Calculo de funções de varias Variáveis _UNIP - Exercícios para treinar

Prévia do material em texto

Prof. Jorge Salles 1 
 
 
1. Calcule a seguintes integrais duplas: 
a. ∫ ∫ 𝑥2𝑦. 𝑑𝑦𝑑𝑥
2
1
3
0
 
b. ∫ ∫ 𝑥2𝑦. 𝑑𝑥𝑑𝑦
3
0
2
1
 
c. ∫ ∫ (1 + 4𝑥𝑦). 𝑑𝑥𝑑𝑦
1
0
3
1
 
d. ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦. 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜋
2
0
𝜋
2
0
 
e. ∫ ∫ (2𝑥 + 𝑦)3. 𝑑𝑥𝑑𝑦
1
0
2
0
 
f. ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2). 𝑑𝑥𝑑𝑦
1
−1
4
2
 
g. ∫ ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑦. 𝑑𝑥𝑑𝑦
5
−1
𝜋
2
−
𝜋
2
 
h. ∫ ∫
𝑥𝑦2
𝑥2+1
. 𝑑𝑥𝑑𝑦
1
0
3
−3
 
2. Calcule as seguintes integrais duplas, 
nas regiões indicadas: 
a. ∬(𝑥 − 3𝑦2). 𝑑𝐴 , em 
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)| 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 e 1 ≤
𝑦 ≤ 2} . 
b. ∬ 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦). 𝑑𝐴 , em 
𝑅 = [0, 𝜋] × [1,2] . 
c. ∬(𝑥2𝑦3 − 5𝑦4). 𝑑𝐴 , em 
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)| 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 e 0 ≤
𝑦 ≤ 1} . 
d. ∬ cos(𝑥 + 2𝑦) . 𝑑𝐴, em 
𝑅 = [0, 𝜋] × [0, 𝜋 2⁄ ] . 
e. ∬
𝑥
1+𝑥𝑦
. 𝑑𝐴 , em 
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)| 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 e 0 ≤
𝑦 ≤ 1} . 
 
 
3. Calcule ∬(𝑥 + 2𝑦). 𝑑𝐴 sobre a 
região 𝐷 limitada pelas 
parábolas 𝑦 = 2𝑥2 e 𝑦 = 1 + 𝑥2. 
4. Determine o volume do sólido 
𝑆, delimitado pela superfície 
𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑧 = 16, os planos 
𝑥 = 2 e 𝑦 = 2 e os três planos 
coordenados. 
5. Determine o volume do sólido 
abaixo do paraboloide 
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e acima da região 
do plano x-y delimitada pela 
reta 𝑦 = 2𝑥 e pela parábola 
𝑦 = 𝑥2 . 
6. Calcule a seguinte integral 
iterada ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑦2). 𝑑𝑦𝑑𝑥
1
𝑥
1
0
 . 
7. Calcule a área da região do 
plano x-y delimitada pela reta 
𝑦 = 𝑥 − 1 e pela parábola 
𝑦2 = 2𝑥 + 6 . 
8. Calcule o volume do sólido 
abaixo do gráfico da função 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) e acima 
da região do plano x-y definida 
por 𝑅 = [0,
𝜋
6
] × [0,
𝜋
3
].