Associação de Resistores em Circuitos Elétricos

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Engenharia Elétrica 
Circuitos Elétricos 
 
Diego Buriti 
Aula 2 
 
 
 
Olá, aluno! Seja bem-vindo à segunda aula de Circuitos Elétricos! 
Na primeira aula, tivemos a oportunidade de estudar algumas grandezas elétricas 
fundamentais em circuitos elétricos, a convenção utilizada na análise, os tipos de 
elementos, a lei de Ohm e algumas definições utilizadas na análise. 
 
Agora iremos abordar diferentes associações de resistores, em série e em paralelo, 
estudando suas características para entendermos o seu funcionamento. 
 
Além disso, será apresentada a transformação DELTA-ESTRELA para facilitar a análise de 
circuitos. Por fim, serão introduzidas as duas Leis de Kirchoff, que regem o comportamento 
das correntes e das tensões em um circuito elétrico. 
 
Em projetos de circuitos elétricos, nos deparamos com situações diversas, como por exemplo a instalação 
de lâmpadas em uma sala de estar conjugada com a sala de jantar. 
Por se tratar de uma sala com dois ambientes diferentes (estar e jantar), é necessário que cada parte da 
sala tenha sua iluminação independente, de forma que se quisermos ligar apenas uma das partes da 
sala, isto será possível, e se quisermos ligar todas, também será possível. 
Se ligarmos todas as lâmpadas em sequência (ou em série), conforme ilustrado a seguir, não teríamos 
como escolher acender apenas as lâmpadas da sala de jantar ou da sala de estar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso a ligação seja realizada de outra forma, com 
dois interruptores, podemos acender as lâmpadas 
de cada sala de forma independente. Desta forma, 
a alimentação elétrica está suprindo os dois 
interruptores, que estão em paralelo. 
 
Além das questões de conexões em série e paralelo, existem outros fatores que serão abordados nesta 
aula referente ao comportamento da tensão em circuitos em série e o comportamento da corrente em 
circuitos em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 
Associação de resistores em série e divisores de tensão 
 
 
 
 
 
 
 
Em um circuito elétrico são necessárias combinações de resistores para podermos atingir determinados 
valores de resistências que não são encontradas no comércio. Uma das formas de combinarmos 
resistores é por meio da associação em série destes componentes, ou seja, uma ligação sequencial. 
 
 
A resistência equivalente de qualquer número de resistores conectados em série é igual à soma das 
resistências individuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura a seguir ilustra um circuito elétrico com N resistores em série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
= 
Título Exemplo 
Acompanhe um exemplo resolvido a seguir! 
Considere o circuito a seguir. Como calculamos a corrente elétrica i? 
 
 
= 
 
O circuito possui três resistores conectados em série, os quais podem ser simplificados por apenas um 
resistor equivalente. Assim, temos: 
= 
 
 
 
Sabemos que a tensão nos terminais de um resistor é o produto da sua resistência pela corrente 
elétrica que circula nele: 
 
 
Uma vez calculada a corrente elétrica que circula no circuito e pelo fato de que esta corrente é a mesma 
que circula em todos os elementos do circuito, podemos notar que a soma das tensões que surgem nos 
terminais de todos os resistores é igual à tensão da fonte. 
Na figura, denomina-se por v1, v2 e v3 as tensões nos resistores R1, R2 e R3, respectivamente. 
 
 
Temos que a tensão em cada resistor é: 
 
 
Como: Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que resulta em: 
 
 
O fato de que a tensão da fonte se divide em cada componente do circuito, uma associação de resistores 
em série pode ser denominada como um divisor de tensão. O circuito da figura abaixo é um divisor de 
tensão composto de dois resistores em série ligados a uma fonte de tensão. 
 
A tensão VO nos terminais do resistor R2 é calculada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 
Associação de resistores em paralelo e divisores de corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma forma que podemos associar resistores em série para atingirmos determinados 
valores de resistência, nós podemos realizar uma associação também em paralelo. 
Uma associação de resistores em série serve para se obter uma resistência equivalente 
maior, enquanto que uma associação em paralelo realiza o efeito oposto, diminuindo a 
resistência equivalente. 
O inverso da resistência equivalente de qualquer número de resistores conectados em 
paralelo é igual à soma do inverso de cada resistência individualmente. 
Na figura a seguir, encontra-se um circuito de N resistores em paralelo alimentados pela 
mesma fonte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
Acompanhe um exemplo resolvido a seguir! 
Considere o circuito a seguir. Como calcular as correntes elétricas i1, i2 e i3? 
 
= 
 
O circuito acima possui três resistores conectados em paralelo, os quais estão submetidos à mesma 
tensão da fonte de 5 Volts. Portanto, sabemos que v=Ri e as correntes são calculadas da seguinte 
forma: 
= 
 
 
 
Uma vez calculadas as correntes que circulam por cada resistor no circuito, se calcularmos a corrente 
que circula na resistência equivalente, notaremos que ela é exatamente igual à soma das correntes de 
todos os elementos. A resistência equivalente é calculada da seguinte forma: 
 
 
 
A corrente que circula pelo resistor equivalente é calculada da seguinte forma: 
 
 
Calculada a corrente que circula no resistor equivalente, notamos que ela é igual à soma das correntes i1, 
i2 e i3. Desta forma, podemos afirmar que se trata de um circuito divisor de corrente, em que a corrente 
que sai da fonte se divide em cada resistor do circuito. 
 
 
 
Na figura, encontra-se ilustrado um divisor de corrente e as fórmulas de cálculo das correntes i1 e i2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 
Transformação estrela-triângulo (Y-Δ) 
 
 
 
 
Algumas vezes, nos deparamos com alguns casos em circuitos que a geometria dos resistores não nos 
permite realizar uma simplificação direta do circuito em termos de resistência equivalente. Na figura a 
seguir, encontram-se ilustrados dois casos bastante recorrentes na análise de circuitos, que são as 
ligações de elementos em estrela (ou Y) à esquerda e a ligação em triângulo (ou Δ), à direita. 
 
 
 
Ligação Y Ligação Δ 
 
 
Para podermos simplificar um circuito que apresenta uma destas configurações, podemos transformar 
resistores ligados em Δ por um conjunto equivalente de resistores ligados em Y e vice-versa. 
A localização de cada elemento depende da localização de cada ponto que ambos os circuitos terão em 
comum, que neste caso são os nós chamados de X, Y e Z. 
A figura a seguir ilustra a conexão das transformações, e na tabela encontram-se as fórmulas. 
 
 
Δ-Y Y-Δ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos resolver alguns exemplos práticos com base na figura anterior: 
Vamos calcular os valores de RA, RB e RC sabendo que R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω e R3 = 35 Ω. 
 
 
 
Vamos calcular os valores de R1, R2 e R3 sabendo que RA = 100 Ω, RB = 47 Ω e RC = 84 Ω. 
 
 
 
 
 
 
Confira o exemplo a seguir: 
Vamos calcular o valor da corrente elétrica i no circuito a seguir: 
 
Neste circuito, podemos realizar uma transformação Δ-Y nos três resistores entre os nós A, B e C, como 
visto a seguir: 
 
 
 
 
O resultado desta transformação será:Os cálculos dos resistores são os seguintes: 
 
 
 
Uma vez calculados os resistores da transformação Δ-Y, nota-se que o resistor RA está em série com o 
resistor de 50 Ω podendo ser representado por um resistor equivalente Req1, assim como o resistor RC 
está em série com o resistor de 45 Ω podendo ser representado por um resistor equivalente Req2, 
conforme a figura. 
 
 
 
 
 
Agora é possível notar que Req1 e Req2 encontram-se em paralelo, podendo ser representados por um só 
resistor denominado Req3, que estará em série com RB, resultando em um resistor equivalente geral para 
o circuito Req. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a corrente será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 
Primeira Lei de Kirchhoff 
 
 
 
 
 
A lei de Ohm não é suficiente para podermos realizar a análise de circuitos elétricos. Entretanto, quando 
ela é utilizada em conjunto com as leis de Kirchhoff, nos apossamos de um conjunto de ferramentas 
poderoso o suficiente para analisar uma grande variedade de circuitos elétricos. 
As leis de Kirchhoff foram apresentadas pelo cientista alemão Gustav Robert Kirchhoff e são conhecidas 
comumente por Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) e Lei das Tensões de Kirchoff (LTK). 
A primeira lei de Kirchhoff é baseada na lei da conservação da carga, a qual diz que a soma algébrica 
das cargas em um sistema não pode variar. 
A Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) estabelece que a soma algébrica das correntes que entram 
em um nó (ou em uma região fechada) é igual a zero. 
 
 
 
 
Matematicamente, temos que: 
 
 
N é o número de ramos conectados ao nó. 
 é a n-ésima corrente entrando (ou saindo) do nó. 
 
Existem dois tipos de convenções utilizadas para realizar uma análise de um circuito pela LCK: 
1. Corrente que entra no nó é positiva (+) e a corrente que sai do nó é negativa (–). 
 
2. Corrente que entra no nó é negativa (–) e a corrente que sai do nó é positiva (+). 
 
 
 
 
Considere o nó da figura a seguir. 
Nesse caso, utilizaremos a convenção 1. 
 
 
Aplicando a somatória, teremos: 
 
 
 
Desta forma, a LCK também pode ser descrita da seguinte forma: 
A soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. 
Vamos agora conferir dois exemplos de aplicação da Primeira Lei de Kirchhoff! Clique nas figuras para 
verificar a resolução de cada situação. 
Vamos calcular o valor da corrente ix. 
Neste caso, pela LCK, temos que a soma das correntes que entram no nó é igual à soma das correntes 
que saem do nó, e utilizando a convenção de que a corrente que entra no nó é positiva, teremos: 
 
 
 
Vamos calcular o valor da corrente ix. 
Pela LCK, temos que a soma das correntes que entram no nó é igual à soma das correntes que saem do 
nó, e utilizando a convenção de que a corrente que entra no nó é positiva, teremos: 
 
Neste caso, notamos que o valor da corrente iX é negativa. Isto significa que o sentido adotado na figura 
é o sentido oposto da corrente real que circula no circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA 
Segunda Lei de Kirchhoff 
 
 
 
 
 
 
 
 
A segunda lei de Kirchoff, ou Lei das Tensões de Kirchoff (LTK) obedece à lei da conservação da energia 
e estabelece que a soma algébrica de todas as tensões em um caminho fechado (loop ou 
malha) é igual a zero. 
Matematicamente, teremos: 
 
 
M é o número de tensões na malha. 
 é a m-ésima tensão. 
 
 
 
 
 
Para ilustrar a LTK, devemos observar o circuito da figura a seguir. 
 
Podemos notar que o sinal em cada tensão é a polaridade do terminal encontrado primeiro enquanto 
percorremos a malha. A análise da LTK pode começar em qualquer um dos pontos da malha, no sentido 
horário ou anti-horário. Neste caso, vamos supor que a corrente circula no sentido horário e vamos 
iniciar a nossa LTK também neste sentido. 
Nota-se que neste caso foi utilizada a convenção passiva, pois a queda de tensão nos resistores e no 
elemento destacado como uma caixa preta é do terminal que a corrente entra para o que ela sai, 
enquanto que nas fontes, ocorre um aumento de potencial devido à entrada da corrente no terminal 
negativo e saída no terminal positivo. Aplicando a somatória, teremos: 
 
Desta forma, a LTK também pode ser descrita da seguinte forma: “A soma das quedas de tensão é 
igual à soma dos aumentos de tensão”. 
 
 
Vamos calcular os valores das tensões v1 e v2 deste circuito 
utilizando a LTK. 
Pela lei de Ohm, notamos que: 
 (1) 
 (2) 
Pela LTK, temos que a soma das quedas de tensão é igual à soma dos aumentos de tensão. Então, 
teremos 
 (3) 
Substituindo as equações (1) e (2) na equação (3), teremos: 
 
Se substituirmos o valor da corrente calculada nas equações (1) e (2), encontraremos os valores das 
tensões. 
 
 
Neste caso, o valor negativo de v2 nos informa que a polaridade desta tensão no circuito real está 
invertida. 
 
 
 
 
Vamos calcular os valores das tensões v1 e v2 deste circuito 
utilizando a LTK. 
Pela lei de Ohm, notamos que: 
 (4) 
 (5) 
Pela LTK, temos que a soma das quedas de tensão é igual à soma dos aumentos de tensão. Então, 
teremos: 
 (6) 
Substituindo as equações (4) e (5) na equação (6), teremos: 
 
Se substituirmos o valor da corrente calculada nas equações (4) e (5), encontraremos os valores das 
tensões. 
 
 
Nesta aula, abordamos as associações em série e em paralelo de resistores. Foram estudados os 
comportamentos das correntes e das tensões em ambos os casos, assim como a obtenção de circuitos 
equivalentes para facilitar a análise. Foi visto também a transformação DELTA-ESTRELA (ou ESTRELA-
TRIÂNGULO), a qual é de fundamental importância para a análise de alguns circuitos, especialmente 
quando falarmos em sistemas trifásicos. Além disso, foram introduzidas as duas Leis de Kirchhoff, que 
 
 
regem o comportamento das tensões e das correntes em um circuito elétrico, sendo de fundamental 
importância o seu entendimento para a continuidade da disciplina e principalmente do curso de 
Engenharia Elétrica. 
Nos últimos anos, a utilização das lâmpadas de natal tornou-se cada vez maior. É comum encontrarmos 
arranjos de diversas lâmpadas ligadas para enfeitar árvores de natal. Este arranjo nada mais é do que 
associações em série e em paralelo de diversas lâmpadas, assim como as associações em série e paralelo 
entre resistores que foi estudada. 
 
Nós sabemos que quando componentes são ligados em série, a tensão aplicada sobre o conjunto se 
divide em cada um dos componentes ligados em série. Caso todos os componentes sejam iguais, que é o 
caso das lâmpadas, a tensão que surge nos terminais de cada lâmpada é igual. 
No esquema a seguir, podemos visualizar um exemplo prático de um produto disponível no mercado com 
50 lâmpadas ligadas em série conectadas a uma fonte de 125 V, em que cada lâmpada é representada por 
um resistor. Estas lâmpadas possuem tensão operacional de 2,5 V e 0,2 A (200 mA). 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, responda: 
 
Qual deve ser a tensão total composta da soma da tensão dos N resistores? 
 
Faça seus cálculos e, depois, confira a resolução do problema clicando no botão a seguir: 
 
 
Como as lâmpadas são iguais, então teremos: 
 
Só que a corrente que circula em todos os resistores é a mesma (200 mA), fazendo com que a tensão em 
cada elemento seja igual: 
 
A quantidade de resistores ligados em série é escolhida de forma quea tensão nos terminais de cada um 
deles seja igual à tensão de operação da lâmpada, de 2,5 V. 
 
Logo, por se tratar de um circuito divisor de tensão formado por N resistores iguais, a tensão total 
composta da soma da tensão dos N resistores deve ser igual à tensão da fonte, no caso de 125 
V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos produtos que encontramos no mercado, existem luzes de 
natal com mais de 50 lâmpadas, e nestes casos, são 
realizadas ligações em paralelo, pois se apenas 
aumentássemos o número de lâmpadas para 100, por 
exemplo, a tensão nos terminais de cada uma delas seria de 
1,25 V e elas não acenderiam. 
 
Em conjuntos maiores, ramos semelhantes ao estudado são 
conectados em paralelo. Um exemplo de um conjunto com 200 
lâmpadas encontra-se ilustrado na figura a seguir, em que 
existem quatro circuitos em paralelo com 50 lâmpadas de 2,5 V 
e 0,2 A cada, conectadas em série. Novamente, cada lâmpada 
encontra-se representada por um resistor. 
 
A maioria das lâmpadas de natal são do tipo “pisca-pisca”. Estas lâmpadas são especiais e funcionam com 
um mecanismo que quando está aceso, esquenta um filamento que quando atinge uma determinada 
temperatura, se desloca e desliga a lâmpada. 
 
Quando a lâmpada está desligada, ela começa a esfriar e o filamento retorna à sua posição inicial após um 
determinado tempo, reacendendo a lâmpada e reiniciando este processo. 
 
No circuito de 200 lâmpadas, por exemplo, são necessárias apenas quatro lâmpadas deste tipo, as quais 
são colocadas no início do conjunto em série, mais especificamente nos locais dos resistores R1, R51, R101 e 
R151. Quando estas lâmpadas esquentam e abrem o circuito, elas interrompem a circulação da corrente 
nos resistores que se encontram em série, desligando-os. 
 
 
Neste encontro foram apresentadas as formas de associação em série e paralelo de resistores, assim como 
a transformação DELTA-ESTRELA. Além disso, foram apresentadas as duas Leis de Kirchhoff, que regem o 
comportamento das correntes e das tensões em um circuito para que possamos realizar a análise de 
circuitos elétricos. 
Procurem praticar o que foi visto, já que isto será aplicado nesta disciplina e também em diversas outras 
no decorrer do curso! 
 
Até a próxima aula! 
REFERÊNCIAS 
Introdução à Análise de Circuitos – 12ª Edição – Robert L. Boylestad. Editora Pearson 
Fundamentos de Circuitos Elétricos – Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku. Editora Bookman.