RAZÃO ÁUREA - TRABALHO DE GRADUAÇÃO

Prévia do material em texto

Introdução 
 
A matemática é a ciência dos números, caracterizada pela exatidão e frieza dos 
números, mas também é uma ciência intrigante, surpreendente, misteriosa e bela. 
Neste trabalho mostraremos alguns desses aspectos, limitando-nos a um pequeno 
campo da matemática, “ao número de ouro”. Apresentaremos algumas aparições desse 
número intrigante, a muito estudado pelos matemáticos desde a antiguidade, e que revela 
curiosidade, surpresa e principalmente beleza. 
 Para que possamos entender melhor esse número e apreciar suas aparições e beleza 
colocamos abaixo algumas idéias e conceitos, sobre “beleza”, que nos ajudaram a refletir e 
olhar melhor para esse tema. 
 
“Com a revolução francesa, triunfou em todo o mundo o liberalismo, sistema 
filosófico e político que nega a existência da verdade objetiva e que, por isso, 
produziu naturalmente dois frutos loucos - o subjetivismo e o relativismo – 
responsáveis, hoje, pela destruição de toda lógica e da sabedoria”. 
Na estética, o subjetivismo liberal e romântico leva à negação da existência 
da beleza objetiva. Tal como a verdade e o bem, a beleza também seria subjetiva. 
Belo seria o que cada um considera como tal. Conseqüentemente, não haveria 
critérios objetivos de beleza nem leis estéticas. Foi esse modo de pensar subjetivista 
e relativista que preparou a explosão anarquista da Arte Moderna, em nossos dias. 
Não há quem não conheça o drama vivido por Cyrano de Bergerac, o herói 
imortalizado nos versos de Rostand. Cyrano era fisicamente feio: seu nariz era 
demasiado grande para seu rosto, isto é, era desproporcionado. Em qualquer época, 
em qualquer lugar que tivesse vivido, Cyrano seria conhecido por seu nariz... e por 
seu "panache". Pelo nariz, ele seria materialmente feio, e pelo "panache" de sua 
alma, seria belo. Era a desproporção do nariz que tornava Cyrano feio. Logo, feio é 
o que é desproporcionado. Belo é o que tem proporção. 
Ora, a proporção é uma igualdade de duas razões: a / b = c / d ou 1 / 2 = 3 / 6 
A proporção é um valor matemático, objetivo e universal. Ela não depende 
nem de nós, nem do tempo, nem do lugar. A relação 1/2 = 3/6 é verdadeira não 
porque alguém ache, mas porque ambas as divisões, 1/2 e 3/6, são iguais a 0,5. 
Mas, se a beleza depende da proporção e esta é objetiva, então a beleza 
também o é. Algo é belo porque tem proporções e não porque alguém o considere 
como tal. Portanto, a beleza material é objetiva porque depende das proporções e 
das medidas, isto é, dos números.” 
(XXXXX) 
 
“Pelo que, não sem razão, foi dito que todas as coisas que constassem de 
contrários seriam unidas e compactas por uma certa harmonia. A harmonia dos 
múltiplos é, pois, o consenso e a união dos dissidentes" (Boécio, "De Inst. 
Arithmetica", p.125-126). 
Daí os filósofos medievais afirmarem que algo é belo na medida em que 
harmoniza a unidade e a variedade, a estabilidade e o movimento, o par e o ímpar, o 
grave e o agudo, o pesado e o leve, o quadrado e o retângulo, etc. 
Ora, é exatamente isto que explica a beleza das proporções. Porque o que é, 
no fundo, uma proporção, senão a redução de quatro elementos diversos a um só 
quociente, isto é, a uma só unidade. a/b = c/d = q 
A proporção é a redução da variedade à unidade. Simbolicamente, ela nos 
mostra que toda a variedade das coisas criadas componentes do universo espelham, 
de alguma forma, a unidade do seu Criador. Essa variedade das criaturas pode ser 
reduzida a unidade – daí o total dos seres criados formarem o UNI verso – a fim de 
através dela compreendermos algo de Deus infinito. 
Se tivermos uma proporção entre três números apenas, em vez de quatro, 
essa proporção será mais simples, e, por isso será mais facilmente apreendida pela 
inteligência. Esta é a proporção chamada de contínua pelos matemáticos e de 
analogia, pelos gregos antigos. Por exemplo a proporção 1/2 = 2/4. a/b = b/c 
Nela, o termo médio é repetido, facilitando a apreensão da relação entre as 
duas razões. 
Se houvesse uma proporção ainda mais simples, ela teria que ser mais 
agradável ainda, pois que a simplicidade das coisas as faz mais semelhantes a Deus. 
que é a simplicidade absoluta. 
Ora, se tomarmos uma reta e a dividirmos em duas partes de tal forma que a 
reta inteira esteja relacionada com a parte maior, da mesma forma que esta esteja 
relacionada com a parte menor, teremos uma proporção de dois números apenas. O 
que será uma proporção mais simples, e portanto, mais bela. 
O resultado desta proporção dá o chamado é: 1, 618...” 
(XXXXX) 
 
 
“Olha para o arco-íris e bendize aquele que o fez, mui formoso é no seu 
resplendor. Girou o céu com o círculo da sua glória e as mãos do Excelso lhe deram 
toda a sua extensão.” 
(Eclesiastes 43, vol 12,13) 
Para apreciação estética há dois requisitos: o primeiro é transmitido; o 
segundo adquirido. O primeiro provém da natureza; o segundo do estímulo através 
do ensino. 
Se o poeta vê beleza em um arco-íris - 
 
 “Meu coração pula quando contemplo 
 Um arco-íris no firmamento ...” 
 
- também a vê o físico nas leis que regem a sua manifestação: 
 
“Seu coração bate, também quando ele descobre como a luz do dia é refletida, 
cromaticamente refratada, refletida novamente e dispersada em mil matizes, ensejando 
fascinantes teoremas de matemática, tão simples em alguns aspectos que o escolar pode 
entender, tão complicada, em outros, a ponto de desafiar a análise.” 
A beleza superficial do arco-íris – “mui formoso no seu resplendor “ – é apreciada 
por todos os homens: é uma capacidade transmitida. Mas a beleza oculta, descoberta pelas 
pesquisas laboriosas do físico, só é entendida pela pessoa cientificamente letrada. É uma 
capacidade adquirida, a instrução é essencial. 
(A Divina Proporção – H. E. Huntley) 
 
 
“Podemos perguntar se o anseio universal humano pela beleza serve a 
alguma finalidade útil. A fome e a sede físicas asseguram nossa sobrevivência 
corporal. O impulso sexual cuida da sobrevivência. Mas para que serve a beleza? 
Que objetivo pessoal ou evolutivo se atinge através da apreciação de um arco-íris, 
uma flor ou uma sinfonia? A primeira vista nenhum. 
Muitos de nossos apetites desenvolveram-se, no curso da evolução humana, 
com uma finalidade utilitária no ambiente material de nossa existência mundana. 
A beleza parece não servir a nenhum fim utilitário. Muitos de nossos 
instintos e emoções evoluíram, para assegurar nossa sobrevivência física, mas a 
emoção despertada por um objeto físico, tal como uma nuvem ou uma flor ou um 
teorema matemático elegante, não tem tal objetivo. A resposta a questão que 
propusemos, “para que serve a beleza?”, parece ser capciosa. E tanto o é que 
ficamos inclinados a duvidar de que ela tenha qualquer finalidade e a desconsiderar 
o assunto perguntando impaciente: “Todas as coisas têm de ter uma razão? Um 
objeto de beleza não é um prazer para sempre, e longe de ser um meio para um fim, 
não é um fim em si mesmo?”. 
(A Divina Proporção – H. E. Huntley) 
 
 
Mas afinal o que é o número? 
O número de ouro ou razão áurea é um número irracional muito particular, seu valor 
é 1,618... simbolizado pela letra grega φ “Fi” , (letra inicial do nome de Fídias); obtido a 
partir da divisão de um segmento de reta AB dividido por um ponto C. 
 
 
 
 
Este ponto C divide o segmento AB em dois sub-segmentos, AC e CB. Esta divisão 
do segmento AB em duas partes fica bem determinada se indicarmos a razão AB/AC entre 
a medida do segmento total e a medida do sub-segmento maior, ou razão AC/CB entre a 
medida do sub-segmento maior e a medida do sub-segmento menor, onde 
 
 
Assim o ponto C é chamado Ponto de Ouro ou Seção Áurea e AB/AC a Razão 
Áurea. 
 
CB
AC
AC
AB
=
A B C 
 
 
 
A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras e ooutro a 
divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma 
medida de ouro; o segundo podemos chamar de jóia preciosa 
Kepler 
 
A HISTÓRIA DO NÚMERO DE OURO 
 
Eudóxio (c. 370 a.C.) foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua 
teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de 
geometria e aplicou o método de análise para estudar a seção que se acredita ser a seção de 
ouro. Quando o comendador Proclus disse a Eudóxio Continuar as pesquisas sobre a sessão 
começadas por Platão, estava se referindo ao que se tornou a segunda razão mais conhecida 
entre os matemáticos (Pi ocupa um incontestável primeiro lugar). A seção áurea, como veio 
a ser conhecida, foi assim estudada pelos gregos antes do tempo de Euclides. Euclides 
descreveu esta sessão em sua Proposição VI, 30: “dividir um segmento de reta em extrema 
e média razão”. 
Euclides, é obvio, não trabalhou com números ou com a álgebra; ele forneceu uma 
construção geométrica que determinava o ponto em que o segmento era cortado na razão 
desejada. Sua Proposição II, 11 resolve um problema equivalente com uma solução mais 
fácil: “dividir um dado segmento de maneira que o retângulo contido pelo segmento e uma 
das partes seja igual ao quadrado da parte restante”. 
O número áureo pode ter sido conhecido mesmo antes da época dos gregos. O 
historiador grego Heródoto relata que os sacerdotes egípcios lhe haviam dito que as 
dimensões da pirâmide de Gize haviam sido escolhidas de maneira que a área de uma 
quadrado cujo lado é a altura da grande pirâmide fosse igual a área da face triangular. Uma 
álgebra bastante simples pode ser usada para mostrar que a razão entre a altura de uma face 
triangular e a metade do comprimento da base Ø. Medições reais da pirâmide parecem dar 
um resultado muito próximo dessa razão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O NÚMERO DE OURO NA ALGEBRA 
 
 
 
O Valor Numérico de FI 
 
Sendo o seguimento AB de comprimento l e os sub-segmentos AC e CB de 
comprimentos a e b respectivamente, temos que C é um ponto tal que l/a assim como a/b é 
a razão áurea ou na terminologia dos matemáticos antigos, AB está dividido por C em “ 
extrema e média razões” ou ainda segundo Kepler na “divina proporção” . 
 
O valor numérico de φ pode ser facilmente calculado se considerarmos AC = x e 
CB = 1 de forma que AC/CB = x = φ 
 
Assim: 
1
1 x
x
x
=
+
 
 
Temos: 
 
012 =−− xx 
 
Logo a solução positiva desta equação é: 
 
61803,1
2
51
=
+
=x
 
 
Que dá o valor de Fi até cinco casas decimais. 
Chamaremos a solução positiva desta equação de φ , e a solução negativa deφ ’. 
 
No entanto se ao invés de CB = 1, tomarmos AC = 1 e CB = x ’. 
 
Então: 
 
'
1
1
1'
x
x
=
+
 
Assim: 
 
01''2 =−+xx 
 
A solução positiva desta equação é: 
 
61803,0
2
15
' =
−
=x 
 
Valor que precedido do sinal negativo, chamamos φ ’. Assim verificar-se-á que φ ’ 
é o recíproco negativo de φ ; isto é φ .φ ’ = -1, pois 
 
'
2
15
51
21
φ
φ
−=
−
=
+
=
 
 
O Fi é o único com esta propriedade; é o único número que, diminuído em uma 
unidade, torna-se o seu próprio recíproco: 
 
01
,
1
1
2 =−−
=−
φφ
φ
φ
 
 
 
Assim, φ e φ ’ são as soluções de .012 =−− xx Tomemos φ como solução 
positiva de ( ) 2/51+ e φ ’ como solução negativa de ( ) 2/51− . Fica evidente, a partir 
daí, assim como também fica a partir das propriedades das raízes da equação quadrática, 
que 
 
1'.
1'
−=
=+
φφ
φφ
 
 
 
 
MÚLTIPLOS DO ÂNGULO ππππ/5 
 
 
 A partir de uma reta dividida na seção áurea, sugerimos um método de construir um 
ângulo de 36º apenas com régua e compasso. 
 Tomemos uma reta AB, dividida por C (C sendo a seção áurea de AB). Com centro 
em C e raio CA, descreva um arco. Com o mesmo raio e centro em B corte o arco em F. 
Una A, B e C a F. 
 
 
 
 Então, ∠ BAF = 36º. Também ∠ CBF = 72º e ∠ ACF = 108º. 
 A prova depende de se demonstrar que FA/FB = CA/CB, de modo que FC é a 
bissetriz de ∠AFB. 
 Fica então facilmente provado que AF = φ .AC. 
 
 
 
FI e Fibonacci 
 
 Consideremos uma seqüência de inteiros formados de acordo com a regra a seguir: 
 
11 +− =+ nnn uuu 
 
 Essa seqüência é: 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... onde 3 ,1 21 == UU e assim por diante. 
 Ela é conhecida como seqüência de Lucas. 
 A partir daí obtemos 
 
 (a) 3570847/5781196/ 3233 =uu 
 
 Tomemos ao acaso qualquer outra seqüência formada de acordo com a mesma 
regra: 
 
... ,45 ,28 ,17 ,11 ,6 ,5 ,1 ,4 ... ,3− 
 
 A partir daí, 
 
 (b) 99501/160996/ 2425 =uu 
 
 A primeira razão (a) é 1,618... mas a segunda (b), que deriva de um par de termos 
iniciais escolhidos ao acaso, também é 1,618... De fato, para todos os valores de n 
suficientemente grandes, qualquer seqüência formada de acordo com a regra dada produz 
os mesmos resultados até a terceira casa decimal: 
 
618,1/1 =+ nn uu 
 
 
 Essa razão aproxima-se cada vez mais da razão áurea á medida que o valor de n 
aumenta, quaisquer que sejam os dois termos iniciais. Portanto, 
 
φ=+
∞→
nn
n
uu /lim 1 
 
 Suponhamos, por exemplo, que tivéssemos escolhido números negativos como os 
dois primeiros termos da seqüência: ,5 ,1 21 −=−= uu etc. Teríamos descoberto que a 
divisão do maior pelo menor nos daria. 
 
618,0500/309/ 1211 =−−=uu 
 
Logo 
φφ /1'/lim 1 ==+
∞→
nn
n
uu 
 
 Este é um bom processo para obter o número Fi, porém numa análise mais 
detalhada observamos que a medida que n aumenta a divisão nn uu /1+ , que converge para 
φ = 1,6180340..., demonstra oscilações sendo alternadamente maiores e menores que Fi. 
 
 No caso da seqüência definida pela lei de formação. 
 
nnn uuu += −+ 11 , onde ,2 ,5 21 == uu 
temos: 
 
5, 2, 7, 9, 16, 25, ..., 280, 453, 733, ..., 13.153, 21.282, ... 
 
 A partir da qual podemos determinar aproximações de Fi , pela divisão do termo 
anterior pelo posterior. 
 
...61803,1153.13/282.21
...6181,1453/733
...6178,1280/453
...7777,19/16
=
=
=
=
 
 
Observamos que 453/280 = 1,6178... <φ , 733/453 = 1,6181... >φ . 
Na ausência de qualquer restrição aos dois termos iniciais da seqüência, podemos 
começar com os mais simples; o que resulta na seqüência de Fibonacci, assim chamada por 
Edward Lucas em 1877: 
 
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 
 
 E do mesmo modo percebe-se que os quocientes da divisão nn uu /1+ oscilam para 
mais e para menos em torno de 1,618..., como mostra o gráfico abaixo. 
 
 
 
 Com um computador IBM 1401, em operação na Califórnia, produziu números da 
seqüência de Fibonacci com 4.000 dígitos de extensão. 
 
Termos da Sequência de Fibonacci Números de Dígitos 
476u 100 
954u 200 
1433.u 300 
911.1u 400 
003.11u 2.300 
004.11u 2.300 
137.19u 4.000 
 
 
 Determinou-se o valor de Fi com 4.600 dígitos a partir da razão 003.11004,11 /uu , cada 
número com 2.300 dígitos, reproduzidos por completo no periódico, o computador realizou 
este cálculo gigantesco em 20 minutos, e depois o conferiu através da inversão da fração. 
 Os dígitos de nn uu /1+ são idênticos em todas as casas aos de 1/ +nn uu , exceto 
pelo fato de que os da primeira começam por 1,6180... e os da segunda por 0,6180... 
Verificou-se que as duas razões coincidem até 4.598 casas decimais. 
 
 
A SÉRIE ÁUREA 
 Não seria difícil formar uma seqüência segundo a lei de formação 
nnn uuu += −+ 11 . Nem tampouco seria difícil formar uma seqüência geométrica, 
seqüência na qual a razão de qualquer termopara anterior seja uma constante; “ nn uu /1+ = 
constante para qualquer valor de n”. Agora supondo que fosse pedido para formar uma 
seqüência que possua ambas as propriedades simultaneamente. Não é tão fácil! 
 Entretanto, há uma seqüência assim, e somente uma, trata-se da seqüência áurea. 
 
1, φ , 1+φ , 1+2φ , 2+3φ , 3+5φ , 5+8φ , ... 
 
Fica claro que ela possui a propriedade somatória e que possui a segunda 
propriedade, que verifica-se a partir do fato de que o φ é uma solução da equação 
012 =−− xx , de modo que 1+φ =φ 2. Deduz-se facilmente daí que a seqüência áurea 
também pode ser escrita assim: 
 
1, φ , φ 2, φ 3, φ 4, ... 
 
 Cada termo da seqüência é positivo. Mas, uma vez que φ ’ também é uma solução 
da equação 012 =−− xx , de modo que 1+φ ’=φ ’2, há uma seqüência negativa 
correspondente que possui as mesmas propriedades. É uma seqüência oscilante, cujos 
termos são alternamente positivos e negativos: 
 
1, φ ’, 1+φ ’, 1+2φ ’, 2+3φ ’, 3+5φ ’, 5+8φ ’, ... 
 
 Como φ ’2=φ ’+1, ela pode ser escrita assim: 
 
1, φ ’1, φ ’2, φ ’3, φ ’4, φ ’5, φ ’6, ... 
 
 A ligação entre a divisão áurea e a série de Fibonacci pode ser vista de um novo 
ângulo considerando o termo geral da seqüência. Trata-se da fórmula de Binet: 
 
( ),...2,1,0 
2
51
5
1
2
51
5
1
=






 −
−






 +
= nu
nn
n 
 
 Não são necessários muitos cálculos demorados para demonstrar que esta fórmula 
produz os primeiros termos inteiros da seqüência 
 
,...2 ,1 ,1 ,0 3210 ==== uuuu 
 
 Com valores elevados para n, o segundo termo da fórmula de Binet pode ser 
negligenciado. Por exemplo, quando o n não é maior que 5, a fórmula resulta (até a quarta 
casa decimal) em: 
 
u5 = 5,0403(2) - 0,0403(2) 
 
 Demonstrou-se que a razão áurea é 
 
φ=+
∞→
nn
n
uu /lim 1 
 
 Portanto, φ é aproximadamente igual a 
 
nn







 +







 +
+
2
51
5
1
2
51
5
1
1
 
 
 Assim, φ = ( ) 2/51+ , no limite. 
 
 Quão exata é a aproximação, mesmo para termos iniciais, como u12 e u13 pode-se 
ver pelos valores a seguir, calculados a partir da fórmula: 
 
u12 = 144,0014 (número de Fibonacci, 144) 
u13 = 232,9991 (número de Fibonacci, 233) 
 
 A fórmula de Binet para os termos distintos da série de Fibonacci pode ser 
considerada uma função contínua quando o n é grande. Ela pode ser escrita: 
 
x
x
Xy )6180,1(4472,0
2
51
5
1
=






 +
= 
 
 Para todos os fins práticos, os números de Fibonacci acham-se, nesta curva em seus 
limites mais altos. 
 
 
As Frações Contínuas 
 
 Aqui encontramos uma das mais interessantes manifestações da razão áurea, notável 
por sua íntima associação com o “número áureo”, mais formalmente chamados seqüência 
de Fibonacci. 
 Uma fração pode ser representada como fração contínua finita (naturalmente, os 
números irracionais e os transcendentais tornam-se frações contínuas infinitas). 
 Para transformar a fração imprópria 236/139 em fração contínua, começamos por 
representá-la como 1+97/139, que pode ser representada como 
 
97
139
1
1+ 
 
 Dividimos então 97 por 139 e o resto pelo divisor e continuamos o processo até que 
o resto seja zero. 
 
 A fração contínua pedida deriva-se dos divisores sucessivos: 
 
3
1
4
1
3
1
2
1
1
1
1
139
97
1
139
236
+
+
+
+
+=+=
 
 
 Que é convencionalmente representado assim: 
 
3
1
4
1
3
1
2
1
1
1
1
139
236
++++
+= 
 
 Se ignorarmos os três últimos divisores e considerarmos somente a fração 1/(1+1/2), 
obtemos 2/3 como primeira aproximação de 97/139 é chamada primeira convergente. 
 A segunda convergente é 
 
3
1
2
1
1
1
+
+ 
 
que é 7/10, uma aproximação maior: as convergentes seguintes são 
 
1, 2/3, 7/10, 30/43, 97/139 
 
 As convergentes oscilam em torno do valor terminal. As convergentes de números 
ímpares (1, 7/10) são maiores e as de números pares (2/3, 30/43) são menores que a fração 
terminal 97/139. 
 Um método simples de calcular as sucessivas convergentes emprega os divisores da 
soma das divisões originais. Ilustramos com o exemplo dado acima . 
 Para obter o numerador da quarta convergente (7) pelo quarto divisor da soma de 
divisões (4) e somamos o numerador da segunda convergente (2): 7 x 4 + 2 = 30. Obtém-se 
o denominador por processo similar. 
 Uma importante propriedade das convergentes, útil na verificação da exatidão de 
seus cálculos, pode ser representada assim: 
 
n
nnnn qpqp )1(11 −=− −− 
 
As Convergentes e a Seqüência de Fibonacci 
 
Examinaremos agora a mais simples de todas as frações contínuas infinitas 
 
...1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
 
 
Que é porém mais convenientemente representada assim: 
 
...
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+++++
+ 
 
 Formando as convergentes sucessivas, obtemos 
 
... ,
89
144
 ,
55
89
 ,
34
55
 ,
21
34
 ,
13
21
 ,
8
13
 ,
5
8
 ,
3
5
 ,
2
3
 ,
1
2
 ,1 
 
 Em que tanto os numeradores como os denominadores constituem a série de 
Fibonacci! As convergentes sucessivas oscilam em torno de um valor para o qual a série 
tende como limite, sendo este limite a razão áurea, Fi. 
 
... 
 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+++++
+ = φ 
 
 Este resultado notável coloca a seqüência de Fibonacci e a divisão áurea na mais 
íntima associação possível. 
 
 
O NÚMERO DE OURO NA GEOMETRIA 
 
Como dividir um Segmento na Seção Áurea 
 
Tomemos AB como o segmento dado. Traçamos BD = AB/2 perpendicular a AB, 
traçamos AD, com centro em D e raio DB traçamos um arco cortando DA em E. Com 
centro em A raio AE, traçamos um arco cortando AB em C. 
 
 
 
Então, C é a seção áurea de AB. 
 
 
 
 
CONSTRUÇÕES COM O NÚMERO DE OURO 
 
Com base na divisão do segmento AB visto acima, os Gregos construíram o 
chamado Retângulo de Ouro. Este é um retângulo cuja razão entre o comprimento dos 
lados maior e menor corresponde a φ ou ainda quando um dos lados tem comprimento φ 
e o outro tem comprimento 1. 
Podemos visualizar as construções: do retângulo de ouro, de uma seção de ouro e de 
um triângulo de ouro, bem como da espiral de ouro (com base nas demais construções). 
 
 
Construção do Retângulo de Ouro (medidas 1 e ∅∅∅∅) 
 
 
 
Construa um quadrado de lado 1 unidade. 
 
Desenhe um segmento que una os pontos médios da base e do 
lado oposto à base do quadrado. 
 
 
 
Desenhe um segmento que una o ponto médio da base ao 
vértice oposto. Prolongue o segmento da base do quadrado. 
 
 
Usando a diagonal traçada como raio, desenhe um arco desde 
o canto do quadrado até ao segmento da base. 
 
 
Desenhe um segmento a partir do ponto de interseção entre o 
arco traçado e o segmento da base, perpendicular a este. Prolongue o 
lado do topo do quadrado até tocar neste segmento, formando um 
retângulo. O retângulo obtido é o Retângulo de Ouro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um outro modo de construir um retângulo áureo é através de um quadrado ABCD 
qualquer, sendo E o ponto médio do lado AB, com um compasso com centro em E e raio 
EC, Trace um arco que intercepte AB prolongado em F, trace um seguimento FG 
perpendicular a AF de modo que intercepte DC prolongado em G, assim AFGD é então o 
retângulo áureo. 
 
 
 
 A prova é igualmente simples. Tomemos AB = 2 unidades de comprimento. Então 
EC = EF= 5 unidades. AF/FG = (AE + EF)/FG = (1 + 5 )/2 =φ . 
 AF está dividido por B na seção áurea. O ponto B é às vezes chamado de “ corte 
áureo”. Ele estáassociado à idéia da “ média proporcional”: AB é a média proporcional de 
AF e BF: 
 
BFAF
AB
AF
BF
AB
.AB assim , 2 == 
 
Construção da Espiral de Ouro 
 
 
A Espiral de Ouro é baseada no padrão de quadrados que 
pode ser construído no interior de um Retângulo de Ouro. 
Para iniciar a construção do primeiro quadrado, desenhe um 
arco a partir de um dos cantos inferiores (ou superiores) do 
retângulo, até interceptar o lado adjacente. Depois desenhe um segmento perpendicular ao 
lado que está a ser intersectado, a partir do ponto de interseção até ao lado oposto. 
 
 
Repita o processo para formar o próximo quadrado… 
 
 
 
 
… e continue a repetir o processo. 
 
 
 
Ao desenhar os arcos descritos anteriormente na construção 
dos quadrados, se pode construir a curva logarítmica conhecida 
como Espiral de Ouro. 
 
 
 
 
 
 
Construção do Triângulo de Ouro 
 
 
 
 O Triângulo de Ouro é um triângulo isósceles com dois ângulos de 
72º e 
 um ângulo de 36º. 
Neste triângulo, se a base tem comprimento ∅, então os lados terão 
comprimento ∅ + 1. de 
 
Traçando a Bissetriz de um dos ângulos maiores, obtém-se a Seção 
de Ouro. 
 
 
 
Traçando a Bissetriz do ângulo maior da base do triângulo isósceles 
começa a obter a estrutura para construir uma Espiral de ouro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
continua a traçar a bissetriz dos ângulos... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e volta a traçar a bissetriz... 
 
 
 
 
 
 
 
Traça ainda mais uma vez a bissetriz... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, traçando arcos que unam os vértices dos ângulos obtusos dos 
triângulos isósceles construídos obtém-se a Espiral de Ouro. 
 
 
 
 
PITÁGORAS E O NÚMERO DE OURO 
 
 
 
Os Pitagóricos usaram também a seção de ouro na construção da estrela pentagonal. 
Estes não conseguiram exprimir a razão existente entre o lado do pentágono regular 
estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência como 
quociente entre dois números inteiros. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito 
espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam 
que lhe chamaram irracional. Este número era o número áureo ou seção de ouro. 
Posteriormente, os gregos consideraram que o retângulo cujos lados apresentavam esta 
relação apresentava uma especial harmonia estética que lhe chamaram retângulo áureo ou 
retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O número de polígonos regulares que se pode construir em espaço bidimensional é 
ilimitado. O número de poliedros convexos regulares, em espaço de 3 dimensões, é cinco. 
Os pitagóricos, que se interessavam por tais assuntos, consideravam o dodecaedro 
digno de respeito especial. Estendendo os lados de uma de suas faces pentagonais até 
formar uma estrela, eles chegavam ao Pentagrama ou Triângulo Triplo que utilizavam 
como símbolo e emblema da sociedade de Pitágoras. Por essa insígnia, reconheciam o 
membro associado. 
 
Ele é uma rica fonte de razões áureas. As 12 propriedades a seguir podem ser 
facilmente verificadas tomando-se R e r como os raios da circunferências dos pentágonos 
A'B'C'D'E' e PQRST, respectivamente, e PQ com comprimento igual à unidade. 
 
 
 
I. A'P = φ 
II. AO/r = φ /2 
III. AO'/r =
2φ 
IV. AO'/AO = 2φ 
V. Uma diagonal tal como a QS tem comprimento igual a φ . 
VI. Se X é o ponto de interseção de duas diagonais, PR e QS, então 
 
φφφ ===
XT
XB
XR
PX
XQ
SX '
 e , 
 
VII. Se SQ prolongado encontra A'B' em V, então, uma vez que VQS é paralelo à A'D', 
 
φ====
'
'''
'
'
SD
SB
XT
XB
QP
QB
VA
VB
 
 
VIII. Os comprimentos dos seis segmentos, B’D’, B’S, B’R, RS, RX e XZ, estão em 
progressão geométrica. 
2−
1−
2
=
=
=
=
=
=
φ
φ
φ
φ
φ
XZ
RX
RS
RB
SB
DB
1
'
'
'' 3
 
 
 
 A seqüência é ainda uma seqüência somatória: a soma de dois elementos 
consecutivos é igual ao elemento seguinte; por exemplo, φ + 2φ = 3φ . 
 
IX. O comprimento de um lado do Pentágono A'B'C'D'E' é 
2φ . 
 
X. R/r =
2φ . 
 
Dobrando-se o triângulo A'PQ na linha PQ e dando-se tratamento similar aos outros 
triângulos correspondentes de modo que A', B', C', D' e E' encontrem-se em H, obtém-se 
uma pirâmide de altura OH. 
 
 
 
 
 
 
XI. OH/AO = 2 
XII. OH/r =φ 
 
 
 
 
 
 
 
O NÚMERO DE OURO NA ANTIGUIDADE 
 
 
Os Egípcios e o Número de Ouro 
 
 
 
 
Os Egípcios consideravam o número de ouro sagrado, tendo uma importância extrema na 
sua religião, e o chamavam não de número de ouro, mas sim de "número sagrado". Utilizavam 
para na construção de templos e sepulcros para os mortos, pois consideravam que caso isto não 
acontecesse, o templo poderia não agradar os Deuses ou a alma do falecido não conseguiria 
chegar ao Além. Além disso, os Egípcios consideravam o muito agradável esteticamente, usando-
o também no seu sistema de escrita e na decoração dos seus templos. 
O Papiro de Ahmes mostra-nos os planos para a construção da Grande Pirâmide de Gizé (4700 
a.C.), com proporções de acordo com o "número sagrado". Medidas recentes desta pirâmide 
mostram que os lados da pirâmide parecem ser triângulos de ouro. 
 
 
 
A ARTE EGÍPCIA 
 
 
Durante a maior parte da história do Egito, as proporções da figura humana foram 
relacionadas com a largura da palma da mão, e baseavam-se no "número sagrado". 
Desenhos como o representado abaixo podem ser encontrados por todo o Egito. 
 
 
Os Egípcios usavam medidas estabelecidas pelas proporções do corpo humano devido ao 
fato de estas serem proporcionais, de acordo com a razão de ouro (1,618...), tornando as suas 
obras esteticamente mais agradáveis. Estas idéias foram utilizadas pelos construtores e artesãos, 
para estabelecer as malhas quadrangulares que usavam para as proporcionalidade do seu trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OS HIERÓGLIFOS 
 
Muitos hieróglifos têm proporções baseadas no número de ouro. Os Egípcios utilizavam o 
número de ouro para que fosse mais fácil que todos conseguissem escrever de acordo com as 
mesmas proporções. 
 
 
Na figura acima, a letra "h" é, de fato, uma espiral de ouro. Outros símbolos, como o "p" e 
"sh" são retângulos de ouro. O uso das mãos e dos pés nos hieróglifos mostra que os Egípcios 
tinham conhecimento que o corpo humano está relacionado de diversas formas com o número de 
ouro. 
O escaravelho é também um símbolo de extrema importância no Egito, e pode ser 
emoldurado pelo retângulo de ouro. 
 
O Olho de Rá, que representa o deus Rá, o mais importante dos deuses egípcios, é um dos 
mais importantes símbolos dos antigos Egípcios. Pode ser encontrado com bastante freqüência 
nos sarcófagos, para que os mortos possam ver no Outro Mundo. Tal como o escaravelho, pode 
também ser emoldurado pelo retângulo de ouro. 
 
 
 
 
OS TEMPLOS 
 
 
O Templo de Dendara foi conhecido como a morada de Hathor, a deusa do amor, 
felicidade e beleza. As arcadas são proporcionais ao retângulo de ouro, e no interior do templo 
existe uma escadaria em espiral, com uma forma muito semelhante à da espiral de ouro. 
 
 
Templo de Dendara 
 
 
 
 
 
 
 
Em egípcio antigo, ‘Philae’ significa ‘o fim’, e definia a fronteira sul do Egito. Este 
templo era dedicado à deusa Isis, esposa de Osiris e mãe de Horus. 
Na fachada do templo são visíveis os vários retângulos de ouro, e existem inúmeras 
arcadas criadas por centenas de pilares, todos eles proporcionais ao retângulode ouro. 
 
 
 
 
Templo de Philae 
 
 
 
OS GREGOS E O NÚMERO DE OURO 
 
 
Construído entre 447 e 433 a.C., o Parthenon de Atenas, templo representativo do século 
de Péricles, contém a razão de Ouro no retângulo que contêm a fachada, o que revela a 
preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARTE E O NÚMERO DE OURO 
 
É afirmado que o Retângulo de Ouro é uma das formas geométricas mais satisfatórias 
visualmente. Vários peritos têm encontrado exemplos do retângulo de ouro em fachadas de 
construções da Grécia Antiga, em obras-primas da escultura e da pintura. 
Leonardo de Vinci e Piet Mondrian pensavam ambos que a Arte deve manifestar beleza e 
movimento. Assim, ambos expressavam movimento introduzindo retângulos de ouro nas suas 
obras, pois o fato destes puderam definir espirais que curvam até ao infinito dão uma sensação de 
movimento. Ao introduzir a seção de ouro nas suas pinturas, permitiam que estas se tornassem 
mais agradáveis à vista. 
 
Leonardo da Vinci 
 
É possível observar a simetria na face deste esboço de um homem idoso de Leonardo da 
Vinci. Este desenhou nesta face um quadrado, que por sua vez foi subdividido em vários 
retângulos, alguns dos quais com dimensões muito próximas das do retângulo de ouro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mona Lisa 
 
 
Desenha um quadrilátero que englobe o rosto da Mona Lisa. O quadrilátero resultante é 
exatamente o retângulo de ouro. É fácil observar que as três principais áreas da pintura (o rosto, 
do pescoço à zona mesmo acima das mãos, do decote do vestido até à zona imediatamente abaixo 
das mãos) podem definir também retângulos de ouro. 
As dimensões do quadro em si também coincidem com as dimensões do retângulo de 
ouro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da Vinci estudou intensivamente as proporções do corpo humano. No esboço ao lado é 
possível confirmar a aplicação da seção de ouro neste trabalho de Da Vinci. 
Nesta obra de Leonardo da Vinci, se dividirmos a distância dos pés até ao umbigo do 
homem pela distância do umbigo até ao topo da cabeça, obtemos aproximadamente o valor 0.618, 
que corresponde a ∅ - 1. 
 
 
 
 
 
 
 
"Squares? I see no squares in my pictures." -Piet Mondrian 
Piet Mondrian 
Piet Mondrian utilizou linhas pretas horizontais e verticais para delimitar blocos de puro 
branco, vermelho, azul ou amarelo, exprimindo a sua concepção da harmonia e do equilíbrio 
plenos. 
 
Composição em Vermelho, Amarelo e Azul 
 
Esta obra foi concebida em 1942, encontrando-se agora em Londres. Pretende mostrar o 
equilíbrio existente entre a Natureza e as construções humanas. Pode-se verificar a existência de 
alguns retângulos de ouro na pintura. 
 
 
 
A Cidade de New York 
Esta obra foi inspirada pela visita que Mondrian efetuou a Nova Iorque. Apesar de as 
formas geométricas já serem menos rígidas e mais complexas, ainda é possível encontrar na 
pintura alguns retângulos de ouro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A BIOLOGIA E O NÚMERO DE OURO 
 
Girassóis e Pinhas 
 
 
A espiral de ouro pode ser encontrada nas pinhas e nos girassóis. 
Pode ver que as sementes nas pinhas parecem formar 
espirais que curvam para a direita e para a esquerda. Se contar 
as espirais que curvam para a direita verificará que há 34, e 
pode também verificar que existem 55 espirais que curvam para 
a esquerda. Estes dois valores são dois dos termos consecutivos 
da sucessão de Fibonacci. 
Tendo as sementes dispostas desta maneira, formando as 
espirais, permite que as sementes se encontrem distribuídas 
uniformemente, não se encontrando concentradas demais no 
centro e dispersas demais nos bordos, tendo todas as sementes o 
mesmo tamanho. 
Este padrão não é perfeito na maioria dos girassóis, mas se conseguir encontrar um bom 
espécime verifica que as suas sementes formam espirais curvando para a esquerda e para a 
direita, de forma a estar todas eqüidistantes. Afirma-se que esta disposição permite melhorar a 
eficiência dos girassóis na captação de água, de luz. Além disso, as pétalas dos girassóis 
encontram-se em pares de 21 e 34 pétalas, ou 34 e 55, ou 55 e 89 também números de Fibonacci. 
 
 
Se contar as espirais existentes, começando no centro e 
partindo em ambas as direções, verificas que os números de 
espirais existentes serão ambos números de Fibonacci. 
 
 
 
 
 
 
As conchas marinhas e o embrião humano 
 
As conchas marinhas (Nautilus) 
 
O primeiro diagrama mostra uma concha marinha. O segundo diagrama mostra que é 
possível desenhar uma espiral ao longo da concha, que é exatamente a espiral de ouro. Isto 
acontece devido ao fato do crescimento da concha ser proporcional ao crescimento do organismo 
que contém. 
 
 
O embrião humano 
 
Conforme se vai desenvolvendo o embrião humano, é possível observar neste crescimento 
um padrão semelhante ao que permite traçar a espiral de ouro, à medida que se afasta cada vez 
mais do centro. Neste caso, o padrão ocorre no desenvolvimento do embrião humano devido ao 
fato de o crescimento do organismo ser proporcional ao tamanho do organismo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VOCÊ SABIA? 
 
• Em 1509 Luca Pacioli escreveu um tarado Da divina proporção, ilustrado por da 
Vinci, que trata dessa razão. Leonardo refere-se a sessão áurea, ao passo que Kepler 
refere-se a ela como sessão divina. 
 
• Em 1509, Luca Pacioli apelida o número de ouro de “Divina Proporção”. 
 
• Stradivarius utilizava este número para construir os seus famosos violinos. 
 
• Muitas construções atuais como o edifício da Nações unidas em Nova Iorque, 
também está ligado ao número de ouro. 
 
• Os quadros pintados a partir da idade média, quase todos eles, têm a relação áurea. 
 
• Todas as partes do corpo humano guardam entre si a relação áurea. Assim, o 
comprimento do braço e do antebraço, estão nesta relação; a altura de uma pessoa e 
altura que se encontra o coração também guardam a relação áurea. 
 
• Aparelhos de TV e monitores de computador têm aproximadamente a relação áurea 
entre altura e largura da tela. 
 
• Os cartões de créditos também que suas medidas aproximadamente nas proporções 
do número de ouro. 
 
• O campo de visão dos dois olhos do ser humano, independente da distância dos 
olhos até o objeto observado é um retângulo na relação áurea. 
 
• A distancia do queixo até a raiz do cabelo dividida pela a distancia da sobracelas 
até o queixo o resultado desta proporção será o número de ouro. 
 
• Quanto mais perfeita as medidas do corpo humano mais aproximada do numero de 
ouro será. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor aproximado de Fi 
φ =1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052
604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800
607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752087668925017116962
070322210432162695486262963136144381497587012203408058879544547492461856953648
644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607499887
124007652170575179788341662562494075890697040002812104276217711177780531531714
101170466659914669798731761356006708748071013179523689427521948435305678300228
785699782977834784587822891109762500302696156170025046433824377648610283831268
330372429267526311653392473167111211588186385133162038400522216579128667529465
490681131715993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981629055
520852479035240602017279974717534277759277862561943208275051312181562855122248
093947123414517022373580577278616008688382952304592647878017889921990270776903
895321968198615143780314997411069260886742962267575605231727775203536139362107673893764556060605921658946675955190040055590895022953094231248235521221241544
400647034056573479766397239494994658457887303962309037503399385621024236902513
868041457799569812244574717803417312645322041639723213404444948730231541767689
375210306873788034417009395440962795589867872320951242689355730970450959568440
175551988192180206405290551893494759260073485228210108819464454422231889131929
468962200230144377026992300780308526118075451928877050210968424936271359251876
077788466583615023891349333312231053392321362431926372891067050339928226526355
620902979864247275977256550861548754357482647181414512700060238901620777322449
943530889990950168032811219432048196438767586331479857191139781539780747615077
221175082694586393204565209896985556781410696837288405874610337810544439094368
358358138113116899385557697548414914453415091295407005019477548616307542264172
939468036731980586183391832859913039607201445595044977921207612478564591616083
705949878600697018940988640076443617093341727091914336501371576601148038143062
623805143211734815100559013456101180079050638142152709308588092875703450507808
145458819906336129827981411745339273120809289727922213298064294687824274874017
450554067787570832373109759151177629784432847479081765180977872684161176325038
612112914368343767023503711163307258698832587103363222381098090121101989917684
149175123313401527338438372345009347860497929459915822012581045982309255287212
413704361491020547185549611808764265765110605458814756044317847985845397312863
016254487611485202170644041116607669505977578325703951108782308271064789390211
156910392768384538633332156582965977310343603232254574363720412440640888267375
843395367959312322134373209957498894699565647360072959998391288103197426312517
971414320123112795518947781726914158911779919564812558001845506563295285985910
009086218029775637892599916499464281930222935523466747593269516542140210913630
181947227078901220872873617073486499981562554728113734798716569527489008144384
053274837813782466917444229634914708157007352545707089772675469343822619546861
5331209533... 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
A Divina Proporção, H. E. Huntley 
WWW.educ.fc.ul.pt/semtem/semtem99/sem25