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Os c il a ções Física 2 aula 9 2o semestre, 2012 Movimento Harmônico simples: conexão entre vibrações e ondas Energia no pto. de equilibrio é cinética! Energia Mecânica de um OHS é Proporcional ao quadrado de sua Amplitude! Energia no MHS • Energia Mecânica Total: 2 21 1 2 2 E mv kx Energia Cinética Energia Potencial Elástica Quando x=A ou x=-A (extremos): 2 2 21 1 1(0) ( ) 2 2 2 E m k A kA x=-A x=A x=0 F=-kx Quando x = 0 (ponto de equilibrio): 2 2 2 0 0 1 1 1 (0) 2 2 2 E mv k mv Conservação de energia mecânica 222 2 1 2 1 2 1 kAEEkxmv Movimento harmônico simples e oscilador harmônico MHS e Movimento Circular Uniforme: amplitude,frequência e periodo cos /x A cosx A t cosx A t 2 f cos2x A ft 2 cos t x A T A θ x 2 2A x x y v0 v θ z v x A x z y ω: velocidade angular ou 0 0 0 2 sin sin 2 sin t v v v ft v T 0 cos2 F a a ft m MHS e MCU y = R cos = R cos (t) x y -1 1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 2 http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Circular2SHM/Circular2SHM.html Dinâmica do MHS • Sabemos que em todo instante F=ma • Mas neste caso F = -kx e ma = • Portanto: -kx = ma = 2 2 d x m dt 2 2 d x k x dt m Equação diferencial para x(t) ! 2 2 d x m dt k x m F = -kx a Dinâmica do MHS 2 2 d x k x dt m 2 2 2 d x x dt k m Tentemos a solução x = Acos(t) sin dx v A t dt 2 2 2 2 cos d x a A t x dt definamos Solução do MHS f 2 )cos( tAy cos0 Ayt Fase!!! )cos( tAy cos0 Ayt 0 2 y 1)0cos( 2 Ay A f/2 2 )( tAsen ? 2 cos0 Ayt 0 2 y 1)cos( 2 Ay )( tAsen Condições iniciais & resumo 0F mggVa gVmg a O empuxo funciona como força restauradora “Oscilador de Arquimedes”: solução ghAF aempuxo Solução para um paralelepípedo oscilador h (equilíbrio) )]([)( tyhgAtF aempuxo (fora do equilíbrio no instante t) “Oscilador de Arquimedes”: solução “Oscilador de Arquimedes”: solução )]([)( tyhgAtF aempuxo 2 2 )]([ dt yd mtyhgAmgF a gAyym a Ay m g y a m gAa Freqüência do oscilador Pêndulos • O período não depende da massa! • O período depende apenas do comprimento do pêndulo. 2T l g Galileu Galilei observando as oscilações de um candelabro: relogio de precisão http://phet.colorado.edu/en/simulation/pendulum-lab Parentêses: sen e cos para pequenos valores de 3 5 sin ... 3! 5! 2 4 cos 1 ... 2! 4! & Portanto para <<1, sin cos 1 e Dinâmica do pêndulo 2 2 dt rd mF lr 2 2 2 2 dt d ml dt rd m mgmgsen dt d ml 2 2 O sinal negativo é porque quando a aumenta, θ diminui Dinâmica do pêndulo II mgmgsen dt d ml 2 2 l g 2 2 2 d x x dt Comparando com o oscilador harmônico l g 1 1 2 g f T L Frequência do pêndulo Pêndulo III • A dedução é para o limite de pequenas oscilações. Como fica para amplitudes de oscilação maiores? ... 737280 173 3072 11 16 1 12 60 4 0 2 0 g l T http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum Pêndulo, MHS e movimento periódico mas não simples http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics) Uma questão fundamental: equivalências das massas inercial e gravitacional gmgsenm dt d lm ggi 2 2 lm gm i g Primeira verificação experimental foi realizada por Newton com o pêndulo! Distinguindo as massas inercial e gravitacional teríamos: gm lm T g i2 Newton conseguiu estabelecer que a razão entre as massas é igual a 1 para uma parte em mil http://einstein.stanford.edu/STEP/information/data/gravityhist2.html Tópicos adicionais • Amortecimento • Oscilações forçadas • Ressonância • Pêndulo físico Oscilador Harmônico Amortecido 2 2 0 d x dx m b kx dt dt 0 0 0 2 2 2 2 2 2 x dt dx dt xd x m k dt dx m b dt xd kx dt dx b dt xd m o F kx bv Queremos soluções para esta equação MHS e MH amortecido Oscilador Harmônico Amortecido 2 2 0 d x dx m b kx dt dt 02 02 2 x dt dx dt xd onde m ke m b 2 0 02 02 2 x dt dx dt xd Solução da Eq. Supomos a solução p tetz zp dt zd epz dt dz 2 2 2 Com derivadas A Eq. diferencial transforma-se em eq. algébrica 02 0 2 pp Oscilador Harmônico Amortecido, solução.. 02 0 2 pp Esta Eq. tem solução 2 0 2 42 p se 0 2 Temos amortecimento subcrítico (raiz de número negativo) 4 , 2 2 2 0 ip titit beaeetz 2 tBtAsenetx t cos2 A solução do problema é Tomando a parte real ou f tAetx t cos2 f iti t AeCCeetz ,2 ou A solução subcrítica f tAetx t cos2 m ke m b 2 0 4 2 2 0 http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm Amortecimento Supercrítico 0 2 ttt BeAeetx 2 Podemos usar a solução diretamente 2 0 2 4 onde Exemplo do decaimento ttt BeAeetx 2 Todos os regimes Exemplo de circuitos elétricos http://www.oz.net/~coilgun/theory/dampedoscillator.htm O Circuito LC - Analogia mecânica mE mvkx 22 22 U Li C q 22 22 vi m;L ;/1 ; kCxq CLm k 1 Oscilações Forçadas Ressonância Oscilações Forçadas 2 2 0 02 cos Fd x x t dt m tFtF cos 0 Força externa com frequencia angular Supomos uma solução da Eq. inomogênea do tipo tietz Solução do problema f tAtx cos 22 0 0 m F A Procedendo como antes temos uma equação algébrica cuja parte real tem como solução onde 00 ,0 ff e em fase fora de fase Interpretação (baixas frequências) t m F x dt xd cos02 02 2 0 t m F x cos 2 0 0 se A solução está em fase com a força!!!! Interpretação (altas frequências) t m F x dt xd cos02 02 2 0 se t m F x cos 2 0 A solução está em fora de fase com a força!!!! Condições iniciais 00220 0 coscos f tBt m F tx 0,00 0 t dt dx x Solução geral = Solução particular + solução geral do Eq. H B e f0 constantes arbitrárias. Suponho que (condições iniciais) 22 0 0 00 022 0 0 000 0cos0 ff f m F B senv B m F x 0 0 0 0 coscos tt m F tx ttsent d dtt 0 0 0 0 0 cos coscos lim É uma derivada!! dai 00 0 0 2 t tsen m F tx Condições iniciais... RESSONÂNCIA!!! t m F x dt dx dt xd cos02 02 2 Usando a mesma técnica mostrada anteriormente, temos a solução: 22222 0 2 2 02 m F A f tAtx cos f 22 0 1tg Oscilações amortecidas forçadas Amortecimento fraco 0 Para 0 temos 00 4 1 2 2222 0 2 0 02 m F A f 22 0 1tg Ressonância RLC em série – Ressonância CL XX C L d d 1 LC d 1 Circuitos de sintonia Relaxando um pouco... http://phet.colorado.edu/sims/resonance/resonance_en.html http://www.exploratorium.edu/snacks/coupled_resonant_pendlm/index.html O Pêndulo Físico • Um pêndulo é feito ao pendurar uma vareta de comprimento L e massa m por uma de suas extremidades. Vamos encontrar a freqüência de oscilação para pequenos deslocamentos. L mg z x CM O Pêndulo Físico... • O torque em relação ao eixo de rotação (z) é = -mgd = -mg(L/2)sin -mg(L/2) para pequeno • Nesse caso • E portanto = I fica L d mg z L/2 x CM I 1 3 2mL 2 2 2 dt d mL 3 1 2 L mg d dt 2 2 2 3 2 g L onde d I Ou... 2 ImgR I mgR Pêndulo físico geral Problemas... Pêndulo de Torção... • Como = -k = I torna-se k d dt I 2 2 d dt 2 2 2 k I onde I fio Que é similar ao caso “massa-mola” exceto que I tomou o lugar de m (o que não deveria provocar surpresa…).
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