Apostila EM707

dois graus de liberdade e
diagramas de corpo livre.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - versa˜o 1/2007 41
Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
6 Linearizac¸a˜o
Muitos problemas possuem termos na˜o lineares e que dificultam a ana´lise.
Uma forma de simplificar estes problemas e´ empregar uma linearizac¸a˜o, que
embora seja uma aproximac¸a˜o, normalmente permite a ana´lise do problema.
O aspecto central da linearizac¸a˜o e´ a aplicac¸a˜o da se´rie de Taylor, tomando-
se ate´ o termo linear. Seja a Figura 31 em que f(x) e´ uma func¸a˜o na˜o linear
e se deseja determinar uma aproximac¸a˜o y(x) para f(x) em torno do ponto
x0.
f, y
f(x)
y(x)
xxo
Figura 31: Linearizac¸a˜o.
A func¸a˜o f(x) pode ser expandida em se´rie de Taylor como
f(x) = f(x0) +
df
dx
∣∣∣∣∣
x0
(x− x0)
1!
+
d2f
dx2
∣∣∣∣∣
x0
(x− x0)2
2!
+ ...
Tomando apenas o primeiro e o segundo termos tem-se
f(x) ≈ y(x) = f(x0) + df
dx
∣∣∣∣∣
x0
(x− x0),
em torno do ponto x0, que e´ uma aproximac¸a˜o linearizada para f(x).
Exemplo: Seja um tanque conforme a mostrado na Figura 32 no qual a
vaza˜o de sa´ıda depende de forma na˜o linear do n´ıvel de l´ıquido no tanque.
Neste problema tem-se que: Fi e´ a vaza˜o que entra no tanque, F e´ a
vaza˜o que sai do tanque, h e´ a altura do n´ıvel de l´ıquido no tanque, e A e´ a
a´rea da sec¸a˜o transversal do tanque.
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F
h
Fi
Figura 32: Esquema do tanque.
A vaza˜o de sa´ıda depende da altura do n´ıvel de l´ıquido do tanque por
F = β
√
h.
A equac¸a˜o diferencial (na˜o linear) para a variac¸a˜o da altura h no tanque
e´
A
dh
dt
= Fi − F ⇒ Adh
dt
+ β
√
h = Fi.
A linearizac¸a˜o deve ser conduzida para o termo na˜o linear correspondente
a` func¸a˜o f(h) =
√
h. Assim,
f(h) ≈ f(h0) + d(
√
h)
dh
∣∣∣∣∣
h0
(h− h0) =
√
h0 +
1
2
h
−1
2
0 (h− h0).
Substituindo o resultado da linearizac¸a˜o na equac¸a˜o diferencial tem-se
A
dh
dt
+ β
[√
h0 +
1
2
√
h0
(h− h0)
]
= Fi,
A
dh
dt
+ β
h
2
√
h0
= Fi − β
√
h0
2
,
que agora e´ uma equac¸a˜o direfencial linear.
Os erros envolvidos na linearizac¸a˜o aumentam a` medida em que se distaˆncia
do ponto em torno do qual a func¸a˜o foi linearizada. No caso deste exemplo,
a aproximac¸a˜o sera´ va´lida em torno do n´ıvel h0.
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7 Formas padronizadas de sistemas com paraˆmetros
concentrados
7.1 Sistema de ordem zero
Um sistema de ordem zero e´ descrito por uma equac¸a˜o diferencial de ordem
zero, ou seja, por uma equac¸a˜o alge´brica do tipo
a0y = b0x,
ou tambe´m
y = γx, γ =
b0
a0
,
onde γ e´ a sensibilidade esta´tica.
Um sistema de ordem zero e´ instantaˆneo, sem atraso ou distorc¸a˜o. Um
sistema que pode ser considerado sistema de ordem zero e´ o termopar (trans-
duz temperatura em voltagem instantaˆneamente, e pode ser linearizado num
dado intervalo).
7.2 Sistema de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem e´ descrito por uma equac¸a˜o diferencial de
primeira ordem como
a1
dy
dt
+ a0y = b0x,
ou no domı´nio de Laplace,
(a1s+ a0)Y = b0X.
Define-se τ = a1
a0
como a constante de tempo e γ = b0
a0
o ganho ou sensi-
bilidade esta´tica. Logo,
(τs + 1)Y = γX.
A equac¸a˜o homogeˆnea e´
τ y˙ + y = 0
e a equac¸a˜o caracter´ıstica e´ τs + 1 = 0 cuja raiz e´ s = −1
τ
.
A soluc¸a˜o homogeˆnea da equac¸a˜o diferencial e´ do tipo
yh(t) = Ae
−t
τ .
Seja a condic¸a˜o inicial y(0) = y0. Logo,
yh(t) = y0e
−t
τ .
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Para y0 6= 0 e t = τ , tem-se
y(τ) = y0e
−1 = 0.3678y0 ⇒ y(τ)
y0
= 0.3678.
Observa-se que a constante de tempo τ fornece uma medida da velocidade
que a resposta do sistema tende a zero. Nota-se que decorrido o tempo τ ,
a reduc¸a˜o percentual da resposta natural e´ aproximadamente 37% do valor
inicial y0, como ilustrado na Figura 33.
yh(t)
tτ
y0
0.3678y0
Figura 33: Resposta homogeˆnea de um sistema de primeira ordem, τ > 0.
Seja o caso em que a entrada e´ um degrau unita´rio u(t). Neste caso, a
equac¸a˜o diferencial do sistema e´
τ y˙ + y = γu(t).
A soluc¸a˜o particular e´ do tipo:
yp(t) = C,
pois o degrau e´ uma constante para t > 0.
A soluc¸a˜o completa sera´ a soma da soluc¸a˜o homogeˆnea e da soluc¸a˜o par-
ticular:
y(t) = Ae
−t
τ + C.
Seja o caso particular da condic¸a˜o inicial y(0) = 0. Logo,
y(0) = 0 = Ae0 + C = A + C ⇒ A = −C,
e consequ¨entemente,
y(t) = C(1− e−tτ )
E´ poss´ıvel calcular a seguinte derivada
y˙(t) = C
1
τ
e
−t
τ .
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Substituindo y(t) e y˙(t) na equac¸a˜o diferencial tem-se:
τC
1
τ
e
−t
τ + C(1− e−tτ ) = γ ⇒ C = γ,
e portanto a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´
y(t) = γ(1− e−tτ ),
cuja representac¸a˜o gra´fica esta´ na Figura 34.
y(t)
tτ
0.6321γ
γ
Figura 34: Soluc¸a˜o completa de sistema de primeira ordem.
Verifica-se que para t = τ tem-se
y(τ)
γ
= 1− e−1 = 0.6321,
ou seja, para um tempo igual a τ o sistema atingiu aproximadamente 63%
da resposta de regime.
Um exemplo de sistema de primeira ordem e´ o modelo linearizado do
enchimento do tanque dado por
A
dh
dt
+ β
h
2
√
h0
= Fi − β
√
h0
2
.
Um outro exemplo e´ o circuito RC descrito por
RCy˙ + y = u(t),
com τ = RC e γ = 1.
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7.3 Sistema de segunda ordem
Um sistema de segunda ordem e´ descrito por uma equac¸a˜o diferencial de
segunda ordem como
a2y¨ + a1y˙ + a0y(t) = b0x(t) ou y¨ +
a1
a2
y˙ +
a0
a2
y =
b0
a2
x(t).
Esta equac¸a˜o de segunda ordem pode ser escrita no domı´nio de Laplace
em uma forma padronizada como
(s2 + 2ξwns+ w
2
n)Y = γw
2
nX,
onde
wn =
√
a0
a2
,
e´ a frequ¨eˆncia natural,
ξ =
a1
2
√
a0a2
,
e´ o fator de amortecimento, e
γ =
b0
a0
e´ o ganho esta´tico. Note que o ganho esta´tico e´ o fator que multiplicado
pela amplitude da entrada resulta no valor de regime (desconsiderando-se os
efeitos dinaˆmicos de y˙ e y¨).
A resposta natural do sistema e´ baseada na equac¸a˜o homogeˆnea, cuja
equac¸a˜o caracter´ıstica e´:
s2 + 2ξwns+ w
2
n = 0.
As ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica sa˜o s1,2 = −ξwn ± wn
√
ξ2 − 1, cuja
natureza depende do valor de ξ. Os casos poss´ıveis sa˜o analisados a seguir.
Amortecimento subcr´ıtico/sistema sub-amortecido, ξ < 1
No caso de sistema sub-amortecido, ξ < 1, as ra´ızes sa˜o complexas conjugadas
e podem ser escritas como
s1,2 = −ξwn ± jwn
√
1− ξ2 = σ ± jwd,
onde σ = −ξwn e´ a parte real e wd = wn
√
1− ξ2 e´ a parte imagina´ria
(caracterizando a frequ¨eˆncia natural amortecida). Estas ra´ızes podem ser
representadas no plano complexo como na Figura 35.
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wn = cte
ξ = cte
s1
s2
φ
wn
−ξwn
wn
√
1− ξ2
−wn
√
1− ξ2
σ (real)
jw (imagina´rio)
Figura 35: Representac¸a˜o de um par complexo conjugado no plano complexo.
Nesta representac¸a˜o verifica-se que wn e´ o raio do c´ırculo e cosφ = ξ.
Observa-se que as ra´ızes s1 e s2 caminham sobre o c´ırculo em func¸a˜o do valor
de ξ.
A soluc¸a˜o homogeˆnea de um sistema de segunda ordem e´ do tipo
yh(t) = A1e
s1t +A2e
s2t = e−ξwnt(A1e
jwdt +A2e
−jwdt) = Ae−ξwntsen(wdt+ φ),
que caracteriza uma resposta oscilato´ria com frequ¨eˆncia wd.
Considere uma entrada do tipo degrau unita´rio, u(t). A soluc¸a˜o particular
sera´ do tipo