Cinemática dos Corpos Rígidos Everton Coelho de Medeiros

Prévia do material em texto

CINEMÁTICA DOS 
CORPOS RÍGIDOS
Everton Coelho de Medeiros
Análise tridimensional do 
equilíbrio de corpo rígido
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever o conceito de diagrama de corpo livre em três dimensões 
aplicado a corpos rígidos.
 � Identificar as equações de equilíbrio em três dimensões para corpos 
rígidos.
 � Aplicar as equações de equilíbrio para corpos rígidos em três dimen-
sões na resolução de problemas.
Introdução
O ambiente no qual você está inserido possui três dimensões. De modo 
semelhante, em muitas situações, os corpos estão sujeitos a forças em 
várias orientações no espaço tridimensional. Nesse cenário, corpos rígidos 
podem se manter em equilíbrio desde que algumas condições sejam 
satisfeitas. Entretanto, no ambiente em três dimensões, existem mais 
componentes de força e momento.
Em duas dimensões, um corpo possui apenas três graus de liberdade, 
translação em x, translação em y e rotação no plano. Já em três dimensões, 
o corpo possui seis graus de liberdade: três componentes de translação 
e mais três componentes de rotação.
Neste capítulo, você vai ler sobre a análise tridimensional do equilíbrio 
de corpo rígido. Você vai conhecer o conceito de diagrama de corpo 
livre em três dimensões aplicado a corpos rígidos e também estudar as 
equações em três dimensões utilizadas para esses corpos.
1 Momento como grandeza vetorial
No equilíbrio em duas dimensões, o momento só pode ocorrer em um eixo 
perpendicular ao plano. Logo, o seu sentido pode ser definido como horário 
ou anti-horário. No espaço tridimensional, é mais conveniente trabalhar o 
momento em sua forma vetorial, com suas componentes em cada um dos eixos.
Considere que um corpo está sujeito a uma força F⃗ aplicada no ponto 
A, como ilustra a Figura 1. Sabe-se que a força F⃗ é um vetor com módulo e 
orientação definidos no espaço tridimensional. A força F⃗ é aplicada fora do 
centro de massa do corpo, ponto O, e seu efeito depende da distância entre o 
ponto A, ponto de aplicação, e o centro de massa. Logo, a posição de A pode 
ser definida de forma mais conveniente por um vetor r⃗ que liga o ponto A ao 
ponto O (BEER, 2011). O vetor r⃗ é o vetor posição, e o momento da força F⃗ 
no ponto O é definido como o produto vetorial de r⃗ e F⃗.
M⃗ = r⃗ × F⃗ (1)
Em outras palavras, o momento é o produto do vetor posição r⃗ pela com-
ponente de força tangencial no plano que os contém, sendo perpendicular à 
direção de r⃗ e da força. Essa interpretação faz sentido porque o componente 
radial aponta diretamente para o eixo e não pode produzir um torque (KNIGHT, 
2009). A direção de M⃗ é perpendicular ao plano definido por r⃗ e F⃗ e pode ser 
definida pela regra da mão direita (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016).
Figura 1. Momento de F⃗ em relação ao ponto O.
Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido2
Uma força F⃗ = (2î + 3ĵ – 2k ̂)N é aplicada a um corpo num ponto A, com vetor posição 
em relação ao centro de massa r⃗ = (2î – 2ĵ + 1k ̂)m. Determine o momento causado 
por essa força nesse corpo.
A seguir, veja a solução.
Aplique o produto vetorial e calcule o momento da força:
2 Forças no espaço tridimensional
Na análise em duas dimensões, não é tão necessário usar o cálculo vetorial. 
Só é necessário decompor as forças e trabalhar de forma escalar em cada uma 
das dimensões. Esse tipo de análise não é possível em três dimensões. Neste 
caso, todos os cálculos devem ser na forma vetorial.
Você deve aprender a representar as forças no espaço. Considere uma força 
F⃗ que atua na origem de um sistema cartesiano retangular de coordenadas 
x, y e z. Para decompor as componentes em cada um dos eixos, define-se um 
plano formado entre o vetor e o eixo z, como mostra a Figura 2. A componente 
em z é encontrada da seguinte forma:
Fz = |F⃗ | · cos θz (2)
3Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido
Para encontrar as componentes, você precisa encontrar a projeção da força 
F⃗ no plano xy:
Fxy = |F⃗ | · sen θz (3)
Com a projeção, você pode encontrar as componentes em x e em y:
Fx = Fxy · cos θx (4)
Fy = Fxy · cos θy (5)
Figura 2. Força no espaço cartesiano de três dimensões.
Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido4
Vetor posição e vetor unitário
O vetor posição r⃗ vai da origem até um ponto P (YOUNG; FREEDMAN, 2016). 
Num sistema de coordenadas cartesiano, é possível definir o vetor posição 
pela soma de cada uma de suas componentes (Figura 3). Veja:
r⃗ = xî + yĵ + zk̂ (6)
Figura 3. Vetor posição no espaço cartesiano.
5Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido
Uma prateleira é suspensa por dois cabos, como mostra a Figura 4. Determine os vetores 
posição da origem aos pontos A e B. Considere que o ponto O tem coordenadas (0, 0, 0).
A seguir, veja a solução.
Você pode escrever os vetores e utilizando as cotas do desenho da Figura 4, 
tomando como referência o ponto O. Assim:
Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido6
Muitas vezes, a força sobre um corpo está orientada do mesmo modo que 
o corpo. Por exemplo, a força sobre uma barra em uma treliça está orientada 
da mesma forma que esse corpo. Com isso em mente, você pode utilizar o 
vetor posição para determinar as componentes da força que atua sobre um 
corpo. Para tal, você deve calcular o vetor unitário utilizando o vetor posição. 
O vetor unitário pode ser encontrado por meio da divisão de cada componente 
do vetor posição por seu módulo:
(7)
O vetor unitário possui a mesma orientação e o mesmo sentido do vetor 
posição, porém seu módulo é igual a 1.
Determine o vetor unitário que possua o mesmo sentido e a mesma orientação que:
A seguir, veja a solução.
Primeiramente, você deve calcular o módulo de :
Em seguida, calcule:
7Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido
3 Diagrama de corpo livre no espaço e 
equações de equilíbrio
O diagrama de corpo livre é a representação, de forma simplificada, de todas 
as forças que atuam sobre um corpo, sejam forças externas ou de reação. 
No espaço, a maior dificuldade é a representação, pois as ilustrações são em 
duas dimensões. Na Figura 5, a seguir, veja um diagrama de corpo livre em 
três dimensões.
Figura 5. Diagrama de corpo livre em três dimensões.
No equilíbrio, as forças e momentos resultantes são iguais a zero. Assim, 
o corpo não está sujeito a nenhuma aceleração (TIPLER; MOSCA, 2009). 
Porém, no espaço tridimensional, as condições são expandidas em seis reações 
de vínculo (BEER, 2011). As equações são as seguintes:
∑Fx = 0 (8)
∑Fy = 0 (9)
∑Fz = 0 (10)
∑Mx = 0 (11)
Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido8
∑My = 0 (12)
∑Mz = 0 (13)
Uma escada, representada nas Figuras 6 e 7, é utilizada no estoque de uma 
loja para que os vendedores consigam alcançar os produtos com maior agilidade.
Figura 6. Escada do estoque.
A escada possui três apoios: nos pontos A, B e C. Os pontos A e B são 
suportados por duas rodas guiadas em um trilho, e o ponto C é suportado 
por uma roda lisa sem trilho. Considere que a escada possui massa de 40kg 
e que uma vendedora de 60kg subiu nela para pegar um produto. Determine 
as reações nos pontos de apoio.
9Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido
A seguir, veja a solução.
O diagrama de corpo livre da escada é apresentado na Figura 7. As reações 
dependem dos vínculos (nesse caso, a roda em C limita o movimento no eixo 
x, e as rodas nos pontos A e B limitam o movimento nos eixos x e z). Nenhuma 
das rodas limita a rotação do corpo, portanto não há reação de momento em 
nenhum ponto.
Figura 7. Diagrama de corpo livre da escada do estoque.
Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido10
O corpo está sujeito a apenas uma força externa, a força-peso.
Você deve aplicar as equações de equilíbrio:
Não há nenhuma força externa ou reação em y.
Você pode calcular a soma de todos os momentos da seguinte forma:
Adote o ponto A como referência. Você vai encontraros vetores posição 
para os pontos B e C e o centro de massa.
11Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido
Dividindo os momentos por eixos, você tem:
Com o sistema de equações, você pode encontrar as reações em cada 
ponto de apoio:
Neste capítulo, você estudou as condições de equilíbrio em três dimensões. 
Como você viu, quando se consideram três dimensões, os cálculos devem 
ser vetoriais, pois a dimensão a mais aumenta a complexidade da análise. 
O momento, definido como o produto vetorial entre a força e o vetor posição, 
pode ocorrer em uma direção qualquer no espaço.
Com o aumento de uma dimensão, é possível que o corpo, além de rota-
cionar em qualquer um dos eixos, translade nos três eixos. Assim, a condição 
de equilíbrio se dá quando a soma dos momentos em todas as direções e a 
soma das forças em todas as direções resultam em zero. Para isso, como você 
verificou, são necessárias seis equações de equilíbrio.
Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido12
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 
2011. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, volume 1: mecânica. 10. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica, volume 1: mecânica newtoniana, 
gravitação, oscilações e ondas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros, volume 1: mecânica, oscilações 
e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I, Sears e Zemansky: mecânica. 14. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2016.
13Análise tridimensional do equilíbrio de corpo rígido