RAZÃO ÁUREA - CRISTIANO GONÇALVES

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
Instituto de Ciências Exatas 
Departamento de Matemática 
Programa de Pós-Graduação em Matemática para Professores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O O O O NÚMERO DE OURO:NÚMERO DE OURO:NÚMERO DE OURO:NÚMERO DE OURO: 
Representação da beleza matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cristiano Gonçalves Augusto 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2009 
 
 
Cristiano Gonçalves Augusto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O O O O NÚMERO DE OURO:NÚMERO DE OURO:NÚMERO DE OURO:NÚMERO DE OURO: 
Representação da beleza matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Monografia apresentada ao Departamento 
 de Ciências Exatas da Universidade Federal 
 de Minas Gerais como requisito para 
 obtenção do Grau de Especialista em 
 Matemática do Ensino Básico. 
 
 Orientador: Paulo Antônio Fonseca Machado 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2009 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
Instituto de Ciências Exatas 
Departamento de Matemática 
Programa de Pós-Graduação em Matemática para Professores 
 
 
 
 
Monografia intitulada “O Número de Ouro: representação da beleza matemática”, de 
autoria do pós-graduando Cristiano Gonçalves Augusto, aprovada pela banca examinadora 
constituída pelos seguintes professores: 
 
 
 
Prof. Dr. Paulo Antônio Fonseca Machado – Orientador 
 
 
 
 
Prof. Dr. Alberto Berly Sarmiento Vera 
 
 
 
 
Prof. Me. Jorge Sabatucci 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Alberto Berly Sarmiento Vera 
 
Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Matemática para Professores: UFMG 
 
 
 
Belo Horizonte, 26 de março de 2009. 
 
Av. Antônio Carlos, 6627 – Belo Horizonte, Mg – 31270-901 – Brasil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho a minha família, 
presença constante na minha caminhada. 
 
 
 
 
Agradecimentos 
 
Agradeço a Deus, pela vida, pela saúde e, em especial, pela inspiração no decorrer deste 
trabalho. 
 
Agradeço, carinhosamente, aos meus pais, Conceição Gonçalves Augusta e Ramiro Sérvulo 
Augusto, pelo amor incondicional, pela dedicação, pelos ensinamentos e pelo apoio em todos 
os momentos de minha vida. 
 
Agradeço ao meu orientador, Paulo Antônio Fonseca Machado, por ter me apoiado e 
acreditado que este trabalho era pertinente e possível de se realizar. Obrigado pela paciência, 
pelos “puxões de orelha” nas horas de maior desespero, pelas anotações de grande valia. 
Tenho certeza de que não poderia ter percorrido este caminho em melhor companhia. 
 
 
 
Agradeço, igualmente, a todos os meus amigos, por entenderem meu súbito desaparecimento 
e, em algumas vezes, meu stresse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A matemática, quando a compreendemos 
bem, possui não somente a verdade, 
mas também suprema beleza – uma beleza 
fria e austera, como a da escultura. 
 
Bertrand Russel 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 razão áurea é uma intrigante mistura da relação comparativa de tamanho ou 
quantidade e da igualdade descrita matematicamente. Percebemos, no entanto, que 
embora presente em vários lugares, a razão áurea é um assunto pouco difundido. 
Mostrar sua importância matemática, defini-la e contribuir para sua divulgação é o objetivo 
proposto neste trabalho. 
 
Palavras-chave: Razão áurea; seqüência áurea, espiral. 
 
 
Abstract 
 
 The Golden Ratio is na instigating mixture of the comparative relation about size or 
qunatity and of equality mathematically described. Despite of ist has ben present in many 
places even so it is not a very well spread out subject. The main aim of this work is showing 
its mathematical importance; defining it, and contributing for its spreading. 
 
Key – words: Golden Ratio, golden section, spiral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
 
Figura 1 – Divisão de um segmento na razão áurea........................................................11 
 
Figura 2 – Pentagrama.....................................................................................................13 
 
Figura 3 – Prolongamento do segmento segundo a razão áurea......................................22 
 
Figura 4 – Construção da razão áurea em um segmento dado........................................28 
 
Figura 5 – Construção de um triângulo áureo.................................................................29 
 
Figura 6 – Construção de um pentágono regular dado o seu lado...................................31 
 
Figura 7 – Construção de um Pentágono Regular inscrito em uma circunferência dado 
raio..................................................................................................................................32 
 
Figura 8 – Construção de um pentágono regular, dada uma diagonal............................33 
 
Figura 9 – Sofisma Geométrico.......................................................................................41 
 
Figura 10 – Solução do Sofisma Geométrico..................................................................46 
 
Figura 11 – Retângulo Áureo..........................................................................................48 
 
Figura 12 – Espiral Retangular........................................................................................55 
 
Figura 13 – Espiral Logarítmica......................................................................................63 
 
Figura 14 – Construção aproximada espiral logarítmica, dado o retângulo áureo..........64 
 
Figura 15 – Espiral Áurea Triangular..............................................................................65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 10 
 
1- Conceitos Básicos ................................................................................................................. 11 
 
2- Razão Áurea ......................................................................................................................... 21 
 
3- Construções .......................................................................................................................... 27 
 
4 - Razão Áurea e Aplicações ................................................................................................... 34 
 4.1 - Leonardo Fibonacci .................................................................................................... 34 
 
5 - Retângulo Áureo .................................................................................................................. 48 
 
6 - A espiral retangular ............................................................................................................. 55 
 
7 - A Espiral Logarítmica ......................................................................................................... 63 
 
8 - Onde podemos encontrar a Razão Áurea? ........................................................................... 66 
 
10 - Considerações finais ......................................................................................................... 67 
 
11 - Referências ........................................................................................................................ 6810
 
Introdução 
 
 
 Neste trabalho, nos propomos mostrar um pouco sobre as propriedades geométricas e 
algébricas da razão áurea. Um dos motivos da escolha, além de ser um assunto bastante 
atrativo, é o fato de ser algo pouco conhecido e, embora poucos saibam, bastante utilizado. 
 A fim de fazer com que a razão áurea seja entendida, seguiremos os seguintes passos: 
num primeiro momento, apresentaremos o conceito de razão áurea, partindo de alguns 
conceitos básicos da geometria euclidiana plana. Sem tais conceitos torna-se pouco provável a 
compreensão do assunto. Em seguida, contaremos um pouco da história dessa razão, 
apresentando, ainda, algumas de suas propriedades algébricas e geométricas, sendo estas, 
dentro da geometria euclidiana plana. Objetivando uma análise mais profunda, ressaltaremos 
as aplicações da razão áurea, bem como a sua relação com a Seqüência de Fibonacci 
(explicitada no cap. 4). Uma outra abordagem interessante volta-se para a análise do retângulo 
áureo e da espiral retangular - ambas construídas em função da razão áurea. Além disso, vale 
fazer uma abordagem sobre o estudo das espirais, que possuem certa aproximação com a 
razão áurea e se faz notável pelas diversas formas como aparece na natureza. E por último, 
falaremos um pouco mais sobre a razão áurea, principalmente sobre os vários lugares nos 
quais ela pode ser encontrada como: pintura, música, escultura, construções, natureza – fauna 
e flora – e outros. 
 O nosso objetivo, no decorrer de todo o trabalho é reforçar a importância matemática e 
a beleza da razão áurea em situações diversas. 
 Se nos propuséssemos a falar sobre a razão áurea, baseando-nos apenas no nosso 
conhecimento de mundo, tal assunto pareceria vago, impreciso. Tampouco faria sentido para 
aqueles que apenas se simpatizam com a matemática. No entanto, para os amantes e 
conhecedores da matemática, a razão áurea é algo singular, merecedora de um estudo bem 
aprofundado. E, para uma análise mais precisa, elegemos como aparato teórico Huntley[2] 
(1985), Lívio [3] (2007) e Wagner [4] (2007), em cujas idéias nos amparamos para clarear e 
reforçar nossas proposições. 
 
 
 
 
 
 11
 
Capítulo 1 
1- Conceitos Básicos 
 
 É possível apreciar a beleza que existe na matemática ou no mundo físico observando 
apenas uma proporção que é capaz de gerar um número surpreendente? Muitos matemáticos, 
filósofos, artistas e outros diriam que sim. 
 Há um número ou uma proporção que desperta a curiosidade, somente observando-se 
os seus vários nomes desde o seu descobrimento como: número áureo, razão áurea, seção 
áurea, número de ouro representado pela letra grega (Ф), proporção divina. Embora seja a 
razão áurea o foco deste trabalho, haverá outras definições a fim de proporcionar melhores 
esclarecimentos sobre o tema. 
 
Notação 1.1. Em todo o trabalho, um segmento de reta de extremidades A e B será denotado 
por AB e quando congruente a outro segmento denotaremos por AB CD≡ . Também 
representaremos a medida de um segmento em certa unidade, por AB. E o ângulo ABC de 
vértice B por ABC∠ . 
 Segue a definição de razão áurea. 
Definição 1.2. Dizemos que um segmento AB está dividido pela razão áurea, quando 
tomamos sobre ele um ponto C de tal forma que, AB está para AC assim como AC está para 
CB, ou seja, 
.
AB AC
AC CB
= 
 
 
FIGURA 1 
 
 
Para Huntley [2] (1985, p. 41-42) é quase certo que boa parte do trabalho que levou à 
definição e à compreensão da razão áurea foi realizada durante os anos que antecederam a 
abertura da Academia de Platão1 e durante o período de funcionamento dessa Academia. 
 
1 Também chamada Academia Antiga. Fundada por Platão, aproximadamente em 387 a.c, é considerada a 
primeira escola de filosofia. 
 12
 
 Platão, um dos primeiros teóricos autênticos, relacionou os sólidos regulares aos 
elementos básicos (terra, água, ar e fogo) e ao universo como um todo. Os sólidos platônicos 
são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro. 
 A figura-chave que estava por trás dos teoremas geométricos referentes à razão áurea 
era, provavelmente, Theaetetus2 que, segundo a coleção binzantina Suidas, foi o primeiro a 
construir os cinco chamados sólidos platônicos. 
 Ainda segundo o autor, os pitagóricos que se interessavam por tais assuntos 
consideravam o dodecaedro digno de respeito especial, pois esse poliedro possui faces 
pentagonais, que estão intimamente ligadas à razão áurea. Por esse fato, determinaremos 
alguns conceitos básicos do pentágono regular. Partiremos da definição: 
 
Definição 1.3. Um polígono convexo é regular se, e somente se, tiver todos os seus lados 
congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes. 
 
 Sendo assim, temos abaixo a definição de pentágono regular. 
 
Definição 1.4. O pentágono regular é um polígono regular convexo de cinco lados. 
 
 Considere o pentágono regular A, B, C, D, E (FIG. 1). Denotemos seus ângulos 
internos por ∠EDC, ∠DCB, ∠CBA e ∠BAE. Temos então: 
 
Proposição 1.5. Todo pentágono regular é inscritível em uma circunferência. 
 
Demonstração. Pelos pontos A, B e C tracemos a circunferência w de centro O. Provemos 
que a circunferência passa pelos pontos D e E do polígono, demonstrando então essa 
proposição. 
 
 
2 Matemático grego (417 – 369 a.c). Uma das suas principais contribuições foi provar que há, precisamente, 
cinco poliedros convexos. 
 13
 
 
FIGURA 2 
 
Comecemos provando que o ponto D pertence à circunferência w . Consideremos os 
triângulos OCD e OBA. Temos que esses triângulos são congruentes pelo caso LAL, pois 
DC ≡ BA por serem lados do polígono. Da mesma forma OC ≡ OB por serem raios da 
mesma circunferência. E considerando o triângulo isósceles BOC, e ainda, que os ângulos 
internos ∠DCB e ∠CBA são congruentes pela definição de pentágono regular, por diferença 
decorre que os ângulos ∠OCD e ∠OBA são congruentes. 
 Portanto, se OA ≡ OD , então o ponto D pertence à circunferência w . De modo 
análogo determinamos que o ponto E pertence à circunferência w . 
 No caso geral temos que, a unicidade da circunferência que passa por A, B e C sai a 
unicidade da circunferência por A, B, C, D, ..., M, N. Ou seja, dado um polígono regular, 
existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices. � 
 Quando traçamos as diagonais do pentágono regular (FIG. 2), formamos os triângulos 
DCB, CBA, BAE, AED e EDC. Veremos no corolário abaixo que esses triângulos são 
congruentes. 
 
Corolário 1.6. Os triângulos DCB, CBA, BAE, AED, e EDC são congruentes entre si. 
 
Demonstração. Pelo caso LAL os triângulos DCB, CBA, BAE, AED e e EDC são 
congruentes. � 
 
 Com os conceitos abordados anteriormente, prova-se a propriedade que se segue: 
 
 14
 
Propriedade 1.7. Em um pentágono regular os ângulos internos formam ângulos de 108°. 
 
 No triângulo isósceles DAB de base AB (FIG. 2) denotemos os ângulos da base igual 
θ e o ângulo ∠ADB porγ . Do mesmo modo, no triângulo DCB de base DB, denotemos os 
ângulos da base por β e o ângulo ∠DCB por α . 
 
 Podemos então, pela propriedade de soma de ângulos internos de um triângulo, obter a 
seguinte relação no triângulo DCB: 
 
α +2 β = 180° (1) 
 
De modo análogo, encontramos no triângulo DAB:γ +2 θ = 180° (2) 
 
Porém, as diagonais DB e DA dividem o ângulo α da seguinte forma: 
 
β + θ = α e 2 β +γ = α . 
 
Logo, iniciando pelo vértice C, a soma dos ângulos internos do Pentágono regular é 
representada por: 
 
 S = α +( β +θ )+(θ + β )+α +(2 β +α ), 
 
reagrupando temos, 
 
 S = (α +2 β )+(α +2 β )+(γ +2θ ) (3) 
 
Substituindo (1) e (2) em (3) encontramos, 
 
S = 540° 
 
 15
 
 Como o pentágono regular é composto por cinco ângulos internos congruentes, cuja 
soma é 540°, temos que cada ângulo interno tem o valor de 108°. � 
 O triângulo AED é isósceles e, além disso, possui o ângulo AED igual a 108°. Logo, 
subtraindo por 180° e posteriormente dividindo por dois, encontramos o ângulo 36ADE∠ = ° . 
De forma análoga encontramos os ângulos dos triângulos DCB, CBA, BAE. 
 Quando um pentágono regular é circunscrito por uma circunferência, ele determina 
cinco arcos. Além disso, em uma circunferência, cordas congruentes subentendem arcos 
congruentes, como as cordas DC, CB, BA, AE e ED (FIG. 2). Então os arcos DOC, BOA, 
AOE, EOD, e BOC da mesma figura, são congruentes e correspondem a um valor de 72° 
cada, sendo conhecidos como ângulos centrais. 
 Note que, quando traçamos as diagonais do pentágono regular (FIG. 2), formamos 
uma estrela, conhecida também como “pentagrama” ou pentágono estrelado. A partir dos 
conceitos e propriedade analisados, podemos encontrar todos os ângulos do pentagrama. 
 Mas existe ainda uma outra relação do pentagrama com o pentágono regular. As 
diagonais formam um pentágono menor no centro, e as diagonais desse pentágono formam 
um pentagrama e um pentágono ainda menor, e assim sucessivamente, formando pentágonos 
e pentagramas sempre menores. 
 Os pitagóricos utilizavam o pentagrama como “símbolo e emblema da Sociedade de 
Pitágoras” e por essa insígnia eram reconhecidos como membros associados (Huntley, 1985, 
p. 39). 
 Veremos até o final deste capítulo algumas relações entre o pentagrama e a razão 
áurea, tendo como referência a FIG. 2. 
 
FIGURA 2 
 
 16
 
Proposição 1.8. O ponto K divide a diagonal AD , de forma que encontramos a razão áurea 
AD AK
AK KD
= . E também divide a diagonal EC , formando a razão áurea 
EC KC
KC EK
= . 
 
Demonstração. Determinando os ângulos do pentagrama (FIG. 2), verifica-se que os 
triângulos ADC de base DC e AKE de base KE possuem os ângulos da base congruentes, 
logo são semelhantes. Então: 
 
AD DC
AK KE
= . 
 
Temos também que os segmentos DC e EA são lados do mesmo pentágono regular, portanto 
são congruentes. Logo obtemos que: 
AD EA
AK KE
= . 
 
Verifica-se também que, após determinarmos os ângulos do pentagrama (FIG. 2), o triângulo 
EAK é isósceles. Sendo assim DC AK≡ . Também DC EA≡ . Assim temos, por 
transitividade, que EA AK≡ . Substituindo temos 
 
AD AK
AK KE
= 
 
Note ainda que o triângulo EKD é isósceles, isto é, KE KD≡ . Portanto: 
 
AD AK
AK KD
= 
 
De maneira análoga encontramos a razão áurea 
EC KC
KC EK
= . 
 
Do mesmo modo podemos encontrar essa relação para os outros pontos de interseção entre 
duas diagonais não consecutivas do pentágono regular (FIG 2). � 
 17
 
 
FIGURA 2 
 
Proposição 1.9. A razão entre lado e raio do pentágono ABCDE (FIG. 2) é igual a 
2
4
DC EC
OB DC
 = −  
 
. 
 
Demonstração: Quando traçamos a altura DI do triângulo DAB, forma-se os triângulos CJD 
e OIB. 
 
Verifica-se, após determinarmos os ângulos do pentagrama, que esses triângulos são 
semelhantes. Então: 
 
DC JD
OB IB
= 
 
Por sua vez o segmento 
1
2
IB AB= e o segmento AB ≡ DC . Logo encontramos: 
 
2
DC JD
DCOB
= 
 
Ou então: 
 
2DC JD
OB DC
= (4) 
 18
 
No triângulo CJD temos: 
( ) ( ) ( )2 2 2DC JD JC= + 
 
Mas 2EC JC= , pois o triângulo EDC de base EC é isósceles, implica que, o segmento DJ é 
a mediana desse triângulo. Logo: 
( ) ( )
2
2 2
2
EC
JD DC  = −  
 
 
 
Dividindo ambos os lados da equação por ( )2DC , determinamos: 
 
( )
( )
2 2
2 1 2
JD EC
DCDC
 = −  
 
 
 
No entanto, após algumas simplificações encontramos: 
 
2
4
2
EC
DC
JD DC
 −  
 = × 
 
Sendo assim podemos substituir em (4), obtendo: 
 
2
4
2
2
EC
DC
DCDC
OB DC
 −  
 × ×
= 
 
Ou ainda: 
 
2
4
DC EC
OB DC
 = −  
 
. � 
 
 Veremos mais abaixo (na propriedade 1.12), que a razão 
EC
DC
, isto é, a relação entre a 
diagonal e o lado do pentágono regular, está diretamente relacionada com a razão áurea. 
 19
 
 Temos ainda um triângulo isósceles - conhecido como triângulo áureo - determinado 
pelo pentagrama ABCDE (FIG. 2). Em princípio esse triângulo não demonstra tantas 
surpresas, no entanto, com um olhar mais atento, encontramos propriedades únicas que o 
torna um triângulo especial. Definimos o triângulo áureo como: 
 
Definição 1.10. Um triângulo isósceles AFB de base FB é um triângulo áureo se, e somente 
se, possuir os ângulos da base igual a 2α e o ângulo oposto à base igual a α . 
 
 Anteriormente verificamos que o triângulo isósceles ADB (FIG. 2), possui o ângulo 
ADB∠ igual 36° e os ângulos DAB∠ e DBA∠ iguais a 72°. Segue da definição 1.10 que 
esse triângulo é áureo, cujas propriedades analisaremos a seguir. 
 
FIGURA 2 
Propriedade 1.11. Se traçarmos a bissetriz do ângulo DAB∠ , determinaremos o triângulo 
AFB que também é triângulo áureo. 
 
Demonstração. Considerando o triângulo isósceles ADB (FIG. 2) e sabendo que o segmento 
AF é a bissetriz do ângulo DAB∠ , então o ângulo FAB∠ é igual a 36°. Note ainda que o 
triângulo AFD de base AD possui os ângulos da base igual a 36°. Então, o ângulo AFB∠ é 
igual a 72° por ser ângulo externo do triângulo isósceles AFD. Sendo assim, os ângulos 
AFB∠ e ABF∠ são iguais a 72°. � 
 Da mesma forma, se bissectarmos um dos dois ângulos de base 72°, podemos 
encontrar outros triângulos áureos. 
Propriedade 1.12. Os lados dos triângulos áureos DAB e AFB formam a razão 
DB DA
FD AB
= . 
 20
 
Demonstração. Em princípio consideramos a razão 
DB
FD
. Sabemos que DA DB≡ e 
FD ABFA≡ ≡ . Sendo assim, a razão 
DB
FD
 é proporcional à razão 
DA
AB
. Dessa forma, essa 
relação pode ser escrita mais exatamente por: 
 
DB DA
FD AB
= . � 
 
 Note ainda que essa razão está intimamente ligada à razão áurea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
 
Capítulo 2 
 
2- Razão Áurea 
 
 No cap. 1 definimos a razão áurea. A partir de agora, buscaremos examinar, na 
medida do necessário para este estudo, um pouco de sua história, de seus conceitos e de suas 
propriedades. E também veremos como tal razão foi definida por Euclides3, citado por Lívio 
(2007, p.96). 
 Para descrever de uma maneira clara e completa a história da razão áurea seria 
necessário um outro trabalho. Deixamos claroque esse não é o objetivo desta pesquisa, 
embora acreditamos que conhecer um pouco mais sobre essa razão é importante para se 
entender melhor o nosso estudo. 
 O que um arranjo de pétalas numa rosa, um abacaxi, uma concha de um molusco, uma 
árvore genealógica de um zangão, podem ter em comum? A razão áurea. Essas aparições 
inesperadas intrigam, há séculos, muitos apreciadores da beleza matemática. 
 Buscando a história da razão áurea, observa-se algumas discordâncias entre os 
estudiosos do assunto, principalmente se os povos egípcios, babilônios ou outras civilizações 
antigas tinham algum conhecimento sobre essa razão. Entre essas discussões questiona-se se a 
razão áurea foi ou não usada na construção da Grande Pirâmide de Khufu e em construções 
gregas, como exemplo o Partenon -“o lugar da virgem” em grego (LIVIO, 2007, p.57-78). 
 Ainda de acordo com o autor, todos esses questionamentos podem ser explicados 
porque a razão áurea, com suas propriedades matemáticas e suas aparições inesperadas, pode 
gerar um entusiasmo nas pessoas, que é capaz de esconder a verdade, principalmente quando 
mede as dimensões de uma estrutura relativamente complicada. Pode-se ter a disposição uma 
séria inteira de comprimentos da qual se pode escolher, desde que se possa ignorar, 
convenientemente, parte do objeto que está sendo examinado. E ainda, se tiver paciência para 
manipular e fazer truques com os números de várias maneiras, pode-se encontrar alguns 
números interessantes bem próximos da razão áurea. 
 A associação da razão áurea com o pentágono, a simetria quíntupla, os sólidos 
platônicos é interessante por si mesma, o que despertou a curiosidade nos antigos gregos. O 
interesse pitagórico pelo pentágono e pelo pentagrama, somada ao interesse de Platão pelos 
sólidos regulares e sua crença de que estes representavam entidades cósmicas fundamentais, 
 
3 Euclides é o mais proeminente matemático da antigüidade, mais conhecido pelo seu tratado de Geometria "Os 
Elementos". 
 22
 
incitou gerações de matemáticos a trabalhar na formulação de teoremas referentes à razão 
áurea. 
 Mais uma vez recorremos a Lívio (2007, p.96), que cita o livro Elementos de 
Euclides4, no qual a razão áurea aparece em vários lugares. A primeira definição da razão 
áurea aparece nos livros II e VI como “razão extrema e média”. No livro IV, Euclides usa essa 
razão especialmente na construção do pentágono, e no livro XIII, na construção do icosaedro 
e do dodecaedro. 
 No início deste trabalho definimos a razão áurea. Vejamos agora como Euclides a 
definiu em seu livro VI: “(segmento maior)/(segmento menor) é igual a (linha 
inteira)/(segmento maior)”. Em outras palavras: 
 
 
FIGURA 3 
 
.
AC BA
CB AC
= 
 
 Considerando a definição de razão áurea do capítulo anterior e a FIG. 3, podemos 
provar a proposição abaixo: 
 
Proposição 2.1. Se prolongarmos o segmento BA até D, de forma que o segmento CA seja 
congruente ao segmento AD , encontraremos neste caso a razão áurea. Mais exatamente, 
 
BD BA
BA AD
= 
 
FIGURA 3 
 
4 Os Elementos é constituído por 13 "livros" (a antiga denominação para capítulos). Os seis primeiros tratam 
essencialmente de geometria no plano. Os livros VII a IX tratam questões de aritmética e teoria de números. O 
livro IX contém o resultado conhecido como “segundo teorema de Euclides” em que é provada a existência de 
infinitos números primos. No livro X analisam-se vários aspectos de grandezas irracionais e os livros XI a XIII 
estudam questões relacionadas com a geometria dos sólidos. 
 23
 
Demonstração. Temos da definição 1.2 de razão áurea que: 
 
 .
AC BA
CB AC
= (5) 
 
 
Então, por hipótese, o segmento AC é congruente ao segmento AD . Substituindo em (5): 
 
.
AD BA
CB AD
= 
 
Sendo assim obtemos a razão: 
 
.
CB AD
AD BA
= 
 
Do mesmo modo escrevemos: 
 
.
CB AD AD BA
AD BA
+ +
= 
 
Porém CB+AD=BA e AD BA BD+ = , então: 
 
.
BA BD
AD BA
= 
Podemos então escrever que, 
 
 .
BD BA
BA AD
= � 
 
 24
 
 Sugeriu-se no início do século XX, que a letra grega φ , a letra inicial do nome de 
Fìdias5, fosse adotada para designar a razão áurea (HUNTLEY, 1985, p.37). O valor numérico 
do φ pode ser calculado da seguinte forma: 
 Na FIG. 3 tomemos o comprimento do segmento menor, CB , como sendo y unidades, 
e o comprimento do maior, AC , como sendo x unidades. 
 Da definição da razão áurea determinamos a relação: 
 
x x y
y x
+
= 
 
Segue da relação acima que: 
x x y
y x x
= + . 
 
Considere agora a razão 
x
y
equivalente à m unidades. 
Portanto: 
1
1m
m
= + . 
 
Ou ainda: 
 
2 1m m= + , 
 
que equivale à equação quadrática 
 
 2 1 0m m− − = (6) 
 
Após desenvolver a equação acima, encontramos duas soluções: 
 
 
5 Escultor grego (490-430 a.C.). Considerado o maior escultor grego do período clássico, é o criador do 
Parthenon e das estátuas dos deuses gregos. 
 25
 
 (i) ´
1 5
2
m
+
= e (ii) ´´
1 5
.
2
m
−
= � 
 
 
 A solução positiva 
1 5
2
+
 = 1,61803398874989484820458... que é o valor mais 
adotado para a razão áurea, denotaremos por φ . E a solução negativa 
1 5
0, 61803398874989484820458...
2
−
= − denotaremos por 'φ . 
 
 Então, substituindo em (6), temos as duas equações quadráticas escrita de uma forma 
diferente: 
(i) 2 1 0φ φ− − = e (ii) 
2
' ' 1 0φ φ− − = . 
 
 Mas a razão áurea não teria alcançado popularidade se não fosse por suas propriedades 
algébricas verdadeiramente únicas. Sendo elas: 
 
2.2. A solução negativa 'φ é o recíproco negativo da solução positiva φ , isto é, 
1
'φ
φ
− = . 
 
Demonstração. Já sabemos os valores de φ e 'φ , então, substituindo em
1
φ
− o valor da 
solução positiva, encontraremos a razão: 
1
1 5
2
−
+
 
 
Portanto, após desenvolvermos, obteremos o valor : 
 
1 5
2
−
, 
 
que corresponde ao valor de 'φ . � 
 26
 
 De forma análoga à propriedade 2.5, provamos as propriedades abaixo. 
 
2.3. Diminuindo em uma unidade o φ , torna-se o seu próprio recíproco, ou seja, 
1
1φ
φ
− = . 
2.4. A soma das soluções positiva e negativa é igual a 1, isto é, ' 1φ φ+ = . 
 
2.5. O produto das soluções positiva e negativa é igual a -1, temos então, '. 1φ φ = − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27
 
Capítulo 3 
3- Construções 
 
 Parafraseando Wagner (2007, p.1), “as construções com régua e compasso já 
aparecem no século V a.c, época dos pitagóricos, e têm enorme importância no 
desenvolvimento da matemática grega”. Na época de Euclides uma idéia nova apareceu: as 
grandezas, no lugar de serem associadas a números, passaram a ser associadas a segmentos de 
reta. Assim, o conjunto dos números continuava discreto e o das grandezas contínuas passou a 
ser tratado por métodos geométricos. Nasce então, nesse período, uma nova álgebra, 
completamentegeométrica, onde a palavra resolver era sinônimo de construir. 
 Como a construção do pentágono foi o principal motivo do interesse dos gregos pela 
razão áurea, apresentaremos a seguir algumas construções do pentágono regular. No entanto, 
para a construção do pentágono regular utilizaremos o triângulo áureo, e para construção 
desse triângulo temos que determinar, primeiramente, o ponto que divide um segmento em 
razão áurea. Neste caso temos: 
 
Construção 3.1. Determinar sobre um segmento DB um ponto C tal que este ponto divide o 
segmento em razão áurea. 
 
 Tracemos, inicialmente por B, uma reta r perpendicular a DB , onde marcamos um 
ponto F tal que 
1
BF
2
DB= ⋅ . 
 Em seguida, sobre o lado FD, marcamos o ponto E tal que FE BF≡ . 
 Agora tracemos uma circunferência de centro D e raio DE que cortará DB no ponto 
C. Então, C é o ponto que divide o segmento em razão áurea. � 
 
 
 28
 
 
FIGURA 4 
 
Demonstração. Como vimos, o triângulo DBF é um triângulo retângulo. Então, 
 
( ) ( ) ( )2 2 2DF DB BF= + . 
 
Como DF DE EF= + , obtemos: 
 
( ) ( ) ( )2 2 2DE EF DB BF+ = + . 
 
 Por outro lado, no triângulo retângulo acima os segmentos DE ≡ DC por serem raios 
da mesma circunferência. Da mesma forma, BF EF≡ . Logo: 
 
( ) ( ) ( )2 2 2DC BF DB BF+ = + 
 
Assim, o segmento 
1
2
BF DB= . Então: 
 
( )
2 2
2
2 2
DB DB
DC DB   + = +   
   
 
 
 Daí determinamos que: 
 29
 
DB DC
DC DB DC
=
−
 
 
Ora, se DB DC CB− = , então: 
 
DB DC
DC CB
= 
 
 
que, por definição, será a razão áurea. � 
 
Construção 3.2. Construir um triângulo áureo dado o seu lado. 
 
 Vamos construir um triângulo áureo DAB de base AB , dado o seu lado DB . De 
maneira análoga à construção da FIG. 4, tomamos sobre DB um ponto C tal que esse ponto 
divida esse segmento em razão áurea, de modo que C esteja mais próximo de B. 
 Em seguida, com raio CD , traçamos as circunferências r e s, tendo como centro os 
pontos C e B, respectivamente. 
 Se A é um dos pontos de interseção das duas circunferências, então podemos formar o 
triângulo áureo DAB. � 
 
FIGURA 5 
 
Demonstração. Já sabemos que 
 30
 
.
DB DC
DC CB
= 
 
Mas, por construção DC AB≡ . Então, 
 
.
DB AB
AB CB
= 
 
 Além disso, o ângulo DBA∠ é comum para os triângulos DBA e ABC . Logo, esses 
triângulos são semelhantes. Isso implica que o triângulo DAB , de base AB , é um triângulo 
isósceles. Nesse caso temos que DB DA≡ . Logo: 
 
DA AB
AB CB
= 
 
Ou ainda: 
DA DC
AB CB
= 
 
Como
DC DB
CB DC
= então: 
 
DA DB
AB DC
= 
 
Então, pela propriedade 1.12 esse triângulo é um triângulo áureo. � 
 
Construção 3.3. Construção de um pentágono regular dado o seu lado. 
 
 Seja FG um lado dado do pentágono regular. Como vimos, se um triângulo áureo está 
inscrito em uma circunferência, os seus vértices coincidem com os vértices do pentágono 
regular, também inscrito na mesma circunferência. Assim, para construir o pentágono regular 
basta construir um triângulo áureo de base FG . 
 31
 
 Se ACB é um triângulo áureo de base CB (FIG. 5), então transportemos os ângulos de 
sua base sobre o lado FG formando o triângulo áureo KFG. Seja L o ponto de interseção das 
mediatrizes do triângulo KFG, tracemos a circunferência t de centro em L e raio LF . 
Tracemos, em seguida, a circunferência v de centro G e raio FG . 
 Então M é um dos pontos de interseção das circunferências t e v. De maneira análoga 
encontramos o ponto N. 
 Logo o polígono K, N, F, G e M é um pentágono regular. � 
 
 
 
FIGURA 6 
 
Construção 3.4. Construção de um Pentágono Regular inscrito em uma circunferência de raio 
dado MN . 
 
 Sobre uma reta r marcamos o ponto O. Em seguida traçamos uma circunferência de 
raio MN e centro em O. 
 Seja AFB um triângulo áureo de base FB . Sabemos que os ângulos de sua base são 
iguais a 72°. Transportemos, então, o ângulo AFB∠ sobre a reta r no ponto O, formando o 
ângulo central DOC∠ . 
 32
 
 Unindo os pontos D e C formamos o triângulo DOC, onde DC é o lado de um 
pentágono regular. Logo, de maneira análoga, encontramos os outros lados do pentágono 
regular. � 
 
 
 
 
FIGURA 7 
 
 
Construção 3.5. Construção de um pentágono regular, dada uma diagonal. 
 
 Seja AB a diagonal dada. Sobre ela construamos o triângulo áureo ABD de base BD 
(FIG.5). E, de maneira análoga à FIG. 6, determinamos o pentágono regular da FIG. 7. 
� 
 
 
 33
 
 
FIGURA 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34
 
Capítulo 4 
4 - Razão Áurea e Aplicações 
 
4.1 - Leonardo Fibonacci 
 
 Leonardo de Pisa (em latim, Leonardus Pisanus), também conhecido como Leonardo 
Fibonacci6, tornou-se famoso pelo seguinte problema contido no cap. 12 do seu livro Líber 
Abaci: “Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um 
muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, 
supostamente, todo mês cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do segundo mês” ( 
(Fibonacci in Livio,2007, p.116) 
 A resposta desse problema gera a seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... na qual 
cada termo - começando com o terceiro - é igual à soma dos dois termos anteriores. Tal 
seqüência - chamada de seqüência de Fibonacci, no século XIX, pelo matemático francês 
Edouard Lucas - não representa somente o problema de reprodução de coelhos. Pode ser 
encontrada, também, em uma variedade inacreditável de fenômenos, aparentemente sem 
relação, como na óptica dos raios de luz, na árvore genealógica de um zangão, etc. 
 A seqüência de Fibonacci é uma sequência recursiva, ou seja, seqüência de números 
na qual a relação entre termos sucessivos pode ser expressa por uma fórmula matemática. 
Sendo assim: 
 
Notação 4.2. Representaremos o conjunto dos números naturais por � tal que 
{ }0,1,2,3, 4,5...=� . 
Notação 4.3. Denotaremos por ( )n na a sequência 0 1 2 3, , , , ... ...na a a a a tal que a∈� e 
n∈� . 
 
Definição 4.4. A sequência de Fibonacci é a sequência ( )n nf tal que: 
 
 
6 Foi o primeiro o grande matemático na Europa, durante a Idade Média. Em 1202 produziu o seu primeiro livro 
Líber Abaci (o livro do cálculo), que marca o ressurgimento da matemática na Itália. 
 35
 
1 2
0, se n = 0;
1, se n=1;
1.
n
n n
f
f f se n− −

= 
 + >
 
 
 Observe que, se começarmos com 0 e 1 então encontraremos o próximo número 
somando os dois anteriores. Portanto, continuando esse processo determinaremos a sequência: 
0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.... 
 Essa sequência possui algumas propriedades que estão intimamente relacionadas a φ . 
Por exemplo, se fizermos a razão entre dois termos consecutivos dessa sequência, isto é, 1n
n
f
f
+ 
para 1n ≥ , encontramos algumas relações interessantes.Vejamos: 
 
10
9
55
1,61764705882352941...
34
f
f
= = (7) 
 
15
14
610
1,6180371352785145...
377
f
f
= = (8) 
 
 Mas no cap. 2 encontramos que, 
 
1 5
1,6180339887498948482045...
2
φ += = 
 
 Então note que o número encontrado em (7) é igual a φ até a segunda casa decimal; já 
em (8) é igual até a terceira casa decimal. Mas quando utilizamos valores ainda maiores para 
n , determinamos números mais próximos de φ . Ou seja, 
 
20
19
6765
1,618033963166706...
4181
f
f
= = (8) 
 
25
24
75025
1,618033988957902...
46368
f
f
= = (9) 
 
 36
 
 Observe que em (8) a aproximação é até a sétima casa decimal, e em (9) é até a nona 
casa decimal. Portanto, se utilizarmos um valor suficientemente grande para n , então 
encontraremos um número muito próximo de φ . Na verdade pode-se mostrar que: 
 
 1lim n
n
n
f
f
φ+
→∞
= 
 
 A maioria dos estudantes que aprecia a matemática não teria dificuldade em formar 
uma sequência de acordo com a propriedade 1 1n n nf f f+ −= + . Nem tampouco acharia difícil 
formar uma sequência pela propriedade 1n
n
g
r
g
+ = para qualquer valor de n∈� tal que 
{ }, 0nr g ∈ −� . Mas suponhamos que a exigência fosse para se formar uma sequência que 
possuísse ambas as propriedades simultaneamente. 
 
 Entretanto há uma sequência assim. Trata-se da sequência áurea: 
 
1, , 1 , 1 2 , 2 3 , 3 5 ...φ φ φ φ φ+ + + + 
 
Definição 4.4. A sequência áurea é a sequência ( )n ng tal que: 
 
1
1, se n = 0;
1.n n n
g
f f se nφ−

=  + ≥
 (10) 
 
Ou ainda: 
0 1
1 1
1,
para 1 n n n
g g
e
g g g n
φ
+ −
= =


 = + ≥
 (11) ou 
0
1
1
 para 0n
n
g
e
g
n
g
φ+

 =



 = ≥

 (12) 
 
 
Proposição 4.5. As definições (10), (11) e (12) são equivalentes. 
 
 37
 
Demonstração. Vamos provar que (10)⇒ (11). 
 
Então para 0 1g = , 1g φ= e 1n ≥ : 
 
1 2 1 1( ) ( )n n n n n ng g f f f fφ φ− − − −+ = + + + 
 
Reagrupando os termos encontramos: 
 
1 1 2 1( ) ( )n n n n n ng g f f f fφ− − − −+ = + + + 
 
Daí determinamos que: 
 
1 1n n n ng g f fφ− ++ = + 
 
Sendo 1 1n n ng f f φ+ += + , logo: 
 
1 1n n ng g g+ −= + 
 
Agora vamos provar que (10)⇒ (12). 
 
Temos que: 
ngφ = 
2
1n nf fφ φ− + onde 1n ≥ e 0 1g = 
 
Porém 2φ = 1φ + (PAG. 25). Neste caso: 
 
ngφ = 
2
1n nf fφ φ− + = 1n n nf f fφ φ− + + 
 
Desenvolvendo, obtemos: 
 
ngφ = 1( )n n nf f fφ − + + 
 
 38
 
Como 1n nf f− + = 1nf + temos: 
 
ngφ = 1n nf fφ + + 
 
Já que 1 1n n ng f f φ+ += + então: 
 
1ng + = ngφ ou 
1n
n
g
g
φ+ = 
 
Em seguida temos que (11)⇒ (12) 
 
Então: 
 
1 1n n ng g g+ −= + se 1n ≥ e 0 11g e g φ= = 
 
Vimos anteriormente que: 
 
1 1n n ng g g+ −= + = 1n nf fφ + + 
 
Também vimos que: 
 
ngφ = 1n nf fφ + + . 
 
Portanto, 
 
 1ng + = ngφ ou 
1n
n
g
g
φ+ = � 
 
 
Corolário 4.6. Seja ( )n ng a sequência áurea. Então, 
 
ng = 
nφ . 
 39
 
Demonstração. Para provar essa propriedade, utilizaremos o método da indução. 
 
Iniciaremos provando que a propriedade vale para n = 1. Portanto se 1n n ng f f φ−= + então: 
 
1 0 1g f f φ= + = 0 1φ φ+ = 
 
Isto é: 
1g = φ 
 
Agora, vamos supor que a propriedade vale para n k= tal que 1k ≥ , ou seja: 
 
1 .
k
k k kg f f φ φ−= + = 
 
Então, provaremos que a propriedade vale para o sucessor de k: 
 
1
1 1 .
k
k k kg f f φ φ
+
+ += + = 
 
Na potência 1kφ + temos a igualdade: 
 
1k kφ φ φ+ = 
 
Mas por hipótese de indução 1
k
k kf f φ φ− + = , logo: 
 
( )1 1k k k kf fφ φ φ φ φ+ −= = + 
 
Vimos anteriormente que ( )1k kf f φ φ− + = 1k kf fφ + + . Sendo assim: 
 
 ( )1 1k k kf fφ φ φ+ −= + = 1 .k kf f φ++ 
 
Já que por definição 1 1k k kg f f φ+ += + , então: 
 
 40
 
 11 1 .
k
k k kg f f φ φ
+
+ += + = � 
 
 Podemos concluir pelo corolário acima que: 
 
2
3
4
5
1
1 2
2 3
3 5
φ φ
φ φ
φ φ
φ φ
+ =
+ =
+ =
+ =
M
 
 
 Logo, a sequência áurea pode ser reescrita da seguinte maneira: 
 
2 3 4 5 61, , , , , , ...φ φ φ φ φ φ 
 
4.7. Sofisma Geométrico 
 
 Na concepção de Huntley (1985, p.56-58), uma outra ligação entre a razão áurea e a 
Sequência de Fibonacci diz respeito a um sofisma7 geométrico, que foi apresentado pela 
primeira vez por Sam Loyd (1841 – 1911), o criador de quebra-cabeças matemático. 
 Esse sofisma baseia-se na construção de um quadrado cujos lados têm comprimento 
igual a soma de dois números consecutivos da Sequência de Fibonacci. Se recortarmos o 
quadrado nas partes indicadas e encaixá-las, obteremos um retângulo. Verifica-se, a partir 
disso, que as áreas do quadrado e do retângulo diferem em uma unidade. Dependendo do 
número escolhido, o quadrado terá a maior área ou o contrário. 
 A explicação para esse paradoxo é que o encaixe ao longo das diagonais dos 
retângulos não é exato. Às vezes fica uma “folga” de uma unidade quadrada e, outras vezes, 
há uma sobreposição de uma unidade quadrada. 
 A seguir, a descrição sistematizada desse sofisma: 
 Seja o quadrado ABCD dado e nf o enésimo termo da Sequência de Fibonacci, então 
o lado deste quadrado tem o comprimento igual à soma de dois números consecutivos da 
Sequência de Fibonacci, isto é, 1n nAB f f += + tal que n∈� . Tracemos, então, o segmento 
EF paralelo a AD onde 1nAE f += e nEB f= . Agora tracemos o segmento PQ obtendo os 
 
7 Em Filosofia é um raciocínio aparentemente válido, mas inconclusivo, pois é contrário às suas próprias leis. 
 41
 
trapézios PAEO e QFDP de tal forma que sejam congruentes entre si, e ainda, 
1nAP QF f += = e nEQ DP f= = . Tracemos o segmento EC , formando os triângulos EBC e 
CFE , sendo esses também congruentes entre si. Agora, recortemos o quadrado pelos 
segmentos EF , PQ e EC e, com os polígonos formados, construímos o retângulo JGHI tal 
que os trapézios JGLM e HINK sejam congruentes ao trapézio PAEO e os triângulos 
MLH e KNJ também sejam congruentes ao triângulo EBC . 
 Demonstraremos que o encaixe ao longo da diagonal JH não é exato. 
 Inicialmente vamos provar um caso particular e, em seguida, o caso geral. Como 
exemplo tomemos 5 5f AE= = e 4 3f EB= = . Então: 
 
 
 
FIGURA 9 
 
 
 No retângulo JGHI temos 13GH = e 5GJ = . Logo, se os pontos , ,J M K e H 
fossem colineares, os polígonos JMHG e MKHL seriam triângulos. Sendo assim, 
JGH MLH∠ ≡ ∠ e teríamos o MHL∠ comum aos dois triângulos. Isso implica que eles 
seriam semelhantes. Logo: 
 
GH GJ
LH LM
= , 
 
o que é absurdo, pois: 
 
 42
 
13 5
8 3
GH GJ
LH LM
= ≠ = 
 Então, os pontos , ,J M K e H não podem ser colineares. 
 
 Vamos provar o caso geral. 
 
 Seja nAB f= + 1nf + , então de maneira análoga ao exemploanterior formamos o 
retângulo JGHI tal que: 
 
GH = 1nf + + ( nf + 1nf + ) = 1nf + + 2nf + = 3nf + e HI = 1nf + . 
 
 Então, se os pontos , ,J M K e H fossem colineares, os polígonos JMHG e MKHL 
seriam triângulos. Do mesmo modo que anteriormente, eles seriam semelhantes, logo: 
 
GH GJ
LH LM
= , 
 
o que é absurdo, pois: 
 
3
2
n
n
f
f
+
+
≠ 1n
n
f
f
+ . 
 
 Então os pontos , ,J M K e H não podem ser colineares. 
 
 Em seguida, vamos provar que o quadrilátero JMHK é um paralelogramo. 
 
 Como vimos os triângulos JNK e HLM são congruentes, donde, LHM NJK∠ ≡ ∠ e 
JK HM≡ . Temos também que os trapézios JGLM e HINK são congruentes, o que implica, 
GJM IHK∠ ≡∠ e JM HK≡ . Temos então que KJM KHM∠ ≡∠ , logo o quadrilátero 
JMHK é um paralelogramo. 
 Portanto, provamos que o encaixe ao longo da diagonal JH não é exato. 
 Temos também que quando utilizamos os valores 4 3f = e 5 5f = obtemos a área do 
quadrado e do retângulo, respectivamente, igual a: 
 43
 
64QA = e 65RA = 
 
 Mas pode acontecer o contrário, ou seja, a área do quadrado ser maior que área do 
retângulo em uma unidade quadrada . Por exemplo: 
 
 Para os números 13 e 21: 
 
'
QA =34 34 1156⋅ = e 
'
RA = 55 21 1155⋅ = . 
 
 Mas esses exemplos não provam, de uma maneira geral, o que realmente acontece 
quando utilizamos todos os números da Sequência de Fibonacci. Então, segue abaixo o caso 
geral. 
 Primeiro vamos provar a seguinte proposição. 
 
Proposição 4.8. Seja nf o enésimo termo da sequência de Fibonacci, então 
 
( )21 2 ( 1)nn n nf f f+ += ⋅ + − para todo 0n ≥ . 
 
Demonstração. Para provar essa propriedade utilizaremos o método da indução. 
Iniciaremos provando que a propriedade vale para 0n = . De fato se ( )21 2 ( 1)nn n nf f f+ += ⋅ + − , 
então: 
 
( ) ( )2 21 1 1f = = 
Temos também que: 
 
0
0 2 ( 1) 0 1 1 1f f⋅ + − = ⋅ + = 
 
Logo a propriedade vale para 0n = . 
Agora vamos supor que a propriedade vale para n k= tal que 0k ≥ , isto é: 
 
( )21 2 ( 1)kk k kf f f+ += ⋅ + − 
 44
 
Então provaremos que a propriedade vale para o sucessor de k, isto é: 
 
( )2 12 1 3 ( 1)kk k kf f f ++ + += ⋅ + − . 
 
Sendo assim: 
 
( ) ( )21 1 11 3 1 1 2 1 1 2( 1) ( 1) ( 1)k k kk k k k k k k kf f f f f f f f+ + ++ + + + + + + +⋅ + − = ⋅ + + − = + ⋅ + − 
 
Por hipótese de indução ( )21 2 ( 1)kk k kf f f+ += ⋅ + − . Então: 
 
( )2 1 11 1 2 2 1 2( 1) ( 1) ( 1)k k kk k k k k k kf f f f f f f+ ++ + + + + ++ ⋅ + − = ⋅ + − + ⋅ + − 
 
Note que: 
1( 1) ( 1) 0k k+− + − = para 0k ≥ . 
 
Logo: 
 
( ) ( )22 1 2 2 1 2 2 2k k k k k k k k k kf f f f f f f f f f+ + + + + + + +⋅ + ⋅ = + = ⋅ = . 
 
Portanto: 
 
 ( )21 2 ( 1)nn n nf f f+ += ⋅ + − � 
 
Agora voltaremos ao nosso objetivo. 
Vimos anteriormente que quando nAB f= + 1 2n nf f+ += , formamos o retângulo JGHI tal que 
 
GH = 1nf + + ( nf + 1nf + ) = 1nf + + 2nf + = 3nf + e HI = 1nf + . 
 
Portanto as áreas quadrado e do retângulo são respectivamente igual a: 
( )2'' 2Q nA f += e '' 3 1R n nA f f+ += ⋅ 
 45
 
Então, para n ímpar temos pela proposição 4.8 que: 
 
( )23 1 2 1n n nf f f+ + +⋅ = + 
 
Ou ainda: 
 
'' '' 1R QA A= + 
 
Agora, para n par temos que: 
 
( )21 2 1n n nf f f+ += ⋅ + 
 
Ou seja: 
 
''' ''' 1Q RA A= + . 
 Essa propriedade foi descoberta pelo matemático e astrônomo Johannes Kepler. Mas, 
será que esse sofisma tem solução? Veremos que sim. 
 Vimos anteriormente a sequência áurea. Essa sequência proporciona no paradoxo 
explicitado anteriormente um encaixe exato no retângulo formado. 
 Então, construiremos um quadrado cujos lados tenham comprimento igual à soma de 
dois números consecutivos quaisquer da sequência áurea, e, verificaremos que as áreas do 
quadrado e do retângulo serão iguais. 
 Nesse caso, sabemos que ng é o enésimo termo a sequência áurea. Então, se 
tomarmos 1nAE g += e nEB g= , temos o lado do quadrado dado ABCD (FIG. 10) igual a: 
 
1 2n n nAB g g g+ += + = para 0n ≥ . 
 
Logo formamos, do mesmo modo que anteriormente, o retângulo JGHI , tal que: 
 
3 2 1, ,n n nGH g LH g GJ g+ + += = = e nLM g= 
 46
 
 
FIGURA 10 
 
 Então, se os pontos , ,J M K e H fossem colineares, os polígonos JMHG e MKHL 
seriam triângulos. Sendo assim, seria JGH MLH∠ ≡ ∠ e teríamos o MHL∠ comum aos dois 
triângulos, o que implica que eles seriam semelhantes. Logo: 
 
3 1
2
n n
n n
g gGH GJ
LH g g LM
+ +
+
= = = 
 
E isso é verdade pela definição 4.4. Então, os pontos , ,J M K e H são colineares. 
 
 A seguir, provaremos para o caso geral que as áreas do quadrado e do retângulo são 
iguais. 
 
Seja o lado do quadrado igual a 1n nQ g g+= + então a sua área é igual a: 
 
( ) ( )2 21 2Q n n nD g g g+ += + = para 0n ≥ . 
 
Porém, pelo corolário 4.6 22
n
ng φ
+
+ = . Logo: 
 
( )22 2 4n nQD φ φ+ += = 
 
Por sua vez, a área do retângulo é igual a: 
 47
 
( )( )3 1R n nT g g+ += 
 
Sendo assim: 
 
( ) ( ) ( )( )3 1 2 43 1 n n nR n nT g g φ φ φ+ + ++ += = = 
 
Portanto, Q RD T= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48
 
Capítulo 5 
5 - Retângulo Áureo 
 
 Um leigo em matemática, ao observar o retângulo áureo, verá apenas uma figura 
relativamente simples e, ao mesmo tempo, bela pelas suas dimensões. Mas a verdadeira 
beleza são as propriedades existentes nesse polígono que impressiona, há séculos, 
matemáticos, artistas e outros. 
 
Definição 5.1. Definimos como retângulo áureo um retângulo AFED tal que: 
 
DE
EF
φ= 
 
 
FIGURA 11 
 
 Baseamos nas idéias de Huntley (1985, p.100), para mostrar que, utilizando o 
quadrado ABCD, podemos determinar uma sequência infinita de retângulos. Posteriormente, 
na proposição 5.4, verificaremos que esses retângulos são, na verdade, retângulos áureos. 
 Então, dado esse quadrado, construímos o retângulo AFED e, consequentemente, 
determinamos o retângulo BFEC . Em seguida, seccionamos desse retângulo o quadrado 
HGEC , determinando o retângulo BFGH . E se deste for seccionado o quadrado IFGJ , 
temos o retângulo BIJH . Podemos supor que esse processo seja repetido indefinidamente, até 
que se chegue ao retângulo-limite, indistinguível de um ponto. Segundo o matemático 
 49
 
Clifford A. Pickover, citado por Livio (2007, p.104) esse “ponto retangular”, é “O Olho de 
Deus”, devido às propriedades “divinas” atribuídas à razão áurea. 
 Partindo da FIG. 11, vamos supor que 1CE = . Logo, encontramos DC φ= (ver p. 
17-18). Então, se observarmos os lados dos retângulos áureos, determinaremos uma sequência 
áurea “recíproca” com os seguintes valores: 
 
 ,1, 1, 2 , 2 3, 5 3 ,φ φ φ φ φ− − − − 5 8, 13 8 , 13 21, 34 21 ...φ φ φ φ− − − − 
Definição 5.2. A sequência áurea “recíproca” é a sequência ( )n nx , tal que: 
 
1
, se n = 0;
1.n n n
x
f f se n
φ
φ−
=  − ≥
 (13) 
 
Ou ainda: 
0 1
1 1
, 1
para 1 n n n
x x
e
x x x n
φ
+ −
= =


 = − ≥
 (14) ou 
0
1 1 para 0n
n
x
e
x
n
x
φ
φ
+

 =



 = ≥

 (15) 
 
Proposição 5.3. As definições (13),(14) e (15) são equivalentes. 
 
Demonstração. Vamos provar que (13)⇒ (14). 
 
Então, 
 
1 1 2 1n n n n n nx x f f f fφ φ− − − −− = − − − para n≥2 e 0 1, 1x xφ= = . 
 
Porém, nessa igualdade, temos dois casos. Daí, quando n é par: 
 
1 2 1n n n nf f f fφ φ− − −− > − , 
 
e quando n é impar: 
 50
 
1 2 1n n n nf f f fφ φ− − −− < − . 
Agora considere n par: 
 
se 1 2 1n n n nf f f fφ φ− − −− > − então 1 2 0n nf f φ− −− > e 1 0n nf f φ−− < . 
 
Logo: 
 
1 1 2 1 1 2 1( ) ( )n n n n n n n n n nx x f f f f f f f fφ φ φ φ− − − − − − −− = − − − = − + − 
 
Podemos, então, reagrupar os termos para obter a seguinte igualdade: 
 
1 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n nx x f f f f f f f fφ φ φ− − − − − − −− = − + − = + − + 
 
Sendo assim: 
1 1 2 1 1( ) ( )n n n n n n n nx x f f f f f fφ φ− − − − +− = + − + = − 
 
Ora, se 1 1n n nx f f φ+ += − então: 
 1 1n n nx x x+ −= − 
 
Agora, para n ímpar: 
 
se, 1 2 1n n n nf f f fφ φ− − −− < − então, 1 2 0n nf f φ− −− < e 1 0n nf f φ−− > . 
 
Mas por construção: 
1 2 1n n n nf f f fφ φ− − −− > − 
 
Portanto: 
1 1 2 1 1 2 1( ) ( ) .n n n n n n n n n nx x f f f f f f f fφ φ φ φ− − − − − − −− = − − − = − + − 
 
 
De maneira análoga, obtemos: 
 51
 
 1 1n n nx x x+ −= − 
Em seguida vamos provar que (13)⇒ (15) 
 
Temos que (15) é igual a: 
 
1n nx x φ+= se 0x φ= e 0n ≥ 
 
No entanto: 
2
1 1 1 .n n n n nx f f f fφ φ φ φ φ+ + += − = − 
 
Como 2φ = 1φ + , então: 
 
2
1 1 1 .n n n n n nx f f f f fφ φ φ φ φ+ + += − = − − 
 
Sendo assim: 
 
1 1 1) ( ) ) .n n n n n n nx f f f f f fφ φ φ φ+ + += − − = − − 
 
Já que 1nf − = 1n nf f+ − logo: 
 
1 1 1( ) ) .n n n n n nx f f f f fφ φ φ+ + −= − − = − 
 
 
No entanto, por definição: 
 
1n n nx f f φ−= − . 
 
 Portanto: 
1n nx x φ+= ou 
1 1n
n
x
x φ
+ = . 
Agora temos que (14)⇒ (15). 
 52
 
Seja: 
 
1 1 1n n nx x x se n+ −= − ≥ e 0 1, 1x xφ= = 
 
Por definição: 
 
1 1 1n n n n nx x x f f φ− + −= − = − 
 
Mas vimos anteriormente que: 
 
1 1n n nx f fφ φ+ −= − 
 
Logo: 
 
 1n nx x φ+= � 
 
 
Corolário 5.4. Seja ( )n nx tal que 1n ≥ a sequência áurea “recíproca”. Então: 
1
1
n nx φ −
= 
 
Demonstração. Iniciaremos provando que a propriedade vale para n = 1. Então: 
 
1 0
1
1x
φ
= = 
 
Agora vamos supor que a propriedade vale para n = k. 
 
1
1
k kx φ −
= 
 
Então, provaremos que a propriedade vale para o sucessor de k. Ou seja, 
 53
 
1
1
k kx φ+
= 
Por hipótese de indução 1
1
k kx φ −
= , logo: 
 
1
1 1
k kk kx
φ
φφ φ
φ
−= = = 
 
Ou ainda: 
 
k
kx
φφ = (16) 
Se substituirmos (16) em 
1
kφ
obtemos: 
 
1 1 k
k
k
x
x
φφ φ
= = (17) 
 
Pela proposição 5.3, temos: 
 
1
k
k
x
x
φ +
= (18) 
 
Sendo assim por (17) e (18): 
 
 1
1
k kx φ+
= � 
 
 
 
Por exemplo: 
 54
 
ü 3 2
1
1 1 1
2 1 1 1x
φ φφ φ
φ φ φ φ
−
= − = + − = − = = = 
ü 4x = 2φ 3= 2 3
1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 ( 1) 1
φ φφφ φ
φ φ φ φ φ φ φ φ
−
− − +
− + − + − = + − = + = + = = . 
 
 É interessante observar que pelos Corolários 4.6 e 5.4 podemos formar uma “sequência 
áurea completa”, isto é: 
 
6 4 3 2
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
... , , , , ,1, , , , , , ...φ φ φ φ φ
φ φ φ φ φ φ 
ou ainda: 
 
 
 
 Vimos neste capítulo que a sequência áurea “recíproca” é formada quando 
construímos uma sequência de retângulos áureos, sendo estes cada vez menores até 
encontrarmos um ponto “retangular” limite, o ponto-limite P . Mas, se tivéssemos construído 
retângulos áureos cada vez maiores, ou seja: se tomássemos o retângulo MNLJ da figura 11, 
de dimensões 1 e φ , construiríamos o retângulo KLJH tal que 1KL φ= + , em seguida o 
retângulo HBIJ para 1 2HB φ= + e assim sucessivamente, sendo todos retângulos áureos. 
Isso implicaria a sequência áurea vista no Capítulo IV, ou seja: 
 
1, , 1 , 1 2 , 2 3 , 3 5 ...φ φ φ φ φ+ + + + 
 
Que é igual a: 
 
2 3 4 5 61, , , , , , ...φ φ φ φ φ φ 
 
 Logo a “sequência áurea completa” pode ser vista como uma sequência de retângulos 
áureos cada vez menores ou maiores. 
6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6... , , , , , ,1, , , , , , ...φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ− − − − − −
 55
 
Capítulo 6 
6 - A espiral retangular 
 
 Do ponto-de-vista estético a espiral abaixo possui a capacidade de dimensionar a 
beleza. Parece que, de uma maneira suave e ao mesmo tempo concreta, todos os seus lados 
estão em harmonia. Mas, para entendermos o que está implícito nela, temos que mudar o 
nosso olhar ingênuo para um olhar mais crítico, um olhar matemático. Então, tomemos um 
segmento 0 1A A tal que 0 1 1A A = . Pelo ponto 1A traçamos uma perpendicular a esse segmento 
e marcamos sobre ela um ponto 2A de tal forma que 
0 1
1 2
A A
A A
φ= . Logo 1 2A A φ= . Pelo ponto 
2A traçamos a perpendicular ao segmento 1 2A A e marcamos sobre ela um ponto 3A de tal 
forma que 20 1
2 3
A A
A A
φ= , então 2 3 2
1
A A
φ
= . Do mesmo modo, temos 30 1
3 4
A A
A A
φ= e 3 4 3
1
A A
φ
= . 
De uma forma geral obtemos 0 1
1
n
n n
A A
A A
φ
+
= e 1
1
n n nA A φ+
= . 
 
 
FIGURA 12 
 
 
Note ainda que pela razão 0 1
1
n
n n
A A
A A
φ
+
= para 1n ≥ podemos formar a sequência: 
 
2 3 4 5 61, , , , , , ...φ φ φ φ φ φ 
 
 56
 
E ainda, se 1
1
n n nA A φ+
= para 0n ≥ podemos também formar a sequência: 
 
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
1, , , , , , ...
φ φ φ φ φ φ
 
 
 Isso que vimos não esgota nosso olhar crítico sobre a espiral, então veremos a seguir 
algumas propriedades. Destaco aqui aquela que acredito ser a mais bela de todas. 
 Se continuarmos infinitamente o processo descrito no inicio deste capítulo, 
determinaremos uma espiral retangular, cujos anéis diminuem, indefinidamente, até um 
ponto-limite P , denominado “O olho de Deus”. 
 Para demonstrar as propriedades a seguir, vamos definir um sistema de coordenadas 
cartesianas tal que o eixo x é a reta que contém os pontos 0A e 1A , e o eixo y é reta 
perpendicular ao eixo x no ponto 0A . Onde 0 (0,0)A = e 1 (1,0)A = . 
 
Proposição 6.1. Seja ( ),n n nA u v= de modo que n∈� , então: 
 
i. as séries ( )n nu e ( )n nv são convergentes. 
ii. 2 0n nA A + → 
 
Demonstração. Primeiramente provaremos (i). Na espiral retangular temos: 
 
1 2
1
1n n
n n
A A
A A φ
+ +
+
= 
 
Então, vamos analisar as coordenadas de nA para 2n ≥ . Logo: 
 
2
1
1 ,A
φ
 
=  
 
 e 3 2
1 1
1 , ,A
φ φ
 
= − 
 
 
 
4 2 3
1 1 1
1 ,A
φ φ φ
 
= − − 
 
 e 5 2 4 3
1 1 1 1
1 , ,A
φ φ φ φ
 
= − + − 
 
 
 57
 
6 2 4 3 5
1 1 1 1 1
1 ,A
φ φ φ φ φ
 
= − + − + 
 
 e 7 2 4 6 3 5
1 1 1 1 1 1
1 , ,A
φ φ φ φ φ φ
 
= − + − − + 
 
 
MDesta forma, encontramos para 1n ≥ : 
 
2 2 4 2 2 3 5 2 1
1 1 1 1 1 1 1
1 ,n n nA φ φ φ φ φ φ φ− −
 
= − + − + 
 
L L 
 
e 
 
2 1 2 4 6 2 3 5 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ,n n nA φ φ φ φ φ φ φ φ+ −
 
= − + − − + 
 
L L 
 
 
Tomando as abscissas dos pontos 2nA e 2 1nA + temos as séries: 
 
2 2 4 2 2
1 1 1
1n nu φ φ φ −
= − + L e 2 1 2 4 6 2
1 1 1 1
1n nu φ φ φ φ+
= − + − L 
 
Note que são duas progressões geométricas de razão 2
1
φ
− . Logo: 
 
2 2
2 22 4 2 2 2 2
2
1 1 1 1
lim lim 1 lim
1 1 11
n nnn nn
u u
φ φ
φ φ φ φ φ
φ
−→∞ →∞→∞
= − + = = ⇒ =
+ ++
L 
e 
 
2 2
2 1 2 12 4 6 2 2 2
2
1 1 1 1 1
lim lim 1 lim
1 1 11
n nnn n n
u u
φ φ
φ φ φ φ φ φ
φ
+ +→∞ →∞ →∞
= − + − = = ⇒ =
+ ++
L 
 
Portanto: 
 
 58
 
2 2 1lim limn nn n
u u +→∞ →∞
= . 
 
Agora, se tomarmos as ordenadas dos pontos 2nA e 2 1nA + , temos as séries: 
 
2 3 5 2 1
1 1 1 1
n nv φ φ φ φ −
= − + L e 2 1 3 5 2 1
1 1 1 1
n nv φ φ φ φ+ −
= − + L 
 
Logo: 
2 2 23 5 2 1 2 2
2
1
1 1 1 1
lim lim lim lim
1 1 11
n n nnn n n n
v v v
φ φφ
φ φ φ φ φ φ
φ
−→∞ →∞ →∞ →∞
= − + ⇒ = = ⇒ =
+ ++
L 
De modo análogo: 
 
2 1 2lim 1nn
v
φ
φ+→∞
=
+
 
 
Sendo assim: 
 
2 2 1lim limn nn n
v v +→∞ →∞
= 
 
Já que 
 
2 2 1lim limn nn n
u u +→∞ →∞
= e 2 2 1lim limn nn n
v v +→∞ →∞
= 
 
Então as séries ( )n nu e ( )n nv são convergentes. 
 
Em seguida vamos provar (ii). 
 
Note que os segmentos 2 2 2k kA A + para 0k ≥ determinam uma sequência de triângulos 
retângulos da forma 2 2 1 2 2k k kA A A+ + de hipotenusa 2 2 2k kA A + . Logo: 
 
 59
 
2 2
2 2 2 2 (2 2) 1
1 1
k k k kA A φ φ+ + −
   
= +   
   
 
 
Desenvolvendo, encontramos: 
 
2
2 2 2 4 2
1 1
k k kA A
φ
φ φ+
 +
=  
 
 
 
 
De forma análoga, obtemos para os segmentos 2 1 2 3k kA A+ + que 
 
2
2 1 2 3 4 4
1 1
k k kA A
φ
φ φ+ +
 +
=  
 
 
 
Sendo assim: 
 
 
2
4 2
1 1
lim 0kk
φ
φ φ→∞
 +
= 
 
 e 
2
4 4
1 1
lim 0kk
φ
φ φ→∞
 +
= 
 
 
 
Então 2 0n nA A + → . � 
 
 Mas ainda não foram respondidas algumas perguntas essenciais, tais como: 
Quem realmente é o ponto P ? Onde ele se localiza? Qual a sua relação com a espiral? 
Tentaremos responder essas perguntas nas seguintes propriedades: 
 
Proposição 6.2. Se { }0 2 1 3A A A A P∩ = então: 
 
iii. os segmentos 0 2A A e 1 3A A são mutuamente perpendiculares. 
iv. 2 2,1 1
P
φ φφ
φ φ
 
=  + + 
 . 
 60
 
v. 2n nP A A n+∈ ∀ ∈� 
 
Demonstração. Inicialmente demonstraremos (iii). No triângulo 0 1 2A A A e 1 2 3A A A temos, 
respectivamente: 
 
0 1
1 2
A A
A A
φ= e 1 2
2 3
A A
A A
φ= . 
 
Mas, 0 1 2A A A∠ e 1 2 3A A A∠ são ângulos retos. Logo, os triângulos 0 1 2A A A e 1 2 3A A A são 
semelhantes. Temos então que o ângulo 2 0 1A A A∠ é congruente ao ângulo 3 1 2A A A∠ . Nesse 
caso: 
 
3 1 2A A A α∠ = ⇒ 1 0 90PA A α∠ = °− 
 
Daí encontramos que: 
 
 0 1 90A PA∠ = ° 
 
Agora provaremos (iv). 
 
Sabemos que 
( ),n n nA u v= e lim nn A P→∞ = para n∈� . 
 
 Então, pela proposição 6.1: 
2 2,1 1
P
φ φφ
φ φ
 
=  + + 
. 
 
Em seguida, (v). 
 
Para provar, demonstraremos que as coordenadas de P estão entre as coordenadas de nA e 
2nA + . 
 61
 
Temos ( , )n n nA u v= . Então pela proposição 6.1, nu é uma progressão geométrica de razão 
2
1
φ
− logo: 
2 2
2
2
2
1 1
1 1
1 11
n n
nu
φ φ
φ
φ
φ
   
− − − −   
   = = −
+− −
 para 0n ≥ 
 
Do mesmo modo para nv : 
 
2 2
2
2
1 1 1
1 1
1 11
n n
nv
φ φ φ
φ
φ
φ
   
− − − −   
   = = −
+− −
 para 0n ≥ 
 
E para ( )2 2 2,n n nA u v+ + += encontramos de modo análago: 
2 2
2 2
2
2 2
2
1 1
1 1
1 11
n n
nu
φ φ
φ
φ
φ
+ +
+
   
− − − −   
   = = −
+− −
 para 0n ≥ 
e 
2 2
2 2
2 2
2
1 1 1
1 1
1 11
n n
nv
φ φ φ
φ
φ
φ
+ +
+
   
− − − −   
   = = −
+− −
 para 0n ≥ 
 
Agora para ( ),P u v= e n par, temos: 
 
2n nu u u +< < e 2n nv v v +< < 
 
 
E ainda, para n ímpar: 
 
2n nu u u+ < < e 2n nv v v +< < 
 
 62
 
Então: 
 2n nP A A +∈ � 
 
Proposição 6.3. Se o segmento 0 1 1A A = então, o comprimento da espiral de 1A a P é φ . 
 
Demonstração: Temos por construção que os lados da espiral retangular formam a 
sequência: 
 
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
1, , , , , , ...
φ φ φ φ φ φ
 
 
Daí encontramos: 
0
1
1n
n
φ
φ
∞
=
= +∑ 
 
Portanto, o comprimento da espiral iniciando-se pelo ponto 1A é φ . � 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63
 
Capítulo 7 
7 - A Espiral Logarítmica 
 
 Baseando-nos na concepção de Lívio (2007, p.111-145), vamos falar um pouco sobre 
a espiral logarítmica - uma das mais belas curvas matemáticas, que pode ser encontrada na 
natureza, tanto na fauna como na flora – também designada por Descartes como Espiral 
Equiangular. O nome foi derivado da forma como o raio cresce quando nos movemos ao 
longo da curva. O matemático Jacques Bernoulli, um dos grandes estudiosos dessa espiral, 
dedicou-lhe um tratado intitulado Spira Mirabilis (Espiral Maravilhosa). Bernoulli escreveu 
que essa espiral “pode ser usada como um símbolo, tanto de vigor e constância na adversidade 
quanto do corpo humano o qual, após todas as mudanças, até mesmo após a morte, será 
restaurado ao seu exato e perfeito ser.” O matemático ficou tão impressionado com a beleza 
da curva que pediu que essa forma e o lema que atribuiu a ela - “Eadem mutato resurgo” 
(embora mudado, ressurjo o mesmo) - fossem gravados em seu túmulo. O lema descreve uma 
propriedade fundamental exclusiva da espiral logarítmica: mesmo que o seu tamanho 
aumente, ela não altera o seu formato, característica essa conhecida com auto-similaridade. 
 Dado o ponto O, a espiral logarítmica é uma curva tal que a amplitude do ângulo 
formado pela tangente em qualquer dos seus pontos P com a semi-reta OP
uuur
 é constante, ou 
seja, α é constante durante todo trajetória da espiral. 
 Temos como a equação genérica da espiral a equação polar 
cotr aeθ α= . Onde r 
é o raio da espiral e a é o raio associado para 0θ = , tal que θ é o ângulo em radianos 
formado entre r e o eixo x . 
 
FIGURA 13 
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 Um erro comum é pensarmos que a espiral logarítmica está inscrita no retângulo 
áureo. A verdade é que ela é aproximadamente igual à espiral formada pela sequência de 
retângulos áureos (FIG.11), pelo fato de estarmos admitindo arcos circulares como uma 
aproximação da curva real. Segue então o exemplo abaixo: 
 
Construção 7.1. Construção aproximada da espiral logarítmica, dado o retângulo áureo. 
 
 Traçamos no retângulo ABCD dado, uma circunferência de centro em F e raio FD , 
determinando o arco DE .Em seguida, com centro em H e raio HE , traçamos uma 
circunferência determinando o arco EG, e assim sucessivamente. Construímos, então, a 
espiral logarítmica. 
 
FIGURA 14 
 
 
 Existem, também, outros tipos de espirais como a espiral áurea triangular, (FIG.15), 
que é formada pela uma sequência de triângulos áureos. 
 65
 
 
FIGURA 15 
 
 Essa espiral possui várias propriedades. Citaremos duas: 
 
I) Dado o triângulo áureoFGH , se começarmos com o segmento HG tal que 1HG = , 
verificamos que os lados dos triângulos áureos formam a sequência áurea vista anteriormente, 
ou seja: 
 
1
1 1
2 1
3 2
5 3
8 5
GF
FE
ED
DC
CB
BA
φ
φ
φ
φ
φ
φ
=
= +
= +
= +
= +
= +
 
II) Se traçarmos em cada triângulo áureo a mediana relativa ao vértice que contém o ângulo 
72°, então os comprimentos dessas medianas formarão uma seqüência com as mesmas 
propriedades da sequência áurea. 
 
 
 
 66
 
CAPITULO 8 
8 - Onde podemos encontrar a Razão Áurea? 
 
 Buscamos essa resposta em Lívio (2007, p.79-145). As folhas, ao longo do galho de 
uma planta, ou os talos, ao longo de um ramo, tendem a crescer em posições que otimizariam 
sua exposição ao sol, à chuva e ao ar. À medida que um talo vertical cresce, ele produz folhas 
em pontos com espaçamento bem regular. A passagem de uma folha para a seguinte (ou de 
um talo para o seguinte ao longo dos ramos) é caracterizada por espaçamentos do tipo 
parafuso em volta do ramo. Arranjos semelhantes de unidades que se repetem podem ser 
encontrados nas camadas de uma pinha ou nas sementes de um girassol. Esse fenômeno é 
chamado de phyllotaxis - em grego, arranjos de folhas. Também podemos encontrar um 
conjunto de linhas espirais - conhecido como parastichies - em algumas plantas, como nas 
camadas de uma pinha ou de um abacaxi. 
 Através de pesquisas, o botânico Karl Friedric Schimper e o seu amigo Alexander 
Braun, e o cristalógrafo Auguste Bravais e seu irmão botâncio Louis, descobriram a regra 
geral de que os quocientes filotáxicos poderiam ser expressos por razões de termos da série de 
Fibonacci (como 
2
5
, duas voltas completas para passar por cinco ramos; ou 
3
8
, três voltas 
completas para passar por oito ramos). Notaram, também, a aparição de números de Fibonacci 
consecutivos nos parastichies de pinha e de abacaxis (a maioria dos abacaxis tem cinco, oito, 
treze ou vinte e uma espirais de inclinação crescente na sua superfíce). 
 Outro exemplo é o náutilo, que cresce dentro de uma concha. Ele constrói câmaras 
cada vez maiores, fechando as menores, que não são mais usadas. Cada aumento no 
comprimento da concha é acompanhado de um crescimento proporcional no raio, de modo 
que a forma permanece inalterada. Assim como a forma da espiral logarítma. 
 O biólogo Vance A. Tucker da Universidade de Duke, na Carolina do Norte, EUA 
descobriu que os falcões mantêm a cabeça em linha reta e seguem uma espiral logarítma. 
Devido à propriedade eqüiangular da espiral, esse caminho lhes permite manter seu alvo à 
vista enquanto maximiza a velocidade. Esse padrão espiral também pode ser percebido em 
galáxias. 
 Muitos pintores também utilizavam ou utilizam a razão áurea em suas pinturas. 
Podemos destacar: Salvador Domingo Felipe Jacinto Dalí i Domènech - 1º Marquês de Púbol, 
conhecido como Salvador Dali, Piero della Francesca, Leornardo da Vinci e o alemão 
 67
 
Albrecht Dürer. O matemático mais ativo deste trio ilustre foi Piero della Francesca, que teve 
três trabalhos preservados: De Prospectiva pingendi (Sobre a perspectiva na pintura), Libellus 
de Quinque Corporibus Regularibus (Livro curto sobre os cinco sólidos regulares), e Trattato 
d’Abaco (Tratado sobre o ábaco). De Prospectiva pingendi - escrito em meados da década de 
1470 até meados da década de 1480 - contém numerosas referências aos Elementos e à Óptica 
de Euclides, pois ele estava decidido a demonstrar que a técnica para se obter a perspectiva 
em uma pintura recaía firmemente na base científica da percepção visual. Já nos outros dois 
trabalhos, Piero apresenta uma vasta gama de problemas (e suas soluções) que envolvem o 
petágono e os cinco sólidos platônicos. Ele calcula os comprimentos dos lados e das 
diagonais, além de áreas e volumes. Muitas das soluções envolvem a Razão Áurea e algumas 
das técnicas representam um pensamento inovador e original. 
 
Considerações finais 
 
 No momento em que nos propusemos conhecer um pouco mais sobre a razão áurea, 
não sabíamos, exatamente, o tamanho do desafio. Tampouco tínhamos noção que esse era um 
assunto não muito abordado. Mas, embora não tenhamos encontrado um vasto material 
teórico, o que encontramos deu-nos a oportunidade de uma pesquisa interessante, ainda que 
limitada. 
 Pudemos perceber, no decorrer deste trabalho, que a razão áurea tem a característica 
de aparecer em lugares inesperados, talvez pelo fato de possuir propriedades únicas. Também 
é um assunto capaz de despertar nas pessoas um entusiasmo muito grande. Percebemos, 
ainda, que essa razão não é somente uma forma de relacionar a matemática ao mundo real, 
mas também é a representação da vida através de um número. O certo é que estudiosos, não 
sendo apenas de matemática, dedicaram-se durante muito tempo a desvendar os mistérios da 
razão áurea. 
 Fica-nos a convicção de que este trabalho apenas demonstra uma pequena parte de 
tudo que realmente a razão áurea é capaz de expor para os verdadeiros apreciadores do 
mistério matemático. Ela é capaz de quantificar e qualificar a beleza. 
 
 
 
 
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Referências 
 
 
[1] BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. 
 
 
[2] HUNTLEY, H.E. A divina proporção: um ensaio sobre a beleza na Matemática. Tradução 
de Luís Carlos Ascêncio Nunes. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985. Título 
original: The divine proportion: A study in mathematical beauty. 
 
 
[3] LIVIO, Mario. Razão Áurea: A história de Fi, um número surpreendente. 2.ed. Rio de 
Janeiro: Record, 2007. 
 
 
[4] WAGNER, Eduardo. Construções Geométricas. 6.ed. Rio de Janeiro: Sociedade 
Brasileira de Matemática, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Introdução
	1- Conceitos Básicos
	2- Razão Áurea
	3- Construções
	4 - Razão Áurea e Aplicações
	4.1 - Leonardo Fibonacci
	5 - Retângulo Áureo
	7 - A Espiral Logarítmica
	8 - Onde podemos encontrar a Razão Áurea?