Trabalho de Métodos Numéricos 1

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
 
 
 
AMANDA NATASHA PEREIRA 
BRENDA ALINE GUERRA AMORIM 
BRUNO MICHEL SOUZA DE ALMEIDA 
DANILO ARAÚJO DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
METÓDOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia - 2020 
 
 
AMANDA NATASHA PEREIRA, BRENDA ALINE GUERRA AMORIM, BRUNO 
MICHEL SOUZA DE ALMEIDA, DANILO ARAÚJO DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
 
 
 
 
Trabalho de Métodos Numéricos para Engenharia 
Civil apresentado ao Prof. do Curso Superior de 
Engenharia Civil, da Universidade Estácio de Sá, como 
avaliação parcial da disciplina. 
 Prof. Msc. Vinicius Naves. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia - 2020 
 
 
 LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1.1 – Sequência de modelos............................................................................................10 
Figura 2.2 – O método dos elementos finitos é mais um entre outros métodos robustos para a 
solução numérica do modelo matemático..................................................................................10 
Figura 1.3 – Sequência de modelos aplicas à viga......................................................................10 
Figura 1.4 – Análises de uma turbina (e), um flap (c) e um automóvel....................................11 
Figura 1.5 – GUI: interface gráfica com o usuário....................................................................11 
Figura 1.6 – CAE: computer aided engineering........................................................................11 
Figura 1.7 – Consola curta: malha de elementos finitos e ação exterior...................................13 
Figura 1.8 – Consola curta: malha deformada representada sobre a estrutura indeformada.......13 
Figura 1.9 – Consola curta: tensões principais e respectivas direções.......................................13 
Figura 1.10 – Consola curta: campo de deslocamentos verticais...............................................14 
Figura 1.11 – Consola curta: campo de tensões normais segundo um eixo vertical................. 14 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 5 
2. FUNDAMENTOS DO MEF .................................................................................... 8 
3. BREVE HISTÓRIA DO MEF ................................................................................. 9 
3.1. Mais um modelo ............................................................................................... 9 
3.2. Uma ferramenta robusta .................................................................................. 11 
4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MEF ............................................................... 12 
5. ERROS ................................................................................................................... 14 
5.1. Erros no Cálculo Numéricos ........................................................................... 14 
5.2. Erros na fase de modelagem ........................................................................... 15 
5.3. Erros na Fase de Resolução ............................................................................ 15 
5.4. Erros absolutos ................................................................................................ 16 
5.5. Erros Relativos ................................................................................................ 16 
5.6. Erros de Arredondamento ............................................................................... 17 
5.7. Erro na Representação Numérica.................................................................... 17 
5.8. Erro de Truncamento ...................................................................................... 18 
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 19 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
No âmbito da Engenharia de Estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF) tem 
como objetivo a determinação do estado de tensão e de deformação de um sólido de geometria 
arbitrária sujeito a ações exteriores. Este tipo de cálculo tem a designação genérica de análise 
de estruturas e surge, por exemplo, no estudo de edifícios, pontes, barragens, etc. Quando existe 
a necessidade de projetar uma estrutura, é habitual proceder-se a uma sucessão de análises e 
modificações das suas características, com objetivo de se alcançar uma solução satisfatória, 
quer em termos econômicos, quer na verificação dos pré-requisitos funcionais e 
regulamentares. As técnicas descritas nesta publicação apenas correspondem à fase de análise 
do comportamento de uma estrutura cuja geometria, materiais e ações são a priori conhecidos. 
Nos cursos de Engenharia Civil e de Engenharia Mecânica é tradicional começar-se por ensinar 
a análise de estruturas limitada às vigas, pórticos, treliças e grelhas. As estruturas deste tipo 
recebem a designação de reticuladas, por serem constituídas por barras prismáticas cuja secção 
transversal apresenta dimensões muito inferiores ao comprimento do seu eixo. As estruturas 
não reticuladas são, em geral, estudadas como meios contínuos (e.g., paredes, lajes, cascas, 
sólidos). Nas estruturas reticuladas surgem muitos conceitos que são comuns à generalidade 
das estruturas, tais como o desequilíbrio, compatibilidade, tensão, deformação, relação entre 
tensão e deformação, etc. No âmbito das estruturas reticuladas torna-se particularmente simples 
explicar o método das forças e o método dos deslocamentos, bem como outras técnicas que, em 
geral, são difíceis de estender aos meios contínuos. Antes do aparecimento do MEF, a análise 
dos meios contínuos era efetuada por resolução direta dos sistemas de equações de derivadas 
parciais que regem o fenômeno, tendo em consideração as necessárias condições fronteiras. 
Para facilitar a aplicação desta técnica a problemas não elementares, era comum recorrer a 
séries de Fourier. Devido à sua complexidade, estes procedimentos só eram aplicáveis a meios 
contínuos homogêneos e de geometria simples. Para tentar ultrapassar algumas destas 
limitações, era frequente a substituição de derivadas exatas por derivadas aproximadas, 
calculadas com base em grelhas de pontos. Da aplicação desta técnica resulta o método das 
diferenças finitas, que, antes do aparecimento dos computadores, apresentava o inconveniente 
de requerer a resolução de grandes sistemas de equações lineares. Para evitar este inconveniente 
foram propostos diversos métodos de relaxação baseados na sucessiva diminuição de um 
conjunto de resíduos. 
 
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Devido amorosidade associada à aplicação de qualquer um destes métodos, tornava-se 
muito atrativa a substituição do problema real por outro semelhante, de modo a se pode recorrer 
a resultados publicados em tabelas ou ábacos. Com o grande desenvolvimento que o MEF teve 
na década de 60 e com a banalização do recurso ao computador, passou a ser prática corrente a 
análise de estruturas de geometria arbitrária, constituídas por múltiplos materiais e sujeitas a 
qualquer tipo de carregamento. Este avanço é tão significativo que os outros métodos, atrás 
referidos, deixaram praticamente de ser utilizados. Atualmente, o seu interesse restringe-se ao 
de fornecer soluções teóricas de problemas simples para validar métodos aproximados. A 
formulação do MEF pode ser baseada no método dos deslocamentos, em modelos de equilíbrio, 
ou em métodos híbridos e mistos. De todos estes métodos, aquele que apresenta uma maior 
simplicidade e, consequentemente, uma maior versatilidade é o método dos deslocamentos, 
sendo este o único que é abordado nesta publicação. Associado ao método dos deslocamentos 
surgem muitos conceitosque se supõe que leitor já domina no âmbito das estruturas reticuladas, 
como por exemplo as noções de grau de liberdade, deslocamento generalizado, força 
generalizada, equilíbrio, matriz de rigidez, vector solicitação, assemblarem, introdução de 
condições de apoio, etc. 
 
1.1. Tipo de análise 
 
Quando surge a necessidade de resolver um problema de análise de uma estrutura, a 
primeira questão que se coloca é a sua classificação quanto à geometria, modelo do material 
constituinte e ações aplicadas. O modo como o MEF é formulado e aplicado depende, em parte, 
das simplificações inerentes a cada tipo de problema. Referem-se em seguida alguns aspectos 
que é necessário ter em consideração na fase que antecede análise de uma estrutura. 
 
1.2. Análise dinâmica ou estática 
 
As ações sobre as estruturas são em geral dinâmicas, devendo ser consideradas as forças 
de inércia associadas às acelerações a que cada um dos seus componentes fica sujeito. Por este 
motivo seria de esperar que análise de uma estrutura teria obrigatoriamente de ter em 
consideração os efeitos dinâmicos. Contudo, em muitas situações é razoável considerar que as 
ações são aplicadas de um modo suficientemente lento, tornando desprezáveis as forças de 
inércia. Nestes casos a análise designa-se estática. 
 
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1.3. Análise não linear ou linear 
 
Na análise de uma estrutura sólida, é habitual considerar que os deslocamentos 
provocados pelas ações exteriores são muito pequenos quando comparados com as dimensões 
dos componentes da estrutura. Nestas circunstâncias, admite-se que não existe influência da 
modificação da geometria da estrutura na distribuição dos esforços das tensões, i.e., todo o 
estudo é feito com base na geometria inicial indeformada. Se esta hipótese não for considerada, 
a análise é designada não linear geométrica. É também frequente considerar que, ao nível do 
material que constitui a estrutura, a relação entre tensões e deformações é linear. Nos casos em 
que esta simplificação não é considerada, é necessário recorrer a algoritmos específicos de 
análise não linear material. 
 
1.4. Tipo de estrutura 
 
As estruturas podem ser classificadas quanto à sua geometria como reticuladas, 
laminares ou sólidas. Estas últimas são as mais genéricas, sendo classificadas como sólidas as 
que não apresentarem características que as permitam enquadrar no grupo das laminares ou das 
reticuladas. As estruturas laminares são as que se desenvolvem para ambos os lados de uma 
superfície média, mantendo-se na sua vizinhança. É o caso de uma lâmina cuja espessura é 
muito inferior às restantes dimensões. Quando a superfície média é plana, a estrutura laminar 
pode ser classificada como parede, laje ou casca plana. Uma parede apenas se encontra sujeita 
a ações paralelas ao seu plano médio. Uma laje pode ter aplicadas forças perpendiculares ao 
plano médio e momentos cujo vector está contido no plano médio. Uma estrutura laminar plana 
sujeita a outros tipos de ações é designada casca plana. Quando a superfície média não é plana, 
tem-se uma casca tridimensional. 
As estruturas reticuladas são as constituídas por barras prismáticas, cujas dimensões 
transversais são muito menores do que o comprimento do respectivo eixo. Neste tipo de 
estruturas é habitual distinguir os pórticos das treliças, conforme é ou não considerada a 
compatibilidade de rotações nas extremidades de barras adjacentes. É possível tratar com 
grande eficiência uma classe de problemas de análise de estruturas designados assimétricas. 
Estes ocorrem quando a estrutura é um sólido de revolução e as ações são todas assimétricas 
em relação ao mesmo eixo. Neste tipo de problemas é ainda possível distinguir o caso do sólido 
de revolução do caso da lâmina de revolução. 
 
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Será também tratado como um caso particular a análise de uma estrutura que consiste 
num sólido cuja geometria a ações se repetem indefinidamente ao longo de um eixo retilíneo. 
Trata-se do estado plano de deformação, que pode ser estudado com base numa geometria 
bidimensional. 
 
2. FUNDAMENTOS DO MEF 
 
Formulação do MEF requer a existência de uma equação integral, de modo que seja 
possível substituir o integral sobre um domínio complexo (de volume V) por um somatório de 
integrais estendidos a subdomínios de geometria simples (de volume VI). Esta técnica é 
ilustrada com o seguinte exemplo, que corresponde ao integral de volume de uma função f 
(1) 
Em (1) pressupõe-se que: 
(2) 
Se for possível calcular todos os integrais estendidos aos subdomínios VI, basta efetuar 
o somatório correspondente ao segundo membro de (1) para se obter o integral estendido a todo 
o domínio. Cada subdomínio Vi corresponde a um elemento finito de geometria simples (e.g., 
segmento de reta, triângulo, quadrilátero, tetraedro, paralelepípedo). 
O somatório indicado em (1) vai dar origem à operação designada assemblarem, que 
apresenta muitas semelhanças com a que é efetuada nas estruturas reticuladas. A equação 
integral referida no início desta secção é proveniente da aplicação do método dos resíduos 
pesados ou de um princípio variacional. 
No caso da aplicação do MEF à análise de estruturas a formulação mais intuitiva é a que 
se baseia no Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). 
 
 
 
 
 
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3. BREVE HISTÓRIA DO MEF 
 
O método dos elementos finitos (MEF) surgiu lá pela quinta década do século XX, 
quando foram lançados os primeiros computadores. Os fundamentos matemáticos do MEF já 
eram conhecidos havia tempo, mas as ferramentas de cálculo então disponíveis inviabilizavam 
a sua implementação e utilização. 
Inicialmente o MEF foi aplicado na análise de problemas da mecânica dos sólidos, mas 
logo a sua aplicação estendeu-se à análise de outros fenômenos físicos. Esta abrangência mais 
o sucesso do método propiciaram o estudo mais profundo e extenso dele. Da análise matemática 
do método resultaram estimadores de erro e critérios de estabilidade, que garantem aos 
resultados mais confiabilidade. 
Da análise estática passou-se à dinâmica dos problemas inicialmente lineares passou-se 
aos não-lineares; da análise de um único fenômeno passou-se a de vários fenômenos 
simultâneos e interagentes de interfaces computador-usuário poucas práticas passou-se `as 
interfaces gráficas, mais amigável e intuitivas. 
No presente o MEF continua evoluindo nos seus diversos aspectos, conforme demonstra 
a quantidade de artigos científicos atualmente publicados em torno dele. 
 
3.1.Mais um modelo 
 
Dada a riqueza e complexidade do mundo físico, sempre se fica a quem ao querer 
entender e dominar a sua natureza. Quando se tenta prever o comportamento da realidade, 
recorre-se a uma simplificação dela, denominada modelo. O modelo admite uma gradação, no 
sentido de representar melhor ou pior ou de deixar amostra um ou outro aspecto da realidade. 
Por exemplo, ao analisar mecanicamente um corpo sólido, pode-se deixar de lado fenômenos t 
térmicos, elétricos e magnéticos, supondo que não interfiram na análise de que é objeto. 
Abstraindo-se destes, pode-se ainda considerar, ou não, a deformação do corpo solido, levando 
respectivamente a um modelo de solido deformável, ou a um de corpo rígido. Ao empregar um 
ou outro modelo, observam-se mais ou menos fenômenos. No caso da escolha de um modelo 
de corpo rígido, não é possível de modo algum observar a vibração que na realidade ele sofre 
tal é o nível de simplificação deste modelo. 
 
 
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1.1. Sequência de modelos 
 
Há uma cadeia de modelos até se chegar ao modelo de elementos finitos de um 
fenômeno físico, conforme a Fig. 1.1. No início dela, à esquerda está o modelo físico do 
fenômeno, que leva em conta a geometria, a constituição material e a interação do corpo com o 
meio circundante. Parte central nesta etapa de modelamento é a identificação das leis físicas 
envolvidas no fenômeno e da relevância de cada uma delaspara a análise pretendida. Esta 
relevância é ditada pelo grau de complexidade ou de acurácia desejado para ele. O modelo 
matemático é o seguinte na cadeia. Nele, em função do modelo físico, o fenômeno físico é 
representado por um problema a valores no contorno em que o sistema de equações diferenciais 
e as condições de contorno traduzem em linguagem matemática o comportamento do fenômeno 
com base na geometria, na interação com o meio circundante e nas leis físicas nele implicadas. 
Na sequência está o modelo numérico, no qual o MEF se insere, Fig. 1.2. 
No modelo numérico a geometria geralmente sofre simplificações e o sistema de 
equações diferenciais é resolvido por meio de um método numérico. A forma final do modelo 
numérico é dada por meio de um sistema de equações algébricas lineares. No caso de se 
empregar como método numérico o MEF, este sistema é denominado modelo de elementos 
finitos. A Fig. 1.3 ilustra o encadeamento de modelos na aplicação de um fenômeno da 
mecânica dos sólidos. 
 
Figura 1.2. O método dos elementos finitos é mais um entre outros métodos robustos para a solução numérica do 
modelo matemático. 
 
 
Figura 1.3. Sequência de modelos aplicada à viga. 
 
 
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3.2.Uma ferramenta robusta 
 
O MEF se aplica a uma gama enorme de problemas relativos aos diversos fenômenos 
físicos sujeitos a uma grande variedade de interações com a vizinhança onde eles ocorrem. 
Além disso, a estabilidade e a acurácia do método estão bem estudadas e solidamente 
amparados em teorias matemáticas, o que lhe confere robustez. Daí o seu largo emprego como 
ferramenta para análise em vários campos da ciência e da engenharia, Fig. 1.4 
 
Figura 1.4. Análises de uma turbina (e), um flap (c) e um automóvel (d) pelo MEF. 
 
Inicialmente, dada a precariedade da interface com o usuário, os pacotes computacionais 
do MEF não eram tão amigáveis como hoje. Então, a entrada de dados era feita por meio de 
cartões perfurados; num estágio mais avançado, por terminal de computador, até a substituição 
dos computadores de “grande-porte”. Com o advento dos microcomputadores, a entrada de 
dados passou, inicialmente de um arquivo previamente editado contendo os dados, para as 
interfaces gráficas com o usuário (em inglês GUI, graphical user interface), Fig. 1.5, que 
emprega janelas, mouse touchscreen, etc. para a comunicação da máquina com o usuário. É 
comum encontrar o MEF integrado a ferramentas CAE (computer aided engineering) ou 
pacotes de MEF que permitem importar dados de ferramentas CAD (computer aided design), 
Fig.1.6. 
Figura 1.5. GUI: interface gráfica com o usuário. Figura 1.6. CAE: computer aided engineering.. 
 
 
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4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MEF 
 
Apresenta-se em seguida um exemplo de aplicação do MEF, que consiste na análise de 
uma estrutura do tipo consola curta de pequena espessura, sujeita às ações indicadas na Figura 
1.7. Nestas condições pode-se admitir que se trata de um meio contínuo, sujeito a um estado 
plano de tensão. Na Figura 1.7 está representada a malha utilizada, que é constituída por 92 
elementos finitos quadriláteros, sendo cada um destes elementos definidos por 8 nós. 
Encontram-se também assinalados os 10 nós que estão ligados ao meio exterior. Depois de 
completada a análise da estrutura pelo MEF, fica-se a conhecer os valores aproximados dos 
deslocamentos e das tensões instaladas. Na Figura 1.8 está representada a malha deformada 
pela ação das forças aplicadas à estrutura. Para permitir uma melhor visualização dos 
deslocamentos, estes são multiplicados por um fator de ampliação. Como referência, é também 
representada a malha original indeformada. Com o tipo de visualização utilizado na Figura 1.9 
é possível ter uma percepção imediata dos locais em que as tensões principais apresentam 
maiores valores, bem cômoda trajetória das tensões dentro da estrutura. Neste tipo de 
representação cada segmento de reta está orientado segundo uma direção principal de tensão e 
a sua grandeza é proporcional ao valor da correspondente tensão normal. A cor verde indica 
que se trata de uma tração e à cor vermelha está associada uma compressão. 
 Na Figura 1.10, o valor da componente vertical do vector deslocamento é representado, 
em cada ponto, por intermédio de uma codificação por cores. Consultando a escala lateral, fica-
se a conhecer a ordem de grandeza do deslocamento vertical em qualquer ponto da estrutura. 
Na Figura 1.11, o tipo de visualização gráfica coincide com o da Figura 1.10, tratando-se 
também da representação de um campo escalar por intermédio de uma codificação por cores. 
O campo representado na Figura 1.11 é o das tensões normais σy, sendo y o eixo vertical. Esta 
componente do tensor das tensões é sempre perpendicular a facetas horizontais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 1.7 - Consola curta: malha de elementos finitos e ação exterior. Figura 1.8 - Consola curta: malha deformada 
representada sobre a estrutura indeformada. 
 
. 
 
 
Figura. 1.9 - Consola curta: tensões principais e respectivas direções. 
 
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Figura 1.10 - Consola curta: campo de deslocamentos verticais Figura 1.11 Consola curta: campo de tensões normais 
segundo um eixo vertical. 
 
 
 
5. ERROS 
 
5.1.Erros no Cálculo Numéricos 
 
 A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico. 
 De um lado, os dados, em si, nem sem pressão exatos e, de outro lado as operações 
sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. 
 Os próprios métodos numéricos, frequentemente métodos aproximados, buscam a 
minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que 
seriam valores exatos. 
Erro é a diferença entre o valor exato e o valor apresentado. 
 
 
 
 
 
 
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5.2.Erros na fase de modelagem 
 
• Ao se tentar representar um fenômeno físico por meio de um método matemático, 
raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias 
várias simplificações do mundo físico para que se tenha um modelo. 
• Exemplo: Estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante. Tem-
se a seguinte equação: 
d = d0 + v0 x t + 1/2 x α x t2 
 Onde: 
• d : distância percorrida 
• d0 : distância inicial 
• v0 : velocidade inicial 
• t : tempo 
• α : aceleração. 
• Determinar a altura de um edifício considerando que uma esfera metálica foi solta do 
seu topo demorando cerca de 3 segundos para alcançar o solo. 
 
d = d0 + v0 x t + 1/2 x α x t2 
d = 0 + 0 x 3 + 1/2 x 9,8 x 32 
d= 44,1 metros 
 
 
Esse resultado é confiável? Fatores a considerar: 
• Resistência do Ar, Velocidade do Vento, etc... 
• Precisão dos dados de entrada: 
Se o tempo fosse 3,5s, d=60,025m (Variação de 16,7% no 
cronômetro resultaria em 36% na altura medida). 
 
5.3.Erros na Fase de Resolução 
 
Para a resolução de modelos matemáticos muitas vezes torna-se 
necessária a utilização de instrumentos de cálculo que necessitam certas aproximações, para o 
seu funcionamento. Tais aproximações podem gerar erros, tais como: 
 
16 
 
• Conversão de bases; 
• Erros de arredondamento e Erros de truncamento. 
 
5.4.Erros absolutos 
 
• Erro absoluto (EA) é a diferença entre o valor exato de um número N e o seu valor 
aproximado N’. 
• N= N’+ EA 
• EA= N – N’ 
• (N>N’ -> EA>0) 
• (N<N’ -> EA<0) 
• Por exemplo: Sabendo-se que 𝜋 𝜖 (3.14, 3.15) tomaremos para 𝜋 um valor dentro 
deste intervalo e teremos, então, |EA 𝜋| = | 𝜋 - 𝜋 ′| < 0.01. 
 
5.5.Erros Relativos 
 
• É claro que EAN só poderá ser determinado se N for exatamente conhecido; como isso 
é raro, em cálculos numéricos costuma-se trabalhar com uma limitação máxima para o 
erro, indicando-se, então, | E | < ε, onde ε é o limite. 
• Por exemplo, se α = 3876.373 e só desejamos a parte inteira α’, o erro absoluto será:∆α = | α − α' | = 0.373 
 
• Se fizermos o mesmo com o número β = 1.373, teremos: 
∆β = | β − β' | = 0.373 
• Obviamente, o efeito de aproximação de β é muito maior do que em α, mas o erro 
absoluto é o mesmo nos dois casos. O erro relativo, entretanto, pode traduzir 
perfeitamente este fato, pois: 
 
 
 
 
 
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5.6.Erros de Arredondamento 
 
• Ao se aplicar um método numérico, os erros devidos aos valores iniciais, 
intermediários e finais conduzem a um erro global (diferença entre o exato e o 
obtido) também chamado de arredondamento. 
• Erros iniciais são os cometidos no arredondamento dos dados iniciais. Os erros 
intermediários são decorrentes dos erros cometidos durante a aplicação do método 
numérico e os erros finais decorrentes da apresentação final do resultado. 
• Os tipos de arredondamentos mais conhecidos são: 
• Arredondamento para baixo ou por falta; 
• Arredondamento para cima ou por excesso; 
 
Arredondamento para o número de máquina mais próximo. 
• Critério de Arredondamento: no cálculo manual, ao registrar um valor aproximado, 
costuma-se usar a seguinte regra: 
1. Somar meia unidade após a última casa decimal a conservar; 
2. Desprezar as demais casas. 
 
Assim, considerando 2 algarismos significativos tem-se: 
2 = 1.414 ... ≅ 1.41 (1.414 ... + 0.005 = 1.419 ... → 1.41)3 
 2 = 1.259 ... ≅ 1.26 (1.259 ... + 0.005 = 1.264 ... → 1.26) 
 
O uso deste critério limita o erro a meia unidade da última casa conservada. 
1.41 é o valor aproximado, por falta, de 𝟐 ; 1.26 é o valor de 𝟑 𝟐 , aproximado por excesso. 
 
5.7.Erro na Representação Numérica 
 
• Para concluir o item de erro de arredondamento, deve-se ressaltar a importância de se 
saber o número de dígitos significativos do sistema de representação da máquina que 
está sendo utilizada para que se tenha a noção da precisão do resultado obtido. 
• Além da precisão decimal, o cálculo do chamado Épsilon da máquina nos dá uma 
ideia da exatidão da máquina. 
 
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• O ε da máquina é o menor número de ponto flutuante (como a máquina representa 
números reais), tal que: 1 + ε > 1. 
• Alguns métodos para cálculo de ε não dão seu valor exato, mas isto nem sempre é 
necessário, pois o que importa é a sua ordem de grandeza. 
 
5.8.Erro de Truncamento 
• São erros provenientes da utilização de processos que deveriam ser infinitos ou muito 
grandes para a determinação de um valor e que, por razões práticas, são truncados. 
• Estes processos infinitos são muito utilizados na avaliação de funções matemáticas, tais 
como, exponenciação, logaritmos, funções trigonométricas e várias outras que uma 
máquina pode ter. 
• Exemplo: Uma máquina poderia calcular a função seno (x) utilizando as seguintes 
técnicas: 
Fazendo o truncamento 
 
A solução é a de interromper os cálculos quando uma determinada precisão é atingida. 
De maneira geral, pode-se dizer que o erro de truncamento pode ser diminuído até 
chegar a ficar da ordem do erro de arredondamento; a partir desse ponto, não faz sentido 
diminuir-se mais, pois o erro de arredondamento será dominante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Por trás das imagens e citações mostradas acima, que impressionam quanto à facilidade de 
análise propiciada ao usuário, há uma série de definições e fundamentos matemáticos e 
programação computacional. 
O Método do elemento finito (MEF) é um recurso da Engenharia desenvolvido para calcular e 
analisar o estresse e deformação de estruturas ditas complexas. Essa análise está fundamentada 
em inúmeros elementos, ditos elementos finitos, à que a estrutura em questão é discretizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Análise LISA elementos Finitos. Guia para Iniciantes: Introdução
 ao FEA. Disponível em: https://www.passeidireto.com/arquivo/44633530/lisa- 
manual-en-pt. Acesso em: 28 abril 2020. 
 
AZEVEDO, A. F. M. Método dos Elementos Finitos. Porto – Portugal, 1ª Edição– Abril 2003, 
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Disponível em: 
http://alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA_1ed/doc/Livro_MEF_AA.pdf. 
Acesso em: 30 Abril 2020. 
 
LOBÃO, D. C. Introdução aos Métodos Numéricos. Universidade
 Federal Fluminense- UFF. Volta Redonda, RJ. Disponível em: 
http://www.professores.uff.br/diomarcesarlobao/wpcontent/uploads/sites/85/2017/09/note6.pd
f. Acesso em: 01 maio 2020. 
 
Métodos Numéricos para Engenharia. Modelagem, Computadores e Análise de Erros. 
Disponível em: http://srvd.grupoa.com.br/uploads/imagensExtra/legado/C/CHAPRA_Steven 
_C/Metodos_Numericos_Engenharia_7ed/Lib/Amostra.pdf. Acesso em: 02 maio 2020.