ATPS de matemática aplicada

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INTRODUÇÃO
 	Este trabalho tem como objetivo mostrar como nossa equipe resolverá as pendências deixadas pela equipe anterior de uma filial da Agro Bentos Corporation e entregá-lo em forma de relatório ao gerente do setor de gestão.
	Analisaremos as condições da filial através do nosso conhecimento do conceito de função crescente e decrescente, limitada e composta.
Após a análise, apresentaremos as soluções para os problemas práticos e teóricos utilizando a função do 1º grau e em seguida resolveremos as pendências através da função do 2º grau e mostraremos como a função exponencial pode favorecer na resolução de problemas na área de ciências sociais através do conceito de depreciação de juros compostos.
Por fim, entregaremos a atividade em forma de relatório para o gerente do setor de gestão.
CONCEITO DE FUNÇÃO 
2.1. Tipos de função: crescente, decrescente, limitada e composta.
Ao analisar os dados recebidos no inicio dos trabalhos de sua equipe foi constatado que existem cerca de 1620 toneladas, distribuídas em sacas de 60kg de grãos a serem vendidos no mercado de ações. Um levantamento na bolsa de valores do preço ($)/saca de 60kg feito em relação aos dias uteis, do mês em questão, está contido no gráfico abaixo:
Definição de variáveis dependentes e independentes
No contexto do gráfico as variáveis dependentes são os preços, pois pode haver variação conforme o dia, e as variáveis independentes são os 22 dias úteis. 
Cálculo da receita
Para calcular a receita é preciso primeiro converter 1.620 toneladas em quilos. Sabendo que existem 1.620 toneladas de grãos armazenados em sacas de 60kg:
1 tonelada = 1.000kg.
Logo, 
1620 toneladas = 1.620.000kg.
Quantidade de sacas -> 1.620.000/60 = 27.000 sacas de grãos.
Analisando o gráfico é possível afirmar que no 22° dia o valor do grão é equivalente $15 cada saca. 
Multiplicando o valor da ação do 22° dia pela quantidade produzida na venda de todo grão armazenado, obtemos a receita de: 
x 27.000 = $405.000,00 
Intervalos crescentes e decrescentes
	Intervalos crescentes
	Intervalos decrescentes
	Do dia 1 ao 2
	Do dia 2 ao 3
	Do dia 16 ao 17
	Do dia 4 ao 5
	Do dia 3 ao 4
	Do dia 18 ao 19
	Do dia 9 ao 10
	Do dia 5 ao 6
	Do dia 19 ao 10
	Do dia 11 ao 12
	Do dia 6 ao 7
	Do dia 20 ao 21
	Do dia 15 ao 16
	Do dia 10 ao 11
	
	Do dia 17 ao 18
	Do dia 12 ao 13
	
	Do dia 20 ao 21
	Do dia 14 ao 15
	
Segundo o gráfico a demanda foi maior no dia 12 e no dia 14 onde o preço de cada saca custou $20 (dia 12) e $19 (dia 14) e menor nos dias 4, 7 e 11 onde cada saca custou $14.
Função limitada superiormente e inferiormente
De acordo com o gráfico, no dia 12 a função-preço é limitada superiormente, pois o valor máximo das sacas não passou de $20,00. E nos dias 4, 7 e 11 a função-preço é limitada inferiormente, pois o valor mínimo das sacas foi de $14,00.
Calculando a diferença:
Limite superior: 20 x 27.000 = $540.000,00
Limite inferior: 14 x 27.000,00 = $378.000,00
Diferença de: $540.000,00 - $378.000,00 = $162.000,00
FUNÇÃO DO 1º GRAU
O grêmio de funcionários de sua filial há algum tempo requereu junto à outra equipe administrativa o convênio de saúde para todos os colaboradores. Já havia sido até encaminhado algumas propostas de planos de saúde e a sua equipe deve analisá-las para chegar a melhor escolha para todos.
Sua equipe deve escolher um plano de saúde dentre duas opções: A e B. ambos têm a mesma cobertura, mas condições de cobranças diferentes:
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período.
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período.
3.1. Função correspondente a cada plano
Para esta atividade chamaremos o Plano A de PA, Plano B de PB e o número de consultas de n.
Função para o plano A: PA = $140,00 + $20,00 n
Função para o plano B: PB = $110,00 + $25,00 n
Definindo a situação mais econômica
O melhor plano para os funcionários considerando o numero de consultas entre 0 e 7 consultas é o Plano B, pois o valor total é mais baixo. A partir de 8 consultas o plano A se torna o mais barato.
Definindo a situação onde os dois planos se equivalem
Função composta:
PA = 140,00 + 20,00 n
PB = 110,00 + 25,00 n
110 + 25n = 140 + 20n 
25n – 20n = 140 - 110 
5n = 30 
n = 
n = 6 
Plano A
PA = $140,00 + $20,00 n 
PA = $140,00 + $20,00.(2) = $180,00 
PA = $140,00 + $20,00.(4) = $220,00 
PA = $140,00 + $20,00.(6) = $260,00 
Plano B
PB = $110,00 + $25,00 n 
PB = $110,00 + $25,00.(2) = $160,00 
PB = $110,00 + $25,00.(4) = $210,00 
PB = $110,00 + $25,00.(6) = $260,00 
Apresentação gráfica
Plano mais econômico
Plano A
PA = $140 + $20.(7) = $280 
PA = $140 + $20.(8) = $300 
PA = $140 + $20.(9) = 320 
PA = $140 + $20.(10) – 340
Plano B
PB = $110 + $25.(7) = $285
PB = $110 + $25.(8) = $310
PB = $110 + $25.(9) = $335
PB = $110 + $25.(10) = $360
Segundo a função do 1º grau, após a sexta consulta o plano A torna-se mais econômico a cada consulta.
FUNÇÃO DO 2º GRAU
“O lucro L obtido pela empresa na venda de um adubo específico é em função do preço x cobrado. Se x for um número muito pequeno, o lucro é negativo, ou seja, a empresa terá prejuízo. Se x for um número muito grande, o lucro também será negativo, pois poucas pessoas adquirirão o adubo dessa empresa. A matriz da empresa, estudando a situação, deduziu a fórmula para L em função de x: L = -x² + 90x – 1400. (L e x em unidades monetárias convenientes)”.
4.1. Descobrindo se haverá lucro ou não
Para a fórmula L = -x2 +90x – 1400 calcularemos se haverá lucro quando preço for x = 20 e quando o preço for x = 70.
Calculando:
Com preço de : x = 20
L = – 202 + 90.(20) – 1400
L = – 400 + 1800 – 1400
L = 1400 – 1400
L = 0
Com preço de: x = 70
L = – 702 + 90.(70) – 1400
L = – 4900 + 6300 – 1400
L = 1400 – 1400
L = 0
Pelos cálculos, o lucro “L” será de zero, tanto para o preço de 20 como o para o preço de 70.
Calculando quando o preço é x = 100 
Se o preço for x = 100, teremos:
L = – 1002 + 90.(100) – 1400
L = – 10000 + 9000 – 1400
L = – 1000 – 1400
L = – 2400
Pelos cálculos, se o preço for $100,00 haverá um prejuízo de $2400,00
Gráfico
Para sabermos se o gráfico terá a concavidade para cima ou para baixo vamos seguir alguns passos:
Passo 1: Calcular o delta
A = -1, B = 90 e C = -1400
∆ = b2- 4.a.c
∆ = 902 – 4.(-1).(-1400)
∆ = 8100 – 4. 1400
∆ = 8100 – 5600
∆ = 2500
Calculando o X da vértice:
Xv = 45
Calculando o Y da vértice
Yv = 625
	
Calculando o lucro máximo
Para se definir o preço a cobrar para obter o lucro máximo e descobrir qual o seu valor é necessário calcular a vértice da parábola do gráfico. 
Para isso temos como primeiro passo identificar os coeficientes a, b e c da equação. Sendo assim temos:
Função: L = – x2 + 90 – 1400
Coeficientes: a = -1, b = 90 e c = -1400
O segundo passo é calcular o X da vértice:
 = 45
R$45,00 é o valor de X que nos dará o lucro máximo.
O terceiro passo é descobrir o delta da equação:
∆ = – b2 – 4.a.c
∆ = – 902 – 4.(-1).(-1400)
∆ = – 8100 – 4. 1400
∆ = – 8100 – 5600
∆ = – 2500
Após descobrir o valor de delta vamos dividi-lo por 4 vezes -1, que é o valor de a.
X = 625
O valor do lucro máximo é de R$625,00.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
5.1. Juros simples e juros compostos
Para todos os participantes do grêmio de funcionários é descontado 1% de seu salário mensal como contribuição. Dentre diversas vantagens o colaborador participante do grêmio tem acesso a empréstimos em um banco parceiro que ofereceu, para escolha de sua equipe, duas opções de taxas:
1ª) Taxa de 4,4% ao mês, a juros simples.
2ª) Taxa de 1,75% ao mês, a juros compostos.
Outra excelente vantagem é uma bonificação anual dada aos motoristas de carretas, proporcional a 1,5% do valor atual dos veículos.
Calculando o montantefinal
Para um empréstimo de R$10.000,00, o montante a ser pago no final de quatro meses em cada opção:
Sendo: 
M = Montante
Pv = Presente valor
i = Juros
1 = 100% do montante
Definimos a função:
M = Pv.(Pv.i.n), ou seja, M = 10000.(1+0,044) para juros simples.
M = Pv.(1+i) n, ou seja, M = 10000.(1+0,0175) para juros compostos.
Opção com juros simples:
M = 10000,00. (1+ 0,044.4)
M = 10000,00. (1+ 0,176)
M = 10000,00. 1,176
M = 11760,00
Tem-se R$1.760,00 de juros cobrados
Opção com juros compostos:
M = 10.000,00. (1+0,0175)4
M = 10.000,00. (1,0175)4
M = 10.000,00. 1,071859031
M = 10718,59031
Tem-se R$718,59 de juros cobrados. 
A melhor opção de empréstimo é a de juros compostos (taxa de 1,75 a.m), sendo cobrado R$718,59 de juros, com a vantagem de uma economia de R$1.041,41 em relação à modalidade de juros simples.
Melhor modalidade no intervalo de 1 ≤ t ≤ 42 
Para a modalidade de juros simples, os juros são o mesmo todo mês, logo, é só ir somando o mesmo valor em todos os meses. Sendo o valor dos juros de 4,4% de R$ 10.000,00, temos:
M(7) = 10000 * (1+ 0,044 * 7)
M(7) = 10000 * (1 + 0,308)
M(7) = 10000 * 1,308
M(7) = 13080
M(14) = 10000 * (1+ 0,044 *14)
M(14) = 10000 * (1+ 0,616)
M(14) = 10000 * 1,616
M(14) = 16160
M(21) = 10000 * (1+ 0,044 * 21)
M(21) = 10000 * (1+ 0,924)
M(21) = 10000 * 1,924
M(21) = 19240
M(28) = 10000 * (1+ 0,044 * 28)
M(28) = 10000 * (1+ 1,232)
M(28) = 10000 * 2,232
M(28) = 22320
M(35) = 10000 * (1+ 0,044 * 35)
M(35) = 10000 *(1+ 1,54)
M(35) = 10000 * 2,54
M(35) = 25400
M(42) = 10000 * (1+ 0,044 *42)
M(42) = 10000 * (1+ 1,848)
M(42) = 10000 * 2,848
M(42) = 28480
Para a modalidade de juros compostos, o valor é somado mês a mês (juros sobre juros). Sendo o valor dos juros de 1,75% de R$ 10.000,00, temos:
M(7) = 10000 * (1+ 0,0175)7
M(7) = 10000 * (1,0175)7
M(7) = 10000 * 1,129122145
M(7) = 11.291,22
M(14) = 10000 * (1+ 0,0175)14
M(14) = 10000 * (1,0175)14
M(14) = 10000 * 1,274916819
M(14) = 12.749,16
M(21) = 10000 * (1+ 0,0175)21
M(21) = 10000 * (1,0175)21
M(21) = 10000 * 1,439536814
M(21) = 14.395,36
M(28) = 10000 * (1+ 0,0175)28
M(28) = 10000 * (1,0175)28
M(28) = 10000 * 1,625412896
M(28) = 16.254,12
M(35) = 10000 * (1+ 0,0175)35
M(35) = 10000 *(1,0175)35
M(35) = 10000 * 1,8352899696
M(35) = 18.352,89
M(42) = 10000 * (1+ 0,0175)42
M(42) = 10000 * (1,0175)42
M(42) = 10000 * 2,072266239
M(42) = 20.722,66
	Mês
	Juros simples (4,4%)
	Juros compostos (1,75%)
	7
	R$ 13.080,00
	R$ 11.291,22
	14
	R$ 16.160,00
	R$ 12.749,16
	21
	R$ 19.240,00
	R$ 14.395,36
	28
	R$ 22.320,00
	R$ 16.254,12
	35
	R$ 25.400,00
	R$ 18.352,89
	42
	R$ 28.480,00
	R$ 20.722,66
A melhor modalidade é a de juros compostos, seja a curto ou longo prazo.
Bonificação dos funcionários
A bonificação (B) de 1,5% dos motoristas de carretas depende do valor atual dos veículos. Sendo que cada carreta foi comprada a 3 anos por R$150.000,00, e sofre uma depreciação de 15,2% ao ano, calculamos:
Primeiramente o valor V de cada carreta após 3 anos:
Valor da carreta no inicio da compra: R$150.000,00
Depreciação: 15,2% ao ano (ou 15,2/100 = 0,152)
Ao final do 1º ano:
V = 150000 – 150000. (15,2/100)
V = 150000 – 150000. 0,152
V = 150000 – 22800 
V = 127.200,00
Ao final do 2º ano
V = 127200 – 127200. (15,2/100)
V = 127200 – 127200. 0,152
V = 127200 – 19334,4
V = 107.865,60
Ao final do 3º ano
V = 107865,6 – 107865,6. (15,2/100)
V = 107865,6 – 107865,6. 0,152
V = 107865,6 –16395,5712
V = 91.470,0288
No final de 3 anos as carretas valem R$91.470,0288 cada uma.
Sendo a bonificação 1,5% do valor atual de cada carreta:
B = 91470,0288. 1,5/100
B = 91470,0288. 0,015
B = 1.372,050432
O valor da bonificação fica em R$1372,05 para cada motorista. Sendo 15 motoristas, o total gasto em bonificações fica em R$20.580,75.
	 
CONCLUSÃO
Ao realizar o presente trabalho aprendemos diversas coisas sobre conceitos de função e funções do primeiro grau e segundo grau ensinado durante este semestre.
Aprendemos a analisar gráficos, a definir as opções mais econômicas de um plano de saúde e encontrar o ponto em que esses planos se equivalem, aprendemos também a resolver problemas teóricos e práticos através da função do primeiro grau.
Com a função do segundo grau aprendemos que é possível fazer cálculos para descobrir se teremos lucros ou prejuízos e a montar gráficos. Aprendemos também a calcular juros simples e compostos. 
Fazer este trabalho nos fez compreender o quanto a matemática é essencial para resolver e simplificar os problemas diários. 
Bibliografia
MUROLO, Afrânio Carlos e BONETTO, Giácomo Augusto. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. 
A restrição orçamentária dos consumidores. Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/57057147/27/A-restricaoorcamentaria-dos-consumidores> Acesso em: 11/2014.
Sodré, Ulisses. Matemática Essencial – Ensino Médio: Relações e Funções. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm>. Acesso em: 11/2014.
Figura 1. Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm Acesso em 11/2014.
Noé, Marcos. Função Exponencial – Brasil Escola. Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm Acesso em: 11/14.
Noé, Marcos. Função Exponencial – Brasil Escola. Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-segundo-grau.htm Acesso em: 11/14.