Matemática: Números Inteiros e Racionais

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1. Aula 1: Matemática: números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores 
de números naturais; problemas. Frações e operações com frações. . ................... 2
2. Memorex . ........................................................................................................... 25
3. Lista das questões abordadas em aula .............................................................. 28
4. Gabarito . ............................................................................................................. 33
Matemática e Raciocínio Lógico em Exercícios FCC – para Tribunais 
Aula 1 – Professora Karine Waldrich 
 
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1. Aula 1: Matemática: números inteiros e racionais: operações (adição, 
subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; 
múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações 
com frações. 
Olá, colegas! A aula de hoje trata de assuntos relativos à Matemática. Para 
aqueles que estão apreensivos, por não gostarem da matéria, calma! Veremos 
como a banca cobra o assunto, e nosso enfoque será exatamente o “jeitinho” da 
banca. 
Vamos à primeira questão! 
Antes de passar para a resolução da questão, é importante revisarmos – ou 
aprendermos (afinal nem sempre lembramos do colégio rs) – os conceitos 
relacionados a números inteiros e naturais. 
Um diagrama deixa a relação entre eles mais visível: 
Questão 1 – FCC/TRE-PI/Téc. Jud/2010 
Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro 
abaixo foram dispostos segundo determinado critério. 
Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a 
soma dos números que estão faltando é 
(A) maior que 19. 
(B) 19. 
(C) 16. 
(D) 14. 
(E) menor que 14. 
 
3
Desse diagrama tiramos definições importantes. São elas: 
1) O conjunto dos números naturais é representado pela letra N (maiúscula). 
Ele compreende apenas os números positivos, a partir do zero. Ou seja, N 
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}; 
2) O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z (maiúscula). 
Ele compreende o conjunto dos números naturais, e também os números 
negativos. Ou seja, Z = {..., -1, -2, 0, 1, 2, ...}; 
3) O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q (maiúscula). 
Mas porque será que esta é a letra que representa este conjunto?? Explico! 
Os números racionais são, na verdade, a razão entre quaisquer números 
inteiros. E razão, na matemática, é igual a quociente. Por isso temos que 
esse conjunto é também chamado de conjunto Q. Lembrando que ele inclui 
o conjunto dos números inteiros, e, consequentemente, os números 
naturais. 
Voltando para a questão. Ela informa que o diagrama apresentado contém apenas 
“números inteiros e positivos”. Em outras palavras, o diagrama só contém 
números naturais, ou seja, {1, 2, 3, 4, 5...}. 
Agora o passo é achar uma relação entre os números do quadro. 
NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Ex: 1,333333 (...); 2/5; 11 ... 
NÚMEROS INTEIROS (Z) 
Ex: -2; -1; 0; 1; 2 
NÚMEROS NATURAIS (N) 
Ex: 0; 1; 2 
 
4
Quando a questão faz exigências do tipo “os números inteiros e positivos que 
aparecem no quadro foram dispostos segundo determinado critério” o pulo do 
gato é perceber com qual lógica os números foram distribuídos. Eles podem estar 
crescendo ou decrescendo, em diversas direções... 
No diagrama da questão não há nenhuma lógica na disposição dos números 
horizontal ou verticalmente. Vejamos: 
No entanto, perceba que, diagonalmente, uma fileira é crescente e a seguinte é 
decrescente: 
Com essa percepção, torna-se fácil completar o resto do diagrama, basta seguir a 
mesma lógica apresentada, ou seja, uma fileira é crescente e a seguinte é 
decrescente, sempre começando pelo número 1. Vamos lá: 
1
2
3
4 1
2
3 
1
2 1
 
5
A questão pede a soma dos algarismos que acabamos de preencher: 
SOMA = 4 + 3 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 20 
Resposta: Letra A. 
“Sucessão dos números naturais” – já sabemos o que é isso! Afinal: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} 
Mas e o que é Algarismo? Algarismo é o símbolo que compõe o número. São 
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Com estes símbolos, formamos todos os 
números existentes. Por exemplo, o número “35” é formado de 2 algarismos – o 
“3” e o “5”. 
Se o Alfonso da questão escreveu 4250 algarismos, ele escreveu vários números 
também, certo? E para saber qual foi o último número escrito pelo rapaz, 
precisamos repetir sua façanha e escrever todos os algarismos novamente?? 
Claro que não!!! Basta termos em mente de quantos algarismos os números são 
formados. Vejamos a tabela abaixo: 
Quantidade Sequência 
de 
algarismos 
por número
Quantidade 
total de 
números 
Quantidade 
total de 
algarismos 
0 – 9 1 10 10 
10 – 99 2 90 180 
100 – 999 3 900 2700 
1000 – 9999 4 9000 36000 
Questão 2 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
De gosto muito duvidoso, Alfonso, a fim de distrair-se, estava escrevendo 
a sucessão dos números naturais – começando do zero - quando sua 
esposa o chamou para jantar, fazendo com que ele interrompesse a 
escrita após escrever certo número. Considerando que, até parar, Alfonso 
havia escrito 4 250 algarismos, o último número que ele escreveu foi 
(A) 1 339. 
(B) 1 353. 
(C) 1 587. 
(D) 1 599. 
(E) 1 729. 
 
6
O “Fofô” (dando um apelidinho para o nosso colega da questão) escreveu 4250 
algarismos... Isso quer dizer que o último número está entre 1000 e 9999 (pois se 
ele tivesse escrito 9999 números já seriam 36000 algarismos!). 
E então? Como saber o último número? Simples!! Precisamos saber a quantidade 
de algarismos entre os números 1000 e 9999. Para isso, basta somar a 
quantidade total de algarismos existente até 999, e diminuir este resultado de 
4250. Como os números entre 1000 e 9999 possuem 4 algarismos, basta 
dividirmos a quantidade encontrada por 4. Aos cálculos! 
2700 + 180 + 10 = 2890
4250 – 2890 = 1360
1360 
4
 = 340
 
Assim, sabemos que o “Fofô” escreveu 340 algarismos entre 1000 e 9999. O 
primeiro algarismo é 1000, o segundo é 1001... assim por diante. Dessa forma, 
quando ele escrever o número 1339, terá escrito 4250 algarismos. Entendido? 
Resposta: Letra A. 
Questão 3 – FCC/TRE-PI/Téc. Jud/2009 
Um grupo de sete amigos foi almoçar num restaurante em que o valor da 
refeição é de R$ 24,20 por pessoa, independentemente daquilo que cada 
um comer. Cada um pediu ainda um refrigerante, que custa R$ 2,50 a 
unidade, e uma sobremesa no valor de R$ 4,50 cada. Como um dos 
amigos fazia aniversário, eles decidiram dividir a conta por seis. Se nesse 
restaurante não se cobra taxa de serviço, o total desembolsado por cada 
um dos seis pagantes foi, em R$, 
(A) 29,90 
(B) 31,20 
(C) 34,50 
(D) 36,40 
(E) 38,80 
 
7
Com esta questão adentramos num assunto extremamente importante: as 
operações e expressões numéricas. São exemplos de expressões numéricas: 
4 + 5 = 9 
3 x 2 = 6 
Existem também as expressões algébricas. Estas são as famosas “equações”, 
pois contém letras e números. Exemplos: 
Y = a + bx 
2z = 3a + 2b 
As letras em uma equação são também chamadas variáveis. 
Uma expressão pode trazer vários tipos de operações. Sabemos que as mais 
importantes são a adição, subtração, multiplicação e divisão. Da multiplicação 
também extraímos outra operação – a potenciação. 
A multiplicação é composta dos fatores, que originam o produto. Por exemplo, na 
multiplicação abaixo: 
Já a potenciação representa uma multiplicação em que os fatores são iguais. 
Vejamos abaixo: 
A potenciação tem uma maneira “peculiar” de ser representada. A quantidade de 
vezes que o fator se repete dá origem a um expoente – um número que vem 
Fatorx 
Fator Produto 
=
24 x = 8 3 
Fator 
x 
Fator Produto 
=
 16 x = 4 4 
 
8
acima do valor do fator. Esse valor, na potenciação, é denominado base. A 
multiplicação acima, por exemplo, toma a seguinte forma: 
42 = 16 
 
A operação contrária da potenciação é a Radiciação, que representa quantas 
vezes um número pode ser dividido por outro. Vejamos: 
2 16 = 4
Quando o índice é o número dois, ele normalmente é omitido da operação – 
resultando em: 
16 = 4
Agora estamos craques em operações numéricas, e quase craques em 
expressões algébricas (veremos mais sobre ela adiante). Por ora, conseguimos 
facilmente resolver a questão. 
O enunciado comenta que 7 amigos comeram em um restaurante (cujo valor por 
pessoa é de R$ 24,20), além de terem bebido um refrigerante (R$ 2,50) e pedido 
sobremesa (R$ 4,50). Ou seja, o total da conta dos 7 amigos é: 
 16 x = 4 4 
 Base 
Expoente
Potência
 Índice 
 Radicando Raiz 
 
9
Como eles resolveram dividir a conta em 6, pois um estava de aniversário (PS: 
poxa, que amigos queridos, não acharam? No meu aniversário os amigos querem 
que eu pague a conta toda!!!)... 
Resposta: Letra D. 
Essa questão contempla aspectos de raciocínio lógico-quantitativo, que veremos 
intensamente em aula futura. Mas achei importante trazê-la para esta aula pois, 
com ela, podemos revisar/aprender passo a passo a operação matemática da 
divisão. Como na primeira questão vista nesta aula, aqui também é importante 
encontrar uma relação lógica entre os números da tabela. Reparem que, em cada 
coluna, a linha seguinte é a soma do número da linha anterior + 7. Vejam só a 
coluna 1: 
Questão 4 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
Considere que os números inteiros que aparecem na tabela abaixo foram 
dispostos segundo determinado padrão. 
1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 
0 2 4 6 8 
7 9 11 13 15 
14 16 18 20 22 
21 23 25 27 29 
28 30 32 34 36 
Se esse padrão fosse mantido indefinidamente, qual dos números seguintes 
com certeza NÃO estaria nessa tabela? 
(A) 585 
(B) 623 
(C) 745 
(D) 816 
(E) 930 
7 x (24,20 + 2,50 + 4,50) = 7 x (31,20) = 218,40
218,40
6
 = 36,40
 
10
1ª Coluna 
0 
7 (0 + 7) 
14 (0 + 7 + 7 ou 0 + 2x7) 
21 (0 + 7 + 7 + 7 ou 0 + 3x7) 
28 (0 + 7 + 7 + 7 + 7 ou 0 + 4x7) 
O mesmo ocorre nas demais colunas: 
2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 
2 4 6 8 
9 (2 + 7) 11 (4 + 7) 13 (6 + 7) 15 (8 + 7) 
16 (2 + 2x7) 18 (4 + 2x7) 20 (6 + 2x7) 22 (8 + 2x7) 
23 (2 + 3x7) 25 (4 + 3x7) 27 (6 + 3x7) 29 (8 + 3x7) 
30 (2 + 4x7) 32 (4 + 4x7) 34 (6 + 4x7) 36 (8 + 4x7) 
Desta forma, temos as seguintes relações: 
1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 
0 2 4 6 8 
7 (0 + 7) 9 (2 + 7) 11 (4 + 7) 13 (6 + 7) 15 (8 + 7) 
14 (0 + 2x7) 16 (2 + 2x7) 18 (4 + 2x7) 20 (6 + 2x7) 22 (8 + 2x7) 
21 (0 + 3x7) 23 (2 + 3x7) 25 (4 + 3x7) 27 (6 + 3x7) 29 (8 + 3x7) 
28 (0 + 4x7) 30 (2 + 4x7) 32 (4 + 4x7) 34 (6 + 4x7) 36 (8 + 4x7) 
. . . . . 
.. .. .. .. .. 
... ... ... ... ... 
(0 + nx7) (2 + nx7) (4 + nx7) (6 + nx7) (8 + nx7) 
Desta forma, para um número estar em alguma das colunas, ele deve, 
obrigatoriamente, obedecer a alguma das relações encontradas, certo? 
 
11
E o número que não obedecer à relação acima será a resposta da nossa questão! 
Mas como vamos descobrir isso? Basta fazer a operação inversa. A operação 
inversa da multiplicação é a divisão. A divisão compreende quatro “partes” 
importantes. São elas: dividendo, divisor, quociente e resto. O dividendo é o 
resultado da multiplicação do divisor versus o quociente, adicionado do resto: 
No nosso caso, o Dividendo é o número apresentado na alternativa, o Divisor é o 
número 7, e o Quociente é o 7. O resto, para a alternativa pertencer à tabela, só 
pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Se o resto for outro número que não estes, a alternativa 
representa um número que em hipótese alguma poderia pertencer à tabela, ou 
seja, a resposta da nossa questão! Esquematizando, a divisão fica: 
Número 
pertencente à 
tabela = 
0 
2 
4 
6 
8 
+nx7
= 
+ 
DivisorDividendo
QuocienteResto 
7
Número 
pertencente à 
tabela 
nResto: 0, 2, 4, 6, 8 
x
rrraaa
,,, 
CCC
12
Vamos para as alternativas? 
(A) 585 
Como o resto é 4, o número 585 pertence à tabela. 
(B) 623 
Como o resto é 0, o número 623 pertence à tabela. 
(C) 745 
Vejam só! O resto é igual a 3. Com este resto, o número pode pertencer à tabela 
proposta? Não... Ou seja, ele é o gabarito da questão! 
(D) 816 
7585 
83Resto: 4 
7623 
89Resto: 0 
7745 
106Resto: 3 
7816 
116Resto: 4 
13
Como o resto é 4, o número 816 pertence à tabela. 
(E) 930 
Como o resto é 0, o número 623 pertence à tabela. 
Resposta: Letra C 
Esta é uma questão de expressão numérica que, se aparecer na prova, é para 
garantir o ponto!! 
Vamos esquematizá-la. A questão diz que daqui a 9 anos, a soma da idade de 
Dagoberto com os pais será de 155 anos. 
Chamaremos a idade de Dagoberto daqui a 9 anos de “d” e a idade de seus pais 
daqui a 9 anos de “p”. Assim: 
Questão 5 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
Sabe-se que daqui a 9 anos a soma da idade de Dagoberto com as de seus 
pais será 155 anos. Assim sendo, há 5 anos atrás quantos anos 
totalizavam as idades dos três? 
(A) 96 
(B) 108 
(C) 113 
(D) 117 
(E) 121 
7623 
89Resto: 0 
 Hoje 9 anos depois 
d + p = 155
 
14
E a idade de todos há 5 anos atrás? Ora, a diferença entre “daqui a 9 anos” e “5 
anos atrás” é de 14 anos. Isso que dizer que, há 5 anos atrás, cada um era 14 
anos mais novo do que será daqui 9 anos. Como são três pessoas (Dagoberto, 
seu pai e sua mãe), a diferença de idade é de 3 x 14! Vamos adicionar esta 
informação ao nosso esquema? 
Logo, temos: 
Total há 5 anos = d + p – 3x14 = 155 – 42 = 113. 
Resposta: Letra C. 
A questão pergunta qual o valor inicial que Estanislau possuía no bolso. É 
importante, para resolvê-la, transformar em equações o que o enunciado diz em 
Questão 6 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
Em uma viagem de turismo à Argentina, Estanislau ficou fascinado com 
as máquinas de caça níqueis de um cassino e, sabendo que poderia usar 
moedas brasileiras, resolveu testar a sua sorte em uma máquina. 
Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso: teve sorte e 
duplicou a quantia que tinha colocado na máquina; entretanto, logo a 
seguir, perdeu 4 reais. Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou 
a quantia com que ficara, mas, em seguida, perdeu outros 4 reais. Na 
quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que ficara, após o 
que perdeu mais 4 reais. Se após essa última jogada Estanislau ficou sem 
nenhuma moeda, então, antes de começar a jogar, o total de moedas que 
tinha no bolso totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre 
(A) 2,25 e 3,00. 
(B) 3,00 e 3,75. 
(C) 3,75 e 4,50. 
(D) 4,50 e 5,25. 
(E) 5,25 e 6,00. 
 Hoje 9 anos depois 
Total = d + p = 155
5 anos atrás 
Total = d + p – 3x14 
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forma de frases. Vamos passo a passo (e é exatamente assim que vocês devem 
resolver a questão na hora da prova): 
“Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso”: chamaremos 
este valor inicial de x 
“duplicou a quantia que tinha colocado na máquina”: 2x 
“logo a seguir, perdeu 4 reais”: 2x - 4 
“Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia com que 
ficara”: 2.(2x – 4) 
“mas, em seguida, perdeu outros 4 reais.”: 2.(2x – 4) – 4 
“Na quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que ficara”: 
2.[2.(2x – 4) – 4] 
“após o que perdeu mais 4 reais.”: 2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 
“Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda”: 
2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0 
“então, antes de começar a jogar, o totalde moedas que tinha no bolso 
totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre”: x = ??? 
Nosso passo a passo nos conduziu à seguinte expressão algébrica: 
2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0 
Para resolvê-la, é importante sabermos a ordem de prioridade com as quais as 
operações dentro das expressões devem ser resolvidas. Algumas devem ser 
resolvidas por primeiro, outras em seguida e outras por último. O esquema abaixo 
demonstra essa prioridade: 
 
 
1º Potenciação e Radiciação 
PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE 
OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO 
ALGÉBRICA 
2º Multiplicação ou Divisão 
3º Adição ou Subtração 
 
16
Outra prioridade existente é relativa à presença de parênteses, colchetes ou 
chaves nas expressões: 
 
 
Sabendo esses conceitos, basta aplicá-los à resolução da expressão: 
2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0 
2. [4x – 8 – 4] – 4 = 0
2. [4x – 12] – 4 = 0
8x – 24 – 4 = 0
8x – 28 = 0
8x = 28 → x = 28 
8
 = 3,5
 
Logo, a quantia está compreendida entre 3,0 e 3,75. 
Resposta: Letra B. 
1º Parênteses ( ) 
PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES 
E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO 
ALGÉBRICA 
2º Colchetes [ ] 
3º Chaves { } 
 
17
Essa questão trata de um assunto recorrente em concursos, que são as 
operações com frações. Elas são quase “arroz de festa”, estão em todas as 
provas... 
Inicialmente, cabe lembrar que a “parte de cima” da fração é o numerador, e a 
“parte de baixo” é o denominador, como no esquema abaixo: 
2
7 
Na adição, subtração, multiplicação e divisão com frações alguns cuidados devem 
ser tomados. Vamos analisar cada uma das quatro operações, para que cada 
detalhe seja bem fixado. 
Adição e subtração de frações 
Na adição e subtração de frações, o importante é manter todos os denominadores 
iguais. Essa é a regra principal. E como fazer isso? Vejam a soma abaixo: 
2 
7
 + 1 
9
 + 3
5 
Para reduzir os três denominadores a um só, devemos encontrar o famoso MMC – 
Mínimo Múltiplo Comum. O MMC é o menor número divisível pelos três 
Questão 7 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009 
A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 
2 
7 da sua receita 
anual seja aplicada em educação. Daquilo que sobra, 
3 
5 deve ser destinado 
à saúde. Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante 
é dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com 
transporte e habitação. Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 
300.000,00 com transporte e habitação, pode-se concluir que a receita 
daquele ano, em milhares de reais, foi 
(A) 600 
(B) 1.200 
(C) 1.500 
(D) 2.100 
(E) 3.000 
 Numerador 
 Denominador 
 
18
denominadores, tendo zero como resto. Na verdade, o menor número divisível por 
qualquer número é o zero (pois podemos dividir o zero por qualquer número e ter 
zero como resto). Então, o MMC é o menor múltiplo comum, a exceção do zero. 
No nosso exemplo, temos três denominadores: 7, 9 e 5. Cada um tem os 
seus múltiplos. São eles (já excluímos o zero): 
• Múltiplos de 7: {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 
112, 119, 126, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196, 
203, 210, 217, 224, 231, 238, 245, 252, 259, 266, 273, 280, 287, 294, 
301, 308 315, 322, 329, ...} 
• Múltiplos de 9: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 
144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252, 261, 270, 
279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, ...} 
• Múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 
85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 
165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 
240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 300, 305, 310, 
315, 320, 325, ...} 
Percebam que o menor número que é divisível pelos três números é 315. Mas 
como descobrir isso sem precisar escrever todos esses números??? 
Simples, utilizamos a chamada fatoração. Na fatoração, dividimos o número pelo 
menor número primo possível, e seguir na divisão, até que se chegue a um 
quociente igual a 1. 
Vamos fazer com os nossos denominadores (7, 9 e 5). Fatorando o 7: 
7 7 
1 
Notem que como o 7 é um número primo, a fatoração do 7 é igual a ele mesmo. 
Fatorando o 9: 
9 3 
3 3 
1 
Fatoração do 9 = 32. 
Fatoração do 5: 
5 5 
1 
 
19
Agora sim, a regra de ouro do MMC: 
 
 
Seguindo essa regra, temos que o MMC (7, 5, 9) = 7 x 32 x 5 = 315. 
Resgatando nossa soma inicial: 
2 
7
 + 1 
9
 + 3 
5 
Agora, substituímos os denominadores pelo MMC. Em seguida, para cada fração, 
dividimos pelo denominador original e multiplicamos pelo numerador, da seguinte 
forma: 
 2
7
 + 1 
9
 + 3 
5
2 x 32 x 5 + 1 x 7 x 5 + 3 x 32 x 7
315
 
Fazendo a soma, chega-se no resultado de 
314 
315 . 
X 
Fatores não 
comuns a todas 
as fatorações 
Entra no cálculo do MMC 
REGRA DE OURO DO MMC 
Entra no cálculo do MMC 
com o maior expoente 
Fatores comuns a 
todas as 
fatorações 
DIVIDE 
315 ÷ 7 = 32 x 5 
MULTIPLICA 
2 X 32 x 5 
÷
=
 
20
Multiplicação e divisão de frações 
A multiplicação de frações é obtida diretamente, apenas multiplicando 
os numeradores e denominadores entre si. 
Exemplo: 
3 
5
 x 4 
9
 = 3 x 4 
5 x 9
 = 4
5 x 3
 = 4 
15 
Já a divisão de frações é encontrada pela inversão da fração pela qual se quer 
dividir, seguida da multiplicação tradicional. Uma maneira mais fácil é através do 
“Extremos pelos Meios”, ou seja: 
3
5 
4 
9
 = 3 x 9 
5 x 4
 = 27 
20
Agora estamos preparados para a resolução da questão. Vamos a ela, passo a 
passo! 
2 
7 da receita anual do município deve ser aplicado em educação. 
“A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 
2 
7 da sua receita 
anual seja aplicada em educação.”: chamando a receita anual de x, a parte 
correspondente à educação equivale a 
2 
7
 x 
. 
“Daquilo que sobra, 
3 
5 deve ser destinado à saúde”: 
Receita para saúde = 
3 
5⎝⎜
⎛ x – 2
7
 x⎠⎟
⎞
 
“Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é dividido 
igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com transporte e 
Extremos Meios 
 
21
habitação.” Despesas com funcionários = Gastos com transporte e habitação = 
1
2⎝
3 ⎜⎛ x – 27 x – 5⎝⎜
⎛ x – 2
7
 x⎠⎟
⎞
 
“Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e 
habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, 
foi”: Gastos com transporte e habitação = 
1
2⎝⎜
⎛ x – 2
7
 x – 3 
5⎝⎜
⎞ = 300.000 ⎛ x – 2
7
 x⎠⎟ 
1
2⎝⎜
⎛ x – 2
7
 x – 3 
5
 x + 6 
35
 x⎠⎟
⎞ = 300.000
1
2
 (35x – 10x – 21x + 6x) 
35
 = 300.000
1
2
 10x 
35
 = ⎝⎜
⎛ 5x 
35⎠⎟
⎞ = 300.000 
x = 2.100.000 
Como a questão pede o resultado em milhares de reais (1 milhar de real = 1000 
reais), a resposta é 2.100. 
Resposta: Letra D. 
Questão 8 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009 
Certo mês, do total de equipamentos que estavam em uma oficina, sabe-se 
que: 
3 
8 foram reparados por Eustáquio, 
5 
12 por Alceste e os demais por 
Corifeu. Assim sendo, nesse mês, o total de equipamentos reparados 
nessa oficina poderia ser igual a 
(A) 36 
(B) 40 
(C) 60 
(D) 72 
(E) 84 
 
22
Essa questão pode ser facilmente resolvida através da análise das alternativas. 
Se 
3 
8 dos equipamentos foram reparados por Eustáquio, é lógico que o número 
de equipamentos deve ser um múltiplo de 8, certo? Caso contrário, poderia ser 
encontrado o valor de “meio equipamento”, e é lógico quenão existe “meio 
equipamento”!! 
Dessa maneira, eliminamos as alternativas a, c e e. 
Além disso, 
5 
12 foram reparados por Alceste. Tanto 72 (alternativa d) quanto 84 
(alternativa e) são múltiplos de 12, podendo ser resposta da questão. 
Passamos então para os equipamentos reparados por Corifeu, que é o restante 
dos equipamentos (os que não foram reparados nem por Eustáquio nem por 
Alceste). Traduzindo para uma equação (e chamando o total de equipamentos 
reparados na oficina de x), temos: 
Total de equipamentos reparados por Corifeu = 
x – 3
8
 x – 5 
12
 x
 
Total de equipamentos reparados por Corifeu = 
24x – 9x – 10x
24
 = 5 
24
 x
 
Da mesma maneira como pensamos antes, o número total de equipamentos da 
oficina deve ser múltiplo de 24, para não haver possibilidade de “meio 
equipamento”. 84 não é múltiplo de 24, já 72 sim! 
Resposta: letra D. 
 
23
Mais uma questão para treinarmos as operações com frações. 
O enunciado divide a vida do cidadão em fases, e pergunta o tempo de vida (ou 
existência) do mesmo. Esquematizando as informações (e chamando a existência 
total de e): 
Fase da vida Tempo de duração da fase (em anos)
Criança 1 
6
 e
Jovem 1 
12
 e
Adulto solteiro 1 
7
 e
Adulto casado antes da compra do iate 6 
Adulto casado com iate 1
2
 e
Adulto casado após ter vendido o iate 3 
Desta forma, existência total = soma do tempo de duração de todas as fases. 
e = 1
6
 e + 1 
12
 e + 1 
7
 e + 6 + 1
2
 e + 3
e – 1
6
 e – 1 
12
 e – 1 
7
 e – 1
2
 e = 9
 
Precisamos agora saber o MMC de 6, 12, 7 e 2, para encontrarmos o 
denominador comum de todas as frações. Fatorando cada um desses números, 
encontramos: 
Fatoração de 6 = 2.3 
Questão 9 – FCC/TCE-AM/ACE/2008 
Um cidadão viveu a sexta parte da sua existência como criança, um doze 
avos como jovem e uma sétima parte como adulto solteiro. Seis anos após 
ter se casado comprou um iate no qual viveu com a esposa por exatamente 
a metade da sua existência. Vendeu o iate tendo vivido ainda três anos. 
Quantos anos viveu o cidadão? 
(A) 56 
(B) 63 
(C) 72 
(D) 84 
(E) 96 
 
24
Fatoração de 12 = 22.3 
Fatoração de 7 = 7 
Fatoração de 2 = 2 
Relembrando a regra de ouro do MMC: mesmo fator utilizar aquele com maior 
expoente, e fatores diferentes incluir todos. 
MMC (6, 12, 7, 2) = 22.3.7 = 84 
Retornando à equação, dessa vez com o mesmo denominador: 
84e – 14e – 7e – 12e – 42e 
84
 = 9
9e 
84
 = 9
 
e = 84 anos de existência. 
Resposta: Letra D. 
 
25
2. Memorex 
 
 
NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Ex: 1,333333 (...); 2/5; 11 ... 
NÚMEROS INTEIROS (Z) 
Ex: -2; -1; 0; 1; 2 
NÚMEROS NATURAIS (N) 
Ex: 0; 1; 2 
1º Potenciação e Radiciação 
PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE 
OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO 
ALGÉBRICA 
2º Multiplicação ou Divisão 
3º Adição ou Subtração 
 
26
 
 
 
 
 
1º Parênteses ( ) 
PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES 
E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO 
ALGÉBRICA 
2º Colchetes [ ] 
3º Chaves { } 
Fatores não 
comuns a todas 
as fatorações 
Entra no cálculo do MMC 
REGRA DE OURO DO MMC 
Entra no cálculo do MMC 
com o maior expoente 
Fatores comuns a 
todas as 
fatorações 
 
27
 
28
3. Lista das questões abordadas em aula 
Questão 1 – FCC/TRE-PI/Téc. Jud/2010 
Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro 
abaixo foram dispostos segundo determinado critério. 
Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma 
dos números que estão faltando é 
(A) maior que 19. 
(B) 19. 
(C) 16. 
(D) 14. 
(E) menor que 14. 
Questão 2 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
De gosto muito duvidoso, Alfonso, a fim de distrair-se, estava escrevendo a 
sucessão dos números naturais – começando do zero - quando sua esposa 
o chamou para jantar, fazendo com que ele interrompesse a escrita após 
escrever certo número. Considerando que, até parar, Alfonso havia escrito 4 
250 algarismos, o último número que ele escreveu foi 
(A) 1 339. 
(B) 1 353. 
(C) 1 587. 
(D) 1 599. 
(E) 1 729. 
Questão 3 – FCC/TRE-PI/Téc. Jud/2009 
Um grupo de sete amigos foi almoçar num restaurante em que o valor da 
refeição é de R$ 24,20 por pessoa, independentemente daquilo que cada um 
comer. Cada um pediu ainda um refrigerante, que custa R$ 2,50 a unidade, e 
uma sobremesa no valor de R$ 4,50 cada. Como um dos amigos fazia 
 
29
aniversário, eles decidiram dividir a conta por seis. Se nesse restaurante não 
se cobra taxa de serviço, o total desembolsado por cada um dos seis 
pagantes foi, em R$, 
(A) 29,90 
(B) 31,20 
(C) 34,50 
(D) 36,40 
(E) 38,80 
Questão 4 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
Considere que os números inteiros que aparecem na tabela abaixo foram 
dispostos segundo determinado padrão. 
1ª Coluna 2ª Coluna 3ª Coluna 4ª Coluna 5ª Coluna 
0 2 4 6 8 
7 9 11 13 15 
14 16 18 20 22 
21 23 25 27 29 
28 30 32 34 36 
Se esse padrão fosse mantido indefinidamente, qual dos números seguintes 
com certeza NÃO estaria nessa tabela? 
(A) 585 
(B) 623 
(C) 745 
(D) 816 
(E) 930 
Questão 5 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
Sabe-se que daqui a 9 anos a soma da idade de Dagoberto com as de seus 
pais será 155 anos. Assim sendo, há 5 anos atrás quantos anos totalizavam 
as idades dos três? 
(A) 96 
(B) 108 
(C) 113 
(D) 117 
(E) 121 
 
30
Questão 6 – FCC/TCE-SP/AFF/2010 
Em uma viagem de turismo à Argentina, Estanislau ficou fascinado com as 
máquinas de caça níqueis de um cassino e, sabendo que poderia usar 
moedas brasileiras, resolveu testar a sua sorte em uma máquina. 
Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso: teve sorte e 
duplicou a quantia que tinha colocado na máquina; entretanto, logo a seguir, 
perdeu 4 reais. Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia 
com que ficara, mas, em seguida, perdeu outros 4 reais. Na quinta jogada, de 
novo a sorte duplicou a quantia com que ficara, após o que perdeu mais 4 
reais. Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda, 
então, antes de começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso 
totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre 
(A) 2,25 e 3,00. 
(B) 3,00 e 3,75. 
(C) 3,75 e 4,50. 
(D) 4,50 e 5,25. 
(E) 5,25 e 6,00. 
Questão 7 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009 
A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 
2 
7 da sua receita 
anual seja aplicada em educação. Daquilo que sobra, 
3 
5 deve ser destinado à 
saúde. Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é 
dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com 
transporte e habitação. Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 
300.000,00 com transporte e habitação, pode-se concluir que a receita 
daquele ano, em milhares de reais, foi 
(A) 600 
(B) 1.200 
(C) 1.500 
(D) 2.100 
(E) 3.000 
Questão 8 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009 
Certo mês, do total de equipamentos que estavam em uma oficina, sabe-se 
que: 
3 
8 foram reparados por Eustáquio, 
5 
12 por Alceste e os demais por 
 
31
Corifeu. Assim sendo, nesse mês, o total de equipamentos reparados nessa 
oficina poderia ser igual a 
(A) 36 
(B) 40 
(C) 60 
(D) 72 
(E) 84 
Questão 9 – FCC/TCE-GO/Téc. Jud./2009 
Um cidadão viveu a sexta parte da sua existência como criança, um doze 
avos como jovem e uma sétima parte como adulto solteiro. Seis anos após 
ter se casado comprou um iate no qual viveu com a esposa por exatamente a 
metade da sua existência. Vendeu o iate tendo vivido ainda três anos. 
Quantos anos viveu o cidadão? 
(A) 56 
(B) 63 
(C) 72 
(D) 84 
(E) 96 
 
32
 
33
4. Gabarito1 – A 4 – C 7 – D 
2 – A 5 – C 8 – D 
3 – D 6 - B 9 - D