atividade 4

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Quarta Atividade de ma211ab, ps2015
(1) Nesta questa˜o explique com suas palavras a comparac¸a˜o que e´ feita no comec¸o da pa´gina 91
do para´grafo 15.3 do Edwards e Penney entre o ca´lculo de volume pelo me´todo de integrac¸a˜o das
sec¸o˜es transversais, que ja´ estudamos no ca´lculo I, e a fo´rmula para integrais duplas
∫∫
R
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
(∫ y2(x)
y1(x)
f(x, y)dy
)
dx ,
por vezes chamada de teorema de Fubini, va´lida para uma regia˜o dada por
R =
{
(x, y) ∈ R2, t.q. a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y2(x)
}
. . . e tente, com os comandos gra´ficos do mathematica, tambe´m com o comando Show [ ] repro-
duzir a figura 15.3.3 da pa´gina 91 . . . e se estiver inspirado, fac¸a uma animac¸a˜o com o comando
Manipulate [ ] , de tal forma que a posic¸a˜o da sec¸a˜o mo´vel varie com o controle de um bota˜o.
(2) Nesta questa˜o encontre o volume embaixo do gra´fico de z = f(x, y) = 1 + x+ y e acima da
regia˜o plana R, delimitada pelas curvas x = 1, y = 0 e y = x2. Desenhe primeiro a regia˜o plana
com o comando RegionPlot [ ] , desenhe as treˆs curvas com o comando ContourPlot [ ] , e junte as
curvas com a regia˜o empregando o comando Show [ ]. Agora, em terceira dimensa˜o, desenhe o
gra´fico de f com o comando Plot3D [ ] , mas escolha a variac¸a˜o de x e y nos intervalos [0, 1] e [1, 1]
e empregue a opc¸a˜o RegionFunction → Function [{x, y, z}, y ≤ x2] para restringir o domı´nio a`
regia˜o R. Ale´m disso fac¸a o comando da forma Plot3D [{f [x, y] , 0} , etc. . . ] , para a regia˜o R
aparecer como sombra do gra´fico e use a opc¸a˜o Filling → Bottom para o so´lido cujo volume foi
calculado aparecer destacado.
(3) Consideramos nesta questa˜o o problema de saber que coˆnicas aparecem como conjuntos de
n´ıvel da func¸a˜o q(x, y) = 23x2+72xy+2y2. Para isto devemos rodar o sistema original de eixos,
x, y, obtendo um sistema u, v, em que a expressa˜o de q em termos de u e v na˜o tenha termos
cruzados, apenas termos da forma u2 e v2 e na˜o da forma uv . . . no mathematica digitamos
q [x , y ] = 23x2 + 72xy + 2y2;
Simplify [q [au− bv, bu+ av]] ;
Solve
[{D [D [%, u] , v] == 0, a2 + b2 == 1}, {a, b}]
. . . e escolhemos uma das opc¸o˜es para a e b dadas na soluc¸a˜o. Por que fazemos isto? Que significam
a e b? Explique. Fac¸a uma escolha . . . a qual aˆngulo de rotac¸a˜o corresponde? Da´ı qual sera´ a
expressa˜o de q em termos de u e v, como voceˆ obte´m isto com um comando do mathematica?
Quais sera˜o as coˆnicas correspondentes aos conjuntos de n´ıvel de q? Use o ContourPlot [ ] para
verificar. Como voceˆ faria para desenhar as coˆnicas que aparecem como conjuntos de n´ıvel junto
com seus eixos de simetria comuns . . . e ass´ıntotas comuns, se houverem?
Boa Sorte. Ma´rcio.
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