Adalberto B. M. S. Bassi - Bases da Mecnica e da Termodinmica dos Meios Continuos

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Adalberto B. M. S. Bassi 
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Bases da Mecânica e da 
Termodinâmica dos Meios Contínuos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Estadual de Campinas 
 Instituto de Química 
Campinas 
2011 
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA 
BIBLIOTECA CENTRAL DA UNICAMP 
Sistemas de Bibliotecas da UNICAMP / 
Diretoria de Tratamento da Informação 
Bibliotecário: Maria Lúcia Nery D. de Castro – CRB-8ª / 1724 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-85-268-0948-2 (Suporte: Papel) 
 
ISBN 978-85-268-0949-9 (Suporte: Internet) 
 
 
 
 
Palavras Chave: 
Mecânica; Termodinâmica; Meios Contínuos; Álgebra Tensorial; Análise Tensorial; 
Termomecânica; Não Linearidade; Materiais; Matemática Aplicada; Físico-Química 
 
Keywords: 
Mechanics; Thermodynamics; Continuous Media; Tensor Algebra; Tensor Analysis; 
Thermomechanics; Non Linearity; Materials; Applied Mathematics; Physical Chemistry 
 
Equipe: 
Capa: Giancarlo M. Stein dos Santos 
Editor: João Carlos de Andrade 
 
Universidade Estadual de Campinas 
Instituto de Química 
Caixa Postal 6154 
13084-970 Campinas (SP) 
 
 
2011© Adalberto B. M. S. Bassi 
Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) sob licença Creative Commons 
(http://www.creativecommons.org.br) 
 
 
 B294b Bassi, Adalberto Bono Maurizio Sacchi 
 Bases da mecânica e da termodinâmica dos meios 
 contínuos / Adalberto B. M. S. Bassi. -- Campinas, SP: 
 UNICAMP/Instituto de Química, 2011. 
 
 “Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) 
 sob licença Creative Commons 
 (http://www.creativecommons.org.br)” 
 
 1. Termodinâmica. 2. Química. 3. Físico-química. 
 I. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Química. 
 II. Título. 
 
 CDD – 541.369 
 – 540 
 – 541.3 
 
Sobre o Autor
Adalberto B. M. S. Bassi nasceu em 1945, em Nitero´i, RJ e formou-se Qu´ımico Industrial
em 1966, pela antiga Escola Nacional de Qu´ımica da Universidade do Brasil, hoje Es-
cola de Qu´ımica da UFRJ. Fez po´s-graduac¸a˜o no Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas
e ingressou no corpo docente do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP em 1970, onde
permanece ate´ o presente momento. Doutorou-se pelo Instituto de Qu´ımica da UNI-
CAMP em 1976, com uma tese na a´rea de interpretac¸a˜o, por meios mecaˆnico-quaˆnticos,
de intensidades roto-vibracionais de mole´culas em estado gasoso. Em 1977, fez po´s-
doutorado junto ao Quantum Theory Project da University of Florida e, posteriormente,
nesta mesma a´rea foram defendidos, sob sua orientac¸a˜o, trabalhos de mestrado e douto-
rado. Dedicou-se, enta˜o, a diversas atividades acadeˆmico-administrativas, entre as quais
destacam-se a de Diretor do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP e a de Pro´-Reitor de
Ensino de Graduac¸a˜o da mesma Universidade. Ultimamente, restringe suas atividades
acadeˆmico-administrativas apenas a func¸o˜es eletivas de representac¸a˜o, junto aos o´rga˜os
colegiados superiores do Instituto e da Universidade, porque prioriza a pesquisa, a ori-
entac¸a˜o e o ensino em Mecaˆnica e Termodinaˆmica dos Meios Cont´ınuos, bem como em
Termodinaˆmica dos Processos Homogeˆneos.
i
Preaˆmbulo
A mecaˆnica dos meios cont´ınuos e´ um desenvolvimento da antiga mecaˆnica dos fluidos, a
qual na˜o considerava a segunda lei da termodinaˆmica. Ambas sa˜o cieˆncias para o mundo
macrosco´pico, ou seja, como tambe´m faz qualquer outra cieˆncia cla´ssica, por causa da uti-
lizac¸a˜o do ca´lculo diferencial e integral, elas extrapolam o comportamento macrosco´pico
para regio˜es microsco´picas, onde na verdade tal comportamento na˜o ocorre. Alia´s, a con-
firmac¸a˜o experimental da correc¸a˜o dos resultados obtidos mediante esta extrapolac¸a˜o, em
todas as cieˆncias cla´ssicas, foi o principal motivo porque tantos excelentes cientistas do
passado defenderam ardorosamente a continuidade da mate´ria. Hoje, sabe-se que esta
extrapolac¸a˜o e´ correta desde que sejam considerados exclusivamente os seus resultados
no mundo macrosco´pico.
A mecaˆnica dos meios cont´ınuos, pore´m, na˜o e´ so´ um aperfeic¸oamento da mecaˆnica
dos fluidos. Ao incorporar a segunda lei e, em consequeˆncia, propriedades como a ener-
gia de Gibbs, ela mostra suas profundas ra´ızes na termodinaˆmica cla´ssica. Pore´m, ao
contra´rio desta mas como faz a mecaˆnica newtoniana, a mecaˆnica dos meios cont´ınuos
considera que os valores das grandezas materiais variam no tempo e no espac¸o. Por isto,
os seus processos na˜o sa˜o homogeˆneos e atemporais, como os da termodinaˆmica cla´ssica.
Tambe´m por isto, ela na˜o esta´ restrita a processos limites, nem a apenas interligar es-
tados de equil´ıbrio. Ela pretende que o seu modelo represente o mundo macrosco´pico
real de modo muito mais pro´ximo e detalhado do que o faz o modelo da termodinaˆmica
cla´ssica.
Por outro lado, o uso intenso de funcionais constitutivos evidencia a absorc¸a˜o, por
parte da mecaˆnica dos meios cont´ınuios, dos conceitos ba´sicos da termodinaˆmica dos pro-
cessos irrevers´ıveis. Estas duas ra´ızes sa˜o ta˜o fundamentais quanto aquela na mecaˆnica
dos fluidos. A elas e´ adicionado o arsenal matema´tico que a ana´lise tensorial dispo-
nibiliza, facilitando um enfoque pragma´tico e computacional extremamente u´til para a
engenharia dos materiais. A unia˜o de teorias que se sintetizou na mecaˆnica dos meios
cont´ınuos apresenta um enorme potencial, inclusive porque a ana´lise tensorial e´ uma po-
derosa ferramenta matema´tica moderna, absolutamente na˜o dispon´ıvel na e´poca em que
a termodinaˆmica cla´ssica foi desenvolvida.
De acordo com a mecaˆnica dos meios cont´ınuos, o que se conserva e´ a energia total,
na˜o e´ a energia interna. A conservac¸a˜o da energia e´ colocada como um dos pilares desta
cieˆncia, junto com as conservac¸o˜es da massa e dos momentos linear e angular. Por outro
lado, frequentemente a segunda lei da termodinaˆmica e´ tratada como uma mera condic¸a˜o
limitante, a ser inclu´ıda na construc¸a˜o dos funcionais constitutivos. Por isto, embora a
existeˆncia das mencionadas ra´ızes termodinaˆmicas, este nome nem sempre e´ associado
a` mecaˆnica dos meios cont´ınuos. Alia´s, os t´ıtulos das sete refereˆncias ba´sicas listadas
na bibliografia evidencia a diversidade de nomes usados para designar esta cieˆncia. Este
autor prefere manter associadas as palavras mecaˆnica e termodinaˆmica, como fazem os
ii
t´ıtulos da primeira e quarta refereˆncias.
Isto parece correto porque comec¸a-se a perceber uma baixa utilizac¸a˜o do potencial
antes mencionado, na˜o sob o enfoque da engenharia ou do desenvolvimento de “softwa-
res”, mas sim sob o aspecto conceitual f´ısico-qu´ımico. De fato, feita excec¸a˜o a numerosos
trabalhos puramente matema´ticos, parece haver pouco interesse em tentar melhorar o en-
tendimento dos conceitos fundamentais em que se baseia a mecaˆnica dos meios cont´ınuos.
Pelo contra´rio, percebe-se a tendeˆncia de apenas aplica´-los, de modo cada vez mais efici-
ente e produtivo, naquilo que ja´ se sabe conduz a resultados experimentalmente corretos.
Logo, estreitar a associac¸a˜o entre a mecaˆnica e a termodinaˆmica, a primeira fortemente
matema´tica e a segunda intensamente conceital, parece proveitoso para esta cieˆncia.
Talvez, um dos maiores motivos deste aparente desinteresseesteja nos conhecimentos
matema´ticos necessa´rios para uma precisa compreensa˜o conceitual do que as equac¸o˜es
refletem. De fato, trata-se de uma base matema´tica incomum entre qu´ımicos e ate´ mesmo
entre f´ısicos, a na˜o ser nos seus aspectos puramente operacionais. O objetivo deste texto e´
ajudar na aquisic¸a˜o desta base matema´tica conceitual, sem a qual e´ realmente imposs´ıvel
entender o significado f´ısico das equac¸o˜es utilizadas pela mecaˆnica dos meios cont´ınuos.
Este texto na˜o se destina a matema´ticos, mas sim a leitores que possuam conhecimentos
apenas operacionais, ou rudimentares, de ca´lculo diferencial e integral.
Ele inicia-se com um longo cap´ıtulo de a´lgebra e ca´lculo tensorial, seguido por um
cap´ıtulo de cinema´tica onde alguns conceitos f´ısicos comec¸am a aparecer. A parte fun-
damental do segundo cap´ıtulo e´ a sua sec¸a˜o sobre movimento, mas a compreensa˜o deste
conceito exige a leitura das sec¸o˜es anteriores, principalmente da primeira. A u´ltima sec¸a˜o
deste cap´ıtulo e´ um pouco mais complexa, mas na˜o pode deixar de ser entendida, porque
sera´ usada em cap´ıtulos posteriores. O terceiro cap´ıtulo, sobre balanceamento, engloba
a conceituac¸a˜o f´ısica principal. No u´ltimo cap´ıtulo sa˜o colocadas algumas noc¸o˜es ba´sicas
sobre os funcionais constitutivos.
Este texto segue, em suas linhas gerais, o apeˆndice e os primeiros treˆs cap´ıtulos
da segunda refereˆncia citada procurando, pore´m, ser mais acess´ıvel para o leitor na˜o
matema´tico. Devido a` forte admirac¸a˜o do autor pela penu´ltima refereˆncia, este texto
e´ inevitavelmente influenciado por ela. Sofre, tambe´m, as consequeˆncias de ser o autor
muito interessado na termodinaˆmica dos processos homogeˆneos, que e´ uma visa˜o temporal
da termodinaˆmica cla´ssica, muito u´til no estudo de estados da mate´ria homogeˆneos, mas
na˜o esta´veis, tais como vidros, l´ıquidos superresfriados etc. A primeira refereˆncia e´
extremante atual e abrangente. A u´ltima, por causa da proposic¸a˜o da desigualdade de
Clausius-Duhem, e´ geralmente considerada o marco inicial da mecaˆnica e termodinaˆmica
dos meios cont´ınuos. Sem deme´rito para dezenas de outras excelentes refereˆncias, o autor
considera as sete selecionadas como os marcos principais desta teoria.
Campinas, janeiro de 2011.
iii
Suma´rio
1 Ana´lise Tensorial Elementar 1
1.1 S´ımbolos, Func¸a˜o e Funcional, Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 A´lgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Produto Interno de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem . . . . 12
1.2.5 Transposic¸a˜o de Tensor Simples, de Segunda Ordem e Troca entre
I´ndice e Super´ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.6 Composic¸a˜o de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . 20
1.2.7 Tensor de ordem k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.8 Regras para Transformac¸a˜o de Componentes de Vetor e de Tensor
de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.9 Determinante e Trac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.10 Produto Interno, Inversa˜o, Ortogonalidade e Grupo de Tensores de
Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.11 Elemento de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2.12 Produto Externo e Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.13 Teoremas para a Mecaˆnica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . . . 45
1.2.14 Espac¸o Euclideano de Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3 Ca´lculo Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.1 Diferenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.2 Aplicac¸o˜es da Diferenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.3.3 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.4 Derivadas Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3.5 Operadores para a Mecaˆnica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . . 75
2 Cinema´tica 82
2.1 Configurac¸a˜o e Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.1 Gradiente de Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.2 Diferenciais Definidos pelo Gradiente de Deformac¸a˜o . . . . . . . 84
2.1.3 Mudanc¸a de Configurac¸a˜o Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2 Trac¸a˜o e Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3 Trac¸a˜o e Rotac¸a˜o Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4 Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.4.1 Conceito Ba´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.4.2 Descric¸o˜es Material e Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5 Deformac¸a˜o Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
iv
2.5.1 Conceito e Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.5.2 Velocidade de Alterac¸a˜o da Tendeˆncia de Deformac¸a˜o . . . . . . . 101
2.6 Mudanc¸a de Estrutura Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6.1 Transformac¸a˜o Euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6.2 Transformac¸o˜es Galileiana e R´ıgida Independente de t . . . . . . . 107
2.6.3 Aplicac¸o˜es para Grandezas Cinema´ticas . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.6.4 Derivada Temporal Corotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Balanceamento 112
3.1 Equac¸o˜es de Balanceamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.1.1 Equac¸o˜es de Balanceamento na Configurac¸a˜o Corrente . . . . . . 112
3.1.2 Equac¸o˜es de Balanceamento na Configurac¸a˜o Referencial . . . . . 118
3.1.3 Compatibilidade Cinema´tica da Superf´ıcie Singular . . . . . . . . 122
3.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3 Dinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3.1 Momentos Linear Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3.2 Forc¸a e Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.3 Tensor de Trac¸a˜o de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3.4 Balanceamento de Momentos Linear e Angular . . . . . . . . . . . 131
3.3.5 Balanceamento de Energia Cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3.6 Balanceamento de Energias Total e Interna . . . . . . . . . . . . . 135
3.4 Equac¸o˜es Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4.1 Equac¸o˜es de Campo e de Rankine-Hugoniot na Descric¸a˜o Material 139
3.4.2 Condic¸o˜es de Fronteira do Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.4.3 Equac¸o˜es de Campo em Estrutura Referencial Arbitra´ria . . . . . 142
4 Princ´ıpios Ba´sicos das Teorias Constitutivas 145
4.1 Campos Ba´sicos, Func¸o˜es e Funcionais Constitutivos . . . . . . . . . . . 145
4.2 Princ´ıpio de Objetividade Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.1 Conceito Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.2 Aplicac¸a˜o a` Configurac¸a˜o Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2.3 Aplicac¸a˜o a Classes Particulares de Materiais . . . . . . . . . . . 150
4.3 Material Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
v
Cap´ıtulo 1
Ana´lise Tensorial Elementar
1.1 S´ımbolos, Func¸a˜o e Funcional, Matriz
Notac¸a˜o 1.1.1 (S´ımbolos) O campo dos nu´meros reais e´ representado por <. A
na˜o ser no caso de s´ımbolos convencionais, como por exemplo o tensor elemento de vo-
lume e, de um modo geralescalares (tensores de ordem zero) sera˜o representados por
letras minu´sculas em ita´lico (a, α,. . . ), vetores (tensores de primeira ordem) por letras
minu´sculas romanas em negrito (u, v,. . . ) e tensores (de qualquer ordem salvo nula e
primeira) por letras maiu´sculas ita´licas (T , F ,. . . ). O tensor identidade sera´ represen-
tado 1 , enquanto que amatriz identidade sera´ representada por [1]. Entretanto, letras
ita´licas minu´sculas e maiu´sculas podera˜o ter outros significados, desde que estes sejam
explicitamente informados. Trechos em negrito correspondem a chamadas no ı´ndice e,
quando deseja-se ressaltar uma palavra, ela e´ sublinhada por trac¸o duplo. S´ımbolos
matema´ticos:
∈ pertence a ou pertencente a;
⊂ subconjunto de;
∀ para todo;
∃ existe;
{·} conjunto constitu´ıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ;
(·) conjunto ordenado constitu´ıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ;
[·] matriz constitu´ıda pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ;
·[·] aplicac¸a˜o do tensor representado pelo primeiro · ao tensor representado pelo segundo;
| onde;
2 te´rmino de demonstrac¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.1.1 (Func¸a˜o e Funcional) Sejam dois conjuntos, A e B, de escalares,
vetores, tensores, ou de n-uplas (por exemplo, se n = 2 sa˜o duplas, o que significa
o mesmo que pares ordenados) constitu´ıdas por escalares, vetores, ou tensores. Por
1
definic¸a˜o, uma regra que relaciona cada elemento de A a, no ma´ximo, um u´nico elemento
de B, e´ uma func¸a˜o g representada por g : A → B. A expressa˜o g : a 7→ b | a ∈
A, b ∈ B indica que, quando a func¸a˜o for aplicada ao espec´ıfico elemento a, que sera´
chamado o argumento da func¸a˜o, este elemento sera´ relacionado ao espec´ıfico elemento
b, chamado imagem da func¸a˜o, formando o par ordenado (a, b). Por exemplo, cos :
pi/3 7→ 0, 5 |pi/3, 0, 5 ∈ <, formando o par ordenado (pi/3, 0, 5). O conjunto de todos os
pares ordenados criados pela func¸a˜o g e´ a pro´pria func¸a˜o g, porque tal conjunto explicita
a regra que relaciona cada elemento de A a, no ma´ximo, um elemento de B.
O par ordenado (a, b), portanto, e´ o elemento da func¸a˜o correspondente ao ar-
gumento a (na˜o a` imagem b, porque va´rios argumentos podem corresponder a` mesma
imagem, mas na˜o o vice-versa). E´ muito frequente o uso da representac¸a˜o g(a) para
indicar b, ou seja, define-se b ≡ g(a) e costuma-se afirmar que “b e´ func¸a˜o de a” para
indicar que b e´ a imagem correspondente ao argumento a, atrave´s da func¸a˜o g. Se o
conjunto B for constitu´ıdo exclusivamente por escalares (ou vetores, ou tensores etc.),
costuma-se afirmar que g e´ uma “func¸a˜o escalar” (ou vetorial, ou tensorial etc.), para
indicar que a imagem da func¸a˜o g e´ necessariamente escalar (ou vetorial, ou tensorial
etc.). Por outro lado, a representac¸a˜o g(·) e´ utilizada para indicar a pro´pria func¸a˜o g,
portanto g ≡ g(·).
Se, para um espec´ıfico conjunto D de argumentos a da func¸a˜o g : a 7→ b, a toda
imagem b de a ∈ D corresponder um u´nico argumento a, g sera´ dita func¸a˜o de um
para um em D e g−1 : b 7→ a|a ∈ D sera´ a inversa em D da func¸a˜o g. Neste caso
poder-se-a´, tambe´m, afirmar que a func¸a˜o g e´ invert´ıvel em D. Evidentemente, existe
a possibilidade de que D abranja todos os poss´ıveis argumentos da func¸a˜o, situac¸a˜o esta
em que a expressa˜o “em D” e´ omitida.
Sejam, agora, dois conjuntos, C eD, de escalares, vetores, tensores, func¸o˜es h : A→ B
ou de n-uplas constitu´ıdas por escalares, vetores, tensores ou func¸o˜es h : A → B. Por
definic¸a˜o, uma regra que relaciona cada elemento de C a, no ma´ximo, um u´nico elemento
de D, e´ um funcional F representado por F : C → D. Um tipo extremamente simples
de funcional e´ a func¸a˜o, ja´ discutida, porque a definic¸a˜o de funcional e´ uma ampliac¸a˜o da
definic¸a˜o de func¸a˜o, logo na˜o exclui esta u´ltima. Por isto, tudo o que se seguiu a` setenc¸a
de definic¸a˜o de func¸a˜o, ate´ ao fim do para´grafo anterior, pode ser analogamente colocado
para funcional. Pore´m, usa-se o nome funcional apenas quando pelo menos um, entre
os argumentos e imagens de F considerados, for uma func¸a˜o, ou uma n-upla contendo
pelo menos uma func¸a˜o, porque, quando isto na˜o ocorrer, seria uma inu´til complicac¸a˜o
usar o nome funcional, ao inve´s de func¸a˜o, ja´ que esta e´ uma denominac¸a˜o muito mais
conhecida.
Considerando esta restric¸a˜o, o exemplo mais simples de funcional e´ a composic¸a˜o
de func¸o˜es, que pode ser grafada g3 = g2 ◦ g1 , onde g1 e´ a func¸a˜o argumento, F = g2◦
e´ o funcional e g3 e´ a func¸a˜o imagem, logo g3 = g2 ◦ g1 e´ um caso espec´ıfico da expressa˜o
mais geral g3 = F(g1) . Impor F = g2◦ e´ igual a impor que, se g1 : x 7→ y e g3 : x 7→ z,
exista g2 : y 7→ z. Conforme sera´ exemplificado a seguir, a existeˆncia de g2 : y 7→ z
corresponde a uma simplificac¸a˜o ta˜o radical, em relac¸a˜o a` expressa˜o g3 = F(g1) , sendo
g1 : x 7→ y e g3 : x 7→ z, que o pro´prio conceito de funcional e´ desnecessa´rio para explicar
a composic¸a˜o de func¸o˜es, assim como e´ desnecessa´rio para explicar a func¸a˜o. Por isto,
na˜o se usa o nome funcional no caso de composic¸a˜o de func¸o˜es, a qual e´ tambe´m chamada
func¸a˜o de func¸a˜o. Como a imagem z e´ a mesma, e´ usual escrever g(x) = g(y), ao inve´s
2
da representac¸a˜o mais rigorosa g3(x) = g2(y).
Para exemplificar uma composic¸a˜o de func¸o˜es, seja y = g1(x) = sen x e z = g2(y) =
cos y, logo z = g3(x) = cos sen x, onde a func¸a˜o sen e´ o argumento que o funcional
cos ◦ relaciona a` func¸a˜o imagem cos sen. Note que, para que o funcional cos ◦ defina
o elemento (x, z) da sua func¸a˜o imagem cos sen, basta que seja conhecido o elemento
(x, y) da sua func¸a˜o argumento sen. Isto ocorre porque existe a func¸a˜o g2 : y 7→ z, neste
exemplo dada por cos : y 7→ z. Em geral, pore´m, o conhecimento da func¸a˜o imagem de
um funcional, ou mesmo de apenas um elemento dela, exige o conhecimento de mais do
que um u´nico elemento de pelo menos uma entre as func¸o˜es presentes no seu argumento.
Coerentemente com o afirmado no para´grafo anterior, usar-se-a´ o nome funcional somente
quando houver esta exigeˆncia, que na˜o existe no caso da composic¸a˜o de func¸o˜es.
Os tipos mais conhecidos de funcionais sa˜o a derivac¸a˜o e a integrac¸a˜o, que sa˜o regras
que relacionam func¸o˜es entre si e que exigem o conhecimento de mais do que um u´nico
elemento das func¸o˜es argumento. A derivac¸a˜o e a integrac¸a˜o sa˜o exemplos de funcionais
universais, no sentido que sa˜o regras que na˜o dependem de caracter´ısticas espec´ıficas do
problema a ser resolvido. Por isto, mais uma vez, a derivac¸a˜o e a integrac¸a˜o costumam
ser apresentadas sem que o conceito de funcional seja previamente colocado. Mas existem
funcionais na˜o universais, cuja compreensa˜o exige que o conceito de funcional seja previ-
amente apresentado. Eles aparecem em va´rias cieˆncias f´ısicas. Por exemplo, na mecaˆnica
e termodinaˆmica dos meios cont´ınuos sa˜o utilizados funcionais constitutivos, cujas
formas dependem de especificidades do material considerado.
Notac¸a˜o 1.1.2 (Einstein) Um super´ındice, geralmente, e´ escrito entre pareˆntesis, para
na˜o ser confundido com um expoente. Por exemplo, pode-se ter ai ou a
(i), de acordo
com a prefereˆncia quanto a numerar a por meio de ı´ndices ou super´ındices i = 1, 2, 3, . . .
(considere que a na˜o necessariamente seja um escalar). Pore´m, de acordo com a notac¸a˜o
de Einstein, os pareˆntesis sa˜o omitidos do super´ındice. Outra caracter´ıstica desta notac¸a˜o
e´ que, num produto, quando um mesmo indicador aparecer uma vez como ı´ndice e outra
como super´ındice, subentende-se o somato´rio do produto para todos os valores poss´ıveis
do indicador. Por exemplo, aibi , sendo i = 1, 2 ou 3, implica em a
1b1 + a
2b2 + a
3b3 ,
enquanto que aib
i representa o somato´rio a1b
1 + a2b
2 + a3b
3.
Mas, se o indicadoraparecer duas vezes como ı´ndice, ou como super´ındice, o somato´rio
na˜o estara´ subentendido. Portanto tanto aibi como a
ibi se referem a um u´nico entre os
poss´ıveis valores permitidos para i. Para indicar a1b1+a2b2+a3b3 , ou a
1b1+a2b2+a3b3,
deve-se respectivamente escrever
∑3
i=1 aibi , ou
∑3
i=1 a
ibi. O indicador somativo pode
ser um ı´ndice e um super´ındice que apresentem a mesma base. Por exemplo, sendo
i = 1, 2 ou 3, tem-se T i i = T
1
1 + T
2
2 + T
3
3 .
Podem, tambe´m, ocorrer dois ou mais indicadores somativos. Por exemplo, gi j T
i j in-
dica a aplicac¸a˜o sequencial dos somato´rios em i e em j, sendo indiferente qual dos dois so-
mato´rios e´ o primeiro a ser efetuado. Apo´s efetuado o primeiro somato´rio (se i = 1, 2 ou 3,
aplicando inicialmente o somato´rio em i a gi j T
i j ter-se-a´ g1 j T
1 j + g2 j T
2 j + g3 j T
3 j),
aparecem termos formados por fatores com ı´ndice e super´ındice alfanume´ricos iguais, o
que exige a aplicac¸a˜o dos somato´rios correspondentes a` parte alfabe´tica dos ı´ndices e
super´ındices, para cada um destes termos. A notac¸a˜o de Einstein sera´ subentendida a
partir deste ponto do texto.
3
Definic¸a˜o 1.1.2 (Matriz) Seja um conjunto A, cujos elementos na˜o necessariamente
sa˜o escalares e seja o conjunto I, formado pelos m primeiros nu´meros naturais (os
nu´meros naturais sa˜o os inteiros positivos). Suponha que exista uma func¸a˜o ordenadora
φ : I → A tal que, ∀i ∈ I, φ : i 7→ ai | ai ∈ A, ou φ : i 7→ ai | ai ∈ A, de acordo
com o s´ımbolo escolhido para a imagem de φ ser, respectivamente, ai ou a
i. Logo, a
func¸a˜o φ cria, respectivamente, o conjunto ordenado (a1 , a2 , . . . , am−1 , am) ≡ (ai)mi=1 , ou
(a1 , a2 , . . . , am−1 , am) ≡ (ai)mi=1 , usando elementos do conjunto A e representando por
ai , ou a
i, o elemento que ela associa a cada nu´mero natural i. Neste texto, tal conjunto
ordenado sera´ geometricamente representado, respectivamente, pela matriz coluna [ai]
ou [ai], onde a1 ou a
1 e´ colocado na linha superior, a2 ou a
2 na linha logo abaixo da linha
superior e assim sucessivamente, ate´ am−1 ou am−1 na linha logo superior a` linha inferior
e am ou a
m na linha inferior.
Note que, embora neste texto o s´ımbolo [ai], ou [a
i], sempre indique a mencionada
matriz coluna, outras representac¸o˜es geome´tricas sa˜o poss´ıveis para o conjunto ordenado
considerado. Por exemplo, poderia ser imaginada uma representac¸a˜o sob a forma de uma
matriz linha, ou mesmo uma matriz circular, onde fosse colocado a1 ou a
1 na posic¸a˜o
em que se encontra o nu´mero doze no mostrador de um relo´gio analo´gico, seguido no
sentido hora´rio pelos demais elementos a2 ou a
2 etc., espac¸ados entre si por arcos de igual
comprimento. O que e´ significativo, portanto, e´ o conjunto ordenado, na˜o a representac¸a˜o
geome´trica por matriz coluna que foi para ele convencionada.
Seja, agora, o mesmo conjunto A e sejam os conjuntos I e J , respectivamente for-
mados pelos m e pelos n primeiros nu´meros naturais. Suponha que exista uma func¸a˜o
ordenadora φ : I × J → A tal que, ∀i ∈ I e ∀j ∈ J , tenha-se ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A,
ou φ : (i, j) 7→ a ji | a ji ∈ A, ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A, ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A,
de acordo com o s´ımbolo escolhido para a imagem de φ ser, respectivamente, ai j , a
j
i ,
ai j ou a
i j. Logo, a func¸a˜o φ cria, respectivamente, o conjunto ordenado (ai j)
m,n
i=1, j=1 ,
ou (a ji )
m,n
i=1, j=1 , ou (a
i
j)
m,n
i=1, j=1 , ou (a
i j)m,ni=1, j=1 , usando elementos do conjunto A e re-
presentando por ai j , ou a
j
i , ou a
i
j , ou a
i j , o elemento que ela associa a cada par
ordenado de nu´meros naturais (i, j). Note a convenc¸a˜o adotada, no sentido de que a
ordem esquerda/direita dos indicadores (sejam eles ı´ndices ou super´ındices), no elemento
de A associado ao par ordenado, sempre e´ a ordem esquerda/direita conforme a qual, no
par considerado, aparecem os nu´meros naturais.
Neste texto, o conjunto ordenado (ai j)
m,n
i=1, j=1 , ou (a
j
i )
m,n
i=1, j=1 , ou (a
i
j)
m,n
i=1, j=1 , ou
(ai j)m,ni=1, j=1 , sera´ geometricamente representado, respectivamente, pela matriz retangular
[ai j], ou [a
j
i ], ou [a
i
j], ou [a
i j], onde o indicador a` esquerda sinaliza a linha enquanto
que o indicador a` direita mostra a coluna, independentemente deles aparecerem como
ı´ndices ou super´ındices. Novamente, o que e´ significativo e´ o conjunto ordenado, na˜o a
representac¸a˜o geome´trica por matriz retangular que foi para ele convencionada.
Por exemplo, seja A o infinito conjunto conta´vel dos quocientes das diviso˜es de todos
os nu´meros naturais por todos os nu´meros naturais e seja a func¸a˜o φ tal que a imagem
do par ordenado (i, j) seja o quociente i/j, logo a imagem do par ordenado (j, i) seja
o quociente j/i. No caso do par ordenado (i, j), tal imagem pode ser representada por
ai j , ou a
j
i , ou a
i
j , ou a
i j . Por outro lado, se o par ordenado for (j, i), a representac¸a˜o
4
poderera´ ser aj i , ou a
i
j , ou a
j
i , ou a
j i . Note que a func¸a˜o φ foi definida de modo tal
que, nestas oito poss´ıveis representac¸o˜es da sua imagem, o indicador a` esquerda sempre
seja o numerador do quociente, independentemente dele ser ı´ndice ou super´ındice e,
tambe´m, independentemente da letra usada neste indicador ser i ou j (analogamente
para o indicador a` direita).
Escolhamos, arbitrariamente, o s´ımbolo a ji , ou seja, consideremos a
j
i = i/j. Neste
caso, a func¸a˜o φ criou o conjunto ordenado (a ji )
m,n
i=1, j=1 | a ji = i/j, geometricamente
representado pela matriz retangular [a ji ]. Como foram inclu´ıdos, como numeradores, os
nu´meros naturais desde i = 1 ate´ i = m, a matriz apresenta m linhas. Por outro lado,
foram considerados os denominadores desde j = 1 ate´ j = n, logo a matriz tem n colunas.
Mas, se de modo igualmente arbitra´rio escolhermos o s´ımbolo a ij , logo considerarmos
a ij = j/i, a func¸a˜o φ criara´ o conjunto ordenado (a
i
j )
n,m
j=1, i=1 | a ij = j/i, geometricamente
representado pela matriz retangular [a ij ]. Esta, evidentemente, apresenta n linhas e
m colunas. Note que as matrizes [a ji ] e [a
i
j ] sa˜o iguais nas suas respectivas partes
quadradas, as quais conteˆm um nu´mero l de linhas e colunas igual ao menor entre m e n,
ou seja, a ji = a
i
j | i=l, j=li=1, j=1. Mas, nas suas respectivas partes restantes, todos os elementos
de cada uma das duas matrizes sa˜o diferentes daqueles apresentados pela outra.
Isto mostra que, se m = n, enta˜o [a ji ] = [a
i
j ], o que pode confundir quem esta´ acos-
tumado a` simbologia usada nos livros dida´ticos elementares de a´lgebra matricial. Alia´s,
as representac¸o˜es [A] e [A]i j , respectivamente para uma matriz e para os elementos que
a formam, embora muito encontradas em tais livros, na˜o sa˜o usadas neste texto. De fato,
conforme a notac¸a˜o para aplicac¸a˜o de tensor a tensor 1.2.6, que sera´ posteriormente apre-
sentada,M [N ] indicara´ a aplicac¸a˜o do tensor representado porM ao tensor representado
N , logo na˜o indicara´ que [N ] seja uma matriz (para evidenciar o contraste, o s´ımbolo ·[·]
foi inclu´ıdo imediatamente apo´s a`quele de matriz, [·], na notac¸a˜o para s´ımbolos 1.1.1).
A diferenc¸a entre a simbologia usada neste texto e aquela que aparece nos livros
dida´ticos elementares de a´lgebra matricial deve-se ao fato de que os mencionados livros
usam s´ımbolos adequados a um conceito de matriz semelhante ao de uma tabela, en-
quanto que o conceito de matriz apresentado no presente texto ressalta a ac¸a˜o da func¸a˜o
ordenadora φ e, por isto, utiliza uma simbologia mais coerente com este enfoque. Cabe,
ainda, lembrar que, ao se representar um conjunto ordenado, na˜o e´ exigido que se informeo valor final assumido por cada um dos indicadores. Logo, sa˜o absolutamente corretas,
por exemplo, as representac¸o˜es simplificadas (ai), ao inve´s de (ai)
m
i=1 e (a
j
i ), ao inve´s
de (a ji )
m,n
i=1, j=1.
Conforme ja´ afirmado, o indicador a` esquerda (ou a` direita), na representac¸a˜o es-
colhida para o elemento do conjunto A, em geral tem algum outro significado especial
ale´m de, na forma matricial, fornecer a linha (ou a coluna) a que o elemento pertence.
No exemplo anterior, o significado especial era ser o valor do numerador do quociente,
independentemente de qual fosse a letra usada para simbolizar tal valor e, tambe´m, in-
dependentemente deste indicador ser um ı´ndice ou um super´ındice. Pore´m, o significado
especial pode, tambe´m, determinar se o indicador e´ ı´ndice ou super´ındice, conforme,
por exemplo, sera´ mostrado na definic¸a˜o de componente associado de tensor de segunda
ordem 1.2.15.
5
No exemplo anterior, se i fosse o numerador e j o denominador do quociente, i se-
ria a letra usada no indicador a` esquerda e j naquele da direita, logo o par ordenado
seria (i, j). Ao se trocar (i, j) por (j, i), se troca ana´loga na˜o fosse efetuada no quoci-
ente a func¸a˜o ordenadora, φ, seria transformada na func¸a˜o ordenadora
T
φ, a qual sera´
apresentada na definic¸a˜o de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Esta troca de func¸o˜es
ordenadoras produziria
T
a
i
j = a
j
i |m,ni=1, j=1 , ao inve´s de a ij = a ji | i=l, j=li=1, j=1 . De um modo
geral, as letras usadas nos dois indicadores aparecem em diversas expresso˜es envolvidas
no desenvolvimento matema´tico ao qual a matriz se relaciona e, ao se trocar (i, j) por
(j, i), para se obter a ij = a
j
i | i=l, j=li=1, j=1 troca ana´loga deve ser efetuada em tais expresso˜es.
Se for esquecida a necessa´ria troca em alguma das expresso˜es envolvidas, provavelmente
um erro grave sera´ cometido. Aconselha-se, enta˜o, muita cautela no uso de igualdades,
para m = n, do tipo [a ji ] = [a
i
j ].
Definic¸a˜o 1.1.3 (Delta de Kronecker) O delta de Kronecker, representado por
δij , δ
j
i , δi j ou δ
i j, e´ um real nulo sempre que i 6= j, mas igual a` unidade se i =
j. Entretanto, pressupo˜e-se que as possibilidades de igualdade e desigualdade entre os
indicadores i e j se refiram a`s grandezas que estes indicadores representam, o que cria
a exigeˆncia de que as mencionadas grandezas sejam compara´veis, na teoria considerada.
Em geral, a satisfac¸a˜o desta exigeˆncia e´ subentendida, mas em alguns casos pode ser
conveniente explicita´-la, como por exemplo na definic¸a˜o de matrizes transposta e inversa
1.1.4. E´ evidente que o fato dos indicadores serem ı´ndices ou super´ındices, ou mesmo
estarem a` esquerda ou a` direita, na˜o afeta o valor do delta de Kronecker, ao contra´rio
do que, por exemplo, sera´ mostrado na definic¸a˜o de componente associado de tensor de
segunda ordem 1.2.15.
Definic¸a˜o 1.1.4 (Matrizes Transposta e Inversa) Seja um conjunto A e sejam os
conjuntos I e J , respectivamente formados pelos m e pelos n primeiros inteiros positivos.
Suponha que exista uma func¸a˜o φ : I × J → A tal que, ∀i ∈ I e ∀j ∈ J , tenha-se
φ : (i, j) 7→ a ji | a ji ∈ A. Suponha, tambe´m, que exista uma outra func¸a˜o
T
φ: J × I → A
tal que, ∀j ∈ J e ∀i ∈ I, tenha-se Tφ: (j, i) 7→Ta
i
j |
T
a
i
j = a
j
i . Enquanto a func¸a˜o φ
cria o conjunto ordenado (a ji )
m,n
i=1, j=1 , a func¸a˜o
T
φ cria o conjunto ordenado
(
T
a
i
j
)n,m
j=1, i=1
,
sendo o primeiro conjunto geometricamente representado pela matriz retangular [a ji ] e o
segundo pela matriz retangular
[
T
a
i
j
]
. A matriz [a ji ] tem m linhas e n colunas, enquanto
que a matriz
[
T
a
i
j
]
apresenta n linhas e m colunas. Define-se [a ji ]
T ≡
[
T
a
i
j
]
, sendo [a ji ]
T
denominada a transposta da matriz [a ji ].
Note que, embora tanto [a ji ]
T quanto [a ij ] apresentem n linhas e m colunas, [a
j
i ]
T 6=
[a ij ]. De fato, conforme colocado na definic¸a˜o 1.1.2, [a
j
i ] e [a
i
j ] sa˜o iguais nas suas
respectivas partes quadradas, mas nas suas respectivas partes restantes todos os elemen-
tos de cada uma das duas matrizes sa˜o diferentes daqueles apresentados pela outra. Ao
contra´rio, [a ji ] e [a
j
i ]
T na˜o sa˜o iguais nas suas respectivas partes quadradas, mas to-
dos os elementos de [a ji ] esta˜o presentes em [a
j
i ]
T e v.v. Note, ainda, que esta na˜o
e´ a definic¸a˜o de transformac¸a˜o linear transposta, que sera´ apresentada posteriormente
6
(definic¸a˜o 1.2.17). A partir deste ponto do texto e ate´ ao final desta definic¸a˜o 1.1.4,
imponha m = n. Assim sendo, se [a ji ] = [a
j
i ]
T a matriz e´ dita sime´trica, enquanto
que, se [a ji ] = −[a ji ]T , a matriz e´ chamada antissime´trica.
A matriz inversa de [a ji ], grafada [a
j
i ]
−1 e definida de modo a que [a ji ]
−1[a ji ] =
[a ji ][a
j
i ]
−1 = [1], onde [1] e´ a matriz unidade, corresponde a um ordenamento de ele-
mentos do conjunto A produzido pela func¸a˜o
−1
φ : J × I → A tal que, ∀j ∈ J e ∀i ∈ I,
tenha-se
−1
φ : (j, i) 7→−1a
i
j |
(
−1
a
i
j a
k
i = δ
k
j , a
j
k
−1
a
i
j = δ
i
k
)
, portanto [a ji ]
−1 ≡
[
−1
a
i
j
]
.
Esta colocac¸a˜o explicita a exigeˆncia de que o conjunto A contenha tanto os elementos
a ji , quanto os elementos
−1
a
i
j . Note que, como
T
a
i
j = a
j
i , os elementos de [a
j
i ] e [a
j
i ]
T
sa˜o os mesmos, logo e´ suficiente que [a ji ] exista para que [a
j
i ]
T exista. Por outro lado,
na˜o e´ suficiente que [a ji ] exista para que [a
j
i ]
−1 exista, porque na˜o ha´ garantia alguma
de que existam os elementos
−1
a
i
j , logo, de que exista algum conjunto A que contenha
tanto os elementos a ji , quanto os elementos
−1
a
i
j . A matriz [a
j
i ] e´ dita singular quando
[a ji ]
−1 na˜o existir e e´ dita ortogonal quando [a ji ]
T = [a ji ]
−1.
A escolha da matriz [a ji ] foi totalmente arbitra´ria. Semelhantemente ao que foi
apresentado para transposic¸a˜o, simetria, antissimetria, inversa˜o, singularidade e ortogo-
nalidade da matriz [a ji ], definem-se transposic¸o˜es, simetrias, antissimetrias, inverso˜es,
singularidades e ortogonalidades das matrizes [ai j], [a
i
j] e [a
i j]. De acordo com a de-
finic¸a˜o de matriz 1.1.2, o indicador a` esquerda (ou a` direita) na representac¸a˜o escolhida
para o elemento do conjunto A, independentemente deste indicador ser um ı´ndice ou um
super´ındice e, tambe´m, independentemente de qual seja a letra usada para simbolizar o
seu valor, em geral tal indicador tem algum outro significado especial ale´m de, na repre-
sentac¸a˜o matricial, indicar a linha (ou a coluna) a que pertence o elemento. De fato, no
exemplo fornecido pela definic¸a˜o 1.1.2, o significado especial do indicador a` esquerda era
referir-se ao numerador do quociente.
Deve-se ressaltar que as definic¸o˜es apresentadas para matriz transposta e para matriz
inversa, respectivamente
T
a
i
j = a
j
i e
(
−1
a
i
j a
k
i = δ
k
j , a
j
k
−1
a
i
j = δ
i
k
)
, indicam que, ao
se efetuar a transposic¸a˜o ou a inversa˜o, os mencionados significados especiais dos dois
indicadores sa˜o trocados entre si. No caso da primeira igualdade, para matriz transposta,
a troca e´ evidente. No caso das u´ltimas duas igualdades, para evidenciar a troca faz-se
necessa´rio informar que a definic¸a˜o de matriz inversa subentende que sejam considerados
compara´veis, em termos de δ kj e δ
i
k (veja a definic¸a˜o de delta de Kronecker 1.1.3),
somente indicadores que apresentem o mesmo significado especial. Define-se, ainda, a
matriz inversa transposta [a ji ]
−T ≡
[
−T
a
j
i
]=
[
−1
a
i
j
]T
=
[
T
a
i
j
]−1
, cujos significa-
dos especiais dos dois indicadores sa˜o os mesmos da matriz original. Evidentemente,
definic¸o˜es ana´logas existem para as matrizes [ai j], [a
i
j] e [a
i j].
7
1.2 A´lgebra Linear
1.2.1 Espac¸o Vetorial
Definic¸a˜o 1.2.1 (Espac¸o Vetorial Real) Um espac¸o vetorial real V e´ um conjunto
que dispo˜e de duas operac¸o˜es:
I. v+ u ∈ V se v ∈ V e u ∈ V (adic¸a˜o) e
II. αv ∈ V se v ∈ V e α ∈ < (multiplicac¸a˜o escalar),
as quais satisfazem as seguintes regras: ∀(u,v,w) ∈ V e ∀(α, β) ∈ <,
1. v+ u = u+ v (comutatividade da adic¸a˜o).
2. v+ (u+w) = (u+ v) +w (associatividade da adic¸a˜o).
3. ∃0 ∈ V tal que v+0 = v, chamado vetor nulo e representado do mesmo modo que
o escalar nulo, este u´ltimo denominado zero (definic¸a˜o do vetor nulo).
4. ∀v ∈ V ∃ − v ∈ V tal que v+ (−v) = 0 (operacionalidade da adic¸a˜o).
5. α(βv) = (αβ)v (associatividade escalar da multiplicac¸a˜o escalar).
6. (α+ β)v = αv+ βv (distributividade escalar da multiplicac¸a˜o escalar).
7. α(v+ u) = αv+ αu (distributividade vetorial da multiplicac¸a˜o escalar).
8. 1v = v, onde 1 e´ o escalar um (operacionalidade da multiplicac¸a˜o escalar).
Usando o conceito de diferenc¸a entre nu´meros reais, e´ estabelecido o conceito de conti-
nuidade em <. Logo, a operac¸a˜o multiplicac¸a˜o escalar implica em que qualquer espac¸o
vetorial real contenha infinitos vetores, sendo cont´ınua a variac¸a˜o entre eles. Estabelece-
se, assim, o conceito de continuidade em espac¸o vetorial. Note ainda que, de acordo
com a presente definic¸a˜o, < e´ um espac¸o vetorial.
Definic¸a˜o 1.2.2 (Base) Um conjunto de vetores (ci)
n
i=1 e´ denominado uma base do
espac¸o vetorial real V se e somente se
∀a1 , . . . , an ∈ <, se a1c1 + . . .+ ancn = 0 enta˜o a1 = . . . = an = 0, logo,
(1) ha´ independeˆncia linear entre os elementos de (ci)
n
i=1 e
∀u ∈ V tem-se u1c1 + . . .+ uncn = u, onde u1, . . . , un ∈ <, logo,
(2) o conjunto ordenado (ci)
n
i=1 abrange o espac¸o V .
Neste texto, os vetores de base sera˜o representados por ci ∈ (ci)ni=1 ou di ∈ (di)ni=1 .
Perceba que, ao contra´rio do que ocorre com o indicador i = 1, . . . , n, o uso subentendido
da notac¸a˜o de Einstein 1.1.2 na˜o implica em que uncn seja um somato´rio, porque n
apresenta um u´nico valor.
8
Definic¸a˜o 1.2.3 (Componente) De acordo com a definic¸a˜o de base 1.2.2, se (ci)
n
i=1
for uma base de V e u ∈ V , enta˜o u = uici . Cada elemento ui ∈ (ui)ni=1 , denominado
componente de u, e´ bem definido em relac¸a˜o a` base (ci)
n
i=1 .
Definic¸a˜o 1.2.4 (Dimensa˜o de Espac¸o Vetorial Real) Um espac¸o vetorial real
pode ter muitas bases, mas todas elas conte´m o mesmo nu´mero de elementos. Tal nu´mero
e´ chamado dimensa˜o, cuja representac¸a˜o e´ dim. Note que, mesmo que na˜o se trate da
dimensa˜o de um espac¸o vetorial real, mas sim da dimensa˜o de alguma outra grandeza, o
s´ımbolo e´ este. Por exemplo, se (ci)
n
i=1 for uma base de V , enta˜o dimV = n. Neste texto
somente sera˜o considerados espac¸os vetoriais reais de dimensa˜o finita.
1.2.2 Produto Interno de Vetores
Definic¸a˜o 1.2.5 (Produto Interno de Vetores) O produto interno e´ uma func¸a˜o
g : V × V → < com as seguintes propriedades: ∀u,v,w ∈ V e ∀α ∈ <,
1. g(u,v) = g(v,u) (simetria),
2. g(u+αv,w) = g(u,w)+αg(v,w) (por causa da simetria, bilinearidade, ao inve´s
de apenas linearidade, de acordo com a definic¸a˜o 1.2.10, adiante),
3. g(u,u) > 0 se u 6= 0 (definic¸a˜o positiva).
Comenta´rio 1.2.1 (Espac¸o Vetorial Real com Produto Interno) Um espac¸o ve-
torial para o qual exista uma func¸a˜o g : V × V → < bilinear, sime´trica e de definic¸a˜o
positiva e´ denominado espac¸o vetorial com produto interno. Neste texto sera˜o conside-
rados apenas espac¸os vetoriais reais com produtos internos.
Definic¸a˜o 1.2.6 (Espac¸o Vetorial Euclideano) De acordo com a definic¸a˜o de pro-
duto interno 1.2.5, o produto interno e´ qualquer func¸a˜o g : V ×V → < bilinear, sime´trica
e de definic¸a˜o positiva. Se existir uma u´nica e bem determinada, entre tais func¸o˜es, por
meio da qual ∀u ∈ V , sendo V um espac¸o vetorial real de dimensa˜o finita e com pro-
duto interno, se defina a norma |u| = √u · u, a imagem de tal func¸a˜o espec´ıfica sera´
representada por u · v, ao inve´s de g(u,v), conforme ja´ mostra a pro´pria definic¸a˜o
de norma. Neste caso, V sera´ um espac¸o vetorial euclideano. Num espac¸o vetorial
euclideano pode-se considerar qualquer vetor como um objeto de comprimento bem
definido, comprimento este dado pela norma do vetor considerado. Note que, como na˜o
ha´ restric¸a˜o quanto ao nu´mero finito de dimenso˜es, a palavra comprimento tem, aqui, um
significado generalizado em relac¸a˜o ao usual. Se |u| = 1, u e´ chamado vetor unidade,
o qual e´ representado por e.
Comenta´rio 1.2.2 (Imposic¸a˜o aos Espac¸os Vetoriais) A partir deste ponto do tex-
to, sera´ subentendida a imposic¸a˜o de que todo espac¸o vetorial e´ euclideano.
Definic¸a˜o 1.2.7 (Vetor Projec¸a˜o) Sendo u,v ∈ V ambos na˜o nulos, para a espec´ıfica
func¸a˜o produto interno que, de acordo com a definic¸a˜o de espac¸o euclideano 1.2.6, define a
norma, define-se tambe´m o aˆngulo θ(u,v), entre u e v, por meio de f(θ) = u ·v/(|u||v|),
onde exige-se obedieˆncia a` desigualdade de Schwarz |u · v| ≤ |u||v|, o que garante ser
9
|f(θ)| ≤ 1. Note que esta definic¸a˜o da func¸a˜o f na˜o precisa coincidir com a definic¸a˜o da
func¸a˜o cos. Mas, sempre que esta coincideˆncia ocorrer, para que exista a func¸a˜o arccos
impo˜e-se, adicionalmente, que 0 ≤ θ ≤ pi. Sera´ subentendido, a partir deste ponto do
texto, que f = cos e que 0 ≤ θ ≤ pi, o que corresponde a` definic¸a˜o comum do aˆngulo
plano θ.
Os vetores u e v sa˜o ortogonais se u · v = 0, logo cos θ = 0 e θ = pi/2. Todo
vetor apresenta um bem definido aˆngulo em relac¸a˜o a cada um dos vetores c1 , . . . , cn
de qualquer base (definic¸a˜o de base 1.2.2) bem determinada do espac¸o considerado. O
conjunto destes aˆngulos define a direc¸a˜o do vetor, em relac¸a˜o a` base considerada. Note
que, como θ(u,v) ∈ [0, pi], neste texto a direc¸a˜o, em relac¸a˜o a determinada base, inclui
tambe´m o sentido (para um lado, ou para o lado oposto ao primeiro). Entretanto,
a direc¸a˜o e´ considerada uma caracter´ıstica do vetor, assim como a sua norma. Em
outras palavras, dado um vetor e duas poss´ıveis bases do espac¸o considerado, os dois
correspondentes conjuntos de aˆngulos indicam a mesma direc¸a˜o do vetor.
Note ainda que, como na˜o ha´ restric¸a˜o quanto ao nu´mero finito de dimenso˜es, a
palavra direc¸a˜o apresenta, aqui, um significado generalizado em relac¸a˜o ao usual. A
projec¸a˜o do vetor v sobre o vetor u e´ dada por v · u/|u| = |v| cos θ(u,v). Considera-se
que e = u/|u| e´ o vetor unidade na direc¸a˜o de u e que (v · e)e = |v| cos θ(u,v)e e´ o
vetor projec¸a˜o de v na direc¸a˜o de u.
Comenta´rio 1.2.3 (Igualdade Entre Vetores) As definic¸o˜es de espac¸o vetorial eu-
clideano 1.2.6 e de vetor projec¸a˜o 1.2.7 indicam que todo vetor e´ completamente caracte-
rizado por sua norma e sua direc¸a˜o. Logo, dois vetores iguais apresentam iguais normas
e iguais direc¸o˜es.
Notac¸a˜o 1.2.1 (Produto Interno de Vetores de Base gi j) Sera´ usada a represen-
tac¸a˜o gi j = ci · cj , onde (ci , cj) ∈ (ck)nk=1 , sendo (ck)nk=1 uma base de V , de acordo com
a definic¸a˜o de base 1.2.2. Usando a definic¸a˜o de produto interno 1.2.5, tem-se gi j = gj i .
Comenta´rio 1.2.4 (Decomposic¸a˜o do Produto Interno de Vetores) De acordo
com a definic¸a˜o de componente 1.2.3 e com a notac¸a˜o para produto interno de vetores
de base 1.2.1, se (ci)
n
i=1 for uma base de V (definic¸a˜o de base 1.2.2) e u,w ∈ V , enta˜o
u = uici , w = w
jcj e u·w = gi juiwj, que e´ a decomposic¸a˜o do produto interno de
vetores (de acordo com a notac¸a˜o de Einstein 1.1.2, a primeira igualdadesubentende um
somato´rio em i, logo subentende n termos no segundo membro, a segunda um somato´rio
em j, logo tambe´m subentende n termos no segundo membro, enquanto que a terceira
igualdade subentende um somato´rio em i e um em j, logo n2 termos no segundo membro).
1.2.3 Base Dual
Comenta´rio 1.2.5 (Obtenc¸a˜o de Componente) Seja (ci)
n
i=1 uma base de V . Neces-
sariamente existe um vetor c1 na˜o nulo e ortogonal a todos os vetores ci ∈ (cj)nj=2 . Se a
projec¸a˜o (definic¸a˜o de vetor projec¸a˜o 1.2.7) de c1 sobre o vetor c1 for bem determinada,
enta˜o c1 sera´ bem determinado. Pode-se, portanto, construir um conjunto de vetores
(ci)ni=1 tal que c
i · cj = δij (ou ci · cj = δ ij , porque a comutatividade do produto interno
torna indiferente usar δij ou δ
i
j ). Note que esta u´ltima igualdade indica que o aˆngulo θ
entre ci e ci satisfaz a` desigualdade 0 ≤ θ < pi/2 e, tambe´m, que a projec¸a˜o de cada um
10
destes dois vetores, sobre o outro, e´ o inverso da norma deste outro.
De acordo com a definic¸a˜o de base 1.2.2, ∀u ∈ V tem-se ujcj = u, logo ci · u =
δiju
j = ui. Portanto, de acordo com a definic¸a˜o de componente 1.2.3, obte´m-se o i-
e´simo componente de u na base (ci)
n
i=1 efetuando o produto interno dos vetores u e
ci. Conve´m ressaltar a diferenc¸a entre este procedimento para obtenc¸a˜o de componente,
va´lido para uma base qualquer, em relac¸a˜o ao procedimento mais conhecido, pore´m
va´lido exclusivamente para base ortonormal. O comenta´rio 1.2.7, adiante, esclarecera´ a
coereˆncia entre os dois procedimentos.
Definic¸a˜o 1.2.8 (Base Dual) Seja:
1. A combinac¸a˜o linear aic
i = 0, logo (aic
i) · cj = 0, ou aiδij = 0, portanto aj = 0.
Enta˜o, aic
i = 0 se e somente se ai = 0 para i = 1, . . . , n, logo os vetores (c
i)ni=1 sa˜o
linearmente independentes.
2. As decomposic¸o˜es (u = uici ,w = w
jcj) ∈ V . Enta˜o, de acordo com a notac¸a˜o gi j
para produto interno de vetores de base 1.2.1, u ·w = gi juiwj = gi juicj ·w, o que
indica que u = gi ju
icj. Portanto, u e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores presentes
no conjunto (ci)ni=1.
De acordo com os anteriores itens 1 e 2 e com a definic¸a˜o de base 1.2.2, se (ci)
n
i=1
for uma base de V , enta˜o (ci)ni=1 tambe´m sera´ uma base de V . Se (ci)
n
i=1 e (c
i)ni=1
forem duas bases de V relacionadas entre si pela expressa˜o ci · cj = δij , elas formam
um par de bases duais, ou uma e´ a base dual da outra. Portanto, se u ∈ V , enta˜o
u = uici = uic
i, onde ui = gi ju
j, de acordo com o item 2 e lembrando que gi j =
gj i (notac¸a˜o 1.2.1). O componente u
i de u (definic¸a˜o de componente 1.2.3) passa a
ser chamado componente contravariante de u, enquanto que o componente ui sera´
chamado componente covariante de u. Evidentemente, e´ arbitra´ria a escolha de qual
componente e´ covariante e qual e´ contravariante.
Comenta´rio 1.2.6 (Func¸o˜es gi j e g
i j) Toda base apresenta sua base dual, cada uma
delas bem determinada a partir da outra. Assim como, ∀u ∈ V , e´ arbitra´ria a escolha de
qual base corresponde aos componentes covariantes e qual aos componentes contravari-
antes de u, as expresso˜es matema´ticas referentes a cada uma, de um par de bases duais,
sa˜o ana´logas a`s expresso˜es referentes a` outra. Tem-se, enta˜o, utilizando o comenta´rio
sobre obtenc¸a˜o de componente 1.2.5 na primeira linha, a definic¸a˜o de base dual 1.2.8 na
segunda e a notac¸a˜o gi j para produto interno de vetores de base 1.2.1 na terceira:
ui = ci · u e ui = ci · u, onde
ui = gi ju
j e ui = gi juj , sendo
gi j = ci · cj e gi j = ci · cj.
Note que, de acordo com a segunda linha de equac¸o˜es, as duas func¸o˜es gi j : u
j 7→ ui e
gi j : uj 7→ ui permitem, respectivamente, abaixar e levantar o ı´ndice dos componentes
de u. Usando esta segunda linha, pode-se escrever
u = uici = g
i jujci = ujc
j, logo cj = gi jci e
u = uic
i = gi ju
jci = ujcj , logo cj = gi jc
i,
11
o que mostra que estas func¸o˜es tambe´m permitem transformar qualquer base na sua base
dual. Usando estas u´ltimas equac¸o˜es tem-se
ci = gi jcj = g
i jgj kc
k = δikc
k, ou gi jgj k = δ
i
k .
Notac¸a˜o 1.2.2 (Base Dual) Representando por β uma base, sua base dual sera´ re-
presentada β∗.
Definic¸a˜o 1.2.9 (Base Ortonormal) Uma base e´ dita ortogonal se ci ·cj = 0 quando
i 6= j. Uma base e´ dita ortonormal se, ale´m disto, | ci| = 1 ∀i. Neste u´ltimo caso, de
acordo com a definic¸a˜o de espac¸o vetorial euclideano 1.2.6, os vetores da base sera˜o
representados ei , para i = 1, . . . , n.
Comenta´rio 1.2.7 (Base Ortonormal Dual) De acordo com a notac¸a˜o gi j para pro-
duto interno de vetores de base 1.2.1 e com as definic¸o˜es de delta de Kronecker 1.1.3 e
de base ortonormal 1.2.9, numa base ortonormal gi j = δi j. Usando esta igualdade e a
tranformac¸a˜o entre bases duais apresentada no comenta´rio 1.2.6, sobre func¸o˜es gi j e g
i j,
tem-se ej = gi je
i = δi je
i = ej, ∀j. Portanto, uma base ortonormal e´ ideˆntica a` sua
base dual. Logo, numa base ortonormal na˜o existe distinc¸a˜o entre componentes contra-
variantes e covariantes, todos os ı´ndices podem ser escritos no mesmo n´ıvel e obte´m-se o
i-e´simo componente de u efetuando o produto interno dos vetores ei e u.
1.2.4 Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem
Definic¸a˜o 1.2.10 (Transformac¸a˜o n-Linear) A func¸a˜o T : U → V e´ chamada de
transformac¸a˜o linear do espac¸o vetorial U para o espac¸o vetorial V se, ∀(u,w) ∈ U e ∀α ∈
<, T (u+ αw) = T (u) + αT (w). A func¸a˜o T : U × U → V e´ chamada de transformac¸a˜o
bilinear do espac¸o vetorial U para o espac¸o vetorial V se, ∀(u1,u2,w) ∈ U e ∀α ∈ <,
T (u1 + αw,u2) = T (u1,u2) + αT (w,u2) e T (u1,u2 + αw) = T (u1,u2) + αT (u1,w).
Se, entre estas duas igualdades, apenas uma for va´lida, a transformac¸a˜o somente sera´
linear em relac¸a˜o a` espec´ıfica varia´vel que sofre combinac¸a˜o linear na expressa˜o va´lida.
Por isto, toda transformac¸a˜o bilinear e´ uma transformac¸a˜o linear T : U × U → V , mas
o vice-versa na˜o e´ verdade.
Analogamente, uma transformac¸a˜o n-linear T : Un → V , do espac¸o vetorial U
para o espac¸o vetorial V , ocorre quando, ∀(u1,u2, . . . ,un,w) ∈ U e ∀α ∈ <, tem-se
T (u1, . . . ,ui + αw, . . . ,un) = T (u1, . . . ,ui, . . . ,un) + αT (u1, . . . ,w, . . . ,un), para i =
1, . . . , n. Para n ≥ 2, toda transformac¸a˜o n-linear e´ uma transformac¸a˜o (n − 1)-linear
T : Un → V , mas o vice-versa na˜o e´ verdade. A transformac¸a˜o linear aqui apresentada e´
uma func¸a˜o (de imagem) vetorial. Lembrando que, de acordo com a definic¸a˜o de espac¸o
vetorial 1.1.1, < e´ um espac¸o vetorial, a presente definic¸a˜o engloba, como caso particular,
a transformac¸a˜o n-linear escalar T : Un → <.
Notac¸a˜o 1.2.3 (Espac¸o de Transformac¸a˜o Linear) O conjunto formado por todas
as transformac¸o˜es lineares do espac¸o vetorial U para o espac¸o vetorial V e´ um espac¸o
de transformac¸a˜o linear representado por L(U, V ) = {T : U → V |T e´ linear}.
12
Definic¸a˜o 1.2.11 (Espac¸o Vetorial de Transformac¸a˜o Linear) A definic¸a˜o de es-
pac¸o vetorial real 1.2.1 e a notac¸a˜o de espac¸o de tranformac¸a˜o linear 1.2.3 mostram que
L(U, V ) sera´ um espac¸o vetorial de transformac¸a˜o linear se e somente se, neste
conjunto, forem definidas as operac¸o˜es adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o escalar e tais operac¸o˜es
satisfizerem as regras enumeradas de 1 a 8 na definic¸a˜o 1.2.1. Para que isto ocorra e´
suficiente que, para (T, S) ∈ L(U, V ) e α ∈ < , ∀w ∈ U :
1. (T + S)(w) = T (w) + S(w) (definic¸a˜o de adic¸a˜o de transformac¸o˜es lineares) e
2. (αT )(w) = αT (w) (definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de transformac¸a˜o linear por um
escalar).
Definic¸a˜o 1.2.12 (Produto Tensorial de Vetores ou Tensor Simples) ∀v ∈ V e
∀u ∈ U , o produto tensorial de v por u, representado por v ⊗ u e´, por definic¸a˜o,
uma transformac¸a˜olinear de U para V tal que, ∀w ∈ U , (v ⊗ u)(w) = (u · w)v. A
transformac¸a˜o linear produto tensorial de dois vetores, representada v⊗u, e´ tambe´m de-
nominada tensor simples. Portanto, um tensor simples e´ uma espec´ıfica transformac¸a˜o
linear de um espac¸o vetorial para outro.
Teorema 1.2.1 (Base de Espac¸o Vetorial de Transformac¸a˜o Linear) Se (ci)
n
i=1
e (dα)
m
α=1 forem bases de V e U respectivamente, o conjunto (ci ⊗ dα)n mi=1α=1 sera´ uma
base do espac¸o vetorial de transformac¸a˜o linear L(U, V ) apresentado na definic¸a˜o 1.2.11.
Demonstrac¸a˜o: Seja (ci)ni=1 a base dual de (ci)
n
i=1 , (d
α)mα=1 a base dual de (dα)
m
α=1 e
ai α ∈ < um escalar. Sejam, tambe´m, as operac¸o˜es adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
apresentadas na definic¸a˜o de espac¸o vetorial de transformac¸a˜o linear 1.2.11. Se ai αci ⊗
dα = 0 enta˜o, usando as definic¸o˜es de produto tensorial 1.2.12 e de base dual 1.2.8,
tem-se ai α(ci ⊗ dα)(dβ) = ai α(dα · dβ)ci = ai αδ βα ci = ai βci = 0, o que implica em
ai α = 0, para i = 1, . . . , n e α = 1, . . . ,m, porque (ci)
n
i=1 e´ uma base (definic¸a˜o de base
1.2.2). Portanto, (ci⊗dα)n mi=1α=1 e´ um conjunto de elementos linearmente independentes
entre si. Ale´m disto, seja ci · T (dα) = T i α, ∀T ∈ L(U, V ). Enta˜o, ∀v ∈ V e ∀u ∈ U ,
v·T (u) = vici·T (uαdα) = viuαci·T (dα) = T i αviuα . Por outro lado, v·(ci⊗dα)(u) = vjcj·
(ci⊗dα)(uβdβ) = vjuβ(cj · ci)(dβ ·dα) = vjuβδjiδβα = viuα . Substituindo este resultado
na igualdade anterior tem-se v ·T (u) = T i αv · (ci⊗dα)(u), logo T (u) = T i α(ci⊗dα)(u).
Portanto, (ci⊗dα)n mi=1α=1 abrange o espac¸o L(U, V ). Logo, de acordo com a definic¸a˜o de
base 1.2.2, (ci ⊗ dα)n mi=1α=1 e´ uma base de L(U, V ). 2
Comenta´rio 1.2.8 (Decomposic¸a˜o de Transformac¸a˜o Linear) O teorema 1.2.1
(base de espac¸o vetorial de transformac¸a˜o linear) mostra que, embora nem toda trans-
formac¸a˜o linear entre espac¸os vetoriais seja um tensor simples (definic¸a˜o de produto
tensorial 1.2.12), toda transformac¸a˜o linear entre espac¸os vetoriais e´ uma combinac¸a˜o
linear de tensores simples.
Comenta´rio 1.2.9 (Dimensa˜o de Espac¸o de Transformac¸a˜o Linear) De acordo
com o teorema 1.2.1 (base de espac¸o vetorial de transformac¸a˜o linear) e a definic¸a˜o de di-
mensa˜o 1.2.4, dim(ci⊗dα)n mi=1α=1 = (dimV )(dimU), logo dimL(U, V ) = (dimV )(dimU).
13
Definic¸a˜o 1.2.13 (Espac¸o de Produto Tensorial) Sempre que o espac¸o de trans-
formac¸a˜o linear representado, de acordo com a notac¸a˜o 1.2.3, por L(U, V ) = {T : U →
V |T e´ linear} for, de acordo com a definic¸a˜o 1.2.11, um espac¸o vetorial de transformac¸a˜o
linear, L(U, V ) podera´ optativamente ser denominado espac¸o de produto tensorial
de V por U e ser representado por V ⊗ U , ou seja, ter-se-a´ L(U, V ) = V ⊗ U . Sua
base (ci ⊗ dα)n mi=1α=1 , onde (ci)ni=1 e (d)mα=1 sa˜o bases de V e U respectivamente, sera´
chamada uma base produto de V ⊗U . Evidentemente, (ci⊗dα)n mi=1α=1 , (ci⊗dα)n mi=1α=1
e (ci ⊗ dα)n mi=1α=1 tambe´m sa˜o bases produto de V ⊗ U .
Definic¸a˜o 1.2.14 (Tensor de Segunda Ordem) Toda transformac¸a˜o linear T no es-
pac¸o de produto tensorial V ⊗V (definic¸a˜o 1.2.13) e´ denominada um tensor de segunda
ordem.
Definic¸a˜o 1.2.15 (Componente Assoc. de Tensor de Segunda Ordem) Sejam
(ci) e (c
i) um par de bases duais de V . Enta˜o, um tensor de segunda ordem T no
espac¸o de produto tensorial V ⊗V pode ser representado em termos de qualquer uma en-
tre as quatro bases produto (ci⊗cj ), (ci⊗cj), (ci⊗cj) e (ci⊗cj), de V ⊗V . Geralmente,
os componentes de T associados a uma destas bases diferira˜o dos componentes associados
a`s outras, usando-se a simbologia T = T i j ci⊗cj = T ij ci⊗cj = T ji ci⊗cj = Ti j ci⊗cj,
onde os escalares T i j, T ij , T
j
i e Ti j sa˜o os componentes associados de T . O com-
ponente associado contravariante e´ T i j , o componente associado covariante e´ Ti j ,
enquanto que T ij e T
j
i sa˜o componentes associados mistos. E´ importante distinguir
na˜o apenas o n´ıvel (em cima ou em baixo) mas tambe´m a posic¸a˜o relativa (a` direita ou a`
esquerda) dos ı´ndices e super´ındices dos componentes de T . De fato, em geral T ij 6= T ij .
Note que, no teorema 1.2.1 (base de espac¸o vetorial de transformac¸a˜o linear), para
T ∈ L(U, V ), L(U, V ) = V ⊗U (definic¸a˜o de espac¸o de produto tensorial 1.2.13), u ∈ U ,
(ci) uma base de V e (dα) uma base de U , considerou-se T (u) = T
i α(ci⊗dα)(u).Houve,
portanto, coereˆncia com a simbologia aqui adotada para componente associado de tensor
de segunda ordem. Entretanto, tomou-se o cuidado de substituir a letra c, com ı´ndice em
letra romana, pela letra d, com ı´ndice em letra grega, para sublinhar que tratava-se de
bases de espac¸os vetoriais diferentes, ao contra´rio do que ocorre com o tensor de segunda
ordem (definic¸a˜o de tensor de segunda ordem 1.2.14).
Comenta´rio 1.2.10 (Ca´lculo de Componente Assoc. de Tensor) Sejam (ci) e
(ci) um par de bases duais de V e seja T um tensor de segunda ordem no espac¸o de
produto tensorial V ⊗ V . Enta˜o, T i j = ci · T (cj), T ij = ci · T (cj ), T ji = ci · T (cj) e
Ti j = ci · T (cj ). De fato, cm · T (cn) = cm · (T i j ci ⊗ cj)(cn) = T i j(ci · cm)(cj · cn) =
T i jδ mi δ
n
j = T
mn, onde usaram-se seguidamente as definic¸o˜es de componente associado
de tensor de segunda ordem 1.2.15 (primeira igualdade), produto tensorial 1.2.12 (se-
gunda igualdade) e base dual 1.2.8 (terceira igualdade). Analogamente para T ij , T
j
i e
Ti j. E´ importante notar que o indicador a` direita, em T
i j, T ij , T
j
i e Ti j , e´ sempre o
vetor da direita no tensor simples pertencente ao conjunto de base, que tambe´m e´ o vetor
ao qual e´ aplicada a transformac¸a˜o T , na expressa˜o para o ca´lculo do componente de T
associado a` base considerada.
14
Note que, no teorema 1.2.1 (base de espac¸o vetorial de transformac¸a˜o linear), para
T ∈ L(U, V ), L(U, V ) = V ⊗U (definic¸a˜o de espac¸o de produto tensorial 1.2.13), u ∈ U ,
(ci) uma base de V e (dα) uma base de U , mostrou-se que c
i · T (dα) = T i α implica
em T (u) = T i α(ci ⊗ dα)(u). Isto e´ coerente com o ca´lculo de componente associado de
tensor de segunda ordem aqui apresentado e com o segundo para´grafo da definic¸a˜o de
componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15.
Notac¸a˜o 1.2.4 (Tensor de Segunda Ordem como uma Matriz) De acordo com
a definic¸a˜o de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, as matrizes
[T i j], [T ij], [T
j
i ] e [Ti j] sa˜o as representac¸o˜es matriciais do tensor T em relac¸a˜o
a`s correspondentes bases produto. Portanto, um tensor de segunda ordem pertencente
ao espac¸o V ⊗ V pode ser representado por matrizes quadradas de dimensa˜o dimV .
Coerentemente com a definic¸a˜o de matriz 1.1.2, nestas representac¸o˜es o indicador mais
a` esquerda se refere a` linha e o mais a` direita fornece a coluna, independentemente de
se tratar de ı´ndice ou super´ındice. Ale´m disto, o indicador a` esquerda tem o significado
especial de apontar o vetor tambe´m a` esquerda, na base produto a` qual o componente
se associa, enquanto que o indicador a` direita se relaciona ao vetor tambe´m a` direita.
De acordo com o comenta´rio 1.2.10 (ca´lculo de componente associado de tensor de
segunda ordem), pode-se tambe´m afirmar que o indicador a` direita mostra qual e´ o vetor
ao qual e´ aplicada a transformac¸a˜o T , na expressa˜o para o ca´lculo do componente de T
associado a` base escolhida. Por outro lado, o fato de cada indicador ser um ı´ndice ou um
super´ındice informa quanto ao componente considerado ser contravariante, covariante ou
mixto. Logo, se A for o conjunto de todos os poss´ıveis componentes do tensor de segunda
ordem T , associados a bases do espac¸o V ⊗ V , enquanto que I e J forem dois conjuntos,
cada um deles formado pelos primeiros m nu´meros naturais, enta˜o a func¸a˜o ordenadora
φ :I×J → A fornece os significados (esquerda-direita) e (em cima-em baixo) de ambos os
dois indicadores, significados estes que na˜o dependem da letra utilizada para simbolizar
o valor de cada indicador.
Igualdades, como a exemplificada por [T i j] = [T
j
i], sa˜o portanto corretas e correspon-
dem, na base produto associada ao componente em foco, a` mesma troca de indicadores.
De fato, para o componente misto usado como exemplo, no caso do primeiro membro da
igualdade a base produto deve ser escrita (ci ⊗ cj), enquanto que, para o segundo mem-
bro, ela deve ser anotada (cj ⊗ ci). Note que as duas grafias representam exatamente
a mesma base produto, o que garante a igualdade. Em outras palavras, o elemento de
matriz T 35 , por exemplo, e´ exatamente o mesmo, independentemente de 3 ser o valor
tomado por i ∈ I e 5 ser atribu´ıdo a j ∈ J , ou v.v. Mesmo assim, aconselha-se muita
cautela no uso da igualdade [T i j] = [T
j
i], por causa das razo˜es ja´ apontadas na definic¸a˜o
de matriz 1.1.2. Note tambe´m que, de acordo com a definic¸a˜o de matrizes transposta
e inversa 1.1.4, geralmente as representac¸o˜es matriciais de um tensor de segunda ordem
na˜o sa˜o nem sime´tricas, nem antissime´tricas (por exemplo, T 35 6= T 53 e T 35 6= −T 53).
Comenta´rio 1.2.11 (Componente Associado de Tensor Simples) Consideran-
do o comenta´rio 1.2.10 (ca´lculo de componente associado de tensor de segunda ordem),
para (v,u) ∈ V e T = u ⊗ v tem-se (u ⊗ v)i j = ci · (u ⊗ v)(cj). Mas, usando a
definic¸a˜o de tensor simples 1.2.12 tem-se ci · (u ⊗ v)(cj) = ci · (v · cj)u. Decom-
15
pondo antes o vetor v e, depois, tambe´m o vetor u em suas respectivas componentes
contravariantes, de acordo com a definic¸a˜o de base dual 1.2.8, tem-se ci · (v · cj)u =
ci · (vkck · cj)u = ci · (vkδ jk )u = vjci · u = ukck · vjci = ukvjδ ik = uivj. Portanto,
(u ⊗ v)i j = uivj e, de acordo com a definic¸a˜o 1.2.15 de componente associado contra-
variante T i j de tensor de segunda ordem, u ⊗ v = (u ⊗ v)i jci ⊗ cj = uivjci ⊗ cj .
As seguintes igualdades, portanto, definem os componentes associados dos ten-
sores simples u ⊗ v = uivjci ⊗ cj = uivjci ⊗ cj = uivjci ⊗ cj = uivjci ⊗ cj e
v⊗ u = viujci ⊗ cj = viujci ⊗ cj = viujci ⊗ cj = viujci ⊗ cj.
Logo, de acordo com a notac¸a˜o matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, no caso
covariante a representac¸a˜o matricial de um tensor simples pode ser escrita
[(v⊗ u)i j] =

v1u1 v1u2 v1u3 . . . v1un
v2u1 v2u2 v2u3 . . . v2un
v3u1 v3u2 v3u3 . . . v3un
...
vnu1 vnu2 vnu3 . . . vnun
 e
[(u⊗ v)i j] =

u1v1 u1v2 u1v3 . . . u1vn
u2v1 u2v2 u2v3 . . . u2vn
u3v1 u3v2 u3v3 . . . u3vn
...
unv1 unv2 unv3 . . . unvn
 ,
portanto
[(u⊗ v)i j] = [(v⊗ u)i j]T ,
onde utilizou-se a representac¸a˜o para matriz transposta colocada na definic¸a˜o de matrizes
transposta e inversa 1.1.4. Isto evidencia que, geralmente, v⊗ u 6= u⊗ v. Mesmo para
base ortonormal esta desigualdade em geral persiste mas, de acordo com o comenta´rio
1.2.7 (base ortonormal dual), neste caso ci ⊗ cj = ci ⊗ cj = ci ⊗ cj = ci ⊗ cj. Por
isto, para os componentes associados dos tensores simples em base ortonormal,
tem-se uivj = uiv
j = uivj = uivj e v
iuj = viuj = viu
j = viuj (embora u
ivj 6= viuj,
basta escrever um entre estes dois u´ltimos conjuntos de igualdades, porque a permutac¸a˜o
entre i e j transforma um conjunto no outro).
Comenta´rio 1.2.12 (Transformac¸a˜o Escalar Bilinear e Tensor) Seja (u,v) ∈ V
e seja o tensor de segunda ordem T ∈ V ⊗ V . Seja (ci) uma base de V . De acordo
com a definic¸a˜o de base dual 1.2.8, tem-se u = uici = uic
i e v = vici = vic
i. Usando o
comenta´rio 1.2.10, para o ca´lculo de componentes associados de tensor de segunda ordem,
tem-se enta˜o u · T (v) = uivjTi j = uivjT ji = uivjT ij = uivjT i j ∈ < . Seja, tambe´m
representada por T , a transformac¸a˜o escalar bilinear (definic¸a˜o de transformac¸a˜o n-linear
1.2.10) T : (u,v) 7→ u · T (v), a qual, sempre que seu argumento for um par ordenado de
vetores pertencentes a alguma poss´ıvel base do espac¸o vetorial V , produz como imagem
o correspondente componente associado do tensor de segunda ordem T ∈ V ⊗ V .
Logo, de acordo com a definic¸a˜o de tensor de segunda ordem 1.2.14, a toda trans-
formac¸a˜o linear T no espac¸o de produto tensorial V⊗V , a qual e´ uma transformac¸a˜o linear
16
T : V → V , corresponde uma transformac¸a˜o escalar bilinear T : V × V → < que de-
fine os componentes associados de T em qualquer base de V , porque T (u,v) = u · T (v)
e vice-versa. Para (u,v,u′,v′) ∈ V e considerando T = u′ ⊗ v′, pode-se enta˜o escrever
(u′ ⊗ v′)(u,v) = u · (u′ ⊗ v′)(v) logo, usando a definic¸a˜o de produto tensorial 1.2.12,
(u′⊗v′)(u,v) = (u ·u′)(v ·v′) ∈ < , o que mostra que u′⊗v′ e´ uma transformac¸a˜o escalar
bilinear T : V × V → <. Ale´m disto, se (u,v) for um par ordenado de vetores perten-
centes a alguma poss´ıvel base do espac¸o vetorial V , (u · u′)(v · v′) sera´ o correspondente
componente associado de u′⊗ v′, conforme mostrado no comenta´rio 1.2.11 (componente
associado de tensor simples).
Definic¸a˜o 1.2.16 (Transformac¸a˜o Tensorial Identidade) A transformac¸a˜o ten-
sorial identidade e´ um tensor de segunda ordem, conforme a definic¸a˜o 1.2.14, repre-
sentado por 1 e tal que 1 (v) = v. Note que, enquanto o tensor identidade 1 ∈ V ⊗ V , o
escalar unidade 1 ∈ <.
Comenta´rio 1.2.13 (Componente Associado do Tensor Identidade) De acordo
com a definic¸a˜o de transformac¸a˜o tensorial identidade 1.2.16 e o comenta´rio 1.2.10 (ca´lcu-
lo de componente associado de tensor de segunda ordem), tem-se 1 i j = ci ·1 (cj) = ci ·cj.
Mas o comenta´rio 1.2.6 (func¸o˜es gi j e g
i j) mostra que ci · cj = gi j. Logo, 1 i j = gi j,
onde 1 i j e´, conforme a definic¸a˜o de componente associado de tensor de segunda ordem
1.2.15, o componente associado contravariante do tensor 1 . Portanto, gi j e´ o compo-
nente associado contravariante da transformac¸a˜o tensorial identidade. Por outro lado,
1 ij = c
i ·1 (cj) = ci ·cj . Mas a definic¸a˜o de base dual 1.2.8 mostra que ci ·cj = δij . Por-
tanto, tem-se 1 ij = δ
i
j para este componente associado misto da transformac¸a˜o tensorial
identidade. Analogamente, para o outro componente associado misto tem-se 1 ji = δ
j
i
e, para o componente associado covariante, 1i j = gi j .
Pode-se enta˜o escrever 1 = 1 i j ci ⊗ cj = 1 ij ci ⊗ cj = 1 ji ci ⊗ cj = 1i j ci ⊗ cj, ou
1 = gi j ci ⊗ cj = δij ci ⊗ cj = δ ji ci ⊗ cj = gi j ci ⊗ cj. Note, portanto, que apenas a
representac¸a˜o matricial dos conjuntos de componentes associados mistos do tensor iden-
tidade, respectivamente representados por 1 ij e por 1
j
i , coincide com a matriz unidade,
simbolizada [1]. Logo, [1 ij] = [1] e [1
j
i ] = [1], mas [1
i j] = [gi j] 6= [1] e [1i j] = [gi j] 6= [1].
Note, tambe´m, que as matrizes [1 i j] = [gi j] e [1i j] = [gi j] sa˜o sime´tricas, de acordo
com a definic¸a˜o de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Logo, nas quatro representac¸o˜es
matriciais do tensor identidade na˜o apenas se pode trocar os indicadores i e j, conforme
colocado na notac¸a˜o matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, como tambe´m cada
representac¸a˜o e´ igual a` sua transposta, ao contra´rio do que geralmente ocorre.
1.2.5 Transposic¸a˜o de Tensor Simples, de Segunda Ordem e
Troca entre I´ndice e Super´ındice
Definic¸a˜o 1.2.17 (Transformac¸a˜o Linear Transposta) Para toda transformac¸a˜o li-
near A ∈ V ⊗ U , define-se a correspondente transformac¸a˜o linear AT ∈ U ⊗ V , deno-
minada transformac¸a˜o linear transposta de A, tal que, ∀v ∈ V e ∀u ∈ U , ocorra
v · A(u) = u · AT (v) (veja a definic¸a˜o de espac¸o de produto tensorial 1.2.13 para notar
17
que, por definic¸a˜o, A age sobre u e AT sobre v). Sublinhe-se que esta e´ a definic¸a˜o
da transposic¸a˜o de uma transformac¸a˜o linear, cujo efeitona˜o e´, necessariamente, o de
transpor a matriz que represente um conjunto de componentes associados a` mencionada
transformac¸a˜o linear (a definic¸a˜o 1.1.4 se refere a` transposic¸a˜o e a` inversa˜o de matrizes).
Comenta´rio 1.2.14 (gi j ou g
i j Aplicado a Componente de Tensor) Conforme
o comenta´rio 1.2.6 (func¸o˜es gi j e g
i j), a func¸a˜o gi j levanta o ı´ndice de um componente
de um vetor, enquanto que a func¸a˜o gi j abaixa o ı´ndice de um componente de um
vetor. Sem mudar a posic¸a˜o relativa, a` direita ou a` esquerda, dos ı´ndices e super´ındices,
estas func¸o˜es apresentam efeito ana´logo sobre os componentes associados de um tensor
de qualquer ordem T . Portanto, T ij = gk jT
i k = gi kTk j , T
j
i = gi kT
k j = gk jTi k ,
T i j = gk jT i k = g
i kT jk e Ti j = gi kT
k
j = gk jT
k
i . De fato, de acordo com o comenta´rio
1.2.10 (ca´lculo de componentes associados de tensor de segunda ordem), tem-se gk jT
i k =
gk jc
i ·T (ck) = gk jck ·T T (ci) = cj ·T T (ci) = ci ·T (cj) = T ij , onde foi usada a definic¸a˜o de
transformac¸a˜o linear transposta 1.2.17 na segunda e quarta igualdades. Demonstrac¸o˜es
ana´logas podem ser feitas nos demais casos.
Usando a notac¸a˜o matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4 tanto para o tensor T
como, de acordo com o comenta´rio 1.2.13 (componente associado do tensor identidade),
tambe´m para o tensor identidade, tem-se enta˜o a seguinte tabela, na qual cada linha
conte´m uma expressa˜o tensorial e uma expressa˜o matricial com o mesmo significado,
porque o indicador k representa o mesmo somato´rio, tanto de acordo com a notac¸a˜o de
Einstein 1.1.2, como em relac¸a˜o a`s regras elementares de multiplicac¸a˜o matricial:
T ij = gk jT
i k = gi kTk j ou [T
i
j] = [T
i k][gk j] = [g
i k][Tk j] ,
T ji = gi kT
k j = gk jTi k ou [T
j
i ] = [gi k][T
k j] = [Ti k][g
k j] ,
T i j = gk jT i k = g
i kT jk ou [T
i j] = [T i k][g
k j] = [gi k][T jk ] e
Ti j = gi kT
k
j = gk jT
k
i ou [Ti j] = [gi k][T
k
j] = [T
k
i ][gk j] .
Comenta´rio 1.2.15 (Transposic¸a˜o de Tensor Simples) Para (u,w1) ∈ U e (v,w2)
∈ V , de acordo com a definic¸a˜o de transformac¸a˜o linear transposta 1.2.17 tem-se w1 ·(v⊗
u)T (w2) = w2 ·(v⊗u)(w1) = (w2 ·v)(u·w1) = w1 ·(u⊗v)(w2), onde foi usada a definic¸a˜o
de produto tensorial 1.2.12. Logo, para o tensor simples u⊗v tem-se que (v⊗u)T = u⊗v
ou, de acordo com a notac¸a˜o matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, em termos
das respectivas representac¸o˜es matriciais dos conjuntos de componentes associados, por
exemplo escolhidos covariantes, [(v⊗u)Ti j] = [(u⊗v)i j]. Mas, de acordo com o comenta´rio
1.2.11 (componente associado de tensor simples), tem-se [(u ⊗ v)i j] = [(v ⊗ u)i j]T . A
comparac¸a˜o entre as duas u´ltimas igualdades mostra que [(v ⊗ u)Ti j] = [(v ⊗ u)i j]T , ou
seja, para um tensor simples, transpor a transformac¸a˜o linear implica em transpor a
matriz que a representa. No comenta´rio 1.2.16 ver-se-a´ que, na transposic¸a˜o de tensor
de segunda ordem, em geral isto na˜o ocorre.
Comenta´rio 1.2.16 (Transposic¸a˜o de Tensor de Segunda Ordem) Se A for um
tensor de segunda ordem em V ⊗ V , demonstra-se a existeˆncia das seguintes relac¸o˜es
entre os componentes de A, grafados A i j, A i j , A
j
i e Ai j , respectivamente associados a`s
18
quatro bases produto de V ⊗V simbolizadas por (ci⊗ cj ), (ci⊗ cj), (ci⊗ cj) e (ci⊗ cj):
T
A
j i
= A i j = ci · A(cj) = cj · AT (ci) = (AT )j i , logo
[
T
A
j i
]
= [(AT )j i] ,
T
A
j
i= A
i
j = c
i · A(cj) = cj · AT (ci) = (AT ) ij , logo
[
T
A
j
i
]
= [(AT ) ij ] ,
T
A
i
j = A
j
i = ci · A(cj) = cj · AT (ci) = (AT )j i , logo
[
T
A
i
j
]
= [(AT )j i] e
T
A j i= A i j = ci · A(cj) = cj · AT (ci) = (AT )j i , logo
[
T
A j i
]
= [(AT )j i] ,
onde, em cada linha, usou-se
a definic¸a˜o de matrizes transposta e inversa 1.1.4 na primeira igualdade,
o comenta´rio 1.2.10 (ca´lculo de componente associado de tensor de segunda ordem) na
segunda e na quarta igualdades,
a definic¸a˜o de transformac¸a˜o linear transposta 1.2.17 na terceira igualdade e
a transformac¸a˜o em matriz do conjunto inicial de componentes, antes da primeira igual-
dade, ocorrendo o mesmo com o conjunto final de componentes, apo´s a quarta
igualdade.
Na igualdade matricial que ocorre em cada linha, a definic¸a˜o de matrizes transposta e
inversa 1.1.4 pode ser aplicada a` matriz no primeiro membro, enquanto que, de acordo
com a notac¸a˜o matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, a troca dos ı´ndices i e j pode
ser aplicada a` matriz no segundo membro. Obte´m-se assim, respectivamente para cada
linha:
[A i j]T = [(AT )i j] ,
[A i j]
T = [(AT ) ji ] ,
[A ji ]
T = [(AT )i j] e
[A i j]
T = [(AT )i j] .
Portanto, as representac¸o˜es matriciais dos componentes associados contravariantes de
A e AT sa˜o matrizes transpostas uma da outra, o mesmo acontecendo com as repre-
sentac¸o˜es matriciais dos componentes covariantes. Entretanto, as representac¸o˜es matri-
ciais de qualquer um entre os dois componentes associados mistos de A e AT na˜o sa˜o
matrizes transpostas uma da outra.
Definic¸a˜o 1.2.18 (Tensores Sime´trico e Antissime´trico) O tensor de segunda or-
dem S ∈ V ⊗ V e´ dito sime´trico se ST = S e antissime´trico se ST = −S. Para
(u,v) ∈ V e usando a definic¸a˜o de transformac¸a˜o linear transposta 1.2.17 tem-se, enta˜o,
que u ·S(v) = v ·S(u) se S for sime´trico e u ·S(v) = −v ·S(u) se S for antissime´trico.
Notac¸a˜o 1.2.5 (Subespac¸os Sime´trico e Antissime´trico) Definem-se os subespa-
c¸os de V ⊗ V
Sym(V ) = {S ∈ V ⊗ V |ST = S} e Skw(V ) = {S ∈ V ⊗ V |ST = −S}
(Sym de “symmetric” e Skw de “skew-symmetric”).
19
Comenta´rio 1.2.17 (Transposic¸a˜o de Tensores Sime´trico e Antissime´trico) O
comenta´rio 1.2.16 (transposic¸a˜o de tensor de segunda ordem) mostra que:
1. Para S ∈ Sym(V ) tem-se [S i j]T = [S i j] , [S ij]T = [S ji ] , [S ji ]T = [S ij] e
[ Si j]
T = [ Si j] . Portanto, embora o tensor de segunda ordem S seja sime´trico,
somente suas representac¸o˜es matriciais contravariante e covariante sa˜o matrizes
sime´tricas.
2. Para S ∈ Skw(V ) tem-se [S i j]T = −[S i j] , [S ij]T = −[S ji ] , [S ji ]T = −[S ij] e
[Si j]
T = −[Si j] . Portanto, embora o tensor de segunda ordem S seja antissime´trico,
somente suas representac¸o˜es matriciais contravariante e covariante sa˜o matrizes
antissime´tricas.
1.2.6 Composic¸a˜o de Tensores de Segunda Ordem
Definic¸a˜o 1.2.19 (Composic¸a˜o de Tensores de Segunda Ordem) A composi-
c¸a˜o de tensores de segunda ordem A ◦ B e´ tal que (A ◦ B)(v) = A(B(v)), ∀v ∈ V .
Esta igualdade deixa evidente que a composic¸a˜o de tensores de segunda ordem e´ apenas
um caso particular da composic¸a˜o de func¸o˜es, apresentada na definic¸a˜o de func¸a˜o e funci-
onal 1.1.1. Se (A,B) ∈ V ⊗V , tanto A como B transformam vetores percencentes a V em
outros vetores tambe´m pertencentes a V . Neste caso, A(B(v)) e´ um vetor pertencente a
V , portanto A ◦B ∈ V ⊗ V .
Seja A = Ai j ci ⊗ cj, B = Bmn cm ⊗ cn e v = vkck . De acordo com a definic¸a˜o de
produto tensorial de vetores 1.2.12 tem-se (cm⊗cn)(v) = vncm , logo B(v) = Bmn vncm e
(ci⊗ cj)(B(v)) = B j n vnci , portanto A(B(v)) = Ai jB j n vnci . Enta˜o, (AkjB j n vn)dimVk=1
e´ o conjunto dos componentes do vetor (A◦B)(v) associados a` base (ck), podendo o vetor
(A◦B)(v) ser representado pela matriz coluna [AkjB j n vn], onde o super´ındice k indica a
linha a que se refere o elemento considerado. Por outro lado, as representac¸o˜es matriciais
de A na base (ci⊗ cj), B na base (cm⊗ cn) e v na base (ck) sa˜o, respectivamente, [Ai j],
[Bmn] e [v
k].
A expressa˜o tensorial (A ◦ B)(v) = Ai jB j n vnci corresponde, portanto, a` expressa˜o
matricial [Ai jB
j
n v
n] = [Ai j][B
j
n][v
n], porque o indicador n representa