Lista2_Equacoes_Transcedentais

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ECT1303 Lista de Exercícios II 2013.2
Resolução de Equações Transcedentais
Obs: Nas questões iterativas, realize no máximo 5 iterações.
1. Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
(a) xcosx− 2x2 + 3x− 1 = 0, [0,2; 0,3] e [1,2; 1,3]
(b) (x− 2)2 − lnx = 0, [1;2] e [e;4]
2. Determine, utilizando a análise gráfica, o intervalo com um número ímpar de soluções
para as equações abaixo.
(a) x− 3−x = 0
(b) 4x2 − ex = 0
(c) x3 − 2x2 − 4x+ 2 = 0
(d) x3 + 4, 001x2 + 4, 002x+ 1, 101 = 0
3. Seja f(x) = (x+ 2)(x+ 1)2x(x− 1)3(x− 2), para qual zero de f o método da Bissecção
converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3
algarismos.
(a) [−1, 5; 2, 5]
(b) [−0, 5; 2, 4]
(c) [−0, 5; 3]
(d) [−3; 0, 5]
4. Considere a equação ex − (x+ 5) = 0 para responder os itens a seguir:
(a) Determine graficamente o número e a posição aproximada das raízes reais positivas
da equação.
(b) Utilize o algoritmo da bisseção para determinar cada uma destas raízes com precisão
10−4.
(c) Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para cal-
cular a raiz próxima de 1 com uma precisão 10−8 partindo do intervalo [0, 2]. Não
faça as iterações.
5. Seja uma função f(x) onde f(10) = 100, f ′(10) = 0 e a raiz vale 9. Explique por que o
método de Newton não é uma boa alternativa se começarmos com x0 próxima de 10.
6. Deseja-se resolver a equação:
ex − 3x2 = 0
que possui as duas raízes r1 = −0, 4589623 e r2 = 0, 91, assim como uma terceira raiz
situada próxima de 4.
(a) O método da bisseção convergirá para uma das raízes se tomarmos [−1, 0] como
intervalo inicial?
(b) Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão 10−3.
(c) Utilize o método da secante para resolver a equação com precisão 10−3.
7. Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma f(x) = 0 pode ser
dada pelo método seguinte:
xk+1 = xk − f(xk)
f ′(x0)
(a) Dê uma interpretação geométrica deste método.
(b) Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz r =
√
2 da equação x2− 2 = 0.
Dê uma condição necessária sobre x0 para a convergência do método para
√
2.
8. Uma carga total Q está uniformemente distribuída ao redor de um condutor circular
de raio a. Uma carga q está localizada a uma distância x do centro do anel. A força
exercida na carga do anel é dada por:
onde e0 = 8, 85× 10−12 C2/(Nm2). Encontre a distância x onde a força é 1, 25 N se q e
Q são 2× 10−5 C para um anel de raio 0, 9 m.
9. A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
c = 75e−t + 20e−0.075t
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
(a) Usando o método gráfico;
(b) Usando o método de Newton com aproximação inicial t = 6 e erro < 10−3.
10. Os engenheiros espaciais algumas vezes calculam a trajetória de projéteis como foguetes.
Um problema relacionado trata da trajetória de uma bola lançada. A trajetória da bola
é definida pelas coordenadas (x, y) como mostrado na figura abaixo. A trajetória pode
ser modelada por:
y = (tan θ)x− g
2v20 cos
2 θ
x2 + y0
Encontre o ângulo inicial apropriado θ, se a velocidade inicial for v0 = 20m/s e a distância
do receptor for x = 35m. Observe que a bola deixa a mão do lançador a uma elevação
de y0 = 2m e o receptor a recebe a 1m. Expresse o resultado final em graus. Use um
valor de 9, 81m/s2 para g e utilize um método gráfico para encontrar suas aproximações
iniciais.
11. Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo Θ está
variando a velocidade constante
dΘ
dt
= w < 0.
Depois de t segundos, a posição do objeto é dada por
x(t) = − g
2w2
(
ewt − e−wt
2
− sen(wt)
)
.
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que
g = 9, 81 m/s2.
(a) Utilize Bissecção para determinar, com precisão de 10−6, a velocidade w com a qual
Θ varia.
(b) Utilize o método da Secante para determinar, com precisão de 10−15, a velocidade
w com a qual Θ varia.
(c) Considerando o resultado encontrado pelo método da Secante como sendo o valor
exato, estime a ordem de convergência do método da Bissecção empregado anteri-
ormente.
Soluções
1.
2.
3. (a) 0
(b) 10−165, finaliza no limite de iterações.
(c) 2.0002441
(d) −2.0002441
4. (a)
Sem recorrer ao gráfico, pode-se
observar que f ′(x) > 0,∀x > 0,
ou seja a função é estritamente
crescente. Como f(0) = -4 e
f(2) = 0, 38, a única raiz posi-
tiva está contida neste intervalo.
Isto pode ser verificado no gráfico
ao lado. De fato, vemos que esta
raiz está próxima a 2.
(b) Sejam o intervalo inicial [a, b] = [0, 2] e x0 = a = 0.
Iteração 1: [a, b] = [0, 2]
x1 = (0 + 2)/2 = 1
Erelativo =
∣∣1−0
1
∣∣ = 1 > 10−4
f(x1)× f(b) < 0 =⇒ a = 1
Iteração 2: [a, b] = [1, 2]
x2 = (1 + 2)/2 = 1.5
Erelativo =
∣∣1.5−1
1.5
∣∣ = 0.333333 > 10−4
f(x2)× f(b) < 0 =⇒ a = 1.5
Iteração 3: [a, b] = [1.5, 2]
x3 = (1.5 + 2)/2 = 1.75
Erelativo =
∣∣1.75−1.5
1.75
∣∣ = 0.142857 > 10−4
f(x3)× f(b) < 0 =⇒ a = 1.75
...
Iteração 14: [a, b] = [1.936768, 2]
x14 = (1.936768 + 2)/2 = 1.936890
Erelativo =
∣∣1.936890−1.936768
1.936890
∣∣ = 0.000063 < 10−4
Portanto, a solução obtida com precisão 10−4 é 1.936890.
(c) O tamanho do intervalo que contém a raiz é dividida por 2 em cada iteração. Seja
L = 2 o tamanho do intervalo inicial. Depois de uma iteração, o novo intervalo tem
tamanho L/2 e, depois de k iterações, o tamanho do intervalo é L/2k. Deseja-se
obter o valor necessário de k para se obter:
L
2k
< Eabsoluto =⇒ k > log2
(
L
Eabsoluto
)
.
Portanto, temos
k > log2
(
2
10−8
)
= 27, 57.
Ou seja, são necessárias 28 iterações.
5. Sabemos que a raiz vale 9 e devemos iniciar de um valor próximo ao da raiz. Porém,
ao utilizar o x0 próximo de 10, onde a derivada é zero, o método de Newton tende a
traçar uma reta quase paralela ao eixo x, o que leva a solução para longe da raiz e pode
divergir, dependendo da função.
6. (a) Sim, pois f(x) = ex − 3x2 é contínua e f(−1)× f(0) < 0.
(b) Sejam o chute inicial x0 = 4 e f
′(x) = ex − 6x.
Iteração 1:
x1 = x0 − f(x0)f ′(x0) = 3.784361145167
Erelativo =
∣∣3.784361145167−4
3.784361145167
∣∣ = 0.056981574052 > 10−3
Iteração 2:
x2 = x1 − f(x1)f ′(x1) = 3.735379375080
Erelativo =
∣∣3.735379375080−3.784361145167
3.735379375080
∣∣ = 0.013112930487 > 10−3
Iteração 3:
x3 = x2 − f(x2)f ′(x2) = 3.733083897874
Erelativo =
∣∣3.733083897874−3.735379375080
3.733083897874
∣∣ = 0.000614901049 < 10−3
Portanto, a solução obtida com precisão 10−3 é 3.733083897874.
(c) Sejam as estimativas iniciais x0 = 3 e x1 = 4.
Iteração 1:
x2 = x1 − f(x1) x1−x0)f(x1)−f(x0) = 3.511704362476
Erelativo =
∣∣3.511704362476−4
3.511704362476
∣∣ = 0.139048048219 > 10−3
Iteração 2:
x3 = x2 − f(x2) x2−x1)f(x2)−f(x1) = 3.680658256169
Erelativo =
∣∣3.680658256169−3.511704362476
3.680658256169
∣∣ = 0.045903173273 > 10−3
Iteração 3:
x4 = x3 − f(x3) x3−x2)f(x3)−f(x2) = 3.745598502519
Erelativo =
∣∣3.745598502519−3.680658256169
3.745598502519
∣∣ = 0.017337748909 > 10−3
Iteração 4:
x5 = x4 − f(x4) x4−x3)f(x4)−f(x3) = 3.732460650523
Erelativo =
∣∣3.732460650523−3.745598502519
3.732460650523
∣∣ = 0.003519890289 > 10−3
Iteração 5:
x6 = x5 − f(x5) x5−x4)f(x5)−f(x4) = 3.733071932407
Erelativo =
∣∣3.733071932407−3.732460650523
3.733071932407
∣∣ = 0.000163747684 < 10−3
Portanto, a solução obtida com precisão 10−3 é 3.733071932407.
7.
8. Para Bissecção com a = 1, b = 3 e p = 5, o resultado foi: x = 2.0176
9. (a)
(b) t = 4.59.
10. Para Bissecção com a = 0.45, b = 0.5 e p = 4, x = 0.4748.
11. (a) a = −0.35, b = −0.3 e p = 6, x = −0.318039.
(b) a = −0.35, b = −0.3 e p = 15, x = −0.318038939784410.(c) c = 1.00122