Lista Cinemática engenharia mecânica

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D.A. Rade_____________________________________________Cinemática da Partícula - Exercícios 
 1 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
 
Ex. 1.1: O movimento retilíneo de uma partícula é dado pela relação: 
 
92  vx 
 
onde x é a posição dada em metros e v é a velocidade dada em metros/segundo. No 
instante t = 0, tem-se x = 0 e v = 3,0 m/s. Determinar as relações x=x(t), v=v(t) e 
a=a(t). 
Respostas:   tttx 3
4
2
 ;   3
2
 ttv ; 22
1
s
ma  
 
Ex. 1.2: Um automóvel é dirigido ao longo de um trecho retilíneo de uma estrada a 
uma velocidade de 48 km/h durante 10 minutos, a 60 km/h durante 18 minutos e a 
90 km/h durante 10 minutos. Determinar a velocidade média do automóvel durante 
este percurso. 
Resposta: 85,20mv km/h 
 
Ex. 1.3: Uma pedra é atirada verticalmente para cima e retorna ao solo 5 segundos 
após o lançamento. Desprezando a resistência do ar, determinar a máxima altura 
atingida pela pedra. 
Resposta: 66,30max h m 
 
Ex. 1.4: Uma pedra é liberada em um poço e o ruído proveniente de sua queda no 
fundo do poço é ouvido 4 segundos depois. Sabendo que a velocidade do som no ar é 
de 340 m/s, determinar a profundidade do poço. 
Respostas: 55,70h m 
 
Ex. 1.5: Em um dado instante, um carro A está se movendo em uma estrada 
retilínea a uma velocidade de 9 m/s e aceleração constante de 2,5 m/s2, tentando 
alcançar um outro carro B que se encontra a 250 m a sua frente, movendo-se no 
mesmo sentido com velocidade de 15 m/s e desacelerando à razão constante de 1,2 
m/s2. Depois de quanto tempo o carro A alcançará o carro B ? 
Resposta: t = 16,3 s. 
 
Ex. 1.6: A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada pela 
expressão: 
 
  x7x15x12xv 23  
 
onde x está em metros e v está em metros por segundo. Determinar o valor da 
aceleração da partícula quando x = 0,6 m. 
Resposta: a = 2,728 m/s2. 
 
 
 
Domingos
Sticky Note
resposta correta: 64,74 km/h
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Ex. 1.7: Uma partícula se movimenta segundo uma trajetória retilínea dentro de 
um fluido. Devido à resistência exercida pelo fluido, o movimento é descrito pela 
relação: 
 
kva  
 
onde k é uma constante. Quando t = 0, tem-se x = 0 e v = 0v . Determinar: 
a) a expressão para a velocidade da partícula em função do tempo,  tvv  ; 
b) a posição da partícula em função do tempo,  txx  ; 
c) a expressão da máxima posição que será alcançada pela partícula. 
Respostas: a)   ktevtv  0 ; b)    ktekvtx  10 ; c) kvx 0max  
 
Ex. 1.8 : Para a situação considerada no exercício anterior, traçar as curvas 
representando as funções  txx  ,  tvv  e  taa  no intervalo  s15t0  , para 
0v 3,0 m/s e os seguintes valores de k: 0,2 e 0,6 s-1. 
 
Ex. 1.9: Uma partícula inicia um movimento retilíneo com velocidade de 15 m/s e 
uma aceleração constante de 4 m/s2. Pede-se: 
a) obter as expressões para sua posição e velocidade em função do tempo; 
b) determinar os valores de sua posição e sua velocidade no instante t = 10 
segundos; 
Respostas:   2215 tttx  ;   154  ttx 
 
Ex. 1.10 : A figura abaixo representa a variação, em relação ao tempo, da 
aceleração de uma partícula que descreve uma trajetória retilínea. Sabe-se que 
quando t = 0 a velocidade vale 3,0 m/s e a partícula se encontra na posição x =  15,0 
m. 
a) Determinar as expressões de  txx  e  tvv  no intervalo de tempo 
considerado; 
b) Traçar as curvas das funções  txx  e  tvv  no intervalo de tempo 
considerado, indicando os valores de x e v nos instantes t = 2 s, 6 s, 8 s e 12 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 6 8 12 
 2sma 
 st 
3,0 
3,0 
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Ex. 1.11: Uma pedra é lançada verticalmente para cima do alto de uma torre de 30 
m de altura, com velocidade inicial de 15 m/s. No mesmo instante, uma segunda 
pedra é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 
22 m/s. Determinar o instante e a posição em que ambas as pedras se encontrarão a 
uma mesma altura do solo. 
Respostas: t = 4,29 s; h = 4,19 m 
 
Ex. 1.12: Uma corda de comprimento L conecta o centro da roda A e o bloco B, 
passando por uma polia C. O centro da roda movimenta-se na direção horizontal 
com velocidade ixvA
  e aceleração ixaA
  , determinar: 
a) as expressões para a velocidade e a aceleração do bloco B; 
b) sabendo que h = 3,6 m e que na posição x =1,7 m, o centro da roda tem 
velocidade i5vA
  (m/s) e aceleração i5,2aA
  (m/s2), determinar os valores 
da velocidade e da aceleração de B para esta posição. 
Respostas: a) 
22
d
A
B
hx
xvv

 ;  2322
2322
d
dAAdA
B
hx
hxaaxhv
a

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
hd 
B 
A 
C 
x 
y 
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Ex. 1.13 : A figura abaixo ilustra uma carga P que é içada através de cabo 
conectado a um tambor de raio R, acionado por um motor elétrico que gira com 
velocidade constante  . Desenvolver as expressões para a velocidade e a aceleração 
de P em função de y. 
Respostas: 
22 yb
RyvP 
  ;  222
222
yb
ybRaP 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.14: No sistema de elevação de carga mostrado abaixo, o bloco A tem 
velocidade para baixo de 0,2 m/s. Determinar a velocidade do bloco B. 
Respostas: Bv 0,133 m/s para cima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2b 
y 
P 
 
R 
A 
B 
Domingos
Sticky Note
resposta errada
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Ex. 1.15 Uma corda de comprimento L conecta o centro da roda A e o bloco B, 
passando por uma polia C. O centro da roda movimenta-se na direção horizontal 
com velocidade ixvA
  e aceleração ixaA
  , determinar as expressões para a 
velocidade e a aceleração do bloco B. 
Respostas: 
222 xh
xvv
d
A
B 
 ;   2322
2222
2 d
dAdA
B
hb
hvhxxa
a

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.16 Sabendo que o bloco A possui velocidade de 5 m/s para a esquerda, 
determinar o módulo e o sentido da velocidade do bloco B. 
Respostas: Bv 15,0 m/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.17 Um projétil é lançado com velocidade inicial 0v , formando um ângulo  
com a direção horizontal, conforme mostrado na figura abaixo. Negligenciando a 
resistência, do ar, determinar: 
a) as expressões para as componentes horizontal e vertical da aceleração do 
projétil; 
b) as expressões para as componentes horizontal e vertical da velocidade do 
projétil; 
c) as expressões para as componentes horizontal e vertical da posição do 
projétil; 
d) a equação da trajetória em sua forma cartesiana  xyy  ; 
e) a expressão para a máxima altura, h, atingida pelo projétil; 
hd 
B 
A 
C 
x 
y 
A 
B 
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f) a expressão para a máxima distância horizontal, d, atingida pelo projétil. 
Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.18 Considerando a situação ilustrada abaixo, determinar a posição s na qual a 
bala lançada para cima e para a direita, chocar-se-á com a superfície inclinada. A 
bola é lançada com velocidade de 25 m/s, segundo um ângulo  34tg 1 com a 
direção horizontal. 
h 
y 
x 
0v

 
d 
 
h 
y 
x 
0v

 
30º 
s 
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Ex. 1.19: A velocidade de uma partícula movendo-se no plano x-y é dada por: 
       j1t2t30i1t40tv 2   , 
 
onde t está em segundos e as componentes de v têm unidades de mm/s. A partícula 
encontra-se em j10i20r
  (mm) quando t=0. Determine: a) a equação da 
trajetória da partícula na forma cartesiana  xyy  ; b) a posição, velocidade e 
aceleração da partícula quando t=3s. 
Respostas: a) xx
54
1y  ; b)   j80i803r   [mm] ,   j120i803v   [mm/s] 
   j120i403a   [mm/s2] 
 
Ex. 1.20: : Considerando o exercício anterior, pede-se: a) traçar as curvas 
representando as variações das componentes cartesianas e do módulo dos vetores 
posição, velocidade e aceleração da partícula, no intervalo  s120  t ; b) traçar a 
curva representando a trajetória da partícula. 
 
Ex. 1.21: A posição de uma partícula que se move no plano x-y é dada pela equação: 
 
  jtittr  23 52  
 
onde t está em segundos e as componentes de r estão em milímetros. Para t=2s, 
determinar: a) a componente tangencial da aceleração da partícula; b) a componente 
normal da aceleração da partícula; c) o raio de curvatura da trajetória. 
Respostas: a) j891,15i069,19at
  [mm/s2] ; b) j891,5i931,4an
  [mm/s2] 
 c) 05,127 mm 
 
Ex. 1.22: O movimento vertical da barra horizontal ranhurada CD é determinado 
pelo movimento do pino P, que é fixado à barra AB, a qual gira em torno do ponto A. 
Sabendo que na posição ilustrada a velocidade angular e a aceleração angular de AB 
são =20 rad/s e =250 rad/s2, com os sentidos indicados na figura, determinar: a) a 
velocidade barra CD; b) a aceleração da barra CD. 
Respostas: a) 00,200vCD  cm/s vertical para baixo; b) 62,4499aCD  cm/s2 vertical 
para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ex. 1.23: O pino P descreve uma trajetória plana determinada pelos movimentos 
das guias ranhuradas A e B. No instante considerado, A tem velocidade de 20 cm/s 
para direita, estando esta velocidade aumentando à razão de 50 cm/s2. Ao mesmo 
tempo B tem velocidade de 30 cm/s para cima, diminuindo à taxa de 15 cm/s2. Para 
o instante considerado, pede-se: a) o módulo e a direção da velocidade de P; b) o 
módulo e a direção da aceleração de P; c) o raio de curvatura da trajetória de P. 
Respostas: a) 06,36vp  cm/s , 31,56v  ; b) 20,52ap  cm/s2 , 70,16a  ; 
 c) 00,26 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
P 
C 
D 
 
 
5 cm 
10 cm 
A 
B 
P 
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Ex. 1.24: A guia telescópica mostrada na figura faz com que o pino P mova-se ao 
longo de uma trajetória parabólica fixa dada pela equação 2522 xy,  , onde x e y 
estão em centímetros. A coordenada x de P varia em função do tempo segundo 
t,t,x 51252 2  . Para o instante t=2s, determinar: a) os valores das componentes x e 
y da velocidade de P; b) os valores das componentes x e y da aceleração de P; c) o 
raio de curvatura da trajetória de P; d) a aceleração angular da guia telescópica. 
Respostas: a) j0,70i5,22vp
  [cm/s] ; b) j56,60i0,5ap
  [cm/s2] ; 
c) 48,376 cm ; d) 91,2 rad/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.25: : Considerando o exercício anterior, pede-se: a) traçar as curvas 
representando as variações das componentes cartesianas x e y e dos módulos dos 
vetores velocidade e aceleração do pino P no intervalo  s50  t . 
 
Ex. 1.26: Um foguete sobe verticalmente, sendo rastreado por uma estação de 
radar. No instante em que =60o, sabe-se que r=6000 m, =0,03 rad/s e  =0,002 
rad/s2. Para este instante, determinar: a) a velocidade do foguete; b) a aceleração do 
foguete. 
Respostas: a) 360v  m/s ; b) 41,61a  m/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2522 xy,  
x 
y 
P 
O 
80 cm 
A 
r 
 
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Ex. 1.27: Na posição mostrada na figura, a haste OA está girando em torno de O 
com velocidade angular =3,0 rad/s no sentido anti-horário, a qual está decrescendo 
à razão de 1,0 rad/s2. Ao mesmo tempo, o bloco B está deslizando para fora, ao longo 
da haste, com velocidade relativa a esta de v=22,5 cm/s, a qual está aumentando à 
razão de 15,0 cm/s2. Para a posição indicada, determinar: a) o módulo da velocidade 
absoluta do bloco; b) o módulo da aceleração absoluta do bloco; c) as componentes 
normal e tangencial da aceleração do bloco. 
Respostas: a) 5,37vB  cm/s ; b) 77,145aB  cm/s2 ; 
 c)   135a Bn  cm/s2 ,   0,55a Bt  cm/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.28: A posição de uma partícula que se move no espaço é dada por: 
 
  ktjtittr  323 305020  , 
 
onde t está em segundos e as componentes de r estão em mm. Determinar: a) a 
posição da partícula para t=2s e t=4s; b) o deslocamento da partícula entre os 
instantes t=2s e t=4s; c) a velocidade média da partícula entre os instantes t=2s e 
t=4s; d) a velocidade instantânea da partícula em t=5s; e) a aceleração média da 
partícula entre os instantes t=2s e t=4s; f) a aceleração da partícula em t=5s. 
Respostas: a)   k240j200i1602r   [mm] ,   k1920j800i12804r   [mm] ; 
b) k1680j600i1120r
  [mm] ; c) k840j300i560vm
  [mm/s]; 
 d)   k2250j500i15005v   [mm/s]; 
e) k540j100i360am
  [mm/s2]; 
f)   k900j100i6005a   [mm/s2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30o 
B 
O 
A 
 
v 
10 cm 
A 
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Ex. 1.29: O guindaste giratório tem uma lança OP de 24 m de comprimento e está 
girando em torno do eixo vertical com velocidade angular constante  =2,0 rad/s. Ao 
mesmo tempo, a lança está sendo abaixada à razão constante  =0,10 rad/s. 
Calcular a velocidade e a aceleração da extremidade da lança P, no instante em que 
 =30o. 
Respostas: 12,24vP  m/s , 83,48aP  m/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.30: A antena telescópica OA gira em torno do eixo fixo z com velocidade 
angular constante  =2,0 rad/s, no sentido indicado. Ao mesmo tempo, é baixada à 
razão constante  =1,5 rad/s e estendida à taxa constante  =0,9 m/s. Para a posição 
 = 30o, =45o e  =1,2 m, determinar: a) o módulo da velocidade da extremidade A 
da antena; b) o módulo da aceleração da extremidade A da antena; c) as 
componentes cartesianas do vetor aceleração da extremidade A relativas aos eixos x-
y-z indicados na figura. 
Respostas: a) 63,2va  m/s ; b) 18,9aA  m/s2 ; c) k82,3j91,4i75,6a
  [m/s2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
O 
 
 
y 
z 
x 
O 

 
A 
 
 
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Ex. 1.31 : Considerando o exercício anterior, sabendo que em t=0, o =1,0 m, 
o =0 e o =10o: a) traçar as curvas que descrevem as variações dos módulos e das 
componentes cartesianas (x-y-z) dos vetores velocidade e aceleração da extremidade 
A da antena no intervalo  s30  t ; b) traçar a trajetória da extremidade A. 
 
Ex. 1.32: Dois aviões A e B voam em um mesmo plano horizontal, segundo 
trajetórias retilíneas distantes de6000 m. No instante considerado, o avião A 
desloca-se com velocidade constante de 500 km/h e esta velocidade aumenta à razão 
de 1,20 m/s2. O avião B desloca-se com velocidade constante de 1000 km/h, sendo 
rastreado por um radar instalado em A. Determinar as taxas de variação  e  . 
Respostas: 310.79,5  rad/s , 510.61,6  rad/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.33: Após a decolagem, um avião eleva-se à razão de 1 para 2 em um plano 
vertical, com velocidade constante v=400 km/h, sendo rastreado pela estação de 
radar O. Para a posição indicada na figura, determine os valores das taxas de 
variação   e,R . 
Respostas: 57,25R  m/s , 199,0 rad/s , 210.31,7  rad/s ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
A 
6000 m 
=30o 
523
VG-215
NJ
VY172402 15
r 
vA 
vB 
y 
z 
x 
1 
2 
O 
v 
300 m 
500 m 
R 
 
 
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Ex. 1.34: Um carro A percorre uma curva de raio 60 m com velocidade de módulo 
constante de 50 km/h. Quando A se encontra na posição ilustrada, um outro carro B 
está se aproxima do cruzamento com velocidade de 70 km/h, acelerando para o Sul à 
razão de 1,5 m/s2. Determinar a velocidade e aceleração que A parece ter para um 
ocupante do carro B. 
Resposta: 0,29v B/A  m/s, direção 65,5o nordeste; 58,4a B/A  m/s2 , direção 69,6o 
noroeste 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.35: O disco circular gira em torno de seu centro com velocidade angular 
=5,0rad/s, no sentido anti-horário, a qual decresce à taxa de 10,0 rad/s2. Ao mesmo 
tempo, o cursor P desliza ao longo da ranhura retilínea AB com velocidade relativa 
ao disco u=150 mm/s, no sentido indicado, a qual está aumentando à razão de 300 
mm/s2. Para a posição indicada na figura determinar: a) o vetor velocidade absoluta 
do cursor P; b) o vetor aceleração absoluta do cursor P. 
Respostas: a) j5,0i35,0vp
  [m/s] ; b) j0,2i2,1ap
  [m/s2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 mm 
100 mm 
P 
B 
A 
O 
u 
 
x 
y 
60 m 
A 
B 
30o 
N 
S 
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Ex. 1.36: O regador de jardim, cuja vista superior é mostrada na figura, gira em 
torno de O com velocidade angular constante =90 rpm no sentido horário. Sabendo 
que a velocidade da água em relação ao regador é constante e vale u=12,2 m/s, 
determinar para a posição indicada: a) o vetor velocidade absoluta de uma partícula 
de água no instante em que esta passa pelo bocal B; b) o vetor aceleração absoluta 
de uma partícula de água no instante em que esta passa pelo bocal B. 
Respostas: a) j9i24,7vp
  [m/s]; b) j69,125i63,184ap
  [m/s2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.37: O tubo circular OAB, de raio médio r=30 cm, gira em torno de O com 
velocidade angular  =10 rad/s, a qual aumenta à taxa constante =100 rad/s2. No 
interior do tubo move-se uma pequena esfera P, cuja velocidade, em relação ao tubo, 
tem módulo constante u=6 m/s. Para a posição ilustrada na figura, determinar: a) a 
velocidade e a aceleração absolutas de P quando este se encontra na posição A; b) a 
velocidade e a aceleração absolutas de P quando este se encontra na posição B. 
Respostas: a) j0,3i0,9vp
  [m/s] , j300ap
  [m/s2] ; 
 b) j0,12vp
  [m/s] , j60i300ap
  [m/s2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 mm
70 mm 100 mm100 mm 
30o 
30o 
 O
B 
u 
u
 r 
A 
B 
O 
P 
u
D.A. Rade_____________________________________________Cinemática da Partícula - Exercícios 
 15 
 
Ex. 1.38: A haste OAB gira a uma velocidade angular constante  =40 rad/s. 
Sabendo que o cursor P se move ao longo da barra com uma velocidade constante 
u=20,0 m/s, em relação à barra, determinar, para a posição mostrada: a) a 
velocidade de P; b) a aceleração de P. 
Respostas: a) k3,17j0,10i32vp
  [m/s] ou 73,37vp  m/s 
 b) j1280i0,800ap
  [m/s2] ou 4,1509ap  m/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 1.39: O motor M faz o disco girar em torno de seu eixo com velocidade angular 
constante 2 = 3,0 rad/s, em relação à carcaça do motor e ao braço OM. Ao mesmo 
tempo, o braço OM gira em torno do eixo vertical com velocidade angular constante 
1 = 2,0 rad/s. Calcular as velocidades e as acelerações absolutas dos pontos A e B 
indicados no disco, na posição mostrada. 
Respostas: i9,2vA
  [m/s] ; k5,1i4,1vB
  [m/s] ; 
 k3,10aA
  [m/s2] ; k8,2i5,7aB
  [m/s2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
x 
z 
 1000 mm 
500 mm 
600 mm 
P 
60o 
y 
u
A 
B 
1 
2 
O 
x 
z 
y 
700 mm 
700 mm 
300 mm 
A 
B 
M 
C 
D.A. Rade_____________________________________________Cinemática da Partícula - Exercícios 
 16 
 
Ex. 1.40: O robô mostrado abaixo move-se no plano da figura com velocidade 0v
 e 
aceleração 0a
 em relação ao piso. O braço O1O2 gira com velocidade angular 
constante 11   em torno do ponto O1 e o braço O2P gira em torno da junta O2 com 
velocidade angular constante 22   , com os sentidos indicados. Designando por 1 
o comprimento do braço O1O2 por 2 o comprimento do braço O2P, deduzir as 
expressões para a velocidade Pv
 e a aceleração Pa da extremidade P, em relação ao 
piso, em função dos parâmetros indicados na figura. Utilizar os seguintes sistemas 
de referência indicados na figura: OXY: fixo ao solo; O1x1 y1: móvel, preso ao braço 
O1O2; O2x2 y2: móvel, preso ao braço O2P. 
Respostas:    jcoslsenlsenlisenlcoslcoslvv 22222111222221110p      jsenl2coslcoslicosl2coslsenlaa 22222221121222222211210p  
 
 
 
P 
1 
2
2x 2y
O2 
1x
1y
1
00 a,v
 
X 
Y 
2 
O 
O1