Danilo Gustavo Bispo

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CA TÓLICA DE SÃO P AULO PUC-SP Danilo Gustavo B ispo Dos fundamentos da matemática ao surgimento da teoria da computação por Alan T uring Mestrado em História d a Ciência São Paulo 2013 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CA TÓLICA DE SÃO P AULO PUC-SP Danilo Gustavo Bispo Dos fundamentos da matemática ao surgimento da teoria da computação por Alan T uring Mestrado em H istória da Ciência São Paulo 2013 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CA TÓLICA DE SÃO P AULO PUC-SP Danilo Gustavo Bispo Dos fundamentos d a matemática ao surgimento da teoria da computação por Alan T uring Mestrado em H istória da Ciência Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em História da Ciência, sob orientação do Prof. Dr . José Luiz Golfarb São Paulo 2013 Banca Examinadora _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ Deticatória Aos amigos e professores do mestrado Ao meu orientador À minha família e namorada Aos companheiros de N.A Por me auxilarem nesta jornada de aprendizado e desafio, muito obrigado a todos. O caminho da história não é o de uma bola de bilhar , que segue uma inflexível lei causal; assemelha-se mais ao de uma nuvem, a alguém que vai perambulando pelas ruas e que é desviado aqui por uma sombra, ali por um grupo de pessoas ou pelo espetáculo de uma praça barr oca e por fim chega a um lugar que não conhecia e aonde não desejava ir . (Robert Musil, \u201cHomem sem qualidades\u201d) RESUMO Neste texto apresento inicialmente com o intuito de contextualizar as influências envolvidas no sur gimento da teoria de Alan T uring sobre com putabilidade um histórico de algum problemas que mobilizaram os matemáticos no início do século XX. No capítulo 1, será exposto um panorama do sur gimento da ideologia formalista conc ebida pelo matemático David Hilbert no início do século XX. O objetivo do formalismo era de fundam entar a matemática elementar a partir do método e axiomático, eliminando das teorias suas contradições e paradoxos. Embora Hilbert não tenha obtido pleno êxito em seu programa, será dem onstrado como suas concepções influenciaram o desenvolvimento da teoria da computação de Turing. A teoria que T uring propõe é um procedimento de decisão, um método que analisa qualquer fórmula arbitrária da lógica e determina se ela é provável ou não. Turi ng prova que nenhuma decisão geral pode existir . Para tanto será utilizado como fonte primária o documento On computable numbers, with an appli cation to the Entscheidungspr oblem . No capítulo 2, será apresentado as principais seçõe s do documento de T uring explorando alguns de seus conceitos. O projeto será finalizado com uma crítica a este texto clássico da história da matemática com base nas propos tas historiográficas apresentadas no primeiro capítulo. Palavras-chave: Lógica, Fundamentos da Mate mática, T eoria da Computação. ABSTRACT In this paper I present initially in order to contextualize the influences involved in the emergence of the theory of Alan Turi ng compu tability on a history of some issues that mobilized mathematicians in the early twentieth century . In chapter 1, an overview will be exposed to the emergence of ideology Formal ist designed by mathem atician David Hilbert in the early twent ieth century . The aim was to base the formalism elementary mathematics from the method and axiomatic theories eliminating contradictions and paradoxes. Although Hilbert has not obtained full success in your program, it will be demonstrated how their ideas influenced the development of the theory of computation T uring. The theory proposes that T uring is a decision procedure, a method that analyzes any arbitrary formula of logic and determines whether it is likely or not. Turing proves that there can be no general decision. For that w ill be used as a primary source document On Computable N umbers, with an application to the Entscheidungsproblem. In Chapter 2, you will see the main sections of the document Turi ng exploring some of its conc epts. The project will be completed with a critique of this classic text in the history of mathematics based on historiographical proposals presented in the first chapter . Keywords: Logic, Foundations of Mathematics, Theory of Computation. Sumário Introdução .......................................................................................................................... 01 Capítulo 1 \u2013 Os fundamentos da matemática 1.1 A lan T uring ...................................................................................................... 05 1.2 O documento: On Computable Numbers ........................................................ 07 1.3 O Formalismo \u2026.............................................................................................. 10 1.4 O Programa de Hilbert..................................................................................... 12 1.5 Os teoremas de Gödel ..................................................................................... 15 1.6 O Entscheidungsproblem ................................................................................ 20 Capítulo 2 \u2013 A teoria da computação 2.1 Computing machine ........................................................................................ 23 2.2 Definitions \u2026.................................................................................................. 27 2.3 Examples of computing machines .................................................................. 31 2.4 Enumeration of computable sequences .......................................................... 42 2.5 The Unive rsal Computing Machine ............................................................... 46 2.6 Detailed description of the Universal Machine .............................................. 49 2.7 Application of the diagonal process ............................................................... 61 Considerações Finais ........................................................................................................ 73 Anexos O Manifesto de Hilbert ......................................................................................... 76 A Lista de problemas \u2026........................................................................................ 87 Referências Bibliográficas ............................................................................................... 89 1 INTRODUÇÃO Desde o início do período moderno, a ciência veio, paulatinamente, se consolidando como um meio privilegi ado de saber . A perspectiva de firmá- la como atividade superior de produção do conhecimento atingiu seu ápice ao longo do século XIX. O crescente sucesso da ci ência em dar explicações aos fenômenos físicos e a junção cada vez maior entre ciência e tecnologia vinham mudando de forma veloz a vida da sociedade. A expectativa era de que o conhe cimento científico, através de seu rigoroso método de pesquisa, fosse capaz de dar respostas a qualquer tipo de problema, seja ele vindo das ciências naturais ou das humanidades. A visão mais corren te era de que a ciênc ia estaria alicerçada em bases tidas como puramente rac ionais e promoveria um desenvolv imento linear e cumulativo do conhecimento. Porém, todo esse entusiasmo diante do conhecimento ci entífico foi enfraquecido com o surgim ento de novas teorias que abalaram os fundamentos da ciência. No final da terceira década do século XX, praticamente todos os pressupostos que embasavam a ciênc ia moderna, em especial a concepção de mundo cartesiano-newtoniana, haviam sido contestados. 1 O surgimento das geometrias não- euclidianas, da teoria da relatividade e da mecân ica quântica, trouxeram uma nova perspectiva diante da natureza. Noções que fundamentavam a ciênc ia newtoniana como tempo e espaço absolutos, átomos tidos como blocos sólidos e indestru tíveis, a visão de uma causalid ade unicamente me cânica dos fenômenos físicos, além da poss ibilidade de uma observação objetiva da natureza, foram, de certa forma, descartadas. Pelo papel central que a ciência ocupou na produção do conhecimen to na modernidade, essas mudanças teóricas não só estremeceram os pilares do conhecimento científico, mas lançaram questionamentos à própria idéia de razão que guiou o pensam ento ocidental desde a Antigüidade clássica. A possibilidade de um conheci mento seguro, capaz de construir teorias universais, absolutas e necessárias, que sempre foi ambic ionada pelos defensores da ciência, se tornava cada vez mais difíc il. A impressão era de que a confiabi lidade cognitiva dada pelo método científico poderia ser apenas uma ilusão temporária. Se por um lado era contestada a legitimidade da ciência como uma fonte segura de conhecimento, por outro ass istia-se a um progresso tecnológico cada vez mais ac entuado, impulsionado pela junção da ciência com a técnica. Se a objetividade das teor ias científicas era question ada de forma contundente, as teorias sur gidas a partir da nova física, continuavam sujeitas a uma comprovação por meio de rigorosos testes, como era característico do dito método científico. Diante disto, a grande questão que se apresentava nos primeiros embates sobre os fundamentos da ciência, não era no sentido de reconhecer as limitações do modelo científico em dar explicações e guiar o processo de construção do conhecimento. O grande desafio, era o de encontrar uma forma de restabelecer o status epistemológico do conhecimento científico diante das novas teorias e questionamentos que surgiam. E foi esta a tarefa que moveu os principais trabalhos filosóficos da ciência na primeira metade do século XX. 2 Já este texto que ora apresento, tem origem em uma pesquisa em história da T eoria da Computação 3 através da teoria elaborada pelo matemático Alan T uring para o programa de H istória da Ciência . Propus pesquisar os aspectos da Europa moderna, que foram influentes no desenvolvimento e transformações que ocorreram na matemática entre o final do século XIX e início do século XX. Neste projeto, a principal dificuldade encon trada para sua concretização, foi conseguir livros de história da matemática que tratassem das influências do meio social no desenvolvimento da matemática. Isto de fato causou um certo estranhamento, já que na historiografia de outras ciências este tipo de abordagem não é inco mum. Ao iniciarmos um estudo em história da ciência, um fator que cha ma a atenç ão é a 1 Goldfarb A., O que é história da ciência , 68- 72. 1994. 2 Ibid. 3 Peter , \u201cComputer Science: The Discipline\u201d, 3.

Danilo Gustavo Bispo

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