Levantamento Topográfico Planimétrico UNASP EC V6 combinada

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ENGENHARIA CIVIL – CAMPUS ENGENHEIRO COELHO SP 
 Topografia I - Prof. Dr. Ítalo Alberto Gatica Ríspoli. 
 
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LEVANTAMENTO PLANI-ALTIMÉTRICO 
RESOLVIDO PASSO A PASSO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Elaborei este texto de Topografia, com o intuito de 
ensinar aos alunos da graduação de Engenharia Civil do UNASP 
EC todo o processo de construção de coordenadas topográficas 
planas sem georeferenciamento, mas com base topográfica 
mínima conforme a NBR 13133 com uso de teodolito e bússola, 
acompanhando-se um exemplo de uma quadra urbana que eu 
mesmo levantei na cidade de Itatiba SP pelo processo da poligonal 
auxiliar fechada e pontos radiados desde os vértices da mesma. 
 Agradeço aos meus monitores e colaboradores pelo apoio, 
seja no auxílio às aulas práticas, muitas vezes como 
voluntários, na elaboração de materiais didáticos, planilhas, 
software para HP, etc, são eles: Gustavo Seiji Bertato 
Yoshikawa; Lennon de Sousa Marconato, Israel Leandro Santos, 
Amaro Gabriel Joaquim, Henry Gonzalez Rojas, Glauber 
Martins, Andrews Magaieski Graepp, todos estes da 
Engenharia Civil do UNASP EC e ao Matheus Henrique 
Malagutti Kill da Engenharia Ambiental do UNISAL de 
Ameircana SP. 
____________________________ 
 
Ítalo Alberto Gatica Ríspoli 
Dr. em Ciências da Engenharia 
italogatica@yahoo.com.br 
Currículo acadêmico: 
http://lattes.cnpq.br/2915156517084082 
 
 
1ª edição eletrônica: Julho de 2012 — 1ª versão manuscrita 1981 
 
“La gente más feliz no es la que tiene 
lo mejor de todo, si no la que hace lo 
mejor de todo con lo que tiene.” 
 
“Las palavras son importantes, mas lo 
que vale es el buén ejemplo.” 
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SUMARIO 
OBJETIVO ............................................................................................................................................................................. 5 
ROTINA DE CAMPO ............................................................................................................................................................. 5 
INSTUMENTOS DE CAMPO ................................................................................................................................................ 8 
MEDIÇÕES DE CAMPO .......................................................................................................................... ........................... 10 
ROTINA DE PROCESSAMENTO DOS DADOS DE CAMPO ....................................................................................... 12 
PASSO A PASSO COM O EXEMPLO DIDÁTICO DA FIGURA 1 ................................................................................ 13 
DEFINIÇÃO DO ERRO ANGULAR TOLERÁVEL .......................................................................................................... 13 
DEFINIÇÃO DO ERRO ANGULAR COMETIDO ............................................................................................................. 13 
CORREÇÃO DOS ÂNGULOS INTERNOS DA POLIGONAL AUXILIAR DE LEVANTAMENTO ............................ 14 
CÁLCULO DOS AZIMUTES HORÁRIOS VANTES DOS VÉRTICES DA POLIGONAL AUXILIAR DE 
LEVANTAMENTO ................................................................................................................................................................ 15 
CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS DA POLIGONAL AUXILIAR DE LEVANTAMENTO ...................... 16 
CALCULO DO ERRO LINEAR EM X E EM Y ................................................................................................................... 17 
CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS CORRIGIDAS ........................................................................................ 18 
DEFINIÇÃO DA ESTAÇÃO OESTE COMO ORIGEM CARTESIANA .......................................................................... 19 
CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS DOS VÉRTICES DA POLIGONAL 
AUXILIAR DE LEVANTAMENTO .................................................................................................................................... 20 
CÁLCULO DOS AZIMUTES DOS PONTOS RADIADOS ............................................................................................... 22 
CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS DOS PONTOS RADIADOS .................................................................. 23 
CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS DOS PONTOS RADIADOS ..................................................................... 24 
CÁLCULO DOS RUMOS VANTES DE INTERESSE ....................................................................................................... 25 
PLOTAGEM CARTESIANA DOS PONTOS DE INTERESSE ........................................................................................ 27 
CÁLCULO DE ÁREA E PERÍMETRO DE INTERESSE .................................................................................................. 29 
DETERMINAÇÃO E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO RELEVO LOCAL ................................................................ 30 
DETERMINAÇÃO DA DECLINAÇÃO MAGNÉTICA E DEFINIÇÃO DA POSIÇÃO DO NORTE 
VERDADEIRO ..................................................................................................................................................................... 31 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................................................. 32 
 
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ANEXO A – PLANILHA DE CAMPO ............................................................................................................................ 33 
ANEXO B – RESULTADOS COM PLANILHA ELETRÔNICA DE 
GUSTAVO SEIJI BERTATO YOSHIKAWA ENGENHARIA CIVIL UNASP EC ..................................................... 35 
ANEXO C – RESULTADOS COM PLANILHA ELETRÔNICA DE LENNON DE SOUSA MARCONATO 
ENGENHARIA CIVIL UNASP EC .................................................................................................................................. 40 
ANEXO D – RESULTADOS COM SOFTWARE PARA HP50 ESCRITO POR GLAUBER MARTINS 
E ÍTALO GATICA RÍSPOLI ENGENHARIA CIVIL UNASP EC................................................................................. 43 
ANEXO E – MAPAS MAGNÉTICOS DO BRASIL ....................................................................................................... 50 
ANEXO F – CÁLCULO TAQUEOMÉTRICO E COTAS ............................................................................................... 55 
ANEXO G – RESULTADOS COM PLANILHA ELETRÔNICA DE ANDREWS MAGAIESKI GRAEPP.............. 57 
ANEXO H – TRABALHO DE CAMPO REALIZADO POR GUSTAVO SEIJI BERTATO YOSHIKAWA – CARLOS 
AUGUSTO DE CAMPOS SILVA – GEOVANNI DAS CHAGAS – JONATHAS CARLOS FREITAS NASCIMENTO – 
LETÍCIA SANTOS OLIVEIRA ........................................................................................................................................60ENGENHARIA CIVIL – CAMPUS ENGENHEIRO COELHO SP 
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OBJETIVO 
 
 
Este texto tem por objetivo mostrar passo a passo o processo de cálculo das coordenadas 
topográficas totais planas [projeções ortogonais] do tipo (X,Y) para planimetria e (X,Y,Z) para 
plani-altimetria levando em conta o uso do teodolito e bússola como se prescreve no item 5.3.5 da 
NBR 13133 [Execução de Levantamento Topográfico] que escreve: 
 
“Pode ainda acontecer, como a pior hipótese, de não ser possível a 
obtenção das coordenadas geodésicas plano-rretangulares de um vértice 
do apoio topográfico, nem a obtenção do azimute plano de um lado deste 
apoio, por meio da ligação à rede geodésica planimétrica. Convém, 
então, proceder de modo que a rede topográfica de apoio seja orientada 
para o norte geográfico (ou verdadeiro), dando a um dos vértices 
coordenadas arbitrárias e, a partir deste vértice, determinando o azimute 
geográfico de um lado deste apoio, por meio de observações 
astronômicas ou com o emprego de giroscópio. Não sendo possível este 
procedimento orientar pelo menos este lado em relação ao norte 
magnético, por meio de observações com bússola ou declinatória 
acoplada a um teodolito, ficando o levantamento topográfico orientado 
para o norte magnético. É imprescindível que sejam mencionadas no 
desenho topográfico final do levantamento a data do levantamento, a 
declinação magnética desta data, bem como a sua variação anual, uma 
vez que a indicação do norte magnético é variável em função do tempo.” 
 
 
 
ROTINA DE CAMPO 
 
 
 Primeiramente é preciso reconhecer toda a área que se deseja medir, preferencialmente 
caminhando-se no sentido horário, fazendo um croqui sem escala que contenha detalhes como 
linha de divisa, construções, cursos d’água, estradas, matas, etc. 
 
 Quando usado teodolito como instrumento de medição, deve-se planejar uma poligonal 
auxiliar fechada, por conta da possibilidade de dois processos de correção: um angular e outro 
linear, que contribuem para um desenho final preciso. Desta poligonal, também em campo se 
radiam todos os pontos de interesse desde seus vértices. Estes pontos radiados [ou pontos 
visados] é que de fato constituem o objeto de interesse da medição topográfica. Na figura 1 
ilustra-se o exemplo que será desenvolvido neste texto passo a passo na qual também pode-se 
perceber pelo tracejado a poligonal auxiliar fechada de levantamento topográfico e o objeto de 
interesse radiado, no caso uma quadra de loteamento urbano, um lote de terreno de esquina e o 
arruamento do entorno. 
 
 
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Figura 1. Croqui sem escala da poligonal auxiliar fechada de levantamento topográfico ABCD e 
pontos de interesse radiados desde seus vértices. 
 
 
 
 Na configuração do croqui acima, tomam-se em campo: 
 
1. Um único azimute vante horário [com bússola] preferencialmente logo na primeira estação; 
2. Os ângulos internos da poligonal auxiliar [fechada] de levantamento; 
3. As distâncias projetadas dos lados da poligonal auxiliar [fechada] de levantamento; 
4. As distâncias projetadas entre a estação e o ponto radiado [visado] em [m]; 
5. Os ângulos horizontais horários medidos do alinhamento vante da poligonal até a visada 
do ponto radiado, como se exemplifica na figura 2; 
6. A altura do instrumento (AI) em cada estação: que é a medida entre o eixo da luneta até a 
estaca fincada no chão. 
 
 
 
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Figura 2. Ângulos horizontais horários entre visada CD até pontos radiados 15, 16 17 e 19. 
 
 
 
 Para a leitura do azimute em campo, ao utilizar-se de uma bússola acoplada ao teodolito, o 
aparelho deverá estar estacionado sobre a estação da poligonal auxiliar de levantamento, 
preferencialmente no primeiro ponto, devidamente nivelado e a agulha da bússola deverá estar 
livre até se equilibrar no norte magnético com ajuda do operador do teodolito girando o aparelho 
até encontrar esse ponto de equilíbrio. Em seguida, o ângulo horizontal mostrado no visor do 
aparelho deverá ser zerado com o auxílio do botão RST se o teodolito for digital, ou com o devido 
procedimento manual mecânico se o teodolito não for digital. Então com um movimento em 
sentido horário foca-se o teodolito no ponto vante e anota-se o ângulo apresentado no visor digital 
ou mecânico analógico. Este ângulo é o azimute entre o ponto de estação e o ponto vante. A 
figura 3 ilustra a situação em planta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Azimute horário vante. 
 
 
 
 
 DETALHE 
N
Pto. 1
Pto. 2
Azimute
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 A leitura do ângulo interno entre dois pontos no campo, é obtida pela focalização do ponto 
anterior ao ponto onde o aparelho está estacionado, devendo-se zerar a leitura angular, seja com 
o auxílio do botão RST, no caso de teodolito digital, ou com o parafuso apropriado para teodolito 
mecânico, em seguida gira-se a luneta até o ponto posterior onde deve permanecer alguém 
balizando o local. O giro poderá ser no sentido horário ou anti-horário, o operador deverá cuidar 
para que o sentido do giro seja de forma a obter o ângulo interno da poligonal, normalmente a 
maioria dos equipamentos acusam o ângulo interno quando, todavia nos teodolitos digitais existe 
normalmente um botão que alterna o ângulo interno e externo, facilitando isso ao operador. Estas 
pequenas especificidades devem ser treinadas nas primeiras aulas de campo em companhia com 
o monitor e/ou professor tentando explorar a diversidade dos equipamento existentes. 
 
 As distâncias horizontais [projetadas] podem ser obtidas em campo por trena, 
distanciômetro ou processo taqueométrico com uso de régua graduada. Este último processo será 
descrito neste texto, mais adiante, como se equaciona pela expressão (2) e se ilustra na figura 5. 
 
 
INSTUMENTOS DE CAMPO 
 
 Hoje em dia é possível a obtenção das coordenadas topográficas, geográficas ou 
geodésicas sem grandes complicações graças ao constante desenvolvimento tecnológico dos 
instrumentos de medição e do software. Como exemplo disto pode-se citar uma estação total e o 
software que acompanha o produto que somados realizam por si só a construção de uma 
coordenada plana do tipo Universal Tranverse Mercator [UTM] em conformidade ao Sistema 
Geográfico Brasileiro [SIG]. Outro exemplo de tecnologia avançada é a reprodução de pontos 
plotados por GPS geodésico que registra cada ponto com sua posição georeferenciada. 
 
 Aqui dar-se-á preferência ao processo de cálculo da obtenção de coordenadas 
topográficas locais planas (X,Y,Z) não referenciadas geograficamente bastando equipamentos de 
3ª geração: teodolito, mira, piquetes, marreta, balizas, 2 operadores e uma bússola. 
 
 O Teodolito é um instrumento que proporciona a leitura espacial de ângulos horizontais 
(internos e/ou externos) e verticais (zenitais ou com relação ao plano horizontal). Existem 
teodolitos antigos deimagem invertida na sua luneta principal, outros de leitura real, mecânicos e 
recentemente elaborados para facilitar as leituras angulares disponíveis em LCD com leituras 
digitais para ângulos horizontais e verticais. Na década dos anos 70 aos 90 foi intensamente 
utilizado um instrumento eletrônico acoplado aos teodolitos comuns chamados de distanciôetros. 
Estes equipamentos acusavam distâncias projetadas entre a estação do equipamento e a posição 
de um prisma que era deslocado por um ajudante. Nesta configuração o teodolito servia apenas 
para registrar ângulos horizontais necessários para elaboração das coordenadas e do desenho 
final do objeto medido, todavia era preciso assim mesmo conhecer toda a rotina de cálculo, que 
aqui é detalhada passo a passo para obtenção das coordenadas topográficas, em suma era 
apenas economizado o antigo processo taqueométrico que usava uma régua e a trena. De última 
geração tem-se as estações totais que dispensam os processos de cálculo e devido à sua grande 
precisão em campo podem operar com poligonais auxiliares abertas. Na figura 4 ilustram-se esses 
equipamentos. 
 
 
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Figura 4. Teodolito mecânico Wild T1, Teodolito mecânico com distanciômetro acoplado, 
Teodolito digital Pentax e Estação Total KTS 445. 
 
 
 Neste texto considera-se que o aluno já tenha prévio conhecimento em leitura e operação 
de teodolitos com procedimento de leitura em régua [taqueometria] e que também já tenha tido 
contato com as primeiras atividades de campo na disciplina de Topografia, todavia se necessário, 
encontram-se disponíveis como material de suporte ao aluno os seguintes textos 
complementares: 
 
 O teodolito mecânico YOM3; O teodolito mecânico Wild T1A; Manual do teodolito digital 
DE. 
 
 Um levantamento topográfico plani-altimétrico, consiste em reconhecer a forma plana e o 
relevo de um determinado local, assim como, sua representação gráfica final, mediante um 
desenho plano beneficiado por curvas de níveis assim formalizando-se uma interpretação da área, 
perímetro e relevo num único desenho. Este desenho, conforme a base topográfica mínima deve 
constar da posição do norte magnético e da data do levantamento, dando assim a possibilidade 
de reconhecer a posição do norte verdadeiro se calculada a declinação magnética em função das 
curvas magnéticas e da data do levantamento. Também é de praxe fornecer neste desenho, junto 
aos seus principais alinhamentos o seus rumos vantes. 
 
 Designa-se como poligonal de levantamento topográfico, uma figura plana, fechada ou 
não, que tem sua gênese no campo e cuja principal atribuição é auxiliar o conhecimento numérico 
das coordenadas dos pontos de interesse que são amarrados por radiações realizadas dos 
próprios vértices. Estes pontos radiados ou pontos visados [PV] são postos ao final em plano 
cartesiano para consubstanciar o desenho do objeto desejado. Na figura 1, percebe-se que o 
objeto de estudo é uma quadra urbana e um lote de terreno. 
 A poligonal sendo fechada, permite um procedimento de correção dos erros quando 
realizado com teodolito, ao passo que uma poligonal aberta, deve ser preferencialmente adotada 
por instrumentos de medição de maior precisão, como o uso de prismas e estações totais. 
 
 
 
 
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 Neste texto, adota-se uma rotina apropriada ao uso de teodolitos, portanto escolheu-se 
uma poligonal auxiliar fechada, caminhada no sentido horário para efeito de padronização dos 
cálculos topográficos. 
 
 No exemplo tomou-se um único azimute vante horário em ‘A’ de 184°16’07’’com uma 
bússola acoplada a um teodolito de 20” de precisão de marca Fuji. Referida quadra é da região 
central da cidade de Itatiba SP. 
 
 
MEDIÇÕES DE CAMPO 
 
 No Anexo D, encontra-se a tabela com todas as medidas de campo. A tabela 1, abaixo, 
está desagregada do anexo D para elucidar apenas a poligonal auxiliar de levantamento e uma 
sequência de cálculos nessa poligonal. 
 
 
 
Tabela 1: Medições dos ângulos internos dos vértices da poligonal auxiliar de levantamento e as 
distâncias projetadas Dh deduzidas por taqueometria. 
 
|� ---------------------- MEDIDO EM CAMPO ----------------------- �| 
 
 |� LEITURAS NA RÉGUA �|� ÂNGULOS LIDOS �|� CALCULAM-SE �| 
Estação 
AI[m] 
Cota[m] 
 
PV 
 
Li [m] 
 
Lc [m] 
 
Ls[m] 
 
< H 
 
< V 
 
Dh 
[m] 
 
Dv 
[m] 
 
Cota[m] 
A 1,48 
 100 
B 1 1,387 1,774 0 81°48’20” 75,83 10,92 111,01 
D 1 1,375 1,75 69°03’55” 89°33’00” 75,00 0,59 100,68 
B 1,46 
 111,01 
C 1 1,343 1,685 0 
89°36’50” 
93°10’00” 68,29 -3,78 107,35 
A 1 1,388 1,775 98°18’30 75,88 -11,08 100,00 
C 1,53 
 107,35 
D 1 1,243 1,485 0 
93°10’57” 
98°08’30” 47,53 -6,80 100,84 
B 1 1,343 1,685 87°03’00” 68,32 3,52 111,06 
D 1,50 
 100,84 
A 1 1,378 1,755 0 
108°07’49” 
90°36’20” 75,49 -0,80 100,16 
C 1 1,244 1,488 82°27’40” 47,96 6,35 107,44 
 
AI: altura do instrumento [m]; 
PV: ponto visado; 
Li: leitura no retículo inferior realizado sobre a régua [m]; 
Lc: leitura no retículo central realizado sobre a régua [m]; 
Ls: leitura no retículo superior realizado sobre a régua [m]; 
<H: ângulo horizontal, horário; 
<V: ângulo vertical medido desde o Zenit; 
Dh: distância horizontal deduzida por taqueometria na régua, explicada pela equação (2) [m]; 
Dv: distância vertical deduzida por taqueometria na régua, explicada pela equação (3) [m]; 
 
 A cota do ponto visado pode ser obtida pela equação (1). 
 
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Cota PV = Cota da Estação + AI +/- DV – LC (1) 
 
 Dh pode ser obtido pela equação (2). 
 
Dh = 100 (Ls – Li) seno2 β (2) 
 
Β = <V = ângulo vertical medido desde o Zenit. 
 
 Dv pode ser obtido pela equação (3) 
 
Dv = 100 (Ls – Li) seno β cosseno β (3) 
 
 As medidas obtidas pelas equações (1), (2) e (3) constituem processos indiretos de 
medição por taqueometria, que dispensam o uso de trena (exceto para medir a altura do 
instrumento) e do nível de mangueira com água como se ilustra na figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Medição de Dh, Dv e cota por taqueometria com régua e teodolito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ROTINA DE PROCESSAMENTO DOS DADOS DE CAMPO 
 
 
 Tendo anotado em cadernetas adequadas os dados de campo [vide anexo E], estes 
mesmos são submetidos a uma rotina sistêmica e mecânica de modo a gerar ao final as 
coordenadas cartesianas dos pontos de interesse [objeto radiado] partindo dos vértices da 
poligonal auxiliar de levantamento e que ao final ao plotar-se em plano XY geram o desenho plano 
final, que poderá ser enriquecido das cotas e/ou curvas de nível para caracterizar também o 
relevo local. Referida rotina mecânica resume-se nos seguintes itens: 
 
 
1. DEFINIÇÃO DO ERRO ANGULARTOLERÁVEL; 
2. DEFINIÇÃO DO ERRO ANGULAR COMETIDO; 
3. CORREÇÃO DOS ÂNGULOS INTERNOS DA POLIGONAL AUXILIAR DE 
LEVANTAMENTO; 
4. CÁLCULO DOS AZIMUTES HORÁRIOS VANTES DOS VÉRTICES DA POLIGONAL 
AUXILIAR DE LEVANTAMENTO; 
5. CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS DA POLIGONAL AUXILIAR DE 
LEVANTAMENTO; 
6. CALCULO DO ERRO LINEAR EM X E EM Y; 
7. CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS CORREGIDAS; 
8. DEFINIÇÃO DA ESTACA OESTE COMO ORIGEM CARTESIANA; 
9. CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS DOS VÉRTICES DA POLIGONAL AUXILIAR 
DE LEVANTAMENTO; 
10. CÁLCULO DOS AZIMUTES DOS PONTOS RADIADOS; 
11. CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS DOS PONTOS RADIADOS; 
12. CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS DOS PONTOS RADIADOS; 
13. CÁLCULO DOS RUMOS VANTES DE INTERESSE; 
14. PLOTAGEM CARTESIANA DOS PONTOS DE INTERESSE; 
15. CÁLCULO DE ÁREA E PERÍMETRO DE INTERESSE. 
16. DETERMINAÇÃO E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO RELEVO LOCAL. 
17. DETERMINAÇÃO DA DECLINAÇÃO MAGNÉTICA E DEFINIÇÃO DA POSIÇÃO DO 
NORTE VERDADEIRO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PASSO A PASSO COM O EXEMPLO DIDÁTICO DA FIGURA 1 
 
1. DEFINIÇÃO DO ERRO ANGULAR TOLERÁVEL 
 
 Quanto ao erro angular da poligonal fechada de levantamento, não poderá passar do valor 
dado pela equação (4) 
 
nρt
ξ
= (4) 
 
 Da qual no primeiro membro se traduz por erro tolerável e no segundo membro ρ é a 
precisão do teodolito em segundos, quando desconhecida referida precisão adotar 1,5 minutos no 
máximo. O valor de n é igual ao número de lados da poligonal que é igual também ao número de 
vértices da mesma. 
 
 Para o exemplo didático deste texto, tendo a precisão do teodolito em 20” e 4 lados para a 
poligonal de levantamento, então se tolera no máximo um erro de: 
 
40"tξ =
 
 
2. DEFINIÇÃO DO ERRO ANGULAR COMETIDO 
 
 A soma dos ângulos internos de um polígono qualquer deve ser exatamente igual ao 
exposto pela equação (5) 
 
 
k = 180° (n – 2) (5) 
 
 
 Da qual “n” é o número de vértices da poligonal auxiliar fechada de levantamento 
topográfico. Para o exemplo numérico deste texto: 
 
k = 360° 
 
 Ao somarem-se todos os ângulos internos medidos em campo do exemplo numérico: 
69°03’55” + 89°36’50” + 93°10’57” + 108°07’49” = 359°59’31” 
 
 Neste caso, faltou um pouco para chegar no valor de “k”, ou seja a 360°. Esta pequena 
diferença equivale ao erro angular cometido, que pode ser compreendido em módulo como se 
escreve na equação (6). 
 
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cξ = | k – somatório dos ângulos internos da poligonal auxiliar fechada | (6) 
 
 Da qual se identifica cξ como o erro angular cometido. 
 
 
3. CORREÇÃO DOS ÂNGULOS INTERNOS DA POLIGONAL 
AUXILIAR DE LEVANTAMENTO 
 
 Fica para o topógrafo compreender se faltou ou passou do valor de “k” devendo ainda 
equacionar a correção de cada ângulo interno da poligonal fechada auxiliar de campo conforme a 
expressão (7) 
 
Correção = +/- 
n
ξ c
 (7) 
 
 Obviamente o sinal positivo permanecerá quando faltar para chegar ao valor de “k” e 
assumirá o sinal negativo quando ultrapassar o valor de “k”. No exemplo deste texto, será adotado 
o sinal positivo uma vez que o somatório dos ângulos internos da poligonal auxiliar de 
levantamento não chegou a 360° (valor de “k” neste exemplo), assim sendo a correção será de 
valor unitário.... 
 
... Correção = + 7,25"
4
00'29"0
n
ξ c
=
°
=
 valor este a somar-se a cada ângulo interno da poligonal 
auxiliar, que resultará nos ângulos internos corrigidos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com os ângulos internos corrigidos se dá sequência ao cálculo dos azimutes. 
 
 
 
 
 
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4. CÁLCULO DOS AZIMUTES HORÁRIOS VANTES DOS VÉRTICES 
DA POLIGONAL AUXILIAR DE LEVANTAMENTO 
 
 
 Todo azimute horário vante poderá ser calculado com a equação (8) se é somente se, em 
campo e cálculo adota-se o sentido horário de caminhamento. 
 
Azimute
 i = Azimute i-1 + 180° – ângulo interno i (8) 
 
 Na figura (6) é possível deduzir a equação (8) observando o Azimute horário vante em B e 
em A, levando em conta o ângulo interno em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Para dedução da equação (8) 
 
 
 Para o exemplo numérico, os azimutes horários vantes, foram determinados com a 
equação (8), apresentam-se a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS DA POLIGONAL 
AUXILIAR DE LEVANTAMENTO 
 
 Já enfatizado antes e pela figura 1, ao empregar os ângulos internos, as distâncias entre 
os vértices e os azimutes horários vantes, é possível mecanizar o cálculo dos azimutes em todos 
os vértices da poligonal de levantamento, razão pela qual se faz desnecessário tomar mais do que 
um azimute em campo. Além disso, considera-se o paralelismo do eixo Norte Sul em todos os 
vértices, como se ilustrou na figura 6. Desta forma as equações (9) e (10) ficam apropriadas para 
fornecer os sinais algébricos das coordenadas parciais que se traduzem para o eixo x: negativo 
para Oeste, positivo para Este, para o eixo y, negativo para o Sul e positivo para o Norte. 
 
 
X parcial = Dh (vante+ré)/2 Seno (Azimute i) (9) 
 
Y parcial = Dh (vante+ré)/2 Cosseno (Azimute i) (10) 
 
 No exemplo numérico, conforme anotações de campo, existem Dh vante e ré junto à 
poligonal auxiliar de levantamento, o que determina como distância final entre vértices, a média 
aritmética entre a medida vante e a ré, como se escreve a seguir. 
 
DAB = 75,83m; DBA = 75,88m � Média: DAB = 75,86m 
DBC = 68,29m; DCB = 68,32m � Média: DBC = 68,31m 
DCD = 47,53m; DDC = 47,96m � Média: DCD = 47,75m 
DDA = 75,49m; DAD = 75,00m � Média: DDA = 75,25m 
 
 
 Aplicando-se estas equações (9) e (10) para o exemplo numérico, obtêm-se os seguintes 
resultados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os valores acima tabelados estão em módulo, mas estratificados com a convenção para 
X: negativo para Oeste, positivo para Este. Em Y: negativo para Sul e positivo para Norte, todavia 
não há problema nenhum em conservar o sinal algébrico desde que isto não confunda o processo 
de correção linear que será visto logo adiante. 
 
 
 
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6. CALCULO DO ERRO LINEAR EM X E EM Y 
 
 Definindo-se εmx como erro linear em X e analogamente, εmy como erro linear em Y, 
valores estes determinados numericamente pelas equações (11) e (12). 
 
 
 (11) 
 
 
 
 (12) 
 
 
 
 Os somatórios acima correspondem para o exemplo numérico deduzido do cálculo das 
parciaisjá calculadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ʃ x + = 73,313 Ʃ x - = 73,731 Ʃ y + = 74,854 Ʃ y - = 75,65 
 
 Aplicando-se referidos somatórios nas equações (11) e (12) encontram-se os seguintes 
erros lineares: 
 
 
 
 
 
 Percebe-se que emx e emy são componentes cartesianas (catetos) ao se calcular uma 
suposta hipotenusa por Pitágoras com estes valores, obtém-se o “erro de fechamento” aqui 
calculado em 0,006m. 
 
 
 
 
∑∑
∑ ∑
−++
−−+
=
xx
xx
ε
mx
∑∑
∑ ∑
−++
−−+
=
yy
yy
ε
my
 
 
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7. CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS CORRIGIDAS 
 
 
 Toda componente parcial X deverá ser corrigida pela equação (13) e toda componente 
parcial Y pela equação (14) assim gerando-se cada par ordenado parcial (X;Y) corrigido. 
 
X parcial corrigida = X parcial (1 +/- εmx) (13) 
Y parcial corrigida = Y parcial (1 +/- εmy) (14) 
 
 Contudo, para definir o sinal algébrico de cada erro linear a colocar nas equações 
(13) e (14) é preciso observar o somatório de cada fileira na tabela de cálculo das componentes 
parciais e deduzir qual delas receberá o sinal positivo e qual o negativo nas respectivas equações 
(13) e (14). No exemplo numérico já calculado para as coordenadas parciais, abaixo se definem 
estes somatório e se deduz do lado o sinal para cada coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para o exemplo numérico em marcha, calcula-se com as equações (13), (14) novas 
coordenadas parciais, agora denominadas “corrigidas”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois de feita a correção os somatórios devem bater valor para X e Y, confira na tabela acima. 
 
 
 
 
Como 73,313 < 73,731 em X 
se empregarão os seguintes 
sinais na equação (11): 
(+) para a coluna ESTE; 
(-) para a coluna OESTE. 
 
Como 74,854 < 75,65 em Y se 
empregarão os seguintes 
sinais na equação (12): 
(+) para a coluna NORTE; 
(-) para a coluna SUL. 
 
 
 
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8. DEFINIÇÃO DA ESTAÇÃO OESTE COMO ORIGEM CARTESIANA 
 
 Levando em conta neste texto, o cálculo das coordenadas topográficas totais [não 
georeferenciadas], é preciso arbitrar uma origem cartesiana qualquer. Com o objetivo de deixar o 
desenho final bem centrado na folha de papel é possível definir como origem topográfica total 
local (0;0) a estação da poligonal de levantamento que estiver localizada mais ao Oeste possível. 
Para definir esta posição existem dois procedimentos, um deles é intuitivo e óbvio, diz respeito a 
observar isto em campo mediante uma bússola, todavia resulta em um encargo penoso se a 
poligonal tiver muitos vértices, então como segundo e mais coerente procedimento, basta realizar 
um acúmulo das componentes parciais X corrigidas atribuindo a uma suposta estação qualquer 
[que certamente não está na posição Oeste] o valor nulo e em seguida acumular cada 
componente X parcial. O valor que resultar no maior módulo negativo, ou na inexistência de valor 
negativo apenas o menor módulo numérico definirá a estação localizada mais ao Oeste possível. 
 
 Aplicando-se no exemplo numérico, arbitrando-se zero para a estação “A” obtém-se: 
 
 0,00 
- 5,63 
Estaca A � NULO ARBITRADO 
 
- 5,63 
- 67,89 
Estaca B 
 
- 73,52 
+ 1,23 
Estaca C � ESTACA “C” É A POSIÇÃO OESTE 
 
- 72,29 Estaca D 
+72,29 
 0,00 Estaca A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS DOS VÉRTICES DA 
POLIGONAL AUXILIAR DE LEVANTAMENTO 
 
 
 Definida como origem cartesiana (0;0) a estação localizada mais ao Oeste possível, basta 
acumular as componentes parciais corrigidas para obter as coordenadas totais. Aplica-se este 
procedimento no exemplo numérico: 
 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Embora não seja objetivo final da topografia o desenho da poligonal auxiliar e sim 
dos pontos desde ela radiados, apresenta-se apenas para efeito didático na figura 7 a 
plotagem cartesiana da poligonal auxiliar de levantamento ABCD através das coordenadas 
topográficas totais calculadas, tendo como origem (0;0) a estação Oeste “C” neste caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTAÇÃO Xpg X total Ypc Y total 
 
C 
 
0,00 
 
0,00 
 
+1,23 
 
+ 47,99 
D +1,23 + 47,99 
+72,29 + 21,69 
A +73,52 + 69,68 
- 5,63 - 75,25 
B + 67,89 - 5,57 
- 67,89 + 5,57 
C 0,00 0,00 
 
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Figura 7: Poligonal de levantamento ABCD com seus vértices calculados como 
coordenadas topográficas totais e origem na estação mais ao Oeste. 
 
 
 
 
 Para o cálculo das coordenadas totais dos pontos de interesse, primeiramente é preciso 
determinar as coordenadas parciais destes, que por sua vez exigem do conhecimento dos 
azimutes dos pontos radiado, pois se transforma uma coordenada do tipo polar (Azimute e 
distância) em uma cartesiana parcial (x;y) e depois numa cartesiana total (X;Y) ao somar-se a 
cartesiana parcial do ponto radiado com a cartesiana total da estação. Esta sequência se explica 
passo a passo nas próximas páginas. 
 
 
 
73,522; 69,679
67,891; -5,57
0; 0
1,227; 47,987
73,522; 69,679
A
B
C
D
-14,0 y
-4,0 y
6,0 y
16,0 y
26,0 y
36,0 y
46,0 y
56,0 y
66,0 y
76,0 y
-8
,0
 x
2
,0
 x
1
2
,0
 x
2
2
,0
 x
3
2
,0
 x
4
2
,0
 x
5
2
,0
 x
6
2
,0
 x
7
2
,0
 x
8
2
,0
 x
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10. CÁLCULO DOS AZIMUTES DOS PONTOS RADIADOS 
 
 
 Se respeitada a convenção de campo: andamento horário com tomada do azimute horário 
vante, fica intuitivo que basta somar o azimute da estação com o ângulo horizontal horário entre o 
alinhamento da poligonal auxiliar e o alinhamento até o ponto radiado esta explicação fica 
esclarecida na figura 8. Assim sendo o azimute do ponto radiado é calculado pela equação (15). 
 
AZPR = AZESTAÇÃO + <HPR (15) 
 
 Ficando definido: 
 
AZPR: Azimute do ponto radiado desde um vértice da poligonal auxiliar de levantamento 
topográfico; 
 
AZESTAÇÃO: Azimute do vértice da estação em que está se readiando o ponto; 
 
<HPR: Ângulo horizontal horário medido entre o alinhamento vante da poligonal auxiliar de 
levantamento topográfico na qual o teodolito está estacionado num determinado vértice com o 
alinhamento da visada do objetode interesse [ponto visado = ponto radiado]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Dedução dos azimutes dos pontos radiados desde a estação “C” em função do 
caminhamento e convenção horária. 
 
AZIMUTES DOS PONTOS RADIADOS 
DESDE A ESTAÇÃO “C” 
 
AZC15 = AZCD + <H15 
AZC16 = AZCD + <H16 
AZC17 = AZCD + <H17 
AZC19= AZCD + <H19 
 
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 Da figura, pode-se deduzir que os azimutes dos pontos radiados 15, 16, 17 e 19 serão 
iguais à simples soma do Azimute horário vante em C com seus respectivos ângulos horizontais 
horários tirados entre a poligonal auxiliar no sentido vante horário e o ponto visado, como se 
escreve no destaque sublinhado. 
 
 
 Em campo as distâncias projetadas ortogonais [Dh] entre a estação e o ponto radiado, 
podem ser executadas com uma trena tomando cuidado de fazer referida medida desde o eixo 
vertical da estaca cravada na terra até o ponto visado, sem catenária nem desvios locais ao 
manipular a trena. Neste exemplo numérico tudo foi deduzido de processo taqueométrico de 
campo onde se utilizou leitura na mira [régua] e do ângulo zenital [teodolito: ângulo vertical] como 
se mostra no Anexo E junto com os cálculos realizados para Dh, Dv e cotas de nível. 
 
 Apenas para efeito didático, segue o cálculo dos azimutes dos pontos radiados da estação 
“C” como se ilustra na figura 8, retirando as distâncias horizontais do Anexo E: 
 
DC15= 7,8m; DC16 = 5,49m; DC17 = 7,57m; DC19 = 33,14m. 
 
AZCD= 1°27’33” <H15= 21°32’20” <H16=41°57’50” <H17=64°04’40” <H19= 87°18’30” 
 
Assim os azimutes dos pontos radiados calculam-se: 
 
AZC15 = AZCD + <H15 = 1°27’33” + 21°32’20” = 22°59’53” 
AZC16 = AZCD + <H16 = 1°27’33” + 41°57’50” = 43°25’23” 
AZC17 = AZCD + <H17 = 1°27’33” + 64°04’40” = 65°32’13” 
AZC19= AZCD + <H19 = 1°27’33” + 87°18’30” = 88°46’03” 
 
 Uma planilha de radiação de pontos de campo com seus respectivos cálculos topográficos 
em conformidade a esta explicação consta no Anexo F. 
 
 
 
11. CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS DOS PONTOS 
RADIADOS 
 
 
 Os pontos radiados de interesse têm as coordenadas parciais calculadas com as mesmas 
equações (9) e (10) que se utilizaram para a poligonal auxiliar de levantamento apenas com as 
referenciais da radiação como se configura nas equações (16) e (17). 
 
X parcial PR = Dh PR Seno (Azimute PR) (16)
 
Y parcial PR = Dh PR Cosseno (Azimute PR) (17)
 
 
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 Para efeito didático apresentam-se na sequência as coordenadas parciais dos pontos 
radiados desde a estação “C”. 
 
X15 = 7,80 sen 22°59’53” = 3,05m Y15 = 7,80 cos 22°59’53” = 7,18m 
X16 = 5,49 sen 43°25’23” = 3,77m Y16 = 5,49 cos 43°25’23” = 3,99m 
X17 = 7,57 sen 65°32’13” = 6,89m Y17 = 7,47 cos 65°32’13” = 3,13m 
X19 = 33,14 sen 88°46’03” = 33,13m Y19 = 33,14 cos” 88°46’03” = 0,71m 
 
 
 
12. CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS DOS PONTOS 
RADIADOS 
 
 
 Para determinar as coordenadas topográficas totais dos pontos que foram radiados desde 
a poligonal auxiliar de levantamento, basta somar a coordenada parcial calculada do ponto 
radiado com a coordenada total da estação de onde esta foi radiada. Registram-se as equações 
(18) e (19). 
 
XtPR = XPR + XtESTAÇÃO (18) 
 
YtPR = YPR + YtESTAÇÃO (19) 
 
 Das quais se definem: 
 
XtPR: Componente cartesiana “X” da coordenada topográfica total do ponto radiado [m]; 
 
XPR: Componente cartesiana “X” da coordenada parcial do ponto radiado [m]; 
 
XtESTAÇÃO: Componente cartesiana “X” da coordenada topográfica total do vértice de estação do 
teodolito onde se efetuou a radiação [m] 
 
 
 Para exemplo didático seguem na sequência os pontos radiados desde a estação “C” que 
se ilustrou na figura 8. 
 
Xt15 = X15 + XtC = 3,05 + 0 = 3,05m Yt15 = Y15 + YtC = 7,18 + 0 = 7,18m 
 
Xt16 = X16 + XtC = 3,77 + 0 = 3,77m Yt16 = Y16 + YtC = 3,99 + 0 = 3,99m 
 
Xt17 = X17 + XtC = 6,89 + 0 = 6,89m Yt17 = Y17 + YtC = 3,13 + 0 = 3,13m 
 
Xt19 = X19 + XtC = 33,13 + 0 = 33,13m Yt19 = Y19 + YtC = 0,71 + 0 = 0,71m 
 
 
 No Anexo F constam todos os pontos radiados com seus respectivos cálculos realizados 
com a mesma metodologia acima explicada. 
 
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13. CÁLCULO DOS RUMOS VANTES DE INTERESSE 
 
 
 Os rumos se derivam do Norte e Sul da seguinte forma: Noroeste e Nordeste derivados do 
Norte e Sudoeste e Sudeste derivados do Sul como se ilustra na figura 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9: Quatro rumos. 
 
 
 Com duas coordenadas topográficas totais, é possível definir o módulo numérico e o rumo 
em si. Para o rumo se definem as inequações (20) a (23) 
 
 
 
Se ∆Y > 0 � Norte (20) 
 
Se ∆Y < 0 � Sul (21) 
 
Se ∆X > 0 � Este (22) 
 
Se ∆X < 0 � Oeste (23) 
 
 
 Para ∆ considerar sempre o ponto vante da estação menos o ponto da estação. Para o 
valor modular do rumo vale a equação (24). 
 
 
 (24) 
 
 
 
∆y
∆x
tanarcoRUMO =
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 Para exemplificação, calculam-se a seguir os rumos vantes: 23-1 e; 300-11. 
 
Rumo 23-1: 
 
Coordenadas totais dos pontos radiados: 
 
23(41,05; 58,50) 
 1(63,06; 65,38) 
 
∆Y = 65,38 - 58,5 = + 6,88 � NORTE; 
∆X = 63,06 – 41,05 = + 22,01 � ESTE 
 
� RUMO NORDESTE 
 
Módulo: 
 
 
 
Anota-se em desenho: NE 72°38’29,5” � 
 
 
Rumo 300-11: 
 
Coordenadas totais dos pontos radiados: 
 
300 (74,11; 59,59) 
 11 (66,58; 2,86) 
 
∆Y = 2,86 – 59,59 = - 56,73 � SUL 
∆X = 66,58 – 74,11 = - 7,53 � OESTE 
 
� RUMO SUDOESTE 
 
Módulo: 
 
 
 
Anota-se em desenho: SO 7°33’39” � 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'29,5"3872 ,6415...27
6,88
22,01
tanarco
∆y
∆x
tanarco °=°==
 
"39'337...5609,7
56,73
7,53
tanarco
∆y
∆x
tanarco °=°==
 
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14. PLOTAGEM CARTESIANA DOS PONTOS DE INTERESSE 
 
 
 
 Com as coordenadas topográficas totais dos pontos radiados de interesse, é 
possível plotar de forma cartesiana e formar uma figura que representa graficamente a 
posição de campo. 
 
 Como a convenção adotada: Y+ = NORTE; Y- = SUL; X+ = ESTE e X- = OESTE, a 
figura resultante dessa plotagem, ficará orientada com relação ao Norte Magnético. 
 
 Para o exemplo deste texto, fechando o objeto radiado na ordem da tabela abaixo, 
extraída dos resultados do Anexo F com suas respectivas coordenadas topográficas totais 
se produz a quadra apresentada na figura 10.ENGENHARIA CIVIL – CAMPUS ENGENHEIRO COELHO SP 
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Figura 10: Plotagem cartesiana da quadra urbana objeto de interesse. 
Fonte: Planilha Eletrônica do Gustavo Seiji com quadriculado resolvido pelo Excel. 
 
 
 
 O desenho topográfico final e completo, que consta com área, perímetro e curvas de nível 
para o objeto radiado pode ser obtido no material de apoio do professor. 
 
 
 
 
 
 
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15. CÁLCULO DE ÁREA E PERÍMETRO DE INTERESSE 
 
 
 O perímetro de interesse será a soma das distâncias de cada segmento de reta. Cada 
segmento de reta terá sua distância calculada pela equação (25) com as coordenadas 
topográficas totais calculadas. 
 
 
 (25) 
 
 
 A área de um objeto de interesse [figura fechada], terá sua área calculada por meio das 
coordenadas topográficas totais e procedimento de Gauss dado pela equação (26). 
 
 
 (26) 
 
 
 Da qual se definem os somatórios I e II da forma que se ilustram na figura 11, observando 
que a coordenada inicial se repete ao final para fechar a área do polígono em si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. Somatórios para a equação (26) 
 
 
 
 
 
 
 
Sub total I X total Y total Sub total II 
 X1 Y1 
X2 Y1 X2 Y2 X1 Y2 
X3 Y2 X3 Y3 X2 Y3 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
Xn Yn-1 Xn Yn Xn-1 Yn 
X1 Yn X1 Y1 Xn Y1 
--------------- ----------------- 
Ʃ I Ʃ II 
2
AB
2
ABAB )X(X)Y(YD −+−=
2
IIIÁrea ∑ ∑−=
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16 . DETERMINAÇÃO E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO RELEVO 
LOCAL 
 
 
 O Desenho topográfico plano poderá ser beneficiado por cotas pontuais ou curvas de nível. 
Já foi aprendido em Desenho Técnico ou Técnicas de Representação Gráfica, como se 
simbolizam as cotas de altitude ou relevo em planta e perfil. O desenho topográfico digitalizado 
deste exemplo está no material de apoio do professor e deverá ser consultado e estudado pelo 
aluno para que este possa realizar com o mesmo rigor os trabalhos de campo. 
 
 Quanto ao valor numérico do relevo, primeiramente define-se uma referência de nível local, 
arbitrada ou tomada de uma fonte de informação (barômetro, marco local, estrada de ferro, 
estação ferroviária, etc.) e depois disso se trabalha com a equação (1) e (3) deste texto para 
construir as cotas de todos os pontos de interesse. 
 
 No exemplo numérico deste texto, arbitrou-se uma RN = 100, junto à estação “A” e 
partindo desta RN saíram todas as cotas de relevo local, como se calculam no Anexo F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 . DETERMINAÇÃO DA DECLINAÇÃO MAGNÉTICA E DEFINIÇÃO 
DA POSIÇÃO DO NORTE VERDADEIRO 
 
 
É importante registrar a data junto ao desenho final topográfico quando referido 
levantamento topográfico fora realizado por azimute local medido com bússola, pois o norte 
indicado pela bússola é o Norte Magnético que de fato não corresponde exatamente ao Norte 
Verdadeiro (Geográfico). A data oferece a possibilidade de interpretar a cada ano a posição do 
Norte Verdadeiro no plano da folha do desenho topográfico. 
 
A declinação magnética de uma determinada coordenada geográfica, pode ser obtida para 
descobrir a posição do norte geográfico verdadeiro somando ou subtraindo este valor ao norte 
magnético fornecido por uma bússola comum. 
A equação empregada é 
 
DM = Cig (Ano - 2000 + Fa ) Cip/60 (27)
 
Da qual se defimen: 
 
DM = Declinação magnética em local e data específica; 
Cig = Dado obtido num mapa magnético inerente às curvas do tipo isogônicas em graus; 
Cip = Dado obtido num mapa magnético inerente às curvas do tipo isopóricas em minutos; 
Ano = ano de observação; 
2000 = ano em que foi construído o mapa magnético do Brasil; 
Fa = fração de ano, que pode ser obtido numericamente em função da data pela tabela 
 
Data Valor de Fa 
 
1º de Janeiro a 19 de Janeiro 0,00 
20 de Janeiro a 24 de Fevereiro 0,10 
25 de Fevereiro a 1º de Abril 0,20 
02 de Abril a 07 de Maio 0,30 
08 de Maio a 13 de Junho 0,40 
14 de Junho a 19 de Julho 0,50 
20 de Julho a 25 de Agosto 0,60 
26 de Agosto a 30 de Setembro 0,70 
1º de Outubro a 06 de Novembro 0,80 
07 de Novembro a 12 de Dezembro 0,90 
13 de Dezembro a 31 de Dezembro 1,00 
 
Dada a equação do cálculo da declinação magnética no Brasil, logo percebe-se que 
referido valor muda em função do ano, mês e localidade (latitude). 
 
 
 
 
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Exemplos numéricos: 
 
Calcular para a cidade de Americana São Paulo Brasil a declinação magnética local nas 
seguintes datas: 
 
a) em 31/01/07; 
b) em 15/06/07; 
c) em 15/12/07; 
 
Solução dada com o mapa magnético do ano 2000. 
 
a) DM = -19 ( 2007 - 2000 + 0 ) (-6,7/60) = 14,85º 
b) DM = -19 (2007 - 2000 + 0,50) (-6,7/60) = 15,91º 
c) DM = -19 (2007 - 2000 + 1 ) (-6,7/60) = 16,97º 
 
 
 
As cartas magnéticas do Brasil para o ano de 2012, 2005 e 2000 podem ser vistas no 
Anexo E. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Execução de levantamento topográfico: 
NBR 13133. Rio de Janeiro, 1994. 
 
BORGES, A. C. Topografia aplicada à engenharia civil. São Paulo: Edgard Blucher, 1997. 1.v. 
 
FROTA, A. BARROS. Geometria da Insolação. Geros Ltda. 2004. 
 
LOCH, C.; CORDINI, J. Topografia contemporânea. 3.ed. Florianópolis: UFSC, 2007. 
 
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. Fundamentos de topografia. Fortaleza: Editora 
da UFC, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO A 
 
 
PLANILHA DE CAMPO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO B 
 
 
RESULTADOS COM PLANILHA 
ELETRÔNICA DE 
GUSTAVO SEIJI 
BERTATO YOSHIKAWA 
ENGENHARIA CIVIL UNASP EC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gustavo Seiji Bertato Yoshikawa 
 
gustavo.seiji@live.com 
 
 
Gustavo Seiji Bertato Yoshikawa 
 
gustavo.seiji@live.com 
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ANEXO C 
 
 
RESULTADOS COM PLANILHA 
ELETRÔNICA DE 
 
LENNON DE SOUSA MARCONATO 
ENGENHARIA CIVIL UNASP EC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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lennonmarconato@gmail.com 
 
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A planilha também determina coordenadas totais de pontos radiados desde a poligonal auxiliar, 
assim como desenha e exporta desenhos para o ambiente Acad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO D 
 
 
RESULTADOS COM SOFTWARE 
PARA HP50 ESCRITO POR 
 
GLAUBER MARTINS E 
ÍTALO GATICA RÍSPOLI 
 
ENGENHARIA CIVIL UNASP EC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Glauber Martins 
 
glauber.mar@gmail.com 
Prof. Dr. Ítalo Gatica Ríspoli 
 
italogatica@yahoo.com.br 
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RADIAÇÃO DE PONTOS 
 
 No caso 1 = Estação A 
Entrada das Dh(s) dos 
pontos radiados desde A, 
no caso: 1, 2, 3 e 300 
 
Entrada dos ângulos 
horizontais horários dos 
pontos radiados desde A, no 
caso: 1, 2, 3 e 300 
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Resultados das coordenadas 
radiadas desde “A”. 
Usar as setas paratrocar de Stack 
e Editar as listas de resultados 
 
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ANEXO E 
 
 
MAPAS MAGNÉTICOS DO BRASIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MAPA MAGNÉTICO ANO 2012 - PARTE SUL DO BRASIL 
COMPLETO EM ARQUIVO DIGITAL EM MATERIAL DE APOIO Á DISCIPLINA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO F 
 
CÁLCULO TAQUOEMÉTRICO E 
COTAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONFIRA
Estação A.I.[m] PV LI[m] LS[m] LC[m] G M S G M S RN[m] LC[m] Dh[m] Dv[m] Cota[m]
A 1,48 B 1 1,774 1,387 0 0 0 81 48 20 100 1,387 75,83 10,92 111,01
A 1,48 D 1 1,750 1,375 69 3 20 89 33 0 100 1,375 75,00 0,59 100,69
A 1,48 7 1 1,488 1,244 49 18 30 86 26 40 100 1,244 48,61 3,02 103,26
A 1,48 6 1 1,435 1,218 52 4 20 86 57 40 100 1,218 43,38 2,30 102,57
A 1,48 5 1 1,304 1,152 44 22 30 86 45 0 100 1,152 30,30 1,72 102,05
A 1,48 4 1 1,183 1,092 43 7 50 88 22 50 100 1,092 18,29 0,52 100,91
A 1,48 1 1 1,132 1,066 66 38 20 91 22 0 100 1,066 13,19 -0,31 100,10
A 1,48 2 1 1,062 1,031 51 50 20 92 17 40 100 1,031 6,19 -0,25 100,20
A 1,48 3 1 1,068 1,034 5 53 20 90 26 40 100 1,034 6,80 -0,05 100,39
A 1,48 300 1 1,102 1,051 3 40 40 88 59 50 100 1,051 10,20 0,18 100,61
D 1,5 A 1 1,755 1,378 0 0 0 90 36 20 100,69 1,378 75,49 -0,80 100,01
D 1,5 23 1 1,412 1,206 1 53 20 91 0 20 100,69 1,206 41,19 -0,72 100,26
D 1,5 20 1 1,105 1,053 14 22 20 93 8 20 100,69 1,053 10,47 -0,57 100,56
D 1,5 21 1 1,065 1,033 34 10 0 94 11 40 100,69 1,033 6,47 -0,47 100,68
D 1,5 22 1 1,078 1,039 65 24 40 90 15 20 100,69 1,039 7,80 -0,03 101,12
D 1,5 24 1 1,235 1,118 97 51 20 82 51 0 100,69 1,118 23,14 2,90 103,97
D 1,5 18 1 1,383 1,192 33 58 0 85 43 0 100,69 1,192 38,09 2,85 103,85
D 1,5 C 1 1,488 1,244 108 7 0 82 27 40 100,69 1,244 47,96 6,35 107,29
C 1,53 D 1 1,485 1,243 0 0 0 98 8 30 107,3 1,243 47,53 -6,80 100,79
C 1,53 15 1 1,080 1,040 21 32 20 99 3 40 107,3 1,040 7,80 -1,24 106,55
C 1,53 16 1 1,056 1,028 41 57 50 98 10 30 107,3 1,028 5,49 -0,79 107,01
C 1,53 17 1 1,076 1,038 64 4 40 93 45 10 107,3 1,038 7,57 -0,50 107,30
C 1,53 19 1 1,332 1,166 87 18 30 87 34 40 107,3 1,166 33,14 1,40 109,07
C 1,53 B 1 1,685 1,343 93 10 40 87 3 0 107,3 1,343 68,32 3,52 111,01
B 1,46 C 1 1,685 1,343 0 0 0 93 10 0 111,01 1,343 68,29 -3,78 107,35
B 1,46 12 1 1,640 1,320 7 50 50 93 2 0 111,01 1,320 63,82 -3,38 107,77
B 1,46 9 1 1,088 1,044 20 18 40 95 43 20 111,01 1,044 8,71 -0,87 110,55
B 1,46 10 1 1,056 1,028 47 11 0 99 31 20 111,01 1,028 5,45 -0,91 110,53
B 1,46 13 1 1,068 1,034 48 8 20 97 28 30 111,01 1,034 6,68 -0,88 110,56
B 1,46 ALFA 1 1,082 1,041 31 24 0 95 21 20 111,01 1,041 8,13 -0,76 110,67
B 1,46 BETA 1 1,088 1,044 67 15 40 99 51 20 111,01 1,044 8,54 -1,48 109,94
B 1,46 11 1 1,088 1,044 76 29 40 100 30 0 111,01 1,044 8,51 -1,58 109,85
B 1,46 14 3,2 3,597 3,399 85 51 20 96 15 0 111,01 3,399 39,23 -4,30 104,78
B 1,46 A 1 1,775 1,388 89 36 50 98 18 30 111,01 1,388 75,88 -11,08 100,00
<H <V
CADERNETA DE CAMPO - DADOS MEDIDOS COM TEODOLITO E RÉGUA
C A L C U L A M - S E
 
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ANEXO G 
 
RESULTADOS COM PLANILHA 
ELETRÔNICA DE 
ANDREWS MAGAIESKI GRAEPP 
 
 
ENGENHARIA CIVIL UNASP EC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Andrews Magaieski Graepp 
 
magaieskigraepp@yahoo.com.br 
 ENGENHARIA CIVIL – CAMPUS ENGENHEIRO COELHO SP 
 Topografia I - Prof. Dr. Ítalo Alberto Gatica Ríspoli. 
 
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AINDA PERMITE OUTRAS TELAS, INCLUSIVE PARA PONTOS E OBJETOS RADIADOS. 
 
 
 
 
 ENGENHARIA CIVIL – CAMPUS ENGENHEIRO COELHO SP 
 Topografia I - Prof. Dr. Ítalo Alberto Gatica Ríspoli. 
 
60ANEXO H 
 
TRABALHO DE CAMPO REALIZADO POR: 
 
GUSTAVO SEIJI BERTATO YOSHIKAWA 
CARLOS AUGUSTO DAS CHAGAS 
GEOVANNI DAS CHAGAS 
JONATHAS CARLOS FREITAS NASCIMENTO 
LETÍCIA SANTOS OLIVEIRA 
 
 
 
ENGENHARIA CIVIL UNASP EC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ENGENHARIA CIVIL – CAMPUS ENGENHEIRO COELHO SP 
 Topografia I - Prof. Dr. Ítalo Alberto Gatica Ríspoli. 
 
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Gustavo Seiji Bertato Yoshikawa 
 
gustavo.seiji@live.com 
	Levantamento Topográfico Planimétrico UNASP V5 EC
	prática III