AULA 01- Gravitação (part1)

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Física II
F 228 2º semestre 2012
Peter A. Schulz: turmas A,B,R e S
pschulz@ifi.unicamp.br
Kelin Regina Tasca: turma A
Eric Perim: turmas B e R
Diogo Almeida: turma S 1
Conteúdo 
• Afinal para que serve a massa? 
Gravitação
• Matéria: “Hard and soft”
Do rígido ao maleável e os fluidos
• Propriedades coletivas 
calor e termodinâmica: motores, mudanças 
climáticas e informação.
• Teoria cinética dos gases: 
do comportamento médio dos grandes números ao 
movimento browniano e a origem da mecânica 
quântica
• Oscilações: tempo e ressonâncias 
• Ondas: propagação de energia, música & terremotos 
2
Estrutura da disciplina
• Aulas magnas e exploratórias.
magnas: conceitos gerais com demonstrações 
e simulações (experimentos virtuais)
exploratórias: aprofundamento dos 
conceitos e aplicações
• Resolução de problemas em classe: 
3 problemas baseados nas listas sugeridas
• Avaliação: 3 provas, participação em aula 
(problemas resolvidos)
3
Detalhes da avaliação
• As 3 provas (P) terão pesos iguais (1/4 da média total 
cada uma)
• A quarta avaliação será dada pela média exercícios (E)
feitos em sala.
• Nota final: NF = (P1+P2+P3+E)/4
• NF ≥ 7,0 (aprovado) NF < 7,0 → exame (NE)
• Média final: MF = (NF+NE)/2 ≥ 5,0 → aprovado
4
Programa: datas importantes
• Semanas de Provas: 
17/9, 22/10 e 26/11
• Testes:
(nas aulas exploratórias):
semanas dos dias 3/9, 15/10 e 
21/11 (aula magna para algumas 
turmas)
• Exame: 12/12
• Obs.: o exame contará como prova 
substitutiva se for o caso.
5
Bibliografia 
• Serão disponibilizadas listas de problemas
para guia de estudos da disciplina na
página da disciplina.
• Serão disponibilizadas referências de
artigos de divulgação e especializados
sobre os temas da ementa.
• Biblioteca de demonstrações e experimentos
virtuais:
http://phet.colorado.edu/
http://www.falstad.com/mathphysics.html
http://www.phy.ntnu.edu.tw/oldjava/portuguese/simulac
oes.html
6
Livros
Livros texto (existem vários outros para consulta, a lista é 
apenas indicativa):
• Fundamentos de Física 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica, 
Halliday e Resnick, 6a. Edição Brasileira. Editora Livros 
Técnicos e Científicos
• Física, Vol. 1 e 2., P.A. Tipler , Ed. Guanabara Dois
• Curso de Física Básica, Vol. 2 - Gravitação, Ondas e Calor, 
H.M. Nussenzweig, Ed. Edgard Blücher Ltda. 
• The Feynman Lectures on Physics, Vol. 1, R.P. Feynman, R.B. 
Leighton, M. Sands , Ed. Addison-Wesley Publishing Company, 
1966 
Livros de divulgação para familiarizar-se com o desenvolvimento 
dos conceitos científicos abordados e a história da ciência em 
geral:
• “O Sol Morto de Rir”, Sérgio de Régules, Coleção Meio de 
Cultura, Editora da UNICAMP.
• “Dez teorias que comoveram o mundo”, Leonardo Moledo e Esteban 
Magnani, Coleção Meio de Cultura, Editora da UNICAMP.
7
Aula 1
Gravitação, massa e etc
8
Por que existe massa?
A massa tem uma origem?
É talvez a pergunta mais fundamental ainda em aberto!(?) 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Massa
2r
Mm
GF 
Século XVIII
2c
E
m 
Século XX
O maior experimento já concebido 
Parece ter fornecido a resposta
Século XXI
http://www.exploratorium.edu/origins/cern/ideas/higgs.html
9
Concepção geocêntrica do universo
10
Desenvolvimentos do modelo de Ptolomeu
O geocentrismo “puro” não explicava o movimento dos planetas
11
De Revolutionibus Orbium Coelestium
Nicolau Copérnico 1473 - 1543
Esta é a página do 
manuscrito original de 
Copernicus onde ele 
desenhou o seu sistema 
heliocêntrico. O Sol está 
no centro circundado por 
Mercúrio (Merc), Vênus 
(Veneris), Terra 
(Telluris), Marte (Martis), 
Júpiter (Jovis), Saturno 
(Saturnus) e as estrelas 
fixas. Este manuscrito está 
na biblioteca da 
Universidade de Cracow, na 
Polônia. 
O livro foi finalizado em 
1530, mas foi editado apenas 
em 1542.
http://www.on.br/certificados/ens_dist_2008/site/conteudo/modulo1/5-cosmologia-renascenca/copernico/copernico.html 12
Vantagens de Copérnico sobre Ptolomeu
Explicação mais simples para o 
movimento de “laçada” dos planetas:
13
Geocentrismo vs heliocentrismo
Geocentrismo
• Eudóxio
(437 A.C. 408 A.C.)
• Ptolomeu
(90-168)
Heliocentrismo
• Aristarco de 
Samos 
(310 A.C. 230 A.C.)
• Copérnico 
(1473-1543)
Pitágoras: modelo geométrico do Universo
Mistura: Modelo de Ticho Brahe (1546 – 1601)
14
O sistema solar moderno: a 
precisão de Johannes Kepler
Kepler abandonou idéias pré-
concebidas como as órbitas 
circulares do modelo platônico.
O resultado foi que a órbita de 
Marte seria uma elipse com o Sol 
em um dos seus focos. Este mesmo 
resultado valia para outros 
planetas
Kepler 1571 - 1630
15
Órbitas elípticas e suas 3 leis
“As órbitas descritas pelos planetas 
em redor do Sol são elipses com o Sol 
num dos seus focos”.
e = c/a chama-se excentricidade. 
e = 0 temos órbita circular.
1
16
Órbitas elípticas e suas 3 leis
2 Lei das áreas
A
B
Áreas iguais varridas em 
intervalos de tempo iguais:
A = B
http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/gravity.htm
17
3ª lei, a lei das órbitas
“Os quadrados dos períodos de 
revolução de dois planetas estão 
entre si como os cubos de suas 
distâncias ao Sol”.
3
3
2
1
2
2
1












R
R
T
T
18
A lei da Gravitação Universal
É possível fundamentar 
as leis empíricas de 
Kepler ?
Isaac Newton 1642 - 1727
r
R
mM
GF ˆ
2


19
Fundamentando a 3ª lei de 
Kepler
rt
r
m
r
v
m
r
Mm
G
12
22
2








GM
r
t
2
3
2

Aproximação (boa) de órbitas circulares:
!
4 2
3
2
cte
GMr
t


20
Falta um detalhe: G
• Podemos medir a distância Sol-Terra 
e a duração de um ano, mas sobram 
duas incógnitas: G e a massa do 
Sol.
• Outros problemas parecidos também 
apresentam G como incógnita...
mg
r
mM
G
Terra
Terra 
2
Sabendo G, determina-se a massa da Terra, medindo g
21
O valor de G
• A teoria da Gravitação Universal: 1666
• A medida de G: 1798 (Henry Cavendish)
http://www.fisica.ufs.br/egsantana/celeste/constante/constante.htm
22
m
Mr
Medida das forças entre as massas
na balança de torção
21311
1067,6
 skgmG
23
Como Newton testou sua teoria 
sem saber o valor de G?
2
Terra
Terra
r
mM
Gmg 
2
222
2
4
T
r
m
r
v
m
r
mM
G
LuaTerra
Lua
LuaTerra
Lua
LuaTerra
LuaTerra 



Comparando a queda da maçã com a “queda da Lua”
2
Terra
Terra
r
M
Gg 
2
22
2
4
T
r
r
M
G
LuaTerra
LuaTerra
Terra 



A igualdade foi verificada 
com os dados já disponíveis 
na época 2
4
22 4
T
r
grGM LuaTerraTerraTerra
 
24
Gravitação com massas pontuais
r
R
mm
GF ˆ
2
21

m1
m2
R
25
Gravitação com uma distribuição de massa
r
R
mm
GF ˆ
2
21

Mas e se..
m1
m2
R
26
Princípio de superposição
 FFres

?resF

O diagrama se complica 
se as massas azuis 
estiverem livres. 
Você consegue desenhar o
diagrama completo de forças
nesse caso?
Massas fixas
Massa livre 
27
Um exemplo simples usando
o princípio de superposição:
3 massas no plano (2 fixas)
 
 


sen
az
mM
GF
az
mM
GF
xy
2
22
1
1
2
22
1
1 cos




22
22
cos
az
a
sen
az
z






28
 
 


sen
bz
mM
GF
bz
mM
GF
x
y
2
22
2
2
2
22
2
2 cos




22
22
||
cos
bz
b
sen
bz
z






M1
M2
z
ab


F2
F1
m
F2
F1
m
    











22222
2
22222
1
bz
b
bz
M
az
a
az
M
GmF resx
    











22222
2
22222
1 11
bzbz
M
azaz
M
GmzF resy
atenção para o sinal na direção x! 
Discussão da solução
29
M1
M2
z
ab


F2
F1
m
    











22222
2
22222
1
bz
b
bz
M
az
a
az
M
GmF resx
    











22222
2
22222
1 11
bzbz
M
azaz
M
GmzF resy
Pelo referencial escolhido, a>0, b<0
portanto:
Se |a| = |b| e M1 = M2 
0 xF
  









2
3
22
12
az
M
GmzF resy
Se z=0
0 yF







2
2
2
1
b
M
a
M
GmF resx
2
2
2
1
b
a
M
M

Condição de equilíbrio:
Se z >> a e b:
M1 + M2 compartam-se como
uma carga pontual!
Para a próxima aula...
2 temas atuais baseados na distribuição continua de massa
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Um problema fundamental em aberto: 
a matéria escura
http://www2.uol.com.br/sciam/reportagens/o_enigma_da_materia_escura_imprimir.html
Fritz Zwicky observou nos anos 1930 
que algo estranho ocorria com a 
velocidade de rotação de galáxias no 
aglomerado de galáxias de Coma.
A velocidade de rotação era muito maior 
do que a prevista pela quantidade 
de massa identificável no aglomerado. 
Assim surgiu a hipótese da 
“matéria escura”.
O que vem a ser este problema?
31
Uma aplicação tecnológica relevante: 
a localização do pré-sal
32