Livro-Fisica-II

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3 
Física Geral II 
 
Prof. Dr. Edmundo Marinho do Monte 
edmundo@fisica.ufpb.br 
 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL 
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br) 
Site da UFPBVIRTUAL: www.virtual.ufpb.br 
Site do curso: www.mat.ufpb.br/ead 
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 
 
Carga horária: 60 horas Créditos: 04 
 
Ementa 
 
Gravitação, Oscilação, Ondas, Ondas de Som, Estática e Dinâmica dos Fluidos, Temperatura, 
Calor, Transferência de Calor, Teoria Cinética dos Gases, Primeira e Segunda Lei da Termodinâmica. 
 
Descrição 
 
Este é um curso para alunos que tenham estudado mecânica newtoniana e cursado um ou mais 
semestres de cálculo. O conteúdo deste curso dá ao aluno uma boa cultura de física básica, exceto por não 
estudarmos outras propriedades da matéria, como por exemplo, carga. Como a própria ementa nos mostra, 
os assuntos abordados da física básica são em bom número e em muitos casos não imediatamente 
relacionados. Portanto, devemos estar atentos que este é um curso que requer muita dedicação e paciência 
para nos adaptarmos a mudanças bruscas de assunto de um capítulo para outro. Porém, este texto foi 
construído para servir de guia para formação de um curso básico de física para alunos, especialmente, da 
licenciatura em matemática. 
O propósito da unidade - Gravitação - é o de introduzir a lei da gravitação Newtoniana. Na unidade 
II introduziremos algumas ideias sobre oscilação. Na unidade temática III daremos algumas ideias do 
fenômeno ondulatório e sua introdução como modelo matemático, especialmente em uma corda. Na 
unidade IV daremos algumas ideias de fenômenos ondulatórios mais específicos como a propagação desses 
fenômenos em duas e três dimensões, tais como: ondas sonoras no ar. A mecânica dos fluidos será estudada 
de forma muito superficial, porém procuramos abordar os elementos essenciais. Noções de temperatura, 
calor e transferência de calor serão estudadas nos capítulo VI. No capítulo VII usaremos descrições 
macroscópicas e microscópicas para compreender as propriedades térmicas da matéria. O estudo das 
transformações de energia envolvendo calor, trabalho mecânico e outros tipos de energia e como essas 
transformações podem estar relacionadas com as propriedades da matéria chamaremos termodinâmica, no 
capítulo VIII estudaremos as leis da termodinâmica. 
Alguns problemas resolvidos e propostos serão fornecidos com a finalidade do estudante ter uma 
maior compreensão da teoria fixando alguns conceitos, medidas de grandezas físicas, etc. 
 
Objetivos 
 
O objetivo deste curso é fornecer para o aluno uma formulação mais precisa, em termos 
matemáticos, da gravitação newtoniana, oscilação, ondas, ondas sonoras, mecânica dos fluídos e da 
termodinâmica. Com isto, ao final deste curso o estudante deverá adquirir noções de física básica. 
 
 4 
Bibliografia 
 
No final deste texto será apresentada uma bibliografia básica, donde me apoiei para montar estas 
notas de aula. Muitos exemplos, problemas e figuras serão retirados dessa bibliografia, além de buscar 
muitas vezes a internet como ponto de apoio. 
 
Unidades Temáticas Integradas 
 
Unidade I Gravitação 
 
 A Lei de Newton da Gravitação Universal 
 Força Gravitacional Exercida pela Terra sobre uma Partícula 
 A Medida da Constante Gravitacional 
 Órbitas dos Planetas 
 Energia Gravitacional 
 O Campo Gravitacional 
 Interação Gravitacional entre uma Partícula e um Objeto Extenso 
 Teorema de Newton da Interação Gravitacional entre Distribuições Esféricas de Massa 
 Massa Gravitacional, Massa Inercial e o Princípio de Equivalência 
 Problemas resolvidos e propostos 
 
Unidade II Oscilação 
 
 Movimento Harmônico Simples 
 O Oscilador Harmônico Simples 
 Energia do Oscilador 
 Pêndulo Simples 
 Pêndulo Físico e Pêndulo de Torção 
 Oscilações Amortecidas e Oscilações Forçadas 
 Problemas resolvidos e propostos 
 
Unidade III Ondas 
 
 Pulsos de Onda 
 Ondas Viajando 
 Velocidade de Onda em uma Corda 
 Energia em uma Onda 
 A Superposição de Ondas 
 Ondas Estacionárias 
 Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Unidade IV Ondas de Som 
 
 Elasticidade 
 Ondas Sonoras – Ondas Longitudinais 
 Ondas Sonoras Estacionárias 
 Efeito Doppler 
 Problemas Resolvidos e Propostos 
 5 
Unidade V Estática e Dinâmica dos Fluidos 
 
 Pressão em um Fluido 
 Empuxo 
 Escoamento do Fluido 
 Equação de Bernoulli 
 Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Unidade VI Temperatura, Calor e Transferência de Calor 
 
 Expansão Térmica 
 Calor e Energia Térmica 
 Capacidade Calorífica e Calor Latente 
 Transferência de Calor 
 Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Unidade VII Teoria Cinética dos Gases 
 
 Equação do Gás Ideal 
 O Conceito de Pressão e Temperatura do Ponto de Vista Molecular 
 A Distribuição de Maxwell-Boltzmann 
 Calor Específico de um Gás 
 Processos Adiabáticos 
 Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Unidade VIII 1a , 2a e 3a Leis da Termodinâmica 
 
 Primeira Lei da Termodinâmica 
 Segunda Lei da Termodinâmica 
 A Máquina de Carnot 
 Entropia 
 Terceira Lei da Termodinâmica 
 Problemas Resolvidos e Propostos 
 
 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Unidade I - Gravitação 
 
 
fig. I.1. A figura mostra a interação gravitacional entre a Lua e a Terra. 
 
1. Situando a Temática 
 
 O propósito desta unidade temática é o de introduzir a lei da 
gravitação Newtoniana. Estudaremos a lei da gravitação universal formulada 
por Newton, a constante gravitacional G e sua medida, a aceleração da 
gravidade g de corpos caindo próximos à Terra, as órbitas dos planetas, a 
energia potencial gravitacional, a velocidade de escape, a ação gravitacional 
de uma massa esférica, a massa inercial e massa gravitacional com o 
princípio de equivalência. A fig. I.1 mostra a Lua em seu movimento orbital 
em volta da Terra e através da formulação Newtoniana da gravitação 
universal, a Lua e a Terra estão ligadas por uma força. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 A alta precisão da mecânica celeste é legendária. Cálculos usando as 
leis de Newton do movimento e a lei de Newton da gravitação permitiu 
predições para o movimento de planetas, satélites e cometas. Essa 
abordagem teórica concorda muito precisamente com as observações 
astronômicas. Por exemplo, predições de posições angulares planetárias 
concordam com as observações com uma precisão de poucos segundos de 
arco, mesmo depois de um período de dez anos. A teoria da gravitação 
Newtoniana provou ser eficiente quando astrônomos notaram um 
movimento anômalo de Urano. Eles previram que esse movimento anômalo 
estaria sendo provocado por uma força gravitacional vinda de uma massa nas 
2
Gm ML TF
r
 
1
2
R Rg T    
 
r 
 7 
vizinhanças daquele planeta. Um novo planeta foi encontrado, Netuno. 
 A força gravitacional é uma das quatro forças da natureza. Apesar de 
permear todo o nosso espaço físico, agindo sobre massas, é uma força de 
muito pouca intensidade quando comparada às forças fraca, forte e 
eletromagnética. Quando calculamos essa força entre dois prótons separados 
por uma distância de 15102  m obtemos um valor de 3410 N, enquanto 
obtemos 100 N para força eletromagnética. 
 A principal aplicação da gravitação é na astronomia, viagens 
espaciais de satélites, na medicina, etc. Apesar da gravitação de Newton ser 
uma teoria de alta precisão, algumas observações, como o desvio do periélio 
de Mercúrio, não coincidem com os cálculos previstos por essa teoria.Ao 
contrário da gravitação formulada pela Relatividade Geral, os dados 
observacionais do desvio do periélio de Mercúrio vêm a ser confirmados por 
essa outra teoria. 
 Atualmente, problemas fundamentais da física continuam a existir, 
por exemplo, como explicar a expansão acelerada do universo. Algumas 
tentativas estão sendo feitas, agora formulando a gravitação com teorias mais 
gerais do que a Relatividade Geral. 
 
3. A Lei de Newton da Gravitação Universal 
 
 Foi Newton quem descobriu que a força interplanetária que mantém 
os corpos celestes em suas órbitas é a força gravitacional. A lei da 
gravitação universal formulada por Newton estabelece que: 
Uma partícula atrai uma outra com uma força diretamente proporcional ao 
produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância entre elas. 
 A intensidade da força gravitacional entre duas massas 1m M e 
2m m separadas por uma distância r é 
 
2r
GMmF  eq. I.1 
 
 
 
 
fig. I-2. Interação gravitacional entre duas massa. 
 
onde G é a constante universal. Seu valor em unidades internacionais ou 
métrica é 
 
2211 /1067,6 kgNmG  
 
 A fig. I-2 mostra a direção da força atrativa sobre cada partícula. 
Note que as duas forças são de igual intensidade e direções opostas, elas 
formam um par ação e reação. Por outro lado, a ação da força é a distância, 
 
 8 
não requerendo contado entre as partículas e a atração gravitacional entre 
duas partículas é completamente independente da presença de outras 
partículas. Segue que a força gravitacional obedece ao princípio da 
superposição linear, isto é, a força gravitacional líquida entre dois corpos 
(por exemplo, Terra e Lua) é o vetor soma das forças individuais entre todas 
as partículas que compõem os corpos. Podemos assim usar este fato para 
aproximarmos os corpos celestes como partículas pontuais. 
 
4. Força Gravitacional Exercida pela Terra sobre uma Partícula 
 
 Aproximando a Terra e um corpo próximo a ela por um ponto, a 
força gravitacional exercida pela Terra sobre este corpo (partícula) é 
 
 2r
mGMF T ou 
r
r
r
mGMF T


 2 eq. I.2 
 
onde r é a distância medida do centro da Terra à partícula fora da Terra. Se a 
partícula está dentro da Terra a força é menor. 
 Se a partícula está na superfície da Terra em TRr  , então a eq. I.2 
 2
T
T
R
mGMF  eq. I.3 
 
A corresponde aceleração da massa m é 
 
 g
R
GM
m
Fa
T
T  2 eq. I.4 
Mas essa aceleração é exatamente aquela que chamamos aceleração da 
gravidade g. 
Em geral teremos a aceleração para uma distância r 
 
 g
r
R
r
GMa TT 2
2
2  eq. I.5 
 
fig. I.4. Gráfico da aceleração em m/s 2 da gravidade versus distância radial r em 
metros. 
TR 2 TR 3 TR 
4,9 
9,8 
 a 
r 
 
fig. I.3. Força gravitacional 
entre duas partículas. 
 
 9 
 
fig. I.5. Experimento de Cavendish. 
 
5. A Medida da Constante Gravitacional 
 
 A constante G é muito difícil de ser medida com 
precisão. Isto ocorre devido às forças gravitacionais entres 
massas no laboratório serem pequenas e portanto os 
instrumentos para detectar estas forças serem extremamente 
sofisticados. As medidas de G são feitas com uma balança de 
torsão de Cavendish. 
 
 
 O valor da constante G é determinado através da 
aproximação das pequenas massas das massas grandes e a 
comparação dos torques surgidos no cabo central de 
sustentação. 
 
 
 
 
6. Órbitas dos Planetas 
 
É razoável considerarmos o Sol fixo e imóvel estudando apenas o 
movimento dos planetas. 
Se supusermos as órbitas dos planetas aproximadamente circulares 
de raio r, a força gravitacional age como uma força centrípeta, tendo o Sol 
como o corpo central. Se a velocidade do planeta é v, a equação de 
movimento 
 
 
2
2
2 vr
GM
r
mvF
r
mGM
F sc
s  eq. I.6 
Temos que 
2r
v
T

 , onde T é chamado o período da órbita. Assim o 
período para órbita circular é dado por 
3
2
2 4 r
GM
T
s

 eq. I.7 
 Mesmo as órbitas dos planetas em torno do Sol sendo 
aproximadamente circulares nenhuma dessas órbitas é circular. Foi Kepler 
que mostrou através das observações este fato. Isso é a primeira lei de 
Kepler: 
‘As órbitas dos planetas são elipses com o Sol em um 
dos focos’ 
 
fig. I.6. Uma órbita elíptica de um planeta, com o Sol em 
um dos focos. 
 
 A segunda lei de Kepler expressa essencialmente a conservação do 
momentum angular do planeta em torno do Sol, já que a força gravitacional 
 10 
fig. I.7. Lei de Kepler das áreas 
é uma força central. Ela é chamada lei das áreas. 
‘O segmento de reta que une o Sol ao planeta varre áreas iguais 
em tempos iguais’ 
 A terceira lei de Kepler relaciona o período da órbita 
ao tamanho dela. Uma generalização da equação eq. I..7: 
‘O quadrado do período é proporcional ao cubo do semi-eixo 
maior da órbita do planeta’ 
 As três leis de Kepler são também aplicadas a satélites e a 
cometas. Também são aplicadas a órbitas de estrelas, como em 
sistemas binários de estrelas. Por outro lado, são aplicadas a movimento 
de projéteis próximos da Terra. 
 Notamos que na nossa descrição matemática do movimento 
planetário não contemplamos as forças dos outros planetas muito menores 
do que a do Sol. Porém, num tratamento mais preciso, essas forças devem 
ser levadas em conta. A força líquida sobre qualquer um dos planetas é então 
uma função da posição de todos os outros planetas. A solução da equação do 
movimento envolve o problema de muitos corpos. No cálculo do movimento 
de um planeta é incluído o cálculo do movimento dos outros planetas. Não 
temos uma solução exata desse problema, apenas cálculos envolvendo 
análise numérica. Dessa forma as leis de Kepler descrevem uma primeira 
aproximação do movimento planetário. Isto resulta no desvio do periélio de 
alguns planetas. 
 
7. Energia Gravitacional 
 
Sabemos do estudo da mecânica que a força gravitacional é uma 
força conservativa, isto é, o trabalho realizado por esta força para deslocar 
uma partícula de um ponto a outro somente depende da localização destes 
pontos e não do caminho entre eles. Assim podemos definir a energia 
potencial gravitacional 
)()( 0PUrdFrU
r
 


 eq. I.7 
Tomamos aqui um ponto numa distância infinita da massa central M 
e colocamos 0)( 0 PU . Note que esta integral pode ser calculada para 
qualquer caminho, em particular numa linha reta. Então, 
 
r
GMmdxiixGMmPUrdFrU
rr






 )/(0)()( 20 q.I.8 
 
Veja que a energia potencial gravitacional cresce com a distância, de 
um valor negativo para zero. Isto decorre naturalmente pelo fato da força ser 
atrativa. Por outro lado essa energia é mútua, de M e m, mas por exemplo se 
M >> m podemos dizer que a energia é apenas de m, já que praticamente M 
 11 
não se move. 
Algumas vezes é desejável calcular a força da energia potencial. 
Suponha que dois pontos P e Q são separados apenas por um deslocamento 
infinitesimal 

rd , então U(P) será diferente de U(Q) somente por uma 
quantidade infinitesimal, 
dzFdyFdxFrdFQUPUdU zyx 

)()( , assim 
)(),,(










 rU
z
U
y
U
x
UF . 
Neste caso dizemos que 

F provém de um potencial. Podemos rever 
este resultado em um curso básico de cálculo. 
A energia total é igual a U+K, mas se M é estática, entãoa energia 
cinética K é devida apenas ao movimento de m, assim pela conservação de 
energia, 
 
.
2
1 2 const
r
GMmmvKUE  eq. I.9 
 
Da eq. I.6 e eq. I.9 podemos calcular facilmente a energia para uma órbita 
circular: 
 
r
mGM
r
mGM
r
mGM
KUE sss
2
1
2
1
 eq. I.10 
 
 A energia negativa E é exatamente a metade da energia potencial. 
Para uma órbita elíptica a energia total é também negativa. Pode-se mostrar 
que E é escrito como na eq. I.10, substituindo r pelo semi-eixo maior da 
elipse. A energia total não depende do formato da elipse e sim do seu 
tamanho global. Se a energia é próxima de zero, então o tamanho da órbita é 
muito grande. O que caracteriza as órbitas de cometas, indo além do limite 
do sistema solar. Se a energia é exatamente zero, então a elipse torna-se uma 
parábola, para distâncias infinitas e velocidade zero. Se a energia é positiva, 
então a órbita é uma hipérbole, o astro alcança distâncias infinitas com 
velocidades diferentes de zero e continua movendo-se em linha reta. 
 Para um detalhamento sobre as órbitas dos planetas podemos estudar 
as curvas de potencial através da eq. I.9, calculando-se a expressão da 
velocidade para determinar qualitativamente: pontos de retorno e equilíbrio, 
níveis de energia, órbitas ligadas e não ligadas. Ou, de forma mais precisa, 
muito mais difícil, resolver uma equação diferencial definida pela eq. I.9 
para a posição da partícula. 
 
 Um objeto de massa m na superfície de um astro de massa M está 
sujeito a uma força da gravidade exercida por tal astro. Qual deve ser a 
velocidade inicial mínima aproximada que deverá ser lançado o objeto, da 
superfície do astro, para que ele não retorne mais? Como tal objeto escapará 
do astro? A velocidade correspondente é chamada velocidade de escape. No 
infinito a velocidade do objeto é zero e a energia potencial também. Dessa 
 12 
forma E = 0, como a única força que realiza trabalho é a gravitacional, que é 
conservativa, então na superfície, 

T
T
R
mGMmvUKE 2
2
10 
 
T
T
R
GMv 2 eq. I.11 
 
Note que estamos considerando um corpo lançado em pontos acima da 
superfície da Terra onde, aproximadamente, o atrito com o ar é zero e a força 
do Sol sobre ele tem um pequeno efeito. 
 
8. O Campo Gravitacional 
 
 Uma abordagem para descrever interações entre objetos na Terra que 
não estão em contato, veio com o conceito de um campo gravitacional o qual 
permeia nosso espaço físico. O campo gravitacional é definido como 
 

 F
m
g 1 eq. I.12 
 
O campo gravitacional em um ponto do espaço é igual à força 
experimentada por uma partícula teste colocada no ponto multiplicada 
escalarmente pelo inverso da massa da partícula. Note que a presença da 
partícula teste não é necessária para o campo existir. A Terra cria o campo. 
Como exemplo, considere um objeto de massa m próximo a superfície da 
Terra. O campo gravitacional a uma distância r do centro da Terra é 
 



r
r
r
mGM
m
F
m
g T2
11
 
 
 

 r
r
GMg T2 eq. I.13 
 
onde 

 rr
r
1
 é o vetor unitário apontando radialmente em direção à Terra e 
o sinal menos indica que o campo está na direção do centro da Terra. 
 
9. Interação Gravitacional entre uma Partícula e um Objeto Extenso 
 
 Notemos que até agora a interação gravitacional que estamos 
considerando é entre partículas. Porém agora temos interesse em saber como 
tratamos o caso de interação gravitacional entre objetos extensos. 
 Se uma partícula de massa m interage gravitacionalmente com um 
objeto extenso de massa M, a força gravitacional total exercida pelo objeto 
sobre a partícula pode ser obtida dividindo o objeto em vários elementos de 
 13 
massa iM para tomar o vetor soma sobre todas as forças exercidas por 
todos os elementos. A energia potencial para qualquer um desses elementos 
é dada por ii rMGmU / , como podemos ver na fig. I.8. 
 
A energia potencial total do sistema de partículas de massa M é obtida, 
quando tomamos 0 iM , 
dM
U Gm
r
   eq. I.14 
Agora calculamos a força gravitacional através de drdU / para obter 
 

 rr
dMGmF 3 eq. I.15 
onde 


 r
r
r
 é o vetor unitário dirigido do elemento dM em direção a 
partícula e o sinal menos indica que a direção da força é oposta a de 

r . 
 
10. Teorema de Newton da Interação Gravitacional entre Distribuições 
Esféricas de Massa 
 
 Vamos mostrar um teorema muito importante que trata da interação 
entre corpos extensos com simetria esférica. Os planetas, bem como outros 
corpos, podem ser considerados com esta simetria. 
 
Teorema: A interação gravitacional entre dois corpos que possuem 
distribuições de massa com simetria esférica, para pontos externos das 
esferas, é igual à interação gravitacional entre duas partículas localizadas 
nos centros dessas esferas. 
Prova: 
Podemos começar calculando a energia potencial total entre uma casca 
esférica, dividindo a casca em elementos de massa  iM , e uma 
partícula m no seu exterior, 
)(


i
i
r
MGmU eq. I.15 
onde ir é a distância entre iM e m. 
Tome um anel da casca como na 
fig. I.9 
 
 
Tome um anel de uma casca 
esférica, obviamente a reunião 
de desses anéis nos dá a casca 
inteira. O anel está a uma 
distância Lri  da partícula 
m. O anel tem uma largura Rd , um raio Rsenθ e uma circunferência 
m 
 
fig. I.8. Interação entre uma 
 partícula e um objeto extenso 
de massa M. 
 
fig. I. 9. Interação gravitacional entre duas massas esféricas. 
 
 14 
 Rsen2 e assim à área da superfície do anel é  dsenR22 . A massa 
do anel é proporcional a área dessa superfície. Como a massa total M é 
uniformemente distribuída sobre a área total 24R da casca, podemos 
escrever 


 dMsen
R
dsenRMM i 2
1
4
2
2
2
 para massa do anel. 
No limite 0 iM e encontramos da eq. I.15 
 
 L
dGmMsenU
2
 eq. I.16 
Aplicando a lei dos cossenos, cos2222 rRrRL  e calculando 
ddL / , onde r e R são constantes, RrL  como maior valor de L e 
RrL  como menor valor de L, teremos 
 
)2(
2
][
22
R
rR
GmML
rR
GmMdL
rR
GmMU Rr Rr
Rr
Rr
 

 
 
r
GmMU  eq.I.17 
 
 Esse resultado mostra que a energia potencial é calculada como se 
toda a massa estivesse em seu centro. Então a força, drdU / , entre a 
casca e a partícula é exatamente calculada como se toda a massa estivesse no 
centro. 
 A distribuição de massa esférica é uma coleção de cascas esféricas. 
Assim a força gravitacional entre a distribuição de massa esférica e a massa 
m será calculada como se toda a massa da esfera estivesse no seu centro, 
quando aplicado o princípio da superposição de forças. Note que este 
resultado permanece para uma densidade de massa não uniforme. Pela 
terceira lei de Newton, a distribuição de massa sente igual força. Agora se 
substituímos a partícula de massa m por uma distribuição de massa esférica, 
e indagamos sobre a força de atração gravitacional entre as distribuições de 
massa esférica, pelos argumentos acima é fácil ver que a força gravitacional 
é calculada como se as massas estivessem concentradas em um ponto. 
Terminando assim a prova do teorema. 
 Se agora a partícula está dentro da distribuição esférica o cálculo 
procede de forma análoga, isto é, apenas os limites da última integral são 
trocados para rRL e rRL  , para obtermos, 
 
R
GmMU  eq. I.18 
 
 Note que U é constante, dessa forma quando m se move no interior 
da esfera nenhum trabalho é realizado sobre ela, como consequência a força 
gravitacional é igual a zero em qualquer ponto no interior da casca esférica. 
 Para uma distribuição de massa esférica consideremos uma partícula 
dentro dessa distribuição. A força líquida que temos é devido à massa 
 15 
contida em um raio menor do que o raio onde a partícula está, como se a 
massa dessa parte da esfera estivesse concentrada em seu centro. Assim, de 
uma forma geral, teremos para intensidade de 

F 
 
2
)(
r
rGmMF  eq. I.19 
onde M(r) é a quantidade de massa contida dentro da massa esférica, cujo o 
raio é r, calculado a partir da localização da massa m. Esta é a força 
gravitacional sobre uma partícula localizada dentro de uma massa esférica. 
 
11. Massa Gravitacional, Massa Inercial e o Princípio de Equivalência 
 
 Quando a massa de um corpo é medida de acordo com sua inércia, 
dizemos que essa massa é inercial. Isto é, quando queremos medir a massa 
de um corpo, comparamos a massa desconhecida com uma massa padrão, 
fazendo-se exercer forças uma sobre a outra e calculando as razões das 
acelerações obtendo a razão inversa dessas massas. De acordo com essa 
definição, massa é a medida de sua inércia, ou seja, a medida da oposição 
que o corpo oferece a qualquer mudança de seu estado de movimento. 
 Por outro lado, quando medimos massa através de um peso padrão 
através de uma balança comparamos a força gravitacional que a Terra exerce 
sobre as massas. A massa medida dessa forma é chamada massa 
gravitacional. 
 Seria razoável que a massa de um corpo tivesse a mesma medida por 
ambos os métodos. 
 Sejam 1P e 2P os pesos de dois corpos, se 21 PP  , teremos 
2121 mmgmgm  . Isto é, as massas inerciais são iguais. A igualdade 
dessas massas inerciais se mantém devido ao fato delas poderem cair 
livremente com a mesma aceleração. 
 Por outro lado, podemos de um sistema referência acelerado simular 
os efeitos da gravidade. A similaridade entre os dois efeitos é chamada de 
princípio de equivalência. Por exemplo, se estamos num elevador fechado, 
em queda livre, não saberemos se estamos em um sistema acelerado ou se 
sujeitos a um campo gravitacional. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exemplo I. 1 
Qual é a força gravitacional entre um homem de 70 kg e uma mulher de 70 kg 
quando estão separados por uma distância de 10m? Trate as massas como particulas. 
Solução: 
N
m
kgkgkgmN
r
mGMF T 92
2211
2 103,3)10(
7070/.1067,6   . 
Exemplo I. 2 
 16 
As órbitas do planeta Vênus e da Terra são aproximadamente circulares quando 
giram em torno do Sol. O período de Venus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. 
Mostre que os raios das órbitas são tais que .38,1 VT rr  
Solução: 
De fato, usamos 3
2
2 4 r
GM
T
s

 para ambos os planetas para chegarmos a 
relação, 
38,1
)615,0(
)1(
5,1
5,1
5,1
5,1

ano
ano
T
T
r
r
V
T
V
T . 
 
Exemplo I. 3 
Sabendo-se que o raio médio orbital da Terra é m1110496,1  , calcule a massa do 
Sol. 
Solução: 
Usamos kg
GT
rMr
GM
T s
s
30
2
32
3
2
2 10989,144   , onde 
T= s710156,3  . 
 
Exemplo I. 4 
Um astronauta está em uma espaçonave com uma órbita circular de raio 
km3106,9  ao redor da Terra. Em um ponto da órbita ele faz a nave impulsionar 
para frente e reduz sua velocidade. Isto coloca a nave em uma nova órbita elíptica 
com apogeu igual ao raio da órbita velha, mas com perigeu menor. Suponha que o 
perigeu da nova órbita é km3100,7  . Compare os períodos da nova e velha 
órbita. 
Solução: 
O período da órbita velha, que é circular, sr
GM
T
T
velha
33
2
104,94   , 
enquanto de acordo com a terceira lei de Kepler o período da nova, que é elíptica, 
sa
GM
T
T
nova
33
2
105,74   , onde 
2/)100,7106,9( 33 kmkma  , a sendo o semi-eixo maior. Então o 
período da nova órbita é aproximadamente 20% menor do que o da velha. Mesmo o 
astronauta diminuindo sua velocidade no apogeu, ele leva menos tempo para 
completar a órbita. A razão disso vem do fato que o piloto cresceu sua velocidade no 
perigeu e encurtou a distância em torno da órbita. 
 
Exemplo I. 5 
Sabendo-se que o periélio de Mercúrio é m9109,45  e o afélio m9108,69  
encontre a velocidade de Mercúrio no periélio e no afélio. 
 
Solução: 
 
 17 
Note que no afélio e periélio as velocidades são perpendiculares ao raio assim a 
norma do momentum angular de cada ponto é dado por pPrmv e aa rmv . Usando a 
conservação de momentum angular 
aapP rmvrmv  
Por conservação de energia mecânica 
a
S
a
p
S
p r
mGMmv
r
mGMmv  22
2
1
2
1
. 
Substituindo a equação anterior nesta última, obtemos facilmente, 
smv p /1091,5
4 e smva /1088,3
4 . 
Exemplo I. 6 
Um ‘meteoróide’ está inicialmente em repouso no espaço interplanetário a uma 
grande distância do Sol. Devido a influência da gravidade, ele começa a cair em 
direção ao Sol ao longo de uma linha radial. Com qual velocidade ele colide com o 
Sol? 
Solução: 
A energia do ‘meteoróide’ é 
.
2
1 2 const
r
mGMmvE S  
Inicialmente U = 0 e K = 0, já que v = 0 e r  . Assim em qualquer tempo depois 
0
2
1 2 
r
mGMmvE S ou 
r
GMv S2 , no momento do impacto, 
SRr  , onde mRS
81096,6  . Logo smv /1018,6 5 . Essa quantidade 
é chamada velocidade de escape, caso o corpo estivesse sendo lançado do Sol. 
 
Exemplo I. 7 
Qual a energia potencial gravitacional de uma partícula na vizinhança da Terra? 
Solução: 
Sabemos que, 
r
mGMrU T)( 
A mudança de energia potencial entre o ponto r e o ponto sobre a superfície 
da Terra é então 
T
TT
T R
mGM
r
mGMRUrUU  )()( 
Se TRr  e zRr T  é a altura acima da superfície da Terra da partícula m 
gmzz
R
mGMU
T
T  2 . 
Essa é nossa velha expressão da energia potencial gravitacional de uma partícula de 
massa m a uma altura z da superfície da Terra. Note que esta aproximação que 
fizemos vale para TT RzRr  . 
Exemplo I. 8 
 18 
Uma esfera tem massa M e raio R. Encontre a força gravitacional sobre uma 
partícula de massa m em um raio Rr  . 
Solução: 
A massa contida na esfera de raio r é diretamente proporcional ao volume 3/4 3r . 
A massa total M é distribuída sobre o volume 3/4 3R . Assim 
3
3
3
3
3/4
3/4)(
R
Mr
R
rMrM 


 e r
R
GmM
r
rGmMF 32
)(
 
 
Note que a força cresce diretamente proporcional ao raio r, quando r = R a força 
para de crescer e começa a decrescer com 2/1 r . 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício I. 1 
Um satélite de comunicações tem uma órbita circular equatorial ao redor da Terra. 
O período da órbita é exatamente um dia, pois o satélite sempre permanece numa 
posição fixa relativa a rotação da Terra. Qual deve ser o raio de tal órbita 
geoestacionária? 
Resposta: mr 71023,4  
 
Exercício I. 2 
A massa 1m de uma das esferas pequenas da balança de Cavendish é igual a 0,0100 
kg, a massa 2m de uma das esferas grandes é igual a 0,500 kg, e a distância entre o 
centro de massa da esfera pequena e o centro de massa da esfera grande é igual a 5 
cm. Calcule a força gravitacional F sobre cada esfera produzida pela esfera mais 
próxima. 
Resposta: use a expressão da força para achar duas forças de mesmo valor e de 
intensidade muito pequena. 
Exercício I. 3 
Suponha que uma esfera pequena e uma esfera grande sejam destacadas do 
dispositivo da balança de Cavendish, descrita no exercício acima, e colocadas a uma 
distância de 5 cm entre os centros das esferas, em um local do espaço muitoafastado 
de outros corpos. Qual é a intensidade da aceleração de cada esfera em um 
referencial inercial? 
Resposta: 28 /1033,1 sm e 101066,2  
Exercício I. 4 
r 
F 
R 
 
 19 
 
Uma nave está sendo projetada para levar material até Marte que tem 
mRM
61040,3  e massa kgmM
231042,6  . O veículo explorador que 
deve pousar em Marte possui peso na Terra igual a N39200 . Calcule o peso e a 
aceleração desse veículo em Marte. (a) a uma altura de m6106 acima da 
superficie de Marte. (b) e sobre a superfície de Marte. Despreze os efeitos 
gravitacionais das Luas de Marte que são muito pequenas. 
Resposta: (a) 1940 N e 0,48 2/ sm ; (b) 15000 N e 3,7 2/ sm 
 
Exercício I. 5 
(a) Um corpo de massa m é lançado verticalmente da Terra. Qual a velocidade 
mínima necessária para atingir uma altura igual ao raio da Terra? 
(b) Qual a velocidade de escape desse corpo? 
Despreze a resistência do ar, a rotação da Terra e a atração da Lua. 
mRT
61038,6  e kgM T
241097,5  . 
Resposta: (a) hkm /28400 e (b) hkm /40200 
 
Exercício I. 6 
Três esferas estão localizadas nos vértices de um triângulo 
retângulo de 045 . Determine a norma e a direção da força 
gravitacional resultante sobre a esfera menor exercida pela ação 
das duas esferas maiores. 
 
 
Resposta: Força de 111017,1  N e 06,14 em relação ao eixo x. 
 
 
 
Exercício I. 7 
Pesquise para encontrar uma relação entre o peso aparente e o peso real de um corpo 
localizado na Terra. 
 
Exercício I. 8 
Pesquise para descrever a ideia fundamental do conceito de buraco negro com base 
nos princípios da mecânica de Newton. 
 
Exercício I. 9 
Pesquise e responda: Quando o centro de gravidade de um sistema de partículas 
coincide com seu centro de massa? 
 
Exercício I. 10 
Uma barra homogênea de comprimento L e massa M, fina (sem espessura), está a 
uma distância h de uma partícula de massa m, ambas as massas localizadas na 
horizontal. Calcule a força gravitacional exercida pela barra sobre a partícula. 
Resposta: 


 i
Lhh
GMmF
)(
. 
 
Exercício I. 11 
 20 
Duas partículas cada uma de massa M estão fixadas sobre o eixo y, em y = b e y = -
b. Encontre o campo gravitacional em um ponto p sobre o eixo x, a uma distância x 
a direita de x = 0. 
Resposta: 


 i
bx
GMxg
2
322 )(
2
. 
 
Exercício I. 12 
Um projétil é lançado verticalmente para cima da superfície da Terra com uma 
velocidade inicial de 15 km/s. Encontre a velocidade do projétil quando ele estiver 
‘muito longe da Terra’, desprezando os efeitos do ar. Se ele tivesse inicialmente 
uma velocidade de 8 km/s, qual a atura máxima que ele atinge? Despreze novamente 
os efeitos do ar. 
Resposta: 10 km/s e 1,05 TR . 
 
Exercício I. 13 
Uma esfera sólida de raio R e massa M é simetricamente esférica, mas não 
uniforme. Sua densidade ρ é proporcional à distância do centro da esfera, para 
Rr  . Isto é, Cr para Rr  e ρ = 0 para Rr  , onde C é uma constante. 
(a) Encontre C. (b) Encontre o campo gravitacional para Rr  . (c) Encontre o 
campo gravitacional em r = R/2. 
Resposta: (a) 4/ RMC  , (b) 2/ rGMg  , (c) 24/ RGM . 
 
Exercício I. 14 
Pesquise sobre o fenômeno das marés em gravitação. 
 
 
 21 
Unidade II - Oscilação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Situando a Temática 
 
 O propósito desta unidade temática é o de introduzir algumas ideias 
sobre oscilação. Estudaremos o movimento harmônico simples, o oscilador 
harmônico simples, que pode ser modelado por um sistema acoplado massa-
mola, a energia de um oscilador, o pêndulo simples e outros sistemas 
oscilantes, como por exemplo, o pêndulo físico. Também estudaremos as 
oscilações amortecidas e forças. A fig. II.1 mostra o gráfico de um sistema 
oscilante e uma engrenagem oscilante. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 Um dos assuntos de mais importância na física é aquele que estuda 
os fenômenos oscilantes. A oscilação está presente na natureza, como o 
movimento orbital de um planeta ao redor do Sol, o movimento de rotação 
de um CD em um computador, o movimento de vai e vem de um pistão em 
uma engrenagem de um automóvel, a vibração de uma corda em uma 
guitarra, o movimento vibratório de uma ponte ou edifício, etc. 
 Quando estudamos em detalhes um sistema acoplado mola-massa, as 
equações matemáticas que se desenvolvem para descrever tal sistema são de 
grande importância, pois equações análogas são resgatadas na descrição de 
todos outros sistemas oscilantes. 
 Dentre muitos problemas ligados a oscilação de um sistema físico, 
pode ser citado um problema prático que existir na mecânica de automóveis: 
as forças dos gases da combustão geram torque pulsante na árvore de 
manivelas e no volante, em regimes de baixas rotações, onde se podem 
detectar com mais evidência essas oscilações de torção. Essas oscilações são 
transmitidas através da embreagem ao sistema de transmissão do veículo. As 
engrenagens livres da transmissão recebem essas oscilações, gerando 
vibrações entre os dentes das engrenagens livres, resultando em ruídos em 
regimes de marcha lenta. A solução desse problema surge através de um 
sistema de amortecimento de molas e um volante bi-massa. Esse é um 
exemplo de oscilação ligada à indústria automobilística. Veja a fig. II.2 para 
ter uma ideia do problema. 
 
 
fig. II.1. Exemplos de oscilações e osciladores. 
 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fig. II.2. Exemplo de um sistema oscilante na indústria automobilística. 
 
3. Movimento Harmônico Simples 
 
 O movimento de uma partícula ou de um sistema de partículas é 
periódico se ele é repetido em intervalos regulares de tempo. Um movimento 
periódico de vai e vem de um corpo é chamado de oscilação. Existem muitos 
movimentos dessa natureza como, por exemplo, o movimento de um pistão, 
de um pêndulo, de uma corda de guitarra, etc. 
 Um movimento é dito movimento harmônico simples (MHS) se a 
posição como função do tempo tem a forma 
 
)cos(   tAx eq. II.1 
 
onde A,  e  são constantes. A quantidade A e chamada de amplitude do 
movimento, que é a distância entre o ponto médio (x = 0) e o ponto de 
retorno ( x = A ou x = -A);  é a frequência angular, que está relacionado 
ao período do movimento, isto é, 
 

2
T eq. II.2 
 
Enquanto que a frequência do movimento, 
 
T
1
2



 eq. II.3 
 
 A unidade de frequência é dada em ciclos por segundo e de 
frequência angular radianos por segundo. A unidade de frequência 
usualmente é o Hz (hertz): 1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo por segundo. O 
argumento do cosseno, )2(  t é chamado de fase e  é dita fase 
constante. Essa constante determina em que tempo a partícula alcança o 
 
 23 
ponto de deslocamento máximo. Isto é, 0max  t ou 

maxt . O 
que nos mostra que a partícula alcança o ponto de deslocamento máximo em 
-  / , antes de t = 0. 
 Note que )]2/([)cos(   tAsentAx , pode ser 
representado por uma função seno quando mudamos a fase constante. Por 
outro lado, 
tsenAsentAtAx  )(cos)cos()cos(  , expressando o 
MHS como uma superposição de funções senos e cossenos. 
 Existe uma simples relação geométrica entre o MHS e MCU – 
movimento circular uniforme. Considere uma partícula movendo-se com 
uma velocidade angular  sobre um círculo de raio A. Se em t = 0 a posição 
angular dela é   , então a posição angular num tempo depois é 
  t , as coordenadas do ponto do círculo são 
)cos(   tAx e )2/cos()(   tAtAseny , 
 donde vemos que xe y possuem MHS. 
 
4. O Oscilador Harmônico Simples 
 
 O Oscilador Harmônico Simples consiste de uma massa acoplada 
uma mola de massa ideal que obedece a lei de Hooke. 
 
 
 
 
 
fig. II-3. Deslocamento de uma 
massa ligada a uma mola de acordo 
com a lei de Hooke. 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a segunda lei de Newton obtemos a equação de movimento da massa 
do sistema acoplado massa-mola 
 
kx
dt
xdm 2
2
 eq. II.4 
 
Podemos resolver essa equação através de equações diferenciais, mas vamos 
deixar para um curso de mecânica geral esses cálculos. Sabemos que, dadas 
as condições iniciais de eq. II.4, podemos garantir a existência da solução da 
equação e, nesse caso, determinar o movimento. 
 
 24 
Da eq. II.1 calculando-se a primeira e segunda derivadas com relação ao 
tempo obtemos 
x
dt
xdm 22
2
 eq. II.5 
 
Assim comparando eq. II.4 e eq. II.5 concluímos que o movimento massa-
mola é um MHS com uma frequência angular 
 
m
k
 eq. II.6 
 
Para as condições iniciais, t = 0, teremos, a velocidade 0vv  e a posição 
0xx  , onde cos0 Ax  e Asenm
kv 0 . Daí e do fato do sistema 
massa-mola ser um MHS 
 
)()cos()cos( 00 tm
ksen
k
mvt
m
kxt
m
kAx   eq. II.7 
que expressa o movimento em termos das condições iniciais. 
 
5. Energia do Oscilador 
 
A energia cinética de uma massa m em um MHS é: K = 2
2
1 mv , 
 
1 2[ ( )]
2
1 12 2 2 2 2( ) ( )
2 2
K m A sen t
mA sen t kA sen t
  
    
   
  
 eq. II.8 
 
Enquanto a energia potencial associada à força restauradora da mola, que é 
conservativa, é 
 
)(cos
2
1)]cos([
2
1
2
1 2222   tkAtAkkxU eq. II.9 
 
O valor máximo para K e U é igual a 2
2
1 kA e o valor mínimo é 0. Quando x 
= 0, K é máxima pois a velocidade é máxima nesse ponto, enquanto U = 0. 
Quando a massa alcança o ponto de retorno K = 0 e U é máxima, isto para 
um deslocamento máximo. 
 Como a força é conservativa, E = K + U é uma constante de 
movimento. Note que podemos ver facilmente 
 
2
2
1 kAE  eq. II.10 
 25 
 
fig. II. 4. Curva de potencial 
do MHS como função de x 
Note que o deslocamento máximo e velocidade máxima podem ser dados 
em termos de E 
 
k
EAx 2max  e m
Ev 2max  eq. II.11 
 
Vamos analisar a curva de potencial para um MHS 2
2
1 kxU  
que podemos ver no gráfico ao lado: 
 
 
 
Note que os valores máximos para os deslocamentos dependem 
do valor de E mostrado no gráfico como o nível de energia. 
Aumentando-se a altura do nível de energia a amplitude de 
oscilação aumenta, visto que a distância entre os pontos de 
retorno aumenta. 
 
 
6. Pêndulo Simples 
 
 O pêndulo simples consiste de uma partícula sustentada por um fio 
inextensível de massa desprezível. Ele oscila em torno da posição de 
equilíbrio, como podemos ver na fig. II.5. 
 
 Como a partícula e o fio estão dispostos 
como uma unidade rígida, o movimento pode ser 
considerado como uma rotação em torno de um eixo 
localizado no ponto de suspensão, então 
 
2
2 2
2
I mgLsen
dmL mgLsen mL
dt
  

 
   
   
 
 
2
2
dt
dLgsen   eq. II.11 
 
Para pequenas oscilações do pêndulo,  sen (isto pode ser entendido 
através da série de Taylor para função  senf )( sobre o ponto 0 ) a 
eq. II.11 torna-se, 
 
2
2
dt
dLg   eq. II.12 
Veja que esta equação tem a mesma forma da eq. II.4 e, dessa forma, é um 
MHS, isto é, 
)cos(   tA eq. II.13 
 
fig. II.5. Diagrama de um pêndulo simples. 
 
 26 
com frequência angular de um pêndulo simples igual a 
Lg / . Enquanto o período é dado por 
gLT /2/2   . Notemos que o período somente depende do 
comprimento do fio e da aceleração da gravidade e não da massa da partícula 
e amplitude de oscilação. 
 A energia de cinética pode ser vista como, 
 2222 )]([
2
1][
2
1
2
1


 tAsenmL
dt
dIIK 
 
)(
2
1 22   tsenmgLAK eq. II.14 
 A energia potencial é simplesmente a energia potencial 
gravitacional, 
)cos1()cos(   mgLLLmgmghU , mas se  é suficiente 
pequeno, levando em conta uma aproximação através da série de Taylor 
para função  cos)( f sobre o ponto 0 , 2
2
11cos   , portanto 
a energia potencial  2
2
1
mgLU 
 
)(cos
2
1 22   tmgLAU eq. II.15 
Notemos que .
2
1 2 constmgLAUKE  . Assim E é uma constante 
de movimento. 
 
7. Pêndulo Físico e Pêndulo de Torção 
 
 Nós vimos na secção anterior que o pêndulo simples comporta-se 
como um MHS para pequenas amplitudes de oscilação, próximas à posição 
de equilíbrio. Muitos outros sistemas físicos comportam-se dessa forma. Isto 
é, a força efetiva é usualmente proporcional ao deslocamento. Vejamos isto 
através da série de Taylor para uma F = F(x), onde x é o deslocamento. 
 
...
2
1)0()( 2
0
2
2
0













x
dx
Fdx
dx
dFFxF
xx
 eq. II.16 
 
 Se o movimento é em três dimensões cada componente da força tem 
um desenvolvimento de Taylor semelhante nas respectivas direções. 
Podemos ter x =  quando o deslocamento for angular. 
 Para x = 0, no ponto de equilíbrio, F(0) = 0 e se o deslocamento é 
suficientemente pequeno os termos de ordem superior ou igual a dois podem 
ser desprezados quando comparados aos de primeira ordem. Assim, 
 
x
dx
dFxF
x 0
)(






 eq. II.17 
 27 
 Se tivermos kxxF )( , onde 
0






xdx
dFk vemos que a lei de 
Hooke é uma aproximação geral que descreve forças para pontos próximos 
ao de equilíbrio. É fácil ver, analisando a derivada de F com relação a x, que 
podemos verificar que teremos um equilíbrio estável quando 0k (a força 
é restauradora), equilíbrio instável quando 0k (a força é repulsiva), 
enquanto x = 0 teremos um equilíbrio neutro. 
 Um pêndulo físico consiste de um corpo sólido que está suspenso 
por um eixo. Sob a influência da gravidade, o corpo tem um movimento de 
vai e vem. Podemos ver na fig. II.6 o diagrama de um pêndulo físico. 
 
 A equação de movimento é aquela para um corpo 
rígido, 
2
2
dt
dII   , por um lado  MgLsen e assim 
obtemos a equação de movimento para oscilações 
suficientemente pequenas, 
 
2
2
dt
dIMLg   eq. II.18 
 
A solução dessa equação representa um MHS com frequência 
IMgL / . 
 O pêndulo de torção é muito parecido com o pêndulo 
físico, entretanto a força de restituição (peso) é substituída por 
um tipo de mola espiral. Sob a suposição que o deslocamento do pêndulo de 
torção da posição de equilíbrio seja suficientemente pequeno, o torque é 
proporcional ao deslocamento angular 
 
  eq. II.19 
 
onde  é a constante de torção da mola ou fibra, com unidades 
Nm/rad. A equação de movimento do corpo rígido é 
 
2
2
dt
dI   eq. II.20 
 
Que é novamente a equação de um oscilador que possui MHS, cuja 
frequência é dada por 
I/  . Podemos ver exemplos de pêndulos de torção na 
figura ao lado. 
 
8. Oscilações Amortecidas e Oscilações Forçadas 
 
 Em um oscilador real, digamos um pêndulo, existem forças externas, 
por exemplo forças de atrito. Se o pêndulo começa a se movimentar com 
uma amplitude ao longo do tempo essa amplitude diminui. 
 
fig. II.6. Diagrama de um pêndulo físico. 
 
 
 28 
 A fig. II.8 mostra o deslocamento de umoscilador com atrito. O movimento resultante é 
chamado de movimento harmônico amortecido. 
Esse movimento pode ser representado pela 
função 
 
)cos(
_
)2/(
0  
 teAx tmb eq. II.21 
 
quando a força de amortecimento bv é 
suficientemente pequena e x é solução da 
equação diferencial, 2
2
dt
xdm
dt
dxbkx  , 
onde 22
_
4// mbmk  na eq. II.21. 
Quando kmb 2 em 
_
 , teremos um amortecimento crítico, o sistema 
não oscila mais, retornando para sua posição de equilíbrio sem oscilar. 
kmb 2 corresponde a um superamortecimento. O sistema não mais 
oscila também mas volta para posição de equilíbrio mais devagar do que o 
caso anterior. Enquanto para kmb 2 o sistema oscila com uma 
amplitude que diminui continuamente. Essa condição denomina-se de 
subamortecimento. 
 Um amortecedor de carro é um exemplo de oscilador amortecido, 
bem como um dispositivo usado nas raquetes de tênis que diminui as 
vibrações. 
 
 Nas oscilações amortecidas, a força de 
amortecimento não é conservativa, a energia mecânica não é 
constante e diminui tendendo a zero ao passar o tempo. 
Vamos deduzir a taxa de variação da energia. 
 Temos que 
dt
dxkx
dt
dvmv
dt
dEkxmvE  22
2
1
2
1
 como 
2
2
dt
xdm
dt
dxbkx  
 
2bv
dt
dE
 eq. II.22 
 
 Podemos manter constante a amplitude das oscilações amortecidas 
se fornecemos ao sistema um empurrão no final de cada ciclo. Esta força 
adicional é chamada de força propulsora. 
 Quando aplicamos uma força propulsora variando periodicamente 
com  a um oscilador harmônico amortecido, o movimento resultante é 
uma oscilação forçada. A frequência da oscilação da massa é igual a 
frequência da força propulsora  . Veja que .
_
  O caso mais simples é 
aquele em que a força propulsora é senoidal, isto é, tsenFtF max)(  . 
Novamente não vamos resolver a equação diferencial, deixado para outro 
 
fig. II.8. Linha de universo de uma partícula com 
movimento harmônico amortecido. 
 
fig. II.9. Exemplos de osciladores amortecidos 
 
 29 
curso. A expressão da amplitude de um oscilador forçado em função de  é 
222
max
)( wbmk
FA



. Quando mk / em 2mk  = 0, 
maxAA  . 
Quando a amplitude correspondente à oscilação forçada está próxima da 
frequência da oscilação natural do sistema, essa amplitude atinge um pico, 
dizemos que ocorreu o fenômeno da ressonância. A ressonância de um 
sistema mecânico pode ser destrutiva. Em projetos da aviação e de 
engenharia este conceito é fundamental. O tratamento matemático da 
ressonância é deixado para um curso de mecânica geral. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exemplo II. 1 
Uma espécie de altofalante usado para diagnóstico médico, oscila com uma 
frequência de MHz7,6 . Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular? 
Solução: 
O período T é dado por s
Hz
T 76 105,1107,6
11 



. Por outro lado 
sabemos que )(/2(2 ciclorad  6107,6  ciclos/s) = 
7102,4  rad/s. 
 
Exemplo II. 2 
Em um sistema acoplado verificamos que ao puxarmos a mola por um dinamômetro 
da esquerda para direita com uma força de 6 N, este produz um deslocamento de 
0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e colocamos uma massa de 0,50 kg 
em seu lugar. Puxamos a massa a uma distância de 0,020 m e observamos o MHS 
resultante. Calcule a constante da mola. Calcule a frequencia, frequencia angular e o 
período da oscilação. 
Solução: 
A força restauradora da mola é -6,0 N, assim mN
x
Fk /200
030,0
6
 . 
A frequência 20
m
k
 rad/s. A frequência angular é 
Hzsciclos
ciclorad
srad 2,3/2,3
/2
/20
2



 . O período 
ciclosT /31,01 

 ou simplesmente 0,31 s. 
 
Exemplo II. 3 
No exemplo anterior coloque m = 0,50 kg, um deslocamento inicial de 0,015 m e 
uma velocidade inicial 0,40 m/s. Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase 
do movimento. Escreva as equações para o deslocamento, a velocidade e a 
aceleração em função do tempo. 
 
 30 
Solução: 
O período é o mesmo pois, para um MHS, este somente depende da massa e de k . 
A amplitude m
v
xA 025,0)( 2
1
2
2
02
0  
. O ângulo de fase é calculado por 
tg
x
v

0
0 rad93,053   . 
Agora teremos )cos(   tAx = 0,025cos(20t-0,93); 
 )93,020(50,0)(  tsentAsenv  ; 
 ).93,020cos(10)cos(2  ttAa  
 
Exemplo II. 4 
Na oscilação do ex.II.2 coloque x = 0,020 m. Ache a velocidade máxima e mínima 
atingidas pela massa que oscila. Ache também a aceleração máxima. Calcule a 
velocidade e a aceleração quando a massa está na metade da distância entre o ponto 
de equilíbrio e seu afastamento máximo. Qual a energia total, a potencial e a energia 
cinética nesse ponto? 
Solução: 
Da eq. II.10 podemos expressar 22 xA
m
kv  . A velocidade máxima 
acontece quando x = 0 passando a massa da esquerda para direita e assim v = +0,40 
m/s. Enquanto a velocidade mínima acontece quando x = 0 passando a massa da 
direita para esquerda, v = -0,40 m/s. 
Temos que x
m
ka  . A aceleração máxima se dará para x = -A. Logo a = +8 
2/ sm . A aceleração mínima ocorre em x = +A e assim, a = 2/8 sm . 
Para 2/Ax  , smv /35,0 e 4a m/s. 
A energia total será dada por eq. II.10, E = 0,040J. Enquanto 
JkxU 010,0
2
1 2  e .030,0
2
1 2 JmvK  
 
Exemplo II. 5 
Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um MHS na 
horizontal com uma amplitude 1A . No instante em o bloco passa na posição de 
equilíbrio, uma massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura. 
Calcule a nova amplitude e o período do movimento. 
Solução: 
Note que o movimento está dependo da posição e assim usamos o método da 
energia. Antes da massa cair E = const.. Quando ela cai a colisão é totalmente 
inelástica, a energia diminui, voltando a ser constante depois da colisão. 
Antes da colisão: 111
2
11 2
1
2
10 A
M
kvkAMvE  . Enquanto o 
momentum linear é .01 Mv 
Durante a colisão existe conservação do momentum linear do sistema massa-bloco. 
A colisão dura muito pouco tempo, de forma que a massa e o bloco se encontram em 
 31 
x = 0. Note que U = 0 e que temos somente K, porém menor do que K antes da 
colisão. 
Depois da colisão: O momentum linear é 2)( vmM  e pela lei de conservação de 
momentum linear 21 )( vmMMv  , de onde podemos obter 2v e obtermos, 
1
2
1
2
2
22 2
1)(
2
1 E
mM
Mv
mM
MvmME



 . Na verdade podemos dizer 
que a energia cinética perdida é usada para elevar a temperatura do bloco. Como 
mM
MAAkAE

 1222 2
1
. 
O cálculo do período é 
k
MmT  2 . Veja que a amplitude tornou-se maior e 
o período menor. 
 
Exemplo II. 6 
Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos. 
Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele 
baixa 2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um 
buraco, o carro oscila verticalmente com MHS. Modelando o carro e a pessoa como 
uma única massa apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da 
oscilação. 
Solução: 
A constante da mola é 4105,3
028,0
980



x
Fk . A massa da pessoa é 
kggP 100/  . A massa total que oscila é m=1100 Kg. O período 
s
k
mT 11,12   . Enquanto a frequência é Hz90,0 . 
 
Exemplo II. 7 
Suponha que o corpo de um pêndulo físico seja uma barra de comprimento L 
suspensa em uma de suas extremidades. Calcule o período de seu movimento 
oscilatório. 
Solução: 
O momento de inércia de uma barra em relação a um eixo passando em sua 
extremidade é 
2
3
1 MLI  . A distância entre o eixo de rotaçãoe o centro de massa é L/2. Para este 
pêndulo físico, 
g
L
g
L
MgL
IT  2
3
2
3
22
2/
2  . Note que o período desse 
pêndulo físico é 
3
2
 do período de um pêndulo simples. 
 
 
 
 
 
 32 
Exercícios Propostos 
 
Exercício II. 1 
Uma massa de 400 kg está se movendo ao longo do eixo x sob a influência da força 
de uma mola com mNk /105,3 4 . Não existem outras forças agindo na 
massa. O ponto de equilíbrio é em x = 0. Suponha que em t = 0 a massa está em x = 
0 e tem velocidade de 2,4 m/s na direção positiva. Qual a frequência de oscilação, 
qual a amplitude e onde a massa estará em t = 0,60 s? 
Resposta: 1,5 Hz; 0,26 m; -0,16 m. 
 
Exercício II. 2 
Uma massa m está pendurada vertivalmente acoplada a uma mola de constante k. 
Encontre a equação de movimento, quando levamos em conta a força da gravidade. 
Resposta: kmgtAx /)cos(   . 
 
Exercício II. 3 
Uma molécula de hidrogênio ( 2H ) pode ser considerada um sistema de duas 
massas ligadas por uma mola. O centro da mola, ou seja, o centro de massa do 
sistema pode ser considerado fixo e assim a molécula consiste de dois osciladores 
vibrando em direções opostas. A constante da mola é mN /1013,1 3 e a massa 
de cada H é kg271067,1  . Suponha que a energia de vibração da molécula é 
J19103,1  . Encontre a amplitude da oscilação e a velocidade máxima. 
 
Resposta: m11101,1  e sm /108,8 3 . 
 
Exercício II. 4 
Qual é o comprimento do pêndulo em um lugar cuja gravidade 2/81,9 smg  ? O 
pêndulo tem um período de exatamente 2 s , onde cada balanço leva 1 s. 
Resposta: 0,994 m. 
 
Exercício II. 5 
Um pêndulo físico consiste de uma esfera uniforme de massa M e raio R suspensa 
por um cabo com massa desprezível e comprimento L. Levando em conta o tamanho 
da bola, qual é o período de ‘pequenas’ oscilações desse pêndulo? 
Resposta: 
2
( )
2 2 2( )
5
g R L
R R L


 
 
 
Exercício II. 6 
O haltere da balança de Cavendish consiste de duas massas iguais de 0,025 kg 
conectadas por uma barra com massa desprezível e de comprimento 0,40 m. Quando 
o conjunto se movimenta, a balança gira para frente e para trás com um período de 
3,8 minutos. Encontre o valor da constante de torção. 
Resposta: radmN /.1052,1 6 . 
 33 
Unidade III - Ondas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Situando a Temática 
 
 Nesta unidade temática daremos algumas ideias do fenômeno 
ondulatório e sua introdução como modelo matemático, especialmente em 
uma corda. Estudaremos os conceitos básicos como ondas transversais, 
longitudinais, pulsos de onda, função de onda geral, ondas em uma corda, 
energia de uma onda, superposição de ondas e ondas estacionárias. Nesta 
unidade e na próxima estudaremos as ondas mecânicas que são perturbações 
que se propagam em um meio. Porém na natureza não temos apenas ondas 
mecânicas, temos as ondas eletromagnéticas que não necessitam de meio 
para se propagar. Ainda existem outros fenômenos ondulatórios associados 
ao comportamento das partículas atômicas e subatômicas, ligados aos 
fundamentos da mecânica quântica. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 Quando estudamos o movimento de rotação de um corpo rígido, as 
partículas que o compõe não se movem umas com relação as outras. 
Diferentemente para um corpo deformável como o ar, água, cordas, sólidos 
elásticos, podemos estudar o movimento ondulatório desse corpo, isto é, um 
movimento coletivo de partículas em um corpo, mas aqui as partículas se 
movem relativamente umas com relação as outras e elas exercem forças, que 
dependem do tempo, umas contra as outras. 
 
3. Pulsos de Onda 
 
 Considere uma corda elástica como um sistema de partículas que 
está submetida a uma perturbação em um de seus pontos. O movimento é 
 
fig. III.1. Exemplos de ondas. 
 34 
transmitido de uma partícula a outra e a perturbação se propaga ao longo das 
linhas das partículas. Tal perturbação é chamada de pulso de onda. 
Dependendo da direção da perturbação, ela pode ser chamada de onda 
transversal ou onda longitudinal, como podemos distinguir na fig. III.2. 
 
 
 
 
 
 
 
4. Ondas Viajando 
 
 
Considere um pulso de onda transversal, 
como na fig. III.3, viajando ao longo de uma 
corda com uma velocidade v. Suponha que a 
forma do pulso permanece constante. Para 
um tempo t = 0, a forma da onda representa 
uma função y = f(x). Em um tempo t > 0, um 
tempo depois, y = f(x - vt). Note que, se a 
onda viaja no sentido contrário de x, y = f(x 
+ vt), para um tempo t > 0. 
 No caso especial de ondas 
harmônicas, isto é, que em t = 0, a forma da 
onda é uma função seno ou cosseno. Temos 
 
kxAy cos eq. III.1 
 
para t = 0, onde A é chamada a amplitude da onda, k é o número de onda, 
não confunda com a constante de uma mola. As cristas da onda ocorrem em 
kx = 0, 2π, 4π, ...Os valores mínimos de y são chamados de vales da onda 
que ocorrem em kx = π, 3π, 5π, ...A distância de uma crista a outra é 
chamado comprimento de onda 
 
k


2
 eq. III.2 
 
 A onda pode ser descrita pelas seguintes expressões, viajando na direção 
positiva de x ou negativa de x. Isto é, 
 
)(cos vtxkAy  e )(cos vtxkAy  eq. III.3 
 
O período da onda é o tempo de sua viagem correspondente a  , 
 
vT / eq. III.4 
enquanto a frequência da onda é 
fig. III.2. Exemplos de propagação de uma onda longitudinal na primeira figura 
e onda transversal na segunda figura. 
 
fig. III-3. Pulso de onda em t = 0 e em t = x/v > 0, 
o pico viajou uma distância vt. 
 35 
Fig. III.5. Forças que atuam no segmento L 
da corda, onde 

F é a resultante. 
 
/vf  eq. III.5 
 
A frequência angular é dada por 
 
kvf   2 
 
Agora teremos a função de onda, 
 
)cos(]2)/2cos[( tkxAvtxAy   eq. III.6 
 
5. Velocidade de Onda em uma Corda 
 
 A velocidade de uma onda depende da característica do meio e, às 
vezes, de  . Vamos mostrar a velocidade de uma onda numa corda. 
 Considere uma corda como na fig. III.4. 
 
 A tensão na corda é 1F e sua densidade 
é d kg/m, vamos assumir a amplitude da onda 
muito pequena, comparada ao tamanho da corda. 
Desta forma podemos dizer também que 1F = 
const. já que a perturbação é muito pequena. 
Nosso sistema de referência está se movendo 
para direita com velocidade do pulso. Nesse 
sistema, o pulso está em repouso e a corda viaja 
para esquerda. Cada segmento da curva viaja ao 
longo de um caminho tal como o pulso. 
 
Tome L da corda ao redor do caminho curvo, muito 
pequeno, para um  muito pequeno do círculo. Note que 
1

F + 2

F =

F = centripetaF

, tal que RLvdF /2

, por outro 
lado a norma de 

F é  1F . Temos que LR  , 
assim a velocidade de uma onda transversal é 
 
d
Fv 1 eq. III.7 
 
 Observe que, como a velocidade da onda é independente da forma, 
podemos pensar uma onda harmônica como uma sucessão de pulsos 
negativos e positivos. Se os pulsos têm mesma velocidade, todas ondas 
harmônicas sobre a corda tem mesma velocidade, independente do 
comprimento de onda. Apesar de nosso exemplo ser uma corda, o calculo da 
velocidade é geral. A velocidade de onda depende da força de restituição e 
da inércia do meio. Porém a velocidade depende da forma na maioria dos 
tipos de onda e assim os pulsos se tornam rasos. Um meio que proporciona 
 
fig. III.4. Uma corda inicialmente esticada e bem ajustada entre 
dois pontos fixos, com tensão 1F , depois um pulso é aplicado 
adquirindo uma velocidade v. 
 36 
 
fig. III.6. Pedaço ‘pequeno’ da corda 
entre x e x+dx. 
 
isto é chamado de meio dispersivo. 
 Em contraste, para o caso de ondas harmônicas sobre uma corda, 
essas ondasem meio dispersivo não podem ser considerados como 
simplesmente uma sucessão de pulsos, pois os pulsos mudam sua forma, 
enquanto as ondas harmônicas não. Então nós chamaremos a velocidade do 
pico de um pulso de onda de velocidade de grupo, enquanto a velocidade de 
uma onda harmônica a velocidade de fase. 
 
6. Energia em uma Onda 
 
 Uma onda transversal em uma corda tem energia cinética, pois as 
partículas estão em movimento e por outro lado tem energia potencial 
porque um trabalho é preciso para esticar a corda. Considere um intervalo 
dx e  a densidade de massa da corda para esse intervalo dx , assim 
 
2)()(
2
1
dt
dydxdK  eq. III.8 
 
é a energia cinética desse pedaço de corda, onde 
dt
dy
 é sua velocidade. 
 
Note que quando a onda passa em dx a corda estica mais com um 
comprimento aproximado de 22 dydx  , a corda perturbada e 
invadindo a dimensão y. Então a mudança de comprimento da 
corda é, dxdydxL  22 ou 
 ]1)(
2
11[]1)(1[ 22
dx
dydx
dx
dydxL 
dx
dx
dyL 2)(
2
1
 , para 
dx
dy
suficientemente pequeno. 
 
 A energia potencial 
 
dx
dx
dyFLFdU 2)(
2
1
  eq. III.9 
 
onde F é a força de tensão para esticar a corda e dU é a energia associada ao 
intervalo dx interpretada como o trabalho que deve ser feito contra a F. 
 A energia total associada a dx é 
dx
x
yFdx
t
ydUdKdE 22 )(
2
1)(
2
1





  , enquanto a densidade de 
energia da onda 
 
22 )(
2
1)(
2
1
x
yF
t
y
dx
dE





  eq. III.10 
 
Tem-se uma onda harmônica, 
 37 
 
)(])[(
2
1 2222 tkxsenAFk
dx
dE
  , 
em virtude de kv e 

Fv  
 
 )(222 tkxsenA
dx
dE
 eq. III.11 
 
 A energia deve viajar com uma onda de velocidade v , então para 
dx: 
v
dxdt  é o tempo de mover esse intervalo. Assim, para uma onda 
harmônica, a potência transportada de uma onda é 
 
 )(222 tkxsenAv
dx
dEv
dt
dEP  eq. III.12 
 
7. A Superposição de Ondas 
 
 Muitos tipos de ondas obedecem ao princípio de superposição, isto 
é, quando duas ou mais ondas se propagam, esta propagação é independente, 
ou seja, uma onda se propaga como se nenhuma outra onda a perturbasse. 
Muito embora, se uma onda de som é muito forte, o princípio da 
superposição não vale mais, assim como ondas de choque. Aqui não 
devemos nos preocupar com esse tipo de ondas e assim o princípio da 
superposição continua valendo. 
 Como primeiro exemplo, vamos considerar duas ondas propagando-
se em uma mesma direção com mesma frequência e amplitude, mas fases 
diferentes, como ondas em uma corda, no ar, na superfície da água. As 
funções de onda são, 
 
)cos(1 tkxAy  e )cos(2   tkxAy , 
pelo princípio da superposição 21 yyy  e usando uma identidade 
trigonométrica, 

2
1cos)
2
1cos(2  tkxAy . 
Se 0 , as ondas estão em fase, elas encontram crista com crista e vale 
com vale. Isto é uma interferência construtiva. Enquanto se   , as 
cristas das ondas se encontram com vales e a interferência é destrutiva, neste 
caso y = 0. Se duas ondas tem amplitudes diferentes suas interferências 
destrutivas não darão um cancelamento total das ondas. 
 Um outro exemplo de superposição é quando consideramos 
frequências diferentes, 
 )cos( 111 txkAy  e )cos( 222 txkAy  , teremos 
)cos(])(
2
1cos[2
_
21 xkxkAyyy  , para t = 0, 21 kkk  e 
 38 
fig. III.7. Ondas de frequências diferentes. 
 
 
fig. III.8. O gráfico mostra uma superposição de 
ondas dando uma amplitude modulada. 
 
)(
2
1
21
_
kkk  . Se k <<
_
k a onda y pode ser interpretada como uma onda 
cujo número de onda é 
_
k e amplitude ])(
2
1cos[2 xkA  , sua amplitude 
variando devagar com a posição. Essa amplitude é chamada de amplitude 
modulada. Veja a figura mostrando a superposição resultante de ondas com 
 e  diferentes. 
 Ao passar o tempo, o padrão dessa fig. III.8 se move para direita 
com velocidade de onda. Isto evolui 
para o fenômeno dos batimentos. Isto é 
o fenômeno da amplitude baixar e subir. 
A frequência de tais pulsos é dita 
frequência de batimento. O intervalo de 
tempo entre esses batimentos é 
kvvxt  /2/  e a frequência 
de batimento é 
21
21
222
1 fffvkvkkv
t
f batimento 





. 
 Pela superposição de ondas harmônicas de 
diferentes amplitudes e freqüências, nós construímos formas 
de ondas complicadas. De fato, pode-se mostrar que 
qualquer onda periódica pode ser construída pela 
superposição de um número suficientemente grande de 
ondas harmônicas senoidais e cossenoidais. Chamamos este 
resultado de teorema de Fourier. Para fazermos essa 
composição usamos as séries de Fourier que poderemos ver 
em um curso mais avançado. 
 
8. Ondas Estacionárias 
 
 Vamos considerar a superposição de duas ondas com mesmas 
frequências e amplitudes, mas propagando-se em direções opostas. As 
funções de onda e sua resultante são 
)cos(1 tkxAy  e )cos(2 tkxAy  e 
tkxAyyy coscos221  eq. III.13 
 
y descrevendo uma onda estacionária. Essa onda viaja nem para direita nem 
para esquerda, seus picos permanecem fixos enquanto toda a onda cresce e 
decresce em harmonia. Se y acima representa o movimento de uma corda, 
então cada partícula da corda executa um MHS. Entretanto, em contraste ao 
caso de onda viajante, onde a amplitude de oscilação de cada partícula é a 
mesma, a amplitude de oscilação agora depende da posição com valor 
kxAcos em uma posição x. 
 Posições onde a amplitude de oscilação é máxima são: 
,...2,,0 kx , onde  /2k ,2/3,,2/,0 x ..... Os máximos são 
devidos a interferência construtiva entre as ondas. Da mesma forma para 
 39 
amplitude zero: ,
2
3,
2

kx ..., ou ,...,4/3,4/ x os mínimos são 
devido a interferência destrutiva entre as ondas. Os mínimos de ondas 
estacionárias são chamados de nodos e os máximos de antinodos. 
 Estamos supondo até agora que uma corda é um objeto longo sem 
pontos finais. Existe uma condição de contorno, nos pontos extremos da 
corda. A deformação y deve ser zero nesses pontos em todos os tempos. Isto 
impõe sérias restrições sobre as ondas que podem ser geradas na corda. Note 
que ondas estacionárias com nodos nos extremos satisfazem essa condição 
de contorno. Podemos ver um exemplo a seguir: 
 )cos()(1 vtl
x
l
Aseny  , )2cos()2(2 vtl
x
l
Aseny  e 
)3cos()3(3 vtl
x
l
Aseny  , onde 
correspondem respectivamente os gráficos da 
fig. III.9, 
 
Esses possíveis movimentos da corda são ditos 
modos normais. Os comprimentos de onda 
desses 
modos são: 2l, l, ,...
3
2 l 
Enquanto as frequências desses modos: 
l
v
2
, 
l
v , .....
2
3
l
v Essas frequências são chamadas 
também de frequências normais, próprias ou 
autofrequências que, em geral, são escritas como, 
l
nvf
2
 , n = 1, 2, 3, .... mostrando que todas as autofrequências são 
múltiplos da frequência fundamental lv 2/ . 
 Em geral, qualquer movimento da corda será alguma superposição 
de vários modos normais, dependentes de como o movimento começou. Um 
exemplo de modos normais de uma corda fixa nos extremos se assemelha a 
uma barra numa mesma condição, como em uma ponte. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exemplo III. 1 
Uma corda esticada e presa em uma das extremidades sofre uma oscilação senoidal 
na extremidade que não está presa com uma amplitude de 0,075 m, e uma frequência 
de 2 Hz. A velocidade da onda é 12 m/s. No instante t = 0 a extremidade possui um 
deslocamento nulo e começa a mover no sentido +y. Suponha que nenhuma onda 
seja refletida na extremidade presa. Achea amplitude, frequência angular, período, 
comprimento, e número de onda. Escreva uma função de onda. Escreva equações 
 
fig. III.9. Modo fundamental(G1), primeiro modo harmônico(G2), 
segundo modo harmônico(G3). 
 40 
para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que é dado o 
pulso em um ponto situado a 3 m desta extremidade. 
Solução: 
A amplitude é aquela dada no problema, A = 0,075 m. A frequencia angular é 
sradsciclosciclorradf /6,12/2/22   . O período é 
.5,0/1 sfT  O comprimento de onda, mfv 6/  . O número de onda, 
mradk /05,1/2   ou mradvk /05,1/  . 
Coloque x = 0 onde se encontra a extremidade do pulso no sentido +x. A função de 
onda é, )()(2),( kxtAsenx
T
tAsentxyy  

 . 
Agora para x = 0: )(),0( tAsentyy  e para x = 3 m: 
)3(),3( ktAsentyy   . 
 
Exemplo III. 2 
No exemplo anterior a densidade da corda é 0,250 kg/m. Qual é a tensão na 
extremidade do pulso da corda para que a velocidade da onda observada seja igual a 
12 m/s? 
Solução: 
NdvF
d
Fv 362  . 
 
Exemplo III. 3 
Uma das extremidades de uma corda está presa a um suporte fixo no topo de um 
poço vertical de uma mina com profundidade igual a 80 m. A corda fica esticada 
pela ação do peso de uma caixa com massa igual a 20 kg presa na extremidade 
inferior da corda. Um geólogo no fundo da mina balança a corda enviando um sinal 
lá em cima. Qual é a velocidade da onda transversal propagada na corda? Sabendo 
que um ponto da corda executa um MHS com frequência igual a 2 Hz, qual é o 
comprimento de onda? 
Solução: 
Despreze a variação da tensão devido ao peso da corda. A tensão F na corda é 
produzido pelo peso da caixa. Então NmgF 196 . A densidade é dada por 
d
Fvkg
l
md  0250,0 . Por outro lado 
m
s
sm
f
v 3,44
2
/5,88
1   . 
 
Exemplo III. 4 
No exemplo III. 1 qual é a taxa de transferência de energia máxima que o pulso 
fornece para a corda? Ou seja, qual a potência instantânea máxima? E a média? 
Solução: 
dtkxsenAv
dx
dEv
dt
dEP )(222   a potência máxima é .22 dAv A 
potência média é a metade da máxima. 
 
 
 41 
Exemplo III. 5 
Deduza a equação da onda em uma corda para deformações suficientemente 
pequenas em um ‘pequeno’ segmento da corda. 
 
Solução: 
 
 A fig. III.10 mostra um segmento 
de corda esticada. Vamos considerar 
pequenos deslocamentos verticais. O 
segmento mede x e sua massa xdm  , 
onde d é massa por unidade de 
comprimento. O segmento se move 
verticalmente na direção y e a força de 
tensão resultante nessa direção é, 
12  FsenFsenFRy  . Como  é muito pequeno,  tgsen  e assim 
12  FtgFtgFRy  . Veja que a tangente do ângulo feita pela corda com a 
horizontal é a deformação (declive) da curva formada pela corda. Isto é, 
x
ytg


  , onde ),( txyy  . Então )( 12   FFRy . Teremos 
 )( 12   como a variação de declives nos extremos do segmento. 
Usando a segunda lei de Newton, 2
2
2
2
t
yd
x
F
t
yxdF










 . No 
limite ,0x portanto 2
2
0
lim
x
y
x
y
xxxx 














. Usando a 
expressão da velocidade da onda obtemos a equação da onda: 
 
2
2
22
2 1
t
y
vx
y





 eq. III. 14 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício III. 1 
A tensão em uma corda é fornecida por um objeto pendurado de massa 3 kg como 
mostra a figura abaixo. O comprimento da corda é l = 2,5 m e sua massa m = 50 g. 
Qual é a velocidade das ondas sobre a corda? 
 
 
Resposta: 38,3 m/s 
 
 
fig. III.10. Segmento de uma corda 
 42 
Exercício III. 2 
Mostre que a função do tipo )(),( vtxytxy  satisfaz a equação de onda. Em 
particular verifique para a função de onda ).(),( tkxAsentxy  
 Resposta: Observe a eq. III.14. 
 
Exercício III. 3 
Uma onda é descrita por )6285,0(002,0 txseny  . Determine a amplitude, 
frequência, período, comprimento de onda e velocidade da onda. 
 
Resposta: 0,002 m; 100 Hz; 0,01 s; 12,6 m; 1260 m/s. 
 
Exercício III. 4 
Uma corda de densidade linear 480 g/m está sob uma tensão de 48 N. Uma onda de 
frequencia 200 Hz e amplitude 4 mm viaja na corda. Qual a taxa média de transporte 
de energia da onda? 
 
Resposta: 61 W. 
 
Exercício III. 5 
A função de onda para uma onda harmônica sobre uma corda é 
).5,32,2()03,0(),( 11 tsxmsenmtxy   Para qual direção a onda viaja? 
Qual é sua velocidade? Encontre o comprimento de onda, frequência, período dessa 
onda. Qual o deslocamento máximo de qualquer segmento dessa corda? Qual a 
velocidade máxima de qualquer segmento? 
 
Resposta: Para direita, 
 
max
2,86 , 1,59 / , 0,557 ,
1,80 , 0,03 , 0,105 /
m v m s f Hz
T s A m v m s
   
  
 
 
Exercício III. 6 
Considere duas ondas viajando em direções opostas e suas funções de onda 
)(1 tkxAseny  e )(2 tkxAseny  . Mostre que a soma dessas ondas é 
uma onda estacionária. Uma onda estacionária sobre uma corda que está fixa nos 
extremos é dada por )480cos()3,52(024,0),( txsentxy  , daí encontre a 
velocidade da onda e a distância entre os dois nodos. 
 
Resposta: smv /18,9 e a distância 6 cm. 
 
 43 
 
fig. IV.2 Ondas sonoras provocadas por um diapasão. 
Unidade IV - Ondas de Som 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Situando a Temática 
 
 Nesta unidade temática daremos algumas ideias de fenômenos 
ondulatórios mais específicos como a propagação desses fenômenos em duas 
e três dimensões, tais como: ondas sonoras no ar. Em outro curso pode-se 
ver a propagação de ondas de luz em um meio transparente e no vácuo. 
Todas essas ondas podem ser descritas graficamente por suas frentes de 
onda, ou seja, os locais das cristas da onda em um dado instante de tempo. 
De todas as ondas mecânicas da natureza, em nosso cotidiano, as m 
ais importantes são as ondas longitudinais que se propagam em um meio, 
como por exemplo, as ondas sonoras percebidas pelo 
ouvido humano num certo limite de frequência. 
 Quando o tempo passa, as frentes de onda se 
dispersam para longe da fonte. Essa dispersão é uma 
característica da propagação das ondas em duas e três 
dimensões. Isto significa que a intensidade da onda 
decresce quando a frente de onda cresce em tamanho. 
Podemos tomar como exemplo as ondas sonoras 
provocadas por um diapasão. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 Nesta unidade discutiremos as diversas propriedades das ondas 
sonoras, não apenas em termos de deslocamentos, mas sim em termos de 
flutuações de pressão de um meio. Estudaremos as relações entre 
deslocamento, flutuações de pressão e intensidade e ainda algumas 
propriedades como interferência entre dois sons. Estudaremos também um 
fenômeno ondulatório chamado efeito Doppler que trata do movimento da 
fonte, por exemplo, sonora ou de um ouvinte se movendo no ar. 
 Sem dúvida existe uma grande importância em estudarmos as ondas 
longitudinais, tais como a onda sonora, em instrumentos musicais, em 
aplicações tecnológicas voltadas para medicina, etc. 
 
fig. IV.1. Ondas sonoras recebidas pelo ouvido e cérebro humano. 
 44 
3. Elasticidade 
 
 Materiais reais não são perfeitamente rígidos, quando sujeitos a uma 
força eles deformam. Quando uma substância deforma, sujeita a uma força, 
mas retorna a sua forma inicial quando removemos a força, a substância é 
dita elástica. 
 Considere um cilindro de um material de tamanho L e seção 
transversal de área A. Se uma força F é aplicada alo longo do eixo do 
cilindro e isso causa uma mudança no comprimento L do cilindro, então 
nós definimos a tensão de dilatação e a deformação de dilatação como: 
 
A
Fdilataçãotensão  
L
Ldilataçãodeformação