ALUNO 6º ANO - LIVRO 1

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Objetivo
– Determinar o valor absoluto e 
o relativo dos algarismos que 
compõem um número.
Imagine que você seja responsável por cuidar de um rebanho de 
ovelhas e, portanto, precisa contar quantos animais saem do pasto 
e voltam todos os dias. Mas há um detalhe: você não pode utilizar 
números. Qual método seria adequado? Uma solução poderia ser 
associar cada ovelha a uma pedra. Assim, para cada animal que fosse 
para o pasto, você colocaria uma pedra em uma sacola e, para cada 
ovelha que voltasse, retiraria uma pedra. Dessa forma, seria possível 
ter o controle desse grupo, e você perceberia a perda de algum animal. 
Assim faziam os homens primitivos. Da associação de uma unidade 
a uma pedra, passou-se a registrar cada unidade com um traço. 
Mas imagine quão complicada seria a representação de números maiores, 
como 50, 100 ou 1.000. O problema ainda não estaria resolvido. Criou-
se então o que hoje é conhecido como sistemas de numeração. Esses 
sistemas são conjuntos de símbolos e regras utilizados para simplificar a 
representação numérica. 
Neste capítulo, estudaremos alguns dos principais sistemas de 
numeração existentes.
Como você calcularia quantidades 
sem utilizar os números?
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
6o ANO
CAPÍTULO
1
MATEMÁTICA I
1. Escrita dos números no passado
O texto lido anteriormente transmite a ideia da 
necessidade de o homem fazer a contagem de suas posses. 
Entretanto, alguns pesquisadores consideram que os 
números naturais diferentes de zero (1, 2, 3, 4...) foram 
criados para marcar o tempo de celebrações religiosas 
e/ou místicas. Isso porque existem objetos arqueológicos 
datados de até 35 mil anos atrás com marcas de traços 
agrupados que poderiam representar quantidades (nessa 
época, os homens eram nômades, não possuíam bens e a 
agricultura não havia sido desenvolvida).
Seja qual for a motivação para o surgimento dos 
números, sabe-se que essas representações não são métodos 
práticos para registros de números muito grandes. 
Então, com o passar do tempo, criaram-se vários 
sistemas de numeração, até chegar ao sistema utilizado 
atualmente, o indo-arábico. 
2. Sistema de numeração egípcio
Vejamos na ilustração adaptada os símbolos utilizados 
e os valores atribuídos a eles.
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
No sistema de numeração egípcio, cada símbolo podia ser 
repetido até nove vezes, e sua ordem não era importante, pois valia 
apenas a soma dos valores. 
Ex.:
a. = 13
b. = 26.020
3. Sistema de numeração 
babilônico
O símbolo de cravo na vertical ( ) representava a 
unidade e podia ser repetido até nove vezes. Esse mesmo 
símbolo na horizontal ( ) representava o 10 e podia ser 
repetido até cinco vezes.
Ex.:
a. 
= 3 × 10 + 1 = 31
b. 
= 2 × 10 + 2 = 22
Quantidades maiores que 59 eram reunidas em grupos 
de 60, sendo os símbolos separados por um espaço, o que 
tornava importante a sua posição relativa.
Ex.:
a. 
= 1 × 60 31
= 60 + 31 = 91
b. 
= 3 × 60 = 43
= 180 + 43 = 223
4. Sistema de numeração maia
Neste sistema, o ponto representava a unidade, a barra 
representava cinco unidades e a concha representava o zero.
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
Vale ressaltar que o número 20 era representado por 
uma concha e um ponto.
20 21 22 23 24
26 27 28 29 30
25
A posição dos símbolos era muito importante nesse 
sistema, porque, para números maiores que 20, utilizava-se 
uma segunda casa, que ficava acima dos outros símbolos.
3
23
Vejamos outros exemplos:
a. = 1 × 20 + 5 × 3 + 4 = 39
b. = 1 × 20 + 3 × 5 = 35
Para números maiores ainda, eram utilizadas mais casas 
acima das duas que já foram apresentadas. Assim, os maias 
escreviam com base nos múltiplos de 20.
1 × 20 × 20 = 400 (1ª casa)
3 × 20 = 60 (2ª casa)
400 + 60 + 7 = 467
2 × 1 + 1 × 5 = 2 + 5 = 7 (3ª casa)
236
MATEMÁTICA I
6º Ano
5. Sistema de numeração chinês
O sistema chinês possuía símbolos para os números entre 
1 e 9 e símbolos para as potências de 10, sendo, então, um 
sistema de base decimal.
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10.000
100
Ex.:
a. 437 = 4 × 100 + 3 × 10 + 7 = 
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b. 3.528 = 3 × 1.000 + 5 × 100 + 2 × 10 + 8 = 
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1.000
10.000
100
6. Sistema de numeração romano
O sistema romano surgiu há mais de 3 mil anos, durante o 
Império Romano. Baseia-se em sete símbolos básicos, expostos 
na tabela a seguir:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1.000
A fim de formar os demais números, esses símbolos 
eram combinados, utilizando as seguintes regras:
Primeira regra: os símbolos I, X, C e M podem ser 
repetidos por até três vezes consecutivas. Isso não pode 
ocorrer com os demais. 
Ex.:
a. III = 1 + 1 + 1 = 3
b. XX = 10 + 10 = 20
c. CC = 100 + 100 = 200
d. MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000
Segunda regra: se um símbolo de menor valor é colocado 
à direita de um de maior valor, adicionam-se os dois valores.
Ex.: 
a. LI = 50 + 1 = 51
b. CCCLX = 100 + 100 + 100 + 50 + 10 = 360
c. MMDCXV = 1.000 + 1.000 + 500 + 100 + 10 + 5 = 2.615
Terceira regra: se um dos símbolos I, X ou C é colocado 
à esquerda de um de maior valor, subtrai-se o menor do maior.
Ex.:
a. IV = 5 – 1 = 4
b. XL = 50 – 10 = 40
c. CM = 1.000 – 100 = 900
Quarta regra: quando um traço horizontal é colocado 
sobre um ou mais símbolos, multiplica-se seu valor por 
1.000. Colocando-se dois traços, multiplica-se por 1.000.000, 
e assim por diante.
Ex.:
a. V = 5 × 1.000 = 5.000
b. XI = 11 × 1.000.000 = 11.000.000
c. VCX = 5 × 1.000 + 100 + 10 = 5.000 + 100 + 10 = 5.110
Essas são regras importantes e necessárias para 
compreender e saber ler números romanos. 
7. Sistema indo-arábico
O sistema de numeração romano não é muito prático, 
pois muitas vezes é necessária uma quantidade grande de 
símbolos para registrar determinado número. Um exemplo 
disso é o 388, que é representado por CCCLXXXVIII. Então, 
há mais de 1.500 anos, no vale do Rio Indo (Ásia), foi criado 
o sistema indo-arábico, cujo nome se deve, também, ao fato 
de terem sido os árabes os responsáveis pela divulgação do 
sistema pela Europa.
O sistema de numeração utilizado hoje em dia é 
formado por dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Nele, 
os valores são divididos em unidades, dezenas, centenas, 
milhares etc. Logo, pode-se dizer que ele é organizado na 
base 10 e, portanto, é decimal. A origem desse fato se deve, 
provavelmente, às contagens ligadas aos dedos das mãos.
Assim:
10 unidades = 1 dezena;
10 dezenas = 1 centena;
10 centenas = 1 unidade de milhar;
10 unidades de milhar = 1 dezena de milhar
e assim por diante.
Outra característica do sistema indo-arábico é ser posi-
cional, ou seja, um mesmo símbolo pode ter valor diferente 
dependendo da posição que ele ocupa no numeral. Assim, 
o algarismo 8 tem valor relativo igual a 80 no número 6.780 
e valor 8.000 no número 8.567. Portanto, os dez símbolos 
são suficientes para escrever qualquer número natural, por 
maior que ele seja.
237
Sistemas de numeração
Capítulo 1
8. Ordens e classes de um número
Cada um dos algarismos que compõem um número representa uma ordem: 
unidade (classe mais à direita), dezena (segundo algarismo da direita para a 
esquerda), centena (terceiro algarismo da direita para a esquerda) etc.
Três números seguidos, da direita para a esquerda, compõem uma classe. 
São elas a classe simples, a classe de milhar, a classe dos milhões, a classe dos 
bilhões, e assim sucessivamente.
Ex.: Organizandoo número 76.893:
Classe de bilhão Classe de milhão Classe de milhar Classe simples
centena dezena unidade centena dezena unidade centena dezena unidade centena dezena unidade
12o 11o 10o 9o 8o 7o 6o 5o 4o 3o 2o 1o
7 6 8 9 3
O número 76.893 pode ser decomposto da seguinte forma:
76.893 = 7 dezenas de milhar + 6 unidades de milhar + 8 centenas simples 
+ 9 dezenas simples + 3 unidades simples.
Existem outras maneiras de decompor o número 76.893. Veja:
 76.893 = 76 unidades de milhar + 8 centenas simples + 9 dezenas simples + 
3 unidades simples.
 76.893 = 768 centenas simples + 9 dezenas simples +3 unidades simples.
 76.893 = 7.689 dezenas simples + 3 unidades simples.
9. Valor relativo e valor absoluto
O sistema de numeração decimal é posicional. Isso significa 
que o valor dos algarismos depende da posição que eles ocupam. 
Esse valor é chamado de valor relativo ou valor posicional.
Ex.:
Ao analisar os números 5.437 e 4.357, conclui-se 
que, no primeiro número, o valor posicional do 
algarismo 4 é 400, pois é igual a 4 × 100 (está na ordem 
das centenas). No segundo número, o valor posicional 
do algarismo 4 é 4.000, pois é igual a 4 × 1.000 (está 
na ordem das unidades de milhar).
Outra definição é a de valor absoluto, que é o valor 
do algarismo, independentemente da posição que ele 
ocupa. Por exemplo, o valor absoluto do algarismo 4 nos 
números 5.437 e 4.357 é o mesmo, ou seja, o valor absoluto é 4.
76.893: lê-se setenta e 
seis mil e oitocentos e 
noventa e três
238
MATEMÁTICA I
6º Ano
A origem do número zero
O número zero surgiu da necessidade de representar o 
vazio. Vários povos perceberam, em momentos diferentes, 
que era preciso criar um símbolo para representar o nada. 
Os babilônicos representavam o zero com um espaço vazio 
(por exemplo, 506 era escrito como 5 6). Mas isso gerava um 
grande problema, pois a representação do número 506 era 
facilmente confundida com a do 56 ou a do 5.006. Apesar 
de vários povos necessitarem de uma forma de representar o 
zero, sua consolidação como símbolo numérico é atribuída 
aos hindus. A criação do zero é considerada um dos maiores 
marcos da Matemática. ©
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CONTEXTUALIZANDO
O sistema decimal feito de madeira
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ia Maria Montessori foi uma das primeiras pessoas a 
utilizar o material dourado para representar o sistema 
decimal. Esse material era assim chamado por causa da cor 
da madeira em que era confeccionado, sendo dividido em 
partes originalmente conhecidas como unidade, dezena, 
centena e milhar. Atualmente, usa-se outra nomenclatura 
para cada peça, como os termos “cubinho” (unidade), 
“barra” (dezena), “placa” (centena) e “cubão” (milhar). 
Essa liberdade na nomenclatura permite fixar o valor 1 
para peças diferentes, podendo assim introduzir a ideia de 
números decimais e fracionários. Utilizando-as de forma 
correta, é possível efetuar as quatro operações principais 
(soma, subtração, divisão e multiplicação) sem muita difi-
culdade. Além disso, pode-se “montar” 
um número e decompor segundo 
suas classes. Um exemplo seria o 
número 234, que poderia ser 
representado de maneira 
mais simples por 2 placas, 
3 barras e 4 cubinhos.
APROFUNDANDO
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239
Sistemas de numeração
Capítulo 1
Diferente no Brasil e nos Estados Unidos
Você sabia que a maneira utilizada para separar 
as classes dos números no Brasil é diferente da dos 
Estados Unidos?
Lá, os separadores de classes são as vírgulas, e aqui, são 
os pontos (para notas fiscais e documentos jurídicos e/ou 
oficiais) ou um pequeno espaço (para os demais casos). Na 
indicação de números decimais, também existe diferença: 
enquanto nos EUA se utiliza o ponto, no Brasil, utiliza-se a 
vírgula. Então:
• O número 1.234 é lido nos Estados Unidos como “um 
inteiro, duzentos e trinta e quatro milésimos”. No Brasil, 
ele é lido como “mil duzentos e trinta e quatro” (escrito 
também sem o ponto, como 1 234).
• O número 1,234 é lido nos Estados Unidos como “mil 
duzentos e trinta e quatro”. No Brasil, ele é lido como 
“um inteiro, duzentos e trinta e quatro milésimos”.
As calculadoras científicas utilizam a regra norte-ame-
ricana. Portanto, caso a utilize, esteja atento(a): as vírgulas 
são utilizadas para separar as classes do numeral.
CONTEXTUALIZANDO
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Exercícios
conceituais
01. Transforme os números destacados nas afirmativas 
abaixo em algarismos romanos:
a. O Pico da Neblina, localizado na Serra do Imeri, ao 
norte do Amazonas, é um dos pontos mais altos do 
Brasil, com aproximadamente 2.993 metros de altitude. 
b. A área do estado do Rio de Janeiro é de aproximada-
mente 43.696 quilômetros quadrados.
c. Amanda comprou 5.000 salgadinhos e 880 docinhos 
para fazer uma festa.
02. Reescreva os números romanos abaixo utilizando o 
sistema de numeração indo-arábico:
a. XX.
b. CCCVII.
c. CMXLIV.
d. DCLIX.
e. MMMDCCCLXXXIX.
03. Descubra o número seguindo as pistas abaixo:
• O número possui sete ordens;
• nas duas primeiras ordens, os algarismos são nulos;
• o algarismo de maior valor posicional é o 1;
• o algarismo da unidade de milhar é o 5;
• o algarismo 8 tem valor posicional 80.000;
• o algarismo das centenas é igual ao algarismo das 
dezenas de milhar;
• o algarismo 2 está presente no número.
04. Em relação ao número 46.718.923, relacione a coluna 
da esquerda com a da direita:
(I) Quantidade de ordens que o 
número possui. ( ) 7
(II) Quantidade de classes que 
o número possui. ( ) 8
(III) Algarismo que se encon-
tra na ordem das centenas 
de milhar.
( ) 4
(IV) Algarismo que se encon-
tra na maior ordem. ( ) 3
Escreva o número por extenso.
240
MATEMÁTICA I
6º Ano
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05. Um número pode ser decomposto em suas classes 
e ordens. Como exemplo, temos o seguinte: 
 413 = 4 centenas simples + 1 dezena simples + 
3  unidades simples. Seguindo esse modelo, decom-
ponha os números a seguir:
a. 403.
b. 4.123.
c. 46.783.
d. 450.990.
Exercícios
contextualizado
s
01. A lenda do saci-pererê data do 
fim do século XVIII. O saci é uma 
criança negra de uma perna só, que 
aparece e desaparece quando quer. 
Diz a crença popular que dentro de 
todo redemoinho de vento há um 
saci.
Os primeiros relatos em relação 
às suas aparições são da Região 
Sudeste, no século XIX.
No texto apresentado, aparecem 
dois números representados no 
sistema de numeração romano. 
Reescreva-os no sistema de 
numeração indo-arábico.
02. A Estátua da Liberdade, patri-
mônio mundial da Unesco 
e monumento que celebra 
a Declaração de Indepen-
dência dos Estados Unidos, 
carrega na sua mão esquerda 
uma tábua com os dizeres 
“July IV MDCCLXXVI”, que 
é o Dia da Independência 
dos EUA. Escreva essa data 
no sistema de numeração 
indo-arábico.
03. Júlio César percebeu um erro ao observar a quantidade 
de prisioneiros feitos na última batalha. Na placa, a 
letra C estava à esquerda da letra D, mas deveria ter 
sido colocada imediatamente à direita dessa letra. 
Considerando essas informações, mostre que o número 
informado é diferente do número correto e determine 
quantos prisioneiros a mais ou a menos foram infor-
mados na placa.
E NA ÚLTIMA 
BATALHA 
FORAM 
FEITOS MCDV 
PRISIONEIROS
04. O Amazonas é o estado de maior área territorial do 
país, com aproximadamente 1.559.162 quilômetros 
quadrados. De acordo com o Censo de 2010, sua 
população é de 3.483.985 habitantes. 
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Na informação anterior, dois números estão em des-
taque. Escreva-os por extenso.
241
Sistemas de numeração
Capítulo 1
05. A distância entre a Terra e a Lua é de 384.401 quilôme-
tros, aproximadamente.
Se utilizássemos escadas de 2 metros para medir essa 
distância, seriam necessárias, aproximadamente, cen-
to e noventa e dois milhões de escadas.
Reescreva o número destacado utilizando os símbo-
los indo-arábicos.
06. No Censo de 2010, o IBGE registrou que a populaçãobrasileira era de 190.755.799 pessoas. Observando o 
número citado, qual é o valor posicional dos algarismos 
9 presentes nele? E o valor absoluto de cada um?
07. Em uma aula de Geografia, os alunos descobriram 
que há 5.565 municípios no Brasil. Decompondo esse 
número nas suas diversas ordens, obtêm-se:
(A) 5 unidades de milhar e 565 unidades de centenas. 
(B) 5 unidades de milhar e 565 unidades simples.
(C) 55 unidades de dezenas e 65 unidades simples.
(D) 5 unidades de milhar e 5 unidades de dezenas.
08. Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quan-
tidades e representar números utilizando um sistema de 
numeração decimal posicional: um conjunto de cordas 
com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma 
corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), 
na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de 
diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De 
acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, 
dezenas, centenas e milhares. Na figura I, o quipus 
representa o número decimal 2.453. Para representar o 
“zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.
Quipus
corda principal
corda
pendente
milhares
centenas
dezenas
unidades
figura I figura II Di
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 2
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do
)
Qual é o número da representação do quipus da 
figura II, em base decimal?
09. O medidor de energia elétrica de uma residência, 
conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro 
pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão 
indicados conforme a figura:
milhar centena dezena unidade
0
9
8
7
1
2
3
4 6
5
0
9
8
7
1
2
3
4 6
5
0
1
2
3
9
8
7
6 4
5
0
1
2
3
9
8
7
6 4
5
A medida é expressa em kWh. O número obtido na 
leitura é composto de 4 algarismos. Cada posição do 
número é formada pelo último algarismo ultrapassa-
do pelo ponteiro.
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é:
(A) 2.614.
(B) 3.624.
(C) 2.715.
(D) 3.725.
242
MATEMÁTICA I
6º Ano
10. O material dourado é um dos materiais criados por 
Maria Montessori. Ele se baseia nas regras do sistema 
de numeração, inclusive para o trabalho com múltiplos, 
sendo confeccionado em madeira e composto de cubos, 
placas, barras e cubinhos. 
O cubo é formado por dez placas, a placa, por dez 
barras, e a barra, por dez cubinhos. Esse material é de 
grande importância para o ensino do sistema de nume-
ração decimal e facilita a aprendizagem dos algoritmos 
da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão. 
No ano de 2006, a população do município de Xapuri era 
de 13.893 habitantes. Para representar essa população 
da forma mais simples, em uma aula prática com o 
material dourado, uma professora precisou de cubos, 
placas, barras e cubinhos. Quantas peças de cada tipo 
foram utilizadas?
Exercícios de
aprofundamento
01. 
A contagem de bois
Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, os 
bois são contados, tanto na chegada quanto na saída. 
Nesses lugares, há sempre um potreiro, ou seja, deter-
minada área de pasto cercada de arame, ou mangueira, 
quando a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do 
potreiro, rente à cerca, os peões formam a seringa ou o 
funil, para afinar a fila, e então os bois vão entrando aos 
poucos na área cercada. Do lado interno, o condutor vai 
contando; diante dele está o marcador, peão que marca 
as reses. O condutor conta 50 cabeças e grita: 
— Talha! 
O marcador, com o auxílio dos dedos das mãos, vai 
marcando as talhas. Cada dedo da mão direita corres-
ponde a 1 talha, e da mão esquerda, a 5 talhas. Quando 
entra o último boi, o marcador diz: 
— Vinte e cinco talhas! 
E o condutor completa: 
— E dezoito cabeças. Isso significa 1.268 bois. 
“Boiada, comitivas e seus peões”. O Estado de S. Paulo, ano VI, ed. 63, 21 dez. 1952 (adaptado). 
Para contar os 1.268 bois, de acordo com o processo 
descrito anteriormente, o marcador utilizou:
(A) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda. 
(B) 20 vezes todos os dedos da mão direita. 
(C) todos os dedos da mão direita apenas uma vez. 
(D) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez. 
02. Considere um número de dois algarismos. Colocando o 
algarismo 1 à esquerda dele, forma-se um novo número, 
diferente do original. O novo número é igual a:
(A) cem vezes o número original, mais um.
(B) dez vezes o número original, mais um.
(C) cem unidades a mais que o número original.
(D) uma unidade a mais do que o número original.
Rascunho
243
Sistemas de numeração
Capítulo 1
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Objetivos
– Identificar os conceitos de 
antecessor, sucessor e números 
consecutivos;
– calcular a quantidade de números 
de uma sequência numérica;
– definir o conjunto dos números 
naturais.
– BNCC: EF06MA01.
Organizar uma festa é sempre uma alegria. São vários preparativos: 
a definição da data e do horário, o local, o cardápio, as bebidas a 
serem servidas, os convidados etc. Normalmente, é feita uma lista de 
convidados. Em muitos casos, a lista é numerada (convidado 1, 2, 3, 
4, ...) e assim se consegue determinar a provável quantidade de pessoas 
que irão à festa.
Também se utilizaram números para fazer a contagem de elementos 
em outros casos, como o número da poltrona em uma sala de teatro, o 
número de chamada na lista de alunos da sua sala, o número de casas 
em uma rua, a quantidade de afazeres domésticos etc. 
Esses números (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 25, ..., 768, ...) são os chamados 
números naturais e pertencem ao conjunto , que será estudado neste 
capítulo.
Quantas pessoas serão convidadas 
para a sua festa de aniversário?
O CONJUNTO DOS NÚMEROS 
NATURAIS ()
6o ANO
CAPÍTULO
2
MATEMÁTICA I
1. O conjunto dos números naturais
O conjunto utilizado para contar elementos 
é denominado conjunto dos números naturais, 
sendo representado pelo símbolo . O termo 
“natural” se deve ao fato de a contagem de objetos 
de uma em uma unidade aparecer naturalmente nas 
experiências de vida (já se sabe que o zero não surgiu 
da necessidade de fazer contagens, mas ele pertence 
ao conjunto dos números naturais porque atende às 
mesmas propriedades dos demais).
Para construir o conjunto dos números naturais, 
iniciamos com o número 0 (zero), que representa 
a ausência de objetos, e seguimos acrescentando 
sempre uma unidade ao número anterior. Assim: 
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 101, 102, 103, ..., 1.998, 1.999, ...}
Repare que o zero é o menor dos números naturais, e que esse conjunto é 
infinito para a direita, ou seja, não tem limite superior (não é possível determinar 
o maior número natural).
2. Sucessor e antecessor de um número 
natural
O sucessor de um número natural dentro do conjunto , vem imediatamente 
após o número em questão. Dessa forma, para determinar o sucessor de um 
número natural, deve-se acrescentar uma unidade a ele. 
Ex.:
a. O sucessor do número 0 é o 1.
b. O sucessor do número 99 é o 100.
c. O sucessor do número 7.657 é o 7.658.
Logo, o sucessor de qualquer número natural é igual a ele mesmo adicionado 
a uma unidade. 
Não é possível determinar o maior elemento do conjunto dos números 
naturais. Assim, todos os números naturais possuem sucessor.
O antecessor de um número natural dentro do conjunto , é imediatamente 
anterior ao número em questão. Assim, para determinar o antecessor de um número 
natural, deve-se subtrair uma unidade dele.
Ex.:
a. O antecessor do número 1 é o 0.
b. O antecessor do número 900 é o 899.
c. O antecessor do número 7.651 é o 7.650.
Logo, o antecessor de qualquer número natural é igual a ele mesmo subtraído 
de uma unidade. 
É possível observar que o único número natural que não possui antecessor 
natural é o zero.
7, 8, 9...
245
O conjunto dos números naturais ()
Capítulo 2
3. Números consecutivos
Números naturais que são ordenados um após o outro, com somente 
uma unidade de diferença entre cada um e o seu subsequente, são chamados 
números consecutivos.
Ex.:
a. Os números 1, 2 e 3 são consecutivos.b. Os números 4.345 e 4.346 são consecutivos.
c. Os números 999, 1.000, 1.001 e 1.002 são consecutivos.
d. O antecessor de um número natural, o próprio número e seu sucessor 
são consecutivos. Portanto, se x é um número natural qualquer, então 
x − 1, x e x + 1 são consecutivos. 
É possível representar os números consecutivos, também, por x, x + 1, 
x + 2, e assim sucessivamente.
4. Representação do conjunto dos 
números naturais ()
Representando o conjunto  na reta numérica:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Nessa reta, o zero representa a origem. A distância entre dois números 
“vizinhos” é sempre a mesma (uma unidade).
Pode-se dizer que, no conjunto , o maior número é sempre o que estiver 
mais afastado do zero. Logo, conclui-se que um número é sempre maior que os 
demais à sua esquerda.
A reta numérica também pode ser utilizada para comparar os números. Por 
exemplo, comparando os números 1 e 8, 1 é menor que 8, ou seja, 1 < 8. Agora, 
se o mesmo for feito com os números 13 e 7, 13 é maior que 7, ou seja, 13 > 7.
De posse do conjunto dos números naturais, é possível construir outros, 
como o dos números pares e o dos números ímpares.
Ex.:
a. Conjunto dos números pares:
 {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...}
b. Conjunto dos números ímpares:
 {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, ...} 
Note que os números pares sempre terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. Já os números 
ímpares, em 1, 3, 5, 7 ou 9.
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246
MATEMÁTICA I
6º Ano
5. Quantidade de números de uma sequência
Se uma pessoa quisesse determinar a quantidade de números de uma sequência, 
como ela o faria? Escreveria todos os números e depois contaria de um em um? Essa 
é uma possibilidade. Entretanto, para sequências muito grandes, tal método pode ser 
cansativo e demorado. A seguir, veja alguns exemplos:
Ex. 1: De um número até outro.
– Quantos números há de 1 até 7?
“De um número até outro” inclui os dois números das extremidades dessa 
sequência. Assim, a sequência é formada por (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Existem, portanto, 
sete números.
– Quantos números há de 63 até 78?
62 76 787775 79 8063 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
A sequência é (63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78). São, 
então, 16 números.
Como se pode generalizar, ou seja, criar uma estratégia válida para todos os casos 
em que é necessário determinar a quantidade de números de um até outro? 
Pelo gráfico anterior, é possível perceber que foram considerados os números 
naturais até o número 78. De 1 até 78 existem 78 números. Foram excluídos dessa 
sequência todos os valores menores que 63, ou seja, 62 números (de 1 a 62). Assim, 
78 – 62 = 16 números.
Então, nesse tipo de sequência, é necessário subtrair, do maior número, o ante-
cessor do menor deles. Utilizando esse método, responda: quantos números existem 
do número 43 até o 654?
Solução: 654 – (43 – 1) = 654 – 42 = 612 números.
Em resumo:
Qn = maior número − (menor número − 1)
Obs.: Qn será a abreviação para “quantidade de números”.
Ex. 2: Entre dois números naturais.
– Quantos números há entre 1 e 7?
“Entre dois números” exclui os dois números das extremidades dessa sequência. 
Assim, a sequência é formada por (2, 3, 4, 5, 6). Existem, portanto, cinco números.
— Quantos números há entre 63 e 78?
62 76 787775 79 8063 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
A sequência é (64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77). São, então, 14 
números.
E agora? Como é possível generalizar para todos os casos em que é necessário 
determinar a quantidade de números naturais existentes entre dois números? 
Pelo gráfico anterior, é possível perceber que foram considerados os números 
naturais até o número 77, ou seja, o antecessor de 78. De 1 até 77 existem 77 números. 
Foram excluídos dessa sequência todos os valores menores que 64, ou seja, 63 números 
(de 1 até 63). Assim, 77 – 63 = 14 números.
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
247
O conjunto dos números naturais ()
Capítulo 2
Então, nesse tipo de sequência, é necessário subtrair, do antecessor do maior 
número, o menor deles. Utilizando esse método, responda o seguinte: quantos 
números existem entre os números 43 e 654?
Solução: (654 – 1) – 43 = 653 – 43 = 610 números.
Em resumo:
Qn = (maior número − 1) − menor número
Ex. 3: De um número inclusive até outro exclusive.
 – Quantos números há de 1, inclusive, até 7, exclusive?
A palavra inclusive coloca o número dentro da sequência. Já a palavra 
exclusive retira o número da sequência. Então essa sequência é formada pelos 
números (1, 2, 3, 4, 5, 6). Nela, existem seis números.
– Quantos números há de 63, inclusive, até 78, exclusive?
62 76 787775 79 8063 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
A sequência é (63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77). São, 
então, 15 números.
Nesse caso, qual seria a generalização? 
Pelo gráfico anterior, é possível perceber que foram considerados os 
números naturais até o número 77, ou seja, o antecessor de 78, porque se 
exclui o 78. De 1 até 77 existem 77 números. Foram excluídos dessa sequência 
todos os valores menores que 63, ou seja, 62 números (de 1 até 62). Assim, 
77 – 62 = 15 números.
Então, nesse tipo de sequência, é necessário subtrair, do antecessor do maior 
número, o antecessor do menor deles. Utilizando esse método, responda: quantos 
números existem do número 43, inclusive, até o 654, exclusive?
Solução: (654 – 1) – (43 – 1) = 653 – 42 = 611 números.
Em resumo:
Qn = (maior número − 1) − (menor número − 1)
6. Quantidade de algarismos de uma 
sequência numérica
Para escrever o número 453, utilizam-se três algarismos. A partir dessa frase, é 
possível concluir que número é uma união de algarismos empregados para descrever 
quantidades. Os algarismos são os “símbolos” usados para escrever os números. 
No sistema indo-arábico, existem dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Então:
– o número 3 é formado pelo algarismo 3;
– o número 42 é formado por dois algarismos: 4 e 2;
– o número 567 é formado por três algarismos: 5, 6 e 7;
– o número 1.000 é formado por quatro algarismos: 1, 0, 0 e 0.
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248
MATEMÁTICA I
6º Ano
Como é possível determinar a quantidade de algarismos utilizados para 
escrever uma sequência numérica?
Considere a seguinte situação: um aluno deseja numerar as páginas do 
seu caderno, começando no número 1 e terminando no número 213. Quantos 
algarismos ele utilizará?
Nessa sequência, existem números de um algarismo (de 1 até 9), de dois 
algarismos (de 10 até 99) e de três algarismos (de 100 a 213). Para facilitar, será feita 
uma tabela da seguinte maneira:
I. Inicialmente, dividem-se os números por tipos (quantidades de algarismos): 
um algarismo, dois, três, e assim por diante. Cada linha da tabela correspon-
derá a um desses tipos.
II. Determina-se a sequência relacionada a cada tipo. Por exemplo, do número 1 
até 213, temos:
 – sequência com números formados por um algarismo: de 1 até 9;
 – sequência com números formados por dois algarismos: de 10 até 99;
 – sequência com números formados por três algarismos: de 100 até 213.
III. Determina-se a quantidade de números existentes em cada sequência 
anterior.
IV. Determina-se a quantidade de algarismos existentes em cada sequência 
anterior. 
Nesse exemplo, temos:
 – nove números formados por um algarismo (então são necessários nove 
algarismos para escrevê-los);
 – 90 números formados por dois algarismos (então são necessários 90 × 2, 
ou seja, 180 algarismos para escrevê-los);
 – 114 números formados por três algarismos (então são necessários 114 × 3, 
ou seja, 342 algarismos para escrevê-los).
No total, serão necessários 9 + 180 + 342, isto é, 531 algarismos.
A tabela ficaria assim:
Tipos de número Sequências Quantidades de números Algarismos
um algarismo de 1 até 9 9 – 0 = 9 9 × 1 = 9
dois algarismos de 10 até 99 99 – 9 = 90 90 × 2 = 180
três algarismos de 100 até 213 213 – 99 = 114 114 × 3 = 342
total 213números 531 algarismos
249
O conjunto dos números naturais ()
Capítulo 2
Arredondamento
Muitas situações cotidianas envolvendo valores destinados à contagem 
podem ser facilitadas utilizando arredondamento. Essa técnica simplifica a 
estimativa de quantidades, como veremos no exemplo a seguir.
De acordo com algumas pesquisas, temos os valores gastos em aparelhos 
eletrônicos em todo o mundo, em determinados anos:
Anos Valores gastos (em reais) em tecnologia pela população
2009 23.079.658.983
2010 32.999.870.591
2011 56.123.994.706
Agora, imagine que você precisa escrever um artigo para o jornal da escola 
apresentando esses valores.
Nesse caso, é melhor utilizar o arredondamento para facilitar a comunicação. 
Portanto, em seu artigo, você poderia informar que, em 2009, a população gastou 
aproximadamente 23 bilhões de reais; já em 2010, foram gastos quase 33 bilhões 
e, e em 2011, aproximadamente 56 bilhões de reais. 
Repare que estamos usando o conceito de classe, estudado anteriormente, 
para arredondar os números.
CONTEXTUALIZANDO
Exercícios
conceituais
01. Liste a sequência numérica formada por quatro 
números consecutivos em que o maior deles é 3.300.
02. Escreva o antecessor e o sucessor de cada número 
abaixo:
a. 213.
b. 1.000.
c. 2.018.
d. 300.
e. 149.
f. 299.
03. Explique com suas palavras a diferença entre cada 
processo para definir a quantidade de números de uma 
sequência de um número até outro, entre dois números 
e de um número, inclusive, a outro, exclusive.
04. Demonstre o processo para determinar quantos 
números naturais escrevemos nas sequências abaixo:
a. De 23 até 100.
b. Entre 46 e 786.
c. De 44, inclusive, até 645, exclusive.
05. Calcule o número de algarismos que escrevemos em 
cada sequência abaixo:
a. De 23 até 156.
b. Entre 4 e 376.
250
MATEMÁTICA I
6º Ano
Exercícios
contextualizado
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01. Beca estava em casa vendo 
televisão, quando, de repente, 
a campainha tocou. Sua mãe 
lhe pediu que atendesse. Era o 
funcionário da companhia de 
energia, que precisava verificar 
a leitura do medidor de energia. 
Ela resolveu acompanhá-lo e, 
juntos, verificaram que, naquele 
momento, havia uma alteração do algarismo mais à 
direita. O funcionário ficou em dúvida e resolveu registrar 
a medição mais baixa. Escreva a leitura do medidor de 
energia da casa de Beca por extenso.
02. Os relógios digitais 
mostram horas de 
0 0 : 0 0 a t é 2 3 : 5 9 . 
A f igura a seguir 
mostra um relógio 
digital marcando um 
horário formado por 
algarismos consecutivos em 
ordem crescente.
Outro horário mostrado por esse relógio, com algaris-
mos consecutivos em ordem crescente, é:
(A) 01:02.
(B) 12:13.
(C) 23:24.
(D) 23:45.
03. Compreender e identificar o valor relativo dos 
algarismos no numeral é importante para fazer 
arredondamentos e estimativas. Por exemplo, você sabe 
quantos habitantes existem na Terra? Uma estimativa 
de 7.125.345.023 tem quase tanto valor quanto uma 
estimativa que se refere somente ao valor relativo do 
primeiro algarismo. Qual seria esse valor?
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04. Em determinados lugares, a numeração das casas é 
feita da seguinte forma: do lado direito da rua, elas são 
numeradas com números pares consecutivos, iniciando 
no número 2; do lado esquerdo, números ímpares 
consecutivos, começando no número 1. Maria mora ao 
lado de Mário, mas a placa da casa de Maria está com 
um adesivo no último número. Então, se Mário mora 
na casa 123 e a casa de Maria está antes da dele, qual é 
o número da casa de Maria?
05. Em uma rua existem oito casas do lado esquerdo. Os 
números dessas casas são números naturais ímpares 
e consecutivos. A casa de maior número é a 145. 
Responda:
a. Quais são os números das duas primeiras casas?
b. Represente os números de todas as casas em uma reta 
numérica.
c. Escreva o número da penúltima casa por extenso.
 
06. Para realizar um concurso, cada candidato recebeu 
um informativo contendo o seu número de inscrição. 
Na cidade de Aracaju, em Sergipe, esses números 
variaram entre 99 e 234, e todos foram distribuídos. 
Assim, quantos candidatos aracajuanos participaram 
do concurso?
07. Em dois dias, Duda leu da página 132 até a 276 de um 
livro. Quantas páginas ela leu nesse tempo?
08. Antônio e Renata moram na mesma rua. Ele, na casa 
23, e ela, na 175. Os números de todas as casas são 
consecutivos e estão divididos, entre os dois lados, 
em pares ou ímpares. Quantas casas há entre a casa de 
Antônio e a de Renata?
09. Arnaldo é dono de um pequeno teatro. Ele deseja 
numerar todas as poltronas do local. Para isso, precisará 
comprar placas que possuem um só algarismo, fazer as 
combinações e colocar nas poltronas. Poltronas de 1 a 
9 terão somente uma placa. Sabendo que nesse teatro 
há 77 poltronas, quantas placas serão utilizadas?
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251
O conjunto dos números naturais ()
Capítulo 2
10. Qual é a quantidade de algarismos necessária para 
numerar o livro do 6o Ano da página 1 até a 249?
Exercícios de
aprofundamento
01. Fernando percebeu que, para descobrir o sentido de 
crescimento dos números das casas de determinada 
rua, bastava posicionar-se de modo perpendicular a elas 
(ou seja, como se andasse pela calçada da rua de um 
quarteirão a outro). Com o seu lado direito dirigido a 
uma casa de número par, os números das casas das ruas 
crescem à sua frente. Fernando, confuso, posicionou 
seu lado direito próximo à casa de número 113. Assim, 
as casas 76, 105, 120, 249 e 345 estão, respectivamente:
(A) à sua direita, à frente; à sua esquerda, à frente; à sua 
esquerda, atrás; à sua direita, atrás; à sua direita, atrás.
(B) à sua direita, à frente; à sua esquerda, à frente; à sua 
esquerda, atrás; à sua direita, atrás; à sua direita, à frente.
(C) à sua esquerda, à frente; à sua direita, à frente; à sua 
esquerda, atrás; à sua direita, atrás; à sua direita, atrás.
(D) à sua esquerda, atrás; à sua direita, atrás; à sua 
esquerda, atrás; à sua direita, à frente; à sua direita, à 
frente.
02. Para numerar as páginas de um livro, foram utili-
zados 660 algarismos. Considerando que a primeira 
página foi numerada com o algarismo 1, quantas 
páginas contém esse livro?
Rascunho
252
MATEMÁTICA I
6º Ano
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Objetivos
– Identificar os conceitos de adição e 
subtração;
– efetuar cálculos que envolvam 
situações e problemas de adição e 
subtração.
– BNCC: EF06MA03.
Imagine, por exemplo, que você pede um prato que custa 20 reais, 
um suco que custa 4 reais e uma fruta que custa 3 reais em um 
restaurante. Como você calcula o preço total da sua refeição? E se 
você tiver um cupom de desconto no valor de 2 reais, como isso afeta 
a sua conta? 
Para resolver o primeiro problema, usa-se a operação de adição 
(20 + 4 + 3 = 27) e, para resolver o segundo, usa-se a subtração 
(27 – 2 = 25). Neste capítulo, estudaremos as principais propriedades 
dessas duas operações. 
Você sabe calcular o valor da conta de uma refeição 
no restaurante? Sabe como aplicar um desconto?
OPERAÇÕES COM NÚMEROS 
NATURAIS: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
6o ANO
CAPÍTULO
3
MATEMÁTICA I
1. Adição de números naturais
Propõe-se o seguinte problema: A mãe de Luquinha preparará uma torta 
de queijo em que são usados 200 gramas de queijo parmesão na massa e outros 
300 gramas no recheio. Então, quantos gramas de queijo serão necessários para 
preparar a torta? 
Resposta: _______________________________
Para resolver esse problema, juntam-se as quantidades, ou seja, 
adicionam-se 200 e 300, o que totaliza 500. Logo, serão necessários 
500 gramas de quei jo para fazer a tor ta . Esse cá lcu lo 
(200 + 300 = 500) é chamado de adição.
A adição de números naturais é uma operação matemática que tem 
por finalidade reunir, acrescentar valores ou quantidades para obter um 
total. O símbolo que a representa é “+”. Nela, os termos adicionados são 
denominados parcelas, e o resultado, soma ou total. Assim, na soma 
200+ 300 = 500, tem-se:
200 → 1a parcela
300 → 2a parcela
500 → soma ou total
+
2. Subtração de números naturais
Considere, agora, outra situação: Quantos anos faltam para uma pessoa com 
11 anos de idade completar 50 anos, ou seja, quanto se deve somar à sua idade 
para totalizar 50 anos? 
Resposta: _______________________________
No problema, são citados a idade atual e o resultado. Para responder a essa 
questão, deve-se pensar o contrário da situação anterior; é preciso saber “quanto 
falta”, ou, ainda, quantos anos a menos essa pessoa tem em relação a 50 anos. Se ela 
tem 11 anos, conclui-se que faltam 39 anos para completar 50, pois 50 – 11 = 39. 
Essa operação chama-se subtração e é a operação inversa da adição. Nela, o 
primeiro termo é chamado de minuendo, o segundo é denominado subtraendo 
e o resultado recebe o nome de resto ou diferença. Assim:
39 → resto ou diferença
50 → minuendo
11 → subtraendo
−
3. Propriedades operatórias
Neste tópico, serão explicadas as propriedades da adição, com exemplos. 
O objetivo não é que se “decorem” esses nomes, mas que sejam entendidas as 
características da adição, observando se elas também se aplicam à subtração.
3.1 Propriedade comutativa
Considere duas situações: 
I. Teo tem 56 figurinhas e ganha outras 13. Registre a operação utilizada 
para determinar a quantidade de figurinhas com que ele ficou, no total, e 
determine o seu resultado.
 Resposta: _______________________________
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254
MATEMÁTICA I
6º Ano
II. Teo tem 13 figurinhas e ganha outras 56. Registre a operação utilizada para 
determinar a quantidade de figurinhas com que ele ficou, no total, e determine 
o seu resultado.
 Resposta: _______________________________
Em ambas, o total de figurinhas que Teo passa a ter é o mesmo. Esse é um 
exemplo da propriedade comutativa da adição. 
Em uma adição de números naturais (), a ordem 
das parcelas não altera a soma ou total.
Será que a propriedade comutativa é válida para a subtração?
Suponha as situações:
I. Torugo tem 70 figurinhas e, jogando com seu colega, perde 13. Com quantas 
figurinhas ele fica? Registre a operação e determine o resultado.
Resposta: _______________________________
II. Torugo tem 13 figurinhas e, jogando com seu colega, perde 70. Essa situação 
é possível? Por quê?
Resposta: _______________________________
Em qualquer subtração envolvendo números naturais, o minuendo precisa ser 
maior que o subtraendo, porque não é possível subtrair um número maior de um 
número menor. Então, a segunda situação não é possível dentro do conjunto dos 
números naturais e, portanto, a propriedade comutativa não se aplica à subtração.
3.2 Propriedade associativa
E para somar três ou mais quantidades, a ordem importa?
Em uma festa na qual cada convidado deverá levar alguns salgados, 
Duda leva 45 coxinhas, Beca leva 35 coxinhas e a mãe de Beca leva 
outras 25. 
Para determinar a quantidade de coxinhas que as três levaram, o 
que deve ser feito? Contar de uma em uma? Somar as três quantidades? 
Se somar as três quantidades, começar a soma por qual dos termos? 
Por quê? O resultado seria diferente caso a soma começasse pela 
quantidade comprada por alguma outra pessoa dentre as três? Registre 
seus comentários e conclusões.
Intuitivamente ou fazendo os cálculos, percebe-se que o total não 
seria diferente. Essa é uma aplicação da propriedade associativa da adição, 
que diz o seguinte:
Em uma adição de três ou mais números naturais, eles podem se asso-
ciar de formas diferentes sem que a soma se altere.
Outra aplicação da propriedade associativa da adição é a que permite que 
cálculos mentais sejam realizados com mais facilidade.
Considere a soma 117 + 239. Sabe-se que 117 = 100 + 10 + 7 e que 239 = 200 
+ 30 + 9. Somando essas quantidades, tem-se:
117 + 239 =
100 + 10 + 7 + 200 + 30 + 9 = 356.
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255
Operações com números naturais: adição e subtração
Capítulo 3
A propriedade associativa permite fazer alterações nas 
associações dos termos sem que o resultado seja alterado. 
Então:
(100 + 200) + (10 + 30) + (7 + 9) =
300 + 40 + 16 =
356.
Com esse método, é possível calcular diferentes somas 
mentalmente. Agora, calcule 324 + 667, utilizando a ideia 
da decomposição de acordo com as ordens do numeral e a 
propriedade associativa.
Resposta: _______________________________
Cabe verificar se a propriedade associativa é válida 
para a subtração. 
Luquinha tem 23 balas; dá 12 para Teo e 5 para seu 
vizinho. Com quantas balas ele fica? 
Resposta: _______________________________
Agora, altere a ordem de resolução das operações e 
verifique se o resultado continua o mesmo. O que aconteceu?
Resposta: _______________________________
Quando se altera a ordem de resolução das operações, 
o resultado não se mantém. Por exemplo, (23 – 12) – 5 ≠ 
23 – (12 – 5), porque 6 ≠ 16. Logo, a propriedade associativa 
não é válida para a subtração.
3.3 Propriedade do fechamento
Reflita e registre suas conclusões: ao se somarem dois 
ou mais números naturais, sempre se obtém um número 
natural como resultado? É sempre possível somar dois ou 
mais números naturais tendo como resultado um número 
natural?
Resposta: _______________________________
Com essas afirmações verdadeiras, demonstra-se a 
propriedade do fechamento da adição.
Na adição de números naturais, o resultado será 
sempre um número natural.
E na subtração de números naturais, sempre se obtém 
como resultado um número natural? O que você pensa 
sobre isso?
Resposta: _______________________________
Já foi proposta uma situação em que não foi possível 
determinar a quantidade de figurinhas que restaram. Na 
segunda situação do tópico 3.1, quando se verifica se a 
propriedade comutativa é válida para a subtração, percebe-se 
que a operação 13 – 70 não possui resultado pertencente ao 
conjunto dos números naturais. Logo, nem toda subtração 
com números naturais tem como resultado um número 
natural. Portanto, a propriedade do fechamento não é válida 
para a subtração.
3.4 Propriedade do elemento neutro
A palavra “neutro” remete a algo que não altera deter-
minada situação; ela sugere uma ausência de mudanças. 
É esse o sentido do elemento neutro: não alterar qualquer 
outro número. Então, qual seria o número que não 
altera o outro em uma adição? 
Resposta: _______________________________
Quem respondeu zero acertou. O zero é “neutro” em 
uma adição, ou, ainda, segundo a propriedade do elemento 
neutro:
Em uma adição de um número natural com zero, 
a soma terá como resultado o próprio número. Logo, o 
elemento neutro da adição é o zero.
Então, será que existe elemento neutro da subtração? 
Seria previsível pensar no zero também, afinal, subtraindo-se 
zero de qualquer número natural, obtém-se como 
resultado o próprio número natural. No entanto, se de 
zero for subtraído qualquer número natural, não se obterá 
o próprio número como resultado. Se de 50 unidades se 
tirar “zero” unidade, permanecem as 50 unidades; porém, 
se de “zero” unidade forem tiradas 50 unidades, o que 
acontece? Essa operação não é possível no conjunto dos 
números naturais, e, portanto, não existe elemento neutro 
da subtração.
256
MATEMÁTICA I
6º Ano
Cálculos mentais
Você já pensou que pode agilizar os cálculos mentais 
utilizando a adição e a subtração? Por exemplo, como você 
faria para somar 1.998 unidades a um número qualquer? 
Ora, basta somar 2.000 unidades e subtrair 2, 1.998 = 
2.000 – 2. 
Assim: 1.345 + 1.998 = 1.345 + 2.000 – 2 = 3.345 – 2 = 
3.343.
Vejamos outros exemplos:
• 43 + 17 = 43 + 20 – 3 = 63 – 3 = 60.
• 567+ 238 = 
 567 + 240 – 2 =
 500 + 60 + 7 + 200 + 40 – 2 =
 (500 + 200) + (60 + 40) + (7 – 2) =
 700 + 100 + 5 = 805.
Agora, tente você! Calcule 3.456 + 1.148 mentalmente. 
Fácil e rápido, não?
APROFUNDANDO
Exercícios
conceituais
01. Um curso de idiomas oferece duas opções: inglês e 
espanhol. Carina, queera recepcionista do curso, fez 
o levantamento do número de alunos e coletou os 
seguintes dados:
Inglês Espanhol
Manhã 87 88
Tarde 53 93
Noite 146 137
Sabendo que não há pessoas matriculadas em mais de 
um curso e turno, quantos alunos estavam matricula-
dos, no total?
02. Explique, com suas palavras, cada propriedade 
operatória aprendida no capítulo – comutatividade, 
associatividade, fechamento e elemento neutro – e dê 
exemplos.
03. Em uma empresa de calçados, há três unidades de 
produção. Na primeira unidade, há 1.234 funcionários; 
na segunda, 938 funcionários; e, na terceira, 735 funcio-
nários. No final do ano, em razão da crise econômica, 
foram demitidos 547 funcionários. Demonstre com 
seus cálculos como determinar a quantidade de 
funcionários que estavam trabalhando nessa empresa 
em janeiro.
04. O quadrado mágico é uma tabela com o mesmo número 
de linhas e colunas na qual a soma dos números das 
linhas, colunas e diagonais é sempre a mesma. Seguindo 
essa propriedade, complete o quadrado mágico abaixo 
com os números adequados:
2 6
5
8
05. Desenvolva seu raciocínio e mostre como é possível 
fazer o cálculo mental das operações abaixo:
a. 260 + 715 = 
b. 1.898 + 567 =
c. 1.856 – 523 =
Balança comercial
“Balança comercial” é um termo da área de Economia 
que representa a diferença entre as importações e as 
exportações de bens de um país. Dizemos que a balança 
comercial de determinado país está favorável quando este 
exporta (vende para outros países) mais do que importa 
(compra de outros países). Do contrário, dizemos que 
a balança comercial é negativa ou 
desfavorável. A balança comercial 
favorável apresenta vantagens para 
um país, pois atrai moeda 
estrangeira, além de gerar 
empregos.
CONTEXTUALIZANDO
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Fr
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8
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St
oc
k
257
Operações com números naturais: adição e subtração
Capítulo 3
Exercícios
contextualizado
s
01. O 6o Ano do Colégio Arco-Íris fez uma prova de 
Matemática valendo 8 pontos. Carolina, a professora 
da turma, organizou todas as notas em uma tabela. 
Pontuação na prova (nota) Quantidade de alunos
3 2
5 10
6 6
7 15
8 12
total de pessoas 45
Se a média do colégio é 6,0, quantos alunos tiraram 
uma nota maior ou igual à média?
02. Aurelena era uma senhora muito simpática que adorava 
ir ao mercado. Quando ia, tinha o hábito de anotar os 
produtos que escolhia ao lado de seu preço. Então, em 
um dia de compras, ela fez as seguintes anotações:
Produto Preço
1 kg de açúcar R$3,00
1 pacote de biscoitos R$3,00
1 detergente R$2,00
1 refrigerante R$6,00
1 L de leite R$4,00
1 pacote de pão R$5,00
Dona Aurelena usou uma nota de R$100,00 para pa-
gar sua conta. A caixa do mercado perguntou-lhe se 
ela tinha R$3,00 para facilitar o troco, e a resposta foi 
afirmativa. Qual foi o troco de Dona Aurelena?
03. Íris é dona de uma loja de produtos naturais. Ao final 
de cada mês, ela faz o balanço de suas vendas para 
repor seu estoque. Íris resolveu montar o gráfico dos 
principais produtos da loja:
Produtos mais vendidos em abril
180
quantidade de produtos
mate linhaça cereal granolamel
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Sabendo que os demais produtos, não representados 
no gráfico, somam 775, quantos produtos foram ven-
didos no mês de abril?
04. Um elevador tem capacidade para 420 kg. Dentro dele, 
já estão três pessoas, com massas de 55 kg, 72 kg e 85 kg. 
Fora dele, estão seis pessoas, com massas de 48 kg, 
53 kg, 58 kg, 67 kg, 75 kg e 98 kg. Para não desrespeitar 
a capacidade máxima do elevador, somente três pessoas 
entraram nele, que podem ser as de massa:
(A) 48 kg, 53 kg e 98 kg.
(B) 48 kg, 67 kg e 98 kg.
(C) 53 kg, 58 kg e 98 kg.
(D) 58 kg, 75 kg e 98 kg.
05. Em determinada região de um estado, há quatro cidades 
pequenas, cuja população está informada na tabela 
abaixo:
Cidade População
A 34.768
B 23.456
C 11.234
D 27.897
a. Quantas pessoas existem a mais na cidade com maior 
número de habitantes em relação à cidade com menor 
número de habitantes?
b. Qual a população das quatro cidades juntas?
258
MATEMÁTICA I
6º Ano
06. Ana gostava muito de Geografia, principalmente de 
estudar as regiões brasileiras. Ela organizou os dados 
sobre as áreas aproximadas das regiões do Brasil em 
uma tabela, conforme mostrado a seguir:
Região Área (em km2)
Sul 576.409
Sudeste 924.210
Norte 3.853.397
Nordeste 1.554.257
Centro-Oeste 1.604.850
A menina resolveu somar todas as áreas, a fim de cal-
cular a área total de nosso país. Utilizando esses da-
dos, qual será o resultado encontrado?
07. Caroba tem peças em forma de cilindro de três tipos: 
brancas, de 2 cm de altura; azuis, de 3 cm de altura; 
e rosas, de 4 cm de altura. Com essas peças, ela pode 
montar torres de 10 cm de altura de várias maneiras 
diferentes, algumas delas ilustradas na figura. Descre-
vemos cada torre listando as alturas de suas peças, 
de baixo para cima; por exemplo, as torres a seguir 
são descritas por (2, 2, 4, 2), (2, 4, 2, 2), (3, 2, 3, 2) e 
(2, 2, 2, 2, 2).
2 cm 2 cm 2 cm 2 cm
2 cm
4 cm 2 cm
2 cm
2 cm
2 cm 2 cm
3 cm 2 cm
4 cm
2 cm
3 cm
2 cm
Descreva todas as diferentes torres de 10 cm que Ca-
roba pode fazer com três peças.
08. Um trem faz o percurso entre a Cidade do Sol e a Cidade 
da Lua em três horas. Entre as duas cidades, ele faz duas 
paradas: a primeira na Cidade do Papel, e a segunda na 
Cidade das Estrelas. O trem sai da Cidade do Sol com 
432 passageiros. Ao chegar à Cidade do Papel, saem do 
trem 218 passageiros e sobem nele 57 passageiros. O trem 
prossegue viagem. Já na Cidade das Estrelas, descem 
do trem 97 passageiros e sobem 11 passageiros nele. Ao 
chegar à Cidade da Lua, quantos passageiros havia no 
trem?
09. É possível fazer cálculos e tirar conclusões sobre a 
balança comercial de alguns países. Em 2012, por 
exemplo, o Brasil exportou, aproximadamente, 
243 bilhões de dólares e importou, aproximadamente, 
224 bilhões. No ano citado, qual foi o saldo da balança 
comercial brasileira? Ele foi favorável ou desfavorável?
10. Henrique resolveu comprar um carro. Ele escolheu um 
modelo que, à vista, custava R$29.536,00. Como ele não 
tinha todo o dinheiro, resolveu dividir o valor do veículo 
em 10 vezes da seguinte maneira: a primeira prestação 
será de R$2.900,00, e as demais serão sempre R$120,00 
a mais que a anterior. Assim, quantos reais Henrique 
pagou a mais pelo carro em relação ao preço à vista?
Exercícios de
aprofundamento
01. Na figura abaixo, temos uma circunferência cortada por 
4 segmentos. Escreva os números de 1 a 9 nos círculos 
de modo que a soma dos números escritos em cada 
segmento seja sempre a mesma.
259
Operações com números naturais: adição e subtração
Capítulo 3
02. Jogar baralho é uma atividade que estimula o racio-
cínio. Um jogo tradicional é a paciência, que utiliza 
52 cartas. Inicialmente, são formadas sete colunas 
com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a 
segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a 
quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a 
sétima coluna, que tem sete cartas; e o que sobra forma 
o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. 
A quantidade de cartas que formam o monte é:
(A) 21.
(B) 24.
(C) 26.
(D) 28.
Rascunho
260
MATEMÁTICA I
6º Ano
Rascunho
261
Operações com números naturais: adição e subtração
Capítulo 3
©
g-
st
oc
ks
tu
di
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to
ck
Objetivos
– Identificar os conceitos e as 
propriedades de multiplicação e 
divisão;
– efetuar cálculos que envolvam 
situações e problemas de 
multiplicação e divisão.
– BNCC: EF06MA03.
Conta a lenda que, com apenas 10 anos de idade, o matemático 
Carl-Friedrich Gauss respondeu a essa pergunta em questão de poucos 
minutos. Como ele fez esse cálculo?
Gauss percebeu um padrão na soma de pares de números: a soma 
do primeiro com o último número era igual a 101 (1 + 100 = 101), a 
do segundo com o penúltimo número era igual a 101 (2 + 99 = 101), 
a do terceiro com o antepenúltimo número também era igual a 101 
(3 + 98 = 101), e assim por diante.Então, de 1 a 100, existem 50 pares 
de números cuja soma totaliza 101. Com isso, ele concluiu que somar 
todos os números naturais de 1 a 100 é o mesmo que somar 1 + 100 
cinquenta vezes. O resultado da soma, portanto, seria:
(1 + 100) × 50 = 101 × 50 = 5.050.
Percebemos que Gauss resolveu um problema de soma de números 
naturais por meio de uma multiplicação. Neste capítulo, estudaremos a 
operação de multiplicação entre números naturais, que nada mais é do que 
uma soma efetuada várias vezes, e a operação de divisão, que é o inverso da 
multiplicação.
Você consegue calcular a soma 
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 mentalmente?
OPERAÇÕES COM NÚMEROS 
NATURAIS: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
6o ANO
CAPÍTULO
4
MATEMÁTICA I
1. Multiplicação dos números 
naturais
A multiplicação está associada à adição de parcelas iguais. 
Por exemplo, seis irmãos recebem uma mesada de 50 reais 
cada um. Qual é o total gasto pelos pais com essas mesadas?
Resposta: _______________________________
©
ro
dr
ig
ob
el
liz
zi
/i
St
oc
k
Podemos resolver esse problema com a operação 50 + 50 
+ 50 + 50 + 50 + 50 = 300. Entretanto, como as parcelas são 
todas iguais, também é possível escrever a operação de forma 
mais simples: 50 × 6 = 300. Nessa operação, o número 50 é 
chamado de multiplicando, o número 6, de multiplicador, e 
o resultado (300) recebe o nome de produto. Os números 
50 e 6 também são chamados de fatores.
50 → multiplicando
 6 → multiplicador
300 → produto
fatores×
A operação de multiplicação pode ser representada 
tanto pelo símbolo “×” como pelo símbolo “ . ” (um ponto). 
Portanto, expressões como 50 × 6 e 50 · 6 representam 
exatamente a mesma operação.
2. Divisão dos números naturais
Em uma excursão com 60 pessoas, só estão disponíveis 
quartos quádruplos, ou seja, em cada quarto só podem 
ficar quatro pessoas. Quantos quartos seriam necessários, 
no mínimo?
Resposta: _______________________________
©
w
el
co
m
ia
/i
St
oc
k
Nesse caso, o total de pessoas (60) deve ser dividido em 
grupos de quatro pessoas. Assim, efetuando-se a divisão 
60 ÷ 4 = 15, será determinada a quantidade de quartos neces-
sária, caso todos eles sejam ocupados pelo número máximo 
de pessoas. Logo, necessita-se de, no mínimo, 15 quartos. 
Essa operação indica que, ao dividir o número 60 
em quatro partes iguais, obtém-se o resultado 15. Nessa 
operação, o número 60 é chamado de dividendo, o 4, de 
divisor, e o resultado, 15, de quociente. Assim: 
60
0
4
15
dividendo
resto
→ divisor
→ quociente
→
←
Para determinar o dividendo de uma divisão, basta 
multiplicar o divisor pelo quociente e somar o resultado 
ao resto.
dividendo = (divisor × quociente) + resto
2.1 Divisão exata
Na situação descrita anteriormente, foi possível dividir 
60 pessoas em grupos de quatro pessoas, e ninguém ficou 
sem grupo. Ao final, serão necessários 15 quartos com 
quatro pessoas em cada um. Portanto, podemos afirmar 
que essa divisão é exata, pois não há resto (ou seja, o resto 
é igual a zero).
2.2 Divisão inexata
Agora, se existissem 63 pessoas nessa excursão para 
acomodar nos quartos quádruplos, o que aconteceria? 
Quantos quartos seriam necessários? Todos os quartos 
receberiam a mesma quantidade de pessoas e estariam com 
seu limite máximo?
Resposta: _______________________________
Quinze quartos estariam com sua capacidade total 
(quatro pessoas), mas sobrariam três pessoas, que deveriam 
ser acomodadas em outro quarto. Nesse caso, ao tentar 
dividir 63 por 4, encontramos 15 e sobram 3 unidades. 
O número 3 é chamado resto dessa divisão. Sempre que 
houver um resto diferente de zero, a divisão será denomi-
nada divisão inexata.
Utilize o leitor óptico do seu 
celular para assistir à videoaula.
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Operações com números naturais: multiplicação e divisão
Capítulo 4
2.3 O resto de uma divisão
Qual é o maior resto possível em uma divisão cujo 
divisor é 5?
Seguem-se as operações:
5 5
10
6 5
11
7 5
12
8 5
13
9 5
14
10 5
20
11 5
21
12 5
22
13 5
23
14 5
24
15 5
30
Os restos possíveis em uma divisão por 5 são 0, 1, 2, 3, 
4. Então, podemos concluir que o maior resto possível de 
uma divisão é o antecessor do divisor, ou seja, uma unidade 
a menos do que o divisor. Caso contrário, seria possível 
continuar dividindo e aumentar o quociente.
3. Propriedades da multiplicação 
e da divisão
Neste tópico, serão explicadas algumas propriedades 
por meio de exemplos. O objetivo não é memorizar tais 
nomes, mas entender as características da multiplicação e 
perceber se elas também se aplicam à divisão.
3.1 Propriedade comutativa
Seguem duas situações:
I. Torugo tem cinco notas de R$20,00. Quantos reais ele 
possui?
Resposta: _______________________________
II. Beca tem 20 notas de R$5,00. Quantos reais ela possui?
Resposta: _______________________________
O que se pode concluir ao comparar os dois resultados?
Com essas duas situações, podemos observar que, ao 
trocar a ordem dos fatores, o resultado não se altera. Essa é a 
propriedade comutativa da multiplicação. 
Em uma multiplicação com números naturais, a 
ordem dos fatores não altera o produto.
Convém, agora, verificar se a propriedade comutativa 
é válida para a divisão.
Analise as seguintes situações:
I. Duda tem 36 lápis e quer encher estojos com 
12 unidades cada um. Quantos estojos serão necessários?
Resposta: _______________________________
II. Nina tem 12 lápis e quer utilizar 36 estojos, colocando 
os lápis dentro de cada um deles. É possível colocar 
lápis em todos eles? 
Resposta: _______________________________
264
MATEMÁTICA I
6º Ano
A primeira situação é possível, pois a quantidade de 
lápis é maior do que a quantidade de estojos. Nela, divide-se 
uma quantidade em grupos menores. Já a segunda situação 
não é possível, pois, para colocar pelo menos um lápis 
em cada estojo, é necessário ter, no mínimo, 36 lápis, e a 
quantidade aqui é menor. Logo, ao se alterar a ordem dos 
valores, o resultado é afetado, e, portanto, a propriedade 
comutativa não é válida para a divisão.
3.2 Propriedade associativa
Ao calcular 40 × 20, podemos utilizar o algoritmo 
convencional ou raciocinar 20 = 2 × 10. Logo, 40 × 20 = 40 
× 2 × 10. Assim, é possível optar por calcular 40 × 2 = 80 e 
80 × 10 = 800. Portanto, mentalmente, conseguimos obter 
o resultado desse produto. Então:
40 × (2 × 10) = (40 × 2) × 10
40 × 20 = 80 × 10
800 = 800
Essa é a propriedade associativa da multiplicação. 
Em uma multiplicação com três ou mais números 
naturais, é possível associá-los de maneiras diferentes 
sem que se altere o produto. 
Agora, cabe verificar se essa propriedade é válida para 
a divisão. Ao dividir 400 por 20, podemos pensar que 20 = 
40 ÷ 2. Logo, será confirmado se 400 ÷ 20 é o mesmo que 
400 ÷ (40 ÷ 2) e igual a (400 ÷ 40) ÷ 2. Vamos verificar com 
cálculos? Resolva e compare os resultados:
I. 400 ÷ 20 = 20
II. 400 ÷ (40 ÷ 2) = 400 ÷ 20 = 20
III. (400 ÷ 40) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5
Os resultados são diferentes, e, portanto, a propriedade 
associativa não é válida para a divisão.
3.3 Propriedade do elemento neutro
A ideia de elemento neutro na multiplicação é a mesma 
que na adição. Aqui também a palavra “neutro” dá a ideia de 
algo que não altera determinada situação. Então, o elemento 
neutro da multiplicação é aquele que, multiplicado por 
qualquer outro número, não altera esse número. Então, o 
número que não altera o outro em uma multiplicação é o 
número 1. 
O 1 é “neutro” em uma multiplicação, ou, ainda, de 
acordo com a propriedade do elemento neutro:
Em uma multiplicação de um número natural por 1, 
o produto terá como resultado o próprio número. Logo, o 
elemento neutro da multiplicação é o número 1.
É possível afirmar que existe elemento neutro na divisão? 
Podemos pensar no número 1, já que, ao dividir qualquer 
número por ele, o resultado será o próprio número. Entre-
tanto, se dividirmos uma unidade por qualquer quantidade 
de partes, o resultado não será o númerode partes. Assim:
23 ÷ 1 = 23
1 ÷ 23 ≠ 23
Logo, não existe elemento neutro na divisão. 
3.4 Propriedade distributiva
Como calcular 5 × 7 sem saber a tabuada?
A operação 5 × 7 representa cinco parcelas iguais a 7. 
Assim:
5 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7
Podemos dizer, ainda, que 5 × 7 é igual a três grupos com 
sete unidades somados a dois grupos com sete unidades. Logo:
5 × 7 = (2 + 3) × 7 = 
2 × 7 + 3 × 7 = 14 + 21 = 35
Isso é válido também para a subtração. Como calcular 
9 × 6? Simples: 9 × 6 é igual ao total de elementos contidos em 
nove grupos com seis unidades cada um. Então, é possível 
afirmar que, se existissem dez grupos com seis unidades 
cada um, um deles seria excluído. Portanto:
9 × 6 = (10 – 1) × 6 = 6 × (10 – 1) =
10 × 6 – 1 × 6 = 60 – 6 = 54
Essa é a propriedade distributiva, que expressa o 
seguinte:
Quando um número natural é multiplicado por uma 
adição (ou subtração), multiplica-se esse número por cada 
um dos termos e depois se efetua a soma (ou subtração).
Agora, então, vamos analisar se a propriedade distribu-
tiva é válida para a divisão. Isso seria equivalente a dizer, por 
exemplo, que 70 ÷ 5 = 70 ÷ (4 + 1) = 70 ÷ 4 + 70 ÷ 1. Vamos 
verificar com cálculos? Resolva e compare os resultados:
a. 70 ÷ 5
b. 70 ÷ (4 + 1)
c. 70 ÷ 4 + 70 ÷ 1
Um problema foi encontrado: 70 ÷ 4 não é uma divisão 
exata e, portanto, o resultado da primeira expressão é 
diferente do da última. Logo, a propriedade distributiva não 
é válida para a divisão.
265
Operações com números naturais: multiplicação e divisão
Capítulo 4
A saúde e o princípio multiplicativo
A multiplicação é a base de um raciocínio muito 
importante para a Matemática, chamado princípio multi-
plicativo. Este constitui uma ferramenta básica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar 
seus elementos.
Como o princípio multiplicativo pode ajudar na 
resolução de problemas?
Leia o texto abaixo:
De acordo com a classificação dos alimentos, as frutas 
são alimentos reguladores, pois ajudam no equilíbrio de 
diversas funções do organismo e contribuem para melhorar 
nossa resistência contra muitas infecções. As frutas são ricas 
em sais minerais, vitaminas e fibras.
Veja alguns exemplos na tabela abaixo:
Vitamina
Frutas que 
apresentam a 
vitamina
Benefícios para
o organismo
A mamão, pêssego e açaí
Contribui para uma boa 
visão e ajuda no cresci-
mento.
B6 banana e abacate
É antioxidante e auxilia 
na respiração celular.
C laranja, limão e abacaxi
Previne gripes e infecções 
e auxilia o sistema 
imunológico.
Se um nutricionista recomendar que seu paciente 
consuma uma dose diária de três frutas, estando cada uma 
delas relacionada a uma das vitaminas listadas anteriormente, 
de quantos modos ele poderá fazê-lo?
Observe o diagrama de possibilidades:
mamão
laranja
limão
abacaxi
abacate
laranja
limão
abacaxi
banana
pêssego
laranja
limão
abacaxi
abacate
laranja
limão
abacaxi
banana
açaí 
laranja
limão
abacaxi
abacate
laranja
limão
abacaxi
banana
Analisando o diagrama, o paciente poderia ingerir três 
frutas diariamente de 18 formas diferentes. 
Percebemos que, nele, cada uma das três primeiras 
possibilidades pode ser combinada com qualquer uma das 
duas opções de frutas que possuem vitamina B6. Cada uma 
dessas frutas, por sua vez, pode ser combinada com cada 
uma das três opções de frutas que apresentam vitamina C. 
Logo, de cada um dos três primeiros “galhos” do diagrama 
surgem outros seis “galhos”, dos quais surgem outros 18 
“galhos”, ou, ainda, pelo princípio multiplicativo, 3 × 2 × 3 
= 18 formas diferentes.
CONTEXTUALIZANDO
©
C
ri
st
ie
 G
ue
va
ra
/i
St
oc
k
266
MATEMÁTICA I
6º Ano
Propriedade distributiva: facilitando operações
A propriedade distributiva é fundamental, pois permite 
“quebrar” operações de multiplicação complicadas em 
operações muito mais simples. 
Por exemplo, para calcular 13 × 9, aplicamos a proprie-
dade distributiva para escrever:
13 × 9 =
(10 + 3) × 9 =
10 × 9 + 3 × 9
Como multiplicar um número natural por 10 é muito 
fácil (basta acrescentar um zero à direita do numeral), 
sabemos que 10 × 9 = 90. Uma vez memorizada a tabuada, 
sabe-se que 3 × 9 = 27. Logo, continuando os cálculos:
10 × 9 + 3 × 9 = 90 + 27 = 117
Tente usar um raciocínio similar para fazer as operações 
abaixo:
a. 14 × 9 = _______________________________
b. 50 × 6 = _______________________________
c. 27 × 8 = _______________________________
APROFUNDANDO
Multiplicando com os dedos das mãos
Você conhece um modo rápido para poder calcular a 
multiplicação entre dois números maiores que 5 e menores 
que 10?
Por exemplo, vamos calcular 8 × 6.
Para isso, pensaremos na quantidade de unidades 
a mais que 5 que cada número tem. Então, pensa-
remos em 8 – 5 = 3 e em 6 – 5 = 1. Agora, em uma 
das mãos, abaixemos três dedos e, na outra, um dedo. 
Abaixaremos, portanto, quatro dedos no total. A quan-
tidade de dedos abaixados será multiplicada por 10. 
Assim, 4 × 10 = 40.
Temos dois dedos levantados em uma das mãos e 
quatro dedos levantados na outra. Multiplicaremos essas 
quantidades e obteremos 2 × 4 = 8.
Somaremos as duas quantidades anteriores e encontra-
remos o valor pedido: 40 + 8 = 48. 
Logo, 8 × 6 = 48.
APROFUNDANDO
267
Operações com números naturais: multiplicação e divisão
Capítulo 4
Você sabe fazer com as mãos a tabuada de 9?
Associe cada um dos seus dedos a um número de 1 a 10, 
seguindo sua posição e em ordem crescente. O mindinho direito 
será o dedo 1, o anelar direito, o número 2, o dedo médio direito, 
o dedo 3, e assim sucessivamente, até o mindinho esquerdo, 
correspondente ao 10. Então, vamos fazer a tabuada do 9.
• Para calcular 1 × 9, vamos abaixar o dedo 1 (o 
mindinho direito). Não existem dedos antes do abaixado 
e existem nove dedos depois dele. Temos como resultado 
9. Portanto, 1 × 9 = 9.
• Para calcular 2 × 9, vamos abaixar o dedo 2 (anelar 
direito). Existe um dedo antes do abaixado e oito 
dedos depois dele. Temos como resultado 18. Portanto, 
2 × 9 = 18.
• Para calcular 7 × 9, vamos abaixar o dedo 7 (indicador 
esquerdo). Existem seis dedos antes do abaixado e três 
dedos depois dele. Temos como resultado 63. Portanto, 
7 × 9 = 63.
APROFUNDANDO
Exercícios
conceituais
01. Pensei em um número. Multipliquei-o por 12 e obtive 
180. Descubra qual foi o número em que pensei.
02. Um número dividido por oito resulta em 72. A divisão 
é exata. Determine que número é esse.
03. Um número dividido por 15 resulta em 13, com resto 
11. Determine que número é esse.
04. Determine os números desconhecidos, efetuando os 
cálculos adequados:
a. 9
230
b. 
131.774
136
c. 
10
2.458
204
d. 
23
3.098 25
05. Explique com suas palavras cada propriedade operatória 
aprendida no capítulo (comutatividade, associatividade, 
elemento neutro e distributiva) e dê exemplos.
Exercícios
contextualizado
s
01. Na casa de Duda, a torneira está com defeito e não para 
de gotejar. Ela colocou um recipiente para coletar a água 
e aproveitá-la para molhar as plantas do quintal e lavar o 
terreiro. Ao final do dia, verificou que havia no recipiente 
7 litros de água, mas só conseguiu fazer o reparo após 
13 dias da constatação do problema. Durante todo esse 
tempo, o vazamento manteve-se constante, ou seja, vazou 
a mesma quantidade de água diariamente. Então, quantos 
litros de água foram recolhidos no total?
268
MATEMÁTICA I
6º Ano
02. Carolina comprou 5 pacotes de pirulitos. Cada pacote 
tinha 80 pirulitos. Ela deu a metade deles para sua irmã 
e o resto dividiu entre ela e 3 amigos. Com quantos 
pirulitos Carolina ficou?
03. Um grupo de oito amigos foi ao restaurante Le Bom 
para uma confraternização. Em um primeiro momento, 
pediram uma bebida para cada um e três entradas. 
Depois de algum tempo, pediram o prato principal, 
estrogonofe de carne, e mais uma bebida para cada um. 
Depois de comerem, somente quatro amigos resolveram 
pedir sobremesa: mousse de chocolate. Ao pedirem 
a conta, verificaram no cardápio os valoresdos itens 
solicitados para conferir o valor total:
Entrada R$12,00
Bebida R$4,00
Estrogonofe de carne R$16,00
Lasanha R$18,00
Mousse de chocolate R$7,00
a. Qual o valor total da conta?
b. Se os oito amigos dividirem a conta igualmente, qual 
será a despesa de cada um?
04. Felipe tem uma fábrica que produz camisetas. Ele 
tinha apenas três funcionárias, e cada uma produzia 35 
camisas por dia, trabalhando 20 dias por mês. Felipe 
resolveu contratar mais uma funcionária: Amanda.
a. Quantas camisetas as três funcionárias produziam em 
um mês, antes da contratação de Amanda?
b. Se não houve alteração na quantidade de camisetas 
produzidas no mês com a contratação de Amanda, 
quantas camisetas cada uma das quatro funcionárias 
deverá produzir em um mês?
05. Em um posto de combustível, há três bombas de 
gasolina e duas bombas de álcool. Em um dia, são 
vendidos, aproximadamente, 352 litros de gasolina 
em cada bomba. De álcool, são vendidos, aproxima-
damente, 236 litros em cada bomba. Quantos litros de 
combustível esse posto vende em uma semana?
06. Ricardo é motorista de caminhão em uma distribuidora 
de material de construção. O caminhão que Ricardo 
dirige tem capacidade para carregar 15 m3 de areia, e 
ele precisa entregar uma compra de 200 m3 de areia, 
que será utilizada em uma obra. Quantas viagens com 
o caminhão Ricardo precisará fazer, no mínimo, para 
concluir a entrega?
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vi
tp
ho
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St
oc
k
07. Para uma festa de aniversário em sua casa, Carla 
precisou comprar 7 pacotes de copos descartáveis, 
3 pacotes de pratos e 2 pacotes de guardanapos no 
supermercado. Com esses itens, Carla gastou R$48,00. 
Sabendo que cada pacote de prato custou R$3,00 e cada 
pacote de guardanapos, R$2,00, quanto custou cada 
pacote de copos descartáveis? 
08. Fernando era responsável pela confecção da folha 
de pagamento da empresa em que trabalhava. Como 
não tinha muita experiência, ele elaborou o esquema 
a seguir. Nele, constam os nomes dos funcionários, a 
quantidade de faltas sem justificativas e o salário mensal 
de cada um, caso não haja faltas. Se o funcionário 
falta ao trabalho e não justifica com documentação 
adequada, é descontado o equivalente ao dia de serviço.
Funcionário Faltas sem justificativas
Salário 
(mensal)
Adamastor 1 R$960,00
Cremilson 0 R$960,00
Fernando 0 R$1.530,00
Jadilson 2 R$840,00
Marinalva 0 R$1.020,00
Vadilson 1 R$840,00
269
Operações com números naturais: multiplicação e divisão
Capítulo 4
a. Qual seria a despesa da empresa com a folha de pagamento, 
nesse mês, se não houvesse nenhuma falta?
b. Considerando que o mês comercial tem 30 dias, calcule 
o valor que Cremilson ganha por dia.
c. Considerando somente o desconto referente às faltas 
de Jadilson, quanto ele recebeu nesse mês?
09. Os alunos de uma escola participaram de uma 
excursão, para a qual foram contratados dois ônibus. 
Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no 
primeiro ônibus e apenas 31 entraram no segundo. 
Quantos alunos devem passar do primeiro para o 
segundo ônibus para que seja transportada a mesma 
quantidade de alunos nos dois?
10. Paulo se dirigiu à emergência de um hospital com 
uma forte gripe. Após exames laboratoriais, o clínico 
que o atendeu prescreveu um antibiótico que deveria 
ser tomado da seguinte forma: um comprimido de 
oito em oito horas por 15 dias. Ao pedir na farmácia 
o remédio, o balconista informou que cada caixa 
continha sete comprimidos. A quantidade de caixas 
de antibiótico que ele deve comprar para todo o 
tratamento é:
(A) 3.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
Exercícios de
aprofundamento
01. Contando a partir de um domingo, em que dia da 
semana cairá o centésimo dia?
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su
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ck
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St
oc
k
(A) Quinta-feira.
(B) Quarta-feira.
(C) Terça-feira.
(D) Segunda-feira.
(E) Domingo.
02. Havia alguns bombons em uma caixa. Sílvia pegou 
metade deles, e, depois, Antônio pegou metade do que 
sobrou. Em seguida, Clara pegou metade do que havia 
restado na caixa, deixando seis bombons. Quantos 
bombons havia inicialmente na caixa?
Rascunho
270
MATEMÁTICA I
6º Ano
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ck
Objetivos
– Conhecer outra forma de 
representar multiplicações de 
fatores iguais;
– compreender o cálculo de 
potências de números naturais;
– entender a radiciação como a 
operação inversa 
da potenciação.
– BNCC: EF06MA03.
Todo início de ano as pessoas fazem diversas promessas. Uma 
das mais comuns é economizar. Um desafio chamado “desafio das 
52 semanas” teve grande repercussão em um desses momentos. Ele 
consiste em economizar um valor a cada semana do ano. Na primeira 
semana você guarda 1 real, e a cada semana seguinte você deve 
acrescentar um real ao valor da semana anterior; ou seja, na segunda 
semana você guarda 2 reais, na terceira, 3 reais, e assim por diante. 
Ao final das 52 semanas, a pessoa que cumprir o desafio economizará 
R$1.358,00. 
Para os apressadinhos que precisam juntar uma quantia maior 
em menos tempo, existem outras versões do desafio. Uma delas se 
baseia em economizar um real no primeiro dia, e a cada dia seguinte se 
economiza o dobro do dia anterior; ou seja, no segundo dia se economiza 
2 reais, no terceiro dia, 4 reais, e assim sucessivamente. Dessa forma, 
em uma semana, essa pessoa conseguirá juntar R$127,00. 
Neste capítulo, estudaremos potenciação, que nos ajuda a calcular 
o valor a se economizar durante os dias desse desafio. Aprenderemos 
também a operação inversa da potenciação, que é a radiciação.
Você conseguiria economizar R$127,00 
durante uma semana sem pesar no seu bolso?
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS: 
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO6o ANO
CAPÍTULO
5
MATEMÁTICA I
1. Potenciação de números 
naturais
No texto motivador, o segundo desafio consiste em 
economizar o dobro do valor guardado no dia anterior. 
Diante disso, podemos escrever da seguinte forma os 
valores diários a economizar: 
1o dia: 1 real;
2o dia: 2 reais;
3o dia: 2 × 2 = 4 reais;
4o dia: 2 × 2 × 2 = 8 reais;
5o dia: 2 × 2 × 2 × 2 = 16 reais;
6o dia: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 reais;
e assim por diante. 
Observando esses valores, podemos destacar a exis-
tência de um padrão em sua construção. Você consegue 
perceber que padrão é esse? 
Note que, nas sequências numéricas acima, as multipli-
cações envolvem o mesmo fator, o número 2. Imagine como 
seria a sequência numérica do décimo dia!
Para facilitar e simplificar a escrita dessas multiplica-
ções, podemos utilizar a potenciação, que é definida como 
um produto de fatores iguais. 
Veja alguns exemplos: 
I. 3o dia: 2 × 2 = 22 = 4 reais (note que 22 equivale a uma 
multiplicação em que o fator 2 aparece duas vezes); 
II. 4o dia: 2 × 2 × 2 = 23 = 8 reais (note que 23 equivale a 
uma multiplicação em que o fator 2 aparece três vezes); 
III. 5o dia: 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 reais (note que 24 equivale a 
uma multiplicação em que o fator 2 aparece quatro vezes); 
e assim sucessivamente. 
Com essa representação, o décimo dia seria descrito 
mais facilmente. Observe: 10o dia: 29 = 512 reais, equivalendo 
a uma multiplicação em que o fator 2 aparece nove vezes. 
Assim, uma pessoa que segue o desafio consegue 
economizar 26 = 64 reais só no 7o dia, juntando um total 
de 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 reais em uma semana. 
1.1 Definição
A potenciação é uma operação matemática que 
compreende o produto de fatores iguais. Veja, por exemplo, 
o valor que se economiza no quinto dia do desafio:
5o dia = 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 reais.
Observe que o produto 2 × 2 × 2 × 2 pode ser represen-
tado por meio da potência 24. Nela, o fator 2 é multiplicado 
por ele mesmo quatro vezes. Nesse exemplo, dizemos que o 
2 é a base da potência, ou seja, aquele número que se repete. 
Já o 4 é chamado de expoente, que indica a quantidade de 
vezes que a base vai se repetir. E, por fim, o 16 é chamado 
de potência, isto é, o resultado da operação (potenciação).
Assim: 
base 
expoente
potência24 = 16
Veja outros exemplos:
32 = 3 × 3 = 9
56 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15.1625 
43 = 4 ×4 × 4 = 64
1.2 Leitura das potências
A leitura de uma potência é feita de acordo com a sua 
base e o seu expoente. Veja os exemplos:
24 → Lê-se: 2 elevado à quarta potência.
75 → Lê-se: 7 elevado à quinta potência.
510 → Lê-se: 5 elevado à décima potência.
Existem alguns expoentes especiais que, por serem 
muito usuais, recebem nomenclatura diferente. É o caso do 
expoente igual a 2 ou 3, o qual lemos “ao quadrado” ou “ao 
cubo”, respectivamente. Observe os exemplos:
52 → Lê-se: 5 elevado ao quadrado ou simplesmente 5 
ao quadrado.
123 → Lê-se: 12 elevado ao cubo ou simplesmente 12 
ao cubo.
22 → Lê-se: 2 elevado ao quadrado ou simplesmente 2 
ao quadrado.
Essas potências de expoente 2 e 3 podem ser repre-
sentadas geometricamente como a área de um quadrado e 
o volume de um cubo, respectivamente. 
Utilize o leitor óptico do seu 
celular para assistir à videoaula.
https://bit.ly/2oMeWI9
272
MATEMÁTICA I
6º Ano
1.3 Generalizações
Algumas generalizações são importantes para o cálculo 
de potências. Você consegue explicá-las?
I. Quando o expoente é 1, a potência é igual à própria 
base. 
Veja os exemplos:
a. 121 = 12
b. 91 = 9
c. 201 = 20
II. Quando a base for 1, a potência resulta em 1. 
Veja os exemplos:
a. 12 = 1 × 1 = 1
b. 15 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
c. 17 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
III. Quando a base for 0, a potência resulta em 0. 
Veja os exemplos:
a. 02 = 0 × 0 = 0
b. 05 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0
c. 07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0
IV. Quando a base for 10, a potência resulta no algarismo 1 
seguido da quantidade de zeros indicada pelo expoente. 
Veja os exemplos:
a. 102 = 10 × 10 = 100
b. 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100.000
c. 106 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1.000.000
V. Quando a base for diferente de zero e o expoente for 
igual a zero, a potência será igual a 1. (A princípio, 
vamos considerar verdadeira essa afirmação. Poste-
riormente, você conseguirá usar as propriedades de 
potência para verificá-la.)
a. 70 = 1
b. 100 = 1
c. 2000 = 1
1.4 Números quadrados perfeitos
Quando um número natural é quadrado de outro 
número natural, dizemos que ele é um número quadrado 
perfeito. Perceba que na imagem a seguir as figuras 1, 4 e 9 
são quadrados formados por quadradinhos menores.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ex.: 0² → 0 1² →1 2² → 4 3² → 9
Como escrever a distância da Terra ao Sol de forma mais simples?
A distância da Terra ao Sol é de, aproximadamente, 150.000.000 km. Para representá-la, pode-se 
fazer uso da notação científica, que utiliza as potências de base 10. 
Em algumas áreas, como a Astronomia, a Física, a Biologia, a Química etc., é muito comum 
trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos. Nesses casos, a representação 
numérica poderá se tornar um facilitador ou dificultador dos cálculos. Com o intuito 
de facilitar os cálculos e/ou as representações, utilizamos a notação científica. 
Por exemplo, no caso da distância da Terra ao Sol, em vez de 
escrevermos 150.000.000 km, registramos apenas 1,5 × 108.
Agora, pense na representação da população mundial. Em 
2017, segundo estudos da ONU, a população mundial atingiu 
o valor de 7.600.000.000 habitantes. Como representar esse 
número usando a notação científica?
INTERDISCIPLINANDO
273
Operações com números naturais: potenciação e radiciação
Capítulo 5
2. Radiciação de números 
naturais
E se nosso problema fosse encontrar um número que, 
elevado ao quadrado, resultasse em um valor dado? Por 
exemplo, que número elevado ao quadrado resulta em 16? 
Nesse caso, precisamos encontrar um número que 
multiplicado por ele mesmo resulta em 16. É fácil perceber 
que esse número equivale a 4. 
Dessa forma, podemos dizer que a raiz quadrada de 
16 (em símbolos: 16) corresponde a 4, ou ainda, 16 4= .
Para confirmar essa resposta, basta calcular 42 = 4 × 4 = 16.
2.1 Definição
Podemos definir raiz quadrada como um valor que 
elevado ao quadrado resulta no número apresentado. Veja, 
por exemplo, o valor obtido no cálculo da raiz quadrada 
de 25:
25 52 = , pois 52 = 5 × 5 = 25
Observe que o número 5 é o resultado da raiz 252 . 
Nela, o número 2 é chamado de índice, que indica a quan-
tidade de vezes que o resultado vai se repetir a fim de obter 
o radicando. Já o número 25 é denominado radicando, 
sendo o resultado da potência. 
Assim: 
índice
radicando
raiz= 5252
Essa definição se estende a outros 
tipos de raízes, como a raiz cúbica, cujo 
índice é igual a 3. Para determinar a raiz 
cúbica de um número, basta encontrar um valor que elevado 
ao cubo resulte nele. Por exemplo, 8 23 = , pois 23 = 8.
As sentenças 16 4= e 42 = 16 são equivalentes, 
logo podemos dizer que a potenciação e a radiciação são 
operações inversas.
Veja outros exemplos:
a. 4 2= , pois 22 = 4
b. 81 9= , pois 92 = 81
c. 27 33 = , pois 33 = 27
d. 1 000 103 . ,= pois 103 = 1.000
Vale destacar que, quando não há um valor indicado no 
local do índice, este é igual a 2.
Para você, qual seria o valor de 00? 
Na Matemática, essa é uma potência controversa, sendo 
considerada uma das indeterminações existentes. 
Vamos analisar essa potência de acordo com as 
seguintes generalizações: 
I. O expoente é igual a 0, portanto a potência resultará 
em 1.
II. A base é igual a 0, portanto a potência resultará em 0. 
Dessa forma, temos dois resultados possíveis e 
diferentes. A discussão sobre esses resultados percorreu 
séculos e mobilizou vários estudiosos. No entanto, eles não 
conseguiram chegar a um consenso.
APROFUNDANDO
Exercícios
conceituais
01. Calcule as potências abaixo:
a. 34
b. 53
c. 28
d. 171
e. 117
f. 05
g. 130
h. 109
02. Calcule as radiciações a seguir:
a. 25 
b. 36
c. 121
d. 400
e. 13
f. 03
g. 1253
h. 3433
03. Substitua o símbolo *, em cada caso abaixo, de modo 
que a sentença se torne verdadeira:
a. *2 = 64
b. 110 = *
c. 12* = 1.728
d. * = 9
e. 8 000 20.* =
274
MATEMÁTICA I
6º Ano
04. Qual é o número cuja raiz quadrada equivale a 15? 
05. Se elevarmos um número ao cubo encontramos 64. 
Qual é a raiz quadrada desse número?
Exercícios
contextualizado
s
01. O xadrez é um jogo de tabuleiro formado por casas 
claras e escuras intercaladas, sendo constituído por 8 
linhas e 8 colunas. Calcule o número de casas presentes 
no tabuleiro do xadrez, representando esse valor por 
meio de uma potência.
02. Uma árvore tem 3 galhos, cada galho tem 3 ninhos e 
cada ninho, 3 ovinhos. Quantos ovinhos há nos ninhos?
03. A biblioteca da escola de Joana possui 5 estantes, cada 
estante contém 5 prateleiras que acomodam 5 livros 
cada uma. Para que todas as estantes da biblioteca 
fiquem cheias, quantos livros são necessários?
04. Uma bactéria se reproduz de tal forma que sua quan-
tidade dobra a cada minuto. Se iniciarmos o processo 
de reprodução com duas bactérias, em cinco minutos 
elas se multiplicarão, chegando a 64 bactérias. 
Assim, quantas eram as bactérias no minuto anterior, 
ou seja, após quatro minutos do início do processo?
05. Ao comprar uma pequena tela em formato de quadrado 
para suas aulas de pintura, Mariana perguntou à 
vendedora quanto media o lado da tela. Por sua vez, a 
vendedora sabia apenas que a área da tela era 16 cm². 
Sabendo que a medida do lado corresponde à raiz 
quadrada da área, determine a medida desse lado.
06. Jurandir é pedreiro e revestirá um piso com cerâmica. 
Para determinar a área que precisa cobrir, ele multi-
plica o comprimento dos dois lados do piso ou eleva ao 
quadrado, se os lados forem iguais. Hoje, ele revestirá 
uma sala quadrada, que possui 49 m² de área. Qual é 
a medida do lado dessa sala, em metros?
07. Na Copa do Mundo 2014, as seleções participantes 
marcaram gols em todas as fases, sendo a fase de grupos 
aquela com o maior número de gols. Observe a tabela:
Fase de grupos Número de gols
Grupo A 18
Grupo B 22
Grupo C 17
Grupo D 12
Grupo E 19
Grupo F 14
Grupo G 19
Grupo H 15
Disponível em: <http://esportes.estadao.com.br/classificacao/futebol/copa-do-mundo/2014>. 
Acesso em: 23 jun. 2018.
Deacordo com esses dados, é correto afirmar que o 
total de gols da fase de grupos está mais próximo da 
potência:
(A) 92.
(B) 102.
(C) 112.
(D) 122.
(E) 132.
08. Aos alunos do 6o ano, a professora sugeriu o seguinte 
desafio: “A raiz quadrada de 26 é mais próxima de 
_____.” Um aluno da classe levantou a mão e respondeu 
corretamente. A resposta foi:
©
m
on
ke
yb
us
ine
ss
im
ag
es
/iS
to
ck
(A) 3.
(B) 4.
(C) 5.
(D) 6.
(E) 7.
 
275
Operações com números naturais: potenciação e radiciação
Capítulo 5
09. Um adulto humano saudável abriga cerca de 
100 bilhões de bactérias apenas em seu trato digestivo. 
Esse número de bactérias pode ser escrito como:
(A) 109.
(B) 1010. 
(C) 1011.
(D) 1012.
(E) 1013.
10. Analise as explicações de uma professora de Matemática 
e complete as lacunas de modo a tornar as afirmativas 
verdadeiras:
Muitas vezes, as potências de 10 são utilizadas para 
facilitar leituras de números grandes. Elas deter-
minam, também, a ordem dos numerais escritos. 
Por exemplo, 10² é igual a ____________ e ocupa 
a ordem das _____________________, 10³ é igual 
a _____________________ e ocupa a ordem das 
_______________, e assim sucessivamente. Para núme-
ros ainda maiores, podemos utilizar as potências de 10 
para identificar a classe a que pertencem. Números en-
tre 0 e 10³ pertencem à classe ____________________, 
de 10³ inclusive a 106 exclusive pertencem à classe dos 
______________________, e assim sucessivamente.
Exercícios de
aprofundamento
01. Uma sequência de mosaicos quadrados é construída 
com azulejos quadrados cinza e brancos, todos do 
mesmo tamanho, sendo o primeiro formado por um 
azulejo branco cercado por azulejos cinza, o segundo 
por quatro azulejos brancos cercados por azulejos 
cinza, e assim sucessivamente.
 
Observando esses mosaicos é possível destacar um 
padrão para a quantidade de azulejos brancos. Consi-
derando esse padrão, qual será a quantidade de azule-
jos brancos no décimo mosaico?
(A) 101.
(B) 102.
(C) 103.
(D) 104. 
(E) 105. 
02. Qual é a soma dos algarismos do número 101.500 + 101.792 
+ 101.822 + 101.888 + 101.889?
(A) 1.
(B) 5.
(C) 10.
(D) 1.889.
(E) 1.890.
Rascunho
276
MATEMÁTICA I
6º Ano
Exercícios
conceituais
01. Considere o fluxograma a seguir, em que V significa uma informação verdadeira 
e F uma informação falsa:
A sua idade 
é par.
Considere o 
antecessor.
É maior 
que 10.
Escreva o 
triplo desse 
valor.
V
V
F
F
Considere o 
sucessor.
É menor ou 
igual a 10.
Escreva o triplo 
desse número
Escreva o quadrado 
desse valor.
Escreva o dobro 
desse valor.
De acordo com esse fluxograma, qual foi o número obtido?
02. Complete o esquema abaixo com as informações 
indicadas e, ao final, encontre o resultado: 
 
Calcule 64 Adicione 42
Divida por 5Eleve ao 
cubo
Subtraia 7 
centenas
03. Observe que existem valores ocultos nas sentenças 
abaixo. Determine esses valores para tornar verdadeiras 
as sentenças:
a. 25 – ∗ = 12
b. ◊ + 81 36=
c. 725 ÷ * = 25
d. ☐ × 120 = 3.000
04. Dividindo 42 por 6, o quociente é 7 e o resto é 0. Somando 
uma unidade ao dividendo e tornando a dividi-lo por 
6, o quociente continua sendo 7 e o resto passa a ser 1. 
Qual é o maior número que podemos somar a 42 para 
que a divisão por 6 continue tendo quociente 7?
05. Dados os algarismos 2, 3 e 4, quais são os números com 
dois ou três algarismos distintos que podemos formar? 
277277
6o ANO
CAPÍTULO
6
MATEMÁTICA I
NÚMEROS NATURAIS (): EXERCÍCIOS
Exercícios
contextualizado
s
01. O coração é o órgão responsável pelo bombeamento do 
sangue em nosso corpo. Considerando que a frequência 
dos batimentos cardíacos em um adulto, quando em re-
pouso, é de aproximadamente 70 batimentos por minuto 
determine quantas vezes o coração de um adulto bate em 
15 minutos.
02. No último levantamento do IBGE, realizado em 2017, 
a população da cidade de São Paulo era estimada em 
12.106.920 pessoas. Se, no ano de 2010, a população 
era de 11.253.503, calcule o crescimento populacional 
de São Paulo nesse período. 
03. O Cristo Redentor é um dos pontos turísticos do Rio 
de Janeiro mais procurados pelos turistas que visitam a 
cidade. No ano de 2016 recebeu 3.305.010 visitantes. Em 
2015, o número de visitantes foi de 2.945.355 pessoas. 
©
m
ar
ch
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lo
74
/i
St
oc
k
Com base nas informações, responda:
a. Em qual ano, o número de visitantes está mais próximo 
de 3 milhões?
b. Determine o número de visitantes totais no biênio, de 
2015 a 2016. 
c. Arredonde o valor encontrado na alternativa anterior 
para o milhão mais próximo. 
04. Durante a greve dos caminhoneiros, ocorrida no mês de 
maio de 2018, muitos postos de combustível esgotaram 
os seus estoques. Considere um posto de combustível 
que contém 6 tanques com capacidade de 30.000 litros 
cada um. Se um caminhão-tanque possui capacidade 
de 60.000 litros, estime a quantidade mínima de cami-
nhões-tanque necessária para abastecer até o limite os 
tanques desse posto. 
05. Em 1970, o México sediou a Copa do Mundo e pela 
primeira vez foi lançado o álbum de figurinhas do 
torneio. Em 2018, quase 50 anos depois, a Copa do 
Mundo foi sediada pela Rússia, e o álbum da copa foi 
um fenômeno entre os apaixonados por futebol. 
Como Marcos tinha muitas figurinhas, ele resolveu 
distribuir, para cada um dos cinco amigos, cinco pa-
cotes de figurinhas contendo 5 figurinhas cada um. 
Sabendo que cada pacote custou R$2,00, responda:
a. Quantos reais Marcos gastou com essas figurinhas?
b. Quantas figurinhas Marcos distribuiu entre os amigos?
c. Se Marcos tinha 196 figurinhas antes da distribuição, 
com quantas figurinhas ele ficou no final?
06. Para aprovar um projeto no Senado de um país fictício, 
são necessários os votos de metade dos senadores 
(presentes ou não) mais um voto. O total de senadores 
é 86. No dia da votação de certo projeto, estão presentes 
38 que votam a favor, 34 que votam contra e 12 que 
estão indecisos.
Com base nessas informações, responda:
a. Qual é o número de indecisos que deve ser conquis-
tado a fim de garantir a aprovação do projeto?
b. Qual é a quantidade mínima de votos a serem 
conquistados no grupo de senadores indecisos para 
que o projeto não seja aprovado?
07. Em 2016, o recolhimento de impostos no Brasil atingiu 
o número recorde de mais de 2 trilhões de reais. 
<www.impostometro.com.br>. 
O site do impostômetro faz alguns comparativos:
• com esse dinheiro você poderia comprar 4.608.129.956 
cestas básicas;
• com esse dinheiro você poderia receber 10 salários 
mínimos por mês durante 17.827.610 de anos;
• para transportar esse dinheiro em notas de R$ 100,00, 
seriam necessários 661 contêineres.
278
MATEMÁTICA I
6º Ano
Considere as informações e classifique em V (verda-
deira) ou F (falsa) as afirmativas a seguir: 
(A) ( ) Em 2016, o valor arrecadado em impostos pode ser 
representado usando potências de 10 por 2 × 1014.
(B) ( ) A quantidade de cestas básicas supera 5 bilhões.
(C) ( ) O tempo em que se receberia os 10 salários 
mínimos é de, aproximadamente, 17 × 106 anos.
(D) ( ) Para o transporte desse dinheiro em notas de 
R$ 50,00, seriam necessários 1.322 contêineres.
08. A maior parte da energia elétrica utilizada em nosso 
país é gerada pelas usinas hidrelétricas. Com isso, 
é possível relacionar o funcionamento de aparelhos 
eletrônicos com a quantidade de água que necessita 
passar pelas turbinas para que a energia elétrica seja 
gerada.
Observe o quadro abaixo.
Produto
Tempo médio 
de funciona-
mento diário
Quantidade de água 
que precisa passar 
pelas turbinas para 
manter o aparelho 
funcionando du-
rante esse tempo
forno de 
micro-ondas 5 minutos
190 litros ou 
20 baldes
ferro de passar 20 minutos
1.100 litros ou 
7 banheiras de 
hidromassagem de 
tamanho médio
televisão 2 horas
2.100 litros ou 
4 caixas-d'água resi-
denciais
chuveiro 15 minutos 4.000 litros ou 2 piscinas infantis
geladeira 24 horas 10.000 litros ou um caminhão-pipa
Veja, São Paulo, 7 mar. 2001. p. 36.
De acordocom o texto e o quadro, responda:
a. Quantos litros de água cabem em dois baldes?
b. Um ferro de passar e uma televisão ficaram ligados 
durante uma hora. Quantos litros de água o ferro de 
passar consumiu a mais que a televisão?
09. Na rede de distribuição de água representada abaixo, 
a água passa pelos canos como indicado pelas setas 
e se distribui igualmente em cada ramificação. 
Em uma hora passaram 
200 mil litros de água 
pela saída X. Quantos 
litros de água passaram 
pela saída Y nessa 
mesma hora?
(A) 100 mil litros.
(B) 130 mil litros.
(C) 300 mil litros.
(D) 450 mil litros.
(E) 600 mil litros.
10. Uma fábrica de palitos de fósforo utiliza as seguintes 
definições:
• caixa: conjunto de 45 palitos de fósforo;
• maço: conjunto de 10 caixas;
• pacote: conjunto de 12 maços.
Considerando essas informações, responda:
a. Um lojista adquiriu um pacote, dois maços avulsos 
e duas caixas. Quantos palitos de fósforo foram 
comprados, no total, por esse lojista?
b. Um lojista precisa adquirir 11.250 palitos de fósforo. 
Quantos pacotes e maços avulsos ele precisará 
encomendar?
Exercícios de
aprofundamento
01. Gabriel parte em uma viagem dirigindo um caminhão 
com 3 eixos por uma rodovia. Nessa rodovia existem 
três postos de pedágio. No primeiro posto, o pedágio 
é de R$5,00 por eixo do veículo. No segundo posto, a 
cobrança é R$3,00 por eixo do veículo. No terceiro, o 
pedágio é o valor único de R$6,00. Antes de iniciar a 
viagem, Gabriel perdeu R$5,00. Ao final desse percurso, 
restou-lhe R$23,00. Se Gabriel não tivesse perdido, mas 
sim achado a mesma quantia, o valor que ele teria antes 
e depois de iniciar a viagem seria: 
(A) R$66,00 e R$28,00. 
(B) R$66,00 e R$28,00. 
(C) R$61,00 e R$28,00. 
(D) R$61,00 e R$33,00.
(E) R$63,00 e R$33,00.
X
Y
279
Números naturais (): exercícios
Capítulo 6
02. Na figura vemos três cartelas com quatro adesivos e seus 
respectivos preços. O preço de uma cartela é a soma 
dos preços de seus adesivos.
 R$16,00 R$12,00 R$10,00
Qual é o preço da cartela abaixo com seis adesivos?
(A) R$18,00.
(B) R$20,00.
(C) R$21,00.
(D) R$22,00.
(E) R$23,00.
Rascunho
280
MATEMÁTICA I
6º Ano
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A
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St
oc
k
Objetivo
– Interpretar e resolver situações por 
meio de uma expressão numérica.
Por onde você começa a organizar o seu 
armário? E os lugares preferenciais em 
transportes públicos, você os respeita?
Em nossas vidas, é comum nos depararmos com situações que exigem 
determinada ordem e organização segundo critérios estabelecidos. 
Muita gente segue uma ordem para lavar a louça (por exemplo, primeiro 
os copos, depois os talheres, os pratos e, por último, as panelas) ou 
para organizar o armário. Também é comum existirem prioridades 
em determinadas circunstâncias, como os lugares preferenciais em 
transportes públicos, que são destinados para gestantes, mães com 
crianças de colo, idosos etc. 
Em Matemática, a ordem também é muito importante. Por exemplo, 
ao resolvermos a expressão 20 – 5 × 2, é importante sabermos que 
ela corresponde a 20 – 10 = 10 e nunca a 15 × 2 = 30. Para que as 
pessoas sempre se entendam, é fundamental seguir regras claras ao 
efetuar operações desse tipo.
Neste capítulo, aprenderemos a resolver expressões numéricas 
envolvendo os números naturais, atentando para as operações e para 
os símbolos que podem ser utilizados quando desejamos modificar a 
ordem de resolução de uma expressão.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
ENVOLVENDO NÚMEROS NATURAIS
6o ANO
CAPÍTULO
7
MATEMÁTICA I
1. Procedimentos para resolver uma 
expressão
Considere a seguinte situação: Luquinha e Torugo retiraram de um poço 
com 200 litros de água sete baldes de 12 litros cada um e sete canecos de 2 litros 
de água cada um. Quantos litros de água restaram no poço?
Entre as expressões abaixo, qual representa essa situação?
(A) 200 – 7 – 7 × 2.
(B) 200 – (7 + 7) × (12 + 2).
(C) 200 – 7 × (12 + 2). 
Se você percebeu que a última é a única expressão que representa 
esse problema, parabéns! Mas qual é a explicação para isso?
Alguém pode informar: “Se foram sete baldes com 12 
litros cada um, foram retirados 84 litros do poço. Em seguida, 
foram retirados sete canecos com 2 litros cada um, ou seja, 
14 litros. Sendo assim, no total, foram retirados 98 litros 
de água, e, portanto, sobraram 102 litros de água”. Essa 
explicação é excelente! 
Outra pessoa poderia explicar: “Ao retirarmos sete 
baldes com 12 litros e sete canecos com 2 litros, foram 
retirados, então, 14 litros de água em sete vezes. Sendo assim, 
foram retirados 98 litros de água, e, então, sobraram 102 litros 
de água”. Essa explicação também está correta.
Se quisermos expressar essa situação por meio de outras 
expressões numéricas, teremos, de acordo com a primeira explicação:
200 – (7 × 12 + 7 × 2) =
 
200 – (84 + 14)=
 
200 – 98 =
102.
Ou, de acordo com a segunda explicação:
200 – 7 × (12 + 2) =
 
200 – 7 × 14 =
 
200 – 98 = 
102.
Talvez você não se lembre do nome, mas, nos capítulos anteriores, falamos 
sobre a propriedade distributiva, e, agora, estamos aplicando-a. Você consegue 
perceber onde ela foi aplicada?
A partir desses exemplos, nota-se que, ao resolvermos uma expressão, 
começamos pelos parênteses. Mas você pode se perguntar: “Qual a finalidade 
dos colchetes e das chaves em uma expressão?”.
282
MATEMÁTICA I
6º Ano
Se você observar uma calculadora científica, perceberá que nela não existem 
tais sinais gráficos. Isso porque eles são utilizados simplesmente para indicar 
operações mais internas e outras: os parênteses são as operações mais internas 
em uma expressão e podem estar dentro de colchetes, que, por sua vez, podem 
estar entre chaves. Se escrevermos parênteses dentro de parênteses na 
calculadora científica, ela “entenderá” que precisa resolver, primeiro, 
os parênteses mais internos da expressão para, então, resolver os mais 
externos. Sem utilizarmos a calculadora científica e utilizando tais 
símbolos, começamos a resolver a expressão pelos cálculos mais 
internos (contidos entre parênteses), seguidos dos contidos 
entre colchetes, para, então, resolvermos os mais externos (contidos 
entre chaves).
Determinar a ordem em que as operações matemáticas 
são efetuadas também é importante na resolução de uma 
expressão. Isso porque, diante de determinada expressão, 
todos precisam obter o mesmo resultado. Por exemplo, 
em 20 – 5 × 2, primeiro devemos efetuar a multiplicação 
5 × 2 = 10. Em seguida, fazemos a subtração 20 – 10 = 10.
Repare que, se fizéssemos a subtração primeiro, obteríamos 
um resultado diferente. Agora, pense e responda: se quisermos começar a resolver 
a expressão 20 – 5 × 2 pela subtração, o que precisa ser feito?
De forma geral, devemos seguir sempre dois conjuntos de regras:
I. Primeiramente, observamos os sinais de associação e a ordem em que deverão 
ser resolvidos:
1o) parênteses ( );
2o) colchetes [ ];
3o) chaves { }.
II. Em seguida, efetuamos as operações na ordem abaixo:
1o) potenciação ou radiciação, na ordem em que aparecerem;
2o) multiplicação ou divisão, na ordem em que aparecerem;
3o) adição ou subtração, na ordem em que aparecerem.
Por exemplo, vamos calcular o valor de:
23 5 2 9 12� � � �{[( † ) ] }.
Resolvendo, primeiramente, a potenciação entre parênteses, temos:
23 {[(25 2) 9] 12}.− + ÷ +
Vamos, então, terminar de resolver os parênteses:
23 {[27 9] 12}.− ÷ +
Depois, vamos resolver a radiciação entre colchetes:
23 {[27 3] 12},− ÷ +
o que equivale a: 
23 {9 12}.− +
Ao resolver a expressão entre chaves, obtemos
23 – 21, que resulta em 2.
FIQUE ATENTO!
283
Expressões numéricas envolvendo números naturais
Capítulo 7
Exercícios
resolvidos
01. Qual é o resultado da expressão seguinte?
65 {30 [ 400 (10 1 6) 1]}− − − − + +
Solução:
65 – {30 – [20 – (9 + 6) + 1]} = 
65 – {30 – [20 – 15 + 1]} =
65 – {30 – [5 + 1]} =
65 – {30 – 6} =
65 – 24 =
41.
65 30 400 10 1 6 1� � � � � � �{ [ ( ) ]}
02. Resolvaa expressão:
38 {20 [22 ( 25 3) (7 2² 1)]}− − − + + − +
Solução:
38 – {20 – [22 – (5 + 3) + (7 – 4 + 1)]} = 
38 – {20 – [22 – 8 + 4]} =
38 – {20 – 18} =
38 – 2 =
36.
38 20 22 25 3 7 2 12� � � � � � � �{ [ ( ) ( )]}
03. Determine os resultados das expressões a seguir:
a. 4 73 11 {20 [ 100 ( 25 1 )]}− − − − − =
Solução:
81 – 11 – {20 – [10 – (5 – 1)]} = 
70 – {20 – [10 – 4]} =
70 – {20 – 6} =
70 – 14 =
56.
b. 54² 7² 3 [5² (5 4 1) 3]+ + − + × − + =
Solução:
16 + 49 + 243 – [25 + (5 × 2 – 1) + 3] =
16 + 49 + 243 – [25 + (10 – 1) + 3] =
16 + 49 + 243 – [25 + 9 + 3] =
16 + 49 + 243 – 37 =
65 + 243 – 37 =
308 – 37 =
271.
04. Maria foi ao supermercado e comprou três caixas de 
leite a R$2,00 cada uma, dois pacotes de balas a R$1,00 
cada um e um pacote de arroz que custou R$12,00. Ela 
entregou ao caixa uma nota de R$50,00. Qual foi o troco 
de Maria? Escreva uma expressão que represente essa 
situação e resolva-a.
Solução:
50 – (3 × 2 + 2 × 1 + 12) =
50 – (6 + 2 + 12) = 
50 – (8 + 12) =
50 – 20 =
30.
O troco de Maria foi de R$30,00.
Utilize o leitor óptico do seu 
celular para assistir à videoaula.
https://bit.ly/2o5jWYz
284
MATEMÁTICA I
6º Ano
Matemática nas redes sociais
Nas redes sociais, alguns desafios matemáticos são 
lançados como forma de teste de conhecimento. Em um desses 
desafios, foi apresentada a seguinte expressão: 12 ÷ 2 × 
(6 + 7 – 4) × 2, e questionava-se qual seria o seu resultado. 
Vamos resolvê-la?
12 ÷ 2 × (6 + 7 – 4) × 2 = 
12 ÷ 2 × (13 – 4) × 2 =
12 ÷ 2 × 9 × 2 =
6 × 9 × 2 =
54 × 2 =
108.
Portanto, o resultado dessa expressão é 108.
APROFUNDANDO
Calculando potências com calculadora
Em uma calculadora simples, aparentemente não 
é possível calcular potências. Mas, como já sabemos, a 
potenciação é um produto em que todos os fatores são iguais.
Por exemplo, se quisermos calcular 36 + 5, basta 
fazermos o seguinte procedimento:
Tecle o número da base, no caso, o 3. Depois, o sinal 
de multiplicação (×) e, em seguida, o sinal de igualdade (=) 
5 vezes (é sempre o expoente menos 1) e adicione 5.
Ou seja, 3 × = = = = = + 5.
Logo, o resultado será 734.
Agora, faça você! Calcule 88 + 7 com 
o auxílio da calculadora.
APROFUNDANDO
Extrato bancário
No dia 5 de outubro de 2015, Antônio tinha R$5.000,00 
em sua conta bancária. Nos dias seguintes, ele fez dois saques 
de R$150,00 e depositou R$80,00. Depois, fez uma compra 
de R$600,00. Seu extrato bancário ficou assim:
Nome: Antônio Silveira
Agência: 0000-0
Conta: 01234-5
5/out. Saldo R$5.000,00 C
6/out. Saque R$150,00 D
7/out. Saque R$150,00 D
8/out. Depósito R$80,00 C
9/out. Supermercado X R$600,00 D
A expressão que representa o saldo final de Antônio, após 
essas movimentações, é:
5.000 – 2 × 150 + 80 – 600.
Resolvendo-a, obtemos:
5.000 – 2 × 150 + 80 – 600 = 
5.000 – 300 + 80 – 600 =
4.700 + 80 – 600 = 
4.780 – 600 = 
4.180.
Logo, o saldo final de Antônio é R$4.180,00.
CONTEXTUALIZANDO Exercícios
conceituais
01. Resolva as expressões abaixo:
a. 24 + 52 ÷ 13 – 3 × 8 ÷ 12.
b. 82 – 32 × 5 + 62 ÷ 6.
c. 0[(8 8 2) (7 6 81)] 2 .× + ÷ × − ×
02. Nina resolveu a expressão 32 – (102 – 9) ÷ 7 e afirmou 
que o resultado é menor do que 15. Explique se Nina 
está correta.
03. Pensei no número 7. Somei 4. Multipliquei o resultado 
por 5. Subtraí 9 e calculei o dobro desse valor. Escreva 
uma expressão que represente esses cálculos e 
determine seu resultado.
04. Insira símbolos (parênteses, colchetes ou chaves) na 
expressão a seguir de tal forma que o resultado final 
seja igual a 8.
4 × 8 + 6 – 10 ÷ 2
05. Insira sinais de operações entre os números abaixo para 
encontrar o resultado 7 correto. 
14 7 10 (8 6) = 7
©
Pe
op
le
Im
ag
es
/i
St
oc
k
©
K
or
ov
in
/i
St
oc
k
285
Expressões numéricas envolvendo números naturais
Capítulo 7
Exercícios
contextualizado
s
Todos os Exercícios contextualizados deverão ser 
respondidos após o aluno representar a situação por meio 
de uma expressão e resolvê-la.
01. Duda despeja, em um recipiente que contém 500 mL 
de suco de laranja, dois copos de água com 200 mL cada. 
Qual é a quantidade total de suco obtida após a mistura?
02. Para a festa de casamento de Bárbara, foram convidadas 
320 pessoas. Dessas, um quarto faltou. Qual foi o total 
de pessoas presentes na festa?
03. Ana Júlia encomendou 
100 doces para uma 
reunião na sua casa 
e distribuiu-os igual-
mente em lembranci-
nhas que continham 
quatro doces cada uma. 
Entretanto, só havia 
23 lembrancinhas, e, 
então, ela resolveu colocar os doces que sobraram na 
mesa, em forminhas. Quantos doces ficaram fora das 
lembrancinhas?
04. No prédio de Sr. Horácio, o valor do condomínio é igual 
a R$480,00, e para cada dia de reserva do salão de festas 
são cobrados R$120,00, que devem ser pagos até duas 
horas antes do início do evento. Em março de 2018, 
todos os responsáveis pelo pagamento de cada um dos 
dez apartamentos pagaram a taxa mensal antes da data 
de vencimento. Além disso, o salão foi utilizado durante 
sete dias ao longo do mês. Qual foi, então, a arrecadação 
total desse prédio em março?
05. José recebeu a lista de material escolar que precisa comprar 
para seu filho e, após pesquisa de preços, comprou os 
produtos pelos valores apresentados na tabela a seguir:
©
kl
eb
er
co
rd
ei
ro
/i
St
oc
k
Quanti-
dade Produto
Valor 
unitário
5 cadernos universitários R$15,00
2 lápis R$2,00
1 borracha R$2,00
2 canetas (azul e vermelha) R$3,00
1 cola R$3,00
1 tesoura R$4,00
1 régua R$4,00
1 pasta R$6,00
Quantos reais José gastou comprando todos os itens 
da lista, na quantidade indicada na tabela?
06. Devido ao racionamento, o consumo mensal de água 
da casa de Mônica, que em janeiro de 2018 era de 30 m3 
por mês, baixou 8 m3 em fevereiro de 2018. Entretanto, 
graças a um vazamento não identificado, este consumo 
dobrou em março. Qual foi o consumo de água, em m3, 
em março?
07. Um trem sai de uma 
cidade A com destino 
à cidade B. No trajeto, 
ele faz duas paradas. Na 
cidade A, embarcam 
1.428 passageiros. Na 
primeira parada, salta 
um terço dos passa-
geiros e sobem duas 
centenas de pessoas. Na segunda parada, salta metade 
dos passageiros e não sobe ninguém. Escreva uma 
expressão que represente a situação e resolva-a. Em 
seguida, responda: quantos passageiros chegaram ao 
destino final?
08. Ana prestou serviços durante 35 dias para uma amiga, 
e ficou combinado que o pagamento seria realizado da 
seguinte forma:
• Nos primeiros 20 dias, ela receberia R$25,00 diários;
• do vigésimo primeiro dia até a conclusão do trabalho, 
ela receberia R$30,00 por dia.
Sendo assim, qual foi o valor total pago para Ana por 
esse serviço?
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to
ck
286
MATEMÁTICA I
6º Ano
09. Alberto foi a uma loja de roupas e comprou três blusas 
de R$48,00 e duas calças de R$89,00. Ele dividiu o 
pagamento no cartão, em duas vezes sem juros. Qual 
foi o valor de cada parcela?
10. Carlos tem uma empresa de camisas que nesse mês 
faturou R$55.000,00. Com esse valor, ele precisa fazer 
alguns pagamentos:
• Aluguel: R$3.250,00;
• água: R$2.754,00;
• luz: R$816,00;
• fornecedores: R$37.250,00.
Após o pagamento das despesas, a metade do que so-
brou será seu lucro, e o restante será dividido entre suas 
cinco funcionárias. Quanto cada uma das funcionárias 
vai receber?
Exercícios de
aprofundamento
01. Comprei cinco caixas de chocolates, cada uma contendo 
13 bombons. Dei duas caixas para minha mãe e comi 
11 bombons. Qual expressão matemática representa a 
quantidade de bombons que ainda me resta?
(A) 5 × 13 – 2 × 13 + 11.
(B) (5 – 3) × 13 – 11.
(C) (5 – 2) × 13 – 11.
(D) 5 × 13 + 2 × 13 – 11.
02. O cachorro de Marieta come ração quatro vezes ao dia, 
em porções de 100 gramas por vez. Marieta comprou 
um pacote de 4 kg, ou seja, 4.000 gramas de ração. Qual 
dessas expressões representa o número de dias para os 
quais o pacote de ração será suficiente?
(A) 4 × 100 ÷ 4.
(B) 4 ÷ (4 × 100).
(C) 4.000 ÷ (4 × 100).
(D) 4.000 × 100 ÷ 4.Rascunho
287
Expressões numéricas envolvendo números naturais
Capítulo 7
288
MATEMÁTICA I
6º Ano
Sistema de numeração 
indo-arábico
Sequências
Adição
______________
______________
Sucessor
e
______________
• Comutativa
• _________________________
• _________________________
• _________________________
Números
naturais (IN)
___________________
RELEMBRANDO...
Preencha o esquem
a com os 
principais tópicos es
tudados nos 
capítulos 1, 2, 3 , 4,
 5, 6 e 7.
EU APRENDI A...
 organizar os números por ordens e classes;
 identificar o valor relativo e absoluto de um número; 
 escrever o sucessor e antecessor de um número; 
 resolver problemas que envolvam números naturais;
 aplicar as propriedades das operações;
 calcular expressões numéricas. 
289
Expressões numéricas envolvendo números naturais
Capítulo 7
Expressões
numéricas
Notação científica
___________________
Multiplicação
Divisão
___________________
Números quadrados perfeitos
• _________________________
• _________________________
• _________________________
©
X
X
LP
ho
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St
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k
Objetivos
– Resolver problemas de contagem 
de possibilidades por meio de 
estratégias variadas, como padrão, 
diagrama de árvore, tabela etc;
– compreender o processo de 
resolução de problemas.
– BNCC: EF06MA03.
Que a frota de veículos brasileira é grande, todos nós sabemos: são 
aproximadamente 43 milhões deles. Mas será que tem placa suficiente 
para todos? Um dos modelos de placa de veículo utilizado no Brasil possui 
3 letras e 4 algarismos. Utilizam-se todas as 26 letras e todos os 
10 algarismos do sistema indo-arábico para formar sequências 
com as quantidades indicadas. Com isso, pode-se criar mais de 
175 milhões de placas.
Essa situação é pensada de acordo com um ramo da Matemática 
chamado Análise Combinatória, que trata de problemas de contagem. 
Neste capítulo, serão apresentados os problemas de contagem de 
possibilidades que ajudarão nesta e em outras situações.
Você já se perguntou quantos veículos 
podem ser emplacados no Brasil?
PROBLEMAS DE CONTAGEM 
E POSSIBILIDADE
6o ANO
CAPÍTULO
8
MATEMÁTICA I
1. Problemas de contagem e 
possibilidades
No dia a dia nos 
deparamos com diversas 
situações em que é 
necessário contar a 
quantidade de possi-
bilidades para que algo 
possa ser concluído.
Po r e x e mp l o, To r u g o, 
Luquinha, Duda e Beca foram a uma sorveteria que oferece 
4 sabores de sorvete (limão, baunilha, creme e flocos) e 3 
sabores de cobertura (morango, chocolate e caramelo). 
Suponha que eles queiram comprar uma bola de sorvete 
com um sabor de cobertura, e que não tenham preferência 
pelos sabores citados. 
Assim, quais são as combinações de sabores (bola e 
cobertura) possíveis?
Observe que é possível escolher qualquer um dos 
4 sabores de sorvete e, para cada um dos sabores, estão 
disponíveis 3 tipos de cobertura. Temos, então, as seguintes 
possibilidades:
Limão
Chocolate
Caramelo
Morango
Flocos
Morango
Chocolate
Caramelo
Baunilha
Morango
Chocolate
Caramelo
Creme
Morango
Chocolate
Caramelo
Pelo diagrama acima, fica fácil percebermos 12 maneiras 
diferentes de comprar uma bola de sorvete com um sabor 
de cobertura. 
Agora, se nessa mesma sorveteria ainda fosse possível 
escolher entre dois tipos de acréscimo (granulado ou leite 
condensado) e a turma resolvesse pedir um deles? Quais 
seriam, então, as possibilidades para comprar uma bola 
de sorvete com uma opção de cobertura e uma opção de 
acréscimo? 
Dessa vez, vamos utilizar uma tabela para listar as 
possibilidades. Observe: 
Sabor do 
sorvete
Sabor da 
cobertura Acréscimo
limão
morango
granulado
leite condensado
chocolate
granulado
leite condensado
caramelo
granulado
leite condensado
baunilha
morango
granulado
leite condensado
chocolate
granulado
leite condensado
caramelo
granulado
leite condensado
creme
morango
granulado
leite condensado
chocolate
granulado
leite condensado
caramelo
granulado
leite condensado
flocos
morango
granulado
leite condensado
chocolate
granulado
leite condensado
caramelo
granulado
leite condensado
Note que cada linha da tabela corresponde a uma das 
possibilidades para escolher uma bola de sorvete com uma 
cobertura e um acréscimo. Assim, há 24 maneiras distintas 
de fazer esse pedido. 
Utilizamos, aqui, dois tipos de resolução para problemas 
que envolvam contagem de possibilidades. Porém, existem 
outros métodos de listar e resolver tais problemas. Será que 
você consegue resolver os problemas anteriores de outra 
forma?
Vale ressaltar que não existe uma resolução melhor que 
outra. Em todos os problemas, o que conta, realmente, é a 
leitura cuidadosa. Você poderá listar todas as possibilidades, 
construir uma tabela, elaborar um diagrama, perceber um 
padrão, entre outras estratégias. Porém, para todos eles, a 
interpretação fará a diferença. 
291
Problemas de contagem e possibilidade
Capítulo 8
Exercícios
resolvidos
01. Juliana é decoradora de ambientes e está trabalhando na 
casa de sua irmã, Janaína. Como Janaína queria mudar 
o estilo da casa, pediu a Juliana que transformasse um 
dos cômodos (ou a sala ou o quarto), e essa mudança 
deveria ser na pintura das paredes. Janaína deu as 
seguintes opções de cores de tinta: azul, verde, amarelo, 
rosa ou laranja. 
Quais e quantas são as possibilidades de mudança 
para Juliana?
Solução:
Para resolver esse problema, vamos montar a lista de 
Juliana, lembrando que temos 2 cômodos e 5 opções 
de cores. Dessa forma, temos:
SALA, SALA, SALA, SALA, SALA, QUARTO, QUAR-
TO, QUARTO, QUARTO e QUARTO.
São 10 possibilidades de mudança. 
02. O brinquedo a seguir se chama Genius, e foi muito 
popular na década de 1980. Ele tem o formato circular 
e quatro botões coloridos, e desafiava a concentração 
dos participantes, que deveriam acertar a sequência em 
que as lâmpadas acendiam.
Existiam vários níveis de dificuldade relacionados com a 
quantidade de luzes que acendiam na sequência. 
a. Vamos considerar que o nível 1 consistia em acender 
uma única lâmpada. Quais são as possibilidades para que 
isso ocorra?
Solução:
Nesse nível, é fácil listar todas as possibilidades, que 
são verde, vermelho, azul ou amarelo. Assim, existem 
4 formas diferentes de se acender uma luz. 
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Contagem no caminho de St. Ives
Os problemas de contagem, ao que tudo indica, remetem a tempos antes de 
Cristo. Eles intrigam, aguçam nossa curiosidade e despertam a busca pela resolução. 
Tomemos como exemplo o problema que aparece nos versos sobre St. Ives dos 
contos de Charles Perrault (1628-1703), escritor e poeta francês do século XVII. 
Leia e tente resolvê-lo antes de prosseguir:
“Quando ia para St. Ives, cruzei-me com um homem acompanhado por 
sete mulheres. Cada mulher tinha sete sacos e cada saco tinha sete gatas. 
Cada gata tinha sete gatinhos. Gatinhos, gatas, sacos e mulheres, quantos 
iam para St. Ives?”
Um problema semelhante aparece no papiro egípcio Rhind, datado de 
1650 a.C. Os dois problemas possuem o mesmo tipo de análise e fazem 
referência às potências de 7. No entanto, o que intriga é a resolução. 
Que solução você encontrou para esse problema? Um? Zero? 
Mais de 2.000? 
Os problemas de contagem precisam ser claros, caso contrário 
podemos encontrar várias soluções de acordo com a interpretação. Nos 
versos acima, não fica claro se o homem com quem o narrador cruzou estava indo ou 
voltando de St. Ives. Assim, ao questionar “quantos iam para St. Ives”, a resposta “um” 
é imediata, mas pressupõe que todo o grupo (exceto o narrador) estava voltando. Será 
que você consegue encontrar outras soluções com base em interpretações diferentes?
CONTEXTUALIZANDO
292
MATEMÁTICA I
6º Ano
b. Agora, vamos considerar que o nível 2 consistia em acender duas lâmpadas. 
Quais e quantas são as possibilidades para que isso ocorra?
Solução:
Nesse caso, vamos utilizar o diagrama para nos auxiliar. 
Amarelo
verdevermelhoazulamarelo verdevermelhoazulamarelo verdevermelhoazulamareloverdevermelhoazulamarelo
Azul Vermelho Verde
Pelo diagrama, percebem-se 16 sequências diferentes. Se as lâmpadas ace-
sas precisassem ser diferentes, seriam 12 sequências. Volte ao diagrama e 
veja quais sequências seriam eliminadas nesse caso. 
Mapa do Brasil colorido 
com quatro cores.
©
Ingo M
enhard/iStock
O problema das quatro cores
Um clássico na Matemática é o problema das quatro cores. A teoria afirma que 
são necessárias no mínimo quatro cores diferentes para colorir qualquer mapa de 
forma que duas regiões fronteiriças tenham cores distintas. 
Olhando o mapa do Brasil na imagem e pensando sobre a questão, 
não parece haver grande problema quanto à afirmação de que 
quatro cores bastam. 
Durante várias décadas, esse foi um problema que 
intrigou a comunidade matemática. Não basta afirmar, 
é preciso provar que isso de fato é coerente. Vários 
estudiosos se debruçaram para conseguir provar que 
apenas quatro cores seriam suficientes. Até os dias 
atuais, todas as demonstrações requerem o auxílio de 
computadores.
APROFUNDANDO
293
Problemas de contagem e possibilidade
Capítulo 8
Exercícios
conceituais
01. Laura está em dúvida sobre sua programação de sábado. 
Ela precisa escolher um programa e tem as seguintes 
opções: 
Cinema
1. O Rei Leão
2. Toy Story 4
3. Como Treinar o seu Dragão 3
Teatro
1. Peter Pan, o musical
2. O Rei Leão
Como todos os programas acima estão sendo exibidos 
no mesmo horário, ela precisará escolher apenas um. 
De quantas formas ela poderá fazer essa escolha?
02. João Pedro organizou seus uniformes em uma tabela. 
Ele possui duas partes de cima (camisa regata e polo) e 
três partes de baixo (short, bermuda e calça). Complete 
a tabela com todas as configurações de uniforme 
possíveis (uma parte de cima e uma parte de baixo).
03. Em uma lanchonete, ao pedir um lanche pequeno, o 
cliente pode escolher uma bebida entre duas opções: refri-
gerante de cola e refrigerante de guaraná. No entanto, se 
o cliente optar pelo lanche grande, além das duas opções 
de refrigerante, ainda terá à sua escolha um suco natural. 
Observe o diagrama de árvore construído parcialmente. 
Lanche pequeno
Lanche grande
Refri de cola
Refri de guaraná
Complete o diagrama e responda: de quantas formas 
uma pessoa poderá pedir um lanche, considerando 
as opções dadas? 
04. Na turma do 6o Ano há 50 alunos. Desses alunos, 30 
são meninas. Além disso, sabe-se que 20 alunos usam 
óculos e desses, 13 são meninos. Com esses dados, 
construa uma tabela de forma a completar as informa-
ções implícitas. Em seguida, responda: nesta turma, 
quantas meninas não usam óculos?
05. Para ir de casa à escola, Pedro pode escolher um caminho 
entre dois existentes (Rua Aurora e Rua Boreal). Para 
retornar da escola para casa, porém, ele tem três opções: 
Rua Coração, Rua Dourado e Rua Emoção. 
Faça um esquema que demonstre todos os caminhos 
disponíveis para Pedro se deslocar de casa à escola e 
de volta para casa. 
Exercícios
contextualizado
s
01. Na última viagem de férias, a família Silva ficou em 
dúvida sobre o meio de transporte que usaria. Eles 
poderiam escolher uma entre as opções abaixo:
 
©
Lu
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at
 S
at
ic
ho
b/
iS
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ck
Quais são as configurações possíveis para a viagem de 
ida e volta se eles não desejam utilizar o mesmo meio 
de transporte nos dois deslocamentos?
02. Um professor deseja dividir um grupo de quatro alunos 
(Mariana, Carol, Rodrigo e Flávio) em dois grupos de 
dois alunos. Represente as diferentes maneiras de fazer 
a divisão desses alunos de modo que cada grupo tenha 
um menino e uma menina.
294
MATEMÁTICA I
6º Ano
03. Com dúvida em relação ao presente de Natal de seus três 
filhos, Noélia decidiu perguntar o que eles gostariam 
de ganhar neste ano. O primeiro filho pediu um 
smartphone, o segundo pediu um videogame ou 
um tablet e o terceiro pediu um carrinho de 
controle remoto ou uma bicicleta elétrica. Quantas 
possibi l idades Noél ia tem para presentear 
seus filhos? 
04. Um novo sistema de codificação usará os dois símbolos 
abaixo para criar novos códigos. 
Símbolo 1 Símbolo 2
ο •
Os códigos a serem criados devem usar um único 
símbolo ou exatamente dois símbolos, podendo repe-
tir o símbolo já usado. Escreva todos os códigos que 
podem ser criados nesse novo sistema. 
05. Susana caminha da esquerda para a direita e vai 
colocando os números no seu cesto. 
1
2 
3
4
5
6 
Quais números podem estar no cesto? 
(A) 1, 2 e 4.
(B) 2, 3 e 4.
(C) 2, 3 e 5.
(D) 1, 5 e 6.
(E) 1, 3 e 4.
06. Uma representante precisa percorrer quatro cidades 
para visitar seus clientes. Considerando-se que ela 
precisa ir à cidade 1 primeiro e que não há sequência 
definida para as demais cidades, assinale a alternativa 
correta, que representa quantas opções de rota essa 
representante terá para percorrer todas as quatro 
cidades:
(A) 2 rotas. 
(B) 3 rotas.
(C) 4 rotas.
(D) 5 rotas.
(E) 6 rotas.
07. O trajeto da casa de Duda até sua escola está represen-
tado na figura abaixo. Para ir à escola, ele precisa passar 
necessariamente pelo ponto A, em que se localiza o final 
do ponto de ônibus de uma das linhas que passam na 
porta da sua casa. 
ponto A
As possibilidades que Duda tem para ir à escola são 
as seguintes: de sua casa até o ponto A, ela pode ir de 
ônibus, táxi ou pegar carona com o pai; do ponto A 
até a escola, ela pode ir caminhando (pois a distância 
é pequena) ou pegar carona com seu amigo Teo. 
Construa um diagrama de árvore com todas as possi-
bilidades que Duda tem de ir da sua casa até a escola. 
08. Jonas possui uma coleção de carros em miniatura e 
deseja catalogá-la por meio de um código numérico. 
Usando somente os algarismos 1, 2 e 3, quais são os 
códigos com dois algarismos que ele poderá formar? 
Dica: Use uma tabela para escrever todos os códigos.
09. Rafael tem três lápis de cores diferentes: azul, vermelho 
e amarelo. Ele deseja colorir a bandeira abaixo de forma 
que cada região tenha uma cor diferente. 
Em seu caderno, desenhe a bandeira anterior, apre-
sentando duas formas diferentes de colorir de acordo 
com a descrição de Rafael. Depois, elabore o diagrama 
de árvore (diagrama de possibilidades) demonstrando 
todas as maneiras de colorir a bandeira.
295
Problemas de contagem e possibilidade
Capítulo 8
10. O jogo de dominó tem 28 peças diferentes. As peças são 
retangulares e cada uma é dividida em dois quadrados; 
em cada quadrado aparecem de 0 a 6 bolinhas. Em 
quantas peças o número total de bolinhas é ímpar?
(A) 9.
(B) 10.
(C) 12.
(D) 21.
(E) 24.
Exercícios de
aprofundamento
01. Os pesos das quatro bolas são 10, 20, 30 e 40. 
A B
C D B D C
Qual bola pesa 30?
(A) A.
(B) B.
(C) C.
(D) D.
(E) A ou B.
02. Com o objetivo de melhorar o tráfego de veículos, a 
prefeitura de uma grande cidade propôs a construção 
de quatro terminais de ônibus. Para estabelecer conexão 
entre os terminais, foram estipuladas as seguintes 
quantidades de linhas de ônibus:
• do terminal A para o B: 4 linhas distintas;
• do terminal B para o C: 3 linhas distintas;
• do terminal A para o D: 5 linhas distintas;
• do terminal D para o C: 2 linhas distintas.
Não há linhas diretas entre os terminais A e C. 
Supondo que um passageiro utilize exatamente duas 
linhas de ônibus para ir do terminal A ao terminal C, 
calcule a quantidade possível de trajetos distintos que 
ele poderá fazer.
Rascunho
296
MATEMÁTICA I
6º Ano
EU APRENDI A...
 representar, por meio do diagrama, as possibilidades em determinada situação;
 quantificar as possibilidades dada uma situação. 
RELEMBRANDO...
Preencha o esquem
a com os principais 
tópicos estudados n
o capítulo.
Problemas de contagem e possibilidade
Capítulo 8
297
A
B
C
C
D
D
Problemas
de contagem
Rascunho
298
MATEMÁTICA I
6º Ano