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Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB36 Aula 07 Funções Marginais em Economia Objetivos da Aula Aplicar os fundamentos de derivadas, fazendo um estudo das teorias econômicas relativas as funções marginais: custo, receita, lucro e elasticidade da demanda. Na Economia, costuma-se descrever a variação de uma quantidade y em relação a uma outra quantidade x, termos de dois conceitos, o de média e o de marginal. O conceito de média expressa a variação de y sobre uma faixa de valores de x. O conceito de marginal, por outro lado, refere-se à variação de y “na margem”, isto é, para variações muito pequenas de x ( x tendendo a zero) a partir de um dado valor. A análise marginal é o estudo das taxas de variação das quantidades econômicas. Por exemplo, um economista está não apenas interessado no valor do produto interno bruto (PIB) de uma economia em um certo instante de tempo, mas também está igualmente preocupado com a taxa com a qual ele está aumentando ou diminuindo. Da mesma maneira, um produtor está não só interessado no custo total correspondendo ao um certo nível de produção de um bem, mas também está interessado na taxa de variação do custo total com relação ao nível de produção, e assim por diante. Vamos iniciar com um exemplo para explicar o significado do adjetivo marginal, tal como é usado pelos economistas. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB37 Funções Custo Exemplo 1: Suponha que o custo total semanal em dólares incorrido pela Companhia Polaraire para fabricação de x refrigeradores seja dado pela função custo total. C(x) = 8000 + 200x – 0,2x 2 0 ≤ x ≤ 400) a) Qual o custo total envolvido na fabricação do 251-ésimo refrigerador? b) Determine a taxa de variação da função custo total com relação a x quando x = 250. c) Compare os resultados obtidos nas partes (a) e (b). Solução a) O custo atual envolvido na produção do 251-ésimo refrigerador é igual à diferença entre os custos de produção de 251 e 250 refrigeradores: C(251) – C(250) = [8000 + 200.(251) – 0,2.(251) 2] - [8000 + 200.(250) – 0,2.(250) 2] C(251) – C(250) = 45.599,80 – 45.500 C(251) – C(250) = 99,8 ou seja de $ 99,80. b) A taxa de variação do custo total C com relação a x é dada pela derivada de C, isto é, C’(x) = 200 – 0,4x. Assim, quando a produção é Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB38 de 250 refrigeradores, a taxa de variação do custo total com relação a x é dada por: C’(250) = 200 – 0,4.(250) C(250) = 100 ou seja, de $ 100,00. c) A solução da parte (a) nos mostra que o custo envolvido na produção do 251-ésimo refrigerador é $ 99,80. Esta resposta é muito próxima da resposta dada na parte (b), de $ 100,00. Para ver porque, observe que a diferença C(251) – C(250) pode ser escrita na forma : onde h = 1. Ou seja, a diferença C(251) – C(250) é dada exatamente pela taxa média da variação da função custo total C no intervalo [250 , 251], ou, dito de outra forma, igual à declividade da reta secante que passa por (250 , 45.500) e (251 , 45.599,80). Note, porém, que C’(250) = 100 é igual à taxa de variação instantânea da função C em x = 250, ou, equivalente, igual à declividade da reta tangente ao gráfico de C no ponto x = 250. Note que h é pequeno, a taxa média de variação da função C é uma boa aproximação para a taxa de variação instantânea da função C, ou, dito de outra maneira a declividade da reta secante que passa pelos pontos mencionados é uma boa aproximação da declividade da reta tangente que passa pelo ponto em questão. Assim, podemos esperar que: que é exatamente o que acontece neste exemplo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h ChCCCCC 250250 1 2501250 1 250251 −+=−+=− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h ChCCC CC 250250 1 250251 250251 −+=−=− ( ) ( )=−+≈ → h ChC h 250250 lim 0 ( )250'=C Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB39 O custo real envolvido na produção de uma unidade adicional de um certo bem por uma fábrica que já opera com um certo nível de produção é chamado de custo marginal. O valor deste custo é muito importante para a gerência e suas tomadas de decisões. Como vimos no Exemplo 1, o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa de variação da função custo total em um ponto apropriado. Por esta razão, os economistas definiram a função custo marginal como sendo a derivada da função custo total correspondente. Em outras palavras, se C é a função custo total, então a função custo marginal é definida como sendo sua derivada C’. Assim, o adjetivo marginal é sinônimo de derivada de. Exemplo 2: Uma subsidiária da Companhia Eletrônica Elektra fabrica uma calculadora de bolso programável. A gerência determinou que o custo total diário (em dólares) para produzir essas calculadoras é dado por C(x) = 0,0001x 3 – 0,08x 2 + 40x + 5000 onde x é igual ao número de calculadoras produzidas. a) Determine a função custo marginal. b) Qual é o custo marginal quando x = 200, 300, 400 e 600? c) Interprete seus resultados Solução a) A função custo marginal C’ é dada pela derivada da função custo total C. Assim, C = (x) = 0,0003x 2 – 0,16x + 40 b) O custo marginal quando x = 200, 300, 400 e 600 é dado por Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB40 C’(200) = 0,0003.(200) 2 – 0,16.(200) + 40 = 20 C’(300) = 0,0003.(300) 2 – 0,16.(300) + 40 = 19 C’(400) = 0,0003.(400) 2 – 0,16.(400) + 40 = 24 C’(600) = 0,0003.(600) 2 – 0,16.(600) + 40 = 52 ou seja, $20,00; $19,00; $ 24,00 e $ 52,00; respectivamente. c) Dos resultados da parte (b),vemos que o custo real da Companhia Elektra para produzir a 201-ésima calculadora é aproximadamente igual a $20,00. O custo real envolvido na produção de uma calculadora adicional quando o nível de produção já é de 300 calculadoras é aproximadamente igual a $19,00, e assim por diante. Observe que quando o nível de produção já é de 600 unidades, o custo de produção de uma unidade adicional é de aproximadamente $52,00. O custo mais elevado para produzir esta unidade adicional quando o nível de produção é de 600 unidades pode ser o resultado de vários fatores, entre eles, custos excessivos com horas extras e com manutenção, quebra de produção causada por estresse e por fadiga do equipamento e assim por diante. O gráfico da função custo total está mostrado na figura abaixo. y x100 10.000 20.000 30.000 300 500 700 y = C(x) O custo para produzir x calculadoras é dado por C(x). Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB41 Funções Custo Médio Veremos agora outro conceito marginal fortemente relacionado com o custo marginal. Seja C(x) o custo total envolvido na produção de x unidades de certo bem. O custo médio para produzir x unidades do bem é obtido dividindo o custo total de produção pelo número de unidades produzidas. Isto nos conduz à seguinte definição: Suponha que C(x) seja a função custo total, então a função custo médio, denota por (leia-se “C barra de x”), é A derivada da função custo médio, chamada de função custo médio marginal, mede a taxa de variação da função custo médio com relação ao número de unidades produzidas. Exemplo 3: O custo total (em dólares) para produzir x unidades de um certo bem é dado por C’(x) = 400 + 20x a) Determine a função custo médio . b) Determine a função custo médio marginal . c) Interprete os resultados obtidos nas partes (a) e (b). Solução ( )xC___ ( ) x xC ( )xC___ ___ C ___ C Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB42 a)A função custo médio é dada por b) A função custo médio marginal é igual a c) Como a função custo médio marginal é negativa para todos os valores admissíveis de x, a taxa de variação da função custo médio é negativa para todo x > 0, isto é, ( )xC ___ diminui quando x aumenta. Entretanto, o gráfico de ___ C está sempre acima da reta horizontal y = 20, mas se aproxima desta reta, pois Um esboço do gráfico da função ( )xC ___ é mostrado ao lado. Este resultado é de esperar se considerarmos as implicações econômicas. Note que quando o nível de produção aumenta, o custo fixo por unidade de produção, representado pelo termo (400/x), diminui acentuadamente. O custo médio se aproxima do custo constante de uma unidade de produção, que é de $ 20,00 neste caso. y x20 20 60 100 60 100 y = C(x) = 20 + ____x 400 y = 20 _ Quando o nível de produção aumenta, o custo médio se aproxima de $ 20,00. ( ) ( ) =+== x x x xC xC 20400___ x 400 20+ ( ) 2 ___ 400 ' x xC −= ( ) = += ∞→∞→ x xC xx 400 20limlim ___ 20 Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB43 Exemplo 4: Consideremos mais uma vez a subsidiária da Companhia Eletrônica Elektra. O custo total diário para produzir calculadoras programáveis é de C(x) = 0,0001x 3 – 0,08x 2 + 40x + 5000 dólares, onde x denota o número de calculadoras produzidas (veja o exemplo 2). a) Determine a função custo médio ___ C . b) Determine a função custo médio marginal ___ C ’ . Calcule ___ C ’ (500) . c) Esboce o gráfico da função ___ C e interprete os resultados obtidos nas partes (a) e (b). Solução a) A função custo médio é dada por b) A função custo médio marginal é dada por Desta forma, c) Para esboçar o gráfico da função ___ C , observe que se x é um número positivo pequeno, então ( )xC ___ > 0. Além disto, ( )xC ___ se torna arbitrariamente grande quando x se aproxima de zero pela direita, pois o termo (500/x) se torna arbitrariamente grande quando x se aproxima de zero. O resultado obtido na parte (b) nos diz que a reta tangente ao gráfico da função é horizontal no ponto (500,35) do gráfico. Podemos esboçar este gráfico (como mostra na ( ) ( ) x xx x xC xC 5000 4008,00001,0 2 ___ ++−== ( ) 2 ___ 5000 08,00002,0' x xxC −−= ( ) ( ) ( ) =−−⋅= 2 ___ 500 5000 08,05000002,0500'C 0 ( ) 0500'___ =C Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB44 figura ao lado) plotanto os pontos do gráfico que correspondem aos valores de x iguais a x = 100, 200, 300 . . . , 900. Como era de esperar o custo médio decai quando o nível de produção aumenta. Mas neste caso, em contraste com o caso do exemplo 3, o custo médio alcança um valor mínimo de $ 35,00, correspondendo ao nível de produção de 500 unidades, para depois aumentar. y x200 20 40 60 400 600 800 1000 80 100 y = C(x) (500 , 35) _ O custo médio alcança um mínimo de $ 35,00 quando são produzidas 500 calculadoras. Este fenômeno é típico de situações onde o custo marginal aumenta a partir de um ponto, quando a produção aumenta, como no exemplo 2. Esta situação se diferencia daquela do exemplo 3, onde a função custo marginal permanece constante para qualquer nível de produção. Exemplo 5 Considere a função custo total C(x) = 20 + 2x + 0,5x², onde C(x) denota o custo total e x a quantidade produzida. Determine o custo médio, o custo marginal, esboce o gráfico e faça uma análise. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB45 Solução: O custo médio é dado por O custo total marginal é dado pela derivada do custo total ( C’(x) ), então: C(x) = 20 + 2x + 0,5x² C’(x) = 2 + x Gráfico Custo total x Produção C(x) = 20 + 2x + 0,5x² C(x) X Gráfico custo marginal x Produção C’(x) = 2 + x C'(x) X ( ) ( ) x xx x x x xx xx x xC xC 5,02 205,02205,0220 22___ ++=++=++== Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB46 Gráfico custo médio x Produção C(x) x X Portanto, o custo total aumenta à medida que a produção aumenta; o custo médio por unidade diminui e, então, logo aumenta, à medida que a produção aumenta; e o custo marginal (taxa de aumento no custo total) aumenta à medida que a produção aumenta. Funções Receita Outro conceito marginal, a função receita marginal, está associado com a função receita R, dada por onde x é o número de unidades vendidas de um certo bem e p é o preço unitário de venda. Geralmente, no entanto, o preço unitário de venda p de um bem está relacionado com a quantidade de bens x vendida. Esta relação, p = f(x), é chamada de equação de demanda. Resolvendo a equação para p em termos de x, obtemos a função preço unitário f, dada por ( ) x x xC 5,02 20___ ++= ( ) pxxR = ( )xfp = Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB47 Assim, a função receita R é dada por onde f é a função preço unitário. A derivada R’ da função R, chamada de função receita marginal, mede a taxa de variação da função receita. Exemplo 6: Suponha que a relação entre o preço unitário p em dólares e quantidade demandada x do sistema de caixas de som Acrosonic é dada pela equação p = - 0,02x + 400 (0 ≤ x ≤ 20.000) a) Determine a função receita R. b) Determine a função receita marginal R’. c) Calcule R’(2000) e interprete seus resultados. Solução . a) A função receita R é dada por R(x) = px = x.(-0,02x + 400) = - 0,02x 2 + 400x (0 ≤ x ≤ 20.000) b) A função receita marginal R’ é dada por R’(x) = -0,04x + 400 c) R’(2000) = -0,04.(2000) + 400 = 320 Assim, a receita real obtida na venda do 2001-ésimo sistema de caixas de som é de aproximadamente $ 320,00. ( ) ( )xxfpxxR == Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB48 Funções Lucro Nosso último exemplo de função marginal é a função lucro. A função lucro P é dada por P(x) = R(x) - C(x) onde R e C são as funções receita e custo, e x é o número de unidades do bem produzidas e vendidas. A função lucro marginal P’(x) mede a taxa de variação da função lucro P e nos fornece uma boa aproximação do lucro ou da perda real num momento da venda da (x + 1)-ésima unidade do bem (assumindo que a x-ésima unidade já tenha sido vendida). Exemplo 7: Reporte-se ao exemplo 5. Suponha que o custo de produção de x unidades do sistema de caixas de som Acrosonic seja de C(x) = 100x + 200.000 dólares a) Determine a função lucro P. b) Determine a função lucro marginal P’. c) Calcule P’(2000) e interprete os seus resultados. d) Esboce o gráfico da função P. Solução a) Da solução do exemplo 5 (a) temos que R(x) = - 0,02x 2 + 400x Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB49 Assim, a função lucro desejada P é dada por P(x) = R(x) – C(x) P(x) = (-0,02x 2 + 400x) – (100x + 200.000) = - 0,02 2 + 300x – 200.000 b) A função lucro marginal P’ é dada por P’(x) = - 0,04x + 300 c) P’(2000) = - 0,04(2000) + 300 = 220 Assim, o lucro real realizado na venda do 2001-ésimo sistema de caixas de som é de aproximadamente $ 220,00. d) O gráfico da função lucro P está na figura abaixo. y x2 4 6 200 400 600 800 -200 1000 108 161412 M ilh ar es de dó la re s Milhares de unidades y = P(x) O lucro total obtido pela venda de x sistemas de caixas de som é dado por P(x). Elasticidade da Demanda Finalmente, vamos usar os conceitos marginais introduzidos nesta seção para obter um importante critériousado pelos economistas Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB50 para analisar a função de demanda: a elasticidade da demanda. No argumento que se segue, será conveniente escrever a função de demanda f na forma x = f(p), isto é, vamos pensar na quantidade demandada de um certo bem como uma função de seu preço unitário. Como a quantidade demandada de um bem em geral decresce quando seu preço unitário aumenta, temos que a função f é tipicamente uma função decrescente de p (figura a). p f(p) (a) Uma função demanda. f(p) pp p + h f(p + h) f(p) (b) f(p + h) é a quantidade quando o preço unitário aumenta de p para p + h dólares. Suponha que o preço unitário de um bem aumente h dólares de p dólares para (p + h) dólares (figura b). A quantidade demandada cai de f(p) unidades para f(p + h) unidades, isto é, uma variação de [f(p + h) – f(p)] unidades. A variação percentual no preço unitário é igual a ( )100 p h ( )100 Preço p Variação de preço unitário Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB51 e a variação correspondente da quantidade demanda é igual a Uma boa maneira para medir o efeito que uma variação percentual de preços produz na variação percentual da quantidade demandada, é olhar para a razão entre esta última variação e a primeira delas. Encontramos Se f é diferenciável em p, então quando h é pequeno. Assim, se h é pequeno, a razão é aproximadamente igual a Economistas chamam o negativo desta quantidade de elasticidade da demanda. Observação: Mostraremos mais adiante que se f é decrescente em um intervalo, então f’(p) < 0 para p neste intervalo. A explicação deste fato: vemos ( ) ( ) ( ) −+ pf pfhpf 100 ( )100 preço pelo demandada Quantidade demandada quantide da Variação p ( ) ( )[ ]=−+= p h pfhpf 100 100 unitário preço do percentual Variação demandada quantidade da percentual Variação ( ) ( ) ( ) p pf h pfhpf −+ ( ) ( )≈−+ h pfhpf ( )pf ' ( ) ( ) ( ) ( )pf ppf p pf pf '' = Se f é u ma f unção demanda diferenciável definida por x = f(p), então a elasticidade da demanda para o preço p é dada por ( ) ( )( )pf ppf pE '−= Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB52 que p e f(p) são positivos, a quantidade é negativa. Como os economistas preferem trabalhar com um valor positivo, a elasticidade da demanda E(p) é definida como o negativo desta quantidade. Exemplo 7: Considere a equação de demanda P = - 0,02x + 400 (0 ≤ x ≤ 20.000) que descreve a relação entre o preço unitário em dólares e a quantidade demandada x do sistema de caixas de som Acrosonic. a) Determine a elasticidade da demanda E(p). b) Calcule E(100) e interprete o resultado. c) Calcule E(300) e interprete o resultado. Solução a) Resolvendo a equação de demanda dada para x em termos de p, encontramos b) , que é a elasticidade da demanda quando p = 100. Para interpretar este resultado, lembramos que E(100) é o negativo da razão entre a variação percentual da quantidade demandada e a variação percentual do preço unitário quando p = 100. ( ) ( )pf ppf ' ( ) 000.2050 +−== ppfx de onde vemos que ( ) 50' −=pf Assim, ( ) ( )( ) ( ) = +− −−== 000.2050 50' p p pf ppf pE p p −400 ( ) = − = 100400 100 100E 3 1 Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB53 Desta forma, nosso resultado nos mostra que quando o preço unitário p de um sistema de caixas de som é de $ 100,00, então um aumento de 1% no preço unitário irá causar um aumento de aproximadamente 0,33% na quantidade demandada. c) , que é a elasticidade da demanda quando p = 300. O resultado nos diz que quando o preço unitário do sistema de caixas de som é de $ 300,00, um aumento de 1% no preço unitário irá causar um decréscimo de aproximadamente 3% na quantidade de demanda. Economistas usam freqüentemente a seguinte terminologia para descrever em termos da elasticidade. A demanda é dita elástica se E(p) > 1. A demanda é dita unitária se E(p) = 1. A demanda é dita inelástica se E(p)< 1. Como uma ilustração, os cálculos do exemplo 7 mostraram que a demanda pelos sistemas de som Acrosonic é elástica quando p = 300, mas inelástica quando p = 100. Estes cálculos confirmam que quando a demanda é elástica, uma pequena variação percentual no preço unitário irá resultar em uma grande variação percentual da quantidade demandada; e quando a demanda é inelástica, uma pequena variação percentual no preço unitário irá causar uma pequena variação percentual da quantidade demandada. Finalmente, quando a demanda é unitária, uma pequena variação percentual no preço unitário irá causar uma igual variação percentual da quantidade demandada. Podemos descrever a maneira pela qual a receita reage a variações no preço unitário usando a noção de elasticidade. Se a quantidade demandada de um certo bem se relaciona com seu preço unitário ( ) = − = 300400 300 300E 3 Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB54 pela equação x = f(p), então a receita obtida pela venda de x unidades do bem a um preço de p dólares é igual a R(p) = px = pf(p) A taxa de variação da receita com relação ao preço unitário é dada por R’(p)= f(p) + pf’(p) Assim, suponha que a demanda seja elástica quando o preço unitário é de a dólares. Neste caso E(a) > 1, e então 1 - E(a) < 0. Como f(p) é positiva para todos os valores de p, vemos que R’(a) = f(a).[1 - E(a)] < 0 e, portanto, R(p) é decrescente quando p = a. Isto implica que um pequeno aumento do preço unitário quando p = a resulta em uma diminuição da receita, ao passo que um pequeno decréscimo do preço unitário irá resultar em um aumento da receita. Semelhantemente, podemos mostrar que se a demanda é inelástica quando o preço unitário é de a dólares, então um pequeno aumento do preço unitário irá causar um aumento da receita, e um pequeno decréscimo do preço unitário irá resultar em um decréscimo da receita. Finalmente, se a demanda é unitária quando o preço unitário é de a dólares, então E(a) = 1 e R’(a) = 0. Isto significa que um pequeno aumento ou decréscimo do preço unitário não irá provocar uma mudança na receita. As afirmações que se seguem resumem esta discussão. 1º) Se a demanda é elástica em p (E(p) > 1), então um pequeno aumento do preço unitário resulta em uma diminuição da receita, ao passo que um pequeno decréscimo do preço unitário irá causar um aumento da receita. ( ) ( ) ( )( ) = +⋅= pf ppf pfpR ' 1' ( ) ( )[ ]pEpf −1 Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB55 2º) Se a demanda é inelástica em p (E(p) < 1), então um pequeno aumento do preço unitário resulta em um aumento da receita, o passo que uma diminuição do preço unitário irá causar um decréscimo da receita. 3º) Se a demanda é unitária em p (E(p) = 1), então m pequeno aumento do preço unitário não produz nenhuma variação da receita. Estes resultados estão ilustrados na figura abaixo. E(p) = 1 E(p) > 1E(p) < 1 inelástica Demanda Demanda elástica y = R(p) y p A receita aumenta em um intervalo onde a demanda é inelástica, diminui em um intervalo onde a demanda é elástica e fica estacionária no ponto onde a demanda é unitária. Observação: Como um auxílio para lembrar destes conceitos, note o seguinte: 1.) Se a demanda é elástica, então a variação da receita e a variação do preço unitáriose movem em direções opostas. 2.) Se a demanda é inelástica, então elas se movem na mesma direção. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB56 Exemplo 8: Reporte-se ao exemplo 7. a) A demanda é elástica, unitária ou inelástica quando p = 100? E quando p = 300? b) Se o preço é $ 100,00, então um pequeno aumento do preço unitário produz um aumento ou uma diminuição da receita? Solução a) Dos resultados do exemplo 7 vemos que e que . De acordo com estes resultados, concluímos que a demanda é inelástica quando p = 100 e elástica quando p = 300. b) Como a demanda é inelástica para p = 100, então um pequeno aumento do preço unitário irá provocar um aumento da receita. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2001. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra,1988. WEBER, JEAN E. Matemática Para Economia e Administração: São Paulo: Harbra, 1977.
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