Ed 2 semetre - Cálculo

Prévia do material em texto

ED UNIP Cálculo e Geometria Analítica – 2º Semestre Engenharia Básico
1- (CQA/UNIP – 2011) 
Em 100 Kg do fertilizante “Agrícola Atual” temos:
20% de nitrogênio = 20 Kg em 100 Kg;
10% de fósforo = 10 Kg em 100 Kg;
10% de potássio = 10 Kg em 100 Kg.
Em 300 Kg do fertilizante “Terra Nossa” temos:
10% de nitrogênio = 30 Kg em 300 Kg;
10% de fósforo = 30 Kg em 300 Kg;
20% de Potássio = 60 Kg em 300 Kg.
Misturando os dois teremos:
Fertilizante “Agricultura Atual” + “Terra Nossa” = 400 Kg de fertilizante;
10% de nitrogênio (Terra Nossa) + 20% de nitrogênio (Agricultura Atual) = 50 Kg de nitrogênio;
10% de fósforo (Terra Nossa) + 10% de fósforo (Agricultura Atual) = 40 Kg de fósforo;
20% de potássio (Terra Nossa) + 10% de potássio (Agricultura Atual) = 70 Kg de potássio;
Dividindo (obtendo as porcentagens individuais pelo valor total):
50 Kg de nitrogênio/400 Kg de fertilizante = 0,125*100 = 12,5% Nitrogênio;
40 Kg de fósforo/400 Kg de fertilizante = 0,1*100 = 10% Fósforo;
70 Kg de potássio/400 Kg de fertilizante = 0,175*100 = 17,5% Potássio.
Resposta B
2- (CQA/UNIP – 2011) 
Como a função que a temperatura varia de acordo com o comprimento é uma reta, temos uma função do 1º grau.
Equação da reta: Y= a*x + b → T = a*L + b
ΔT = T2 – T1
ΔL = L2 – L1
a = ΔT / ΔL
a = (35 – 5) / (0 – 60)
a = - 0,5
Temos:
T = a*L + b
T = - 0,5*L + b
35 = - 0,5*0 + b
b = 35
A equação da reta é: T = - 0,5L+35
Resposta A
3- (CQA/UNIP - 2011) 
Com base nos dados acima, assinale a alternativa verdadeira:
Resposta D - O objeto gasta aproximadamente 3,2 s para atingir o solo.
h=-4,9t²+49 
0=-4,9t²+49 
4,9t²=49-0 
t²=49/4,9 
t²=10 
t=√10 
t=3,2 s
4-
IB(t) = t² - 24t + 143
Δ = b² - 4*a*c
Δ = (-24)² - 4*1*143
Δ = 576 – 572
Δ = 4
X = (-b ± √ Δ) / 2*a
X1 = -(-24) + √ 4 ) 2*1
X1 = 26/2
X1 = 13
X2 = -(-24) - √ 4 ) 2*1
X2 = 22/2
X2 = 11
Xv = -b /2*a
Xv = -(-24) / 2
Xv = 12
Yv = -Δ / 4*a
Yv = -4 / 4
Yv = -1
Resposta certa: E
5- Se A= (-2,3) e B= (1,4), então (1 - (-2)) , (-4 – 3) = (3,-7)
AB = (3,-7)
6-
u.v = |u|.|v|.cosⱷ; 
u.v = 6*9*cos150°; 
u.v = 54*(-√3/2); 
u.v = -27√3; 
O cosseno de 150° é o mesmo cosseno de 30° com sentido oposto, por estar no segundo quadrante. Cos30°=√3/2; cos150°=-√3/2 
RESP.:B
7- Alternativa B
I - u+v = (2i - i, 3j + 2j – k + 0k)i,5j,-1
II - u*v = 2i – i + 3j*2j - k0 = 2;6;0;
III - Matematicamente já provado acima
8- ALTERNATIVA C
(3i+2j-k)*(4i+2j+k)
= -20+4j+k
= -20+4-1
= - 17
9- 
V(t) = 15t²-750t+9000 
V(3) = 15*(3)² - 750*(3) + 9000; 
V(3) = 6885L 
RESP.: A
10- ALTERNATIVA E
V(t) = 15t² - 750t + 9000
V’(t) = 15*2t - 750 
V(t)’ = 30t – 750
V(3) = 30*3 – 750
V(3) = -660L/h
11- ALTERNATIVA D
V(t) = -4,5t² +18t 
V’(t)=2(-4,5)t+18
V(t)' = -9t + 18
v’(t) = 0
0 = -9t + 18
9t = 18
t = 18/9
t = 2s
V(2) = -4,5*(2)²+18*(2)
V(2) = 18 m/s
12- ALTERNATIVA A
I) Verdadeira 
|U| = √((-3)²+4²+0²); 
|U| = √25
|U| = 5 
II) Verdadeira 
( -0,6 , 0,8 , 0 ) // u = (-3 , 4 , 0) Mesmo Sentindo? Comprimento = 1? 
1º para saber se é paralelo é só dividir: 
- 0,6 / -3 = 0,2 
0,8 / 4 = 0,2
Deu 0,2 nos dois, significa que são paralelas.
2º tem as mesmas sinalizações - 0,6 contra -3 = mesmo sinal = mesmo sentido / + 0,8 contra + 4 = mesmo sinal = mesmo sentido
Os dois primeiros são negativos os seguintes são positivos, neste caso tem os mesmos sinais então estão no mesmo sentido. 
3º O comprimento do Vetor é 1? 
√(-0,6)^2 + (0,8)^2 + 0^2 = 
√0,36 + 0,64 = 
√1 Então o comprimento é 1 = 1
III) Verdadeira
( 9, -12 , 0 ) // u = (-3 , 4 , 0)
1º São paralelos?
9 / -3 = -3 
-12 / 4 = -3
Os dois deram -3 então são paralelos
2º tem sentido oposto?
+9 contra -3 = sinais opostos = oposto;
-12 contra +4 = sinais opostos = oposto Sim tem, pois os sinais são contrários.
3º Modulo 15? 
√ 9^2 + (-12)^2 + 0^2 = 
√ 81 + 144 = 
√ 225 = 15
Sim modulo 15
13 - 
W = αu + βv (-17,12) = α*(-2,0) + β*(3,-4); 
(-17,12) = (-2α,0) + (3β,-4β); 
(-17,12) = (-2α+3β-4β)
 
-17 = -2α + 3β; 
12 = -4β; 
β =-3; 
-17 = -2α + 3(-3); 
-2α = -8; 
α = 4 
RESP.:A
14- 
AO+DE+FQ+PL-IH 
1º Cancelar o PL com IH, por que são opostos no mesmo sentido;
PL=IH 
2º Adicionar o OD e cancelar o DE;
3º Adicionar DP e cancelar FQ
4º Resultado AP;
AO+OD+DP=AP 
RESP.: A
15- ALTERNATIVA E
AQ = ?
AQ = AE + EG + GQ
AQ = AC + CG + (2/3)*GH
AQ = AE + AC + 2/3*GH 
AQ = AC + AE + (2/3)*AB
16- ALTERNATIVA D
I) 
2u -4v
=2*(1 –2) –4*(-4 0)
=(2-4)-(16-0)
= (18 -4) VERDADEIRA
II) 
(1, -2) + (-4, 0) = (-3, -2)
| u + V | = (-3 , -2)
| u + V | = √ (-3)^2 + (-2)^2
√9+4
√13 VERDADEIRA
III) 
u e V são paralelos? 
1/(-4) = -2/0 FALSA
17- ALTERNATIVA B
u = (x +12 , 3) e v = (6 , 9) x=? u / / v
(X+12)/6 = 3/9; 
9(X+12) = 3*6; 
9X+108 = 18; 
9X = -90;
X = -90/9; 
X = -10
18 – ALTERNATIVA D
S = (3,-6); 
|S| = √(3²+(-6)²); 
|S| = √45; 
|S| = √(5*3²); 
|S| = 3√5
19- ALTERNATIVA B
A = (-1, 3) ; B = (0, -4) 
AB = (0-(-1), -4 -3); 
AB = (1, -7); 
u = (-4, 28) 
AB//u = 1/(-4) = (-7)/28; 
(-7)*(-4) = 28*1; 
28 = 28
20- ALTERNATIVA B
A = (-1, 0); B = (-2, 1); 
AB = (-2-(-1), 1-0); 
AB = (-1, 1) 
|AB| = √(1²+(-1)²); 
|AB|=√2; 
AB/|AB| = ((-1/√2),
(1/√2)) ; racionalizando; AB/|AB| = ((-√2/2) , (√2/2))
21- ALTERNATIVA C
V(t) = 6t3+1,5t
V(2) = 6*(2^3)+1,5*2
V(2) = 6*8 + 3
V(2) = 48 + 3
V(2) = 51 Litros
22- ALTERNATIVA B
V(t)=6t3+1,5t
V’(t)= 6*3*T^2+1,5*1
V’(t)= 18t²+1,5
V(2)= 18*(2²)+1,5
V(2)= 18*4+1,5
V(2)= 73,5 L/min
23- Qual a derivada da função y = (x+16).senx ?
ALTERNATIVA B
(u. v)'= u'.v + u.v'
u = (x + 16)
u’ = 1
v = senx
y' = (1+0)*senx + (x+16)*cosx
y' = 1*senx + (x+16)*cosx
y' = senx + (x+16)*cosx
24- Qual a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 – 8 no ponto de abscissa igual a –2?
F’(x) = 3*x^2; 
f’(2) = 3*(-2)^2; 
f’(2) = 12; 
f’(x) = a; 
Como a é o coeficiente angular, ou seja, ele indica a inclinação da reta. Então a inclinação é 12.
ALTERNATIVA A
25- Se f(x)=ex.sen(2x), então podemos dizer que:
ALTERNATIVA A
Regra da cadeia + regra do produto; 
(e^x)’ = (e^x); 
(sen2*x)’ = (senu); 
(senu)’ = u’ *cosu; 
f(x)’ = (e^x)*(sen2*x) + (e^x)*(2*cos2*x); 
f(x)’ = (e^x)*(sen2*x+2*cos2*x); 
f’(0) = (e^0)*(sen2*0+2*cos2*0); 
f’(0) = 1*2; 
f’(0) = 2
26- 
I. u = (2,-4); 
 v = (0,3); 
u.v = 2*0 + 3*(-4); 
u.v = -12; 
II. com a resposta anterior conclui-se que u.v = 12; 
III. u = 2i + 4j; 
 v = 3j;
 u = (2,4); 
 v = (0,3); 
u.v = 2*0 + 4*3; 
u.v = 12 
RESP.:E
27- ALTERNATIVA C
u = (2,-4);
v = (1,-2); 
2u = 2*(2, -4) 
5v = 5*(1,-2);
2u= (4, -8) 
5u= (5, -10)
uv = x1.x2 + y1.y2
uv = 4*5 + (-8)*(-10)
uv = 20 + 80
uv = 100
28- ALTERNATIVA A
Montado a matriz para cálculo do produto vetorial através da determinante obtemos o resultado:
u^v = -8i + 2j - 4k = (-8,2,-4); 
Área do paralelogramo = u^v; 
u^v = |u|.|v|; 
u^v = √((-8)^2+(2)^2+(-4)^2); 
u^v = √(84); 
u^v = 2√(21)
29- ALTERNATIVA E
|u^v| = |u|*|v|*senⱷ =Área do paralelogramo; 
Área do triangulo = |u^v|/2; 
A = (2*3*sen30)/2; 
A = (6*0,5)/2; 
A=1,5 (uA)
 
30- ALTERNATIVA B
w somente será ortogonal a u e v, se e somente se obedecer a condição: w//u^v; 
por determinante encontra o resultado de u^v = i-2j+5k = (1,-2,5); 
o vetor w que está na opção à é ortogonal a u e v, mas seu modulo é igual a √(30); 
na opção b o vetor w é ortogonal a u e v pois são paralelos e calculando o modulo de w encontramos 2√(30) a afirmação é verdadeira
31- ALTERNATIVA A
u = (1,-2,-1); 
v = (2,1,0); 
uv= x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
uv= 1*2 + (-2)*1 + (-1)*0
uv= 2 + (-2) + 0
uv= 2 -2
uv = 0
 
32- ALTERNATIVA C
u.v = 0 
|u| = 3 
|v| = 4 
(u + v)*(u +2v) = u*u + 2*u *v + u*v + 2*v*v 
Substitui assim: u*u = |u|^2 e v*v = |v| ^2 
E tudo que tiver: u*v = 0 
Voltando: u*u + 2*u*v + u*v + 2* v*v = |u|^2 + 2*0 + 0 + 2*|v|^2 = 3^2 + 0 + 0 + 2*|4|^2 = 9 + 2*16= 9 + 32 = 41
33- ALTERNATIVA B
uv = 0
uv = (1,x,8).(2,1,-4) = 0
uv = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
0 = 1*2 + 1*x + 8*(-4)
0 = 2 + x + (-32)
0 = 2 +x -32
x -30 = 0
x = 30
34- ALTERNATIVA
Por determinante: u^v = -2j + 6k + 4i = (4,-2,6)
35- ALTERNATIVA D
I. f(x) = e^cosx; 
Cosx = u; 
u’ = -senx; 
f(x)’ = (e^u)’ = u’*e^u; 
f(x)’ = -senx*(e^cosx) ;
Verdade 
II. f(x) = ln(x^2+4); 
u = x^2+4; 
u’ = 2*x; 
f(x)’ = (lnu)’ = u’/u; 
f’(x) = (2*x)/(x^2+4); 
Verdade 
III. f(x) = √(3*x+6);
f(x) = (3*x+6)^(1/2); 
u = 3*x+6; 
u’ = 3; 
u’ = n*u^(n-1)*u’; 
f’(x) = (1/2)*(3*x+6)^(-1/2)*3; 
f’(x) = (3/2)*1/(√(3*x+6); 
Verdade 
36- ALTERNATIVA C
I. f(x) = sen*(2x + 4)
u = (2*x + 4)
u’ = 2
f'(x) = (senu)’ = u’*cosu;
f'(x) = (2 . 1 + 0) cons (2x+4)
f'(x) = 2 cons (2x+4)
Resposta: I esta errada;
II. f(x) = cos (3x + 6)
u = (3*x + 6)
u’ = 3
f'(x) = -(3 . 1 + 0) . sen (3x + 6)
f’(x) = -3*sen*(3x +6)
Resposta: II esta certa;
III. f(x) = (x^2 + 4x)^3
f'(x) = 3 (x^2 + 4x)^2 . (2x + 4 . 1)
f'(x) = 3 (x^2 + 4x)^2 . (2x + 4)
f'(x) = (x^2 + 4x)^2 . 3(2x + 4)
f'(x) = (x^2 + 4x)^2 . (6x + 12)
Resposta: III está certa.
37- ALTERNATIVA D
I. ∫3x^2dx = 3∫(x)^2dx = (3x^3)/3+c – (simplificando) - x^3+c 
II. ∫4x^3dx = (4x^4)/4+c - (simplificando) - x^4+c 
III. ∫5x^4dx = (5x^5)/5+c - (simplificando) - x^5+c 
38- Suponha que a equação da velocidade v (em cm/s) de um ponto material em função do tempo t (em segundos) seja v(t)= 14t-6t2. Sabendo que, no instante 1 s, o ponto material encontra-se na posição 16 cm, qual a equação do espaço (em centímetros) em função do tempo?
ALTERNATIVA B
v(t)= 14t - 6t^2
s(t) = ∫(14t-6t^2)dt
s(t) = ∫(14t) - ∫(6t^2)dt
s(t) = 14(t^2)/2-6(t^3)/3+c
S(t) = 7*t^2 – 2*t^3 + c
Sabe-se que em t = 1 | s=16, com isso podemos encontrar C:
S(t) = 7*t^2 – 2*t^3 + c
16 = 7(1^2) - 2(1^3) + c
16(1) = 7*1 – 2*1 + c
16(1) = 7 - 2 + c
c = 11
S(t) = 7(t^2) - 2(t^3)+11
39- ALTERNATIVA A
∫(2x+cosx)dx = ∫2x + ∫cosx dx; 
f(x) = 2(x^2)/2 + senx+c; 
f(x) = x^2+senx+c 
40- ALTERNATIVA C
I. ∫(senx+4)dx; 
∫senx+∫4dx; 
-cosx+4x+c 
II. ∫((1/x)+12)dx = ∫(1/x)+∫12dx; 
ln|x|+12x+c 
III. u=x→ du=dx; 
dv = e^x → v = e^x ∫udv = u.v∫vdu; 
x.e^x-∫(e^x)dx; 
x.e^x - e^x+c; 
e^x(x+1)+c;