+⇐+∃
∈∀⊃






∈∀≥−−+∧<−>∀>∃∈∀∈=∈∀′∃/∈=
ℜ∈∈∃=′∈
∈⇒∈ℜ∀
∩∈ℜ=ℜ==
=
−
∞→∞→
∈
∈
a
Q
a
444444 3444444 21
a
a
U
I
I
 
 
M é espaço métrico completo se (p. 165) 
( ) ( ) ConvxxM nn ∈⇒⊃ Cauchy de é 
 
Métrica (p. 1, 12 e 14) 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ){ }XyxyxX
xgxfgfMXgf
zyyxzx
xyyx
yxyx
xx
MzyxM
Xx
∈= 
−= 







+≤
=
>⇒≠
=
∈∀⇐ℜ
∈
,:,distsupdiam
sup,dist.:, Sejam:uniforme iaconvergênc da métrica
,dist,dist,dist
,dist,dist
0,dist
0,dist
,,,métrica é :dist 2
a
a
 
 
Densos (p. 73 e 188) 
 
( ) denso é intdenso e aberto int,
 em denso é int
,: em denso é 
,aberta bola é : em denso é 
 em denso é .
XMAXMFMFF
MXMX
XAAMAMX
XBBMBMX
MXMXMX
−⇔⊃−⇔∅=⊂=
−⇔∅=
∅≠∩∅≠⊂∀⇐
∅≠∩⊂∀⇐
=⇐⊂
 
 
Magros (p. 187) 
isolado é nenhummagro é .enumerável é 
magro é magro é ,
magro é magro é que ,
int,,: em magro é 
int,:magro é 
métrico. espaço é que , Seja
XxXXM
XXNn
XYX
FMFFNnFXMX
XNnXXX
MX
Nn
nn
nnn
Nn
n
nn
∈⇔⊃
⇒∈∀
⇒⊂
∅=⊂=∈∀=⇔
∅=∈∀=⇐
⊂
∈
∈
U
U
U
 
 
Teorema de Baire (p. 189+) 
 
{ }
( )
( )
( ) ( )
{ } ( ) { }
( ) ( )
{ },..., seja ,
Cauchy de seq. Seja :Demo.
, diamdist,
,lim,,
lim Seja
Cauchy de é ,dist,
 diam:,0
,,
 escolha ,
acima. como e completo M Suponhamos :Demo.
:
0 diamlim;...;...:
completo é :2 Teorema
1
0
0
0
21
0
0
+
∈∈
∈
∈
=∈∀
⊃⇐
=∴∀≤⇒=
∈
∈∀∈=⇒≥∀∈∈∀
∈=
⇒<⇒>
<∃>∀
∈⇒>
⊂
∈∈∀
⇒




=∈∃
= ∅≠=⊃⊃⊃⊃⊂∀
⇔
nnn
n
Nn
nn
Nn
n
Nn
n
pnpn
n
nnm
n
nnm
n
nn
n
Nn
n
nnnnn
xxXNn
xM
aFnFa,bbaF
Fa
NpFxapnFxNp
Max
xxxnnm
Fn
Fxxnnm
Mx
FxNn
F
aFMa
BFFFFFMF
M
II
I
I
ε
εε
 
{ }
( )
( )
( )
( )
( ) 1
1
21
2233322222
1122
211111
11
00
21
:2
0 diam...;...
;
3
1
raio;aberto é denso e aberto é 
. que e 
2
1
raio que Suponhamos
aberto é denso e aberto é :Demo.
,.abertas bolas M Sejam
denso é queMostrar .densos e abertos Sejam
 em denso é denso e aberto é ,:
intmagro é completo. métrico espaço Sejam:Baire de Teorema
limCauchy de é 
lim
,:, centro de aberta bola é :,
:
 diamlim diamlim0
...;...
BAaAai
BaMaT
iABB
BBBB
ABBBBXXABA
ABBB
BXXABA
ABBB
AAMAM
MXANnAXBaire
XXMX
xax
xa
nnBxNnaBBNnXa
aXMa
XX
XXXXX
n
n
nnn
nn
n
Nn
nn
n
Nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
nnn
k
∩∈⇒∈⇒
=∈∃⇒
 ∩⊂
→⊃⊃⊃⊃
∩⊂≤⊃⇒=∩≠∅⇒
∩⊂≤
⊃⇒=∩≠∅⇒
∅≠∩∀ ⊃⇔
=⊃ ⊃
⇒∈∀=⇔
∅=⇒⊂ 
=∴
=
≥∀∈∈∃∀⇒∈∀∈
=∈∃
==
∅≠=⊃⊃⊃⊃
+
∈
∈
∞→∞→
I
I
I
I
I