DISTRIBUICAO_PROBABILIDADE

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Bruno Baierle 
Maurício Furigo 
Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) 
 
 
 Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
Variável Aleatória 
 
Por definição uma variável aleatória pode ser entendida como 
sendo uma variável quantitativa, cujo resultado depende de 
fatores aleatórios. 
 
 
Exemplos: 
 
 Número de coroas obtidos no lançamento de moedas; 
 Número de defeitos de azulejo que sai da linha de produção; 
 Tempo de resposta de um sistema computacional; 
 Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão; 
Variável Aleatória 
 
Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do 
espaço amostral ao conjunto de números reais. 
 
 
Exemplo 1. (BARBETTA, pg 117) No lançamento de 2 moedas, o 
espaço amostral mais completo é Ω = {(cara, cara), (cara, coroa), 
(coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a variável aleatória 
número de coroas assume valores no conjunto {0, 1, 2}. 
 
A relação entre os dois conjuntos, é esquematizada a 
seguir. 
 
 
 
 
Variável Aleatória 
 
Uma variável aleatória pode ser: 
 
Discreta: onde os possíveis resultados estão 
contidos em um conjunto finito ou enumerável. 
 
Exemplo: 
Variável Aleatória 
 
Uma variável aleatória pode ser: 
 
Contínua: onde os possíveis resultados abrangem 
todo um intervalo de números reais. 
 
 
Exemplo: 
Variáveis Aleatórias Independentes 
 
Variável aleatória independente, pode ser entendida quando o 
conhecimento de uma variável não altera as distribuições de 
probabilidade das demais variáveis (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛). 
 
 
Para variáveis aleatórias independentes: 
 
V X + Y = V X + V(Y) 
 
V X − Y = V X + V(Y) 
 
Variáveis Aleatórias Independentes 
 
Exemplo 2. (MEYER), seja X e Y a duração da vida de dois 
dispositivos eletrônicos. Suponha que sua fdp conjunta seja 
dada por 
 
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆;(𝒙:𝒚), 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟎, 
 
por fatoração temos 
 
 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆;𝒙𝒆;𝒚, 
 
desta forma a independência de X e Y fica estabelecida. 
Variáveis Aleatórias Independentes 
 
Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória discreta 
bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias 
independentes se, e somente se: 
 
𝑃 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 = 𝑝(𝑥𝑖)𝑞(𝑦𝑗) para quaisquer 𝑖 e 𝑗. 
 
Portanto, 
 
P 𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗) para todo 𝑖 e 𝑗 
Variáveis Aleatórias Independentes 
 
Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória contínua 
bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias 
independentes se, e somente se: 
 
 
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑕(𝑥) para todo 𝑥 e 𝑦, 
 
 
onde 𝑓 é a fdp conjunta, e 𝑔 e 𝑕 são as fdp marginais 
de X e Y, respectivamente. 
Variável Aleatória Discreta 
Variável Aleatória Discreta 
 
Teorema 1: Se X é uma variável aleatória discreta com 
distribuição de probabilidade 𝑓 𝑥 . Definindo Y = 𝑢 𝑋 a 
transformação um a um entre os valores de X e Y, então a 
equação 𝑦 = 𝑢 𝑥 pode ser unicamente resolvida por 𝑥 em função 
de 𝑦, digamos 𝑥 = 𝑤 𝑦 . 
 
 
Então a distribuição de probabilidade de Y é 
 
 
𝒈 𝒚 = 𝒇 𝒘(𝒚) 
Variável Aleatória Discreta 
 
Teorema 2: Supondo que 𝑋1 e 𝑋2 são variáveis aleatórias 
discretas com distribuição de probabilidade conjunta 𝑓 𝑥1, 𝑥2 , 
definindo a transformação um a um entre os pontos 𝑥1, 𝑥2 e 
𝑦1, 𝑦2 , então as equações 
 
 𝑦1 = 𝑢1 𝑥1, 𝑥2 e 𝑦2 = 𝑢2 𝑥1, 𝑥2 , 
 
 
podem ser unicamente solucionadas para 𝑥1 e 𝑥2 em função de 𝑦1 
e 𝑦2. 
 
Variável Aleatória Discreta 
 
Onde: 
 
 𝑥1 = 𝑤1(𝑦1, 𝑦2) e 𝑥2 = 𝑤2(𝑦1, 𝑦2) 
 
 
Portanto a distribuição de probabilidade conjunta 𝑌1 e 𝑌2 
é: 
 
 
𝒈 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝒇,𝒘𝟏 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , 𝒘𝟐 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 - 
 
Variável Aleatória Discreta – Função de 
Probabilidade 
 
Se X for discreta, com valores {𝑋1, 𝑋2, … +, então a distribuição de probabilidade de 
X, pode ser apresentada pela função de probabilidade, a qual associa a cada 
valor possível 𝑋𝑖 a sua probabilidade de ocorrência 𝑝(𝑋𝑖). 
 
Ou seja 
𝒑 𝒙𝒊 = 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊) 
 
Satisfazendo: 
 
𝑝 𝑥𝑖 ≥ 0 
 
 𝑝 𝑥𝑖 = 1
.
𝑖
 
 
Variável Aleatória Discreta – Função 
de Probabilidade 
 
Representação gráfica da distribuição de probabilidade da variável 
aleatória X, a qual representa o número obtido no lançamento de 
um dado comum. 
 
 
Variável Aleatória Discreta – Função 
de Distribuição Acumulada 
 
Por definição: 
𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 , ∀𝒙 ∊ ℜ 
 
 
Assim, para todo 𝑥 ∊ ℜ, a função de distribuição acumulada 
descreve a probabilidade de ocorrer um valor até 𝒙. 
 
 
Exemplo: 
Variável Aleatória Discreta – Função 
de Distribuição Acumulada 
 
X = número obtido no lançamento de um dado comum. 
 
 
𝐹 𝑥
0 𝑠𝑒 𝑥 < 1
1
6 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≥ 2
2
6 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 ≥ 3
3
6 𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 ≥ 4
4
6 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5
5
6 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 6
 
Variável Aleatória Discreta – Valor 
Esperado e Variância 
 
Valor esperado: 
μ = 𝑬 𝑿 = 𝒙𝒋𝒑𝒋
𝒌
𝒋<𝟏
 
 
Variância: 
 σ𝟐 = 𝑽 𝑿 = (𝒙𝒋 − μ)
𝟐𝒑𝒋
𝒌
𝒋<𝟏
 
 
Ou 
𝑽 𝑿 = 𝑬(𝑿𝟐) − μ𝟐 
 
 
Variável Aleatória Discreta – Valor 
Esperado e Variância 
 
Propriedades: 
 
a) 𝐸 𝑐 = 𝑐 
 
b) 𝐸 𝑋 + 𝑐 = 𝐸 𝑋 + 𝑐 
 
c) 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸(𝑋) 
 
d) 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌 
 
e) 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑌) 
 
 
 
 f) V 𝑐 = 0 
 
 g) V 𝑋 + 𝑐 = 𝑉 𝑋
 
 h) V 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉(𝑋) 
 
 i) DP 𝑐𝑋 = |𝑐|𝐷𝑃(𝑋) 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Bernoulli 
 
A distribuição de Bernoulli tem somente 2 resultados 
possíveis: sucesso e fracasso. 
 
Onde: 
 
𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Bernoulli 
 
 Função da probabilidade p(x) 
 
 
X 𝑝 𝑥 
0 
1 
1 − 𝑝 
𝑝 
total 1 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Bernoulli 
 
 
Função acumulada F(x) 
 
 
𝑭 𝑿 = 
𝟎
𝟏 − 𝒑
𝟏
𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎
 𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 ≥ 𝟏
𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟏
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Bernoulli 
 
Esperança E(X) 
 
𝑬 𝑿 = 𝒑 
 
Variância V(X) 
 
 𝐕 𝑿 = 𝒑. 𝟏 − 𝒑 
 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Bernoulli 
 
Exemplos. 
 
Lançamento de uma moeda: 
 
 Caso obtenha-se uma cara: sucesso 
 Caso obtenha-se uma coroa: fracasso 
 
A direção que segue um veículo em bifurcação (caminho A e B): 
 
 Se segue o caminho A: sucesso 
 Se segue o caminho B: fracasso 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Bernoulli 
 
Exemplo 3. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma 
bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X) e V(X). 
 
Solução 
 X = *1 → p = 20 50 =
2
5 
 
 
E X = p = 𝟐 𝟓 = 𝟎, 𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬 
 
 
V X = p ∙ 1 − p = 2 5 ∙ 1 −
2
5 
𝟔
𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬
𝟐 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos, 
cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Se a variável de 
interesse x corresponde ao número de sucessos obtidos nestes n 
experimentos, então x é conhecida como uma variável aleatória 
binomial de parâmetros n e p. 
 
Onde: 
 
n é o número de ensaios independentes; 
 
e P (sucesso) = p, constante para todo ensaio 0 < 𝑝 < 1 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição Binomial 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Função da probabilidade p(x) 
 
 
𝒑 𝒙 =
𝒏
𝒙
∙ 𝒑𝒙 ∙ (𝟏 − 𝒑)𝒏;𝒙 x = 0,1, 2, … , n 
 
Onde: 
𝑛
𝑥
=
𝑛!
𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
 
Função acumulada F(x) 
 
𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊)𝒏𝒊
𝒊<𝟏
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Esperança E(x) 
 
𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑 
 
 
Variância V(X) 
 
𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑(𝟏 − 𝒑) 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Exemplos. 
 
 Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de 
caras; 
 
 Verificar o número de bits que não estão afetados por 
ruídos, em um pacote com n bits; 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição Binomial 
 
Representação gráfica com n = 5 e p = 0,5 
 
E(X)=25 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição Binomial 
 
Exemplo 4. (DÍAZ) Um médico aplica um teste em dez alunos de um 
colégio, para detectar uma enfermidade cuja incidência sobre uma 
população de crianças é de 10%. A sensibilidade do teste é de 80% e 
a especificidade é de 75%. Qual a probabilidade de que 4 pessoas 
apresentem um resultado positivo? 
 
Dados: 
 
P E = 0,1 
 
𝑃(𝑇:|𝐸) = 0,8 
 
𝑃(𝑇;|𝐸) = 0,75 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Solução: 
 
Pelo Teorema da Probabilidade Total 
 
𝑃(𝑇:) = 𝑃(𝑇:|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝑇:|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 = 𝑂, 8 ∙ 0,1 + 0,25 ∙ 0,9 = 0,305 
 
seja 𝑋1 a v.a que contabiliza o número de resultados positivos , 
e chamando 𝑝1 = 𝑃(𝑇
:), então X segue uma distribuição binomial. 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Portanto 
 
𝑋1 𝑛1 = 10, 𝑝1 = 0,305 ↔ 𝑃 𝑋1 = 𝑥 =
𝑛1
𝑥
𝑝1
𝑥 (1 − 𝑝)𝑛1;𝑥 
 
Logo a probabilidade de que o resultado do teste dê positivo para 4 
pessoas é de: 
 
𝑃(𝑋1 = 4) =
10
4
0,3054 ∙ 0,6956 = 0,2048 ≡ 𝟐𝟎, 𝟒𝟖% 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Exemplo 5. (WALPOLE) A probabilidade de que um paciente se 
recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas 
contraíram essa doença, calcule: 
 
a) A probabilidade de que pelo menos 10 pessoas sobrevivam. 
b) A probabilidade de que 3 a 8 pessoas sobrevivam. 
c) A probabilidade de que exatamente 5 pessoas sobrevivam. 
d) A esperança. 
e) A variância. 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão 
 
a) 
P X ≥ 10 = P X = 10 + P X = 11 +⋯+ P X = 15 
 
Onde: 
𝑝 𝑥 =
𝑛
𝑥
∙ 𝑝𝑥 ∙ (1 − 𝑝)𝑛;𝑥 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição Binomial 
 
Portanto 
 
P x = 10 →
15
10
∙ 0,410 ∙ (0,6)5 = 0,0245 
 
P x = 11 →
15
11
∙ 0,411 ∙ (0,6)4 = 7,42X10;3 
 
P x = 12 →
15
12
∙ 0,412 ∙ (0,6)3 = 1,65X10;3 
 
P x = 13 →
15
13
∙ 0,413 ∙ (0,6)2 = 2,54X10;3 
 
P x = 14 →
15
14
∙ 0,414 ∙ (0,6)1 = 2,42X10;5 
 
P x = 15 →
15
15
∙ 0,415 ∙ (0,6)0 = 1,07X10;6 
 
 
 
 
𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝟏 ≡ 𝟑, 𝟔𝟏% 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão 
 
b) 𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = 𝑃(𝑋 ≤ 8) − 𝑃(𝑋 ≤ 3) → 
 
P X = 8 + P X = 7 +⋯+ P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 
+P X = 0 − ,P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = 0 - 
 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição Binomial 
Portanto 
 
𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = P X = 8 + P X = 7 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 4 
 
Onde: 
P x = 8 →
15
8
∙ 0,48 ∙ (0,6)7 = 0,12 P x = 7 →
15
7
∙ 0,47 ∙ (0,6)8 = 0,18 
 
P x = 6 →
15
6
∙ 0,46 ∙ (0,6)9 = 0,21 P x = 5 →
15
5
∙ 0,45 ∙ (0,6)10 = 0,19 
 
P x = 4 →
15
4
∙ 0,44 ∙ (0,6)11 = 0,13 
 
 
𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟖𝟑 ≡ 𝟖𝟑% 
 
 
 
 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão 
 
c) 
p x = P X = 5 →
15
5
0,45 ∙ 0,610 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟔 ≡ 𝟏𝟖, 𝟔% 
 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Binomial 
 
d) 
 𝐸 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 → 15 ∙ 0,4 = 𝟔 pessoas 
 
e) 
 
 𝑉 𝑋 = 𝑛. 𝑝 1 − 𝑝 → 15 ∙ 0,4 1 − 0,4 = 𝟑, 𝟔 𝐩𝐞𝐬𝐬𝐨𝐚𝐬𝟐 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
 
A distribuição hipergeométrica não necessita de independência e 
se baseia na amostragem feita sem reposição. 
 
 
O número X de sucessos de um experimento hipergeométrico é 
chamado de variável aleatória hipergeométrica. 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
A distribuição de probabilidade de uma variável hipergeométrica é 
chamada de distribuição hipergeométrica, onde seus valores são 
denotados por (x, N, n, r). 
 
Onde: 
 
N: O número de itens na população. 
r: O número de itens na população que são classificados como sucessos. 
n: O número de itens na amostra. 
X: O número de itens na amostra que são classificados como sucesso. 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição Hipergeométrica 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
 
Função da probabilidade p(x) 
 
 
𝒑 𝒙 =
𝒓
𝒙
∙
𝑵 − 𝒓
𝒏 − 𝒙
𝑵
𝒏
 ,𝑥 = 0,1, … ,min 𝑟, 𝑛 - 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
Função acumulada F(x) 
 
 
𝑭 𝒙 = 
𝒓
𝒙
𝑵 − 𝒓
𝒏 − 𝒙
𝑵
𝒏
𝒙
𝒊<𝟎
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
Esperança E(x) 
 
𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑 
 
Variância V(X) 
 
𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) ∙
𝑵 − 𝒏
𝑵 − 𝟏
 
 
Onde: 
𝒑 =
𝒓
𝑵
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
Exemplo 6. (BARBETTA, pg 133) Placas de vidro são expedidas em lotes 
de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe 
aleatoriamente 5 placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas 
for defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo 
lote é inspecionado. Supondo que haja 3 placas defeituosas no lote: 
 
a) Qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a 
inspeção total? 
 
b) Encontre a esperança e variância. 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição Hipergeométrica 
 
Solução: Seja X o número de placas defeituosas na amostra. 
 
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃(𝑋 = 0), 
 
então: 
a) p X = p 0 →
3
0
∙
30;3
5;0
30
5
=
80,730
142,506
= 𝟎, 𝟓𝟔𝟔𝟓 
 
 
Logo, P X ≥ 1 = 1 − 0,5665 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟓 ≡ 𝟒𝟑, 𝟑𝟓% 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
b) 
 
E X = n ∙ p → 5 ∙ 0,1 = 𝟎, 𝟓 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬 
 
 
 V X = n ∙ p ∙ 1 − p ∙ N;n
N;1
→ 5 ∙ 0,1 ∙ 0,9 ∙ 0,86 𝟎, 𝟑𝟗 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬𝟐 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
Exemplo 7. No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários 
de 20 pacientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema 
cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. Retirando‐se uma amostra ao acaso 
de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam de 
pacientes que sofreram infarto? 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição Hipergeométrica 
 
Solução: 
 
N = 20; r = 5; n = 3; x = 2 
 
p X =
5
2
∙
20 − 5
3 − 2
20
3
=
150
1140
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟏 ≡ 𝟏𝟑, 𝟏% 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Poisson 
 
Propriedades 
 
1- O número de resultados que ocorrem em um intervalo de tempo 
ou em uma região específica é independente do número de 
resultados que ocorre em outro intervalo de tempo disjunto ou 
região do espaço disjunta – Processo de Poisson não tem 
memória. 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Poisson 
 
Propriedades 
 
2- A probabilidade de que um único resultado ocorrerá durante 
um breve intervalo de tempo ou em uma região pequena é 
proporcional à extensão do intervalo de tempo ou ao tamanho 
da região, e não depende do número de resultados que ocorrem 
fora desse intervalo de tempo ou dessa região. 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Poisson 
 
Propriedades 
 
3- A probabilidade de que mais de um resultado ocorrerá em um 
intervalo de tempo muito breve ou em uma região muito pequena é 
desprezível. 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de PoissonA distribuição de Poisson é empregada quando se está 
interessado no número de sucessos ocorridos durante um 
intervalo contínuo (tempo, espaço, etc...). Exemplos: 
 
 Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante 
certa hora do dia; 
 
 O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um 
ano; 
 
 Número de chegadas a um caixa automático de um banco 
durante um período de 15 minutos. 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição de Poisson 
 
Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se: 
 
1. X = 0, 1, 2, … (não tem limites) 
 
2. P X = x =
e−λλ
x
x!
, x = 0, 1, 2, … n. 
 
3. E X = μ = λ 
 
4. V X = σ2 = λ 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição de Poisson – Uma justificativa 
 
X= número de ocorrência em [t, t+1] 
 
 
 
 
n = intervalos de amplitude 1/n 
p = probabilidade de ocorrência em cada intervalo 
 
𝑷 𝑿 = 𝒙 ≈
𝒏
𝒙
∙ 𝒑𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒑 𝒏;𝒙 
𝒏 → ∞ 
𝒑 → 𝟎 
𝒏 𝒑 → λ >0 
 
 
 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Poisson 
 
Função da probabilidade p(x) 
 
 
𝒑 𝒙 =
𝒆;λ λ𝒙
𝒙!
 𝑥 = 0, 1, 2… 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Poisson 
 
Função acumulada F(x) 
 
 
𝑭 𝒙 = 
λ𝒊 𝒆λ
𝒊!
𝒙
𝒊<𝟎
 para x = 0,1,2… 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Poisson 
 
Esperança E(x) 
𝑬 X = λ 
 
Variância V(X) 
𝑽 X = λ 
 
Onde: 
𝑬 X = 𝑽 X = λ 
 
 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Poisson 
 
Exemplo 8. (BARBETTA, pg. 135) Supondo que as consultas em 
um banco de dados ocorrem de forma independentes e aleatórias, 
com uma taxa média de 3 consultas por minuto. Calcule a 
probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do que 3 
consultas. 
Modelos de Distribuição Discreta 
 
Distribuição de Poisson 
 
Solução: Seja X o número de consultas por minuto. 
 
p x = P X < 3 = p 0 + p 1 + p(2) → 
 
 
𝑒;3 30
0!
+
𝑒;3 31
1!
+
𝑒;3 32
2!
= 𝟎, 𝟒𝟐𝟑𝟐 ≡ 𝟒𝟐, 𝟑𝟐% 
Variável Aleatória Contínua 
Variável Aleatória Contínua 
 
Teorema 1: Suponha que X é uma variável aleatória contínua, com 
distribuição de probabilidade 𝑓 𝑥 . Definindo 𝑌 = 𝑢 𝑥 a 
correspondência um a um entre os valores de X e Y, desse modo a 
equação 𝑦 = 𝑢 𝑥 pode ser unicamente resolvida para 𝑥 em 
função de 𝑦, ou seja, 𝑥 = 𝑤 𝑦 . 
 
Portanto a distribuição de probabilidade de Y é 
 
𝒈 𝒚 = 𝒇 𝒘(𝒚) |𝑱| 
 
Onde 𝐽 = 𝑤` 𝑦 e é chamado de jacobiano da transformação. 
Variável Aleatória Contínua 
 
Teorema 2: Seja 𝑋1 e 𝑋2 variáveis aleatórias contínuas, com distribuição 
de probabilidade conjunta 𝑓 𝑥1, 𝑥2 . Considerando 𝑌1 = 𝑢1 𝑋1, 𝑋2 e 
𝑌2 = 𝑢2(𝑋1, 𝑋2) uma transformação um a um entre os pontos 𝑥1, 𝑥2 e 
𝑦1, 𝑦2 . Então a equação 𝑦1 = 𝑢1 𝑥1, 𝑥2 e 𝑦2 = 𝑢2(𝑥1, 𝑥2) pode ser 
unicamente resolvida para 𝑥1 e 𝑥2 em função de 𝑦1 e 𝑦2. 
 
Onde 𝑥1 = 𝑤1(𝑦1, 𝑦2) e 𝑥2 = 𝑤2(𝑦1, 𝑦2) 
 
Portanto a distribuição de probabilidade conjunta de 𝑌1 e 𝑌2 é 
 
𝒈 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝒇 𝒘𝟏 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , 𝒘𝟐(𝒚𝟏, 𝒚𝟐 𝑱 
 
Sendo 𝐽 o determinante 2x2 
 
 
Variável Aleatória Contínua – Função 
Densidade de Probabilidade 
 
As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua X 
podem ser calculados pela função de densidade de probabilidade (f), que se 
define como uma função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 integrável que deve satisfazer duas 
propriedades. 
 
a) 𝒇 𝒙 ≥ 𝟎, ∀𝒙 ∈ ℜ 
 
b) 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏
:∞
;∞
 
 
Se A = [a, b], então 
 
𝐏 𝐀 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
Variável Aleatória Contínua – Função 
Densidade de Probabilidade 
Onde 
 
 
Variável Aleatória Contínua – Função 
Densidade de Probabilidade 
 
Exemplo 9. (BARBETTA, pg 144) Seja a variável aleatória T 
definida como o tempo de resposta na consulta a um banco de 
dados, em minutos. Suponha que essa variável aleatória tenha a 
seguinte função densidade de probabilidade: 
 
 
𝑓 𝑡 = 
2𝑒;2𝑡 , para t ≥ 0
0, para t < 0
 
 
 
Calcule a probabilidade de a resposta demorar mais do que 3 
minutos P(T > 3) 
Variável Aleatória Contínua – Função 
Densidade de Probabilidade 
 
Solução 
 
𝑃 𝑇 > 3 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑒;2𝑡𝑑𝑡 →
:∞
3
:∞
3
 
 
 
2 −
1
2
𝑒;2𝑡
3
:∞
= 0 + 𝑒;2 3 = 𝒆;𝟔 
Variável Aleatória Contínua – Função 
de Distribuição Acumulada 
 
Por definição 
 
 
𝐹 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 𝒇 𝒔 𝒅𝒔, ∀𝒙 ∈ ℜ
𝒙
;∞
 
 
 
 
 
Variável Aleatória Contínua – Função 
de Distribuição Acumulada 
 
Exemplo 10. (BARBETTA, pg 144) Considere a função de 
densidade de probabilidade do exemplo 9: 
 
 
𝑓 𝑡 = 
2𝑒;2𝑡 , para t ≥ 0
0, para t < 0
 
 
 
Solução: como a expressão matemática se altera no ponto zero, 
deve-se então considerar os dois seguintes casos: 
 
Variável Aleatória Contínua – Função 
de Distribuição Acumulada 
 
Para t < 0, F 𝑡 = 𝑓 𝑠 𝑑𝑠 = 0𝑑𝑠 = 0
𝑡
;∞
𝑡
;∞
 
 
Para t ≥ 0, F 𝑡 = 𝑓 𝑠 𝑑𝑠 = 0𝑑𝑠 = 0 +
𝑡
;∞
𝑡
;∞
−𝑒;2𝑠 0
𝑡 = 1 −𝑒;2𝑡 
 
Dessa forma a função da distribuição acumulada da variável 
aleatória T é dada por: 
 
 
𝑭 𝒕 = 
𝟏 − 𝒆;𝟐𝒕, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭 ≥ 𝟎
𝟎, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭 < 𝟎
 
Variável Aleatória Contínua – Valor 
esperado e Variância 
 
Valor esperado: 
μ = 𝑬 𝑿 = 𝒙𝒇 𝒙 𝒅𝒙
:∞
;∞
 
 
Variância: 
 
σ 𝟐 = 𝑽 𝑿 = (𝒙 − μ)𝟐𝒇 𝒙 𝒅𝒙
:∞
;∞
 
 
 ou 
 
 𝑽 𝑿 = 𝑬(𝑿𝟐) − μ𝟐 Onde 𝑬(𝑿𝟐) = 𝒙𝟐𝒇 𝒙 𝒅𝒙
:∞
;∞
 
Modelos de Distribuição Contínua 
Distribuição uniforme 
 
Essa distribuição é caracterizada por uma função de 
densidade que é “plana” e, portanto, a probabilidade é 
uniforme em um intervalo fechado. 
 
 exemplo: 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição uniforme 
 
Função de densidade de probabilidade f(x) 
 
 
𝒇 𝒙 = 
𝟏
𝜷 − 𝜶
, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 ∈ ,𝛂, 𝛃-
𝟎, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 ∉ ,𝛂, 𝛃-
 
 
 
Modelos de Distribuição Discreta 
Distribuição uniforme 
 
Função de densidade de probabilidade f(x) 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição uniforme 
 
Função de distribuição acumulada F(x) 
 
 
𝑭 𝒙 = 
𝟎, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒙 < 𝜶
𝒙 − 𝜶
𝜷 − 𝜶
 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝛂 ≤ 𝒙 < 𝜷
𝟏 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒙 ≥ 𝜷
 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
Distribuição uniforme 
 
Função de distribuição acumulada F(x) 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição uniforme 
 
Esperança E(x) 
 
𝑬 𝑿 =
𝜶 + 𝜷
𝟐
 
 
Variância V(X) 
 
𝑽 𝑿 =
(𝜷;𝜶)𝟐
𝟏𝟐
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição uniforme 
 
Exemplo 11. ( WALPOLE) Uma grande sala de conferências 
usada por certa empresa não pode ficar reservada por mais do que 
4 hora. No entanto o uso da sala é tal que conferências longas e 
curtas ocorrem com muita frequência, então pode-se assumir que 
a duração X de uma conferência tem distribuição uniforme no 
intervalo [0,4]. 
 
a) Qual é a função de densidade de probabilidade? 
b) Qual é a esperança e a variância? 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
Distribuição uniforme 
 
Solução: 
a) f x = 
1
4
 0 ≤ x ≥ 4
0, caso contrário
 
 
b) E X = μ = 𝟐 𝐜𝐨𝐧𝐟𝐞𝐫ê𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬 
 
 V X = 𝜎2 =
16
12
=
𝟒
𝟑
𝐜𝐨𝐧𝐟𝐞𝐫ê𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬𝟐 
 
 𝐷𝑃 𝑋 = 𝟏, 𝟏𝟓 conferências 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição exponencial 
 
A distribuição exponencial descreve processos em que: 
 
 Interessa saber o tempo até que ocorra determinado evento. 
 
 O tempo que possa ocorrer desde qualquer instante dado t, até 
que isso ocorra em um instante 𝑡𝑓 , não depende do tempo 
transcorrido anteriormente no qual não ocorreu nada. 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição exponencial 
 
Exemplos: 
 
 O tempo que pode transcorrer em um serviço de urgências, 
para a chegada de um paciente; 
 
 O tempo (em minutos) até a próxima consultaa uma base de 
dados; 
 
 O tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor; 
 
 O tempo (em metros) entre defeitos de uma fita. 
 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição exponencial 
 
Função de densidade de probabilidade f(t) 
 
 
𝒇 𝒕 =
𝒅
𝒅𝒕
𝑭 𝒕 = λ𝒆;λ𝒕, 𝐭 > 𝟎 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
Distribuição exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica da função de densidade de probabilidade 
de uma variável aleatória com distribuição exponencial. 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição exponencial 
 
 
Função de distribuição acumulada F(t) 
 
 
𝑭 𝒕 = 𝑷 𝑻 ≤ 𝒕 = 𝟏 − 𝒆−λ𝒕 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição exponencial 
 
 
Esperança E(T) 
 
𝑬 𝑻 =
𝟏
λ
 
 
Variância V(T) 
 
𝑽 𝑻 =
𝟏
λ𝟐
 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição exponencial 
 
Exemplo 12. (BARBETTA, pg 152) O tempo de vida (em horas) de 
um transistor é uma variável aleatória T com distribuição 
exponencial. O tempo médio de vida do transistor é de 500 horas. 
 
a) Encontre a esperança e variância. 
 
b) Calcule a probabilidade de o transistor durar mais do que 500 
horas. 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição exponencial 
 
a) 
E T = 𝜇 → 500 =
1
λ
= 𝟐𝐗𝟏𝟎;𝟑𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬 
 
 
V T = 𝜎2 → 500 =
1
λ2
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟒𝟕 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬𝟐 
 
DP T = 𝟎, 𝟐𝟏𝟏 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição exponencial 
 
Solução 
 
b) 
 P T > 500 = 1 − P T ≤ 500 → 
 
 F 500 = 1 − 𝑒;1 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟐 ≡ 𝟔𝟑, 𝟐% 
 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição Normal 
 
 
Uma distribuição normal é caracterizada por uma função de 
probabilidade cujo gráfico descreve uma curva em forma de sino. 
Essa forma de distribuição evidencia que há maior probabilidade 
de a variável aleatória assumir valores próximos do centro. 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição Normal 
 
Função de densidade de probabilidade f(x) 
 
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝝈 𝟐𝝅
∙ 𝒆
;
𝟏
𝟐
𝒙;𝝁
𝝈
𝟐
, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼ℜ 
Modelos de Distribuição Contínua 
Distribuição Normal 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica da função de densidade de probabilidade 
normal e indicação dos parâmetros 𝜇 e 𝜎. 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição Normal 
 
 
Função de distribuição acumulada F(x) 
 
 
𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕
𝒙𝒊
;∞
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição Normal 
 
Esperança E(X) 
 
𝑬 𝑿 = 𝝁 
 
Variância V(X) 
 
𝑽 𝑿 = 𝝈𝟐 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
Distribuição Normal 
 
 
 
 
 
 
 
Diferentes distribuições normais em função dos parâmetros 𝜇 e 𝜎. 
Modelos de Distribuição Contínua 
Distribuição Normal Padrão 
 
 
 
Distribuição normal de z: 
normal padrão 
Distribuição de X: 
Normal com 𝜇 = 170 e 𝜎 = 10 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Tabela de distribuição normal padrão 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição Normal 
 
Exemplo 13. (BARBETTA, pg 156) Seja Z uma variável 
aleatória com distribuição normal padrão. Pela tabela 
de distribuição normal padrão, encontre a probabilidade 
de 𝑃 −0,42 < 𝑍 < 0,42 . 
 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
Distribuição Normal Padrão 
Solução 
 
 
 
 
Então, 
 
𝑃 −0,42 < 𝑍 < 0,42 = 1 − 2 ∙ 0,3372 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟓𝟔 ≡ 𝟑𝟐, 𝟓𝟔% 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição Normal 
 
 
Exemplo 14. (BARBETTA, pg 159) Suponha que o tempo de 
resposta na execução de um algoritmo é uma variável aleatória 
com distribuição normal de média 23 segundos e desvio padrão de 
4 segundos. Calcule a probabilidade de o tempo de resposta ser 
menor do que 25 segundos. 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Distribuição Normal 
 
Solução 
 
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
→ 𝑍 =
25 − 32
4
= 0,5 
 
 
P ≤ 25 = P Z ≤ 0,5 → 1 − 0,3085 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟏𝟓 ≡ 𝟕𝟎% 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Aproximação normal à binomial 
 
Uma variável aleatória discreta com distribuição 
binomial, pode aproximar-se de uma distribuição 
normal, se: 
 
 n é suficientemente grande; 
 
 p não está muito próximo nem a 0 e nem a 1. 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Aproximação normal à binomial 
 
Os parâmetros da distribuição normal devem-se 
identificar ao valor esperado e ao desvio padrão do 
modelo binomial. 
 
𝝁 = 𝒏𝒑 
 
𝝈 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑 
 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Aproximação normal à binomial 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Aproximação normal à binomial 
 
Exemplo 15. (BARBETTA, pg 160) Historicamente, 
10% dos pisos cerâmicos, que saem de uma linha de 
produção, têm algum defeito leve. Se a produção diária 
é de 1000 unidades, qual é a probabilidade de ocorrer 
mais de 120 itens defeituosos? 
Modelos de Distribuição Contínua 
Verificando os parâmetros 𝜇 e 𝜎 
 
𝜇 = 1000 ∙ 0,1 = 100 
 
𝜎 = 1000 ∙ (0,1) ∙ (0,9) = 90 
 
Considerando então X uma variável aleatória normal com média 𝜇 
= 100 e variância 𝜎2 = 90. 
 
Logo 𝑧 =
120;100
90
= 2,11 
 
 
Assim, P 𝑋 > 120 = 𝑃 𝑍 > 2,11 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟒 ≡ 𝟏, 𝟕𝟒% 
Modelos de Distribuição Contínua 
Exemplo 16. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em 10 
lançamentos de uma moeda “honesta”? 
 
Pela binomial 
 
𝐩 𝒙 =
𝟏𝟎
𝒙
∙ (𝟎, 𝟓)𝒙∙ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎;𝒙 
 
 
 
 
 
P X > 6 = p 7 + p 8 + p 9 + p 10 = 𝟎, 𝟏𝟕𝟐 ≡ 𝟏𝟕, 𝟐% 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
Aproximação normal à binomial 
 
Exemplo 16. Pela normal 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Aproximação normal à Poisson 
 
A aproximação de Poisson se aproxima da normal quando λ é 
grande, como o valor esperado e a variância de uma Poisson são 
ambos iguais a λ, então, na aproximação normal: 
 
𝝁 = λ 
 
𝝈 = λ 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Aproximação normal à Poisson 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de Poisson para diferentes valores de λ 
 
 
λ=1 
 
 
λ=5 
 
λ=20 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
 
Gráfico de probabilidade normal 
 
O gráfico de probabilidade normal é adequado para 
verificar a suposição de um modelo normal para 
determinados dados. 
 
Modelos de Distribuição Contínua 
Gráfico de probabilidade normal 
 
Exemplo 18. (BARBETTA, pg 165) Considerando 5 observações (74,0; 
74,4; 74,7; 74,8; 75,9) 
 
Então: 
Modelos de Distribuição Contínua 
Gráfico de probabilidade normal 
 
Exemplo 19. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações, com 
distribuição normal 
Modelos de Distribuição Contínua 
Gráfico de probabilidade normal 
 
Exemplo 20. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações, com 
distribuição normal, mas com o efeito de um valor discrepante. 
 
Referências 
 
BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de 
Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, 2010. 
 
COLCHER, Sérgio. Algumas Distribuições Discretas. Disponível em: 
<http://www.inf.pucrio.br/~inf2511/inf2511_files/menu/material/transparencias/0
7-Distribuicoes.pdf>. Acesso em: 17 de Outubro de 2013. 
 
DÍAZ, F. R. LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. Thonson. São Paulo – SP, 2007. 
 
MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC. Rio de 
Janeiro – RJ, 2012. 
 
WALPOLE, R. E. et. al. Probabilidade e Estatística para Engenharia e 
Ciências. 8ª Edição. Pearson. São Paulo – SP, 2009.