Análise Elástica Linear de Lajes

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Grupo de Análise de
Departamento de
Engenharia Civil
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
Apontamentos sobre análise elástica linear de lajes
V.M.A. Leitão
com a colaboração de
J.A. Teixeira de Freitas, L.M.S.S. Castro e O.J.B.A. Pereira
IST, 1996
Grupo de Análise de
Apontamentos sobre análise elástica linear de lajes
1. Estruturas laminares 1
2. Notação a utilizar 2
3. Classificação das lajes 5
4. Lajes finas - hipóteses simplificativas 6
5. Modelo elástico linear de lajes finas 7
5.1 Cinemática. Campo de deslocamentos 7
5.2 Relações deformações-deslocamentos 7
5.2.1 Carácter tensorial das curvaturas 8
5.3 Relações tensões-deformações 8
5.4 Relações tensões-curvaturas 10
5.5 Relações momentos-curvaturas 10
5.5.1 Carácter tensorial dos momentos 11
5.6 Estática-Equilíbrio 12
5.7 Equação de Lagrange das lajes 14
6. Comparação do comportamento estrutural de vigas e lajes 15
7. Análise elástica de lajes - caso geral 17
7.1 Equivalência estática entre momento torsor e forças de corte 18
8. Métodos de análise de lajes 20
8.1 Algumas soluções analíticas simples 21
8.2 Soluções analíticas tabeladas 23
8.2.1 Sensibilidade dos resultados à variação do coeficiente de Poisson 24
8.3 Modelação de lajes através de elementos de grelha 24
8.4 Análise de lajes contínuas 25
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Grupo de Análise de Estruturas 1
1. Estruturas laminares
À semelhança das placas e as cascas, as lajes são, estruturas laminares, ou seja,
apresentam uma dimensão muito menor que as outras duas, o que faz com que o
seu comportamento possa ser considerado bidimensional quando referido ao plano
ou folheto médio.
As lajes são estruturas laminares planas caracterizando-se por as acções que sobre
elas actuam serem sobretudo perpendiculares ao plano médio.
Em particular, nesta introdução ao estudo de lajes serão ignoradas quaisquer
acções no plano da laje, o que leva a que não existam momentos e esforços
(normais e de corte) nesse plano.
Figura 1 - Placa e laje.
Quando as estruturas laminares são não planas designam-se por cascas ou
membranas consoante sejam submetidas sobretudo a esforços de flexão ou a
esforços tangenciais ao folheto médio.
Figura 2 - Esquema de casca/membrana.
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Em qualquer introdução ao estudo de lajes a principal dificuldade é a de transmitir o
conceito da bidimensionalidade do comportamento deste tipo de estruturas, pois,
até aqui, praticamente só estruturas planas formadas por elementos
unidimensionais, estruturas reticuladas, têm sido analisadas.
2. Notação a utilizar
Antes de prosseguir com a formulação, é necessário definir a simbologia e a
notação utilizada para representar as diversas grandezas envolvidas,
nomeadamente os esforços, os deslocamentos, as deformações e as curvaturas.
À semelhança do que sucede para as estruturas reticuladas, a representação do
modelo estrutural de uma laje passa pela simplificação da geometria e das
condições de apoio.
Na Figura 3, extraída de Ref. 1, encontra-se uma laje e a sua representação
esquemática em termos de modelo estrutural. Esta laje apresenta as diversas
condições de apoio a que uma laje vigada pode estar sujeita, nomeadamente:
•
 
bordo livre (entenda-se sem viga de apoio);
•
 
bordo apoiado (apoiado apenas numa viga a qual, por se assumir que não tem
rigidez de torção, não impede eventuais rotações que a laje tenha. O momento
flector na laje é, necessariamente, nulo uma vez que também o é o momento
torsor na viga.);
•
 
bordo encastrado
♦
 
poderá ser realmente encastrado, se se assumir que são nulas as rotações
da laje em relação ao bordo;
♦
 
ou ser parcialmente encastrado, o que sucede quando:
a)
 
se atribui rigidez de torção à viga que, eventualmente, serve de
apoio à laje.
b)
 
o bordo que se está a considerar pertencer, fazendo de interface,
simultaneamente a dois painéis sucessivos de laje. Nesta situação
apenas se impede a rotação relativa entre os painéis, não a rotação
global da laje sobre o apoio. Daí a designação de encastramento
parcial. O momento flector num painel de laje tem que ser igual ao
do painel seguinte de modo a que se verifique o equilíbrio.
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Figura 3 - Representação esquemática das condições de apoio, Ref. 1.
Em relação à notação a utilizar para as diversas grandezas envolvidas será
conveniente fazer a sua representação no espaço tridimensional. Na Figura 4, e
apenas para introdução do referencial que passaremos a utilizar, representa-se a
deformada de uma laje em flexão segundo o eixo y .
Figura 4 - Referencial tridimensional a utilizar.
Em termos de deslocamentos, e no que diz respeito ao tipo de lajes que iremos
analisar, será conveniente identificar, ver Figura 5:
•
 
o deslocamento segundo o eixo z o qual designaremos por deslocamento
transversal, w ;
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• as rotações segundo x e y as quais são as derivadas do deslocamento
transversal, quando se despreza a deformação por corte.
Figura 5 - Representação da deformada de uma laje.
As derivadas, segundo x e y , das rotações definem as curvaturas.
A convenção utilizada para definir os esforços existentes na laje, nomeadamente os
momentos e o esforço transverso, pode ser mais facilmente entendida com base na
Figura 6, na qual se representam os esforços a actuar nas diversas faces de um
elemento infinitesimal de laje.
De notar que os índices se referem não à direcção dos esforços mas sim às
componentes de tensão que os originam.
Por exemplo o momento flector mx é o momento resultante da acção da
componente do vector das tensões actuando segundo o eixo x , ou seja,
m z dzx xx= ∫ σ ,
e não o momento segundo x pois o vector tem a direcção y .
Figura 6 - Convenção de esforços num elemento de laje.
Na Figura 7 representam-se a distribuição admitida para as tensões normais σ xx a
actuar nas faces paralelas ao eixo y e o momento flector mx correspondente.
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Figura 7 - Distribuição de tensões e o momento flector correspondente.
Os restantes esforços são dados por:
m z dzy yy= ∫ σ ,
m m z dzyx xy xy= = ∫ σ ,
v dzx xz= ∫ σ ,
v dzy yz= ∫ σ .
3. Classificação das lajes
As lajes podem classificar-se sob diversos pontos de vista, nomeadamente quanto
ao tipo de apoio, à constituição, ao processo de fabrico, ao modo de flexão
dominante, ao comportamento estrutural; ver Ref. 1 para mais detalhes.
No que diz respeito à Análise de Estruturas interessa sobretudo o seu
comportamento estrutural o qual é, em grande medida, ditado pelos seguintes
factores:
•
 
os tipos de apoios e de cargas, ou seja, pelas condições de fronteira;
•
 
a relação entre os vãos, a qual condiciona a direcção de flexão dominante;
•
 
o comportamento mecânico do material de que a laje é constituída.
•
 
a relação da espessura com o menor dos vãos;
O último destes factores, a relação da espessura com o menor vão (no caso de lajes
vigadas ou com o maior dos vãos no caso de lajes fungiformes), é da maior
importância pois condiciona o tipo de modelo de análise de lajes que se pode
utilizar.
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No que diz respeito a estes apontamentos apenas será considerada a teoria elástica
linear de lajes finas a qual, tendo em conta os pressupostos considerados na sua
dedução, deve apenas ser aplicada a lajes que verifiquem uma relação
espessura/menor vão inferior a aproximadamente 1/5 e ainda que os
deslocamentos transversais máximos sejam relativamente pequenos (inferiores a
aproximadamente 1/5 da espessura, como sugere a Ref. 4).
Um modelo para o estudo de lajes finas é apresentado de seguida.
4. Lajes finas - hipóteses simplificativas
Na análise deste tipo de lajes serão consideradascertas hipóteses simplificativas,
nomeadamente:
•
 
admite-se que o material estrutural é homogéneo e isotrópico com
comportamento elástico linear (linearidade física);
•
 
admite-se que os deslocamentos são pequenos e que também são pequenas as
inclinações do plano médio da laje (derivadas dos deslocamentos transversais) e
as curvaturas (segundas derivadas dos deslocamentos), verificando-se a
linearidade das relações deformações-deslocamentos permitindo que se
estabeleçam as equações de equilíbrio na configuração indeformada (linearidade
geométrica);
•
 
admite-se que a laje tem espessura constante;
•
 
admite-se que as fibras normais ao plano médio se mantêm rectas e
perpendiculares ao plano médio após a deformação;
•
 
admite-se que são nulas as deformações do plano médio da laje;
•
 
e admite-se ainda que são nulas as tensões normais ao plano médio.
Estas três últimas hipóteses são conhecidas pelas hipóteses fundamentais de
Kirchhoff e constituem a base desta teoria elástica linear de lajes.
 
Figura 8 - Deformação de laje com base no modelo de Kirchhoff.
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5. Modelo elástico linear de lajes finas
Considere-se uma laje (estrutura laminar plana) constituída por material homogéneo
de comportamento elástico, linear e isotrópico, de domínio Ω (sujeito ou não a
forças de massa) e fronteira Γ na qual se verificam determinadas condições
impostas.
Indicam-se de seguida as aproximações consideradas para as grandezas
envolvidas, nomeadamente os deslocamentos, as deformações, as tensões e os
esforços, e ainda as relações entre as mesmas grandezas, obtendo-se por fim a
equação diferencial de equilíbrio de lajes escrita em função dos deslocamentos
transversais, a qual é também conhecida por equação de Lagrange.
5.1 Cinemática. Campo de deslocamentos
A assunção das hipóteses de Kirchhoff permite exprimir o campo de deslocamentos
na laje em função dos deslocamentos (e das suas derivadas ou seja das rotações)
do seu plano médio.
No âmbito destes apontamentos apenas se considera o deslocamento transversal
do plano médio, ou seja, w x y( , ) o qual se desenvolve segundo o eixo z .
Os deslocamentos em qualquer ponto ( , , )x y z da peça laminar poderão ser obtidos
através de:
•
 
u x y z z
w x y
x
x ( , , )
( , )
= −
∂
∂ - segundo o eixo x ,
•
 
u x y z z
w x y
yy
( , , ) ( , )= − ∂ ∂ - segundo o eixo y ,
•
 
u x y z w x yz ( , , ) ( , )= - segundo o eixo z .
Portanto, os deslocamentos são função da posição do plano que se está a
considerar e das rotações do plano médio da laje, ver Figura 8.
5.2 Relações deformações-deslocamentos
No ponto genérico ( , , )x y z da laje, as deformações e os deslocamentos relacionam-
se, por força da validade da hipótese dos pequenos deslocamentos, através das
equações de compatibilidade
ε ij i j j iu u= +
1
2
( )
, ,
em que u representa o campo de deslocamentos.
Atendendo a que os deslocamentos são função dos deslocamentos do plano médio
da laje, podem expressar-se as componentes de deformação do plano médio na
forma seguinte:
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ε
∂
∂
ε
∂
∂
ε
∂
∂ ∂
ε ε
xx
yy
xy
xz yz
z
w
x
z
w
y
z
w
x y
= −
= −
= −
= =
2
2
2
2
2
0
,
,
,
.
As hipóteses de Kirchhoff não condicionam a componente ε zz apesar de se poder
dizer que o seu valor será pequeno quando comparado com as restantes
componentes de deformação.
Fica claro então que, para uma dada cota z , as componentes de deformação só
dependem das derivadas dos deslocamentos transversais ou seja das curvaturas,
as quais se definem da seguinte forma:
•
 
a curvatura de flexão segundo o eixo x , χ ∂ ∂x w x= − 2 2/ ;
•
 
a curvatura de flexão segundo o eixo y , χ ∂ ∂y w y= − 2 2/ ;
•
 
a curvatura de torção, χ ∂ ∂ ∂xy w x y= − 2 / .
5.2.1 Carácter tensorial das curvaturas
Pode observar-se que as curvaturas definidas acima χ χx y, e χ xy constituem um
tensor, o tensor das curvaturas. Sendo conhecidas estas componentes num
qualquer ponto é possível obter curvaturas em qualquer outro referencial
ortonormado. Isto significa que é também possível obter, para este tensor, as
componentes segundo as direcções principais as quais coincidem com as direcções
principais de deformação.
As componentes segundo as direcções principais podem obter-se recorrendo ao
círculo de Mohr.
Um resultado importante é o da invariância da curvatura média, definida como a
soma das componentes segundo cada um dos eixos coordenados, em qualquer
ponto da laje e para qualquer sistema de eixos considerado. Associado a este
resultado está o das curvaturas de torção máxima e mínima fazerem ângulos de 45º
com as direcções principais de flexão.
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5.3 Relações tensões-deformações
As tensões obtêm-se das deformações através da lei de Hooke generalizada,
assumindo que o material de que se compõe a laje é elástico linear, homogéneo e
isotrópico, a qual toma a forma seguinte
σ
ν
ε νε
σ
ν
ε νε
σ
ν
ε
xx xx yy
yy yy xx
xy xy
E
E
E
=
−
+
=
−
+
=
+
1
1
1
2
2
( ) ,
( ) ,
.
De um modo geral pode dizer-se que o efeito das componentes de tensão segundo
o eixo z é desprezado o que corresponde a considerar que cada lâmina da laje no
plano x y− se encontra num estado plano de tensão.
Neste modelo assume-se, pois, que a componente σ zz é nula. De notar, contudo,
que este resultado não pode ser deduzido directamente das componentes de
deformação.
Também as componentes σ xz e σ yz não podem ser obtidas directamente das
componentes de deformação e isto porque se assume que o material de que se
compõe a laje é rígido ao corte, ε εxz yz= = 0 .
As tensões tangenciais segundo a direcção transversal não são, pois, determináveis
a partir das componentes de deformação respectivas.
Para este modelo de lajes finas, pode admitir-se, por considerações de equilíbrio
que não directamente a partir das componentes de deformação, que a distribuição
de tensões tangenciais é parabólica na espessura da laje com valor máximo no
plano médio da laje e com valor nulo em ambas as extremidades.
Admitindo essa distribuição parabólica as tensões tangenciais máximas são:
( ) maxσ xz xv h=
3
2
1
( ) maxσ yz yv h=
3
2
1
ou seja, exactamente uma vez e meia o esforço transverso médio na espessura da
laje.
Outra consequência directa da hipótese de ser nula a componente σ zz é a de que
as cargas têm que ser entendidas como sendo aplicadas exactamente no plano
médio da laje e não nas superfícies superior ou inferior.
Se a laje for espessa é natural que a solução obtida através da teoria de lajes finas,
em que se considera que a carga está a ser aplicada no plano médio da laje, difira
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consideravelmente da solução obtida com base em teorias mais elaboradas as
quais têm em conta a forma como a carga está a ser aplicada.
5.4 Relações tensões-curvaturas
Escrevendo as tensões em função das curvaturas (ou segundas derivadas dos
deslocamentos transversais) obtém-se:
σ
ν
∂
∂ ν
∂
∂
σ
ν
∂
∂ ν
∂
∂
σ
ν
∂
∂ ∂
σ
xx
yy
xy
zz
E
z
w
x
w
y
E
z
w
y
w
x
E
z
w
x y
= −
−
+




= −
−
+




= −
+
=
1
1
1
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
,
,
,
ou
( )
( )
σ
ν
χ νχ
σ
ν
χ νχ
σ
ν
χ
σ
xx x y
yy y x
xy xy
zz
E
z
E
z
E
z
=
−
+
=
−
+
=
+
=
1
1
1
0
2
2
,
,
,
.
Como se vê as tensões são proporcionais à distância z da lâmina ao planomédio
da laje e também são proporcionais às curvaturas.
5.5 Relações momentos-curvaturas
Os esforços, nomeadamente os momentos e os esforços transversos, obtêm-se por
integração das componentes de tensão (devidamente multiplicadas pela distância
ao plano médio) ou seja:
m zdz
E
z
w
x
w
y
dz
m
Eh w
x
w
y
D
w
x
w
y
x xx
h
h
h
h
x
= = −
−
+




= −
−
+



 = − +




− −
∫ ∫σ ν ∂∂ ν ∂∂
ν
∂
∂ ν
∂
∂
∂
∂ ν
∂
∂
/
/
/
/
,
( ) ,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
12 1
m D
w
y
w
x
m m D
w
x y
y
xy yx
= − +




= = − −
∂
∂ ν
∂
∂
ν
∂
∂ ∂
2
2
2
2
2
1
,
( ) ,
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em que D Eh= −3 212 1/ ( )ν é a rigidez de flexão da laje (por unidade de
comprimento).
As relações acima podem também ser escritas como:
( )
( )
m D
m D
m m D
x x y
y y x
xy yx xy
= +
= +
= = −
χ νχ
χ νχ
ν χ
,
,
( ) .1
A rigidez de flexão da laje não é mais que o momento mα que é necessário aplicar
para que a curvatura correspondente seja unitária mantendo-se nulas as restantes
curvaturas.
A rigidez de torção é igual a D( )1− ν ou seja Eh3 12 1/ ( )+ ν e corresponde ao
momento torsor que é necessário aplicar para se obter, apenas, curvatura de torção
unitária.
Será interessante notar que a rigidez de torção de uma viga de secção rectangular é
GJ Ebh= +3 6 1/ ( )ν
em que J é o momento polar de inércia da secção e em que G representa o
módulo de distorção ( G E= +/ ( ( ))2 1 ν .
Vê-se pois, que uma viga de 1 metro de largura tem exactamente o dobro da rigidez
de torção que uma faixa da laje com 1 metro de lado. Tal deve-se ao facto dos
momentos torsores existirem aos pares, mxy e myx .
De notar que estes são momentos por unidade de comprimento pois a integração
das tensões na outra direcção não foi levada a cabo.
5.5.1 Carácter tensorial dos momentos
Neste momento é conveniente notar que também os momentos m mx y, e mxy são as
componentes de um tensor, o tensor dos momentos. Sendo conhecidas estas
componentes num qualquer ponto é possível obter momentos em qualquer outro
referencial ortonormado. Isto significa que é também possível obter, para este
tensor, as componentes segundo as direcções principais as quais coincidem com as
direcções principais de tensão, de deformação e das curvaturas
Seja um sistema de eixos ortonormados α β, rodado φ em relação ao sistema x y,
usual.
Os momentos segundo estes novos eixos são pois:
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( )
m m m m
m m m m
m m m m
a x y xy
x y xy
a x y xy
= + +
= + −
= − + +
cos sin cos sin ,
sin cos cos sin ,
sin sin cos .
2 2
2 2
2
2
1
2
2 2 2 2
φ φ φ φ
φ φ φ φ
φ φ φ
β
β
Tal como para as curvaturas, também para os momentos se verifica a invariância da
soma das componentes segundo os eixos, ou seja,
m m m mx y+ = +α β .
Recorrendo ao círculo de Mohr podem obter-se os momentos principais:
m m m m m m
m m m m m m
I x y x y xy
II x y x y xy
= + + − +
= + − − +
1
2
1
2
4
1
2
1
2
4
2 2
2 2
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
O ângulo que as direcções principais de flexão fazem com os eixos x y, é dado por:
γ = −
−




1
2
2
arctan ( )
m
m m
xy
x y
.
As direcções para as quais são máximos (ou mínimos) os momentos flectores, as
direcções principais definidas acima, formam um ângulo de 45º com as direcções
para as quais o momento torsor é máximo (ou mínimo),
m m m m
m m m m
xy x y xy
xy x y xy
max
min
( ) ,
( ) .
= − +
= − − +
1
2
4
1
2
4
2 2
2 2
5.6 Estática-Equilíbrio
Tome-se um elemento infinitesimal dx dy. de uma laje submetida a uma carga
distribuída na superfície, q , tal como na Figura 9.
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Figura 9 - Equilíbrio de um elemento infinitesimal de laje.
O equilíbrio verifica-se por satisfação das seguintes condições:
•
 
é nula a resultante das forças segundo o eixo z ,
F v dy v dx v dv dy v dv dx q dx dyz x y x x y y∑ = ⇔ + − + − + − =0 0. . ( ). ( ). . .
F
v
x
v
y
qz
x y∑ = ⇔ + + =0 0∂∂
∂
∂ ,
em que vx e vy são os esforços transversos (por metro);
•
 
é nula a resultante dos momentos na direcção x ,
M
m
y
m
x
vx
y xy
y∑ = ⇔ + − =0 0∂∂
∂
∂ ;
•
 
é nula a resultante dos momentos na direcção y ,
M
m
y
m
x
vy
yx x
x∑ = ⇔ + − =0 0∂∂
∂
∂ .
É possível agora definir os esforços transversos também em função das curvaturas
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v
m
x
m
y
D
x
D
y
D
x
v
m
y
m
x
D
y
D
x
D
y
x
x yx
x y xy x y
y
y xy
y x xy x y
= + = + + − = +
= + = + + − = +
∂
∂
∂
∂
∂
∂ χ νχ ν
∂
∂ χ
∂
∂ χ χ
∂
∂
∂
∂
∂
∂ χ νχ ν
∂
∂ χ
∂
∂ χ χ
( ) ,
( ) .
1
1
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Eliminando os esforços transversos das equações de equilíbrio escritas acima
obtém-se a equação de equilíbrio das lajes que envolve 3 incógnitas:
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
2
2
2
2
2
2
m
x
m
y
m
x y
qx y xy+ + = −
A indeterminação estática que advém da existência de mais incógnitas que
equações leva a que seja possível equilibrar as cargas aplicadas à laje de diversas
maneiras ou seja há um número indeterminado de soluções equilibradas. Mais à
frente iremos ver como se pode tirar partido deste facto na análise de lajes.
5.7 Equação de Lagrange das lajes
A equação de Lagrange exprime o equilíbrio do elemento infinitesimal da laje em
função dos deslocamentos transversais w do plano médio.
Esta equação obtém-se substituindo as relações entre os esforços e as segundas
derivadas dos deslocamentos transversais (as curvaturas) do plano médio da laje na
equação de equilíbrio atrás descrita:
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
4
4
4
2 2
4
42
w
x
w
x y
w
y
q
D
+ + =
ou seja:
∇ =4 w
q
D
.
A solução desta equação, para um determinado número de condições de fronteira,
permite obter o campo de deslocamentos, o campo de deformações e os esforços
generalizados na laje.
A aplicação desta teoria ao estudo de lajes genéricas com geometria e condições de
fronteira gerais pode, em certos casos como iremos ver mais à frente, apresentar
algumas dificuldades já que a resolução analítica de equações diferenciais do tipo
da equação de Lagrange só pode ser feita para geometrias mais simples.
É possível contudo, simplificar o estudo de lajes que apresentem determinadas
características, nomeadamente o caso de lajes simplesmente apoiadas com uma
das dimensões muito superior à outra.
Neste caso, a laje deforma em flexão cilíndrica, pelo menos suficientemente longe
dos apoios, o que significa que a flexão se dá segundo uma das direcções apenas.
Este caso será introduzido com referência à analogia entre os comportamentos de
vigas e deste tipo de lajes.
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6. Comparação do comportamento estrutural de vigas e lajes
A equação diferencial da elástica (a equação que define a deformada assumindo
comportamento elástico linear) de uma viga submetida a uma carga p x( ) é,
admitindo que a o eixo da viga se encontra alinhado com o eixo x,
EI
d w
d x
p xyy
4
4 = ( ) ,
sendo o momento flector dado por:
− =EI
d w
d x
m xyy x
2
2 ( ) ,
em que EI yy é a rigidez de flexão da viga e o termo às derivadas parciais do
deslocamento transversal representa a curvatura, Figura 10.
Figura 10 - Deformada de uma viga.Esta equação assume que as secções transversais se mantêm planas e ortogonais
ao eixo da peça linear após a deformação (hipótese de Bernoulli). De notar as
semelhanças com as hipóteses de Kirchhoff.
Daqui resulta que, para uma dada secção transversal e para momento flector
positivo, a deformação das fibras longitudinais na face superior é − ε sendo de ε
nas fibras da face inferior.
Esta deformação implica, por efeito de Poisson, que se desenvolvam deformações
transversais que são positivas na face superior e negativas na face inferior.
ε νεtransversal =
ε νεtransversal = −
Figura 11 - Deformada da secção transversal de uma viga.
Não havendo restrições a essa deformação transversal não se desenvolvem
tensões transversais.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 16
Se alinharmos uma série de vigas com os eixos paralelos entre si como que a
formar uma laje pode dizer-se que as deformações transversais estão restringidas
(devem ser nulas para que se mantenha a continuidade) o que leva ao
aparecimento de tensões transversais σ νσyy xx= , em que ν é o coeficiente de
Poisson, as quais produzem um momento flector
m z dz my yy x= =∫ σ ν
na direcção transversal à do eixo.
As componentes de deformação e de tensão segundo o eixo são:
ε
ν σ
σ
ε
ν ν
xx
xx
xx
xx
E
E Ez d w
dx
=
−
=
−
= −
−
( )1
1 1
2
2 2
2
2
obtendo-se, por integração na altura da secção h ,
m zdz
Eh d w
dx
D
d w
dxx xxh
h
= = −
−
= −
−
∫ σ ν/
/
( )2
2 3
2
2
2
2
212 1
,
em que D é a rigidez de flexão da laje formada pela justaposição de vigas paralelas
entre si e assumindo que a flexão é cilíndrica.
São evidentes as semelhanças entre o comportamento de uma viga e o de uma laje
longa em flexão cilíndrica pura na qual só existe curvatura numa direcção, a do
menor vão. Na outra direcção não existe curvatura desenvolvendo-se apenas um
momento flector por efeito de Poisson.
Este modelo simplificado só é aceitável para lajes longas com flexão apenas
segundo o eixo mais curto (flexão cilíndrica).
A análise de lajes que não se possam considerar longas requer a consideração da
flexão em ambas as direcções, ver Figura 5.
Havendo flexão em ambas as direcções, há também curvaturas com momentos a
desenvolverem-se necessariamente em ambas as direcções.
Sendo os momentos proporcionais às curvaturas e dependendo mais, como é
natural, da curvatura correspondente à direcção do momento que se está a
considerar, o que vai acontecer, em geral, é que os momentos segundo o menor
dos vãos (para iguais condições de fronteira em todos os bordos de uma laje
rectangular) são superiores aos do vão maior.
De notar que existindo compatibilidade dos deslocamentos transversais ( w x y( , ) é
único para um determinado ponto) as curvaturas são necessariamente maiores para
o menor dos vãos.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 17
7. Análise elástica de lajes - caso geral
A equação de Lagrange definida atrás rege o comportamento de qualquer laje fina
com base no modelo de Kirchhoff.
A resolução de qualquer equação diferencial requer a satisfação de determinadas
condições de fronteira as quais reflectem o tipo de apoios a que a laje está sujeita.
Essas condições de fronteira são, para os diferentes tipos de apoio a que a laje
pode estar sujeita, listadas de seguida.
•
 
bordo rigidamente encastrado ;
♦
 
w
x a=
= 0 o que significa que são nulos os deslocamentos transversais no
bordo de coordenada x a= .
♦
 
∂
∂
w
x
x a=
= 0 o que significa que é nula a rotação segundo x no bordo de
coordenada x a= .
 
 
 
Figura 12 - Bordo x=a encastrado.
•
 
bordo simplesmente apoiado em viga sem rigidez de torção mas com rigidez de
flexão infinita;
♦
 
w
x a=
= 0 o que significa que são nulos os deslocamentos transversais no
bordo de coordenada x a= .
♦
 
∂
∂ ν
∂
∂
2
2
2
2 0
w
x
w
y
x a
+



 =
=
 o que significa que é nulo o momento flector x no
bordo de coordenada x a= .
 
 
Figura 13 - Bordo x=a simplesmente apoiado.
•
 
bordo livre
♦
 m m vx x a xy x a x x a= = =
= = =0 0 0, , são, aparentemente, as condições
que exprimem a inexistência de forças a actuar no bordo logo esforços
nulos no bordo de coordenada x a= .
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 18
 
Pode provar-se, ver secção seguinte, que as duas últimas condições são, na
realidade, uma só daí que, no âmbito da teoria de lajes finas, as duas
condições de fronteira do bordo livre sejam:
1.
 
 
∂
∂ ν
∂
∂
2
2
2
2 0
w
x
w
y
x a
+



 =
=
.
2.
 
 
∂
∂ ν
∂
∂ ∂
3
3
3
22 0
w
x
w
x y
x a
+ −




=
=
( )
 
ao invés das 3 condições inicialmente referidas.
 
• bordo parcialmente encastrado ou seja bordo apoiado em viga com rigidez de
torção (definida por C ) e rigidez de flexão ( B ) finitas;
♦ B
w
y
D
w
x
w
x y
x a x a
∂
∂
∂
∂ ν
∂
∂ ∂
4
4
3
3
3
22



 = + −




= =
( ) o que exprime o equilíbrio entre o
esforço transverso efectivo e a reacção sobre a viga ou seja a interacção
entre a flexão da viga e a deformação da laje no bordo de coordenada
x a= .
♦ C
w
x y
D
w
x
w
y
x a x a
∂
∂ ∂
∂
∂ ν
∂
∂
3
2
2
2
2
2



 = +




= =
o que relaciona a torção da viga e a
deformação da laje no bordo de coordenada x a= .
 
 Figura 14 - Bordo apoiado em viga com rigidez de torção.
7.1 Equivalência estática entre momento torsor e forças de corte
 
No tratamento das condições de fronteira do bordo livre verificou-se haver uma
determinada relação entre as condições de serem nulos o momento torsor e o
esforço transverso nesse bordo.
 
Tentemos definir melhor o que são estas duas grandezas. Em cada elemento
infinitesimal o momento torsor mxy é um momento a actuar na face ortogonal à
direcção do eixo x resultante de tensões a actuar nessa face segundo a direcção y
ver Figura 15; admite-se uma determinada variação de mxy , dada por
m
m
y
dyxy
xy
'
=
∂
∂ , ao longo da face paralela a y .
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 19
 
 Figura 15 - Tensões tangenciais e momento torsor no bordo.
 
Em termos puramente estáticos é fácil observar que o momento torsor num
elemento infinitesimal de dimensão dy é equivalente ao binário formado por forças
de corte a actuar nessa face segundo a direcção z , ver Figura 16.
 
 Figura 16 - Equivalência entre o momento torsor e forças de corte.
 
 
Quando a variação de mxy ao longo da face paralela a y é nula existe equilíbrio das
forças de corte representadas na Figura 16 entre cada elemento infinitesimal dy
excepto nos cantos onde, por força da condição de equilíbrio que se deve verificar
sempre, essas forças têm que ser compensadas com reacções de intensidade:
 R m D
w
x yxy
= = −2 2 1
2
( )ν ∂∂ ∂
 
tal como indicado na figura 17.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 20
 
 Figura 17 - Reacções de canto como resultado da equivalência estática entre momentos
torsores e esforços transversos.
 
 
Quando a variação de mxy ao longo da face paralela a y , 
∂
∂
m
y
xy
, não é nula, existem
forças de corte desequilibradas de intensidade v
m
yx
xy
x a
′ =
=
∂
∂ aplicadas no bordo,
devido à equivalência estática entre o momento torsor e o esforço transverso.
 
(Nota: Estas forças adicionais resultam de se terem desprezado as deformações por
esforço transverso. Com outras teorias, mais desenvolvidas, que tenham em conta
esse efeito não é necessário definir quaisqueresforços de corte adicionais.)
 
A existência destas forças de corte faz com que se tenha que redefinir o esforço
transverso. Assim aos esforços transversos previamente definidos
 v
m
x
m
yx
x xy
x a
= +




=
∂
∂
∂
∂
 
devem adicionar-se as forças de corte desequilibradas v x′ obtidas atrás.
 
Designa-se esta resultante por esforço transverso efectivo
 r v
m
yx x
xy
x a
= +
=
∂
∂ .
 
É assim claro que no caso do bordo livre a condição de fronteira que se deve impor
é a de que o esforço transverso efectivo rx seja nulo e não que vx seja nulo.
As forças de canto não se desenvolvem no caso de os bordos convergentes no
canto serem ambos livres ou de um deles ser encastrado ( mxy = 0 no bordo).
8. Métodos de análise de lajes
Quando a geometria e as condições de fronteira da laje são simples, a equação de
Lagrange pode ser resolvida analiticamente.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 21
Muitas dessas soluções estão tabeladas. Este é, sem dúvida, o processo mais
utilizado pelos projectistas no dimensionamento de painéis de laje que não
apresentem dificuldades de maior.
Nos casos mais gerais a equação de Lagrange tem de ser resolvida recorrendo a
técnicas numéricas como sejam:
•
 
o método dos elementos finitos;
•
 
o método das diferenças finitas.
A modelação de lajes através de elementos de grelha é outra técnica correntemente
utilizada para a análise de lajes com geometria e/ou condições de fronteira mais
complexas e quando não se dispõe de um programa de elementos finitos de laje ou
não se justifica a sua utilização.
A modelação através de elementos de grelha corresponde, na realidade, à definição
do “caminho” da “trajectória” que as cargas tomam até descarregarem nos apoios.
Pode provar-se, com recurso à análise plástica limite, nomeadamente ao teorema
estático, que as distribuições de esforços assim determinadas estão sempre do lado
da segurança o que é muito importante em termos de dimensionamento de lajes. É
usual referir-se este método como sendo o método das faixas ou das bandas.
Por último deve referir-se ainda um outro método baseado no teorema cinemático
da análise plástica limite, o método das linhas de rotura. Este método é, talvez, o
menos utilizado por fornecer uma solução que sobrestima a capacidade resistente
da laje não estando, portanto, do lado da segurança.
8.1 Algumas soluções analíticas simples
A solução analítica da equação de Lagrange passa normalmente por encontrar a
combinação de duas soluções, as soluções complementar e particular, que,
conjuntamente, devem verificar as condições de fronteira do problema. A solução
complementar é solução da equação homogénea e a solução particular, por si só,
não tem que verificar as condições de fronteira do problema.
•
 
Laje rectangular simplesmente apoiada sujeita a carga sinusoidal
Este é um caso simples para o qual há uma solução analítica também
simples.
Considere-se uma laje rectangular de dimensões a b, sujeita à carga sinusoidal
[ ][ ]q q x
a
y
b
x y a b= ∈0 0 0sin sin , ( , ) , ,
π π
,
 em que q0 é a intensidade da carga no ponto médio da laje.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 22
A solução da equação de Lagrange sujeita às condições de fronteira de
bordo simplesmente apoiado é:
w
q
D
a b
x
a
y
b=
+




0
4
2 2
21 1
π
π π
sin sin .
É relativamente fácil obter os campos de esforços correspondentes a esta
solução bastando para isso recorrer às expressões apropriadas.
•
 
Laje rectangular simplesmente apoiada - solução de Navier
Normalmente as cargas não são, como no exemplo anterior, sinusoidais.
Como é possível descrever qualquer função (qualquer carregamento) por
meio de uma série de Fourier, Navier sugeriu que se tomasse como solução
geral da equação de Lagrange a sobreposição das soluções para infinitos
carregamentos, cada um da forma duplamente sinusoidal como a do exemplo
anterior.
Assim, para uma carga genérica q f x y= ( , ) Navier propôs a seguinte
solução,
w
D
a
m
a
n
b
m x
a
n y
bm
mn
n
=
+




=
∞
=
∞∑ ∑14
1
2
2
2
2
2
1π
π π
sin sin
com a carga genérica a ser representada por
f x y a m x
a
n y
bm mnn
( , ) sin sin=
=
∞
=
∞∑ ∑
1 1
π π
.
Para o caso de carga uniformemente distribuída de intensidade q0 , toma-se
a q mnmn = 16 0
2π para m e n inteiros ímpares.
•
 
Laje rectangular simplesmente apoiada uniformemente carregada - solução de
Lévy
Esta solução é um pouco mais simples que a anterior já que admite uma
certa regularidade do comportamento numa das direcções o que permite usar
uma expansão em série simples em oposição à dupla série da solução de
Navier. Essa regularidade prende-se com o facto de se assumir que dois
bordos opostos são simplesmente apoiados. Se, por exemplo, os vãos
segundo y forem simplesmente apoiados pode admitir-se que:
w Y
m x
a
m
m
=
=
∞
∑ sin π
1
com Ym a depender de y apenas. Nas expressões seguintes considera-se
[ ][ ]( , ) , / , /x y a b b∈ −0 2 2 .
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 23
A solução de Lévy para uma laje rectangular simplesmente apoiada é:
w
q
D
x ax a x
qa
D
A
m y
a
B
m y
a
m y
a
m x
a
m m
m
= − + + +




=
∞∑24 24 3 3
4
1
( ) cosh sinh sinπ π π π
em que
A
m
B
m
m b
a
m
m m
m
m
m
m
= −
+
=
=
2 2
2
2
5 5
5 5
( tanh )
cosh
cosh
α α
π α
π α
α
π
para m e n inteiros ímpares.
Do referido acima vê-se que, até para casos muito simples, as soluções analíticas
são de difícil utilização mesmo considerando que as séries têm uma convergência
tão rápida que, por vezes, um termo só da série já dá resultados de muito boa
qualidade.
8.2 Soluções analíticas tabeladas
Para obviar às dificuldades referidas acima recorre-se a tabelas, ver Ref. 4, em que
os termos das séries já estão devidamente calculados.
Considerem-se as expressões apropriadas para os momentos flectores obtidos com
base no campo de deslocamentos da laje, nomeadamente:
[ ]m qx a x qa m B A m x
a
x y m m
m
=
=
∞
=
−
− − −∑0 2 2 2
1 32
2 1
( ) ( ) sin
, ,...
π ν ν
π
[ ]m qx a x qa m B A m x
a
y y m m
m
=
=
∞
=
−
− + −∑0 2 2 21 32 2 1ν π ν
π( ) ( ) sin
, ,...
.
Não é difícil verificar que se podem tabelar os coeficientes destas séries numa
forma conveniente, por exemplo em função de qa 2 . A partir daqui é muito simples a
obtenção dos momentos bastando para isso fazer, por exemplo para o momento
segundo x :
m qax y x a= = =0 2
2
, /
β
com o coeficiente β a ser lido de uma tabela.
8.2.1 Sensibilidade dos resultados à variação do coeficiente de Poisson
Para lajes de igual geometria, condições de fronteira e módulo de elasticidade, a
influência do coeficiente de Poisson sobre os resultados pode ser significativa no
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 24
que diz respeito aos valores dos esforços já não o sendo em relação aos
deslocamentos transversais.
Estes são inversamente proporcionais à rigidez de flexão da laje D Eh=
−
3
212 1( )ν . Se
calcularmos D para ν = 0 15. e ν = 0 0. obtém-se, respectivamente,
D Eh D Ehν ν= == =0 15
3
0 0
30 085 0 083
. .
. . . A diferença, menos de 3% no que diz
respeito aos deslocamentos, é pequena.
Sendo a rigidez de flexão menor para ν menor, são os deslocamentos maiores e os
momentos menores também. Os esforços transversos efectivos são também
afectados, mas em menor grau, não o sendo em absoluto no caso de bordos
encastrados.
Na Ref. 4 encontram-se as expressões que permitem obter qualquer dos esforços
(momentos flectores,esforços transversos e esforços transversos efectivos) uma
vez conhecidos os valores dos mesmos para a situação de coeficiente de Poisson
nulo.
8.3 Modelação de lajes através de elementos de grelha
As tabelas de lajes existentes limitam-se aos casos de geometria e de carregamento
mais simples. Sempre que a laje apresentar aberturas ou um determinado
carregamento mais complexo ou espessura variável, etc., torna-se necessário o uso
de outras técnicas, a mais poderosa das quais sendo, sem dúvida, o método dos
elementos finitos.
Os modelos de grelha também permitem a análise de lajes de geometria mais
complexa sendo por isso uma boa alternativa ao uso de um programa de elementos
finitos de laje.
Como se referiu anteriormente, a utilização do modelo de grelha, tem por objectivo a
obtenção de uma solução estaticamente admissível, a qual está, sempre, do lado da
segurança.
Para tal, discretiza-se a laje em ambas as direcções em faixas de uma certa largura
concentrando-se a rigidez e as cargas nos eixos que representam essas faixas.
Atribui-se uma rigidez de flexão igual à da de uma viga com iguais dimensões às da
faixa ou banda e atribui-se uma rigidez de torção igual a metade da de uma viga
com iguais dimensões às da faixa ou banda (a justificação foi dada atrás).
A aplicação das cargas é feita preferencialmente nos nós por ser mais fácil e porque
os resultados não diferem muito do caso em que se admitem cargas distribuídas
nos elementos de grelha.
Será importante referir que mesmo ignorando a rigidez de torção dos elementos da
grelha é possível obter soluções elásticas equilibradas as quais podem também ser
utilizadas para dimensionamento da laje.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 25
8.4 Análise de lajes contínuas
Até aqui só se referiu o caso de um painel de laje isolado. Quando, como é corrente
em edifícios, as lajes são contínuas, ou seja, existem bordos que servem de
interface entre painéis adjacentes de laje, é necessário, nomeadamente,
compatibilizar os momentos e o esforço transverso de um painel para outro.
Se laje contínua for analisada por meio de programas de cálculo automático de
grelhas ou com elementos finitos não há nenhuma dificuldade extra em relação à
análise de painéis isolados. Apenas aumenta a dimensão do problema, ou seja, o
número de barras ou elementos a considerar.
É possível analisar lajes contínuas com base nas tabelas de lajes isoladas. Na
realidade, este é o procedimento normalmente seguido em estruturas correntes em
que se faz uma análise em separado de cada painel de laje, considerando-se o
bordo interface como encastrado, equilibrando-se os esforços à posteriori.
O equilíbrio é feito considerando-se que, nesse bordo, o momento instalado é a
média dos momentos de um e outro painel (desde que o valor médio seja igual ou
superior a 80% do maior dos momentos). Claro que se um dos painéis estiver em
consola o momento na interface é precisamente o momento do painel em consola,
como é natural.
Alterar o valor do momento num determinado bordo obriga à alteração dos restantes
momentos em particular a meio vão.
Considere-se o caso em a média dos momentos na interface é inferior ao momento
inicialmente aí calculado para um determinado painel.
Em termos de momentos a meio vão, e para que se continue a estar do lado da
segurança, o que se faz é adicionar ao momento de meio vão (admitindo, como é
usual, que este momento seja positivo) metade da diferença entre a média dos
momentos (normalmente negativos) na interface e o momento na interface do painel
que se está a considerar.
Com este procedimento garante-se a satisfação do equilíbrio e da segurança. Se,
por acaso, a média dos momentos na interface é superior ao momento inicialmente
aí calculado para um determinado painel então é usual não tirar partido disso na
diminuição do momento a meio vão deixando-o como está.
Também é possível resolver analiticamente lajes contínuas. Para tal usa-se, por
exemplo, o método das forças o qual passa pela introdução de libertações (rótulas)
nas interfaces, compatibilizando-se depois as rotações entre os diferentes painéis
para a acção quer do carregamento, quer dos pares de momentos a actuar nas
libertações (respectivamente, soluções particular e complementar).
Figura 18 - Lajes contínuas.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 26
REFERÊNCIAS:
1.
 
Betão Armado II - Vol. I, Grupo de Betão Armado e Pré-esforçado, Secção de
Folhas da AEIST, 1989.
2.
 
Teoria Elástica Linear de Placas e Lajes, J.A.C. Martins, IST, 1992.
3.
 
Theory of Plates and Shells, S.P. Timoshenko e S. Woinowsky-Krieger, McGraw-
Hill, 1970.
4.
 
Tablas para el cálculo de placas y vigas pared, R. Bares, Editorial Gustavo Gili,
Barcelona, 1981.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 27
Anexo A
Comparação de diferentes métodos na análise de uma laje rectangular
simplesmente apoiada
Considere-se a laje representada na Figura A.1.
Figura A.1 - Laje rectangular.
Assumem-se as seguintes características:
módulo de elasticidade, E = 1 kN / m2 ;
coeficiente de Poisson, ν = 015. ;
espessura, h=0.12 m;
carga uniformemente distribuída, q=5 kN/m2.
A laje foi analisada com recurso a quatro técnicas diferentes:
1.
 
solução analítica de Levy:
•
 
considerando apenas 1 termo da série;
•
 
considerando 10 termos da série;
2.
 
tabelas, Ref. 4;
3.
 
utilização de um programa de análise de grelhas. Duas discretizações foram
consideradas:
discretização A, representada na Figura A.2, com largura de faixa de
1m;
discretização B, representada na Figura A.3, com largura de faixa de
0.5m.
Com base nestas discretizações analizaram-se os casos seguintes:
•
 
grelha AI, c/ rigidez de torção, ν = 015. e rotações livres tangencialmente
aos bordos;
Lx=3m
Ly=6m
x
y
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 28
• grelha AII, c/ rigidez de torção, ν = 015. e rotações impedidas
tangencialmente aos bordos;
• grelha AIII, c/ rigidez de torção, ν = 0 0. e rotações impedidas
tangencialmente aos bordos;
• grelha AIV, s/ rigidez de torção, ν = 015. e rotações impedidas
tangencialmente aos bordos;
• grelha BI, c/ rigidez de torção, ν = 015. e rotações livres tangencialmente
aos bordos;
• grelha BII, c/ rigidez de torção, ν = 015. e rotações impedidas
tangencialmente aos bordos;
4. utilização de um programa de elementos finitos de laje.
Figura A.2 - Modelo de laje rectangular. Discretizações adoptadas para utilização de um
programa de análise de grelhas.
Os resultados obtidos, nomeadamente os momentos mx e my a meio vão e o
deslocamento transversal, foram calculados para as diferentes técnicas acima
referidas e são representados na Tabela 1.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 29
m
kNm m
x
( / )
m
kNm m
y
( / )
w E
kN m
max
( / )
×
Solução
analítica
n=1
4.458 1.435 27980.0
Solução
analítica
n=10
4.458 1.435 27850.0
Tabelas, Ref. 4 4.460 1.422 27867.2
Elementos
finitos
4.504 1.422 27520.0
Grelha AI 5.287 0.680 31541.7
Grelha AII 4.572 0.673 27323.7
Grelha AIII 4.458 0.662 26766.5
Grelha AIV 5.590 0.790 32348.4
Grelha BI 5.455 0.784 35347.4
Grelha BII 4.868 0.802 31241.2
Tabela 1 - Comparação, a meio vão, dos resultados obtidos com todas as técnicas
Nas Figuras A.3 a A.5 representam-se, designadamente o deslocamento transversal
e o momento segundo o maior vão, e o momento segundo o menor vão para as
duas técnicas que fornecem valores mais próximos dos exactos, respectivamente o
método dos elementos finitos e a solução analítica de Levy. Para este caso muito
simples de laje rectangular simplesmente apoiada, a consideração de um termo
apenas da série já é suficiente como aproximação à solução exacta.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 30
0,00E+00
5,00E+03
1,00E+041,50E+04
2,00E+04
2,50E+04
3,00E+04
0 1 2 3 4 5 6 7
Solução de Levy
Elementos finitos
Figura A.3 - Variação do deslocamento transversal segundo y (*E).
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
0 1 2 3 4 5 6 7
Solução de Levy
Elementos finitos
Figura A.4 - Variação do momento my (vão maior).
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 31
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Solução de Levy
Elementos Finitos
Figura A.5 - Variação do momento mx (vão menor).
Quase não se distinguem as duas soluções, analítica e com elementos finitos.
Maiores diferenças surgirão com as grelhas.
Nas figuras A.6 a A.8 representam-se as variações das mesmas grandezas
(momentos e deslocamento transversal) para as grelhas com base na discretização
A e nas figuras A.9 a A.11 representam-se as variações para as grelhas com base
na discretização B. Como solução de referência toma-se a solução de elementos
finitos.
0,00E+00
5,00E+03
1,00E+04
1,50E+04
2,00E+04
2,50E+04
3,00E+04
3,50E+04
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Grelha AIV
Grelha AII
Grelha AIII
Grelha AI
Elementos Finitos
Figura A.6 - Variação do deslocamento transversal segundo y (*E); grelhas A.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 32
-5,00E-01
0,00E+00
5,00E-01
1,00E+00
1,50E+00
2,00E+00
2,50E+00
0 1 2 3 4 5 6 7
Grelha AII
Grelha AIII
Elementos Finitos
Grelha AIV
Grelha AI
Figura A.7 - Variação do momento my (vão maior); grelhas A.
-1,00E+00
0,00E+00
1,00E+00
2,00E+00
3,00E+00
4,00E+00
5,00E+00
6,00E+00
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Grelha AII
Grelha AIII
Elementos Finitos
Grelha AIV
Grelha AI
Figura A.8 - Variação do momento mx (vão menor); grelhas A.
A discretização adoptada é bastante grosseira mas, ainda assim, os valores obtidos
para os momentos são bastante razoáveis.
De entre as grelhas analisadas, as que parece darem os melhores resultados (a
meio vão já que junto aos bordos menores há um desvio evidente do momento em
relação ao valor de referência) são a AII e a AIII. Em ambas se considera a rigidez
de torção das barras mas a rigidez da grelha AIII é ligeiramente menor por se ter
considerado o coeficiente de Poisson nulo. Este efeito é, como se pode ver na
Figura A.6, muito pequeno.
As grelhas AI, a qual tem as rotações tangenciais livres, e AIV, sem rigidez de
torção, apresentam também valores muito próximos entre si estando um pouco mais
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 33
afastados dos valores de referência. Os deslocamentos são maiores dado que a
rigidez global das grelhas é inferior à dos casos AII e AIII.
Para as grelhas B, obtêm-se resultados semelhantes aos das grelhas do tipo A
sendo de realçar que, apesar dos valores a meio vão para as grelhas AII e AII
serem mais próximos dos exactos do que os das grelhas B, de um modo geral a
aproximação aos valores exactos é melhor quando se consideram espaçamentos,
ou seja larguras de faixa, menores.
0,00E+00
5,00E+03
1,00E+04
1,50E+04
2,00E+04
2,50E+04
3,00E+04
3,50E+04
4,00E+04
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
Grelha BII
Elementos Finitos
Grelha BI
Figura A.9 - Variação do deslocamento transversal segundo y (*E); grelhas B.
-5,00E-01
0,00E+00
5,00E-01
1,00E+00
1,50E+00
2,00E+00
2,50E+00
3,00E+00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
Grelha BII
Elementos Finitos
Grelha BI
Figura A.10 - Variação do momento my (vão maior); grelhas B.
IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 34
-1
0
1
2
3
4
5
6
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Grelha BII
Elementos finitos
Grelha BI
Figura A.11 - Variação do momento mx (vão menor); grelhas B.
É importante frisar que qualquer solução que equilibre as cargas aplicadas à laje
pode ser considerada para efeitos de dimensionamento das armaduras necessárias
em relação aos estados limites últimos.
Deste modo, e para evitar entrar em conta com o momento torsor nos elementos da
grelha (os quais representam faixas da laje), é usual desprezar a rigidez de torção
desses elementos. Nestas condições os momentos flectores nos elementos da
grelha são superiores (globalmente) o que está do lado da segurança.
Para consideração dos estados limites de utilização já a solução obtida com base
nas grelhas pode estar um pouco mais afastada da solução de referência sendo por
isso necessário um cuidado particular.