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Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Circuitos Lógicos Álgebra Booleana Simplificação de circuitos lógicos Prof.: Daniel D. Silveira 1 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Álgebra de Boole • Variáveis booleanas são representadas através de letras e podem assumir dois apenas dois valores 0 e 1 • Expressão booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas • Através de postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades da álgebra de Boole é possível a simplificação das expressões que representam os circuitos lógicos 2 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira • Postulado da complementação Seja o complemento de A: Através do postulado, estabelecemos a seguinte identidade: 3 Postulados A 0A 1A Se , logo 1A 0A Se , logo 0A 1A Se , logo 1A 0A Se , logo , e se 1A , logo 0A , e se , logo 1A0A Assim sendo, podemos escrever: AA Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Postulados • Postulado da adição: As regras da adição na álgebra de Boole são: Através do postulado podemos definir as seguintes identidades: A+0=A, se A=0=>0+0=0 ; se A=1=>1+0=1 A+1=1, se A=0=>0+1=1 ; se A=1=>1+1=1 A+A=A, se A=0=>0+0=0 ; se A=1=>1+1=1 , se A=0=>0+1=1 ; se A=1=>1+0=1 4 1 AA 1o) 0+0=0 2o) 0+1=1 3o) 1+0=1 4o) 1+1=1 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Postulados • Postulado da Multiplicação: As regras da multiplicação booleana são Através do postulado, podemos estabelecer as identidades: A.0=0, se A=0=>0.0=0; se A=1=> 0.1=0 A.1=A, se A=0=>0.1=0; se A=1=> 1.1=1 A.A=A, se A=0=>0.0=0; se A=1=> 1.1=1 =0, se A=0=>0.1=0; se A=1=> 1.0=0 5 AA. 1o) 0.0=0 2o) 0.1=0 3o) 1.0=0 4o) 1.1=1 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Propriedades • Propriedade comutativa na adição: A+B=B+A • Propriedade comutativa na multiplicação: A.B=B.A 6 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Propriedades • Propriedade associativa na adição: A + (B + C)=(A + B) + C=A + B + C 7 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Propriedades • Propriedade associativa na multiplicação: A . (B . C)=(A . B) . C= A . B . C 8 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Propriedades • Propriedade distributiva: A. (B + C)= A . B + A . C 9 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Teoremas de De Morgan • O complemento do produto é igual a soma dos complementos 10 BABA . )...(..... NCBANCBA Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Teoremas de De Morgan • O complemento do a soma é igual ao produto dos complementos (extensão do primeiro teorema) Seja o 1o. Teorema: Reescrevendo assim: E chamando de X e de Y Tem-se o 2o teorema: 11 BABA . )(. BABA A B YXYX . NCBANCBA .....)...( Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Identidades auxiliares • A + AB=A => A(1+B)=A 12 BAABAA BABAA .. . Identidade: AA BABAA BA BA BAAA BAA BAABAA . . )..( ).( )..(. 2o Teorema de De Morgan 1o Teorema de De Morgan Propriedade distributiva e identidade 1o Teorema de De Morgan 0. AA Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira 13 Identidades auxiliares BCACABA BCA BCCBA CBCBAA CBCABAA CBCABAAA BACBAACABA CBACABA )).(( .1. .)1.( .).( ... .... )()()).(( .)).(( Propriedades utilizadas: Distributiva Distributiva A.A=A 1+A=1 e A.1=A Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Quadro Resumo 14 Identidades Complementação Adição Multiplicação A+0=A A.0=0 A+1=1 A.1=A A+A=A A.A=A Postulados Complementação Adição Multiplicação 0+0=0 0.0=0 0+1=1 0.1=0 1+0=1 1.0=0 1+1=1 1.1=1 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Simplificação de Expressões Booleanas • Simplificações de expressões implicam em simplificações de circuitos • São possíveis dois métodos para se realizar simplificações de expressões: Álgebra de Boole Mapas de Veitch-Karnaugh 15 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Simplificação de expressões booleanas • Exemplo Seja simplificar a expressão: 16 BACAABCS )( BCBCAS )]([ BCBCAS )]([ BCBCAS )]([ BCBCAS AYYAS ][ Evidenciando o termo A De Morgan e, chamando BC de Y Associativa AA Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Simplificação de expressões booleanas 17 Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira Exercícios propostos Simplifique as expressões abaixo: 18 CBACBAS .1 ACDCDBACS 2 BCDCBAS .3 CBACBAS .4 CABABCCBABCACBAS ..5 BADCBAS .}].)([{6