ENSINO FUNDAMENTAL 9º ANO_MATEMÁTICA_VOLUME 01 (PROFESSOR)

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Livro do professor
Livro
didático
Matemática
9o. ano
Volume 1
Números reais 21
2 Semelhança 23
Retas paralelas e 
proporcionalidade 55
3
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te
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ck
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. N
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es
1
Números reais
1. Assim como os telescópios, alguns instrumentos servem para ampliar as imagens de objetos distantes; outros 
ajudam na observação de objetos muito pequenos. Quais instrumentos de observação você conhece?
2. Em 2016, foi encontrado um planeta batizado de Proxima b. A distância que nos separa desse planeta 
é de, aproximadamente, 4 anos-luz. Se um ano-luz equivale a cerca de 9 500 000 000 000 000 metros, 
qual a distância da Terra até Proxima b, em metros? Como você representaria esse número de uma 
forma mais simples, facilitando assim a sua escrita e leitura?
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m
en
s
Provavelmente você já viu, pela televisão ou pela 
internet, belas e impressionantes imagens do Universo 
fotografadas pelo telescópio Hubble. No decorrer dos 
últimos séculos, muitos tipos de telescópio foram 
desenvolvidos para a observação e construção teórica 
de um modelo para explicar o mundo em que vivemos. 
Comentário.1
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s
2
Após o estudo deste capítulo, espera-se que você reconheça um número irracional e estime a 
sua localização na reta numérica. Além disso, você vai efetuar cálculos com números reais, incluin-
do potenciação e radiciação.
Objetivos
Potenciação e notação científica
Em outros anos, você já estudou a potenciação, que consiste na multiplicação sucessiva de fatores iguais.
Sendo a um número racional e n um número natural maior do que 1, temos:
an = a · a · a · ... · a
n vezes
Definimos também que a1 = a e que quando a é diferente de zero, a0 = 1.
Na operação de potenciação:
• o fator que se repete é denominado base; 
• o expoente indica a quantidade de vezes que a base aparece na multiplicação.
← = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
5 f
5
atores
Expoente Potência
Base 2 2 2 2 2 2 32
Veja mais alguns exemplos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =
− = − ⋅ − ⋅ − = −
3 3 3 3 3 81
0 5 0 5 0 5 0 5
4
3 00 125
1
4
1
4
1
4
1
16
2
,
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ =
 
Para relembrar mais alguns conhecimentos importantes, calcule as potências e complete as frases a seguir.
a) 1
3
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = b) 0
1 = 0 c) (–49)1 = –49 
Uma potência com o expoente 1 é igual à própria a base .
a) 20 = 1 b) (–2,5)0 = 1 c) 2
3
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 1 
Uma potência com o expoente e 0 é igual a 1.
a) 3 –2 = b) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−1
10
3
 
Quando o expoente for um número inteiro negativo, o resultado é o o inverso da potência com o 
correspondente expoente positivo.
1
3
1
3
1
92
(–10)3 = –1 000
Comentário.2
3
Objetivos
Agora vamos relembrar as propriedades da potenciação. Para isso, em cada item a seguir, resolva as ope-
rações indicadas, assinale a alternativa correta e complete as respectivas frases.
a) 2 23 2⋅ = ( ) 26
( X ) 25
Na multiplicação de potências de mesma base, , conserva-se a base e e somam-se os expoentes.
b) 7 76 2: ( X ) 74 
( ) 73 
Na divisão de potências de mesma base, , conserva-se a base e e subtraem-se os expoentes.
c) 4 23 3⋅ = ( X ) 83 
( ) 86 
Na multiplicação de potências de mesmo expoente, , multiplicam-se as bases e conserva-se 
o expoente.
d) 6 35 5: ( ) 35 
( X ) 25 
Na divisão de potências de mesmo expoente, , dividem-se as bases e e conservam-se os expoentes.
e) (53)2 = ( ) 55
( X ) 56 
Para calcular uma potência elevada a um expoente, conserva-se a base e multiplicam-se 
os expoentes.
Vamos agora falar sobre a notação científica. Além de facilitar os cálculos, ela é muito utilizada em repre-
sentações científicas para indicar números muito grandes ou muito pequenos. Veja os dois exemplos a seguir. 
I. A velocidade da luz é extremamente alta quando 
comparada com as velocidades registradas em fenômenos 
cotidianos. No vácuo, a velocidade de propagação da luz é 
de aproximadamente 300 000 000 m/s. É no vácuo que a 
luz atinge sua maior velocidade.
II. Uma bactéria tem medidas da ordem dos micrômetros. 
Por exemplo, se ela medir 1,5  micrômetro (essa medida 
equivale a 0,0000015 metro), somente pode ser observada 
com o uso de um microscópio eletrônico.
23 +2 = 25
76 –2 = 74
(4 · 2)3 = 83
( : )6 3 25 5
53 · 2 = 56
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til
ia
9o. ano – Volume 14
Veja que os dois exemplos anteriores mostram um número muito grande e outro muito pequeno. Nesses e 
em outros casos é mais adequado escrever os números em notação científica. 
Um número em notação científica é escrito como um produto de dois fatores. Um deles é um número maior do que ou igual 
a 1 e menor do que 10. O outro é uma potência de base 10.
Número maior do que ou igual a 1 e 
menor do que 10
Número inteiro
· 100
Utilizando a forma de notação científica, escreva os números que representam a velocidade da luz no vácuo, 
em metros por segundo, e o comprimento da bactéria, em metro.
3 · 108 m/s
1,5 · 10–6 m
Atividades
Gabaritos.3
 1. Calcule o valor de cada uma das potências. 
a) 53 = 125 
b) (–2)4 = 16 
c) 105 = 100 000 
d) 181 = 18 
e) 120 = 1 
f) (–12)0 = 1 
g) (2,5)2 = 6,25 
h) 
2
3
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 
i) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−2
3
3
 
j) −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−2
7
2
 
k) ( )− =−12 1 
l) 5–2 = 
 2. Utilize as propriedades para representar as expressões em uma única potência.
a) ( ) : ( : )2 2 2 26 4 5 2
b) 3 3 31 4 8− ⋅ ⋅ 
c) 
1
3
1
3
6 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
d) 5 53 3 2
2
: ( )
e) 
128
1
4
16 2
f) 
9 27
243
2 3
2
 3. Sabendo que a ( ) ( : )= ⋅7 7 72 3 3 2 4 e b ( ) : ( )= ⋅7 7 79 2 4 2 2, qual a potência de base 7 que representa o valor 
de a : b?
 4. Escreva em notação científica os números a seguir.
a) 32 000 = 3,2 · 104 
b) 500 = 5 · 102 
c) 865 000 = 8,65 · 105 
d) 0,00000034 = 3,4 · 10–7 
e) 0,000125 = 1,25 · 10–4 
f) 755 milhões = 7,55 · 108 
g) 335 mil = 3,35 · 105 
h) 15,3 bilhões = 1,53 · 1010 
8
27
27
8
49
4
1
12
1
25
 Matemática 5
 5. Os números a seguir estão em notação científica. Escreva-os usando somente algarismos.
a) 5,2 · 10–3 = 0,0052 
b) 3,4 · 10–2 = 0,034 
c) 8,4 · 105 = 840 000 
d) 6,7 · 10–4 = 0,00067 
e) 5,2 · 103 = 5 200 
f) 8,5 · 106 = 8 500 000 
 6. Um pesquisador observou a reprodução de determinado tipo de bactéria e percebeu que a cada 
20 minutos a quantidade de bactérias duplicava. Sabendo que no início da observação havia apenas uma 
bactéria, responda às questões. 
a) Quantas bactérias havia após 2 horas de observação?
b) E ao final de 5 horas?
 7. Veja como podemos dividir 4 8 1015, por 2 5 10 9, .
Observe que os dois números estão em notação 
científica.
4 8 10
2 5 10
15
9
,
,
Inicialmente, vamos dividir 4,8 por 2,5.
Assim, 4,8 : 2,5 = 1,92.
Agora, vamos dividir as potências de 10.
1015 : 109 = 1015–9 = 106
Portanto: 4 8 10
2 5 10
192 10
15
9
6,
,
,
⋅
⋅
= ⋅
Você pode usar essa ideia para resolver o proble-
ma a seguir. 
O Sol é bem maior do que a Terra! Considere os 
seguintes volumes aproximados:
• da Terra: 1,08 · 1012 km3 ;
• do Sol: 1,41 · 1018 km3 .
O volume do Sol equivale aproximadamente a 
quantas vezes o volume da Terra?
Quando você dividir 1,41 por 1,08, considere o re-
sultado com aproximação de uma casa decimal. 
Vamos dividir o volume do Sol pelo volume da Terra.
Volume do Sol
Volume da Terra
=
⋅
⋅
1 41 10
1 08 10
18
12
,
,
Dividindo 1,41 por 1,08, obtemos aproximadamente 1,3. Além disso, 10 10 10 1018 12 18 12 6: = =− . 
Assim: Volume do Sol
Volume da Terra
1 3 10 1 3000006, ⋅ =
Portanto, o volume do Sol equivale aproximadamente um milhão e trezentas mil vezes o volume da Terra.
 8. Considere que o volume de uma gota de água é 5 10 5⋅ − L. 
Quantas gotas existem em
a) 1 litro de água?
b) um recipientecom 350 mL de água?
 9. Certo vírus tem 150 nanômetros de comprimento. 
a) Qual é o comprimento desse vírus, em metro? Escre-
va o resultado em notação científica.
b) Caso 60 000 desses vírus estivessem alinhados, um 
grudadinho no outro, o comprimento total seria 
maior do que 1 cm? 
Dica: Lembre-se de que 1 nanômetro é 
a bilionésima parte do metro, ou seja:
1 nanômetro = 0,000000001 m = 10–9 m
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9o. ano – Volume 16
10. (ENEM) Uma das principais provas de velocidade do atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No 
Campeonato Mundial de Sevilha, em 1999, o atleta Michael Johnson venceu essa prova, com a marca de 
43,18 segundos. 
Esse tempo, em segundo, escrito em notação científica é 
a) 0 4318 10 2,
X b) 4 318 101, 
c) 43 18 10 0,
d) 431 8 10 1, × −
e) 4318 10 2× −
11. (ENEM) Medir distâncias sempre foi uma necessidade da humanidade. Ao longo do tempo fez-se neces-
sária a criação de unidades de medidas que pudessem representar tais distâncias, como, por exemplo, o 
metro. Uma unidade de comprimento pouco conhecida é a Unidade Astronômica (UA), utilizada para 
descrever, por exemplo, distâncias entre corpos celestes. Por definição, 1 UA equivale à distância entre a 
Terra e o Sol, que em notação científica é dada por 1 496 10 2, milhões de quilômetros. 
Na mesma forma de representação, 1 UA, em metro, equivale a
a) 1 496 105, m
b) 1 496 10 6, m
c) 1 496 10 8, m
d) 1 496 1010, m
X e) 1 496 1011, m
12. (ENEM) A Chlamydia, a menor bactéria do mundo, mede cerca de 0,2 micrômetro (1 micrômetro equi-
vale à milionésima parte de um metro). Para ter uma noção de como é pequena a Chlamydia, uma pes-
soa resolveu descrever o tamanho da bactéria na unidade milímetro. 
A medida da Chlamydia, em milímetro, é
a) 2 10 1× −
b) 2 10 2× −
X c) 2 10 4× − 
d) 2 10 5× − 
e) 2 10 7× −
Sugestão de atividades: questões de 1 a 4 da seção Hora de estudo.
Conjunto dos números reais 
Nos anos anteriores, você estudou os números naturais, os números inteiros e os números racionais. Agora, 
vamos conhecer outro tipo de número, os irracionais. 
Números irracionais 
Observe os números apresentados nos quadros A e B. 
Quadro A
0,16666666666666...
0,27272727272727...
12,154154154154...
3,03030303030303...
Quadro B
0,123456789101112131415...
1,414213562373095048801...
3,1415926535897932384626...
–0,52552555255552555552...
Quais as características dos números apresentados em cada quadro? Há diferença entre eles? 
Discuta as questões com os colegas e o professor.
Comentários de encaminhamento.4
 Matemática 7
Esses números, que têm infinitas casas decimais e não são dízimas periódicas, são conhecidos como 
números irracionais. Um exemplo de número irracional é o número pi (representado pela letra grega π), 
obtido quando dividimos, em uma mesma unidade, o comprimento de uma circunferência pela medida do 
seu diâmetro. 
π = 3 14159265, ...
O número π tem infinitas casas decimais e não tem um período que se repita. Por isso o número π é irracional. 
Agora, vamos conhecer outro número irracional. 
Considere dois quadrados cujos lados medem 1 cm. Dividimos cada quadrado ao meio pela sua diagonal e 
montamos um novo quadrado, conforme a figura a seguir. 
1 cm
1 c
m
Área = 1 cm2 Área = 1 cm2 Área = 2 cm2
x
x
x
x
x
1 cm
1 cm
O quadrado montado tem área de 2 cm2. Portanto, a medida x dos lados desse quadrado é um número que, 
elevado ao quadrado, resulta em 2, ou seja, x é igual a 2. Mas qual é o valor de 2 ? Qual é o número que 
elevado ao quadrado é igual a 2?
Você sabe que 1 é igual a 1 e que 4 é igual a 2. Então, 2 está entre 1 e 2. 
Uma forma de obter resultados aproximados para 2 é fazer tentativas. 
1,12 = 1,1 · 1,1 = 1,21
1,22 = 1,2 · 1,2 = 1,44
1,32 = 1,3 · 1,3 = 1,69
1,42 = 1,4 · 1,4 = 1,96
1,52 = 1,5 · 1,5 = 2,25
Observando o quadro anterior, concluímos que 2 está entre quais valores? 
Está entre 1,4 e 1,5.
Agora já conhecemos a primeira casa decimal. Podemos continuar fazendo tentativas.
1,412 = 1,9881
1,422 = 2,0164
Assim, 2 está entre 1,41 e 1,42.
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 2
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8.
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9o. ano – Volume 18
Com o cálculo anterior, já sabemos quais são as duas primeiras casas decimais. Vamos determinar a próxima casa. 
1,4112 = 1,990921
1,4122 = 1,993744
1,4132 = 1,996569
1,4142 = 1,999396
1,4152 = 2,002225
Portanto, vemos que 2 está entre 1,414 e 1,415. 
Desse modo, obtivemos as três primeiras casas decimais de 2, ou seja:
2 1 414,
Utilizando uma calculadora, calcule o valor de 2 e observe o resultado. 
O número gerado tem muitas casas decimais diferentes. É possível identificar algum período nesse número? 
Podemos afirmar que esse número é irracional pelo resultado apresentado na calculadora? 
Depois, experimente calcular 
2
3
 e 1
17
 com uma cal culadora. Quais são os números obtidos? Você observa 
algum período? São dízimas periódicas?
Quando usamos uma calculadora, obtemos apenas algumas casas decimais dos números 2, 
2
3
 e 1
17
. 
Além disso, algumas calculadoras fazem uma aproximação na última casa disponível no visor. Porém, sabemos 
que 2 é um número irracional, enquanto 
2
3
 e 1
17
 são números racionais, pois são divisões de dois números 
inteiros. Veja cada um desses números escritos com 32 casas decimais.
2 1 41421356237309504880168872420969
2
3
0 66666666666666
, ...
, 6666666666666666666
1
17
0 058823529411764705882352941176
...
, 447...
Considerando a existência de um novo tipo de número, podemos ampliar o conhecimento sobre os conjun-
tos numéricos. Em anos anteriores, você estudou:
• o conjunto dos números naturais, representado por { , , , , , , , , , , , , , ...};0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
• o conjunto dos números inteiros, representado por = − − −{..., , , , , , , , ...};3 2 1 0 1 2 3 
• o conjunto dos números racionais, representado por � �= ∈ ≠⎧⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
a
b
com a e b e b, . 0
Além dos números racionais, vimos que existem os números irracionais. Quando juntamos todos esses 
números, formamos os números reais.
Assim, o conjunto dos números reais, representado por , tem como elementos os números racionais e 
os números irracionais.
A reta numérica
É possível traçar um segmento com medida 2 na reta numérica usando régua e compasso. Ao transportar 
com o compasso a medida do lado do quadrado obtido anteriormente para a reta numérica, obtemos o ponto 
correspondente a 2. 
 Matemática 9
 1. Observe os números e responda às questões.
25 –35
3
5
15
3
2,141414... π 2
a) Quais desses números são naturais? 
b) Quais números são inteiros? 
c) Quais números são racionais? 
d) Quais números são irracionais? 
e) Quais números são reais e não são racionais? 
f) Quais números são reais e não são irracionais? 
 2. Escreva os números a seguir em ordem crescente. 
15
4
3,626262... –1,33333... 50
7
– π 3 2 5,4676767...
− − −
15
4
1 33333 3 626262 3 2 5 4676767
50
7
; ; , ; , ; ; , ;π
25 e 15
3
.
25, –35 e 15
3
.
25, –35, 3
5
15
3
, e 2,141414...
π e 2.
π e 2.
25, –35, 3
5
15
3
, e 2,141414...
Observe na figura a seguir como podemos realizar esse procedimento.
–2 –1 0 1 2 3
1
1
√—2 x = √
—
2
√—2
Podemos também utilizar uma aproximação para estimar a localização do número 2 na reta numérica. Por 
exemplo, 2 1 4142135, ... é aproximadamente 1,41. 
1,4
1,4
1,41
1,5
1,5
0 1 2 3
Qualquer número real pode ser representado na reta numérica. 
Atividades
Gabarito.5
Ilu
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Ar
t. 
20
18
. D
ig
ita
l.
9o. ano – Volume 110
 3. Represente na reta numérica os números racionais abaixo. Para isso, faça uma aproximação para a segun-
da casa decimal.
a) 0,45666... b) 2,3682525... c) –3,323232...
–3,32
–4 –3 –2 –1
0,46 2,37
0 1 2 3 4
 4. Represente os números irracionais a seguir na reta numérica.
a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 2 2 
–2√
—
2 2√
—
2–√
—
2 √
—
2
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
 5. (UTFPR) De acordo com a representação geométrica de números reais, a seguir:
a b c
–3 –2 –1 0 1 2 3
I)b
c
1 II) a b+ > 0 III) bc c IV) ac b
 Somente estão corretas as afirmações: 
X a) I e III.
b) II e III.
c) I, II e IV.
d) III e IV.
e) I, II e III.
Radiciação e os números reais
Você já estudou em outros anos a operação de radiciação. Agora, vamos ampliar as ideias e também estu-
dar algumas propriedades. Inicialmente, vamos relembrar o conceito de radiciação. 
Considere as duas situações a seguir. 
a) Foi solicitado a um serralheiro que cortasse uma chapa quadrada de alumínio com 8 100 cm2 de 
área. Para iniciar seu trabalho, ele precisava saber a medida do lado dessa chapa. Qual o valor dessa 
medida? 
Para determinar a medida dos lados do quadrado, calculamos a raiz quadrada de 8 100, ou seja, 8100 90. Portanto, o 
serralheiro terá que cortar uma chapa quadrada de 90 cm de lado. 
b) O cubo representado na figura tem volume de 512 cm3. Qual a medida das 
arestas desse cubo?
Para determinar a medida das arestas do cubo, calculamos a raiz cúbica de 512, ou seja, 512 83 . 
Portanto, as arestas do cubo medem 8 cm.
 
Ilu
st
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es
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ac
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Ar
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20
18
. D
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ita
l.
 Matemática 11
Na primeira situação, você teve que calcular a raiz quadrada de 8 100 e obteve 90 como resultado. Na segun-
da situação, você calculou a raiz cúbica de 512 e obteve 8 como resultado. 
A operação que realizamos para calcular a raiz quadrada de 8 100 e a raiz cúbica de 512 recebe o nome de 
radiciação. Lembre-se sempre de que a radiciação é a operação inversa da potenciação. 
512 = 83
Radicando
Índice
Raiz 83 = 512
Expoente
Base
Potência
Vamos pensar agora nas seguintes questões:
Existem raízes quadradas de números negativos? E raízes cúbicas? Justifique sua resposta. Discuta as ques-
tões com os colegas e o professor.
Não existe a raiz quadrada de números negativos, pois sempre que multiplicamos um número por ele mesmo, o resultado nunca é 
negativo. Quando multiplicamos um número negativo por ele mesmo e depois novamente por ele, o resultado é um número negativo. 
Portanto, a raiz cúbica de um número negativo sempre existe. 
Você também já estudou potências em que o expoente não é um número inteiro e viu que existe uma curiosa relação 
que envolve a potenciação (com base não negativa) e a radiciação. Vamos relembrar essa relação com dois exemplos.
4 4
1
12 2
8 8
2
23 3
Assim, 4 4 2
1
2 .
Assim, 8 64 4
2
3 3 .
As potências anteriores também podem ser calculadas de outra maneira.
4 2 2 2 2
1
2 2
2
1
2 1
1
2= = = =
⋅
( ) 8 2 2 2 4
2
3 3
3
2
3 2
2
3= = = =
⋅
( )
Agora é sua vez!
Calcule:
• 27
1
3 • 25
3
2 
Comentário sobre a raiz quadrada de um número.6
⋅
= = =
1
3
1
33 13(3 ) 3 3 3 ( )5 5 5 1252
2
3
2 3
3
2 = = =
⋅
Atividades
 1. Calcule as expressões quando possível.
a) 225 = 15 
b) 81 = –9 
c) 
100
169
= 
d) 25 Não é real. 
e) 25 = –5 
f) 814 = 3 
g) 814 Não é real. 
h) 646 = 2 
i) 15 = –1 
j) 2163 = –6 
k) 2163 = 6 
l) 1 0245 = 4 10
13
Gabaritos.7
9o. ano – Volume 112
 2. Calcule o valor de cada expressão a seguir. 
a) 4 169 2 64 2253− − + b) 125 9 49− + 
 3. Analise as afirmações a seguir corrigindo as falsas de forma que se tornem verdadeiras.
a) A raiz quadrada de um número negativo é um número negativo. 
Falsa. A raiz quadrada de um número negativo não existe.
b) A raiz quadrada de qualquer número racional é um número racional.
Falsa. A raiz quadrada de um número racional pode ser um número racional.
c) A raiz quadrada de um número positivo é um número positivo. 
Verdadeira. 
d) A raiz quadrada de um número real é um número real.
Falsa. A raiz quadrada de um número real pode ser um número real.
 4. Veja como podemos obter a raiz quadrada usando dois possíveis tipos de calculadora.
Calculadora A
√—
√—
√—
√—=
=
3
3
–
1 ÷
8
· 9
6
2 4
1
3
32 49,
1
16
8
Calculadora B
√—
√—
√—
√—
9
=
=
=
÷
8
(
–
3
3
,
1 1 ) =
2 4
6
3
32 49,
1
16
8
Esses são apenas dois modelos de calculadora. Pode ser que na sua os procedimentos sejam um 
pouco diferentes. 
a) Utilize uma calculadora para obter as seguintes raízes. Escreva os resultados com aproximação de 
duas casas decimais.
• 244 15,62 
• 2 44, 1,56 
• 
41
3
 3,7 
• 
16
9
 1,33 
b) Calcule 10 na calculadora. O que você observa? 
Aparece uma mensagem de erro, pois não existe a raiz quadrada de –10. 
Apresentamos o resultado de 41
3
 com aproximação de uma casa decimal, pois com duas casas 
temos 3,70. 
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
 Matemática 13
 5. Escreva os radicais como potências de expoentes fracionários.
a) 534 
b) 1223 
c) 3 47 
d) 10 7 
e) 24 
f) 4 912 
 6. Escreva o radical equivalente a cada potência.
a) 5
2
3 
b) 7
5
4 
c) 8
5
8 
d) 12
5
2 
e) 36
1
6 
f) 55
1
2 
 7. Nas igualdades a seguir, determine o número correspondente a cada letra.
a) 9 93
3
4a a = 4 
b) 9 938 8
b
 b = 3 
c) 7 724 2
c
 c = 1 
d) 5 5
1
d d = 2 
e) 8 86
7
3e e = 14 
f) 8 86
3
5f f = 10 
 8. Responda às questões a seguir. 
a) Qual é o perímetro de um quadrado de área 1,21 cm2? 
b) Qual é a medida das arestas de um cubo cujo volume é 216 cm3? 
 9. Uma pessoa deu 25 voltas completas em um quarteirão de forma quadrada cuja área é de 12 100 m2. 
Qual é a distância, em metros, que ela percorreu?
10. (ENEM) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de 
um cubo, para transportá-las. 
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13 824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser 
transportadas em uma caixa é igual a 
a) 4. X b) 8. c) 16. d) 24. e) 32.
5
3
4
12
2
3
3
4
7
10
7
2
2
1
4
4 4
9
12
3
4
5 23
7 54
8 58
12 5
366
55
Sugestão de atividades: questões 5 e 6 da seção Hora de estudo.
Propriedades dos radicais
Quando estudamos a potenciação, vimos que existem algumas propriedades que podem nos ajudar 
bastante. Há algumas propriedades para a radiciação também. 
Vamos começar olhando para a seguinte igualdade:
16 9 16 9+ = +
Será que ela é verdadeira?
9o. ano – Volume 114
Vamos obter o resultado em cada um dos membros da igualdade.
Primeiro membro: 16 9 25+ = = 5
Segundo membro: 16 9 4 3+ = + =7
Assim, como os resultados são diferentes, não é verdade que 16 9 16 9+ = + . De modo geral, pode-
mos dizer que a b não é igual a a b. 
Claro que existem exceções! Se, por exemplo, a for igual a 0 e b for igual a 4, a igualdade é válida. Mas não 
podemos dizer que ela é verdadeira para quaisquer números a e b não negativos. 
Veja agora esta outra igualdade: 16 9 16 9⋅ = ⋅
Calculando cada um dos membros da igualdade, temos:
Primeiro membro: 16 9 144⋅ = =12
Segundo membro: 16 9 4 3⋅ = ⋅ =12
Os resultados são iguais! Podemos dizer que a raiz quadrada de 16 vezes 9 é igual à raiz quadrada de 16 vezes 
a raiz quadrada de 9. Se você fizer o teste com outros números não negativos, verá que a igualdade sempre será 
verdadeira. 
Vamos ver mais um exemplo: 4 5 4 5e
4 5 20
4 5 2 5
⋅ =
⋅ =
Com uma calculadora, obtemos 20 4 472, e 5 2 236, . 
Assim, usando as aproximações, temos:
4 5 2 5 2 2 236 4 472⋅ = ⋅ ⋅ =, ,
Essas contas nos mostram que 4 5 4 5⋅ = ⋅ . Podemos, então, escrever a seguinte propriedade:
A raiz do produto de dois números não negativos é igual ao produto das raízes desses números. 
Essa propriedade também é válida para raízes cúbicas, raízes quartas e assim por diante. Veja alguns exemplos:
• 36 64 36 64 6 8 48⋅ = ⋅ = ⋅ = • 8 216 8 216 2 6 12
3 3 3⋅ = ⋅ = ⋅ =
Quando temos um quociente, também existe uma propriedade bem parecida. Para mostrar como isso fun-
ciona, vamos começar com a seguinte igualdade:
4
25
4
25
Podemos verificar facilmente que ela é verdadeira.
4
25
0 16= =, 0,4 4
25
2
5
= = 0,4
 Matemática 15
Da mesma forma que a propriedade anterior, esta é válida para raízes com outros índices. Veja mais exemplos:
• 
11
8
11
8
11
2
3
3
3
3
 (deixamos indicada a raiz cúbica de 11)
• 
75
3
75
3
25 5 
Repare num fato interessante! A raiz de umproduto é igual ao produto das raízes e a raiz de um quociente 
é igual ao quociente das raízes. Sabemos que a multiplicação e a divisão são operações inversas uma da outra. 
Por outro lado, sabendo que a adição e a subtração também são operações inversas e que essa propriedade não 
existe para a adição, será que também não existe para a subtração? 
Vejamos um exemplo: 100 81 100 81e
100 81
100 81 10 9
− =
− = − =
19
1
Como os resultados são diferentes, então 100 81 100 81− ≠ − .
Portanto, essa propriedade não existe para a subtração. 
Atividades
 1. Calcule os valores das seguintes expressões: 
a) 49 81 = 
b) 3 93 3 = 
c) 2 50 = 
d) 
25
16
= 
e) 
63
2 7
= 
f) 3 5 3 523 23 = 
 2. Calcule a área do triângulo a seguir, considerando as medidas indicadas na figura.
2√
—
3 cm
5√
—
3 cm 
A área do triângulo é a metade do produto da me-
dida da base pela medida da altura.
⋅=
= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
5 3 2 3
Área
2
Área 5 3 3 5 9 5 3 15
Portanto, a área do triângulo é igual a 15 cm2.
49 81 7 9 63⋅ = ⋅ =
3 9 27 33 3⋅ = =
2 50 100 10⋅ = =
25
16
5
4
9 7
2 7
9 7
2 7
3
2
1 5
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= = ,
3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 152 23 3 33 33 33⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
Gabaritos.8
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
9o. ano – Volume 116
 3. Em algumas raízes não exatas, podemos escrever o radical de forma mais simples. Acompanhe um 
exemplo:
48 2 34= ⋅ (decompomos o número 48 em fatores primos)
48 2 34= ⋅ (usamos a propriedade da raiz de um produto)
Observe que 24 é igual a 22, pois 2 2 22 2 4⋅ = .
Assim, 48 2 32= ⋅ .
Você deve ter notado que, ao calcular a raiz quadrada de 24, o expoente foi dividido por 2. Isso sempre vai acontecer 
com potências de expoente par. Como 3 não pode ser simplificada e 2 42 , temos que 48 4 3. 
Outra maneira de simplificar o radical seria escrever 48 como um produto de dois fatores, em que um deles é um 
quadrado perfeito. Isso pode ser feito com tentativas. Poderíamos escrever 48 como 24 · 2, mas nesse caso não 
temos um quadrado perfeito. Por outro lado, 16 · 3 é uma boa escolha! 
Assim, 48 16 3 16 3 4 3= ⋅ = ⋅ = .
Agora, simplifique os seguintes radicais:
a) 75 
b) 98 
c) 27 
d) 32 
e) 163 
 4. Em expressões com radicais, você pode adicionar ou subtrair os termos semelhantes.
Veja como exemplo a expressão 8 50 18+ − .
Inicialmente, vamos simplificar cada um dos radicais.
8 2 2 2 2 2 2 2
50 5 2 5 2 5 2
18 3 2 3 2 3 2
3 2 2
2 2
2 2
= = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
 
Portanto:
8 50 18 2 2 5 2 3 2+ − = + −
Veja que agora todos os termos da expressão são semelhantes. Duas vezes raiz de 2 mais cinco vezes raiz de 2 é igual 
a sete vezes raiz de 2. Sete vezes raiz de 2 menos três vezes raiz de 2 é igual a quatro vezes raiz de 2.
Assim, 8 50 18 4 2+ − = .
Também podemos observar que 2 é fator comum. 
8 50 18 2 5 3
8 50 18 2 5 3
8 50 18 4
2 2 2
2
2
+ − = + −
+ − = + −
+ − =
( )
49 2 49 2 7 2⋅ = ⋅ =
9 3 9 3 3 3⋅ = ⋅ =
2 2 2 2 2 2 243 33 33 3 3= ⋅ = ⋅ =
Comente com os alunos que também podemos escrever 48 como 4 · 12. Nesse 
caso, 4 é um quadrado perfeito e, como 12 não é primo, é necessário simplificar-
mos 12 . Assim:
12 4 3 4 3 2 3
48 4 12 4 12 2 2 3 4 3
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
25 3 25 3 5 3⋅ = ⋅ = 16 2 16 2 4 2⋅ = ⋅ =
 Matemática 17
Preencha o quadrinho com o número que torna a igualdade verdadeira.
a) 75 27 3+ =
b) 98 32 2− =
c) 2 40 3 10 10+ =
d) 5 45 10 20 5− =
e) 5 12 4 27 3− =
f) 3 16 54 23 3 3+ =
 5. Observe na figura um triângulo retângulo cujas medidas dos lados vamos chamar de a, b e c.
8
3
7
–5
–2
9
Usando a relação anterior e as aproximações 2 1 41, e 10 3 16, , determine as medidas indicadas 
por x nas figuras a seguir.
b
a
c
A medida a, que corresponde ao maior lado do triângulo, 
pode ser calculada pela seguinte relação:
a b c= +2 2
Em breve você vai aprender que essa relação é consequên-
cia do teorema de Pitágoras.
a) 
x
2 cm
6 cm
b) 
x
3 cm
3 cm
 6. Quando traçamos uma das alturas de um triângulo equilátero, ele fica dividido 
em dois triângulos retângulos congruentes.
Existe uma relação com a qual é possível obter a medida da altura h de um 
triângulo equilátero conhecendo-se a medida l dos seus lados. Quando você 
aprender o teorema de Pitágoras, verá que não é difícil obter essa relação.
h
3
2
l
a) Calcule a medida da altura de um triângulo equilátero cujos lados medem 4 cm.
h
4 3
2
2 3
A altura do triângulo mede 2 3 cm. 
b) Se a medida dos lados de um triângulo equilátero for expressa por um número racional, então a me-
dida da altura será expressa por um número irracional. Essa afirmação é verdadeira? Sim. 
h
ℓ ℓ
ℓ
2
Comente com os alunos que, se l for racional, necessariamente h será irracional. Porém, se l 
for irracional, h poderá ser racional ou irracional, como ilustra o item c desta questão.
Ilu
st
ra
çõ
es
: J
ac
k 
Ar
t. 
20
18
. D
ig
ita
l.
9o. ano – Volume 118
c) Calcule a medida da altura de um triângulo equilátero cujos lados medem 12 cm.
h
h
=
⋅
=
⋅
= = =
12 3
2
12 3
2
36
2
6
2
3
A altura do triângulo mede 3 cm.
 7. Na atividade anterior, vimos que existe uma relação para calcular a medida da altura de um triângulo 
equilátero conhecendo-se a medida dos lados.
Imagine agora um triângulo equilátero cuja altura mede 6 cm. Qual é a medida dos lados desse 
triângulo? 
Veja como podemos resolver esse problema.
Inicialmente, substituímos h por 6. 6
3
2
l
Depois, determinamos o valor de l.
6 2 3
12
3
⋅ =
=
l
l
Assim, os lados do triângulo medem 
12
3
cm. Podemos escrever essa medida sem que apareça um 
radical no denominador.
Nesse caso, basta multiplicar o numerador e o denominador por 3. Isso transforma a fração em 
outra equivalente. Esse procedimento é conhecido como racionalização do denominador. 
12
3
3
3
12 3
9
12 3
3
4 3⋅ = = =
Com isso, os números 12
3
 e 4 3 são iguais.
Portanto, os lados do triângulo medem 4 3 cm.
Agora é com você!
a) Calcule o perímetro desse triângulo. 
4 3 4 3 4 3 12 3+ + =
Portanto, o perímetro do triângulo é 12 3 cm.
b) Calcule a área desse triângulo. 
⋅= = =4 3 6 24 3Área 12 3
2 2
 
Portanto, a área do triângulo é 12 3 2cm .
 Matemática 19
 8. Observe na figura um quadrado cujos lados medem l e cujas diagonais medem d.
Uma relação com a qual é possível obter a medida de cada diagonal do quadra-
do conhecendo-se a medida dos seus lados é:
d = l 2
Você pode usar essa relação para resolver as questões a seguir. Em cada uma, 
escreva a resposta com aproximação de uma casa decimal.
d ℓ
ℓ
a) Calcule a medida de cada diagonal de um quadrado cujos lados medem 3 cm. 
d 3 2
A diagonal mede 3 2 cm. Usando uma calculadora, temos que d cm4 2, . 
b) Agora vamos imaginar outro quadrado cuja diagonal mede 3 cm. Qual é a medida dos lados? 
3 2
3
2
3
2
2
2
3 2
2
=
= = ⋅ =
A medida dos lados é igual a 
3 2
2
 cm. Usando uma calculadora, temos que l 2 1, .cm
l
l
 9. Um número é denominado quadrado perfeito quando sua raiz quadrada é um número natural. Os 
11 primeiros quadrados perfeitos são:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
O número 2 3 52 4 não é um quadrado perfeito, pois sua raiz quadrada não é um número natural. 
Como a raiz quadrada de 22 é 2, a raiz quadrada de 3 4 é 32 e a raiz quadrada de 5 não é exata, temos:
2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 9 5 18 52 4 2 4 2⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Dos números abaixo, assinale aqueles que são quadrados perfeitos.
a) 3 22 X b) 5 6 c) 73 X d) 2 36 4 X e) 64 25 16
10. O número 3 53 não é um quadrado perfeito. Qual é o menor número inteiro positivo pelo qual deve-
mos multiplicar 3 53 , de modo que o resultado seja um quadrado perfeito? 
Sugestão de atividades: questões de 7 a 10 da seção Hora de estudo.
Organize as ideias 
Neste capítulo, retomamos algumas ideias de potenciação e ampliamos o conhecimento sobre a radiciação. 
Além disso, você aprendeu um novo tipo de número, os irracionais. Nas frases a seguir, estão presentes algumas 
ideias importantes docapítulo. Complete-as corretamente escolhendo uma das opções entre parênteses.
• Um número racional pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros. (racional, 
irracional)
• Os números irracionais são aqueles cuja representação decimal é infinita e não periódica. 
(racionais, irracionais)
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
9o. ano – Volume 120
Hora de estudo
21
• As raízes não exatas, como 3 , e o número π são exemplos de números irracionais . (racionais, 
irracionais)
• Toda dízima periódica é um número racional . (racional, irracional)
• O número 5 é irracional, ou seja, não pode ser escrito como o quociente de dois números in-
teiros. (pode, não pode)
• Reunindo os números racionais com os números irracionais , obtemos o conjunto dos núme-
ros reais . (reais, irracionais)
 1. (ENEM) Para comemorar o aniversário de uma 
cidade, a prefeitura organiza quatro dias conse-
cutivos de atrações culturais. A experiência de 
anos anteriores mostra que, de um dia para o 
outro, o número de visitantes no evento é tri-
plicado. É esperada a presença de 345 visitantes 
para o primeiro dia do evento. 
Uma representação possível do número espera-
do de participantes para o último dia é
a) 3 345
b) ( )3 3 3 345+ + ×
X c) 3 3453
d) 3 4 345
e) 34 x 345
 2. (ETEC/CPS – SP) Uma antiga lenda da Índia afir-
ma que o jogo de xadrez foi criado a pedido de 
um rei e, como recompensa, o criador do jogo 
recebeu grãos de trigo de acordo com o número 
de casas do tabuleiro, seguindo o procedimento 
descrito.
• O criador do jogo escolhe uma casa e rece-
be 2 grãos por ela.
• Para a próxima casa escolhida, ele recebe o 
dobro da casa anterior.
• O processo continua até que todas as casas 
do tabuleiro sejam escolhidas exatamente 
uma vez.
Observando o processo podemos perceber que, 
para a décima casa do tabuleiro, o rei entrega 
1 024 grãos.
O tabuleiro de xadrez conta com 64 casas distribuí-
das em 8 colunas verticais e 8 fileiras horizontais, 
cada uma com 8 casas. As casas são alternadamen-
te escuras e claras.
É correto afirmar que, o número de grãos a ser 
entregue pela vigésima casa seria
a) maior que 1 000 e menor que 10 000.
b) maior que 10 000 e menor que 100 000. 
c) maior que 100 000 e menor que 1 000 000. 
X d) maior que 1 000 000 e menor que 10 000 000. 
e) maior que 10 000 000 e menor que 100 000 000.
 3. (ENEM) 
A volemia (V) de um indivíduo é a quan-
tidade total de sangue em seu sistema circula-
tório (coração, artérias, veias e capilares). Ela 
é útil quando se pretende estimar o número 
total (N) de hemácias de uma pessoa, a qual 
é obtida multiplicando-se a volemia (V) pela
Gabaritos.9
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
Todas as atividades devem ser resolvidas no caderno.
concentração (C) de hemácias no sangue, isto 
é, N = V × C.
Num adulto normal essa concentração é de 
5 200 000 hemácias por mL de sangue, con-
duzindo a grandes valores de N. Uma maneira 
adequada de informar essas grandes quantida-
des é utilizar a notação científica, que consiste 
em expressar N na forma N = Q × 10n, sendo 
1 ≤ Q < 10 e n um número inteiro.
Considere um adulto normal, com vole-
mia de 5 000 mL.
http://perfline.com. Acesso em: 23 fev. 2013 (adaptado)
Qual a quantidade total de hemácias desse 
adulto, em notação científica?
a) 2 6 10 10, × −
b) 2 6 10 9, × −
c) 2 6 10 9,
X d) 2 6 1010,
e) 2 6 1011,
 4. A espessura de um livro com 400 páginas, des-
considerando as capas, é 3 cm. A espessura de 
cada página, em milímetros, é:
a) 7,5
b) 7 5 10 1, ⋅ −
X c) 7 5 10 2, ⋅ −
d) 7 5 10 3, ⋅ −
e) 7 5 10 4, ⋅ −
 5. (ENEM) Dentre outros objetos de pesquisa, a 
Alometria estuda a relação entre medidas de 
diferentes partes do corpo humano. Por exem-
plo, segundo a Alometria, a área A da superfície 
corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua 
massa m pela fórmula = ⋅
2
3A k m , em que k é 
uma constante positiva. 
Se no período que vai da infância até a maiori-
dade de um indivíduo sua massa é multiplicada 
por 8, por quanto será multiplicada a área da su-
perfície corporal?
a) 163
X b) 4
c) 24
d) 8
e) 64
 6. (OBMEP) Em um palácio estavam 
presentes apenas o rei e alguns de 
seus súditos. Cada um dos presen-
tes acenou para cada um dos de-
mais uma única vez, com exceção 
do rei, que não acenou para nin-
guém. Houve um total de 1  296 
acenos. Quantos súditos estavam presentes no 
palácio?
a) 16
b) 24
X c) 36
d) 44
e) 56
 7. Assinale V para as afirmações verdadeiras e F 
para as falsas.
a) ( F ) 2 3 5+ =
b) ( V ) 2 3 6⋅ =
c) ( V ) 80 45 5− = 
d) ( F ) 40
5
8
3
3
 
e) ( V ) 3
2
6
2
 
 8. (UTFPR) O valor da expressão 50 18 98− + é:
a) 130 .
b) 5 2.
X c) 9 2.
d) 5 13.
e) 15 2.
 9. (IFSP) A figura a seguir representa uma piscina 
em forma de bloco retangular.
3√
—
5 m
2√
—
3 m
√—2 m
De acordo com as dimensões indicadas, pode-
mos afirmar corretamente que o volume dessa 
piscina é, em m3, igual a
a) 5 10 .
b) 6 10 .
c) 6 15.
d) 5 30 .
X e) 6 30 .
10. (CEFET – RJ) O “Método das Iterações” fornece 
um algoritmo que calcula o valor aproximado 
de raízes quadradas, indicado abaixo:
A
A B
B
≅
+
2
Onde: A é o número que desejamos obter o va-
lor aproximado da raiz quadrada e B é o quadra-
do perfeito mais próximo de A.
Por exemplo, se A 17, teremos B 16 e daí 
17
17 16
2 16
33
8
4 125≅
+
= = , . 
Aplicando o método acima, qual é o valor apro-
ximado de 33 ?
a) 5,73 X b) 5,75 c) 5,77 d) 5,79
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
22
2
Semelhança
Na imagem, as linhas que demarcam as raias parecem convergir para determinado ponto.
1. O que acontece com a largura das raias ao longo do trajeto? 
2. Considerando que todas as raias apresentam a mesma largura, por que no fundo a pista parece-nos 
mais estreita quando a olhamos? 
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al
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ks
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inn
ks
Sugestão de encaminhamento.1
As fotografias representam uma realidade tridimensional em uma superfície bidimensional, 
que é a folha do papel. Os objetos ou lugares fotografados parecem ter profundidade. Neste 
capítulo, você estudará alguns recursos gráficos utilizados para dar a ideia da tridimensionalidade.
1. Temos a impressão de que a largura das raias diminui, mas elas apresentam a mesma largura em todo o trajeto. 
2. A questão também procura trazer à tona uma ideia fundamental para o desenho em perspectiva: quanto mais distante esti-
ver um objeto, menor ele parece ser.
23
ObjetivosObjetivos
Ao final do estudo deste capítulo, você deverá reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais 
e desenhar objetos usando conhecimentos da perspectiva. Além disso, espera-se que você identi-
fique as condições necessárias e suficientes para que dois polígonos quaisquer sejam semelhantes 
e aplique esses conhecimentos na resolução de problemas inseridos em diversos contextos. 
Vistas ortogonais e perspectiva
Vistas ortogonais
Um observador, posicionado em locais distintos, pode identificar partes diferentes do mesmo objeto.
A projeção ortogonal é uma forma de representar essas imagens utilizando o desenho.
 ortogonal: do grego orthógonos, que significa “que tem ângulos retos”.
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 d
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Pa
di
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a. 
20
18
. 3
D.
9o. ano – Volume 124
Informações complementares.2
Na projeção ortogonal, representamos sobre um plano detalhes do objeto de acordo com o lado que está 
sendo observado.
Como os raios projetantes (linhas em vermelho) são paralelos entre si e perpendiculares em relação ao plano 
de projeção, a imagem resultante (em azul) representa a forma e as medidas da vista considerada do objeto que 
está sendo projetado, conforme podemos verificar na figura a seguir. 
Plano de projeção
Objeto
Observador
As projeções ortogonais são utilizadas para representar as formas tridimensionais por meio de figuras 
planas. 
Nas figuras a seguir, é mostrada a aplicação das projeções ortogonaisna representação das superfícies que 
compõem determinado objeto e que são conhecidas como vistas ortográficas. 
O ponto de partida é determinar qual lado do objeto será considerado frente, pois a vista frontal é a 
mais importante. Por meio das projeções ortogonais, obtemos três vistas ortográficas essenciais desse 
objeto.
Vista frontal
Observador
Observador
Vista superior Observador
Vista lateral
Vista frontal Vista superior Vista lateral
Por meio das vistas, é possível definir a forma e as dimensões do objeto representado. Na vista frontal, o 
observador está de frente para o objeto; na vista superior, o observador está olhando o objeto de cima; na vista 
lateral, o observador está posicionado em um dos lados do objeto.
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 Matemática 25
Agora é sua vez! A seguir temos um objeto que serve de modelo e as suas vistas ortográficas. 
a) Escreva nas faces do objeto as letras correspondentes.
Vista frontal
Vista superior
Vista lateral
A
C D
C
B
AC
D
B
b) Explique por que a letra C aparece nas vistas superior e lateral.
Porque a face com a letra C pode ser vista por cima e também pela lateral esquerda.
Nesse tipo de representação, utilizamos linhas tracejadas para indicar as arestas ou os contornos que ficam 
ocultos para determinada posição de observação do objeto. Veja o modelo e a sua vista lateral esquerda.
Observe que há uma linha tracejada que representa a aresta que não pode ser vista pelo observador nessa 
posição. Ela está atrás da vista lateral esquerda, onde há uma parte vazada na figura.
Vista lateral esquerda
Atividades
 1. Considerando as faces observadas, escreva nos vértices das vistas ortográficas as letras correspondentes 
indicadas no modelo em perspectiva. 
a) 
A A
A
C
C
D
B B
B
I
I
H
H
H
B
C
G
G
G
F
F
A
E
EE
D
b) 
A
A
B
A
C
D
D
D
B
B
C
C
C
J
J
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G
G
H
H
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Comentários e gabarito.3
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Veja comentários nas orientações didáticas.
9o. ano – Volume 126
 2. Pinte as vistas frontal (de amarelo), lateral (de vermelho) e superior (de azul) dos sólidos representados 
a seguir. 
 3. Represente nas malhas quadriculadas as vistas frontal, superior e lateral esquerda do objeto abaixo. Con-
sidere a vista frontal e as unidades de medida indicadas.
6
6
4 4
4
4
2
2
22
Vista frontal
Vista frontal Vista superior Vista lateral esquerda
 4. Assinale o modelo correspondente às vistas abaixo. 
Vista frontal Vista lateral esquerda Vista superior
 I. 
Observador
 II. 
Observador
 III. 
Observador
 IV. 
Observador
X
Veja sugestão de encaminhamento nas orientações didáticas.
Sugestão de atividades: questões 1 e 2 da seção Hora de estudo.Ilu
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 Matemática 27
Perspectiva isométrica
Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade 
e relevo. A fotografia apresenta os objetos do mesmo modo como eles são 
vistos pelo ser humano, pois transmite as ideias das três dimensões: compri-
mento, largura e altura. O desenho também pode passar essa mesma ideia, 
para isso basta recorrer a uma forma especial de representação gráfica: a 
perspectiva. 
Existem diferentes tipos de perspectiva, entre as quais destacamos a 
perspectiva isométrica, que mantém as mesmas proporções do com-
primento, da largura e da altura do objeto representado e cujo traçado é 
relativamente simples. 
O desenho da perspectiva isométrica se baseia em um sistema de três semirretas que apresentam um mes-
mo ponto de origem e formam um ângulo de 120° entre si. Essas semirretas recebem o nome de eixos isomé-
tricos. Para auxiliar no traçado da perspectiva isométrica, utilizamos um tipo de malha que apresenta uma rede 
de linhas que formam ângulos de 120° entre si e que servem de guias no traçado do desenho.
120°
120° 120°
x y
z
O
Malha isométrica
Perspectiva é uma palavra latina, 
derivada do verbo perspicere, que 
significa, entre outras acepções, 
avistar através de alguma coisa e 
ver claramente, o que se aproxima 
da palavra grega optiké, que sig-
nifica arte da visão ou ciência da 
visão. (FLORES, 2007, p. 49)
 isométrica: “iso” quer dizer “mesma” e “métrica” significa “medida”.
Matemática em detalhes
Observe o passo a passo do traçado na malha isométrica de um prisma de base retangular, de dimensões 
6 (comprimento), 2 (largura) e 4 (altura). Lembre-se de que alguns elementos importantes como base, face 
lateral, aresta e vértice devem ser considerados no traçado de seu desenho. 
Desenho em perspectiva isométrica
1. Na malha isométrica, trace levemente e à mão livre os 
eixos isométricos, indicando com os pontos A, B e C a 
largura, o comprimento e a altura sobre cada eixo.
A
C
B
Sugestão de atividade.4
Ilu
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9o. ano – Volume 128
3. A partir dos pontos A e B, onde você marcou a largura 
e o comprimento, trace outras duas linhas isométricas 
que se intersectam e que determinam a face superior 
do prisma. 
A
C
B
4. Para determinar a face lateral do prisma, trace duas 
linhas isométricas a partir dos pontos A e C, onde você 
indicou a largura e a altura. 
A
C
B
5. Agora, seu desenho da perspectiva isométrica está 
pronto. Não se esqueça de apagar as letras A, B e C, os 
excessos das linhas auxiliares de construção e ressaltar 
o traçado da figura final.
Agora é sua vez! Utilizando a malha isométrica disponível 
no material de apoio, reproduza o modelo ao lado.
2. A partir dos pontos B e C, onde você marcou o com-
primento e a altura, trace duas linhas isométricas que 
se intersectam e que determinam a face da frente do 
prisma. 
A
C
B
A malha isométrica do material de apoio pode 
ser utilizada na representação de outros objetos.
Ilu
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 Matemática 29
Perspectiva linear
Na fotografia apresentada na aber-
tura do capítulo, podemos identificar 
dois elementos importantes que nos 
dão a noção de profundidade e que 
auxiliam na realização de desenhos em 
perspectiva. Observe que as linhas que 
formam a pista de corrida parecem se 
encontrar em um ponto sobre a linha 
do horizonte (h). O ponto para onde 
convergem essas linhas é conhecido 
como ponto de fuga (F).
Veja que as linhas que são paralelas 
na realidade não parecem ser paralelas 
na imagem em perspectiva. 
A convergência das linhas para o ponto de fuga cria a ilusão de profundidade. Essa perspectiva tem origem 
em um sistema de projeção cônica e é conhecida como perspectiva linear. No entanto, há retas paralelas na 
realidade que se mantêm paralelas na fotografia. 
Observe a imagem e explique como esse tipo de situação se apresenta na fotografia a seguir.
As linhas que são paralelas à linha do horizonte se mantêm paralelas na fotografia.
 
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ha
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Linha do horizonte
Ponto de fuga
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ks
9o. ano – Volume 130
Raios projetantes
Plano de projeção
Objeto
Observador
Projeção cônica
Na realização do desenho em perspectiva linear, temos que começar pela escolha da posição da linha do ho-
rizonte (h) e do ponto de fuga (F). Podemos considerar um ou mais pontos de fuga. Para que você compreenda 
o processo, vamos desenhar um paralelepípedo em perspectiva utilizando um ponto de fuga.
1. Desenhamos um retângulo e a linha do horizonte h, paralela aos 
lados horizontais do retângulo. Posicionamos sobre a linha o ponto 
F, que será o ponto de fuga. Ele pode estar em qualquer posição 
sobre essa linha.
F
h
2. Traçamos as linhas unindo cada vértice do retângulo ao ponto F.
F
h
3. Desenhamos a aresta superior de 
trás do paralelepípedo, paralela à 
linha h. Depois, traçamos as ares-
tas laterais superiores que estão 
faltando. 
F
h
F
h
4. Para finalizar, desenhamos as arestas do paralelepípedo que não 
sãovisíveis usando linhas tracejadas e apagamos as demais linhas. 
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 Matemática 31
A posição em que o objeto é representado depende da localização do ponto de fuga sobre a linha h. Note 
que quem observou e desenhou o bloco estava com os olhos acima dele.
Ao mudarmos as posições da linha h e do ponto de fuga F, alteramos o ângulo de visão.
F h F h
F
h F h
a) Qual a posição relativa entre as arestas verticais desses sólidos?
As arestas verticais desses sólidos são paralelas entre si.
b) Complete o desenho a seguir construindo um cubo em perspectiva, conforme os passos indica-
dos no modelo anterior.
F
h
c) Considere um cubo real ou um objeto em forma cúbica e compare-o com o desenho feito no item b. 
Quais as diferenças entre o objeto real e o seu desenho nesse tipo de perspectiva?
A resposta depende da percepção de cada um. É importante que os alunos percebam que o desenho em perspectiva nos dá a 
ideia de profundidade e tridimensionalidade e a impressão de que a figura, de certa forma, parece deformada.
d) Qual a posição do observador em relação ao cubo?
Ele está à esquerda do cubo. Pela posição da linha do horizonte, o observador está olhando o cubo pela parte de baixo. 
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9o. ano – Volume 132
Saiba +
Na Antiguidade, não havia uma valorização da tridimensionalidade, e a maioria dos desenhos 
e das pinturas apresentava uma aparência achatada. Com o advento da Renascença, o pensa-
mento humano passou por muitas transformações. A compulsão pelo conhecimento enriqueceu 
esse período, o que fez com que os artistas da época tivessem conhecimentos das mais variadas 
áreas. Entre esses artistas, podemos citar Leonardo da Vinci, um dos precursores do estudo da 
perspectiva como a conhecemos atualmente. 
DA VINCI, Leonardo. 
Estudo de perspectiva para 
a adoração dos magos. [ca. 
1481]. Pena nanquim e aguada 
sobre ponta de metal sobre 
papel, 16,3 cm × 29 cm. 
Galleria degli Uffizi, Florença. 
Outros artistas também criaram obras famosas com o uso da perspectiva. Pesquise outros exemplos de obras do Renascimento 
feitas com essa técnica. 
Texto complementar.5
Atividades
 1. Considere o quadrado e a linha do horizonte indicados abaixo. Defina um ponto de fuga sobre essa linha 
e complete o desenho para construir um cubo em perspectiva.
h
O gabarito depende da posição adota-
da para o ponto de fuga. Peça aos alu-
nos que comparem seu desenho com 
o dos colegas para perceberem que a 
aparência final do cubo depende da 
localização desse ponto de fuga.
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Ga
lle
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Ja
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 A
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 2
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8.
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 Matemática 33
 2. Observe o traçado do início de um esboço de um prédio em perspectiva. Crie o próprio edifício utilizan-
do conhecimentos de perspectiva com um ponto de fuga. 
Fh
 3. A ideia de linha do horizonte e de ponto de fuga também pode ser percebida nas fotografias. Em cada 
imagem a seguir, desenhe as linhas que convergem para o ponto de fuga.
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9o. ano – Volume 134
 4. A figura a seguir mostra um projeto feito com dois pontos de fuga. Desenhe as linhas que convergem 
para cada um desses pontos. Em seguida, trace a linha do horizonte.
Oriente os alunos a desenhar as retas que passam pelo contor-
no dos prédios e pela calçada e aquelas que passam pelas jane-
las. A linha do horizonte é a que está tracejada. Essa linha passa 
pelos dois pontos de fuga.
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Polígonos semelhantes
Observe as imagens da obra Os guerreiros, também conhecida como Os candangos, instalada na Praça 
dos Três Poderes em 1959 em homenagem aos operários que trabalharam na construção de Brasília. É uma 
escultura de Bruno Giorgi em bronze, com 8 metros de altura e considerada um dos símbolos da cidade.
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Note que as imagens anteriores têm a mesma forma e se diferem apenas pelo tamanho. Na Matemática, 
quando isso ocorre, dizemos que são figuras semelhantes. 
Observe dois paralelogramos semelhantes:
4 cm
6 cm 18 cm
A
A’
B
B’
D D’C C’
12 cm
60°
120°
60° 120°
 Matemática 35
a) Escreva as medidas dos ângulos correspondentes.
m A( ) 120° 
m B( ) 60° 
m C( ) 120° 
m D( ) 60° 
m A( ’) 120° 
m B( ’) 60° 
m C( ’) 120° 
m(D’) 60° 
• O que você observa quanto a essas medidas? 
A medida de cada par de ângulos correspondentes é a mesma, ou seja, os ângulos correspondentes são congruentes.
b) Determine a razão entre as medidas dos lados correspondentes. 
AB
A B’ ’
6
18
1
3
BC
B C’ ’
4
12
1
3
CD
C D’ ’
6
18
1
3
DA
D A’ ’
4
12
1
3
• O que você observa quanto a essas razões? 
A razão entre as medidas dos lados correspondentes é igual, ou seja, os lados correspondentes são proporcionais.
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os 
lados correspondentes são proporcionais. 
A razão entre as medidas dos lados correspondentes é chamada de razão de semelhança. 
No caso apresentado, escreve-se: a razão de semelhança entre os paralelogramos ABCD e A’B’C’D’ é igual a 1
3
.
Pode-se usar o símbolo de semelhança ~. Assim, ABCD ~ A’B’C’D’ .
Atividades
 1. Identifique os pares de figuras semelhantes em cada item. Quando as figuras I e II forem semelhantes, 
calcule a razão de semelhança entre elas. 
a) 
4 cm
4 cm
3 cm
2 cm
6 cm
8 cm
A
B
C
F
D
E
III
AB
DE
AC
DF
e
BC
EF
4
2
2
6
3
2
8
4
2, . 
As figuras são semelhantes ou ΔABC ~ ΔDEF. A razão de semelhança é 2. 
Gabaritos e comentários.6
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
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ita
l.
9o. ano – Volume 136
b) 
50 cm
60 cm
25 cm
15 cm
D
D’ E’
E
F F’G G’
II
I
DE
D E
FG
F G
e
EF
E F
GD
G D’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’
50
60
5
6
15
25
3
5
As razões entre as medidas dos lados correspondentes não 
são todas iguais, logo, os retângulos não são semelhantes. 
 2. Os trapézios MNPQ e DEFG são semelhantes.
N
M
Q
P
D G
FE
14 cm
10 cm
21 cm
60°
105°
60° 75°
a) Determine as medidas dos ângulos D G M� � � �, , e P.
m D m G m M m D m( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )� � � � �� � � �120 105 120 75 e P
b) Determine a medida do lado DG.
Como os trapézios são semelhantes, temos que: 
MQ
DG
PQ
FG
DG
DG DG
=
= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =
14 10
21
10 14 21 29 4,
Assim, o lado DG mede 29,4 cm.
3. Junte-se a um colega para verificar se as afirmações a seguir são corretas. Justifique sua resposta em 
cada item.
a) Dois retângulos são sempre semelhantes. 
b) Todo par de triângulos é sempre formado por figuras semelhantes. 
c) Dois quadrados quaisquer são sempre semelhantes. 
d) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes. 
e) Todos os polígonos regulares que têm a mesma quantidade de lados são semelhantes.
 4. Sabendo que os polígonos a seguir são semelhantes, responda às questões propostas.
a) Quadrados I e II
2,5 cm 5,0 cm
II
I
• Qual é a razão de semelhança entre os 
quadrados I e II? 
• Qual é a razão entre seus perímetros? 
• E a razão entre suas áreas?
Ilu
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18
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l.
 Matemática 37
b) Triângulos I e II
12 cm 4 cm
3 cm
9 cm
15 cm
5 cm
II
I
60°
60°
30° 30°
• Qual é a razão de semelhança entre os 
triângulos I e II? 
• Qual é a razão entre seus perímetros? 
• E a razão entre suas áreas?
c) Comparando as razões obtidas entre cada par de figuras, o que você pode perceber? 
 5. Dados os hexágonos regulares H1 e H2, o perímetro de H1 é 36 cm e a razão de semelhança entre H1 e H2 é 
3
4
. 
H1
H2
x y
a) Qual é a medida do perímetro de H2? 
Chamaremos de P1 e P2 os perímetros dos hexágonos regu-
lares H1 e H2, respectivamente. Temos que P1 é igual a 
36 cm. Logo, cada lado do hexágono regular 1 mede 6 cm. 
Sabendo que a razão de semelhança entre H1 e H2 é 
3
4, 
então a razão entre os perímetros também é 
3
4
, logo:
3
4
3
4
36
3 36 4 48
1
2
2
2 2
=
= ⇒ = ⋅ ⇒ =
P
P
P
P P
Assim, o perímetro P2 é igual a 48 cm.
b) Quais são as medidas de x e y?
x = 6 cm e 
y = 48 cm : 6 = 8 cm 
 6. Um retângulo ABCD, de 120 cm de perímetro, é semelhante ao retângulo EFGH. Calcule as medidas dos 
lados do retângulo ABCD.
15 cm
10 cm
E
H
F
G
Ilu
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18
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9o. ano – Volume 138
7. (UNESP – SP) Na figura, o losango FGCE possui dois lados sobrepostos aos do losango ABCD e sua área 
é igual à área indicada em verde.
D E C
A
F
B
G
Se o lado do losango ABCD mede 6 cm, o lado do losango FGCE mede: 
a) 2 5 cm.
b) 2 6 cm.
c) 4 2 cm.
d) 3 3 cm.
X e) 3 2 cm. 
Sugestão de atividades: questões de 3 a 5 da seção Hora de estudo.
Ampliação e redução de figuras
Ao ampliarmos ou reduzirmos uma figura, podemos obter figuras semelhantes. No entanto, precisamos 
tomar alguns cuidados para que as figuras se mantenham semelhantes, ou seja, apresentem os ângulos corres-
pondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais. 
Existem algumas formas de obtermos essas figuras, por exemplo, com o uso da malha quadriculada e da 
transformação geométrica conhecida como homotetia. A seguir, vamos discutir um pouco sobre esses dois 
processos para a construção de figuras semelhantes. 
Figuras semelhantes e malha quadriculada
Para ampliar figuras que estão em uma 
malha quadriculada, basta aumentar o ta-
manho dos quadradinhos da malha e, para 
reduzir a figura, basta diminuí-los. Assim, 
podemos reproduzir o que está em cada 
quadradinho da malha, obtendo-se uma 
figura semelhante à figura inicial. 
Por exemplo, vamos reduzir pela metade 
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
1
razão
2
 a imagem do monumento Os 
candangos, da fotografia ao lado.
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un
es
 Matemática 39
Veja a reproduzação da imagem do monumento nesse 
novo quadriculado para obter a redução da figura semelhante 
à da imagem na razão 1
2
. 
Inicialmente, dividimos o comprimento e a largura do quadrilátero que contém a imagem em quadrados 
iguais, traçando segmentos paralelos aos lados desse quadrilátero, como mostra a figura maior 
Nesse caso, obtivemos um quadriculado 6 por 11. Depois, construímos outro quadriculado, com compri-
mento e largura equivalentes à metade das dimensões do anterior, com a mesma quantidade de quadradinhos. 
Com base nessas informações e sabendo que o monumento Os candangos mede 8 m de altura, responda 
às questões. 
a) Em um desenho desse monumento em que 1 cm corresponde a 1 m no real, quantos centímetros 
tem a altura da figura? A altura tem 8 cm. 
b) Qual a altura de uma maquete desse monumento usando a razão de semelhança 
1
5
?
1
5
 de 8 = 8 : 5 = 1,6. Portanto, o monumento terá 1,6 m de altura. 
c) Em 1957, esse monumento teve que passar por uma aprovação. Para isso, Bruno Giorgi construiu uma 
maquete de 1,5 m de altura. 
Qual foi a razão de semelhança entre as alturas da maquete e do monumento real utilizada por ele? 
Figuras semelhantes e homotetia
Outra forma de obter uma ampliação ou uma re-
dução de figuras é por meio de uma transformação 
geométrica chamada homotetia.
A transformação por homotetia mantém um pon-
to fixo O, chamado de centro de homotetia, e mul-
tiplica a medida de qualquer segmento de reta que 
passe por esse ponto por um fator constante k, cha-
mado razão de homotetia. 
1 5
8
3
2
8
3
2
1
8
3
16
,
= = ⋅ = , a razão de semelhança foi igual a 
3
16
.
O
A
A’B
B’
C
C’
D D’
E
E’ Il
us
tra
çõ
es
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ac
k 
Ar
t. 
20
18
. D
ig
ita
l.
9o. ano – Volume 140
Construção de figuras homotéticas
Agora vamos ampliar uma figura usando a homotetia. Siga os passos indicados para construir dois triân-
gulos homotéticos.
1º. passo: Construa um triângulo ABC qualquer.
A
B
C 
2º. passo: Marque um ponto O qualquer (centro da homotetia) e trace OA OB
� �	 � �	 � �	
, e OC com uma régua.
A
B
C
O
3º. passo: Para marcar o ponto A’ sobre OA
� �	
, utilize a razão k igual a 3. 
Por exemplo, se OA = 2 cm, como k = 3, temos que:
OA k OA OA cm OA cm’ OA ’ OA ’ ’= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =3 3 2 6
Para determinar o ponto A’ sobre a reta OA, use o compasso marcando três vezes a distância do centro de 
homotetia até o vértice A. Coloque a ponta-seca no ponto O e abra o compasso até o ponto A. Com essa aber-
tura, posicione a ponta-seca em A, traçando um arco cortando OA
� �	
 em um ponto. Posicione a ponta-seca nesse 
ponto e, com a mesma abertura, trace outro arco sobre OA
� �	
, determinando A’.
A
A’
B
C
C’
B’O
2 cm
Em seguida, basta seguir o mesmo procedimento para determinar os pontos B’ sobre a reta OB e C’ sobre a 
reta OC.
Sugestão de encaminhamento para o uso de tecnologia digital.7
Ilu
st
ra
çõ
es
: J
ac
k 
Ar
t. 
20
18
. D
ig
ita
l.
 Matemática 41
4º. passo: Trace os segmentos A B B C’ ’, ’ ’ e C’A’ para obter o triângulo A’B’C’ como uma ampliação do triângu-
lo ABC na razão 3.
A
A’
B
C
C’
B’
O
Com relação aos triângulos homotéticos que você construiu, determine o que se pede. 
a) Utilize uma régua para medir os lados dos dois triângulos. Em seguida, calcule as razões a seguir.
A B
AB
’ ’
 3 
B C
BC
’ ’
 3 
A C
AC
’ ’
 3 
b) Agora, calcule as seguintes razões:
OA
OA
’
 3 
OB
OB
’
 3 
OC
OC
’
 3 
c) Utilize um transferidor para medir os ângulos dos dois triângulos.
m( )A 
m B( ) 
m C( ) 
m A( ’) 
m B( ’) 
m( ’)C 
d) Compare os resultados com os de seus colegas. Lembre-se de que os triângulos iniciais não eram idên-
ticos, pois cada um construiu um triângulo qualquer. O que você observa quanto às respostas obtidas 
nos itens anteriores? 
Espera-se que os triângulos obtidos por todos os alunos tenham ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes 
proporcionais.
e) Os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes? Justifique sua resposta. 
Sim, os triângulos são semelhantes porque os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são pro-
porcionais.
f) Qual é a posição relativa entre os lados correspondentes AB e A’B’, BC e B’C’, AC e A’C’? Utilize régua e 
esquadro para auxiliar em sua análise. 
Os lados correspondentes dos dois triângulos são paralelos. 
As medidas dependem do triângulo 
traçado pelos alunos.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
precisão, mas em relação ao uso da régua ao medir os lados dos triângulos. 
Portanto, poderá ocorrer alguma variação para mais ou para menos no resultado da razão, que se deve aproximar ao máximo de 3.
ção da figura homotética; o segundo também se refere ao grau de 
fatores: o primeiro é o grau de precisão na constru-
Essa atividade depende de dois 
9o. ano – Volume 142
Atividades
 1. Observe os pares de figuras desenhadas na malha quadriculada e indique se são semelhantes ou não, 
justificando sua resposta. 
a) 
Não são semelhantes. Os lados 
correspondentes não são propor-
cionais e os ângulos correspon-
dentes não são congruentes. 
b) 
São semelhantes. Os ângulos cor-
respondentes são congruentes e 
os lados correspondentes são pro-
porcionais. 
c) 
São semelhantes. Os ângulos
correspondentes são congruentes
e os lados correspondentes
são proporcionais. 
 2. Na malha quadriculada do material de apoio dese-
nhe este barco, duplicando todos os segmentos.
• A figura que você construiu é semelhante à figura 
original? Justifique sua resposta.
Sim, pois os lados são proporcionais e os ângulos 
correspondentes são congruentes.
 3. Quais dos retângulos representados na malha quadriculada são semelhantes entre si? Justifique sua 
resposta.
A
B
C
E
F
D
B, D e F são semelhantes entre si, pois seus lados são proporcionais e seus ângulos são congruentes. 
Há comentários nas orientações didáticas.
Gabarito e comentários. 8
A
B
CD
F
E
G
Ilu
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es
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ac
k 
Ar
t. 
20
18
. D
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l.
 Matemática 43
 4.Observe as duas imagens da letra A na malha quadriculada.
I II
a) As figuras I e II são semelhantes? Justifique sua resposta. 
Não, pois as medidas dos segmentos que formam a figura II não são todas proporcionais às medidas dos segmentos da figura I.
b) Na folha de papel quadriculado do material de apoio, desenhe figuras semelhantes à figura I para 
cada uma das razões de homotetia: 2; 
1
2
; 1,5 e 1. Depois, cole-as em seu caderno.
 5. Com o uso de compasso e régua, reproduza as figuras homotéticas de acordo com os centros de homo-
tetia O e as razões dadas.
a) k = 2
O
A
B
D
C
 6. Os dois triângulos da ilustração são homotéticos. Calcule a medida do lado A’C’ sabendo que a razão de 
semelhança entre eles é 
3
2
 e que o perímetro do triângulo ABC é 24 cm.
O
B
B’
A
A’
C
C’
15 c
m
12
 cm
A razão entre os perímetros dos triângulos ABC e A’B’C’ é 
3
2
, então:
P
P
P
P
A B C
ABC
A B C
A B C
’ ’ ’
’ ’ ’
’ ’ ’
=
= ⇒ =
3
2
24
3
2
36
 
P A C
A C
A C A C
A B C’ ’ ’ ’ ’
’ ’
’ ’ ’ ’
= + +
= + +
= − ⇒ =
15 12
36 15 12
36 27 9
 
O lado A’C’ mede 9 cm.
b) k = 0,5
A
B
C
D
E
O
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k 
Ar
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l.
9o. ano – Volume 144
Semelhança de triângulos
A definição de figuras semelhantes, discutida anteriormente, também é válida para os triângulos. Dessa for-
ma, dois triângulos são semelhantes quando os ângulos internos correspondentes são congruentes e os lados 
correspondentes são proporcionais. 
Veja como podemos verificar se os triângulos a seguir são semelhantes.
4 cm
4 cm
3 cm
2 cm
6 cm
8 cm
A
B
C
F
D
E
• Os ângulos internos correspondentes são congruentes:
m( A ) = m(D )
m(B ) = m(E )
m( C ) = m( F )
• Os lados correspondentes são proporcionais:
AB
DE
BC
EF
AC
DF
4
2
8
4
6
3
2
Dessa forma, verificamos que os triângulos ABC e DEF são semelhantes. Essa frase pode ser escrita simboli-
camente: ∆ABC ~ ∆DEF.
Como já foi estudado, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180°. Em função 
de algumas especificidades como essa, a semelhança entre dois triângulos pode ser verificada com base em 
alguns critérios denominados casos de semelhança. Existem três casos em que é possível verificar se dois 
triângulos são semelhantes conhecendo-se apenas alguns de seus elementos. 
1º. caso – AA (ângulo – ângulo)
Podemos afirmar que dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos correspondentes 
congruentes.
29°
29°
A
B E
D
C F
Temos que ∆ABC ~ ∆DEF, pois:
m m e
m m
E(B) ( )
(C) (F)
= = °
= = °
90
29
 
Ilu
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 Matemática 45
120°
5
G
I
H
7
120°
2,5
J
L
K
3,5
1,3 cm
1,5 cm
1,4 cm
R
S
P
5,6 cm
6 cm
M
N
Q
5,2 cm
2º. caso – LAL (lado – ângulo – lado)
Dois triângulos são semelhantes quando têm dois pares de lados 
correspondentes proporcionais e os ângulos formados por eles 
congruentes.
Temos que ∆GHI ~ ∆JKL, pois: 
m m K( ) ( )H = = °120 e 
GH
JK
HI
KL
= ⇒ = =
7
3 5
5
2 5
2
, ,
 
3º. caso – LLL (lado – lado – lado)
Dois triângulos são semelhantes quando têm os três 
pares de lados correspondentes proporcionais. 
Temos que ∆MPN ~ ∆QSR, pois: 
MP
QS
PN
SR
MN
QR
5 6
1 4
5 2
13
6
1 5
4
,
,
,
, ,
Junte-se com um colega para analisar se os triângulos a seguir são semelhantes. Justifiquem suas respostas 
citando os casos de semelhança.
a) 
D
A
B
C
E
F
60°
60°
46,5°
46,5°
b) 
KHI
G
L
J
8
4 3
6
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18
. D
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ita
l.
Os triângulos ABC e DEF são semelhantes 
pelo caso AA. 
m B m E e
m A m D
( ) ( )
( ) ( ) ,
� �
� �
= = °
= = °
60
46 5
Não podemos afirmar, pois o conhecimento 
apenas das medidas de dois lados não implica
necessariamente que os triângulos sejam 
semelhantes.
9o. ano – Volume 146
c) 
Os triângulos MNO e PQR são semelhantes pelo caso LLL.
4
8
4 5
9
3
6
1
2
,
, pois os três pares de lados são proporcionais. 
QNO
M
R
P
4
9
63
4,5
8
d) 
Os triângulos STU e VWX são semelhantes pelo caso
LAL.
m U m X e( ) ( )= = ° = =90
4
2
6
3
2
1
TU 6
S
4
X
VW
23
e) 
Não podemos afirmar, pois o conhecimento
apenas da medida de um lado e de um ângulo
não implica necessariamente que os triângulos
sejam semelhantes.
B
CZ A D
8
Y
12
100°100°
f) 
Os triângulos EFG e HIJ são semelhantes pelo caso LAL.
m E m H e( ) ( )
,
,
,
,
= = ° = =69
3 9
1 95
8 5
4 25
2
1
Ou, ainda, podemos justificar a semelhança pelo caso 
AA.
m E m H e
m F m I
( ) ( )
( ) ( )
= = °
= = °
69
84
H
GF
IJ
8,5
E
3,9
69°
84°
69°
84°
4,25
1,95
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18
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 Matemática 47
Matemática e fotografia
Quando queremos registrar determinado momento, podemos usar uma câmera fotográfica ou um celular 
para fotografar. Mas você sabe como tudo isso começou? 
Acredita-se que a câmara escura de orifício foi um dos primeiros mecanismos que deram origem ao que 
conhecemos por fotografia. Seu funcionamento tem relação com a semelhança de triângulos. 
Como o nome já diz, a câmara (caixa) é escura porque é fechada e, assim, não permite a entrada de luz, ex-
ceto por um pequeno furo, situado em uma de suas faces. A imagem de um objeto pode ser visualizada graças 
à reflexão da luz vinda do sol ou de uma lâmpada, por exemplo. 
Na câmara, como a luz se propaga em linha reta, podemos representá-la por uma seta, a qual denominamos 
raio de luz. Assim, imagine dois raios que saiam das extremidades de um objeto e passem pelo orifício, como 
mostra a figura a seguir.
Objeto
Imagem
Furo
A
B
O
E
C
D
F
a) Observe os triângulos ABO e DCO e o objeto AB paralelo ao plano que contém a sua imagem CD. 
Pode-se afirmar que esses triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta. 
Sim, os triângulos ABO e DCO são semelhantes, pois seus ângulos correspondentes são congruentes.
m A m D e m B m C( ) ( ) ( ) ( )� � � � 
b) É possível usar a câmara escura para determinar alguma medida desconhecida. Sabendo que a altu-
ra de um objeto é AB = 1,5 m, a altura da imagem é CD = 15 cm, a distância do objeto à câmara é 
BE = 2 m e o comprimento da câmara é EF = 20 cm, determine as razões a seguir e verifique o que 
você observa entre elas.
AB
BE
 
150
200
3
4
= 
CD
EF
 15
20
3
4
 
As razões são iguais. 
c) Determine a altura, em centímetros, de um objeto colocado a uma distância de 2 m da câmara escura 
do item anterior, sabendo que a imagem apresentou altura de 7,5 cm. 
A
B
O
E
C
D
F
x
200 cm 20 cm
7,5 cm
x
x
200
7 5
20
75= ⇒ =
,
 
O objeto tem 75 cm de altura.
Conexões
Sugestão de encaminhamento. 9
Ilu
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k 
Ar
t. 
20
18
. D
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l.
9o. ano – Volume 148
d) Determine a altura, em centímetros, da imagem de um objeto de 1,5 m de altura que foi colocado a 
uma distância de 1 m da câmara escura do item b.
150
100 20
30= ⇒ =
y
y
A imagem tem 30 cm de altura.
A
B
O
E
C
D
F
150 cm
100 cm
20 cm
y
e) O que acontece com a altura da imagem quando variamos a altura do objeto? O que acontece com a 
altura da imagem quando aproximamos ou afastamos o objeto da câmara escura? Explique o porquê 
desse resultado. 
Ao compararmos as imagens projetadas de dois objetos com alturas diferentes que estão à mesma distância da câmara escura, 
concluímos que aquele com a maior altura apresenta a maior imagem projetada. Isso ocorre porque a altura do objeto e a altura 
da imagem são grandezas diretamente proporcionais. Ao aproximarmos o objeto da câmara, a imagem projetada aumenta; 
quando o afastamos da câmara, a imagem projetada diminui. Isso ocorre porque a distância do objeto à câmara escura e a altura 
da imagem são grandezas inversamente proporcionais.
Atividades
 1. Identifique os pares de triângulos semelhantes desenhados na malha quadriculada.
A
B C
D
E
F
G
H
Os pares de triângulos semelhantes são: A e H; E e F; B e G. 
 2. Determine as medidas x e y sabendo que em cada caso os triângulossão semelhantes.
a) 
A
B C
6 x + 6
y + 4
E
D
F
3
2
y
 6
2
6
3
2 6 6 3
2 12 18
2 6 3
=
+
⋅ + = ⋅
+ =
= ⇒ =
x
x
x
x x
( )
6
2
4
6 2 8
4 8 2
=
+
= +
= ⇒ =
y
y
y y
y y
Há sugestão de encaminhamento nas orientações didáticas.
Gabaritos e sugestão de encaminhamento.10
Ilu
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es
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t. 
20
18
. D
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ita
l.
 Matemática 49
b) 
A
B C
x
E
D
5
32
y
10
 
2
5
3
2 15 7 5
2
5 10
5 20 4
=
= ⇒ =
=
= ⇒ =
y
y y
x
x x
,
c) A
B C
x
E
D
15 
y
10
4
4,8
F
 
4
10
4 8
4 10 4 8
4 48 12
4
10 15
10 4 15
10 60 6
=
= ⋅
= ⇒ =
=
= ⋅
= ⇒ =
,
,
x
x
x x
y
y
y y
d) A
B C
D E
F
y
10
4
6
9 x
 9
4
10
9 10 4
40
9
9
4
6
9 6 4
24
9
=
= ⋅ ⇒ =
=
= ⋅ ⇒ =
x
x x
y
y y
 3. No ∆ABC, BC DE// . Sem utilizar instrumentos de medição, faça o que se pede.
a) Os triângulos ABC e ADE são semelhantes? Discuta a questão com os colegas e justifique a resposta.
2,6 cm2,2 cm
1,8 cm
1,3 cm
A
D
B C
E
Sim, pois os ângulos correspondentes são congruentes pelo fato de  pertencer 
aos dois triângulos e de m D m B E m C( ) ( ) ( )) e m( , porque BC DE// .
b) Determine as medidas dos segmentos DB e BC. 
2,2 cm
2,6 cm
1,8 cm
3,9 cm2,2 + DB
A A
D
B C
E
AB
AD
AC
AE
BC
DE
DB BC
= =
+
= =
2 2
2 2
3 9
2 6 1 8
,
,
,
, ,
 
2 2
2 2
3 9
2 6
2 6 2 2 2 2 3 9
5 72 2 6 8 58
2 6 2
,
,
,
,
, ( , ) , ,
, , ,
,
+
=
⋅ + = ⋅
+ =
=
DB
DB
DB
DB ,, ,86 1 1⇒ =DB
 
3 9
2 6 1 8
2 6 3 9 1 8
2 6 7 02 2 7
,
, ,
, , ,
, , ,
=
= ⋅
= ⇒ =
BC
BC
BC BC
Assim, os segmentos DB e BC medem 1,1 cm e 2,7 cm, respectivamente.
É importante chamar a atenção da turma para a visualização 
dos dois triângulos existentes. Assim, considerando os triângu-
los ABC e ADE separadamente, temos:
Ilu
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k 
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18
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l.
9o. ano – Volume 150
 4. Um prédio de altura h projeta uma sombra de 19,2 m no mesmo instante em que uma árvore de 
8,4 m projeta uma sombra de 5,6 m. 
a) Faça uma figura que ilustre a situação descrita.
b) Calcule a altura h do prédio.
 5. Para calcular a profundidade de um poço com 1,20 m de diâmetro, uma 
pessoa, cujos olhos estão a 1,60 m do chão, posiciona-se a 0,5 m da bor-
da, conforme ilustra a figura. Calcule a profundidade p desse poço. 
Sabendo que ΔABC ~ ΔDEC, temos que: 
AB
AC
DE
DC
p
p p
=
=
= ⇒ =
1 2
1 6
0 5
1 92
0 5
3 84
,
,
,
,
,
, 
O poço tem 3,84 m de profundidade.
A
B
C D
E
1,2 m
0,5 m
1,6 m
p
Sugestão de atividades: questões 6 e 7 da seção Hora de estudo.
Organize as ideias 
Neste capítulo, estudamos as ideias de perspectiva, semelhança e homotetia.
Complete as lacunas com uma das opções apresentadas entre parênteses.
• Perspectiva é uma forma de representar em duas dimensões objetos tridimensionais. (duas/três)
• Na perspectiva linear, traçamos linhas que convergem para o ponto de fuga . 
(semelhança/fuga)
• No desenho em perspectiva, o ponto de fuga localiza-se na linha do horizonte . 
(equador/horizonte)
• Na projeção ortogonal, representamos as vistas frontal, superior e lateral.
Com base na vista frontal indicada pela seta, identifique e escreva as vistas representadas ao lado da figura. 
(vista frontal/vista superior/vista lateral esquerda)
Vista frontal Vista lateral esquerda
Vista superior
Responda às questões a seguir sobre semelhança.
• O que são polígonos semelhantes?
 Aqueles que têm os lados correspondentes proporcionais e os ângulos correspondentes congruentes. 
Ilu
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 Matemática 51
Hora de estudo
52
• Como sabemos se dois triângulos são ou não semelhantes? 
Se os ângulos internos correspondentes forem congruentes ou se as medidas dos lados correspondentes forem proporcionais, é 
possível saber se os triângulos são semelhantes usando os casos de semelhança AA, LAL e LLL.
O pentágono ABCDE foi ampliado por homotetia.
O
A
A’
B
B’
C
C’
E
E’
D
D’
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
• Razão utilizada nessa ampliação: k = 2 
• Escreva na figura os vértices que faltam no pentágono original e os respectivos vértices na figura ampliada.
 1. (OBMEP) Em um dos lados de uma folha de papel grosso, Pedro desenhou 
a figura ao lado. Depois, recortou-a e montou uma torre em miniatura. 
Das cinco imagens abaixo, quais podem representar a torre montada por 
Pedro?
Imagem 1 Imagem 2 Imagem 3 Imagem 4 Imagem 5
X a) Imagens 1, 3 e 5
b) Imagens 1, 4 e 5
c) Imagens 1, 2 e 3
d) Imagens 2, 3 e 4
e) Imagens 3, 4 e 5
 2. (OBMEP) Zequinha tem três dados iguais, com letras O, P, Q, R, S e T em suas faces. Ele juntou esses dados 
como na figura, de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. Qual é a letra na face oposta 
à que tem a letra T?
X a) S
b) R
c) Q
d) P
e) O
Gabaritos e comentários.11
Há solução detalhada nas orientações didáticas.
 3. (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas 
de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em 
um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas 
colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados 
desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.
B
P
A N C
M
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde 
a) à mesma área do triângulo AMC. 
b) à mesma área do triângulo BNC. 
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC. 
d) ao dobro da área do triângulo MNC. 
X e) ao triplo da área do triângulo MNC.
 4. (UFG – GO) A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma 
estudada pela Geometria Fractal e sua aparência característica 
pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma 
couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A 
árvore pitagórica ao lado foi construída a partir de um triângulo 
retângulo, ABC, de lados AB = 3, AC = 4 e CB = 5, e de quadrados 
construídos sobre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados 
e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo 
que os ângulos C F e I, são congruentes, seguindo um processo 
iterativo que pode se estender infinitamente.
Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica.
 5. (FGV – SP) Em uma parede do estande de vendas havia um quadro de 50 cm de comprimento por 
45 cm de largura, tendo ao redor uma moldura, como mostra a figura.
a) Justifique por que não são semelhantes os retângulos interior e exterior à moldura. 
b) Existe algum número real positivo k que, substituído no lugar de 5 cm, faria com que os dois retângu-
los do item a fossem semelhantes?
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
G
H
I
F
D
E
C B
A
5 cm
5 cm
5 cm
5 cm
comprimento
largura
53
 6. (ETEC/CPS – SP) A erosão é o processo de desgaste, transporte e sedimentação das rochas e, principal-
mente, dos solos. Ela pode ocorrer por ação de fenômenos da natureza ou do ser humano. A imagem 
mostra uma fenda no solo, proveniente de erosão.
<htt://tinyurl.com/pdqj75z>. Acesso em: 25.08.2015. Original colorido.
Para determinar a distância entre os pontos A e B da fenda, pode-se utilizar o modelo matemático da figura.
Na figura, tem-se:
• os triângulos AFC e EFD; 
• o ponto E pertencente ao segmento AF;
• o ponto D pertencente ao segmento CF;
• os pontos C, D e F pertencentes ao terreno 
plano que margeia a borda da fenda; e
• as retas AC
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 e ED
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 que são paralelas entre si.
Sabendo-se que BC = 5 m, CD = 3 m, DF = 2 m e ED = 4,5 m então, a distância entre os pontos A e B é, 
em metros, 
X a) 6,25.
b) 6,50.
c) 6,75.
d) 7,25.
e) 7,75.
 7. (ENEM) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes 
de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura