04. Relatório Difusão Estefan

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1 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
LABORATÓRIO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE (102224) 
 
 
O EXPERIMENTO DE STEFAN: DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO 
COEFICIENTE DE DIFUSÃO 
 
 
Carlos Philipe Silva Rocha 
Júlio Cesar Dantas Silva 
Lucas Fernando Santos de Jesus 
Marcelo Diaz Nascimento 
Vinícius Fernandes Mendonça Dantas 
 
 
 
 
SÃO CRISTÓVÃO – SE 
NOVEMBRO DE 2013
2 
 
 
 
 
 
 
O EXPERIMENTO DE STEFAN: DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO 
COEFICIENTE DE DIFUSÃO 
 
 
RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
 
 
Relatório referente ao experimento 
laboratorial conforme exigências da 
disciplina Laboratório de Fenômenos de 
Transporte, ministrada pelos professores Dr. 
Manoel Marcelo do Prado e Drª. Luanda 
Gimeno Marques. Todas as etapas desta 
prática foram realizadas por todos os 
integrantes do grupo. 
 
 
 
SÃO CRISTÓVÃO – SE 
NOVEMBRO DE 2013 
3 
 
RESUMO 
Nas operações industrias, a transferência de massa é de grande importância, pois ela é a 
base fundamental de diversos processos de separação, essenciais para a purificação 
tanto de reagentes, como de produtos resultantes de um processamento químico. No 
projeto de equipamentos de separação, o conhecimento do coeficiente de difusão é 
essencial. Neste contexto, no presente trabalho foi realizado o experimento de Stefan 
com o intuito de determinar experimentalmente o coeficiente de difusão do éter em uma 
coluna de ar estagnado, visando verificar a confiabilidade do método proposto por 
Stefan. A modelagem matemática foi realizada conforme indicado na literatura, 
observando a variação do nível da fase líquida de éter. No presente trabalho, foi possível 
verificar a validade do método de Stefan, pois este apresenta boa precisão para fins de 
engenharia. Assim como foi possível verificar a precisão das correlações Fuller, 
Schetter e Giddings, da equação de Chapman e Enskog e da correção feita por Brokaw. 
 
4 
 
SUMÁRIO 
 
OBJETIVOS ..................................................................................................................................... 5 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................................................................................... 6 
1. Introdução......................................................................................................................... 6 
2. O fenômeno da transferência de massa .......................................................................... 6 
3. Mecanismos de transporte de massa .............................................................................. 6 
4. O coeficiente de difusão ................................................................................................... 6 
5. O experimento de Stefan e a modelagem matemática do problema ............................ 7 
6. Correlações para o coeficiente de difusão binária para gases ...................................... 16 
 
MATERIAIS E MÉTODOS .............................................................................................................. 19 
Materiais ................................................................................................................................. 19 
Procedimento Experimental .................................................................................................. 19 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO ......................................................................................................... 20 
 
CONCLUSÃO ................................................................................................................................ 24 
 
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................... 25 
 
 
5 
 
OBJETIVOS 
 Estudar a difusão do éter em uma coluna de ar estagnado e determinar o 
coeficiente de difusão mássica do éter no ar através do método de Stefan. 
 
6 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
1. Introdução 
 Nas operações industrias a transferência de massa é de grande importância, pois 
ela é a base fundamental de diversos processos de separação, entre eles a adsorção, 
secagem, extração líquido-líquido, absorção e separações com membranas, em tais 
operações, o conhecimento do coeficiente de difusão é de grande importância para o 
projeto e operação dos equipamentos que envolvem as citadas operações 
(GEANKOPLIS, 1993). 
 
2. O fenômeno da transferência de massa 
O fenômeno da transferência de massa ocorre fundamentalmente devido ao 
gradiente de concentração de uma, ou mais espécies, existente entre fases em contato. 
Em um sistema com tal característica, a tendência natural é que o equilíbrio seja 
buscado pelo sistema para que se atinja o estado de energia mínima ou entropia 
máxima, fazendo com que o fenômeno ocorra (SANDLER, 2006). No contexto da 
transferência de massa, o equilíbrio é atingido quando os potencias químicos se igualam 
(CREMASCO,2002; SANDLER, 2006). 
 
3. Mecanismos de transporte de massa 
A difusão molecular ou transporte molecular de massa pode ser definido como o 
transporte ou movimento de moléculas individuais através de um fluido por meio do 
movimento aleatório individual das moléculas (GEANKOPLIS, 1993). Já a convecção 
mássica ou transporte molecular convectivo de massa pode ser definido como o 
transporte de moléculas devido ao movimento do meio (CREMASCO, 2002). 
 
4. O coeficiente de difusão 
 O coeficiente de difusão mássica é o parâmetro que mede a facilidade com que 
as moléculas de uma dada espécie se difundem num meio. Ele leva em consideração a 
7 
 
influência da interação soluto-meio. Quando o meio é gasoso, tal interação é 
caracterizada pela velocidade média molecular e pelo caminho livre médio entre as 
moléculas, que é consideravelmente maior, que os encontrados em meios líquido e 
gasoso. Este fato provoca o aparecimento da contribuição convectiva na transferência de 
massa em sistemas em que um gás se difunde em outro gás estagnado. 
 
5. O experimento de Stefan e a modelagem matemática do problema 
O experimento de Stefan consiste em se observar a variação do nível de um 
líquido dentro de um recipiente. A Figura 1 ilustra a situação em análise, onde a espécie 
A, que é o vapor do líquido puro A, se difunde através do gás estagnado B (ar 
ambiente). No topo do recipiente, toda a espécie A escapa para o ambiente. Com o 
passar do tempo, o nível da fase líquida A tende a diminuir devido a sua evaporação 
lenta e contínua. Devemos encontrar a equação que descreva tal fenômeno. 
 
 
Figura 1 - Representação esquemática do experimento de Stefan 
 
8 
 
Como há variação do nível do líquido A, haverá também a alteração de uma das 
fronteiras do sistema, como afirmado anteriormente. Inicialmente, precisamos modelar a 
situação de maneira que a variação do nível do líquido seja levada em conta, então 
faremos um balanço global de massa na fase líquida, como segue: 
 
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝑠𝑎í𝑑𝑎 + 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 = 𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 (1) 
 
 Como não há entrada nem geração de materia no sistema: 
 
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑔𝑒𝑟𝑎çã𝑜 = 0 (2) 
 
 A taxa mássica de saída do sistema pode ser expressa por: 
 
𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 𝑀𝐴 ∙ 𝑁𝐴,𝑧 ∙ 𝐴𝑇 (3) 
 
onde: 𝑀𝐴 é a massa molar do líquido A; 𝑁𝐴,𝑧 é o fluxo molar da espécie A na direção z e 
𝐴𝑇 é a área transversal do recipiente. 
 
 A taxa de acúmulo de massa no sistema pode ser expressão por: 
 
𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 (4) 
 
onde: m é a massa da fase líquidaA e t é o tempo. 
9 
 
Então, combinando as Equações (1), (2), (3) e (4), chegamos ao seguinte 
resultado: 
−𝑀𝐴 ∙ 𝑁𝐴,𝑧 ∙ 𝐴𝑇 =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
 (5) 
 
Sabendo que: 
 
𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉 (6) 
𝑉 = 𝐴𝑇 ∙ ℎ (7) 
 
onde: 𝜌 é a densidade do liquido A; V é o volume da fase líquida e h é o nível da fase 
líquida. 
 
Podemos escrever que: 
 
 𝑚 = 𝜌 ∙ 𝐴𝑇 ∙ ℎ (8) 
 
onde 𝐴𝑇 e 𝜌 são assumidos como aproximadamente constantes, então: 
 
𝑑(𝜌∙𝐴𝑇∙ℎ)
𝑑𝑡
= 𝜌 ∙ 𝐴𝑇 ∙
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 (9) 
−𝑀𝐴 ∙ 𝑁𝐴,𝑧 ∙ 𝐴𝑇 = 𝜌 ∙ 𝐴𝑇 ∙
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 (10) 
 
Dividindo a Equação (10) por 𝐴𝑇 e 𝜌, temos: 
 
10 
 
−
𝑀𝐴∙𝑁𝐴,𝑧
𝜌
=
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 (11) 
Entretanto, do problema em questão, sabemos que: 
 
ℎ = 𝑧1 = 𝐿𝑙 (12) 
𝐿𝑙 + 𝐿𝑔 = 𝐿 (13) 
𝐿𝑙 = 𝐿 − 𝐿𝑔 (14) 
 
onde: 𝑧1 é a altura da fase líquida; 𝐿𝑙 é o comprimento correspondente ao volume 
ocupado pela fase líquida; 𝐿𝑔 é o comprimento correspondente ao volume ocupado pela 
fase gasosa e L é o comprimento total do recipiente. 
 
Diferenciando a Equação (14): 
 
𝑑𝐿𝑙 = −𝑑𝐿𝑔 (15) 
 
 Substituindo este resultado na Equação (11), tem-se que: 
 
𝑀𝐴∙𝑁𝐴,𝑧
𝜌
=
𝑑𝐿𝑔
𝑑𝑡
 (16) 
 
 A Equação (16) expressa o balanço de massa para a situação ilustrada pela 
Figura 1, onde o fluxo é tomado como constante, com o nível de líquido (convertido 
para a Equação (16) como coluna de gás) dependente do tempo. 
 Para finalizar o equacionamento, devemos encontrar a expressão apropriada para 
o fluxo da espécie A, analisando agora a fase gasosa, levando as seguintes hipóteses em 
11 
 
consideração: fluxo de A unidirecional na direção z; regime permanente e espécie B 
estagnada. 
Sabe-se que o fluxo de uma dada espécie A é dado pela grandeza de interesse, 
neste caso a quantidade de matéria, dividida pela área da seção transversal do 
escoamento e pelo tempo. O fluxo nos informa o quanto de uma grandeza atravessa 
certa área em um intervalo de tempo. Então, podemos escrever de maneira simplificada 
que o fluxo da espécie A na fase gasosa, com relação a um eixo estacionário, é dado por 
(CREMASCO, 2002): 
 
 
(17) 
 
Podemos também escrever: 
 
(18) 
 
A contribuição convectiva é a decorrente do movimento global da solução e 
pode ser representada por: 
 
𝐽𝐴,𝑧
𝐶 = 𝐶𝐴 ∙ 𝑉𝑧 (19) 
 
onde: 𝐽𝐴,𝑧
𝐶 é o fluxo da espécie A resultante da contribuição convectiva; 𝐶𝐴 é a 
concentração da espécie A e 𝑉𝑧 é a velocidade molar da mistura das espécies A e B na 
direção z. 
 
Fluxo total = 
Fluxo resultante 
da contribuição 
difusiva 
+ 
Fluxo resultante 
do movimento 
global da solução 
Fluxo total = 
Contribuição 
difusiva 
+ 
Contribuição 
convectiva 
12 
 
 Sabendo que a velocidade média molar da mistura é dador por: 
 
𝑉𝑧 =
𝐶𝐴∙𝑣𝐴,𝑧+𝐶𝐵∙𝑣𝐵,𝑧
𝐶
 (20) 
 
onde: 𝑣𝐴,𝑧 é a velocidade da espécie A na direção z; 𝑣𝐵,𝑧 é a velocidade da espécie B na 
direção z; 𝐶𝐵 é a concentração da espécie B e C é a concentração total da solução. 
 
podemos multiplicar a Equação (20) por 𝐶𝐴, o que nos fornece: 
 
𝑉𝑧 ∙ 𝐶𝐴 = (
𝐶𝐴∙𝑣𝐴,𝑧+𝐶𝐵∙𝑣𝐵,𝑧
𝐶
) ∙ 𝐶𝐴 (21) 
 
 Então, podemos reescrever a Equação (19) como segue: 
 
𝐽𝐴,𝑧
𝐶 = (
𝐶𝐴∙𝑣𝐴,𝑧+𝐶𝐵∙𝑣𝐵,𝑧
𝐶
) ∙ 𝐶𝐴 (22) 
 
 Sabendo que: 
 
𝑦𝐴 =
𝐶𝐴
𝐶
 (23) 
𝑁𝐴,𝑧 = 𝐶𝐴 ∙ 𝑣𝐴,𝑧 (24) 
𝑁𝐵,𝑧 = 𝐶𝐵 ∙ 𝑣𝐵,𝑧 
 
onde: 𝑦𝐴 é a fração molar da espécie A na fase gasosa. 
13 
 
 
 Podemos reescrever a Equação (22) como segue: 
 
𝐽𝐴,𝑧
𝐶 = 𝑦𝐴 ∙ (𝑁𝐴,𝑧 + 𝑁𝐵,𝑧) (25) 
 
A contribuição difusiva surge em função das interações moleculares e da 
diferença de concentração existente na fase gasosa e segundo Cremasco (2002) e 
Geankoplis (1993) pode ser representada pela primeira lei de Fick, para o caso 
unidirecional na direção z, como mostrado a seguir: 
 
𝐽𝐴,𝑧 = −𝐷𝐴𝐵 ∙
𝑑𝐶𝐴
𝑑𝑧
 (26) 
 
onde: 𝐽𝐴,𝑧 é o fluxo da espécie A resultante da contribuição difusiva; 𝐷𝐴𝐵 é o coeficiente 
de difusividade da espécie A na espécie B. 
 
como a concentração total da mistura gasosa, C, é constante, podemos reescrever a 
Equação (26), então: 
 
𝐽𝐴,𝑧 = −𝐶 ∙ 𝐷𝐴𝐵 ∙
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
 (27) 
 
 Então, a partir das Equações (25) e (27) podemos escrever que o fluxo total da 
espécie A, agora representado por 𝑁𝐴,𝑧, é: 
 
𝑁𝐴,𝑧 = −𝐶 ∙ 𝐷𝐴𝐵 ∙
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
+ 𝑦𝐴 ∙ (𝑁𝐴,𝑧 + 𝑁𝐵,𝑧) (28) 
14 
 
 Estamos interessados na situação em que o fluxo da espécie B é zero, pois ela 
encontra-se estagnada em nossa situação problema. Então a expressão adequada ao 
fluxo total da espécie A é: 
 
𝑁𝐴,𝑧 = 
−𝐶∙𝐷𝐴𝐵
(1−𝑦𝐴)
∙
𝑑𝑦𝐴
𝑑𝑧
 (29) 
 
 Sabendo que 𝑁𝐴,𝑧 é constante, podemos resolver a EDO expressa pela Equação 
(29) pelo método de separação de variáveis. Então: 
 
−
𝑁𝐴,𝑧
𝐶∙𝐷𝐴𝐵
∙ 𝑑𝑧 = 
1
(1−𝑦𝐴)
∙ 𝑑𝑦𝐴 (30) 
 
 Em nosso problema, quando 𝑧 = 𝑧1, 𝑦𝐴 = 𝑦𝐴,1. Já para 𝑧 = 𝑧2, 𝑦𝐴 = 𝑦𝐴,2 = 0, 
pois temos no topo da coluna de vidro, o ar ambiente que arrasta as moléculas da 
espécie A, mantendo sua fração molar aproximadamente igual a zero. Então, vamos 
integrar a Equação (30) em 𝑧, de 𝑧1 até 𝑧2, e em 𝑦𝐴, de 𝑦𝐴,1 até zero, o que resulta em: 
 
−
𝑁𝐴,𝑧
𝐶∙𝐷𝐴𝐵
∙ ∫ 𝑑𝑧
𝑧2
𝑧1
= ∫
1
(1−𝑦𝐴)
𝑑𝑦𝐴
0
𝑦𝐴,1
 (31) 
𝑁𝐴,𝑧 = 
𝐶∙𝐷𝐴𝐵
(𝑧2−𝑧1)
∙ 𝑙𝑛 (
1
1−𝑦𝐴,1
) (32) 
 
como previamente definido e ilustrado na Figura 1, 𝑧2 − 𝑧1 = 𝐿𝑔, então: 
 
𝑁𝐴,𝑧 = 
𝐶∙𝐷𝐴𝐵
𝐿𝑔
∙ 𝑙𝑛 (
1
1−𝑦𝐴,1
) (33) 
 
15 
 
 Agora, podemos resgatar a expressão resultante do balanço de massa aplicado à 
fase líquida, Equação (16), e introduzir o resultado expresso pela Equação (33), o que 
resulta em: 
 
𝑀𝐴
𝜌
∙
𝐶∙𝐷𝐴𝐵
𝐿𝑔
∙ 𝑙𝑛 (
1
1−𝑦𝐴,1
) =
𝑑𝐿𝑔
𝑑𝑡
 (34) 
 
 Mais uma vez, temos uma EDO separável e devemos resolvê-la separando-a e 
integrando-a em 𝐿𝑔 de 𝐿𝑔,0, que é o comprimento da coluna correspondente ao volume 
da fase gasosa no início do experimento, até um 𝐿𝑔 qualquer, e em t de 0 até um tempo 
qualquer, então temos que: 
 
(𝐿𝑔
2 − 𝐿𝑔,0
2 ) = [2 ∙
𝑀𝐴∙𝐷𝐴𝐵
𝜌
∙ 𝐶 ∙ 𝑙𝑛 (
1
1−𝑦𝐴,1
)] ∙ 𝑡 (35) 
 
 Como em nossa situação problema a espécie A na fase gasosa está diluída, toda 
a mistura gasosa pode ser tomada como gás ideal, valendo neste caso a equação do gás 
ideal e a lei de Raoult, então podemos escrever: 
 
𝐶 =
𝑃
𝑅∙𝑇
 (36) 
𝑦𝐴,1 =
𝑃𝑣𝑎𝑝
𝑃
 (37) 
 
onde: P é a pressão; R é a constante dos gases ideais; T é a temperatura; 𝑃𝑣𝑎𝑝 é a pressão 
de vapor da fase líquida A. 
 
16 
 
a pressão de vapor da fase líquida A pode ser calculada pela equação de Antoine, 
mostrada abaixo: 
 
𝑃𝑣𝑎𝑝 = 𝑒𝑥𝑝(𝐴 −
𝐵
𝐶+
𝑇
𝐾
) (38) 
 
onde A, B e C são as constante de Antoine. 
 
 Agora, podemos reescrever a Equação (35) como segue: 
 
(𝐿𝑔
2 − 𝐿𝑔,0
2 ) = [2 ∙
𝑀𝐴∙𝐷𝐴𝐵
𝜌
∙
𝑃
𝑅∙𝑇
∙ 𝑙𝑛 (
1
1−
𝑃𝑣𝑎𝑝
𝑃
)] ∙ 𝑡 (39) 
 
 A Equação (39) representa a nossa situação problema, isto é, a difusão pseudo-
estacionária em um filme de gás estagnado. Através desse resultado pode-se estimar o 
coeficiente de difusão, 𝐷𝐴𝐵, por um ajuste linear. 
 
6. Correlações para o coeficiente de difusão binária para gases 
 A teoria que descreve difusão em misturas gasosas binárias de baixas à 
moderadas pressões tem sido bem desenvolvidas (Prausnitz, 2001). Chapmane Enskog 
chegaram à Equação (40), considerando-se massa moleculares das espécies na mesma 
ordem de grandeza e gases ideais: 
 
𝐷𝐴𝐵 =
0,00266𝑇3/2
𝑃𝑀𝐴𝐵
1/2
𝜎𝐴𝐵
2 Ω𝐷
 (40) 
17 
 
onde, DAB é o coeficiente de difusão em cm²/s, T é a temperatura em Kelvin (K), P é a 
pressão em bar, 𝜎𝐴𝐵 é o comprimento característico em Angstrom (Å) e Ω𝐷 é a integral 
de colisão (adimensional). Em que, 
 
𝜎𝐴𝐵 = √𝜎𝐴𝜎𝐵 (41) 
 
onde, para a espécie A (e similarmente para B), 
 
𝜎𝐴 = (
1,585 𝑉𝑏
𝐴
1+1,3 𝛿𝐴
2)
1/3
 (42) 
 
 Brokaw sugeriu um método para estimar DAB para misturas binárias contendo 
componentes polares (CREMASCO, 2002). A Equação (40) pode ser utilizada 
alterando-se apenas a integral de colisão, que terá a forma: 
 
Ω𝐷 =
𝐴
(𝑇∗)𝐵
+
𝐶
exp(𝐷𝑇∗)
+
𝐸
exp(𝐹𝑇∗)
+
𝐺
exp(𝐻𝑇∗)
+
0.19𝛿𝐴𝐵
2
𝑇∗
 (41) 
 
onde A=1.06036, B=0.15610, C=0.19300, D=0.47635, E=1.03587, F=1.52996, 
G=1.76474 e H=3.89411. Ainda, 
 
𝑇∗ =
𝑘𝑇
𝜀𝐴𝐵
 (42) 
e 
𝛿𝐴𝐵 = (𝛿𝐴𝛿𝐵)
1/2 (43) 
 
18 
 
onde, k é a constante de Boltzman e 𝜀𝐴𝐵 é o potencial de Lennard-Jones para o par A-B 
que pode ser calculado por: 
 
𝜀𝐴𝐵
𝑘
= √
𝜀𝐴
𝑘
 
𝜀𝐵
𝑘
 (44) 
 
onde, para a espécie A (e similarmente para B) é: 
 
𝜀𝐴
𝑘
= 1,18 (1 + 1,3𝛿𝐴
2)𝑇𝑏
𝐴 (45) 
 
para A, (e similarmente para B), 
 
𝛿𝐴 =
1,94∙103𝜇𝑝
2
𝑉𝑏 𝑇𝑏
 (46) 
 
onde, 𝜇𝑝 é o momento de dipolo em debyes, 𝑉𝑏 é o volume molar no de ebulição em 
cm³/mol e 𝑇𝑏 é a temperatura do ponto de ebulição à 1 atm em K. 
 Fuller, Schetter e Giddings modificaram a equação proposta por Chapman-
Enskog para (Prausnitz, 2001): 
 
𝐷𝐴𝐵 = 
0,00143∙𝑇1,75
𝑃∙𝑀𝐴𝐵
1/2
∙[(∑𝑣)𝐴
1/3
+(∑𝑣)𝐵
1/3
]2
 (47) 
 
onde, ∑𝑣 é calculado para cada componente pela soma dos volumes atômicos de difusão 
que é tabelado e foram determinados por análise de regressão de vários dados 
experimentais. 
19 
 
MATERIAIS E MÉTODOS 
Materiais 
 Para a prática em questão, necessitou-se de duas células de Stefan (ver Figura 
(2), a qual apresenta o esquema da célula) contendo éter etílico, uma régua para 
medição do nível de líquido até o topo da célula e um termômetro de bulbo seco. A 
célula de Stefan utilizada é um tubo de vidro, fechado na parte inferior, de pequena 
razão “diâmetro/comprimento”, fixado em um suporte que o manteve na posição 
vertical durante todo o experimento. O termômetro foi posicionado próximo à célula de 
Stefan. 
 
 
Figura 2 - Esquema da célula de Stefan 
 
Procedimento Experimental 
 Com a célula de Stefan contendo éter etílico, anotou-se a distância entre o nível 
do líquido e o topo da célula, a temperatura ambiente e o horário da análise para 
diversos tempos durante aproximadamente dois dias de experimento. Os dados foram 
colhidos em duplicata, um para cada célula. 
 
20 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 Os dados obtidos pela medição da coluna gasosa são apresentados na Tabela 1. 
Tabela 1 - Dados obtidos na prática 
Data Horário 
Temperatura 
(°C) 
 𝐿𝑔,1 
(cm) 
𝐿𝑔,2 (cm) 𝐿𝑔̅̅ ̅ (cm) 
20/nov 09:10 26 11,1 11,1 11,10 
 
10:42 24 11,4 11,4 11,40 
 
12:26 23 11,6 11,6 11,60 
 
13:42 23 11,8 11,8 11,80 
 
14:42 23 11,9 11,9 11,90 
 
15:42 23 12 12 12,00 
 
16:42 22 12,1 12,1 12,10 
21/nov 09:12 25 13,7 13,8 13,75 
 
10:19 25 13,9 14 13,95 
 
11:17 25 14 14,1 14,05 
 
12:13 26 14,1 14,2 14,15 
 
13:18 26 14,2 14,3 14,25 
 
14:28 26 14,4 14,5 14,45 
 
15:30 26 14,5 14,6 14,55 
22/nov 07:01 26 16,1 16,2 16,15 
 
08:11 24 16,3 16,3 16,30 
 
09:11 24 16,4 16,4 16,40 
 
 A Tabela 2 mostra os dados calculados após a prática. Os dados foram postos, de 
forma que a Equação (39) fosse linearizada e então se fez o ajuste linear utilizando o 
software OriginPro 8.5. As incertezas mostradas na Tabela 2 são referentes à 
instrumentação e a propagação de incertezas. 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Tabela 2 - Dados calculados após a prática 
Pressão de Vapor 
(kPa) 
𝐿𝑔̅̅ ̅
 2
− 𝐿𝑔0
2 
(𝑐𝑚2) 
Incerteza 
(𝑐𝑚2) 
Tempo 
(h) 
Incerteza 
(h) 
73,98 0,00 1,570 0 0,0167 
68,53 6,75 1,591 1,53 0,0167 
65,93 11,35 1,606 3,27 0,0167 
65,93 16,03 1,620 4,53 0,0167 
65,93 18,40 1,627 5,53 0,0167 
65,93 20,79 1,635 6,53 0,0167 
63,41 23,20 1,642 7,53 0,0167 
71,22 65,85 1,767 24,03 0,0167 
71,22 71,39 1,783 25,15 0,0167 
71,22 74,19 1,791 26,12 0,0167 
73,98 77,01 1,798 27,05 0,0167 
73,98 79,85 1,806 28,13 0,0167 
73,98 85,59 1,822 29,30 0,0167 
73,98 88,49 1,830 30,33 0,0167 
73,98 137,61 1,960 45,85 0,0167 
68,53 142,48 1,972 47,02 0,0167 
68,53 145,75 1,980 48,02 0,0167 
 
 Ajustando os dados de forma linear (Figura 3), obteve-se o coeficiente angular 
da reta. Este foi utilizado para determinar o coeficiente de difusão mássica. 
0 10 20 30 40 50
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Lg
2 -
 L
g 0
2 (
cm
2 )
Tempo (h)
 
Figura 3 - Ajuste Linear para os pontos obtidos na prática 
 
22 
 
 O valor estimado do coeficiente angular m pelo ajuste é apresentado na Tabela 3, 
nela também contem outras informações, como a incerteza associada ao coeficiente 
angular e o parâmetro 𝑅2, coeficiente de correlação de Pearson ao quadrado. Por este 
ultimo, percebe-se que os pontos foram bem ajustados. 
 
Tabela 3 - Dados do ajuste 
R² m (cm²/s) 
0,9994 8,19∙10-4 ± 7,26-6 
 
 O coeficiente de difusão obtido para o éter foi de (0,081936 ± 0,000743) cm²/s 
apresentando um desvio de 11,06 % em relação ao valor tabelado corrigido segundo a 
expressão fornecida por Cremasco (2002). O pequeno desvio apresentado pode ser 
atribuído ao fato de ter havido pequena variação da temperatura ambiente durante o 
experimento, na Tabela 1 percebe-se que houve tal variação, em torno de 3ºC, ao longo 
do tempo de medida, e um largo intervalo de tempo no qual não foram feitas medições, 
neste intervalo de tempo não se pôde fazer aferições, principalmente no que diz respeito 
à temperatura do ambiente. Entretanto na formulação matemática do método de Stefan a 
temperatura é considerada constante, mas no calculo foi considerada a média simples da 
temperatura e da pressão de vapor obtida em todo o experimento acrescentando erros no 
valor experimental. O pequeno desvio mostra que apesar de sua simplicidade o método 
de Stefen apresenta precisão razoável para fins de engenharia. 
 Para a situação problema, o coeficiente de difusão mássico calculado a partir da 
equação de Chapman e Enskog foi de 0,085875, o qual desvia do experimental em 
4,8%. Já para esta equação corrigida por Brokaw o coeficiente de difusão mássica foi de 
0,090505cm²/s apresentando desvio de 10,5 % em relação ao valor experimental. Já o 
valor calculado a partir da correlação de Fuller, Schetter e Giddings foi de 0,088646 
cm²/s com um desvio em relação ao experimental de 8,2 %. Segundo Prausnitz, Poling e 
O'Connell (2001) os valores estimados por esta correlação e por aquelas equações 
geralmente concordam com o valor experimental dentro de uma margem de erro de 5 a 
10 %, porém, discrepâncias maiores do que 20 % são possíveis. Para uma melhor 
visualização dos dados, estes são apresentados na Tabela 4. 
 
23 
 
Tabela 4 - Desvios percentuais dos valores calculados por correlações com o valor estimado 
coeficiente de difusão mássica 
T (K) DAB (cm²/s) 
Desvios percentuais do valor experimental estimado 
Experimental 
Tabelado 
Fuller et al. Chapman e Enskog Brokaw 
297,68 0,081932 12,43% 8,19% 4,81% 10,46% 
 
 A Tabela 5 mostra uma comparação, em relação ao valor tabelado apresentado 
por Cremasco (2002) com os valores do coeficiente de difusão obtidos neste trabalho. O 
valor tabelado, sendo corrigido o efeito da temperatura, é de 0,092119 cm²/s podemos 
notar que o resultado mais próximo foi o obtido pela equação de Brokaw conforme 
esperado, já que esta equação é adequada ao uso em situações de difusão tanto de um 
par polar/polar quanto para um par polar/apolar de gases (CREMASCO, 2002). O maior 
desvio se dá no valor experimental já que não foi conduzido nas condições ideais como 
citado anteriormente. O desvio do valor obtido através da correlação de Fuller, Schetter 
e Giddings era esperado, visto que esta é adequadas para situações de difusão de um par 
apolar de gases, o que está em desacordo com o par ar/éter, onde o ar está sendo 
considerado com um gás apolar, sendo ainda baseada na teoria simplificada para a 
hipótese das moléculas se comportarem como esferas rígidas, o que não está de acordo 
com a molécula do éter (CREMASCO, 2002). Para o valor calculado pela equação de 
Chapman e Enskog o desvio foi menor, entretanto também não é indicada para o uso 
com um par apolar/polar de gases, pois não leva em consideração a polaridade dos gases 
envolvidos representada pelo momento dipolar (CREMASCO, 2002). A Tabela 6 reúne 
os resultados experimentais e teóricos obtidos. 
Tabela 5- Comparação dos métodos para estimação do coeficiente de difusão mássica 
T (K) DAB (cm²/s) 
Desvios percentuais do valor experimental tabelado 
Experimental Fuller et al Chapman et al Brokaw 
297,68 0,092119 11,06% 3,77% 11,05% 1,75% 
 
Tabela 6 – Resultados obtidos para o coeficiente de difusão mássica 
Método de Stefan 
(experimental) 
Equação de 
Chapman e 
Enskog 
Correlação de 
Fuller, Schetter e 
Giddings 
Valor tabelado 
0,081936 ± 0,000743 cm²/s 0,090505 cm²/s 0,088646 cm²/s 0, 092119 cm²/s 
24 
 
CONCLUSÃO 
 A determinação dos coeficientes de difusão mássica são essenciais para o projeto 
de equipamentos que envolvam tal fenômeno. O presente trabalho demonstrou a 
importância teórica do experimento de Stefan e possibilitou acompanhar um processo 
de transferência de massa, além de permitir calcular o coeficiente de difusão em tal 
situação. 
 Pode-se afirmar que o uso das correlações e equações disponíveis na literatura é 
de grande confiabilidade, desde que utilizados em situações adequadas observando a 
validade de tais ferramentas. 
 O método de Stefan se mostrou adequado para a determinação do coeficiente de 
difusão mássica para fins de engenharia, sendo uma alternativa interessante em 
situações nas quais não se disponha de correlações adequadas ou valores tabelados para 
a substância em questão. Entretanto em situações adequadas ao uso de correlações, é 
recomendável utilizá-las pois economizam tempo e materiais que seriam gastos em um 
experimento. Assim, podemos afirmar que em um ambiente de projeto o uso de 
correlações é vantajoso, sendo a determinação experimental um recurso usado somente 
quando necessário. Sabe-se ainda que existem outros métodos experimentais mais 
precisos que o apresentado por Stefan, como por exemplo o método de Arnold onde há 
um maior controle das condições experimentais tais como a temperatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
REFERÊNCIAS 
Cremasco, M. A. Fundamentos de transferência de massa. Campinas, SP: UNICAMP, 
2002, 2ª ed. rev., 725 p. 
Geankoplis, C. J. Transport processes and unit operations. London: Prentice Hall, 
1993, 3ª ed., 921 p. 
Prausnitz, J. M.; Poling, B. E.; O’Connell, J. P. The Properties of Gases and Liquids. 
New York: McGraw-Hill Professional, 2001, 5ª ed., 803p. 
Sandler, S. I. Chemical, biochemical, and engineering thermodynamics. New York: 
John Wiley & Sons, 2006, 4ª ed., 945p. 
 
26 
 
ANEXO A - Memorial de cálculo 
 
Equação de Antoine 
 Para o cálculo da pressão de vapor foi utilizado a equação de Antoine, mostrada 
abaixo, cujos parâmetros são dados na tabela 1. 
 
𝐿𝑜𝑔10𝑃
𝑣𝑎𝑝 = 𝐴 −
𝐵
𝐶+𝑇−273,15
 
Tabela 6 - Constantes de Antoine 
A B C 
4,10962 1090,64 231,2 
Fonte: Prausnitz (2001) 
 Para cada temperatura obtida experimentalmente, foi calculado a pressão de 
vapor. Ao final, fez-se uma média aritmética das pressões obtidas. Como exemplo o 
cálculo para a primeira medida é mostrado abaixo. 
 
𝑃𝑣𝑎𝑝 = 10
𝐴−
𝐵
𝐶+𝑇−273,15, 𝑇 = 299,15 𝐾 
𝑃𝑣𝑎𝑝 = 0,7399 𝑏𝑎𝑟 𝑜𝑢 73,99 𝑘𝑃𝑎 
 
Propagação de incerteza, ajuste linear e determinação do 𝑫𝑨𝑩 
 Como se parametrizou a variável dependente para linearizar os dados é 
necessário propagar a incerteza para esta. 
 
𝑌 = 𝐿𝑔
2 − 𝐿𝑔0
2 
 
27 
 
 Não sendo necessário propagar a incerteza para X, pois este já é o próprio valor 
da incerteza do tempo (um minuto). 
Logo, 
 
𝜎𝑌 = √(
𝜕𝑌
𝜕𝐿𝑔
∙ 𝜎𝐿𝑔)
2
+ (
𝜕𝑌
𝜕𝐿𝑔0
∙ 𝜎𝐿𝑔0 )
2
 
 
onde 𝜎𝑖 é a incerteza associada ao instrumento. 
 Como a menor medida da régua era 0,1 cm, sua incerteza é a metade desta 
medida: 
 
𝜎𝐿𝑔 = 0,05 𝑐𝑚 = 𝜎𝐿𝑔0 
𝜕𝑌
𝜕𝐿𝑔
= 2 ∙ 𝐿𝑔 
𝜕𝑌
𝜕𝐿𝑔0
= 2 ∙ 𝐿𝑔0 
 
 Como exemplo, mostramos o cálculo para a incerteza da segunda medida: 
 
𝐿𝑔 = 11,4 ± 0,05 𝑐𝑚 
𝐿𝑔0 = 11,1 ± 0,05 𝑐𝑚 
𝜎𝑌 = √(2 ∙ 11,4 ∙ 0,05)2 + (2 ∙ 11,1 ∙ 0,05)2 
𝜎𝑌 = 1,59 𝑐𝑚 
𝑌 = 129,96 ± 1,59 (𝑐𝑚) 
28 
 
 
 Através do ajuste linear, obteve-se o valor do coeficiente angular e sua incerteza, 
sendo este ajuste segue a forma: 
 
𝑌 = 𝑚 ∙ 𝑋 
𝑚 = 8,19 ∙ 10−4 ± 7,29 ∙ 10−6 (𝑐𝑚2/𝑠) 
 
 Este coeficiente esta relacionado com 𝐷𝐴𝐵 a partir da seguinte equação: 
 
𝐷𝐴𝐵 =
𝑚 𝜌𝐴 𝑅 𝑇
 2 𝑃 𝑀𝐴 ln
[
 
 
 
 
1
(1 −
𝑃𝐴
𝑣𝑎𝑝
𝑃 )]
 
 
 
 
=
8,19 ∙ 10−4 ∙ 0,7134 ∙ 82,0578 ∙ 297,68
2 ∙ 1 ∙ 74,123 ∙ ln [
1
1 −
70,02
101,3
]
= 0,0819 𝑐𝑚2/𝑠 
 
 Sendo necessário propagar a incerteza instrumental advinda da medição de 
temperatura, neste caso 0,5 °C, da medição da coluna gasosa e do tempo, que já estão 
embutidas na incerteza do coeficiente angular. 
 
𝜎𝐷𝐴𝐵 =
√(
𝜕𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑚
∙ 𝜎𝑚)
2
+ (
𝜕𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑇
∙ 𝜎𝑇)
2
 
 
Sendo as incertezas individuais dados por: 
 
𝜎𝑚 = 1,59 
29 
 
𝜎𝑇 = 0,05 
𝜕𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑚
=
 𝜌𝐴 𝑅 𝑇
 2 𝑃 𝑀𝐴 ln
[
 
 
 
 
1
(1 −
𝑃𝐴
𝑣𝑎𝑝
𝑃 )]
 
 
 
 
=
0,7134 ∙ 82,0578 ∙ 297,68
2 ∙ 1 ∙ 74,123 ∙ ln [
1
1 −
70,02
101,3
]
= 100,07 
 
𝜕𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑇
=
 𝑚 𝜌𝐴 𝑅 
 2 𝑃 𝑀𝐴 ln
[
 
 
 
 
1
(1 −
𝑃𝐴
𝑣𝑎𝑝
𝑃 )]
 
 
 
 
=
8,19 ∙ 10−4 ∙ 0,7134 ∙ 82,0578
2 ∙ 1 ∙ 74,123 ∙ ln [
1
1 −
70,02
101,3]
= 0,000275 
𝜎𝐷𝐴𝐵 = √(100,07 ∙ 7,29 ∙ 10
−6)2 + (0,000275 ∙ 0,05)2 = 0,000743 
𝐷𝐴𝐵 = 8,19 ∙ 10
−2 ± 7,43 ∙ 10−4(𝑐𝑚2) 
 
Correção do efeito da temperatura no valor tabelado fornecido por Cremasco 
(2002) 
 
𝐷𝐴𝐵2
𝐷𝐴𝐵1
= (
𝑇2
𝑇1
)
1,75
(
𝑃1
𝑃2 
) 
 
 Como os dois coeficientes de difusão foram obtidos a mesma pressão, 
 
𝐷𝐴𝐵2
𝐷𝐴𝐵1
= (
𝑇2
𝑇1
)
1,75
 
 𝐷𝐴𝐵2 = 0,0896 𝑐𝑚
2/𝑠 (Tabelado) 
𝑇2 = 293 𝐾 
𝑇1 = 297,68 𝐾 
30 
 
𝐷𝐴𝐵1 = 0,0896 (
293
297,68
)
1,75
= 0,092119 𝑐𝑚2/𝑠 
 
Correlação de Fuller e cálculo do desvio em relação ao experimental 
 Fazendo uso da correlação de Fuller foi estimado o coeficiente de difusão 
mássica (𝐷𝐴𝐵). 
 Atribuindo a letra A, para o éter etílico que possui formula molecular (𝐶5𝐻10𝑂) 
e a letra B para o ar. Sendo suas massas moleculares dadas por: 
 
𝑀𝐴 = 78,123𝑔/𝑚𝑜𝑙 
𝑀𝐵 = 28,96 𝑔/𝑚𝑜𝑙 
𝑀𝐴𝐵 = 2[(1/𝑀𝐴) + (1/𝑀𝐵)]
−1 = 2[(1/78,1) + (1/28,96)]−1 = 42,26 𝑔/𝑚𝑜𝑙 
𝑇 = 297,68 °𝐶 
𝑃 = 1,01325 𝑏𝑎𝑟 
𝑉𝑐 = 15,9 𝑐𝑚
3/𝑚𝑜𝑙 
𝑉𝐻 = 2,31 𝑐𝑚
3/𝑚𝑜𝑙 
𝑉𝑂 = 6,11 𝑐𝑚
3/𝑚𝑜𝑙 
(∑𝑣)𝐴 = 5 ∙ 𝑉𝐶 + 10 ∙ 𝑉𝐻 + 𝑉𝑂 = 5 ∙ 15,9 + 10 ∙ 2,31 + 6,11 = 92,81 𝑐𝑚
3/𝑚𝑜𝑙 
(∑𝑣)𝐵 = 19,7 𝑐𝑚
3/𝑚𝑜𝑙 
𝐷𝐴𝐵 = 
0,00143 ∙ 𝑇1,75
𝑃 ∙ 𝑀𝐴𝐵
1/2
∙ [(∑𝑣)𝐴
1/3
+ (∑𝑣)𝐵
1/3
]2
=
0,00143 ∙ 297,681,75
1,01 ∙ 42,261/2 ∙ [92,811/3 + 19,71/3]2
 
𝐷𝐴𝐵 = 8.86 ∙ 10
−2 𝑐𝑚2/𝑠 
 
31 
 
 Calcula-se o desvio percentual entre o valor empírico obtido na prática 
experimental e o valor obtido pela correlação de Fuller. 
 
𝐷𝑒𝑣𝑖𝑜% =
|𝐷𝐴𝐵
𝑒𝑥𝑝 − DAB|
𝐷𝐴𝐵
𝑒𝑥𝑝 100% = 8,19% 
 
Equação de Chapman-Enskog com correção de Brokaw 
 
 Utilizando a correlação de Chapman-Enskog-Brokaw estimou-se o 𝐷𝐴𝐵, ainda 
considerando o índice A como o éter etílico e B o ar. 
 
𝜇𝑝
𝐴 = 1,3 
𝑉𝑏
𝐴 = 104,75 𝑐𝑚3/𝑚𝑜𝑙 
𝑇𝑏
𝐴 = 307,8 𝐾 
𝛿𝐴 =
1,94 ∙ 103𝜇𝑝
2
𝑉𝑏 𝑇𝑏
=
1,94 ∙ 103 ∙ 1,32
104,75 ∙ 307,8
= 0,102 
 
Para o ar, 𝛿𝐵 = 0; 
 
𝜀𝐴
𝑘
= 1,18 (1 + 1,3𝛿𝐴
2)𝑇𝑏
𝐴 = 1,18 (1 + 1,3 ∙ 0,1022)307,8 = 368,09 𝐾 
𝜀𝐵
𝑘
= 78,6 𝐾 
𝜀𝐴𝐵
𝑘
= √
𝜀𝐴
𝑘
 
𝜀𝐵
𝑘
= 170,09 𝐾 
32 
 
𝜎𝐴 = (
1,585 𝑉𝑏
𝐴
1 + 1,3 𝛿𝐴
2)
1/3
= (
1,585 ∙ 104,75
1 + 1,3 ∙ 0,1022
)
1/3
= 5,47 𝐴𝑟𝑔𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛 
 
 Para o Ar, 𝜎𝐵=3,711 
 
𝜎𝐴𝐵 = √𝜎𝐴𝜎𝐵 = √5,47 ∙ 3,711 = 4,51 
𝑇∗ =
𝑘𝑇
𝜀𝐴𝐵
=
307,8
170,09
= 1,75 
Ω𝐷 =
𝐴
(𝑇∗)𝐵
+
𝐶
exp(𝐷𝑇∗)
+
𝐸
exp(𝐹𝑇∗)
+
𝐺
exp(𝐻𝑇∗)
 
 
Sendo: 
A=1,06036; B=0,15610; C=0,19300; D=0,47635; E=1,03587; F=1,52996; G=1,76474; 
H=3,89411 
 
 Ω𝐷 = 1,13 
 
Logo, 
 
𝐷𝐴𝐵 =
0,00266𝑇3/2
𝑃𝑀𝐴𝐵
1/2
𝜎𝐴𝐵
2 Ω𝐷
 
𝐷𝐴𝐵 = 0,091 𝑐𝑚
2/𝑠 
 
33 
 
OBS: Todos os parâmetros da equação Chapman-Enskog-Brolaw e da Correlação de 
Fuller, Schetter e Giddings foram obtidos da literatura exposta por Prausnitz, Poling e 
O'Connell (2001). 
	OBJETIVOS
	FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
	1. Introdução
	2. O fenômeno da transferência de massa
	3. Mecanismos de transporte de massa
	4. O coeficiente de difusão
	5. O experimento de Stefan e a modelagem matemática do problema
	6. Correlações para o coeficiente de difusão binária para gases
	MATERIAIS E MÉTODOS
	Materiais
	Procedimento Experimental
	RESULTADOS E DISCUSSÃO
	CONCLUSÃO
	REFERÊNCIAS