Geometria descritiva - Parte 1

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A Geometria Descritiva constitui-se num sistema de projeção idealizado pelo matemático francês Gaspar 
Monge (1746-1818) de modo a resolver problemas de padronização na confecção de projetos durante o 
processo industrial por que a França passava em meados do século XVIII.Gaspar Monge a definiu como 
sendo a parte da matémática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a 
resolver , com o auxílio da Geometria Plana, os problemas relativos a esta figura.
Para fixação de um ponto no espaço, o sábio francês criou um método que consiste em projetar esse ponto 
sobre dois planos perpendiculares entre si. Um dos planos é disposto na posição horizontal, chamado de 
Plano Horizontal de Projeção (PH), e outro na posição vertical, chamdo de Plano Vertical de Projeção (PV) 
(Fig.01).
Figura 01 - Sistema de Projeção da Geometria Descritiva
Será usado a seguinte notação:
PH plano horizontal.
PV plano vertical.
LT linha de terra.
P ponto no espaço
P1 projeção horizontal do ponto P.
P2 projeção vertical do ponto P.
GEOMETRIA DESCRITIVA
ÁREA 1 FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DISCIPLINA: DESENHO BÁSICO
PROFESSOR: ANDRÉ VEIGA
- 1 -
LT
P2
PV
PH
P
P1
PROJEÇÃO VERTICAL
(PONTO NO ESPAÇO)
PROJETANTE DO PONTO P
PROJEÇÃO HORIZONTAL
1. PLANOS DE PROJEÇÃO
Os planos de projeção, ortogonais entre si, determinam, no espaço, quatro regiões, que serão chamadas de 
diedros. O diedro no qual o observador está situado denomina-se 1º diedro . Assim a Linha de Terra (LT) 
divide cada plano, vertical e horizontal, em dois semi-plano (Fig.02). 
PHA - Plano Horizontal Anterior
PHP - Plano Horizontal Posterior
PVS - Plano Vertical Superior
PVI - Plano Vertical Inferior
 
 Figura 02 - Representação dos Diedros
Para que este sistema possua uma representação bidimensional, faz-se um movimento de giro do Plano 
Horizonta(PH)l, tendo como eixo a Linha de Terra (LT), de modo a coincidir com a posição do Plano Vertical 
(PV). Esse processo é chamado de rebatimento. Depois do rebatimento, o PHA coincidirá com o PVI, e o 
PHP coincidirá com o PVS (Fig.03).
A representação da figura do espaço por meio de sua projeções, depois de feito o rebatimento, chama-se 
Épura.
- 2 -
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2. DIEDROS
1.2 ÉPURA
Figura 03 - Processo de rebatimento
LT
PVS PHP
PVI PHA
LT
PHP
PVS
PHA
PV’
1º Diedro2º Diedro
3º Diedro 4º Diedro
PVI
LT
PHP
PVS
PHA
PV’
1º Diedro2º Diedro
3º Diedro 4º Diedro
PVI
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1.1 COORDENADAS DO PONTO
1.1.2 ABSCISSA
1.2 POSIÇÕES DE UM PONTO
1. ESTUDO DO PONTO
LT
P2PV
PH
P
P1
LT
PVS PHP
COTA
AFASTAMENTO
PVI PHA
P1
P2
Para que o Sistema de Projeção possa ser representado com precisão, cada ponto deverá ser fixado no 
espaço por coordenadas. Essas coordenadas poderão ser definidas tanto no espaço como em épura, a 
partir de suas projeções.
Chama-se cota a distância do ponto P ( no espaço) ao ponto plano horizontal (PH). É a mesma distância da 
projeção vertical (PV) deste ponto à linha de terra (lt), em épura.
Chama-se afastamento a distância do ponto P (no espaço) ao plano vertical (PV). É a mesma distância da 
projeção horizontal (PH) deste ponto, à linha de terra (lt).
Chama-se linha de chamada, a reta perpendicular à linha de terra, que une as projeções de um mesmo 
ponto.
Ao traçar uma reta r, paralela à linha de terra, passando pelo ponto P, representado no espaço, de cota PP1, 
e afastamento PP2, observa-se que qualquer ponto situado sobre esta reta r, possui cota e afastamento 
iguais. 
Para que a posição do ponto no espaço fique perfeitamente definida, introduz-se uma terceira coordenada, 
que estará localizada na linha de terra. Sendo assim, a abscissa é dada como a distância entre a origem 
0(zero) e o ponto auxiliar M.
 
 
Figura 04- Representação da cota e do afastamento
Na representação da Épura de um ponto, nota-se que o afastamento será sempre medido positivamente, 
abaixo da linha de terra (LT), e negativamente, acima da linha de terra. Na cota ocorrerá o inverso, isto é, 
positivamente para cima da LT e negativamente abaixo.
Os sinais da cota e do afastamento definirão em que Diedro vai se posicionar um ponto no espaço, de 
acordo com a Tabela 1.
a representação
LINHA DE
CHAMADA
1.1.1 COTA E AFASTAMENTO.
2
1
0
M0
DIEDROS
COTA
AFASTAMENTO
1º 2º 3º 4º
+ + - -
+ - - +
TABELA 01
AFASTAMENTO
COTA
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Além de poder está contido em um dos Diedros, o ponto pode se localizar nas seguintes regiões:
a) Plano Vertical de Projeção (PV) - Para um ponto se situar no PV, o afastamento terá que ser nulo. Se 
estiver sobre o PVS, além do afastamento nulo, a cota será positiva. E se estiver no PVI, a cota será 
negativa.
b) Plano Horizontal de Projeção (H) - Para um ponto se situar no PH, a cota terá que ser nula. Se estiver 
sobre o PHA, além da cota nula, o fastamento será positivo. E se estiver no PHP, o afastamento será 
negativo.
c) Sobre a Linha de Terra (LT) - Para um ponto estar sobre a LT, as coordenadas de cota e afastamento terão 
que ser nulas.
d) Planos Bissetores - São planos que passam pela linha de terra (LT) e dividem simetricamente os diedros. 
Esses planos fazem 45º com os Planos de Projeção, e são divididos em:
- Plano Bissetor Ímpar (PBI) - corta o 1º e o 3ºdiedros.Para um ponto estar situado no PBI o afastamento e a 
cota terão mesmos valores e com igualdade de sinais.
- Plano Bissetro Par (PBP) - corta o 2º e o 4º diedros. Para um ponto estar situado no PBP o afastamento e a 
cota terão mesmos valores , porém com sinais contrários (Fig. 05).
Quando um ponto pertencer ao Plano Bissetor Impar (PBI), irá possuir a cota igual ao afastamento em valor 
absoluto e em sinal. E, estando contido no Plano Bissetor Par (PBP), possuirá cota e e afastamento iguais 
em valor absoluto, porém com sinais contrários.
Figura 05- Representação dos Planos Bissetroes
LT
PHP
PV’I
1º DIEDRO
PHA
PVS
2º DIEDRO
4º DIEDRO3º DIEDRO
PLANO BISSETOR PAR (PBP)
PLANO BISSETORIM PAR (PBI)
A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos seus pontos sobre este plano. De 
modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções 
desta reta sobre dois planos ortogonais (Fig. 06). 
Figura 6 - Representação da reta AB, em épura e no espaço.
REGRA GERAL: 
Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome 
da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do 
ponto também sobre a projeção vertical da reta (Fig.07).
 Figura 07 - Representação da pertimência entre o ponto C e a reta AB.
2.0 - ESTUDO DA RETA
2.1 - PERTINENCIA DE PONTO E RETA.
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B
B1B2
AA2
A1
PV
PH
B
B1
B2
AA2
A1
PV
PH
CC2
C1
Chama-se “traço de uma reta sobre um plano” o ponto em que essa reta fura ou atravessa esse plano. O 
traço sobre o plano vertical chama-se “traço vertical”, e por convenção, representa-se por V.No plano 
horizontal chama-se “traço horizontal”, representado pela letra H.
Obs: Na determinação dos traços de uma reta há um princípio imutável, sem exceção alguma: é que a 
projeção horizontal V1 do traço vertical V e a projeção vertical H2 do traço horizontal H estão sempre 
obrigatoriamente sobre a linha de terra(LT), podendo as projeções V2 e H1 se situar abaixo ou acima da LT, 
conforme a posição da reta, exceto é claro, quando a reta passar pela Lt (Fig. 08).
 Figura 08 - Representação do Traço da Reta
Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, que determinam nomes e 
propriedades particulares.
I) RETA QUALQUER.
II) RETAS SEGUNDO PARALELISMO EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO.
III) RETAS SEGUNDO PERPENDICULARISMO EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO.
I) RETA QUALQUER.
é a reta oblíqua aos dois planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções 
oblíquas à linha de terra(Fig.09).
 
Figura 09 - Reta Qualquer
2.2 - TRAÇO DA RETA
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ESPAÇO ÉPURA
 
LT
2
1
A2
B2
A1 B1H=H1
H2
2.3 - POSIÇÕES DE UMA RETA
LT
2
1
A2
A1
B1
B2
- 6 -
`B2
H2
H1
B
A1
AA2
PV
PH
 H
LT
B
B1
B2
AA2
A1
VP
PH
LT
II) RETAS SEGUNDO O PARALELISMO EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO.
a) Reta Horizontal (ou de Nível).
É a reta paralela ao plano horizontal(PH), e oblíqua ao plano vertical(PV). Sua épura é caracterizada por 
possuir a projeção vertical(A2B2) paralela à LT, e a projeção horizontal(A1B1) oblíqua. A projeção horizontal 
(A1B1), esta em verdadeira grandeza (Fig.10).
Figura 10 - Representação da Reta Horizontal
b) Reta Frontal (ou de Frente).
É a reta paralela ao plano vertical (PV) e oblíqua ao plano horizontal (PH). Sua épura é caracterizada por 
possuir a projeção horizontal (A1B1) paralela à LT, e a Vertical oblíqua (Fig. 11).
OBS: A projeção vertical representa a V.G. da reta.
Figura 11 - Representação da Reta Frontal
II) RETAS SEGUNDO O PARALELISMO EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO.
a) Reta Horizontal (ou de Nível).
b) Reta Frontal (ou de Frente).
É a reta paralela ao plano horizontal(PH), e oblíqua ao plano vertical(PV). Sua épura é caracterizada por 
possuir a projeção vertical(A B ) paralela à LT, e a projeção horizontal(A B ) oblíqua. A projeção horizontal 
(A B ), esta em verdadeira grandeza (Fig.10).
É a reta paralela ao plano vertical (PV) e oblíqua ao plano horizontal (PH). Sua épura é caracterizada por 
possuir a projeção horizontal (A B ) paralela à LT, e a Vertical oblíqua (Fig. 11).
OBS: A projeção vertical representa a V.G. da reta.
2 2 1 1
1 1
1 1
Figura 10 - Representação da Reta Horizontal
Figura 11 - Representação da Reta Frontal
LT
2
1
A2
A1
B1
B2
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B
B1
B2
AA2
A1
PV
PH
LT
B2
LT
2
1
A2
A1 B1
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C) Reta Frontohorizontal (Paralela à Linha de Terra LT).
É a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir as 
duas projeções paralelas à LT (Fig. 12).
OBS: As projeções estão em V.G.
Figura 12 - Representação da Reta Frontohorizontal
III) RETAS SEGUNDO O PERPENDICULARISMO EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO.
a) Reta Vertical
É a reta perpendicular ao plano horizontal (PH). Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal 
reduzida a um ponto, e a vertical perpendicular à LT, que representa a V.G. (Fig. 13).
Figura 13 - Representação da Reta Vertical.
C) Reta Frontohorizontal (Paralela à Linha de Terra LT).
É a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir as 
duas projeções paralelas à LT (Fig. 12).
 
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LT
2
1
A2
A1 B1
B2
B) Reta de Topo.
Reta inversa à vertical, sendo perpendicular ao plano vertical (PV). Sua épura é caracterizado por possuir a 
projeção vertical reduzida a um ponto, e a horizontal perpendicular à LT, que representa a V.G (Fig. 14).
Figura 14 - Representação da Reta de Topo
RETA DE PERFIL
A Reta de Perfil é caracterizada por estar oblíqua aos planos de projeção, sendo assim pode-se dizer que é 
um caso específico de Reta Qualquer. O que a diferencia da Reta Qualquer é que suas projeções se 
encontram perpendiculares à linha de terra (Fig. 15).
Figura 15 - Representação da Reta de Perfil
As projeções horizontal e vertical de uma reta de perfil não são suficientes para determinar o posicionamento 
da reta e nem a sua verdadeira grandeza, pois esse tipo de reta pertence a um plano específico, chamado 
Plano de Perfil, perpendicular aos dois planos de projeção (Fig. 15).
Percebe-se esta situação, quando se busca a localização dos Traços dessa reta. Para tanto, faz-se 
necessário o rebatimento do plano de perfil, sobre um dos planos de projeção (Fig. 16). 
- 9 -
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LT
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Figura 16 - Representação dos Traços da reta de perfil
RETAS REVERSAS
São retas que não pertencem a um mesmo plano.
RETAS CONCORRENTES 
 
Duas retas são concorrentes quando:
1º) O ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais, estiverem numa mesma 
linha de chamada.
 
B
A
C
D
LT
2
1
A2
B2
A1
B1
C2
D2
C1
D1
B
A
C
D
A’
B’
C’
D’
2.5 - POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
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BR
AR
V=V2=VR
HR
H=H1V1=H2
LT
BR
AR
V=V2=VR
HR=H1R
H=H1
H2=V1 B1R A1R
2º) Duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas se cortam.
3º) Uma das projeções de uma das retas se reduz a um ponto situado sobre a projeção de mesmo nome da 
outra reta.
RETAS PARALELAS
Duas retas são paralelas quando:
1º) As duas projeções de mesmo nome são paralelas.
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LT
2
1
A2
B2
A1=
B1
C2
D2
C1
D1=
B
A
C
D
A1
B1’
C1=
D1=
PHA
 
LT
2
1
A2
B2
A1= B1
C2
D2
C1
D1
B
A
C
D
A1=B1
C1
D1
PHA
B
C
D
B1
C1
D1
A1
A
PHA
LT
2
1
A2
B2
B1
C2
D2
C1
A1
D1
- 12 -
2º) Duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas são paralelas.
3º) As suas projeções sobre um mesmo plano de reduzem, cada uma, a um ponto.
Desenho Básico Prof.: André VeigaLT
2
1
A2
B2
B1
C2
D2
C1=D1
A1=
B
C
D
C1=D1 A1=B1
A
PHA
A
B
B1=C1
C
D
A1=D1
PHA
A2
LT 2
1
B2
B1=
C2
D2
C1
D1A1=
	1: 01
	2: 02
	3: 03
	4: :04
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	Página 6
	Página 7
	Página 8
	Página 9
	Página 10
	Página 11
	Página 12