Estatística - Aula 06

Prévia do material em texto

Estatística - Aula 06
Prof. Msc. Marcus Nascimento
Aulas passadas
• Estatística descritiva
• Medidas-resumo
• Dispersão (erros)
• Análise bidimensional
• Probabilidade
Variáveis aleatórias
• Definição: Seja um experimento aleatório (Ω) e um espaço amostral 
(S) associado a esse experimento. A variável aleatória será uma 
função de X que associe a cada elemento do espaço amostral (S) um 
número real x(s).
Variáveis Aleatórias
• Qual o espaço amostral do lançamento de duas moedas?
• Qual a probabilidade de obtermos o evento “Cara”?
Ω
CaCa
CoCa
CaCo
CoCo
0 1 2 X(Ω)
Variáveis Aleatórias Discretas
• Exemplo: número de acidentes diários em um estacionamento
Número de acidentes Frequências
0 22
1 5
2 2
3 1
Variáveis Aleatórias Discretas
• Distribuição de probabilidades
Número de acidentes Probabilidades
0
1
2
3
Variáveis Aleatórias Discretas
• Função de probabilidade de uma v.a.
p(x) = P (X = x)
Variáveis Aleatórias Discretas
• Exemplo – Capítulo 6 (Morettin e Bussab)
• Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de 
um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são 
adquiridas em fábricas diferentes (A e B), e a montagem consiste em 
juntar as duas peças e pintá-las. O produto acabado deve ter o 
comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela 
esfera) dentro de certos limites, e isso só pode ser verificado após a 
montagem. 
Variáveis Aleatórias Discretas
• O empresário deseja estudar a viabilidade do seu empreendimento 
tendo uma ideia do lucro por peç̧a montada. 
• Sabe-se que cada componente pode ser classificado como bom, longo 
ou curto. Cada componente custa R$ 5,00 e as probabilidades de 
produção são:
• Se o produto final apresentar algum componente com a característica 
C (curto), ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como 
sucata ao preço de R$ 5,00. Cada componente longo poderá ser 
recuperado a um custo adicional de R$ 5,00.
• Se o preço da venda de cada unidade for R$ 25,00, como seria a 
distribuição de frequências da variável aleatória X: lucro por conjunto 
montado?
Variáveis Aleatórias Discretas
• Se Y representa o custo de reparação dos conjuntos produzidos, 
calcule a sua função de probabilidade
Variáveis Aleatórias Discretas
• Valor médio de uma v.a.
• Definição: Dada a v.a. discreta X, chamamos de valor médio ou esperança 
matemática de X:
• “Qual o lucro médio por conjunto montado que espero conseguir?” 
Variáveis Aleatórias Discretas
• Se usamos a média, precisamos calcular os desvios.
• A variância de uma v.a. será dada por:
• E o desvio padrão:
Variáveis Aleatórias Discretas
• Função de distribuição acumulada de X:
Variáveis Aleatórias Discretas
• Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. 
Retire três bolas, sem reposição, e defina a variável aleatória X igual 
ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X. 
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Distribuição de Bernoulli
• Evento com apenas dois resultados aleatórios: fracasso e sucesso
Se p = probabilidade do sucesso e q = probabilidade do fracasso
• p(0) = P (X=0) = 1 – p
• p(1) = P (X=1) = p
E(X) = p
Var(X) = pq
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Exemplos Distribuição de Bernoulli
• Uma moeda é lançada três vezes. Qual a probabilidade de se obter duas 
caras?
• Em um teste de qualidade, 10 peças são extraídas de um lote contendo 500 
peças. Qual a probabilidade de todas serem defeituosas, sabendo em, em 
média 10% de um lote é defeituoso?
• Sabe-se que 90% da pessoas de uma cidade são favoráveis a um projeto 
municipal. Escolhendo-se 100 pessoas, qual a probabilidade de pelo menos 
80 serem favoráveis ao projeto?
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Desenvolvendo o exemplo 1
• Estamos interessados em obter duas caras em três lançamentos:
S = {CaCaCo, CaCoCa, CoCaCa}
Dessa forma teremos a árvore de possibilidades
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Se designarmos k o número total de sucessos em n ensaios de 
Bernoulli 
• Os possíveis valores de k são 0, 1, 2,..., n e os pares (x, P(X=k)) 
constituem uma distribuição binomial.
• No exemplo da moeda, qual a possibilidade de obtermos k sucessos 
em n sequências?
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Em um teste de qualidade, 10 peças são extraídas de um lote 
contendo 500 peças. Qual a probabilidade de todas serem 
defeituosas, sabendo em, em média 10% de um lote é defeituoso?
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Em um teste de qualidade, 10 peças são extraídas de um lote 
contendo 500 peças. Qual a probabilidade de todas serem 
defeituosas, sabendo em, em média 10% de um lote é defeituoso?
P(X=10) = b(10; 10, 1/10)
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Se 20% dos parafusos produzidos por uma máquina são defeituosos, 
determinar a probabilidade de, entre 4 parafusos escolhidos, no 
máximo 2 deles serem defeituosos.
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Distribuição de Poisson
• Conhecemos o número de sucessos, porém é difícil ou sem sentido 
determinar o número de fracassos.
Exemplos:
Número de carros que passam em uma rodovia.
Número de clientes chegando ao caixa de um supermercado 
Número de peças defeituosas substituídas num veículo durante o primeiro ano 
de vida 
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Distribuição de Poisson
• X sucessos em um intervalo t (área, tempo,..) é uma distribuição binomial 
com p -> 0 e n -> ∞
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Distribuição de Poisson
• P 𝑘, 𝑡 =
(𝜆𝑡)𝑘∗ 𝑒−𝜆𝑡
𝑘!
e = número de Euler = 2,7
• Média: 𝜇 = 𝜆𝑡
• Variância: 𝜎2 = 𝜆𝑡
• Em média há 2 chamadas por hora numa empresa de seguros. 
Calcular a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em 2 
horas.
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta
• Em média há 2 chamadas por hora numa empresa de seguros. 
Calcular a probabilidade de se receber 0 chamadas em 90 minutos.
Modelos Probabilísticos para v.a. discreta