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1 
COMPORTAMENTO ELÉTRICO DOS MATERIAIS: 
 
 
1 – A LEI DE OHM E A CONDUTIVIDADE ELÉTRICA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde V é a tensão (Volts, V), I é a corrente (Ampère, A) e R é a 
resistência (Ohm, ΩΩΩΩ) para o fluxo de corrente. A resistência R é 
uma característica do tamanho, forma e propriedades dos 
materiais que compõe o circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde "�" é o comprimento (em cm) do condutor, "A" é a área de 
seção transversal (cm2) do condutor, "ρρρρ" é a resistividade elétrica 
(ΩΩΩΩ.cm) e "σσσσ", que é a recíproca de "ρρρρ", é a condutividade elétrica 
(ΩΩΩΩ-1.cm-1). 
Pode-se usar essa equação para projetar resistores, uma vez que 
se pode variar o comprimento ou a área de seção transversal do 
dispositivo. 
 
Em componentes projetados para conduzir energia elétrica, 
minimizar a perda de potência é importante não apenas para 
conservar energia mas também para minimizar aquecimento. A 
 
 V = R.I 
 
 R = ρρρρ (�/A) = (� /σσσσA) 
 2 
potência elétrica (P, em watts) perdida quando a corrente flui 
através da resistência, é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma alta resistência resulta em maior perda de potência. 
 
Uma segunda forma da Lei de Ohm é obtida combinando-se as 
duas primeiras equações: 
 
I/A = σσσσ (V/L). Definindo-se I/A como densidade de corrente “J” 
(A/cm2) e V/L como o campo elétrico ξξξξ (V/cm), então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se também determinar que a densidade de corrente J é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P = V.I = I2.R 
 
J = σσσσξξξξ 
 
J = n.q.v 
 3 
Onde "n" é o número de carregadores de cargas 
(carregadores/cm3), "q" é a carga sobre cada carregador (1,6 x 10-
19
 C) e "v " é a velocidade média (cm/s) na qual os carregadores 
de carga movem-se, Figura 1. 
 
 
 
Figura 1: Carregadores de carga, tais como elétrons, são 
defletidos por átomos ou defeitos de rede e possuem um caminho 
irregular através do condutor. A taxa média na qual os 
carregadores movem-se é a velocidade líquida "v ". 
 
Onde 
t
x
v
∆
∆
= . 
 
 
 
 4 
 
 
Assim, σσσσ.ξξξξ = n.q.v ���� σσσσ = n.q. (v/ξξξξ). O termo v/ξξξξ é chamado de 
mobilidade µµµµ (cm2/V.s): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Finalmente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 µµµµ = v / ξξξξ 
 
 σσσσ = n.q.µµµµ 
A carga q é uma constante. Então, a partir da 
equação anterior, pode-se controlar a 
condutividade elétrica dos materiais, controlando: 
1 – O número de carregadores de cargas no 
material. 
2 – A mobilidade, ou a facilidade de movimento 
dos carregadores de carga. 
 
 5 
 OBS: A mobilidade é particularmente importante em metais, 
enquanto o número de carregadores é mais importante em 
semicondutores e isolantes. 
 
Os elétrons são os carregadores de cargas nos condutores (tais 
como os metais), semicondutores e isolantes, entretanto os íons 
são os portadores de cargas em compostos iônicos (Figura 2). 
A mobilidade depende da ligação atômica, imperfeições da rede, 
microestrutura, e, em compostos iônicos, taxas de difusão. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Carregadores de cargas em diferentes materiais: (a) 
Elétrons de valência nas ligações metálicas movem-se facilmente, 
(b) ligações covalentes devem ser quebradas em semicondutores 
e isolantes para um elétron ser capaz de mover-se, e (c) íons 
inteiros devem difundir para carregar carga em muitos materiais 
ligados ionicamente. 
 
 
 
Devido a esses efeitos, a condutividade elétrica dos materiais 
varia tremendamente, conforme mostrado na tabela 1. 
 
 
 
 6 
Tabela 1: Valores da condutividade elétrica de alguns metais e 
materiais. 
 
 MATERIAL ESTRUT. ELETR. CONDUTIVIDADE 
 (OHM-1.Cm-1) 
Metais Alcalinos 
 Na 1s22s22p63s1 2,13 x 105 
 K ..................... 3s23p64s1 1,64 x 105 
Metais Alc. Terrosos 
 Mg 1s22s22p63s2 2,25 x 105 
 Ca ..................... 3s23p64s2 3,16 x 105 
Metais Grupo IIIA 
 Al 1s22s22p63s23p1 3,77 x 105 
 Ga ...............3s23p13d104s24p1 0,66 x 105 
Metais de Transição 
 Fe ......................3d64s2 1,00 x 105 
 Ni ......................3d64s2 1,46 x 105 
Metais Grupo IB 
 Cu ......................3d104s1 5,98 x 105 
 Ag ......................4d105s1 6,80 x 105 
 Au ......................5d106s1 4,26 x 105 
Materiais Grupo IV 
 C (diamante) .............1s22s22p2 < 10-18 
 Si ..................... 3s23p2 5 x 10-6 
 Ge ............................ 4s24p2 0,02 
 Sn ……………………5s25p2 0,9 x 105 
 Polímeros 
Polietileno 10-15 
Politetrafluoretileno 10-18 
Poliestireno 10-17 a 10-19 
Epoxi 10-12 a 10-17 
 Cerâmica 
Alumina 10-14 
Vidro Cerâmico 10-17 
Nitreto de Boro (BN) 10-17 
Carbeto de Silício 10-1 a 10-2 
Carbeto de Boro 
(B4C) 
 
 1 a 2 
 
 7 
A tabela 2 mostra algumas unidades úteis e suas relações. 
 
Tabela 2: Relações entre unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1: PROJETO DE UMA LINHA DE TRANSMISSÃO: 
 
Projete uma linha de transmissão elétrica, com 1500m de 
comprimento, que transportará uma corrente de 50A com não 
mais que 50 x 105 W de perda de potência. A condutividade 
elétrica de vários materiais está inclusa na Tabela 1. 
 
 
SOLUCÃO: 
 
A potência elétrica é dada pelo produto da voltagem e da 
corrente, ou: 
 P = V.I = I2.R = (50)2 x R. 
 
Conforme descrito no problema, o valor da potência dissipada 
não deve ser maior que 50 x 105 W. Então: 
 
 
 
 
 1 Elétron Volt = 1eV = 1,6 x 10 –19 Joule = 1,6 x 10-12 erg 
 
 1 Amp. = 1 Coulomb / Segundo 
 
 1 Volt = 1 amp. X ohm 
 
 k = Const. Boltzmann = 8,63 x 10-5 eV/K = 1,38 x 10-23J/K 
 
 k.T na temperatura ambiente = 0,025 eV 
 8 
(50)2 x R = 50 x 105 W ���� R = 200 ΩΩΩΩ. Porém, sabe-se que: 
 
 R = ρρρρ (�/A) = (� /σσσσA) ���� A = � /(σσσσ.R) 
 
 A = 1500(m) / (200ΩΩΩΩ x σσσσ) =[ 7,5/σσσσ] (m/ΩΩΩΩ). Como na tabela 1 as 
unidades são em cm-1 e ohm-1, então deve-se fazer a conversão 
para cm. 
 
 A = [7,5(m/ΩΩΩΩ) x (100cm/1m)] / σσσσ = 750 (cm/ΩΩΩΩ) / σσσσ. 
 
Pode-se considerar três metais: alumínio, cobre e prata, que têm 
excelentes condutividade elétrica. A tabela abaixo inclui dados 
apropriados e algumas características da linha de transmissão 
para cada metal. 
 
 
 METAL σσσσ (cm-1 x ohm-1) A (cm2) Diâmetro (cm) 
Alumínio 3,77 x 105 0,00199 0,050 
Cobre 5,98 x 105 0,00125 0,040 
Prata 6,80 x 105 0,00110 0,037 
 
 Qualquer um dos três metais vai atender aos requisitos 
técnicos do projeto, porém o custo será um fator determinante. 
 
A expressão da densidade é dada por: ρρρρ = m/V, onde V = A . �. 
Então; 
 ρρρρ = m/(A. � ) ���� m = ρρρρ.(A. � ). 
 
Para o Alumínio, cuja ρρρρ = 2,7 g/cm3 e 1lb = US$-0,80/lb, tem-se: 
 
m = ρρρρ(A. � ) ���� m = 2,7 (g/cm3).(0,00199 cm2).(150.000 cm) 
 
m = 806g. Como 1lb = 452,81g, então: 806g . (1lb/452,81g) = 
1,78lb. 
 
Custo = 1,78lb x US$-0,80/lb = US$-1,42.Para o Cobre, cuja ρρρρ = 8,93(g/cm3) e 1lb = US$-1,10, tem-se: 
 9 
 
m = ρρρρ(A. � ) ���� m = 8,93 (g/cm3). (0,00125 cm2).(150.000 cm) 
 
m = 1674g. Como 1lb = 452,81g, então: 1674g . (1lb/452,81g) = 
3,69lb. 
 
Custo = 3,69lb x US$-1,10/lb = US$-4,06. 
 
Para a Prata, cuja ρρρρ = 10,49 (g/cm3) e 1lb = US$-64,00, tem-se: 
 
m = ρρρρ(A. � ) ���� m = 10,49 (g/cm3). (0,00110 cm2).(150.000 cm) 
 
m = 1731g. Como 1lb = 452,81g, então: 1731g . (1lb/452,81g) = 
3,81lb. 
 
Custo = 3,81lb x US$-64,00/lb = US$-244,00. 
 
Baseado nessa análise, o alumínio é a escolha mais econômica, 
apesar do arame ter o maior diâmetro. Entretanto, outros 
fatores, tais como se o arame pode suportar seu próprio peso 
entre os pólos de transmissão, também contribuem para a 
escolha final. 
 
EXEMPLO 2: 
 
Assumindo que todos os elétrons de valência contribuem para o 
fluxo de corrente, (a) calcule a mobilidade de um elétron no cobre 
e (b) calcule a velocidade líquida média para os elétrons em um 
arame de cobre de 100cm quando 10 V são aplicados. 
 
SOLUCÃO: 
 
1 – A valência do cobre é um. Dessa forma o número de 
elétrons de valência iguala-se ao número de átomos de cobre no 
material. O parâmetro de rede do cobre é 3,6151 x 10-8cm e, uma 
vez que a estrutura cristalina do cobre é CFC, existem 4 
átomos/célula unitária. A partir da tabela 1, a resistividade = 1/σσσσ 
= 1/5,98 x 105 = 1,67 x 10-6 ohm.cm: 
 
 10 
n = [(4 átomos/cela) x (1 e-/átomo)]/( 3,6151 x 10-8cm)3/cela. 
 
n = 8,466 x 1022 elétrons/cm3. 
 
Como q = 1,6 x 10-19 C e µµµµ = σσσσ/nq = 1/ρρρρnq. Então: 
 
µµµµ = 1 / (1,67 x 10-6).(8,466 x 1022). (1,6 x 10-19) 
 
µµµµ = 44,2cm2/ohm.C = 44,2cm2/V.s. 
 
2 – O campo elétrico é: 
 
ξξξξ = V/l = 10/100 = 0,1 V/cm. 
 
Como a mobilidade é 44,2cm2/V.s, dessa forma: 
 
v = µµµµξξξξ = (44,2).(0,1) = 4,42 cm/s. 
 
TEORIA DE BANDA. 
 
No capítulo intitulado A estrutura do Átomo, verificou-se que os 
elétrons num átomo simples, ocupam níveis discretos de energia. 
O princípio da exclusão de Pauli permite cada nível de energia 
conter apenas dois elétrons. O nível 2p contém três níveis de 
energia e um total de seis elétrons. 
 
Quando N átomos juntam-se para produzir um sólido, o princípio 
de Pauli ainda requer que apenas dois elétrons no sólido inteiro 
tenham a mesma energia. Cada nível de energia amplia-se para 
uma banda (Figura 3). Conseqüentemente, a banda 2s num 
sólido contém N níveis de energia discretos e 2N elétrons, dois 
em cada nível de energia. 
 
 
 11 
 
 
 
 Figura 3: Os níveis de energia transformam-se em 
bandas de energia, à medida que o número de elétrons agrupados 
aumenta. 
 
Cada um dos níveis 2p contém N níveis de energia e 2N elétrons. 
Desde que três bandas 2p normalmente sobrepõem-se, pode-se 
alternadamente descrever uma simples banda 2p expandida, 
contendo 3N níveis de energia e 6N elétrons. 
 
 
ESTRUTURA DE BANDA DO SÓDIO. 
 
A figura 4 mostra uma fotografia idealizada da estrutura de banda 
do sódio, que tem uma estrutura eletrônica de 1s22s22p63s1. As 
energias dentro das bandas dependem dos espaçamentos entre 
os átomos; a linha vertical representa o espaçamento 
interatômico de equilíbrio no sódio sólido. 
Os níveis de energia 3s são as bandas de valência. Os níveis de 
energia 3p vazios, os quais estão separados da banda 3s por um 
“gap” de energia, formam uma banda de condução. 
Sódio e outros metais alcalinos na coluna IA da tabela periódica, 
têm apenas um elétron no nível s mais externo. A banda de 
valência 3s no sódio é semi-preenchida, e no zero absoluto, 
apenas os menores níveis de energia são ocupados. A energia 
de Fermi (EF) é a energia na qual metade dos níveis de energia 
possíveis na banda são ocupados por elétrons. 
 12 
 
 
 
 
 Figura 4: A estrutura de banda simplificada para o sódio. Os 
níveis de energia expandem-se para bandas. A banda 3s, que é 
apenas semi-preenchida com elétrons, é responsável pela 
condução no sódio. 
 
 
Mas quando a temperatura do material aumenta, alguns elétrons 
ganham energia e são excitados para níveis de energia vazios na 
banda de valência (Figura 5). 
 
 
 
 
 13 
 (a) 
 14 
 (b) 
 
Figura 5: (a) No zero absoluto, todos os elétrons no nível de 
energia mais externo têm a menor energia possível. (b) Quando 
a temperatura é aumentada, alguns elétrons são excitados para 
níveis não preenchidos. Note que a Energia de Fermi é imutável. 
 
 
 
 
Essa condição cria um número igual de níveis de energia vazios, 
ou buracos, criados por elétrons excitados. Apenas um 
pequeno aumento na energia é requerido. Uma carga elétrica 
pode então ser carregada por ambos: elétron excitado e buracos 
recém-criados. 
 
 
 15 
 
A ESTRUTURA DE BANDA DO MAGNÉSIO E OUTROS METAIS. 
A estrutura de banda simplificada, para o magnésio (1s22s22p63s2) 
é mostrada na Figura 6. 
 
 
 
 
 
Figura 6: Estrutura de banda simplificada para o magnésio. No 
espaçamento interatômico de equilíbrio, os níveis de energia 3s 
(preenchido) e 3p (vazio) sobrepõem-se. 
 
 
 
Magnésio e outros metais na coluna IIA da tabela periódica têm 
dois elétrons nas suas bandas s mais externas. Esses metais 
têm uma alta condutividade porque a banda p sobrepõe a banda 
 16 
s no espaçamento interatômico de equilíbrio. Essa 
sobreposição permite os elétrons serem excitados para um maior 
número de níveis de energia não ocupados nas bandas 
combinadas 3s e 3p. A sobreposição das bandas 3s e 3p no 
alumínio e outros metais da coluna IIIA promove um efeito similar. 
 
Nos metais de transição, desde o Scandio até o níquel, uma 
banda 3d não preenchida sobrepõe-se a banda 4s. Essa 
sobreposição promove níveis de energia para os quais os 
elétrons podem ser excitados; entretanto, interações complexas 
entre as bandas evitam que a condutividade seja tão alta como 
em alguns dos melhores condutores. Mas no cobre, a banda 
interna 3d é cheia, e esses elétrons são firmemente mantidos pelo 
núcleo do átomo. Conseqüentemente, existe pouca interação 
entre os elétrons nas bandas 4s e 3d, e o cobre possui alta 
condutividade. Uma situação similar é encontrada para a prata e 
o ouro. 
 
 
 
ESTRUTURA DE BANDA DOS SEMICONDUTORES E DOS 
ISOLANTES. 
 
 
Os elementos do grupo IVA – carbono (diamante), silício, 
germânio e estanho – contêm dois elétrons nos seus orbitais 
mais externos p e têm uma valência de quatro. Baseado em 
discussões anteriores, pode-se esperar que esses elementos 
tenham uma alta condutividade devido à banda p não preenchida, 
mas esse comportamento não é observado!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 
Esses elementos são ligados covalentemente; assim sendo, os 
elétrons nas bandas mais externas s e p são fortemente ligados 
aos átomos. A ligação covalente produz uma mudança complexa 
na estrutura de banda, ou hibridação. Os níveis 2s e 2p dos 
átomos de carbono no diamante podem conter até 8 elétrons, mas 
existem apenas 4 elétrons de valência disponíveis. Quando 
átomos de carbono são juntados para formar o diamante sólido, 
os níveis 2s e 2p interagem e produzem duas bandas (Figura 7). 
Cada banda híbrida pode conter 4N elétrons. Desde que existem 
apenas 4N elétrons disponíveis, a menor banda (ou de valência) 
 17 
está completamente preenchida; entretanto, a banda superior (ou 
de condução) está vazia. 
 
Um grande intervalo (“gap”) de energia, Eg, separa os elétrons da 
banda de condução no diamante. Poucos elétrons possuem 
energia suficiente para alcançarem a zona proibida para a bandade condução. Conseqüentemente, o diamante tem uma 
condutividade elétrica menor que 10-18Ohm-1.cm-1. Outros 
materiais covalentemente e ionicamente ligados têm uma 
estrutura de banda similar e, como o diamante, comportam-se 
como isolantes elétricos. 
 
 
Figura 7: A estrutura de banda para o carbono na forma de 
diamante. Os níveis 2s e 2p combinam para formar duas bandas 
híbridas separadas por um “gap”de energia Eg. 
 
 
 18 
A Tabela 1 mostra a condutividade elétrica de vários materiais 
poliméricos e cerâmicos na temperatura ambiente. 
Aumentando-se a temperatura ou aplicando-se uma voltagem, a 
energia requerida para os elétrons sobrepor o “gap” energético é 
atingida. Por exemplo, a condutividade elétrica do Nitreto de 
Boro aumenta de cerca de 10-13 Ohm-1.cm-1 na temperatura 
ambiente para 10-4 Ohm-1.cm-1 a 800°°°°C. 
Embora germânio, silício e estanho tenham a mesma estrutura 
cristalina e estrutura de banda que o diamante, o gap de energia é 
menor. De fato, o gap de energia no estanho é tão pequeno que 
o estanho comporta-se como um metal. O gap de energia é um 
pouco maior no silício e no germânio – esses elementos 
comportam-se como semicondutores. A Tabela 1 inclui a 
condutividade elétrica desses quatro elementos. 
 
 
CONTROLANDO A CONDUTIVIDADE DOS METAIS: 
 
A condutividade de um metal puro, livre de defeitos, é 
determinada pela estrutura eletrônica dos átomos. É possível 
mudar a condutividade influenciando a mobilidade, µµµµ, dos 
carregadores de carga. A mobilidade é proporcional à 
velocidade livre, "v", que é baixa se os elétrons colidem-se com 
imperfeições na rede. O caminho livre médio é a distância 
média entre duas colisões; um longo caminho livre médio permite 
altas mobilidades e altas condutividades. 
 
Efeito da Temperatura: 
 
Quando a temperatura de um metal aumenta, a energia térmica 
faz os átomos vibrar (Figura 8). Num determinado instante, os 
átomos podem não estar nas suas posições de equilíbrio, e eles 
interagem com os elétrons espalhados. O caminho livre médio 
diminui, a mobilidade dos elétrons é reduzida, e a resistividade 
aumenta. 
 
 
 19 
 
 
Figura 8: Movimento de um elétron através de: (a) um cristal 
perfeito, (b) um metal aquecido a temperatura alta, e (c) um cristal 
contendo defeitos de rede. O espalhamento de elétrons reduz a 
mobilidade e a condutividade. 
 
 
A variação da resistividade em relação à temperatura pode ser 
estimada a partir da equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde ρρρρT é a resistividade devida, somente, à vibração térmica; ρρρρr é 
a resistividade na temperatura ambiente (25°°°°C), ∆∆∆∆T é diferença 
entre a temperatura de interesse e a temperatura ambiente, e “a” 
é o coeficiente de resistividade-temperatura. A relação entre a 
resistividade e a temperatura é linear, sobre uma ampla faixa de 
 
 ρρρρT=ρρρρr ( 1 + a∆∆∆∆T) 
 20 
temperaturas (Figura 9). Exemplos de coeficientes de 
resistividade-temperatura são dados na tabela 3. 
 
 
 
Figura 9: O efeito da temperatura na resistividade elétrica de um 
metal com uma rede perfeita. A inclinação da curva é o 
coeficiente de resistividade temperatura. 
 
 
Tabela 3: Coeficiente de Resistividade-temperatura para alguns 
metais selecionados. 
 
 METAL RESISTIVIDADE A 
TEMPERATURA AMBIENTE 
 (X10-6 OHM.Cm) 
COEFICIENTE DE 
RESISTIVIDADE 
TEMPERATURA (OHM.Cm/°°°°C) 
 Be 4,00 0,0250 
 Mg 4,45 0,0165 
 Ca 3,91 0,0042 
 Al 2,65 0,0043 
 Cr 12,90 0,0030 
 Fe 9,71 0,0065 
 Co 6,24 0,0060 
 Ni 6,84 0,0069 
 Cu 1,67 0,0068 
 Ag 1,59 0,0041 
 Au 2,35 0,0040 
 21 
EXEMPLO 3: 
 
Calcule a condutividade elétrica do cobre puro a: (a) 400°°°°C e -
100°°°°C. 
 
SOLUCÃO: 
 
A resistividade elétrica do cobre a temperatura ambiente é 1,67 x 
10-6 Ohm.Cm, e o coeficiente de resistividade-temperatura é 
0,0068 Ohm.cm/°°°°C. 
 
(a) A 400°°°°C: 
 
 ρρρρT=ρρρρr ( 1 + a∆∆∆∆T) = (1,67 x 10-6 ).[ 1 + 0,0068(400 – 25)] 
 
 ρρρρT= 5,929 x 10-6 Ohm. cm 
 
 σσσσ = (1 / ρρρρT) = ( 1 / 5,929 x 10-6 ) 
 
 σσσσ = 1,69 x 105 Ohm-1.cm-1. 
 
(b) A -100°°°°C: 
 
 ρρρρT=ρρρρr ( 1 + a∆∆∆∆T) = (1,67 x 10-6 ).[ 1 + 0,0068(-100 – 25)] 
 
 ρρρρT= 0,251 x 10-6 Ohm.cm 
 
 σσσσ = (1 / ρρρρT) = ( 1 / 0,251 x 10-6 ) 
 
 σσσσ = 39,8 x 105 Ohm-1.cm-1. 
 
 
 
EFEITO DOS DEFEITOS DA REDE: 
 
 
As imperfeições na rede espalham elétrons, reduzindo a 
mobilidade e a condutividade do metal (figura 8C). Por exemplo, 
o aumento na resistividade devido a átomos em solução sólida é: 
 22 
 
 ρρρρd= b.( 1 – x ).x, 
 
onde ρρρρd é o aumento na resistividade devido aos defeitos, x é a 
fração atômica de impurezas, ou átomos presentes em solução 
sólida e b é o coeficiente de resistividade devido a defeitos. De 
uma maneira geral, vacâncias, deslocações, e contornos de grãos 
reduzem a condutividade do metal. 
 
 
 
 
Figura 10: A resistividade elétrica de um metal é 
composta de uma contribuição constante, devido a presença de 
defeitos (ρρρρd) e uma contribuição variável com a temperatura. 
 
 
 
 23 
Cada defeito contribui com um aumento na resistividade do 
metal. Assim, a resistividade total é: 
 
 ρρρρ = ρρρρT+ ρρρρd, 
 
onde ρρρρd representa a contribuição de todas as imperfeições. O 
efeito do defeito é independente da temperatura (Figura 10). 
 
 
EFEITO DO PROCESSAMENTO E DO REFORÇAMENTO. 
 
Mecanismos de reforçamento e técnicas de processamento de 
metais afetam suas propriedades elétricas de diferentes 
maneiras, Tabela 4. 
 
 LIGAS 
 
(σσσσliga/σσσσCu).100 
 OBSERVAçÕES 
COBRE PURO 
RECOZIDO 
 101 POUCOS DEFEITOS DE REDE PARA ESPALHAREM 
ELÉTRONS; O PASSO LIVRE MÉDIO É LONGO. 
COBRE PURO 
DEFORMADO 
80% 
 
 98 
MUITAS DESLOCAçÕES, MAS DEVIDO A 
NATUREZA EMARANHADA DA REDE DE 
DESLOCAçÕES, O PASSO LIVRE MÉDIO AINDA É 
LONGO. 
LIGA Cu-0,7% 
Al2O3 
REFORCADA 
POR 
DISPERSÃO. 
 
 
 85 
A FASE DISPERSA NÃO ESTÁ 
HOMOGENEAMENTE ESPAçADA COMO 
SOLUçÕES SÓLIDAS ATÔMICAS, TÃO POUCO 
ELA É COERENTE, COMO ACONTECE NO 
ENVELHECIMENTO. ASSIM, O EFEITO NA 
CONDUTIVIDADE É PEQUENO. 
LIGA Cu-2%Be, 
SOLUBILIZADA 
 18 A LIGA É MONOFÁSICA; ENTRETANTO, A 
PEQUENA QUANTIDADE DE REFORÇAMENTO 
POR SOLUCÃO SÓLIDA, DO BERÍLIO 
SUPERSATURADO, DIMINUI A CONDUTIVIDADE 
SIGNIFICATIVAMENTE. 
LIGA Cu-2%Be 
ENVELHECIDA 
 23 DURANTE O ENVELHECIMENTO, O Be SAI DA 
REDE DO COBRE PARA PRODUZIR UM 
PRECIPITADO COERENTE. O PRECIPITADO NÃO 
ENTERFERE COM A CONDUTIVIDADE TANTO 
QUANTO OS ÁTOMOS EM SOLUÇÃO SÓLIDA 
Cu-35%Zn 28 ESSA É UMA SOLUÇÃO SÓLIDA REFORÇADA POR 
ZINCO, QUE TEM UM RAIO ATÔMICO PRÓXIMO AO 
DO COBRE. A CONDUTIVIDADE É BAIXA, MAS 
NÃO TANTO QUANTO QUANDO O BERÍLIO ESTÁ 
PRESENTE. 
 
 24 
 
O reforçamento por solução sólida é uma maneira pobre de se 
obter altas resistências em metais onde se pretende ter altas 
condutividades. Os caminhos livres médios são muito curtos 
devido à distribuição aleatóriade átomos intersticiais ou 
substitucionais. A Figura 11 mostra o efeito do zinco e de 
outros elementos ligantes na condutividade do cobre; conforme a 
quantidade de elementos de liga aumenta, a condutividade 
diminui substancialmente. 
O endurecimento por envelhecimento e o reforçamento por 
dispersão reduzem a condutividade menos que o reforçamento 
por solução sólida, desde que exista um caminho livre médio 
maior entre os precipitados, quando comparado com o caminho 
entre dois defeitos pontuais. O encruamento e o controle do 
tamanho de grão têm mesmo menos efeito na condutividade 
(Figura 11 e Tabela 4). Uma vez que os contornos de grãos e 
as deslocações são mais separados (estão mais distantes) do 
que átomos em solução sólida, existem mais volumes de metal 
que possuem um caminho livre médio longo. 
 
 
 
 
Figura 11: (a) Efeito do reforçamento por solução sólida e do 
trabalho a frio na condutividade elétrica do cobre e (b) Efeito de 
elementos de liga selecionados na condutividade elétrica do 
cobre. 
 
 25 
Conseqüentemente, o trabalho a frio é uma maneira efetiva de 
aumentar a resistência mecânica de um condutor metálico, sem 
prejudicar as propriedades elétricas do material. Além disso, os 
efeitos do trabalho a frio na condutividade, podem ser eliminados 
pelo tratamento térmico de recuperação em baixas temperaturas, 
nas quais uma boa condutividade é restaurada enquanto a 
resistência mecânica é retida. 
 
 
SUPERCONDUTIVIDADE: 
 
 
Alguns cristais, resfriados até o zero absoluto, comportam-se 
como supercondutores, desde que a resistividade elétrica torna-
se nula e a corrente flua indefinidamente no material. 
Infelizmente, obter-se zero absoluto não é prático. Entretanto, 
alguns materiais mostram comportamento super condutivo acima 
do zero absoluto, mesmo quando o cristal contém defeitos. 
 
 
 
Figura 12: A resistividade elétrica de um supercondutor torna-se 
zero abaixo de alguma temperatura crítica Tc. 
 
 
 
 26 
A mudança da condução normal para a super condução, que 
ocorre abruptamente numa temperatura crítica Tc (figura 12), é um 
fenômeno complexo; elétrons tendo a mesma energia mas 
“spins” opostos combinam-se para formarem pares. 
 
Quando a freqüência das vibrações atômicas (fônons) dentro da 
rede está sincronizada com a freqüência ou comprimento de onda 
do par de elétrons, a supercondutividade pode ocorrer. Uma 
variedade de metais e compostos intermetálicos mostra esse 
efeito (Tabela 5), com temperaturas críticas até cerca de 20K. 
Esse efeito permite que materiais sejam super condutivos por 
intermédio do resfriamento com Hélio (He) líquido a 4K. Um 
número expressivo de ferramentas para diagnósticos médicos, 
incluindo imagem de ressonância magnética, usa esses 
supercondutores. 
 
 
 
Tabela 5: A temperatura crítica e o campo magnético para super 
condutividade de materiais selecionados. 
 
 MATERIAL TC(K) H0 (OERSTED) 
 SUPERCONDUTORES TIPO I 
TUNGSTÊNIO (W) 0,015 1,15 
ALUMÍNIO (Al) 1,180 105,00 
ESTANHO (Sn) 3,720 305,00 
 SUPERCONDUTORES TIPO II 
NIÓBIO (Nb) 9,25 1.970,00 
Nb3Sn 18,05 250.000,00 
GaV3 16,80 350.000,00 
 CERÂMICAS SUPERCONDUTORAS 
(La,Sr)2CuO4 40,00 
YBa2Cu3O7-X 93,00 
TlBa2Ca3CU4O11 
 
 
Para um material ser supercondutor, o campo magnético deve 
ser excluído do condutor (isso explica a habilidade dos 
supercondutores levitarem acima de um magneto). Para os 
 27 
supercondutores do tipo I, os quais incluem tungstênio e 
estanho, aumentando-se o campo magnético diminui-se a 
temperatura requerida para a super condução. Para um campo 
magnético maior que Hc, linhas de fluxo magnético entram no 
condutor e suprimem completamente a super condução. O efeito 
do campo na temperatura crítica é dado por: 
 
Hc = H0[1 – (T/Tc)2], 
 
Onde H0 é o campo magnético crítico a zero Kelvin (0K), Figura 
13. 
 
 A combinação de temperaturas e campos magnéticos, dentro do 
“envelope” criado por H0 e Tc promovem supercondutividade nos 
materiais do tipo I. 
Muitos materiais, incluindo Nb3Sn, são tipo II ou supercondutores 
de alto campo. 
 
 
 
 
Figura 13: (a) O efeito do campo magnético na temperatura abaixo 
da qual a supercondutividade ocorre e (b) O “envelope”de 
supercondução, mostrando os efeitos combinados de 
temperatura, campo magnético, e densidade de corrente. 
Condições dentro do envelope produzem supercondutividade. 
 
 28 
Esses materiais passam por três estágios à medida que o campo 
magnético aumenta, mudando de completamente super condutivo 
(1) para um estado misto (2), para uma condução normal (3) sobre 
a mesma faixa de campos. 
Em um ponto dessa faixa, a superfície do material está 
supercondutiva, enquanto o centro exibe condução normal. Os 
supercondutores tipo II tipicamente têm maiores temperaturas 
críticas e campos magnéticos do que os materiais do tipo I. 
A densidade de corrente (A/cm2) fluindo através de um condutor 
afeta a supercondutividade; se a densidade de corrente J é muito 
alta, a supercondutividade é perdida (Figura 13). Materiais 
supercondutores teriam altas temperaturas críticas, campos 
magnéticos e densidades de correntes. 
Até cerca de 1986, o Hélio líquido (a 4K) era usado para resfriar os 
materiais abaixo das temperaturas críticas e, conseqüentemente, 
as aplicações para supercondutores eram limitadas. 
Entretanto, um grupo de materiais cerâmicos possui 
temperaturas críticas que excedem 77K, permitindo resfriamento 
por nitrogênio líquido, que é relativamente de baixo custo. 
Esses materiais incluem os compostos 1-2-3 da forma 
YBa2Cu3O7-x, onde x indica que alguns íons estão faltando da 
complicada estrutura cristalina da perovskita (figura 14). Um 
comportamento similar foi encontrado para uma variedade de 
outras cerâmicas, incluindo algumas (tal como TlBa2Ca3Cu4O11) 
que têm temperaturas críticas acima de 100K. 
 
 
 29 
 
 
Figura 14: A estrutura cristalina do composto supercondutor 
YBa2Cu3O7-x é composta de três células perovskita numa forma de 
camada, dando uma estrutura ortorrômbica. 
 
Densidades de correntes de 106 A/cm2 são obtidas usando-se 
supercondutores do tipo II, mas densidades de correntes 
menores que 103 A/cm2 são obtidas em cerâmicas produzidas por 
processos de sinterização convencionais. Maiores densidades 
de corrente podem ser obtidas em cerâmicas com uma orientação 
preferida, requerendo processos de solidificação direcional. O 
uso de finos filmes ao invés de corpos cerâmicos reduz esses 
problemas de processamento e permite maiores densidades de 
corrente (Figura 15). As cerâmicas são também frágeis e 
difíceis de fabricar. 
Além das aplicações médicas, o uso potencial para materiais 
supercondutivos incluem chaves eletrônicas, linhas de 
transmissão de energia, computadores de alta velocidade, trens 
levitados magneticamente, baterias melhoradas para automóveis 
elétricos não poluentes, plantas de fusão nuclear e outras. 
 
 30 
 
Figura 15: A densidade de corrente crítica de supercondutores 
cerâmicos é menor que aquela do Nb3Sn, mas é dramaticamente 
influencida pelo método no qual o material é produzido. 
 
 
 
EXEMPLO 4: 
 
Projeto de um Sistema Supercondutor. 
Projete o campo magnético limitante, que permitirá ao nióbio 
servir como um supercondutor em temperaturas do Hélio (He) 
líquido. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Databela 5, Tc = 9,25K e H0 = 1970 Oersted. Uma vez que a 
temperatura de operação será 4K, necessita-se determinar o 
campo magnético máximo permissível, usando a equação: 
 
Hc = H0[1 – (T/Tc)2] ������������Hc = (1970) . [ 1 – (4/9,25)2] ����������������
����
 31 
Hc = (1970).(0,813) ������������Hc = 1602 Oersted. 
 
Dessa forma, o campo magnético deve permanecer abaixo de 
1602 Oersted para que o Nióbio seja supercondutivo. 
 
CONDUTIVIDADE EM OUTROS MATERIAIS: 
 
A condutividade elétrica em muitas cerâmicas e polímeros é 
normalmente muito baixa. Entretanto, materiais especiais 
apresentam condução limitada ou mesmo boa condução. 
 
Condução em Materiais Iônicos. 
 
A condução em materiais iônicos freqüentemente ocorre pelo 
movimento entre os íons, uma vez que o gap de energia é muito 
grande para os elétrons entrar na banda de condução. Dessa 
forma, muitos materiais iônicos comportam-se como isolantes. 
Em materiais iônicos, a mobilidade dos carregadores de cargas, 
ou íons, é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde D é o coeficiente de difusão, k é a constante de Boltzmann, 
T é a temperatura absoluta, q é a carga e Z é a valência do íon. A 
mobilidade é muitas ordens de grandeza menor que a mobilidade 
dos elétrons, uma vez que a condutividade é muito pequena: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 µµµµ = [(ZqD) / kT ] 
 
 
 σσσσ = nZqµµµµ 
 
 32 
Impurezas e vacâncias aumentam a condutividade; vacâncias são 
necessárias para a difusão em estruturas cristalinas do tipo 
substitucional e as impurezas podem difundir-se e ajudar a 
“carregar a corrente”. Altas temperaturas aumentam a 
condutividade porque a taxa de difusão aumenta. 
 
 
 EXEMPLO 5: 
 
Suponha que a condutividade elétrica do MgO é determinada 
primeiramente pela difusão dos íons Mg+2. Estime a mobilidade 
dos íons Mg+2 e calcule a condutividade elétrica do MgO a 1800°°°°C. 
 
Solução: 
 
O coeficiente de difusão para os íons Mg+2 no MgO a 1800°°°°C é 10-
10
 cm2/s. Para o MgO, Z = 2 íons, q = 1,6 x 10-19C, k = 1,38 x 10-
23J/K e T = 2073K. 
 
µµµµ = [(ZqD) / kT ] = [2. (1,6 x 10-19C).10-10] / [(1,38 x 10-23J/K) (2073K)] 
 
µµµµ = 1,12 x 10-9 C.cm2/J.s, desde que C = A.s e J = A.V.s 
 
 
µµµµ = 1,12 x 10-9 cm2/V.s. 
 
O MgO tem a estrutura do NaCl, com quatro íons magnésio por 
célula unitária. O parâmetro de rede é 3,96 x 10-8 cm, então o 
número de íons Mg+2 por centímetro cúbico é: 
 
n = [4 Mg+2 (íons/cela)] / (3,96 x 10-8 cm)3 = 6,4 x 1022 íons/cm3. 
 σσσσ = nZqµµµµ = (6,4 x 1022).(2).(1,6 x 10-19).(1,12 x 10-9) 
 
 σσσσ = 22,94 x 10-6C.cm2/cm3.V.s 
 
Desde que C = A.s e V = A.Ohm: 
 
 σσσσ =2,294 x 10-5Ohm-1.cm-1. 
 33 
 
CONDUÇÃO EM POLÍMEROS: 
 
Devido ao fato de seus elétrons estarem envolvidos em ligações 
covalentes, os polímeros têm uma estrutura de banda com um 
grande “gap”de energia, apresentando uma baixa condutividade 
elétrica. Os polímeros são freqüentemente usados em 
aplicações que requerem isolação elétrica, para evitar curtos 
circuitos, arcos voltaicos, etc. A Tabela 1 mostra a 
condutividade de alguns polímeros comuns. 
Em alguns casos, entretanto, a baixa condutividade é um 
obstáculo. Por exemplo, a eletricidade estática pode acumular-
se superficialmente em equipamentos eletrônicos, tornando o 
polímero transparente para a radiação eletromagnética que 
prejudica os dispositivos eletrônicos internos. Se a 
luminosidade “bombardeia” a matriz polimérica de um compósito 
do qual é feita a asa de um avião, muitos danos podem ocorrer. 
Resolvem-se esses problemas de duas maneiras: (1) introduzindo 
um aditivo ao polímero para melhorar a condutividade, e (2) 
criando polímeros que inerentemente tenham boas 
condutividades. 
A resistividade pode ser reduzida adicionando-se compostos 
iônicos ao polímero. Os íons migram para a superfície do 
polímero e atraem misturas, as quais dissipam as cargas 
estáticas. As cargas estáticas também podem ser dissipadas 
introduzindo materiais de adição condutores, tal como o carbono 
preto. A figura 16 mostra que quando são introduzidas fibras de 
carbono em quantidades suficientes ao Nylon para assegurar o 
contato fibra-fibra, a resistividade é reduzida treze ordens de 
grandeza em magnitude. Aditivos e fibras condutivas são 
também usados para produzir polímeros que apresentam 
blindagem contra a radiação eletromagnética. 
 
 
 34 
 
 Figura 16: Efeito das fibras de carbono na resistividade elétrica 
do Nylon . 
 
Alguns polímeros inerentemente têm boa condutividade, como 
resultado da dopagem ou técnicas de processamento. Quando 
polímeros do tipo acetato são dopados com agentes tais como 
penta fluoreto de arsênico, elétrons ou buracos são capazes de 
saltar livremente de um átomo para outro ao longo da coluna 
vertebral da cadeia, aumentando a condutividade para valores 
muito próximos do metais. Alguns polímeros, tais como a 
polifitalocianina, podem ser cross-linked por processos especiais 
de cura, com o intuito de aumentar a condutividade para valores 
tão altos quanto 102 Ohm-1.cm-1; um processo que permite o 
polímero tornar-se um semicondutor. Por causa das ligações 
cruzadas (cross-linking) os elétrons podem mover-se mais 
facilmente de uma cadeia para a outra. 
 
SEMICONDUTORES INTRÍNSECOS. 
 
Materiais semicondutores, incluindo o Silício e o Germânio, são 
os alicerces para muitos de nossos dispositivos eletrônicos. 
Esses materiais têm uma condutividade elétrica facilmente 
controlada e, quando propriamente controlada, podem atuar 
 35 
como chaves, amplificadores e dispositivos de estocagem 
(armazenagem). 
Silício e Germânio puros comportam-se como semicondutores 
intrínsecos. O gap de energia Eg entre as bandas de valência e de 
condução nos semicondutores é pequena (Tabela 6) e, como 
conseqüência, alguns elétrons possuem energia térmica 
suficiente para exceder o gap e entrar na banda de condução. 
 
 
Tabela 6: Estrutura eletrônica e condutividade elétrica de 
elementos do grupo IV A a 25°°°°C. 
 
 
ELEMENTO 
 ESTRUTURA 
 ELETRÔNICA 
CONDUTIVIDADE 
ELÉTRICA 
(OHM-1.cm-1) 
 GAP DE 
 
ENERGIA 
 (eV) 
MOBILIDADE 
ELETRÔNICA 
(cm2/V.S) 
MOBILIDADE 
DOS 
BURACOS 
 (cm2/V.S) 
 C 
DIAM. 
1s22s22p2. < 10-18 5,4 1800 1400 
 Si 1s22s22p63s23p2. 5x10-6 1,107 1900 500 
 Ge ................4s24p2. 0,02 0,67 3800 1820 
 Sn ................5s25p2. 0,9 x 105 0,08 2500 2400 
 
 
Os elétrons excitados deixaram para trás níveis de energia não 
ocupados, ou buracos na banda de valência. Quando um elétron 
move-se para preencher um buraco, um outro buraco é criado na 
fonte original do elétron; conseqüentemente, os buracos 
aparecem para atuar como elétrons carregados positivamente e 
também carregar uma carga elétrica. Quando uma voltagem é 
aplicada ao material, os elétrons na banda de condução aceleram 
em direção ao terminal positivo, enquanto que os buracos na 
banda de valência movem-se em direção ao terminal negativo, 
Figura 17. 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
A condutividade é determinada pelos números de pares elétron-
buraco de acordo com a expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde ne é o número de elétrons na banda de condução, nh é o 
número de buracos na banda de valência e µµµµe , µµµµh são as 
mobilidades dos elétrons e dos buracos, Tabela 6. 
 
 
 
 
 
 
 σσσσ = neqµµµµe + nhqµµµµh 
 37 
 
 
 
 
 
Figura 17: Quando uma voltagem é aplicada a um semicondutor, 
os elétrons movem-se através da banda de condução, enquanto 
os “buracos”se movem através da banda de valência na direção 
oposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
Em semicondutores intrínsecos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma a condutividade é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em semicondutores intrínsecos, controla-se o número de 
carregadores de cargas e, dessa forma, a condutividade elétrica, 
controlando a temperatura. No zero absoluto, todos os elétrons 
estão na banda de valência, entretanto todos os níveis de energia 
na banda de condução estão desocupados, conforme Figura 18 
(a). 
 
 
 
 
 
 
 n = ne = nh 
 
σσσσ = nq(µµµµe + µµµµh) 
 39 
 
 
 
 (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
 
 
 
 (b) 
 
Figura 18: Distribuição de elétrons e buracos nas bandas de 
valência e de condução (a) no zero absoluto e (b) numa 
temperatura elevada. 
 
 
Conforme a temperatura aumenta, existe uma maior probabilidade 
que um nível de energia na banda de condução seja ocupado ( e 
uma igual probabilidade que um nível de energia na banda de 
valência esteja desocupado, ou que um buraco esteja presente), 
Figura 18 (b). O número de elétrons na banda de condução, que 
é igual ao número de buracos na banda de valência, é dado por: 
 
 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde n0 pode ser considerado constante, embora ele, também, 
realmente depende da temperatura. Maiores temperaturas 
permitem mais elétrons atravessarem a zona proibida, e dessa 
forma, aumentar a condutividade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que ambos n e σσσσ estão relacionados com a temperatura por 
uma equação de Arrhenius: Taxa = A exp(-Q/RT). O 
comportamento de um semicondutor é o oposto aquele dos 
metais (Figura 19). Conforme a temperatura aumenta, a 
condutividade de um semicondutor aumenta devido ao fato de 
mais portadores de cargas estarem presentes, enquanto a 
condutividade de um metal diminui devido a menor mobilidade 
dos carregadores de carga. 
Se a fonte de energia excitante ou voltagem for removida, os 
buracos e elétrons re-combinam, mas apenas sobre um período 
de tempo. O número de elétrons na banda de condução diminui 
numa taxa dada por: 
 
 
 
 
 n = ne = nh = n0 exp (-Eg/2KT) 
 
 
 σσσσ = n0q(µµµµe + µµµµh) exp(-Eg/2KT) 
 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde t é o tempo após um campo ser removido, n0 é uma 
constante, e ττττ é uma constante chamada de tempo de 
recombinação. Essa característica é importante na operação de 
um número de dispositivos semicondutores. 
 
 
 
Figura 19: A condutividade elétrica versus temperatura para 
semicondutores comparados com metais. 
 
 
 
 
 n = n0 exp (-t/ττττ) 
 43 
 
EXEMPLO 6: 
 
Para o Germânio a 25°°°°C, estimar: (a) o número de carregadores 
de carga, (b)a fração do total de elétrons na banda de valência 
que são excitados para a banda de condução, e (c) a constante n0. 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Da tabela 6: σσσσ = 0,02ΩΩΩΩ-1.cm-1. Eg = 0,67eV, µµµµe=3800cm2/V.s 
 
µµµµh = 1820 cm2/V.s 
 
2KT = 2 . (8,63 x 10-5)(eV/K) (273 + 25) = 0,0514 eV a T = 25°°°°C. 
 
 
Da equação: σσσσ = neqµµµµe + nhqµµµµh e n = ne = nh tem-se que: 
 
σσσσ = nqµµµµe + nqµµµµh ��������σσσσ = nq(µµµµe + µµµµh) ����������������= σσσσ / [q(µµµµe + µµµµh )] 
 
n = (0,02) / [(1,6 x 10-19).(3800 + 1820)] = 2,2 x 1013elétrons/cm3. 
 
Existem 2,2 x 1013elétrons/cm3 e 2,2 x 1013 buracos/cm3, ajudando 
a conduzir uma carga no germânio, na temperatura ambiente. 
 
O parâmetro de rede do Germânio é 5,6575 x 10-8 cm. O número 
total de elétrons na banda de valência do Germânio é: 
 
nTOTAL = [(8átomos/cela).(4elétrons/átomo)] / (5,6575 x 10-8cm)3. 
 
nTOTAL = 1,77 x 1023 elétrons 
 
Fração Excitada = [2,20 x 1013 elétrons] / [1,77 x 1023 elétrons] 
 
Fração Excitada = 1,24 x 10-10. 
 
Da Equação n = ne = nh = n0 exp (-Eg/2KT), tem-se: 
 
 44 
n0 = n / [exp (-Eg/2KT)] = [2,20 x 1013] / exp(-0,67/0,0514) 
 
n0 = 1,01 x 1019 carregadores/cm3. 
 
 
 
SEMICONDUTORES EXTRÍNSECOS: 
 
 
 
Não se pode controlar precisamente o comportamento de um 
semicondutor intrínseco, devido ao fato de moderadas variações 
de temperatura implicar em mudanças na condutividade. 
Entretanto, através da adição intencional de um pequeno número 
de átomos de impurezas ao material (chamado de dopagem), 
pode-se produzir um semicondutor extrínseco. A condutividade 
do semicondutor extrínseco depende primeiramente do número 
de impurezas, ou dopantes, do número de átomos, e numa certa 
faixa de temperaturas, pode mesmo ser independente da 
temperatura. 
 
 
 
Semicondutores do Tipo n. 
 
Suponha que se adicione um átomo de impureza tal qual o 
Antimônio, que tem uma valência de cinco (5), ao Silício ou ao 
Germânio. Quatro dos elétrons do átomo de Antimônio 
participam do processo de ligação covalente, enquanto o elétron 
extra entra num nível de energia num “estado doador”, logo 
abaixo da banda de condução (Figura 20). 
 
 45 
 
 
 
Figura 20:Quando um átomo dopante, com valência maior que 
quatro, é adicionado ao Silício, um elétron extra é introduzido e 
um estado de energia “doador”é criado. Agora, os elétrons são 
mais facilmente excitados para a banda de condução. 
 46 
 
Desde que o elétron extra não é firmemente ligado aos átomos, 
apenas um pequeno aumento na energia, Ed, é requerida para o 
elétron entrar na banda de condução. Ed é freqüentemente 
definida como a diferença de energia entre o topo da banda de 
valência e a banda doadora. Nesse caso, o aumento de energia 
requerido seria definido como Eg - Ed. O “gap”de energia 
controlando a condutividade é agora Ed ao invés de Eg, Tabela 7. 
Não são criados buracos correspondentes quando elétrons 
doadores entram na banda de condução. 
 
 
Tabela 7: Os gaps de energia doadora e receptora em elétrons 
volts, quando os semicondutores Silício e o Germânio são 
dopados. 
 
 SILÍCIO GERMÂNIO 
 DOPANTE Ed Ea Ed Ea 
 P 0,045eV 0,0120eV 
 As 0,049eV 0,0127eV 
 Sb 0,039eV 0,0096eV 
 B 0,045eV 0,0104eV 
 Al 0,057eV 0,0102eV 
 Ga 0,065eV 0,0108eV 
 In 0,160eV 0,0112eV 
 
Um pouco de semicondução ainda ocorre, com um pouco de 
elétrons ganhando energia suficiente para saltar o grande gap Eg. 
O número total de carregadores de carga é: 
 
ntotal = ne (dopante) + ne (intrínseco) + nh (intrínseco) ou 
 
n0 = n0d . exp( - Ed/KT ) + 2n0 . exp (- Eg/2KT ), 
 
onde n0d, n0 são aproximadamente constantes. Em baixas 
temperaturas, poucos elétrons e buracos intrínsecos são 
produzidos e o número de elétrons é cerca de: 
 
ntotal � n0d . exp( - Ed/KT ) 
 
 47 
Conforme a temperatura aumenta, um maior número de elétrons 
doadores salta o gap Ed até, eventualmente, todos os elétrons 
doadores entrarem na banda de condução. Nesse ponto, 
atinge-se a exaustão do doador (Figura 21). A condutividade é 
virtualmente constante; os elétrons doadores não são mais 
possíveis e a temperatura é ainda muito baixa para produzir 
muitos elétrons e buracos intrínsecos, particularmente quando Eg 
é grande. A condutividade é: 
 
 σσσσ = ndqµµµµe, 
 
onde nd é o número máximo de elétrons doadores, determinado 
pelo número de átomos de impurezas que são adicionados. 
 
 
 
Figura 21: O efeito da temperatura sobre a condutividade do 
Silício dopado com Fósforo. Em baixas temperaturas, acondutividade aumenta à medida que mais elétrons doadores 
entram na banda de condução. Em temperaturas moderadas, 
ocorre a exaustão do doador. Em altas temperaturas, a 
 48 
semicondução intrínseca torna-se importante. (a) Diagrama 
esquemático e (b) Plot de arrhenius. 
 
 
Em altas temperaturas, o termo exp (- Eg/2KT ) torna-se 
significante e a condutividade aumenta novamente de acordo 
com: 
 
σσσσ = qndµµµµe + q(µµµµe + µµµµh)n0 exp(- Eg / 2KT ) 
 
Se se plotar σσσσ versus 1 / T, obter-se-á uma relação de Arrhenius 
da qual Eg e Ed podem ser calculadas. 
 
 
SEMICONDUTORES DO TIPO p. 
 
Quando se adiciona uma impureza tal como o Gálio, que tem uma 
valência de três, a um semicondutor, não existem elétrons 
suficientes para completar o processo de ligação covalente. Um 
buraco é criado na banda de valência que pode ser preenchido 
por elétrons de outras localizações na banda (Figura 22). 
 
 49 
 
 
 
 
Figura 22: Quando um átomo dopante com uma valência menor 
que quatro é introduzido na rede do Silício, um buraco eletrônico 
é criado na estrutura e um nível de energia receptor é criado logo 
 50 
acima da banda de valência. Pouca energia é requerida para 
excitar os buracos eletrônicos a movimentarem-se. 
 
Os buracos atuam como receptores de elétrons. Esses buracos 
têm um nível de energia um pouco maior que o normal e criam um 
nível receptor de possíveis energias eletrônicas logo acima da 
banda de valência (tabela 7). Um elétron deve ganhar uma energia 
de apenas Ea para criar um buraco na banda de valência. O 
buraco então, move-se e carrega a carga elétrica. Agora, tem-se 
um semicondutor do tipo p. 
À medida que nos semicondutores do tipo n, a temperatura torna-
se elevada o suficiente para causar a “saturação do receptor” 
então; 
 σσσσ = na.q.µµµµh, onde na é o número máximo de 
níveis receptores, ou buracos, introduzidos pelo dopante. 
 
 
COMPOSTOS SEMICONDUTORES. 
 
Silício e Germânio são os únicos elementos que têm aplicações 
práticas como semicondutores. Entretanto, um maior número 
de cerâmicas e compostos intermetálicos mostram o mesmo 
efeito. Exemplos são dados na Tabela 8. 
 
Tabela 8: “Gaps” de Energia e mobilidades para compostos 
semicondutores. 
 
COMPOSTOS GAP ENERGIA 
 (eV) 
MOBILIDADE 
ELETRÔNICA 
 (cm2/V.S) 
MOBILIDADE 
BURACOS 
 (cm2/V.S) 
 ZnS 3,54 180 5 
 GaP 2,24 300 100 
 GaAs 1,35 8.800 400 
 GaSb 0,67 4.000 1.400 
 InSb 0,165 78.000 750 
 InAs 0,36 33.000 460 
 ZnO 3,20 180 
 CdS 2,42 400 
 PbS 0,37 600 600 
 51 
 
 
Os semicondutores estequiométricos, normalmente compostos 
intermetálicos, têm estruturas cristalinas e estruturas de banda 
similares ao Silício e ao Germânio. Elementos do grupo III e do 
grupo V da tabela periódica são exemplos clássicos. O Gálio do 
grupo III e o Arsênico do grupo V combinam-se para formarem um 
composto GaAs, com uma média de quatro elétrons de valência 
por átomo. Os níveis 4s24p1 do Gálio e os níveis 4s24p3 do 
Arsênico produzem duas bandas híbridas, cada uma capaz de 
conter 4N elétrons. Um gap de energia de 1,35eV separa as 
bandas de valência e de condução. O composto GaAs pode ser 
dopado para produzir um semicondutor do tipo “n” ou um do tipo 
“p”. O grande gap de energia Eg conduz a um amplo platô de 
exaustão, e a alta mobilidade dos carregadores de carga no 
composto conduzem a altas condutividades. 
Os semicondutores não estequiométricos, ou defeitos 
semicondutores, são compostos iônicos contendo um excesso 
de outros ânions ( produzindo um semicondutor do tipo p ) ou de 
cátions ( produzindo um semicondutor do tipo n ). Um número 
de óxidos ou sulfetos tem esse comportamento, incluindo o ZnO, 
que tem a estrutura cristalina da blenda de zinco. Por exemplo, 
se um átomo extra de Zinco é adicionado ao ZnO, o átomo extra, 
entra na estrutura como um íon Zn+2, fornecendo dois elétrons 
que contribuem para o número de carregadores de cargas. 
Esses elétrons podem ser excitados por um pequeno aumento na 
energia para carregar corrente (Figura 23). O ZnO, agora se 
comporta como um semicondutor do tipo "n". 
 
 52 
 
 
 
 
 
 
Figura 23: Átomos intersticiais de Zinco podem ionizar e 
introduzir elétrons extra, criando um defeito semicondutor do tipo 
"n" no ZnO. 
 
 
 
Outro defeito semicondutor é criado quando dois íons Fe+3 são 
substituídos por três íons Fé+2 no FeO, criando dessa forma uma 
vacância (Figura 24). 
 
 53 
 
 
Figura 24: Dois íons Fe+3 e uma vacância substituem três íons 
Fe+2, mantendo a carga total balanceada, mas criando um nível 
receptor. O resultado é um defeito semicondutor do tipo p. 
 
Os íons Fe+3 atuam como receptores de elétrons, e um 
semicondutor do tipo p é produzido. 
 
 
 
EXEMPLO 7: 
 
PROJETO DE UM SEMICONDUTOR. 
 
Projete um semicondutor do tipo “p”, baseado no Silício, que 
forneça uma condutividade constante de 100 Ohm-1.cm-1 sobre 
uma faixa de temperaturas. 
 
SOLUÇÃO. 
 
Para obter-se a condutividade desejada, deve-se dopar o Silício 
com átomos tendo uma valência de +3, adicionando-se dopante 
suficiente para fornecer o número requerido de carregadores de 
cargas. Se se assumir que o número de carregadores 
intrínsecos é pequeno, então: 
 54 
 
 σσσσ = ndqµµµµh, onde σσσσ = 100 Ohm-1.cm-1 e µµµµh= 500 cm2/V.s 
(Tabela 6). Lembrando-se que C = (A).(s) e V = (A).(Ohm), o 
número de carregadores de carga requerido é: 
 
nd = σσσσ/ (qµµµµh) = (100) / (1,6x10-19).(500) = 1,25 x 1018 elétrons/cm3. 
 
Além disso, 
 
nd= (1e-/átomo dop).(x átomos dop/átomo de Si).(8átomos Si/cela) 
 
 (5,4307 x 10-8)3 cm3/cela 
 
x = (1,25 x 1018) (e-/cm3).( 5,4307 x 10-8)3 cm3/cela/(8átomos Si/cela) 
 
x = 25 x 10-6 átomos dopantes/átomo de Si. Ou 
 
x = 25 átomos dopantes/ 106 átomos de Si. 
 
Os possíveis dopantes seriam Boro, Alumínio, Gálio e Índio. 
 
EXEMPLO 8: 
 
Projeto de um defeito semicondutor. 
 
Projete um defeito semicondutor do tipo n no ZnO, que fornecerá 
20 x 1020 carregadores de cargas por cm3. 
 
SOLUÇÃO. 
 
Para produzir o número apropriado de carregadores de carga, 
deve-se determinar o número de íons Zn em excesso que seria 
incorporado no cristal. O ZnO tem a estrutura da blenda de 
Zinco. Vê-se que nessa estrutura, os íons tocam-se ao longo da 
diagonal do corpo, onde: 
 
 4rZn + 4rO = [����(3)] a0. Os raios iônicos são: rZn = 0,74���� e 
 
 55 
 rO = 1,32����������������������������Assim, 4(0,74) + 4(1,32) = 8,24��������. Como 
 
 4rZn + 4rO = [����(3)] a0. Então: 8,24 = [����(3)] a0. 
 
 a0 = 4,757�������� = 4,757 x 10-8cm. 
 
O número de íons de Zn+2 em um centímetro cúbico de ZnO 
estequiométrico é: 
 
(4íons Zn+2/cela) / (4,757 x 10-8)3cm3/cela = 3,72 x 1022 íons 
Zn+2/cm3. 
 
Os carregadores de carga no ZnO não estequiométrico são 
elétrons introduzidos pelo excesso de íons Zn+2. Dois elétrons 
são introduzidos para cada íon em excesso. Se se quiser 20x1020 
carregadores de cargas por cm3, precisa-se adicionar 10x1020 
íons em excesso/cm3, pois cada íon Zn+2 contribuirá com dois 
portadores de cargas. 
O número de íons em excesso por íon regular é: 
 
(10x1020 íons em excesso/cm3)/( 3,72 x 1022 íons Zn+2/cm3) = 
 
= 0,027 íons em excesso/íons normaisou 
 
2,7 íons em excesso / 100 íons normais. 
 
Dessa forma, a percentagem atômica de Zn será: 
 
 (102,7 Zn) x 100 = 50,67% at de Zn, 
 (102,7Zn + 100 O) 
 
ou a percentagem em peso será: 
 
 50,67 . ( 65,38)(g/mol) x 100 = 80,8% em peso de Zn 
 (50,67x65,38)+(49,33 x 16) 
 
Agora conhece-se as percentagens corretas de elementos 
requeridos para construir o cristal de ZnO para produzir o número 
desejado de carregadores de cargas. 
 56 
 
APLICAÇÃO DE SEMICONDUTORES EM DISPOSITIVOS 
ELÉTRICOS. 
 
Muitos dispositivos eletrônicos foram desenvolvidos usando-se 
características de semicondução. Alguns desses dispositivos 
são descritos aqui; outros deles – particularmente aqueles que 
interagem com a luz – serão discutidos no capítulo propriedades 
ópticas dos materiais. 
 
TERMISTORES. A condutividade elétrica depende da 
temperatura. Os termistores usam essa relação para medir a 
temperatura. Termistores são também usados em outros 
dispositivos, incluindo alarmes de fogo. Quando o termistor 
aquece, ele conduz uma grande corrente através de um circuito e 
ativa o alarme. 
 
 
TRANSDUTORES DE PRESSÃO. A estrutura de banda e o gap de 
energia são funções do espaçamento entre os átomos num 
material. Quando uma pressão é aplicada ao semicondutor, os 
átomos são forçados a aproximarem-se, o gap de energia diminui 
e a condutividade aumenta. Medindo-se a condutividade, pode-
se calcular a pressão atuando sobre o material. 
 
 
RETIFICADORES (DISPOSITIVOS DE JUNÇÃO p-n). 
 
Os retificadores são produzidos juntando um semicondutor do 
tipo n com um semicondutor do tipo "p", formando uma junção p-
n (Figura 25). Elétrons são concentrados na junção tipo "n"; 
buracos são concentrados na junção tipo "p". O desbalanço 
elétrico resultante cria uma voltagem, ou contato potencial, 
através da junção. 
 
 57 
 
 
Figura 25: Comportamento de uma junção p-n: (a) O equilíbrio é 
causado por elétrons concentrando-se no lado n e buracos no 
lado p. (b) O movimento de elétrons e buracos (forward bias) 
causa um fluxo de corrente, e (c) o movimento inverso (reverse 
bias) não permite fluir corrente. 
 
 
 
 
Aplicando-se uma voltagem externa na junção p-n, de tal forma 
que o terminal negativo esteja no lado do tipo "n", ambos: 
elétrons e buracos mover-se-ão em direção à junção e 
eventualmente recombinarem-se. O movimento dos elétrons e 
dos buracos causam a produção de uma corrente líquida. Isso é 
chamado de “forward bias”[Figura 25 (b)]. Aumentando-se esse 
movimento de elétrons e de buracos, a corrente passando através 
da junção aumenta [Figura 26 (a)]. 
 
 
 58 
 
 
 
Figura 26: (a) Característica corrente-voltagem para uma junção 
p-n. Note as escalas diferentes no primeiro e terceiro 
quadrantes. (b) Se um sinal alternante for aplicado, a retificação 
ocorre e apenas metade do sinal de entrada passa pelo 
retificador. 
 
Devido ao fato que a junção p-n permite a corrente fluir em 
apenas uma direção, passa apenas metade de uma corrente 
alternante, dessa forma, convertendo a corrente alternante em 
corrente direta [Figura 26(b)]. Essas junções são chamadas de 
diodos retificadores. 
Tipicamente, um pequeno vazamento de corrente é produzido 
para o fluxo reverso de elétrons e buracos (reverse bias), devido 
ao movimento de elétrons e buracos termicamente ativados. 
Quando a reverse bias torna-se muito grande, entretanto, alguns 
carregadores que escapam pela barreira de isolação da junção 
são altamente acelerados, excitam outros carregadores de 
cargas, e causam alta corrente na direção inversa [figura 26(a)]. 
Pode-se utilizar esse fenômeno para projetar dispositivos de 
voltagem limitante. Através de dopagem e construção 
apropriadas de junções p - n, a quebra ou avalanche de voltagem 
pode ser pré-selecionada. Quando a voltagem no circuito 
exceder a quebra de voltagem, uma alta corrente flui através da 
junção e é desviado do resto do circuito. Esses dispositivos, 
 59 
chamados diodos Zener, são usados para proteger circuitos de 
altas voltagens acidentais. 
 
 
 
TRANSISTOR DE JUNÇÃO BIPOLAR. 
 
 
Um transistor pode ser usado como uma chave ou um 
amplificador. Um exemplo é o Transistor de Junção Bipolar, ou, 
“Bipolar Junction Transistor” (BJT), que é freqüentemente usado 
na central de processamento de unidades de computadores, 
devido a sua rápida resposta. Um transistor de junção bipolar é 
um “sanduíche” de materiais semicondutores n-p-n ou p-n-p. 
Existem três zonas no transistor: a emissora, a base e o coletor. 
Na junção p-n, elétrons estão inicialmente concentrados no 
material tipo "n" e os buracos estão concentrados no material 
tipo "p". 
A figura 27 mostra um transistor n-p-n e seu circuito elétrico, em 
ambas situações: representado esquematicamente e como ele 
poderia aparecer quando implantado num chip de Silício. O 
sinal elétrico a ser amplificado está conectado entre a base e o 
emissor, com uma pequena voltagem entre essas duas zonas. O 
sinal de saída do transistor, ou sinal amplificado, está conectado 
entre o emissor e o coletor e opera numa voltagem maior. O 
circuito está conectado de tal forma que um fluxo direto é 
produzido entre o emissor e a base ( a voltagem positiva está na 
base tipo "p" ), enquanto o fluxo reverso é produzido entre a base 
e o coletor (com a voltagem positiva no coletor tipo "n"). O 
fluxo direto causa movimento de elétrons saindo do emissor e 
chegando na base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60 
 
 
 (a) 
 
 
 
(b) 
Figura 27: (a) Um circuito para um transistor de junção bipolar n-
p-n. O sinal de entrada cria um fluxo direto e um fluxo reverso, 
fazendo elétrons moverem-se do emissor, através da base, para o 
coletor, criando uma saída amplificada. (b) Croqui da seção 
transversal do transistor. 
 61 
Os elétrons e os buracos tentam recombinar-se na base; 
entretanto, se a base for excepcionalmente fina (delgada) e 
levemente dopada, ou se o tempo de recombinação "ττττ" for longo, 
quase todos os elétrons passam através da base e entram no 
coletor. O fluxo reverso entre a base e o coletor acelera os 
elétrons através do coletor, o circuito é completado, e um sinal de 
saída é produzido. A corrente através do coletor é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde I0 e B são constantes e VE é a voltagem entre o emissor e a 
base. Se a voltagem de entrada VE for aumentada, uma corrente 
muito grande IC é produzida. 
 
 
 
TRANSISTOR DE EFEITO DE CAMPO. 
 
Um segundo tipo de transistor, que é mais freqüentemente usado 
para armazenagem de dados em memórias de computadores, é o 
Transistor de Efeito de Campo ( “Field Effect Transistor”, FET), 
que comporta-se de uma maneira diferente que o transistor de 
junção bipolar. A Figura 28 mostra um exemplo de um Transistor 
de Efeito de Campo, feito a partir de um semicondutor de óxido 
metálico ( “Metal Oxide Semiconductor”, MOS), no qual duas 
regiões do tipo n são formadas dentro de um substrato do tipo p. 
 
 
 Ic = I0 exp(VE/B) 
 62 
 
 Figura 28: Transistor de Efeito de Campo n-p-n, a partir de um 
semicondutor de óxido metálico 
 
Uma das regiões do tipo n é chamada de fonte; a segunda é 
chamada de dreno. O terceiro componente do transistor é um 
condutor, chamado de portão, que é separado do semicondutor 
por uma fina camada isolante de SiO2. Um potencial é aplicado 
entre o portão e a fonte, com a região do portão sendo positiva. 
O potencial retira elétrons das vizinhanças do portão, mas os 
elétrons não podem entrar no portão devido a presença da sílica. 
A concentração de elétronssob a região do portão faz essa 
região mais condutiva, de tal forma que um grande potencial 
entre a fonte e o dreno permite elétrons fluir da fonte para o 
dreno, produzindo um sinal amplificado. Mudando a voltagem de 
entrada entre o portão e a fonte, o número de elétrons no 
 
 
caminho condutivo muda, mudando assim também o sinal de 
saída. 
Os transistores de efeito de campo são geralmente menos 
dispendiosos para produzir do que os transistores de junção 
bipolar. Devido ao fato dos Transistores de Efeito de Campo 
ocuparem menos espaço, eles são preferidos em circuitos 
 63 
microeletrônicos interados, onde talvez 100.000 estão presentes 
num único chip de Silício. 
 
 
 
 
FABRICAÇÃO DE DISPOSITIVOS SEMICONDUTORES. 
 
 
Para produzir componentes eletrônicos que requerem pouca 
potência, operam muito rapidamente, ainda são de baixo custo, 
circuitos microeletrônicos integrados formados sobre chip de 
Silício podem conter tanto quanto 1.000.000 de transistores ou 
outros dispositivos, cada um tendo dimensões da ordem de 10-4 
cm. Para produzir esses circuitos, tecnologias especiais são 
requeridas. O ponto de partida para muitos dispositivos comuns 
é um monocristal de silício puro. As etapas descritas na Figura 
29 resumem a produção de um Transitor de Efeito de Campo 
(FET). 
Enquanto muitos materiais e tecnologias exóticas são usados 
para produzir circuitos integrados, a próxima geração de 
dispositivos semicondutores deve ser mais rápida. Tempos de 
respostas mais rápidos podem ser atingidos fazendo-se 
dispositivos individuais menores, usando-se feixes de elétrons ou 
raios x ao invés de radiação ultravioleta para fotolitografia; 
produzindo melhores isolantes para as regiões dos portões nos 
FET’s; produzindo chips tridimensionais com camadas 
alternantes de Silício e sílica; ou usando semicondutores tais 
como o GaAs, no qual os elétrons movem-se de duas a cinco 
vezes mais rápidos que nos dispositivos a base de Silício. 
 
 64 
 
 
Figura 29: Fabricação de um dispositivo semicondutor do tipo 
FET: (a) Um substrato de Silício do tipo p é oxidado. (b) 
Fotolitografia: a radiação ultravioleta passando através da 
máscara expõe uma porção da camada resistente à luz. (c) A 
camada foto-resistente exposta é dissolvida. (d) A sílica exposta é 
removida por ataque. (e) Um dopante do tipo n é introduzido para 
produzir uma fonte e um dreno. (f) O silício é novamente oxidado. 
(g) A fotolitografia é repetida para introduzir outros componentes. 
 
 
ISOLANTES E PROPRIEDADES DIELÉTRICAS. 
 
Materiais usados para isolarem um campo elétrico de suas 
vizinhanças são requeridos num grande número de aplicações 
 65 
elétricas e eletrônicas. Isolantes elétricos obviamente devem ter 
uma condutividade muito baixa, ou alta resistividade, para evitar 
o fluxo de corrente. Isolantes são produzidos a partir de 
materiais cerâmicos e poliméricos, nos quais existe um grande 
gap de energia entre as bandas de valência e de condução. 
Entretanto, a alta resistividade elétrica desses materiais não é 
sempre suficiente. Em altas voltagens, uma quebra catastrófica 
do isolante pode ocorrer, similar ao que acontece com diodos p-n 
durante um grande fluxo reverso (reverse bias), e a corrente pode 
fluir. Para selecionar apropriadamente um material isolante 
deve-se entender como o material armazena e conduz carga 
elétrica. Para fazer isso, deve-se examinar o comportamento 
dielétrico desses materiais. Fazendo isso, constatar-se-á que 
esses materiais especiais além de meramente promoverem 
isolação elétrica, eles podem ser usados como capacitores para 
armazenarem carga elétrica, ou como transdutores para criarem 
ou receberem informações. 
 
 
DIPOLOS E POLARIZAÇÃO. 
 
A aplicação de um campo elétrico causa a formação e o 
movimento de dipolos contidos dentro dos materiais. (Dipolos 
são átomos ou grupos de átomos que têm uma carga 
desbalanceada). Sob a ação de um campo elétrico, os dipolos 
tornam-se alinhados no material, causando a polarização. 
 
Dipolos. Quando um campo elétrico é aplicado a um material, os 
dipolos são induzidos dentro da estrutura atômica ou molecular e 
tornam-se alinhados com a direção do campo. Além disso, 
alguns dipolos permanentes já presentes no material estão 
alinhados com o campo, e o material é polarizado. A 
polarização P (C/m2) é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P = Zqd 
 66 
Onde Z é o número de centros de cargas, que são dispostos por 
metro cúbico, q é a carga elementar e d é o deslocamento entre 
as extremidades positivas e negativas do dipolo. Quatro 
mecanismos causam a polarização: (1) polarização eletrônica, (2) 
polarização iônica, (3) polarização molecular e (4) cargas 
espaciais ( Figura 30). 
 
 
 
 
Figura 30. Mecanismos de polarização em materiais: 
(a)polarização eletrônica, (b) polarização iônica, (c) polarização 
molecular e (d) cargas espaciais. 
 
 
Polarização Eletrônica. Quando um campo elétrico é aplicado a 
um átomo, o arranjo eletrônico é distorcido, com elétrons 
concentrando-se no lado dos núcleos próximos a extremidade 
positiva do campo. O átomo atua como um dipolo induzido 
temporário. Esse efeito, que ocorre em todos os materiais, é 
pequeno e temporário. 
 
EXEMPLO 9. 
Suponha que o deslocamento médio dos elétrons relativo aos 
núcleos nos átomos de Cobre é 1 x 10-8����, quando um campo 
elétrico é imposto a uma placa de Cobre. Calcule a 
polarização. 
 
 67 
SOLUÇÃO. 
 
O número atômico do Cobre é 29, então existem 29 elétrons em 
cada átomo de Cobre. O parâmetro de rede do Cobre é 3,6151��������. 
Assim, 
 
Z = [(4átomos/cela).(29elétrons/átomo)] / (3,6151 x 10-10 m)3. 
 
Z = 2,46 x 1030 elétrons/m3. 
 
P=Zqd=(2,46 x 1030 elétrons/m3).(1,6 x 10-19 C/elétron).(10-8��������).(10-10 
m/��������). 
 
P = 3,94 x 10-7 C/m2. 
 
POLARIZAÇÃO IÔNICA. Quando um material ionicamente 
ligado é colocado num campo elétrico, as ligações entre os íons 
são elasticamente deformadas. Conseqüentemente, a carga é 
minuciosamente distribuída dentro do material. Dependendo da 
direção do campo, cátions e ânions movem-se juntos ou 
separados. Esses dipolos temporariamente induzidos 
favorecem a polarização e podem também mudar as dimensões 
totais do material. 
 
POLARIZAÇÃO MOLECULAR. Alguns materiais contém dipolos 
naturais. Quando um campo é aplicado, os dipolos alinham-se 
em relação ao campo imposto. As moléculas de água, 
mostradas esquematicamente na Figura 30 (c), representam um 
material que possui polarização molecular. Muitas moléculas 
orgânicas comportam-se de uma maneira similar, conforme faz a 
uma variedade de óleos orgânicos e ceras. 
Num número de materiais, os dipolos permanecem em 
alinhamento quando o campo elétrico é removido, causando 
polarização permanente. O titanato de Bário (BaTiO3), uma 
cerâmica cristalina, tem uma estrutura assimétrica na 
temperatura ambiente (Figura 31). 
 
 
 
 68 
 
 
Figura 31: A estrutura cristalina do Titanato de Bário, BaTiO3. 
Devido ao deslocamento dos íons O-2 e Ti+4, a célula unitária é um 
dipolo permanente e produz excelente polarização. 
 
O íon Titânio é deslocado moderadamente do centro da célula 
unitária e os íons oxigênio são deslocados moderadamente nas 
direções opostas a partir de suas posições de face centrada, 
causando uma tetragonalidade ao cristal e uma polarização 
permanente. Quando uma corrente é aplicada ao titanato de 
bário, o íon Titânio move-se para frente e para trás entre suas 
duas posições possíveis, para assegurar que a polarização esteja 
alinhada com o campo. Nesse material em particular, a 
polarizaçãoé altamente anisotrópica e o cristal deve estar 
apropriadamente alinhado com relação ao campo aplicado.