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© pi dj oe /i St oc k Objetivo – Determinar o valor absoluto e o relativo dos algarismos que compõem um número. Imagine que você seja responsável por cuidar de um rebanho de ovelhas e, portanto, precisa contar quantos animais saem do pasto e voltam todos os dias. Mas há um detalhe: você não pode utilizar números. Qual método seria adequado? Uma solução poderia ser associar cada ovelha a uma pedra. Assim, para cada animal que fosse para o pasto, você colocaria uma pedra em uma sacola e, para cada ovelha que voltasse, retiraria uma pedra. Dessa forma, seria possível ter o controle desse grupo, e você perceberia a perda de algum animal. Assim faziam os homens primitivos. Da associação de uma unidade a uma pedra, passou-se a registrar cada unidade com um traço. Mas imagine quão complicada seria a representação de números maiores, como 50, 100 ou 1.000. O problema ainda não estaria resolvido. Criou- se então o que hoje é conhecido como sistemas de numeração. Esses sistemas são conjuntos de símbolos e regras utilizados para simplificar a representação numérica. Neste capítulo, estudaremos alguns dos principais sistemas de numeração existentes. Como você calcularia quantidades sem utilizar os números? SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 6o ANO CAPÍTULO 1 MATEMÁTICA I 1. Escrita dos números no passado O texto lido anteriormente transmite a ideia da necessidade de o homem fazer a contagem de suas posses. Entretanto, alguns pesquisadores consideram que os números naturais diferentes de zero (1, 2, 3, 4...) foram criados para marcar o tempo de celebrações religiosas e/ou místicas. Isso porque existem objetos arqueológicos datados de até 35 mil anos atrás com marcas de traços agrupados que poderiam representar quantidades (nessa época, os homens eram nômades, não possuíam bens e a agricultura não havia sido desenvolvida). Seja qual for a motivação para o surgimento dos números, sabe-se que essas representações não são métodos práticos para registros de números muito grandes. Então, com o passar do tempo, criaram-se vários sistemas de numeração, até chegar ao sistema utilizado atualmente, o indo-arábico. 2. Sistema de numeração egípcio Vejamos na ilustração adaptada os símbolos utilizados e os valores atribuídos a eles. 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 No sistema de numeração egípcio, cada símbolo podia ser repetido até nove vezes, e sua ordem não era importante, pois valia apenas a soma dos valores. Ex.: a. = 13 b. = 26.020 3. Sistema de numeração babilônico O símbolo de cravo na vertical ( ) representava a unidade e podia ser repetido até nove vezes. Esse mesmo símbolo na horizontal ( ) representava o 10 e podia ser repetido até cinco vezes. Ex.: a. = 3 × 10 + 1 = 31 b. = 2 × 10 + 2 = 22 Quantidades maiores que 59 eram reunidas em grupos de 60, sendo os símbolos separados por um espaço, o que tornava importante a sua posição relativa. Ex.: a. = 1 × 60 31 = 60 + 31 = 91 b. = 3 × 60 = 43 = 180 + 43 = 223 4. Sistema de numeração maia Neste sistema, o ponto representava a unidade, a barra representava cinco unidades e a concha representava o zero. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Vale ressaltar que o número 20 era representado por uma concha e um ponto. 20 21 22 23 24 26 27 28 29 30 25 A posição dos símbolos era muito importante nesse sistema, porque, para números maiores que 20, utilizava-se uma segunda casa, que ficava acima dos outros símbolos. 3 23 Vejamos outros exemplos: a. = 1 × 20 + 5 × 3 + 4 = 39 b. = 1 × 20 + 3 × 5 = 35 Para números maiores ainda, eram utilizadas mais casas acima das duas que já foram apresentadas. Assim, os maias escreviam com base nos múltiplos de 20. 1 × 20 × 20 = 400 (1ª casa) 3 × 20 = 60 (2ª casa) 400 + 60 + 7 = 467 2 × 1 + 1 × 5 = 2 + 5 = 7 (3ª casa) 236 MATEMÁTICA I 6º Ano 5. Sistema de numeração chinês O sistema chinês possuía símbolos para os números entre 1 e 9 e símbolos para as potências de 10, sendo, então, um sistema de base decimal. 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 Ex.: a. 437 = 4 × 100 + 3 × 10 + 7 = 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 1002 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 b. 3.528 = 3 × 1.000 + 5 × 100 + 2 × 10 + 8 = 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 1002 3 4 5 1 7 8 9 10 6 1.000 10.000 100 6. Sistema de numeração romano O sistema romano surgiu há mais de 3 mil anos, durante o Império Romano. Baseia-se em sete símbolos básicos, expostos na tabela a seguir: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1.000 A fim de formar os demais números, esses símbolos eram combinados, utilizando as seguintes regras: Primeira regra: os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos por até três vezes consecutivas. Isso não pode ocorrer com os demais. Ex.: a. III = 1 + 1 + 1 = 3 b. XX = 10 + 10 = 20 c. CC = 100 + 100 = 200 d. MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000 Segunda regra: se um símbolo de menor valor é colocado à direita de um de maior valor, adicionam-se os dois valores. Ex.: a. LI = 50 + 1 = 51 b. CCCLX = 100 + 100 + 100 + 50 + 10 = 360 c. MMDCXV = 1.000 + 1.000 + 500 + 100 + 10 + 5 = 2.615 Terceira regra: se um dos símbolos I, X ou C é colocado à esquerda de um de maior valor, subtrai-se o menor do maior. Ex.: a. IV = 5 – 1 = 4 b. XL = 50 – 10 = 40 c. CM = 1.000 – 100 = 900 Quarta regra: quando um traço horizontal é colocado sobre um ou mais símbolos, multiplica-se seu valor por 1.000. Colocando-se dois traços, multiplica-se por 1.000.000, e assim por diante. Ex.: a. V = 5 × 1.000 = 5.000 b. XI = 11 × 1.000.000 = 11.000.000 c. VCX = 5 × 1.000 + 100 + 10 = 5.000 + 100 + 10 = 5.110 Essas são regras importantes e necessárias para compreender e saber ler números romanos. 7. Sistema indo-arábico O sistema de numeração romano não é muito prático, pois muitas vezes é necessária uma quantidade grande de símbolos para registrar determinado número. Um exemplo disso é o 388, que é representado por CCCLXXXVIII. Então, há mais de 1.500 anos, no vale do Rio Indo (Ásia), foi criado o sistema indo-arábico, cujo nome se deve, também, ao fato de terem sido os árabes os responsáveis pela divulgação do sistema pela Europa. O sistema de numeração utilizado hoje em dia é formado por dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Nele, os valores são divididos em unidades, dezenas, centenas, milhares etc. Logo, pode-se dizer que ele é organizado na base 10 e, portanto, é decimal. A origem desse fato se deve, provavelmente, às contagens ligadas aos dedos das mãos. Assim: 10 unidades = 1 dezena; 10 dezenas = 1 centena; 10 centenas = 1 unidade de milhar; 10 unidades de milhar = 1 dezena de milhar e assim por diante. Outra característica do sistema indo-arábico é ser posi- cional, ou seja, um mesmo símbolo pode ter valor diferente dependendo da posição que ele ocupa no numeral. Assim, o algarismo 8 tem valor relativo igual a 80 no número 6.780 e valor 8.000 no número 8.567. Portanto, os dez símbolos são suficientes para escrever qualquer número natural, por maior que ele seja. 237 Sistemas de numeração Capítulo 1 8. Ordens e classes de um número Cada um dos algarismos que compõem um número representa uma ordem: unidade (classe mais à direita), dezena (segundo algarismo da direita para a esquerda), centena (terceiro algarismo da direita para a esquerda) etc. Três números seguidos, da direita para a esquerda, compõem uma classe. São elas a classe simples, a classe de milhar, a classe dos milhões, a classe dos bilhões, e assim sucessivamente. Ex.: Organizandoo número 76.893: Classe de bilhão Classe de milhão Classe de milhar Classe simples centena dezena unidade centena dezena unidade centena dezena unidade centena dezena unidade 12o 11o 10o 9o 8o 7o 6o 5o 4o 3o 2o 1o 7 6 8 9 3 O número 76.893 pode ser decomposto da seguinte forma: 76.893 = 7 dezenas de milhar + 6 unidades de milhar + 8 centenas simples + 9 dezenas simples + 3 unidades simples. Existem outras maneiras de decompor o número 76.893. Veja: 76.893 = 76 unidades de milhar + 8 centenas simples + 9 dezenas simples + 3 unidades simples. 76.893 = 768 centenas simples + 9 dezenas simples +3 unidades simples. 76.893 = 7.689 dezenas simples + 3 unidades simples. 9. Valor relativo e valor absoluto O sistema de numeração decimal é posicional. Isso significa que o valor dos algarismos depende da posição que eles ocupam. Esse valor é chamado de valor relativo ou valor posicional. Ex.: Ao analisar os números 5.437 e 4.357, conclui-se que, no primeiro número, o valor posicional do algarismo 4 é 400, pois é igual a 4 × 100 (está na ordem das centenas). No segundo número, o valor posicional do algarismo 4 é 4.000, pois é igual a 4 × 1.000 (está na ordem das unidades de milhar). Outra definição é a de valor absoluto, que é o valor do algarismo, independentemente da posição que ele ocupa. Por exemplo, o valor absoluto do algarismo 4 nos números 5.437 e 4.357 é o mesmo, ou seja, o valor absoluto é 4. 76.893: lê-se setenta e seis mil e oitocentos e noventa e três 238 MATEMÁTICA I 6º Ano A origem do número zero O número zero surgiu da necessidade de representar o vazio. Vários povos perceberam, em momentos diferentes, que era preciso criar um símbolo para representar o nada. Os babilônicos representavam o zero com um espaço vazio (por exemplo, 506 era escrito como 5 6). Mas isso gerava um grande problema, pois a representação do número 506 era facilmente confundida com a do 56 ou a do 5.006. Apesar de vários povos necessitarem de uma forma de representar o zero, sua consolidação como símbolo numérico é atribuída aos hindus. A criação do zero é considerada um dos maiores marcos da Matemática. © To m is la v Z id an ic /i St oc k CONTEXTUALIZANDO O sistema decimal feito de madeira D om ín io P úb lic o/ W ik im ed ia Maria Montessori foi uma das primeiras pessoas a utilizar o material dourado para representar o sistema decimal. Esse material era assim chamado por causa da cor da madeira em que era confeccionado, sendo dividido em partes originalmente conhecidas como unidade, dezena, centena e milhar. Atualmente, usa-se outra nomenclatura para cada peça, como os termos “cubinho” (unidade), “barra” (dezena), “placa” (centena) e “cubão” (milhar). Essa liberdade na nomenclatura permite fixar o valor 1 para peças diferentes, podendo assim introduzir a ideia de números decimais e fracionários. Utilizando-as de forma correta, é possível efetuar as quatro operações principais (soma, subtração, divisão e multiplicação) sem muita difi- culdade. Além disso, pode-se “montar” um número e decompor segundo suas classes. Um exemplo seria o número 234, que poderia ser representado de maneira mais simples por 2 placas, 3 barras e 4 cubinhos. APROFUNDANDO © C le m at yt ed us ud /i W ik im ed ia 239 Sistemas de numeração Capítulo 1 Diferente no Brasil e nos Estados Unidos Você sabia que a maneira utilizada para separar as classes dos números no Brasil é diferente da dos Estados Unidos? Lá, os separadores de classes são as vírgulas, e aqui, são os pontos (para notas fiscais e documentos jurídicos e/ou oficiais) ou um pequeno espaço (para os demais casos). Na indicação de números decimais, também existe diferença: enquanto nos EUA se utiliza o ponto, no Brasil, utiliza-se a vírgula. Então: • O número 1.234 é lido nos Estados Unidos como “um inteiro, duzentos e trinta e quatro milésimos”. No Brasil, ele é lido como “mil duzentos e trinta e quatro” (escrito também sem o ponto, como 1 234). • O número 1,234 é lido nos Estados Unidos como “mil duzentos e trinta e quatro”. No Brasil, ele é lido como “um inteiro, duzentos e trinta e quatro milésimos”. As calculadoras científicas utilizam a regra norte-ame- ricana. Portanto, caso a utilize, esteja atento(a): as vírgulas são utilizadas para separar as classes do numeral. CONTEXTUALIZANDO © D N Y 59 /i St oc k Exercícios conceituais 01. Transforme os números destacados nas afirmativas abaixo em algarismos romanos: a. O Pico da Neblina, localizado na Serra do Imeri, ao norte do Amazonas, é um dos pontos mais altos do Brasil, com aproximadamente 2.993 metros de altitude. b. A área do estado do Rio de Janeiro é de aproximada- mente 43.696 quilômetros quadrados. c. Amanda comprou 5.000 salgadinhos e 880 docinhos para fazer uma festa. 02. Reescreva os números romanos abaixo utilizando o sistema de numeração indo-arábico: a. XX. b. CCCVII. c. CMXLIV. d. DCLIX. e. MMMDCCCLXXXIX. 03. Descubra o número seguindo as pistas abaixo: • O número possui sete ordens; • nas duas primeiras ordens, os algarismos são nulos; • o algarismo de maior valor posicional é o 1; • o algarismo da unidade de milhar é o 5; • o algarismo 8 tem valor posicional 80.000; • o algarismo das centenas é igual ao algarismo das dezenas de milhar; • o algarismo 2 está presente no número. 04. Em relação ao número 46.718.923, relacione a coluna da esquerda com a da direita: (I) Quantidade de ordens que o número possui. ( ) 7 (II) Quantidade de classes que o número possui. ( ) 8 (III) Algarismo que se encon- tra na ordem das centenas de milhar. ( ) 4 (IV) Algarismo que se encon- tra na maior ordem. ( ) 3 Escreva o número por extenso. 240 MATEMÁTICA I 6º Ano © A nd re aA st es /i St oc k 05. Um número pode ser decomposto em suas classes e ordens. Como exemplo, temos o seguinte: 413 = 4 centenas simples + 1 dezena simples + 3 unidades simples. Seguindo esse modelo, decom- ponha os números a seguir: a. 403. b. 4.123. c. 46.783. d. 450.990. Exercícios contextualizado s 01. A lenda do saci-pererê data do fim do século XVIII. O saci é uma criança negra de uma perna só, que aparece e desaparece quando quer. Diz a crença popular que dentro de todo redemoinho de vento há um saci. Os primeiros relatos em relação às suas aparições são da Região Sudeste, no século XIX. No texto apresentado, aparecem dois números representados no sistema de numeração romano. Reescreva-os no sistema de numeração indo-arábico. 02. A Estátua da Liberdade, patri- mônio mundial da Unesco e monumento que celebra a Declaração de Indepen- dência dos Estados Unidos, carrega na sua mão esquerda uma tábua com os dizeres “July IV MDCCLXXVI”, que é o Dia da Independência dos EUA. Escreva essa data no sistema de numeração indo-arábico. 03. Júlio César percebeu um erro ao observar a quantidade de prisioneiros feitos na última batalha. Na placa, a letra C estava à esquerda da letra D, mas deveria ter sido colocada imediatamente à direita dessa letra. Considerando essas informações, mostre que o número informado é diferente do número correto e determine quantos prisioneiros a mais ou a menos foram infor- mados na placa. E NA ÚLTIMA BATALHA FORAM FEITOS MCDV PRISIONEIROS 04. O Amazonas é o estado de maior área territorial do país, com aproximadamente 1.559.162 quilômetros quadrados. De acordo com o Censo de 2010, sua população é de 3.483.985 habitantes. © bl ac kd ov fx /i St oc k Na informação anterior, dois números estão em des- taque. Escreva-os por extenso. 241 Sistemas de numeração Capítulo 1 05. A distância entre a Terra e a Lua é de 384.401 quilôme- tros, aproximadamente. Se utilizássemos escadas de 2 metros para medir essa distância, seriam necessárias, aproximadamente, cen- to e noventa e dois milhões de escadas. Reescreva o número destacado utilizando os símbo- los indo-arábicos. 06. No Censo de 2010, o IBGE registrou que a populaçãobrasileira era de 190.755.799 pessoas. Observando o número citado, qual é o valor posicional dos algarismos 9 presentes nele? E o valor absoluto de cada um? 07. Em uma aula de Geografia, os alunos descobriram que há 5.565 municípios no Brasil. Decompondo esse número nas suas diversas ordens, obtêm-se: (A) 5 unidades de milhar e 565 unidades de centenas. (B) 5 unidades de milhar e 565 unidades simples. (C) 55 unidades de dezenas e 65 unidades simples. (D) 5 unidades de milhar e 5 unidades de dezenas. 08. Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quan- tidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na figura I, o quipus representa o número decimal 2.453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. Quipus corda principal corda pendente milhares centenas dezenas unidades figura I figura II Di sp on ív el e m : < w w w .c ul tu ra pe ru an a. co m .b r> . A ce ss o em : 1 3 de z. 2 0 12 .( ad ap ta do ) Qual é o número da representação do quipus da figura II, em base decimal? 09. O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura: milhar centena dezena unidade 0 9 8 7 1 2 3 4 6 5 0 9 8 7 1 2 3 4 6 5 0 1 2 3 9 8 7 6 4 5 0 1 2 3 9 8 7 6 4 5 A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto de 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassa- do pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é: (A) 2.614. (B) 3.624. (C) 2.715. (D) 3.725. 242 MATEMÁTICA I 6º Ano 10. O material dourado é um dos materiais criados por Maria Montessori. Ele se baseia nas regras do sistema de numeração, inclusive para o trabalho com múltiplos, sendo confeccionado em madeira e composto de cubos, placas, barras e cubinhos. O cubo é formado por dez placas, a placa, por dez barras, e a barra, por dez cubinhos. Esse material é de grande importância para o ensino do sistema de nume- ração decimal e facilita a aprendizagem dos algoritmos da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão. No ano de 2006, a população do município de Xapuri era de 13.893 habitantes. Para representar essa população da forma mais simples, em uma aula prática com o material dourado, uma professora precisou de cubos, placas, barras e cubinhos. Quantas peças de cada tipo foram utilizadas? Exercícios de aprofundamento 01. A contagem de bois Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, os bois são contados, tanto na chegada quanto na saída. Nesses lugares, há sempre um potreiro, ou seja, deter- minada área de pasto cercada de arame, ou mangueira, quando a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do potreiro, rente à cerca, os peões formam a seringa ou o funil, para afinar a fila, e então os bois vão entrando aos poucos na área cercada. Do lado interno, o condutor vai contando; diante dele está o marcador, peão que marca as reses. O condutor conta 50 cabeças e grita: — Talha! O marcador, com o auxílio dos dedos das mãos, vai marcando as talhas. Cada dedo da mão direita corres- ponde a 1 talha, e da mão esquerda, a 5 talhas. Quando entra o último boi, o marcador diz: — Vinte e cinco talhas! E o condutor completa: — E dezoito cabeças. Isso significa 1.268 bois. “Boiada, comitivas e seus peões”. O Estado de S. Paulo, ano VI, ed. 63, 21 dez. 1952 (adaptado). Para contar os 1.268 bois, de acordo com o processo descrito anteriormente, o marcador utilizou: (A) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda. (B) 20 vezes todos os dedos da mão direita. (C) todos os dedos da mão direita apenas uma vez. (D) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez. 02. Considere um número de dois algarismos. Colocando o algarismo 1 à esquerda dele, forma-se um novo número, diferente do original. O novo número é igual a: (A) cem vezes o número original, mais um. (B) dez vezes o número original, mais um. (C) cem unidades a mais que o número original. (D) uma unidade a mais do que o número original. Rascunho 243 Sistemas de numeração Capítulo 1 © ni ro m ak s/ iS to ck Objetivos – Identificar os conceitos de antecessor, sucessor e números consecutivos; – calcular a quantidade de números de uma sequência numérica; – definir o conjunto dos números naturais. – BNCC: EF06MA01. Organizar uma festa é sempre uma alegria. São vários preparativos: a definição da data e do horário, o local, o cardápio, as bebidas a serem servidas, os convidados etc. Normalmente, é feita uma lista de convidados. Em muitos casos, a lista é numerada (convidado 1, 2, 3, 4, ...) e assim se consegue determinar a provável quantidade de pessoas que irão à festa. Também se utilizaram números para fazer a contagem de elementos em outros casos, como o número da poltrona em uma sala de teatro, o número de chamada na lista de alunos da sua sala, o número de casas em uma rua, a quantidade de afazeres domésticos etc. Esses números (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 25, ..., 768, ...) são os chamados números naturais e pertencem ao conjunto , que será estudado neste capítulo. Quantas pessoas serão convidadas para a sua festa de aniversário? O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS () 6o ANO CAPÍTULO 2 MATEMÁTICA I 1. O conjunto dos números naturais O conjunto utilizado para contar elementos é denominado conjunto dos números naturais, sendo representado pelo símbolo . O termo “natural” se deve ao fato de a contagem de objetos de uma em uma unidade aparecer naturalmente nas experiências de vida (já se sabe que o zero não surgiu da necessidade de fazer contagens, mas ele pertence ao conjunto dos números naturais porque atende às mesmas propriedades dos demais). Para construir o conjunto dos números naturais, iniciamos com o número 0 (zero), que representa a ausência de objetos, e seguimos acrescentando sempre uma unidade ao número anterior. Assim: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., 101, 102, 103, ..., 1.998, 1.999, ...} Repare que o zero é o menor dos números naturais, e que esse conjunto é infinito para a direita, ou seja, não tem limite superior (não é possível determinar o maior número natural). 2. Sucessor e antecessor de um número natural O sucessor de um número natural dentro do conjunto , vem imediatamente após o número em questão. Dessa forma, para determinar o sucessor de um número natural, deve-se acrescentar uma unidade a ele. Ex.: a. O sucessor do número 0 é o 1. b. O sucessor do número 99 é o 100. c. O sucessor do número 7.657 é o 7.658. Logo, o sucessor de qualquer número natural é igual a ele mesmo adicionado a uma unidade. Não é possível determinar o maior elemento do conjunto dos números naturais. Assim, todos os números naturais possuem sucessor. O antecessor de um número natural dentro do conjunto , é imediatamente anterior ao número em questão. Assim, para determinar o antecessor de um número natural, deve-se subtrair uma unidade dele. Ex.: a. O antecessor do número 1 é o 0. b. O antecessor do número 900 é o 899. c. O antecessor do número 7.651 é o 7.650. Logo, o antecessor de qualquer número natural é igual a ele mesmo subtraído de uma unidade. É possível observar que o único número natural que não possui antecessor natural é o zero. 7, 8, 9... 245 O conjunto dos números naturais () Capítulo 2 3. Números consecutivos Números naturais que são ordenados um após o outro, com somente uma unidade de diferença entre cada um e o seu subsequente, são chamados números consecutivos. Ex.: a. Os números 1, 2 e 3 são consecutivos.b. Os números 4.345 e 4.346 são consecutivos. c. Os números 999, 1.000, 1.001 e 1.002 são consecutivos. d. O antecessor de um número natural, o próprio número e seu sucessor são consecutivos. Portanto, se x é um número natural qualquer, então x − 1, x e x + 1 são consecutivos. É possível representar os números consecutivos, também, por x, x + 1, x + 2, e assim sucessivamente. 4. Representação do conjunto dos números naturais () Representando o conjunto na reta numérica: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Nessa reta, o zero representa a origem. A distância entre dois números “vizinhos” é sempre a mesma (uma unidade). Pode-se dizer que, no conjunto , o maior número é sempre o que estiver mais afastado do zero. Logo, conclui-se que um número é sempre maior que os demais à sua esquerda. A reta numérica também pode ser utilizada para comparar os números. Por exemplo, comparando os números 1 e 8, 1 é menor que 8, ou seja, 1 < 8. Agora, se o mesmo for feito com os números 13 e 7, 13 é maior que 7, ou seja, 13 > 7. De posse do conjunto dos números naturais, é possível construir outros, como o dos números pares e o dos números ímpares. Ex.: a. Conjunto dos números pares: {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...} b. Conjunto dos números ímpares: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, ...} Note que os números pares sempre terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. Já os números ímpares, em 1, 3, 5, 7 ou 9. © vm /i St oc k 246 MATEMÁTICA I 6º Ano 5. Quantidade de números de uma sequência Se uma pessoa quisesse determinar a quantidade de números de uma sequência, como ela o faria? Escreveria todos os números e depois contaria de um em um? Essa é uma possibilidade. Entretanto, para sequências muito grandes, tal método pode ser cansativo e demorado. A seguir, veja alguns exemplos: Ex. 1: De um número até outro. – Quantos números há de 1 até 7? “De um número até outro” inclui os dois números das extremidades dessa sequência. Assim, a sequência é formada por (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Existem, portanto, sete números. – Quantos números há de 63 até 78? 62 76 787775 79 8063 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 A sequência é (63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78). São, então, 16 números. Como se pode generalizar, ou seja, criar uma estratégia válida para todos os casos em que é necessário determinar a quantidade de números de um até outro? Pelo gráfico anterior, é possível perceber que foram considerados os números naturais até o número 78. De 1 até 78 existem 78 números. Foram excluídos dessa sequência todos os valores menores que 63, ou seja, 62 números (de 1 a 62). Assim, 78 – 62 = 16 números. Então, nesse tipo de sequência, é necessário subtrair, do maior número, o ante- cessor do menor deles. Utilizando esse método, responda: quantos números existem do número 43 até o 654? Solução: 654 – (43 – 1) = 654 – 42 = 612 números. Em resumo: Qn = maior número − (menor número − 1) Obs.: Qn será a abreviação para “quantidade de números”. Ex. 2: Entre dois números naturais. – Quantos números há entre 1 e 7? “Entre dois números” exclui os dois números das extremidades dessa sequência. Assim, a sequência é formada por (2, 3, 4, 5, 6). Existem, portanto, cinco números. — Quantos números há entre 63 e 78? 62 76 787775 79 8063 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 A sequência é (64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77). São, então, 14 números. E agora? Como é possível generalizar para todos os casos em que é necessário determinar a quantidade de números naturais existentes entre dois números? Pelo gráfico anterior, é possível perceber que foram considerados os números naturais até o número 77, ou seja, o antecessor de 78. De 1 até 77 existem 77 números. Foram excluídos dessa sequência todos os valores menores que 64, ou seja, 63 números (de 1 até 63). Assim, 77 – 63 = 14 números. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 247 O conjunto dos números naturais () Capítulo 2 Então, nesse tipo de sequência, é necessário subtrair, do antecessor do maior número, o menor deles. Utilizando esse método, responda o seguinte: quantos números existem entre os números 43 e 654? Solução: (654 – 1) – 43 = 653 – 43 = 610 números. Em resumo: Qn = (maior número − 1) − menor número Ex. 3: De um número inclusive até outro exclusive. – Quantos números há de 1, inclusive, até 7, exclusive? A palavra inclusive coloca o número dentro da sequência. Já a palavra exclusive retira o número da sequência. Então essa sequência é formada pelos números (1, 2, 3, 4, 5, 6). Nela, existem seis números. – Quantos números há de 63, inclusive, até 78, exclusive? 62 76 787775 79 8063 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 A sequência é (63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77). São, então, 15 números. Nesse caso, qual seria a generalização? Pelo gráfico anterior, é possível perceber que foram considerados os números naturais até o número 77, ou seja, o antecessor de 78, porque se exclui o 78. De 1 até 77 existem 77 números. Foram excluídos dessa sequência todos os valores menores que 63, ou seja, 62 números (de 1 até 62). Assim, 77 – 62 = 15 números. Então, nesse tipo de sequência, é necessário subtrair, do antecessor do maior número, o antecessor do menor deles. Utilizando esse método, responda: quantos números existem do número 43, inclusive, até o 654, exclusive? Solução: (654 – 1) – (43 – 1) = 653 – 42 = 611 números. Em resumo: Qn = (maior número − 1) − (menor número − 1) 6. Quantidade de algarismos de uma sequência numérica Para escrever o número 453, utilizam-se três algarismos. A partir dessa frase, é possível concluir que número é uma união de algarismos empregados para descrever quantidades. Os algarismos são os “símbolos” usados para escrever os números. No sistema indo-arábico, existem dez algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Então: – o número 3 é formado pelo algarismo 3; – o número 42 é formado por dois algarismos: 4 e 2; – o número 567 é formado por três algarismos: 5, 6 e 7; – o número 1.000 é formado por quatro algarismos: 1, 0, 0 e 0. 0 1 2 3 4 5 6 7 © To lim ir/ iS to ck 248 MATEMÁTICA I 6º Ano Como é possível determinar a quantidade de algarismos utilizados para escrever uma sequência numérica? Considere a seguinte situação: um aluno deseja numerar as páginas do seu caderno, começando no número 1 e terminando no número 213. Quantos algarismos ele utilizará? Nessa sequência, existem números de um algarismo (de 1 até 9), de dois algarismos (de 10 até 99) e de três algarismos (de 100 a 213). Para facilitar, será feita uma tabela da seguinte maneira: I. Inicialmente, dividem-se os números por tipos (quantidades de algarismos): um algarismo, dois, três, e assim por diante. Cada linha da tabela correspon- derá a um desses tipos. II. Determina-se a sequência relacionada a cada tipo. Por exemplo, do número 1 até 213, temos: – sequência com números formados por um algarismo: de 1 até 9; – sequência com números formados por dois algarismos: de 10 até 99; – sequência com números formados por três algarismos: de 100 até 213. III. Determina-se a quantidade de números existentes em cada sequência anterior. IV. Determina-se a quantidade de algarismos existentes em cada sequência anterior. Nesse exemplo, temos: – nove números formados por um algarismo (então são necessários nove algarismos para escrevê-los); – 90 números formados por dois algarismos (então são necessários 90 × 2, ou seja, 180 algarismos para escrevê-los); – 114 números formados por três algarismos (então são necessários 114 × 3, ou seja, 342 algarismos para escrevê-los). No total, serão necessários 9 + 180 + 342, isto é, 531 algarismos. A tabela ficaria assim: Tipos de número Sequências Quantidades de números Algarismos um algarismo de 1 até 9 9 – 0 = 9 9 × 1 = 9 dois algarismos de 10 até 99 99 – 9 = 90 90 × 2 = 180 três algarismos de 100 até 213 213 – 99 = 114 114 × 3 = 342 total 213números 531 algarismos 249 O conjunto dos números naturais () Capítulo 2 Arredondamento Muitas situações cotidianas envolvendo valores destinados à contagem podem ser facilitadas utilizando arredondamento. Essa técnica simplifica a estimativa de quantidades, como veremos no exemplo a seguir. De acordo com algumas pesquisas, temos os valores gastos em aparelhos eletrônicos em todo o mundo, em determinados anos: Anos Valores gastos (em reais) em tecnologia pela população 2009 23.079.658.983 2010 32.999.870.591 2011 56.123.994.706 Agora, imagine que você precisa escrever um artigo para o jornal da escola apresentando esses valores. Nesse caso, é melhor utilizar o arredondamento para facilitar a comunicação. Portanto, em seu artigo, você poderia informar que, em 2009, a população gastou aproximadamente 23 bilhões de reais; já em 2010, foram gastos quase 33 bilhões e, e em 2011, aproximadamente 56 bilhões de reais. Repare que estamos usando o conceito de classe, estudado anteriormente, para arredondar os números. CONTEXTUALIZANDO Exercícios conceituais 01. Liste a sequência numérica formada por quatro números consecutivos em que o maior deles é 3.300. 02. Escreva o antecessor e o sucessor de cada número abaixo: a. 213. b. 1.000. c. 2.018. d. 300. e. 149. f. 299. 03. Explique com suas palavras a diferença entre cada processo para definir a quantidade de números de uma sequência de um número até outro, entre dois números e de um número, inclusive, a outro, exclusive. 04. Demonstre o processo para determinar quantos números naturais escrevemos nas sequências abaixo: a. De 23 até 100. b. Entre 46 e 786. c. De 44, inclusive, até 645, exclusive. 05. Calcule o número de algarismos que escrevemos em cada sequência abaixo: a. De 23 até 156. b. Entre 4 e 376. 250 MATEMÁTICA I 6º Ano Exercícios contextualizado s 01. Beca estava em casa vendo televisão, quando, de repente, a campainha tocou. Sua mãe lhe pediu que atendesse. Era o funcionário da companhia de energia, que precisava verificar a leitura do medidor de energia. Ela resolveu acompanhá-lo e, juntos, verificaram que, naquele momento, havia uma alteração do algarismo mais à direita. O funcionário ficou em dúvida e resolveu registrar a medição mais baixa. Escreva a leitura do medidor de energia da casa de Beca por extenso. 02. Os relógios digitais mostram horas de 0 0 : 0 0 a t é 2 3 : 5 9 . A f igura a seguir mostra um relógio digital marcando um horário formado por algarismos consecutivos em ordem crescente. Outro horário mostrado por esse relógio, com algaris- mos consecutivos em ordem crescente, é: (A) 01:02. (B) 12:13. (C) 23:24. (D) 23:45. 03. Compreender e identificar o valor relativo dos algarismos no numeral é importante para fazer arredondamentos e estimativas. Por exemplo, você sabe quantos habitantes existem na Terra? Uma estimativa de 7.125.345.023 tem quase tanto valor quanto uma estimativa que se refere somente ao valor relativo do primeiro algarismo. Qual seria esse valor? © M ike_Kiev/iStock 04. Em determinados lugares, a numeração das casas é feita da seguinte forma: do lado direito da rua, elas são numeradas com números pares consecutivos, iniciando no número 2; do lado esquerdo, números ímpares consecutivos, começando no número 1. Maria mora ao lado de Mário, mas a placa da casa de Maria está com um adesivo no último número. Então, se Mário mora na casa 123 e a casa de Maria está antes da dele, qual é o número da casa de Maria? 05. Em uma rua existem oito casas do lado esquerdo. Os números dessas casas são números naturais ímpares e consecutivos. A casa de maior número é a 145. Responda: a. Quais são os números das duas primeiras casas? b. Represente os números de todas as casas em uma reta numérica. c. Escreva o número da penúltima casa por extenso. 06. Para realizar um concurso, cada candidato recebeu um informativo contendo o seu número de inscrição. Na cidade de Aracaju, em Sergipe, esses números variaram entre 99 e 234, e todos foram distribuídos. Assim, quantos candidatos aracajuanos participaram do concurso? 07. Em dois dias, Duda leu da página 132 até a 276 de um livro. Quantas páginas ela leu nesse tempo? 08. Antônio e Renata moram na mesma rua. Ele, na casa 23, e ela, na 175. Os números de todas as casas são consecutivos e estão divididos, entre os dois lados, em pares ou ímpares. Quantas casas há entre a casa de Antônio e a de Renata? 09. Arnaldo é dono de um pequeno teatro. Ele deseja numerar todas as poltronas do local. Para isso, precisará comprar placas que possuem um só algarismo, fazer as combinações e colocar nas poltronas. Poltronas de 1 a 9 terão somente uma placa. Sabendo que nesse teatro há 77 poltronas, quantas placas serão utilizadas? © pi dj oe /i St oc k 0 2 9 1 7 3 455 4 kWh © Er do sa in /i St oc k 251 O conjunto dos números naturais () Capítulo 2 10. Qual é a quantidade de algarismos necessária para numerar o livro do 6o Ano da página 1 até a 249? Exercícios de aprofundamento 01. Fernando percebeu que, para descobrir o sentido de crescimento dos números das casas de determinada rua, bastava posicionar-se de modo perpendicular a elas (ou seja, como se andasse pela calçada da rua de um quarteirão a outro). Com o seu lado direito dirigido a uma casa de número par, os números das casas das ruas crescem à sua frente. Fernando, confuso, posicionou seu lado direito próximo à casa de número 113. Assim, as casas 76, 105, 120, 249 e 345 estão, respectivamente: (A) à sua direita, à frente; à sua esquerda, à frente; à sua esquerda, atrás; à sua direita, atrás; à sua direita, atrás. (B) à sua direita, à frente; à sua esquerda, à frente; à sua esquerda, atrás; à sua direita, atrás; à sua direita, à frente. (C) à sua esquerda, à frente; à sua direita, à frente; à sua esquerda, atrás; à sua direita, atrás; à sua direita, atrás. (D) à sua esquerda, atrás; à sua direita, atrás; à sua esquerda, atrás; à sua direita, à frente; à sua direita, à frente. 02. Para numerar as páginas de um livro, foram utili- zados 660 algarismos. Considerando que a primeira página foi numerada com o algarismo 1, quantas páginas contém esse livro? Rascunho 252 MATEMÁTICA I 6º Ano © 27 9p ho to /i St oc k Objetivos – Identificar os conceitos de adição e subtração; – efetuar cálculos que envolvam situações e problemas de adição e subtração. – BNCC: EF06MA03. Imagine, por exemplo, que você pede um prato que custa 20 reais, um suco que custa 4 reais e uma fruta que custa 3 reais em um restaurante. Como você calcula o preço total da sua refeição? E se você tiver um cupom de desconto no valor de 2 reais, como isso afeta a sua conta? Para resolver o primeiro problema, usa-se a operação de adição (20 + 4 + 3 = 27) e, para resolver o segundo, usa-se a subtração (27 – 2 = 25). Neste capítulo, estudaremos as principais propriedades dessas duas operações. Você sabe calcular o valor da conta de uma refeição no restaurante? Sabe como aplicar um desconto? OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 6o ANO CAPÍTULO 3 MATEMÁTICA I 1. Adição de números naturais Propõe-se o seguinte problema: A mãe de Luquinha preparará uma torta de queijo em que são usados 200 gramas de queijo parmesão na massa e outros 300 gramas no recheio. Então, quantos gramas de queijo serão necessários para preparar a torta? Resposta: _______________________________ Para resolver esse problema, juntam-se as quantidades, ou seja, adicionam-se 200 e 300, o que totaliza 500. Logo, serão necessários 500 gramas de quei jo para fazer a tor ta . Esse cá lcu lo (200 + 300 = 500) é chamado de adição. A adição de números naturais é uma operação matemática que tem por finalidade reunir, acrescentar valores ou quantidades para obter um total. O símbolo que a representa é “+”. Nela, os termos adicionados são denominados parcelas, e o resultado, soma ou total. Assim, na soma 200+ 300 = 500, tem-se: 200 → 1a parcela 300 → 2a parcela 500 → soma ou total + 2. Subtração de números naturais Considere, agora, outra situação: Quantos anos faltam para uma pessoa com 11 anos de idade completar 50 anos, ou seja, quanto se deve somar à sua idade para totalizar 50 anos? Resposta: _______________________________ No problema, são citados a idade atual e o resultado. Para responder a essa questão, deve-se pensar o contrário da situação anterior; é preciso saber “quanto falta”, ou, ainda, quantos anos a menos essa pessoa tem em relação a 50 anos. Se ela tem 11 anos, conclui-se que faltam 39 anos para completar 50, pois 50 – 11 = 39. Essa operação chama-se subtração e é a operação inversa da adição. Nela, o primeiro termo é chamado de minuendo, o segundo é denominado subtraendo e o resultado recebe o nome de resto ou diferença. Assim: 39 → resto ou diferença 50 → minuendo 11 → subtraendo − 3. Propriedades operatórias Neste tópico, serão explicadas as propriedades da adição, com exemplos. O objetivo não é que se “decorem” esses nomes, mas que sejam entendidas as características da adição, observando se elas também se aplicam à subtração. 3.1 Propriedade comutativa Considere duas situações: I. Teo tem 56 figurinhas e ganha outras 13. Registre a operação utilizada para determinar a quantidade de figurinhas com que ele ficou, no total, e determine o seu resultado. Resposta: _______________________________ © al le 12 /i St oc k © vl ad vv m /i St oc k 254 MATEMÁTICA I 6º Ano II. Teo tem 13 figurinhas e ganha outras 56. Registre a operação utilizada para determinar a quantidade de figurinhas com que ele ficou, no total, e determine o seu resultado. Resposta: _______________________________ Em ambas, o total de figurinhas que Teo passa a ter é o mesmo. Esse é um exemplo da propriedade comutativa da adição. Em uma adição de números naturais (), a ordem das parcelas não altera a soma ou total. Será que a propriedade comutativa é válida para a subtração? Suponha as situações: I. Torugo tem 70 figurinhas e, jogando com seu colega, perde 13. Com quantas figurinhas ele fica? Registre a operação e determine o resultado. Resposta: _______________________________ II. Torugo tem 13 figurinhas e, jogando com seu colega, perde 70. Essa situação é possível? Por quê? Resposta: _______________________________ Em qualquer subtração envolvendo números naturais, o minuendo precisa ser maior que o subtraendo, porque não é possível subtrair um número maior de um número menor. Então, a segunda situação não é possível dentro do conjunto dos números naturais e, portanto, a propriedade comutativa não se aplica à subtração. 3.2 Propriedade associativa E para somar três ou mais quantidades, a ordem importa? Em uma festa na qual cada convidado deverá levar alguns salgados, Duda leva 45 coxinhas, Beca leva 35 coxinhas e a mãe de Beca leva outras 25. Para determinar a quantidade de coxinhas que as três levaram, o que deve ser feito? Contar de uma em uma? Somar as três quantidades? Se somar as três quantidades, começar a soma por qual dos termos? Por quê? O resultado seria diferente caso a soma começasse pela quantidade comprada por alguma outra pessoa dentre as três? Registre seus comentários e conclusões. Intuitivamente ou fazendo os cálculos, percebe-se que o total não seria diferente. Essa é uma aplicação da propriedade associativa da adição, que diz o seguinte: Em uma adição de três ou mais números naturais, eles podem se asso- ciar de formas diferentes sem que a soma se altere. Outra aplicação da propriedade associativa da adição é a que permite que cálculos mentais sejam realizados com mais facilidade. Considere a soma 117 + 239. Sabe-se que 117 = 100 + 10 + 7 e que 239 = 200 + 30 + 9. Somando essas quantidades, tem-se: 117 + 239 = 100 + 10 + 7 + 200 + 30 + 9 = 356. Utilize o leitor óptico do seu celular para assistir à videoaula. https://bit.ly/2VenB2f 255 Operações com números naturais: adição e subtração Capítulo 3 A propriedade associativa permite fazer alterações nas associações dos termos sem que o resultado seja alterado. Então: (100 + 200) + (10 + 30) + (7 + 9) = 300 + 40 + 16 = 356. Com esse método, é possível calcular diferentes somas mentalmente. Agora, calcule 324 + 667, utilizando a ideia da decomposição de acordo com as ordens do numeral e a propriedade associativa. Resposta: _______________________________ Cabe verificar se a propriedade associativa é válida para a subtração. Luquinha tem 23 balas; dá 12 para Teo e 5 para seu vizinho. Com quantas balas ele fica? Resposta: _______________________________ Agora, altere a ordem de resolução das operações e verifique se o resultado continua o mesmo. O que aconteceu? Resposta: _______________________________ Quando se altera a ordem de resolução das operações, o resultado não se mantém. Por exemplo, (23 – 12) – 5 ≠ 23 – (12 – 5), porque 6 ≠ 16. Logo, a propriedade associativa não é válida para a subtração. 3.3 Propriedade do fechamento Reflita e registre suas conclusões: ao se somarem dois ou mais números naturais, sempre se obtém um número natural como resultado? É sempre possível somar dois ou mais números naturais tendo como resultado um número natural? Resposta: _______________________________ Com essas afirmações verdadeiras, demonstra-se a propriedade do fechamento da adição. Na adição de números naturais, o resultado será sempre um número natural. E na subtração de números naturais, sempre se obtém como resultado um número natural? O que você pensa sobre isso? Resposta: _______________________________ Já foi proposta uma situação em que não foi possível determinar a quantidade de figurinhas que restaram. Na segunda situação do tópico 3.1, quando se verifica se a propriedade comutativa é válida para a subtração, percebe-se que a operação 13 – 70 não possui resultado pertencente ao conjunto dos números naturais. Logo, nem toda subtração com números naturais tem como resultado um número natural. Portanto, a propriedade do fechamento não é válida para a subtração. 3.4 Propriedade do elemento neutro A palavra “neutro” remete a algo que não altera deter- minada situação; ela sugere uma ausência de mudanças. É esse o sentido do elemento neutro: não alterar qualquer outro número. Então, qual seria o número que não altera o outro em uma adição? Resposta: _______________________________ Quem respondeu zero acertou. O zero é “neutro” em uma adição, ou, ainda, segundo a propriedade do elemento neutro: Em uma adição de um número natural com zero, a soma terá como resultado o próprio número. Logo, o elemento neutro da adição é o zero. Então, será que existe elemento neutro da subtração? Seria previsível pensar no zero também, afinal, subtraindo-se zero de qualquer número natural, obtém-se como resultado o próprio número natural. No entanto, se de zero for subtraído qualquer número natural, não se obterá o próprio número como resultado. Se de 50 unidades se tirar “zero” unidade, permanecem as 50 unidades; porém, se de “zero” unidade forem tiradas 50 unidades, o que acontece? Essa operação não é possível no conjunto dos números naturais, e, portanto, não existe elemento neutro da subtração. 256 MATEMÁTICA I 6º Ano Cálculos mentais Você já pensou que pode agilizar os cálculos mentais utilizando a adição e a subtração? Por exemplo, como você faria para somar 1.998 unidades a um número qualquer? Ora, basta somar 2.000 unidades e subtrair 2, 1.998 = 2.000 – 2. Assim: 1.345 + 1.998 = 1.345 + 2.000 – 2 = 3.345 – 2 = 3.343. Vejamos outros exemplos: • 43 + 17 = 43 + 20 – 3 = 63 – 3 = 60. • 567+ 238 = 567 + 240 – 2 = 500 + 60 + 7 + 200 + 40 – 2 = (500 + 200) + (60 + 40) + (7 – 2) = 700 + 100 + 5 = 805. Agora, tente você! Calcule 3.456 + 1.148 mentalmente. Fácil e rápido, não? APROFUNDANDO Exercícios conceituais 01. Um curso de idiomas oferece duas opções: inglês e espanhol. Carina, queera recepcionista do curso, fez o levantamento do número de alunos e coletou os seguintes dados: Inglês Espanhol Manhã 87 88 Tarde 53 93 Noite 146 137 Sabendo que não há pessoas matriculadas em mais de um curso e turno, quantos alunos estavam matricula- dos, no total? 02. Explique, com suas palavras, cada propriedade operatória aprendida no capítulo – comutatividade, associatividade, fechamento e elemento neutro – e dê exemplos. 03. Em uma empresa de calçados, há três unidades de produção. Na primeira unidade, há 1.234 funcionários; na segunda, 938 funcionários; e, na terceira, 735 funcio- nários. No final do ano, em razão da crise econômica, foram demitidos 547 funcionários. Demonstre com seus cálculos como determinar a quantidade de funcionários que estavam trabalhando nessa empresa em janeiro. 04. O quadrado mágico é uma tabela com o mesmo número de linhas e colunas na qual a soma dos números das linhas, colunas e diagonais é sempre a mesma. Seguindo essa propriedade, complete o quadrado mágico abaixo com os números adequados: 2 6 5 8 05. Desenvolva seu raciocínio e mostre como é possível fazer o cálculo mental das operações abaixo: a. 260 + 715 = b. 1.898 + 567 = c. 1.856 – 523 = Balança comercial “Balança comercial” é um termo da área de Economia que representa a diferença entre as importações e as exportações de bens de um país. Dizemos que a balança comercial de determinado país está favorável quando este exporta (vende para outros países) mais do que importa (compra de outros países). Do contrário, dizemos que a balança comercial é negativa ou desfavorável. A balança comercial favorável apresenta vantagens para um país, pois atrai moeda estrangeira, além de gerar empregos. CONTEXTUALIZANDO © Fr ed ex 8 /i St oc k 257 Operações com números naturais: adição e subtração Capítulo 3 Exercícios contextualizado s 01. O 6o Ano do Colégio Arco-Íris fez uma prova de Matemática valendo 8 pontos. Carolina, a professora da turma, organizou todas as notas em uma tabela. Pontuação na prova (nota) Quantidade de alunos 3 2 5 10 6 6 7 15 8 12 total de pessoas 45 Se a média do colégio é 6,0, quantos alunos tiraram uma nota maior ou igual à média? 02. Aurelena era uma senhora muito simpática que adorava ir ao mercado. Quando ia, tinha o hábito de anotar os produtos que escolhia ao lado de seu preço. Então, em um dia de compras, ela fez as seguintes anotações: Produto Preço 1 kg de açúcar R$3,00 1 pacote de biscoitos R$3,00 1 detergente R$2,00 1 refrigerante R$6,00 1 L de leite R$4,00 1 pacote de pão R$5,00 Dona Aurelena usou uma nota de R$100,00 para pa- gar sua conta. A caixa do mercado perguntou-lhe se ela tinha R$3,00 para facilitar o troco, e a resposta foi afirmativa. Qual foi o troco de Dona Aurelena? 03. Íris é dona de uma loja de produtos naturais. Ao final de cada mês, ela faz o balanço de suas vendas para repor seu estoque. Íris resolveu montar o gráfico dos principais produtos da loja: Produtos mais vendidos em abril 180 quantidade de produtos mate linhaça cereal granolamel 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Sabendo que os demais produtos, não representados no gráfico, somam 775, quantos produtos foram ven- didos no mês de abril? 04. Um elevador tem capacidade para 420 kg. Dentro dele, já estão três pessoas, com massas de 55 kg, 72 kg e 85 kg. Fora dele, estão seis pessoas, com massas de 48 kg, 53 kg, 58 kg, 67 kg, 75 kg e 98 kg. Para não desrespeitar a capacidade máxima do elevador, somente três pessoas entraram nele, que podem ser as de massa: (A) 48 kg, 53 kg e 98 kg. (B) 48 kg, 67 kg e 98 kg. (C) 53 kg, 58 kg e 98 kg. (D) 58 kg, 75 kg e 98 kg. 05. Em determinada região de um estado, há quatro cidades pequenas, cuja população está informada na tabela abaixo: Cidade População A 34.768 B 23.456 C 11.234 D 27.897 a. Quantas pessoas existem a mais na cidade com maior número de habitantes em relação à cidade com menor número de habitantes? b. Qual a população das quatro cidades juntas? 258 MATEMÁTICA I 6º Ano 06. Ana gostava muito de Geografia, principalmente de estudar as regiões brasileiras. Ela organizou os dados sobre as áreas aproximadas das regiões do Brasil em uma tabela, conforme mostrado a seguir: Região Área (em km2) Sul 576.409 Sudeste 924.210 Norte 3.853.397 Nordeste 1.554.257 Centro-Oeste 1.604.850 A menina resolveu somar todas as áreas, a fim de cal- cular a área total de nosso país. Utilizando esses da- dos, qual será o resultado encontrado? 07. Caroba tem peças em forma de cilindro de três tipos: brancas, de 2 cm de altura; azuis, de 3 cm de altura; e rosas, de 4 cm de altura. Com essas peças, ela pode montar torres de 10 cm de altura de várias maneiras diferentes, algumas delas ilustradas na figura. Descre- vemos cada torre listando as alturas de suas peças, de baixo para cima; por exemplo, as torres a seguir são descritas por (2, 2, 4, 2), (2, 4, 2, 2), (3, 2, 3, 2) e (2, 2, 2, 2, 2). 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 4 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 3 cm 2 cm 4 cm 2 cm 3 cm 2 cm Descreva todas as diferentes torres de 10 cm que Ca- roba pode fazer com três peças. 08. Um trem faz o percurso entre a Cidade do Sol e a Cidade da Lua em três horas. Entre as duas cidades, ele faz duas paradas: a primeira na Cidade do Papel, e a segunda na Cidade das Estrelas. O trem sai da Cidade do Sol com 432 passageiros. Ao chegar à Cidade do Papel, saem do trem 218 passageiros e sobem nele 57 passageiros. O trem prossegue viagem. Já na Cidade das Estrelas, descem do trem 97 passageiros e sobem 11 passageiros nele. Ao chegar à Cidade da Lua, quantos passageiros havia no trem? 09. É possível fazer cálculos e tirar conclusões sobre a balança comercial de alguns países. Em 2012, por exemplo, o Brasil exportou, aproximadamente, 243 bilhões de dólares e importou, aproximadamente, 224 bilhões. No ano citado, qual foi o saldo da balança comercial brasileira? Ele foi favorável ou desfavorável? 10. Henrique resolveu comprar um carro. Ele escolheu um modelo que, à vista, custava R$29.536,00. Como ele não tinha todo o dinheiro, resolveu dividir o valor do veículo em 10 vezes da seguinte maneira: a primeira prestação será de R$2.900,00, e as demais serão sempre R$120,00 a mais que a anterior. Assim, quantos reais Henrique pagou a mais pelo carro em relação ao preço à vista? Exercícios de aprofundamento 01. Na figura abaixo, temos uma circunferência cortada por 4 segmentos. Escreva os números de 1 a 9 nos círculos de modo que a soma dos números escritos em cada segmento seja sempre a mesma. 259 Operações com números naturais: adição e subtração Capítulo 3 02. Jogar baralho é uma atividade que estimula o racio- cínio. Um jogo tradicional é a paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente, são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, que tem sete cartas; e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que formam o monte é: (A) 21. (B) 24. (C) 26. (D) 28. Rascunho 260 MATEMÁTICA I 6º Ano Rascunho 261 Operações com números naturais: adição e subtração Capítulo 3 © g- st oc ks tu di o/ iS to ck Objetivos – Identificar os conceitos e as propriedades de multiplicação e divisão; – efetuar cálculos que envolvam situações e problemas de multiplicação e divisão. – BNCC: EF06MA03. Conta a lenda que, com apenas 10 anos de idade, o matemático Carl-Friedrich Gauss respondeu a essa pergunta em questão de poucos minutos. Como ele fez esse cálculo? Gauss percebeu um padrão na soma de pares de números: a soma do primeiro com o último número era igual a 101 (1 + 100 = 101), a do segundo com o penúltimo número era igual a 101 (2 + 99 = 101), a do terceiro com o antepenúltimo número também era igual a 101 (3 + 98 = 101), e assim por diante.Então, de 1 a 100, existem 50 pares de números cuja soma totaliza 101. Com isso, ele concluiu que somar todos os números naturais de 1 a 100 é o mesmo que somar 1 + 100 cinquenta vezes. O resultado da soma, portanto, seria: (1 + 100) × 50 = 101 × 50 = 5.050. Percebemos que Gauss resolveu um problema de soma de números naturais por meio de uma multiplicação. Neste capítulo, estudaremos a operação de multiplicação entre números naturais, que nada mais é do que uma soma efetuada várias vezes, e a operação de divisão, que é o inverso da multiplicação. Você consegue calcular a soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 mentalmente? OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 6o ANO CAPÍTULO 4 MATEMÁTICA I 1. Multiplicação dos números naturais A multiplicação está associada à adição de parcelas iguais. Por exemplo, seis irmãos recebem uma mesada de 50 reais cada um. Qual é o total gasto pelos pais com essas mesadas? Resposta: _______________________________ © ro dr ig ob el liz zi /i St oc k Podemos resolver esse problema com a operação 50 + 50 + 50 + 50 + 50 + 50 = 300. Entretanto, como as parcelas são todas iguais, também é possível escrever a operação de forma mais simples: 50 × 6 = 300. Nessa operação, o número 50 é chamado de multiplicando, o número 6, de multiplicador, e o resultado (300) recebe o nome de produto. Os números 50 e 6 também são chamados de fatores. 50 → multiplicando 6 → multiplicador 300 → produto fatores× A operação de multiplicação pode ser representada tanto pelo símbolo “×” como pelo símbolo “ . ” (um ponto). Portanto, expressões como 50 × 6 e 50 · 6 representam exatamente a mesma operação. 2. Divisão dos números naturais Em uma excursão com 60 pessoas, só estão disponíveis quartos quádruplos, ou seja, em cada quarto só podem ficar quatro pessoas. Quantos quartos seriam necessários, no mínimo? Resposta: _______________________________ © w el co m ia /i St oc k Nesse caso, o total de pessoas (60) deve ser dividido em grupos de quatro pessoas. Assim, efetuando-se a divisão 60 ÷ 4 = 15, será determinada a quantidade de quartos neces- sária, caso todos eles sejam ocupados pelo número máximo de pessoas. Logo, necessita-se de, no mínimo, 15 quartos. Essa operação indica que, ao dividir o número 60 em quatro partes iguais, obtém-se o resultado 15. Nessa operação, o número 60 é chamado de dividendo, o 4, de divisor, e o resultado, 15, de quociente. Assim: 60 0 4 15 dividendo resto → divisor → quociente → ← Para determinar o dividendo de uma divisão, basta multiplicar o divisor pelo quociente e somar o resultado ao resto. dividendo = (divisor × quociente) + resto 2.1 Divisão exata Na situação descrita anteriormente, foi possível dividir 60 pessoas em grupos de quatro pessoas, e ninguém ficou sem grupo. Ao final, serão necessários 15 quartos com quatro pessoas em cada um. Portanto, podemos afirmar que essa divisão é exata, pois não há resto (ou seja, o resto é igual a zero). 2.2 Divisão inexata Agora, se existissem 63 pessoas nessa excursão para acomodar nos quartos quádruplos, o que aconteceria? Quantos quartos seriam necessários? Todos os quartos receberiam a mesma quantidade de pessoas e estariam com seu limite máximo? Resposta: _______________________________ Quinze quartos estariam com sua capacidade total (quatro pessoas), mas sobrariam três pessoas, que deveriam ser acomodadas em outro quarto. Nesse caso, ao tentar dividir 63 por 4, encontramos 15 e sobram 3 unidades. O número 3 é chamado resto dessa divisão. Sempre que houver um resto diferente de zero, a divisão será denomi- nada divisão inexata. Utilize o leitor óptico do seu celular para assistir à videoaula. https://bit.ly/31JDFeU 263 Operações com números naturais: multiplicação e divisão Capítulo 4 2.3 O resto de uma divisão Qual é o maior resto possível em uma divisão cujo divisor é 5? Seguem-se as operações: 5 5 10 6 5 11 7 5 12 8 5 13 9 5 14 10 5 20 11 5 21 12 5 22 13 5 23 14 5 24 15 5 30 Os restos possíveis em uma divisão por 5 são 0, 1, 2, 3, 4. Então, podemos concluir que o maior resto possível de uma divisão é o antecessor do divisor, ou seja, uma unidade a menos do que o divisor. Caso contrário, seria possível continuar dividindo e aumentar o quociente. 3. Propriedades da multiplicação e da divisão Neste tópico, serão explicadas algumas propriedades por meio de exemplos. O objetivo não é memorizar tais nomes, mas entender as características da multiplicação e perceber se elas também se aplicam à divisão. 3.1 Propriedade comutativa Seguem duas situações: I. Torugo tem cinco notas de R$20,00. Quantos reais ele possui? Resposta: _______________________________ II. Beca tem 20 notas de R$5,00. Quantos reais ela possui? Resposta: _______________________________ O que se pode concluir ao comparar os dois resultados? Com essas duas situações, podemos observar que, ao trocar a ordem dos fatores, o resultado não se altera. Essa é a propriedade comutativa da multiplicação. Em uma multiplicação com números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto. Convém, agora, verificar se a propriedade comutativa é válida para a divisão. Analise as seguintes situações: I. Duda tem 36 lápis e quer encher estojos com 12 unidades cada um. Quantos estojos serão necessários? Resposta: _______________________________ II. Nina tem 12 lápis e quer utilizar 36 estojos, colocando os lápis dentro de cada um deles. É possível colocar lápis em todos eles? Resposta: _______________________________ 264 MATEMÁTICA I 6º Ano A primeira situação é possível, pois a quantidade de lápis é maior do que a quantidade de estojos. Nela, divide-se uma quantidade em grupos menores. Já a segunda situação não é possível, pois, para colocar pelo menos um lápis em cada estojo, é necessário ter, no mínimo, 36 lápis, e a quantidade aqui é menor. Logo, ao se alterar a ordem dos valores, o resultado é afetado, e, portanto, a propriedade comutativa não é válida para a divisão. 3.2 Propriedade associativa Ao calcular 40 × 20, podemos utilizar o algoritmo convencional ou raciocinar 20 = 2 × 10. Logo, 40 × 20 = 40 × 2 × 10. Assim, é possível optar por calcular 40 × 2 = 80 e 80 × 10 = 800. Portanto, mentalmente, conseguimos obter o resultado desse produto. Então: 40 × (2 × 10) = (40 × 2) × 10 40 × 20 = 80 × 10 800 = 800 Essa é a propriedade associativa da multiplicação. Em uma multiplicação com três ou mais números naturais, é possível associá-los de maneiras diferentes sem que se altere o produto. Agora, cabe verificar se essa propriedade é válida para a divisão. Ao dividir 400 por 20, podemos pensar que 20 = 40 ÷ 2. Logo, será confirmado se 400 ÷ 20 é o mesmo que 400 ÷ (40 ÷ 2) e igual a (400 ÷ 40) ÷ 2. Vamos verificar com cálculos? Resolva e compare os resultados: I. 400 ÷ 20 = 20 II. 400 ÷ (40 ÷ 2) = 400 ÷ 20 = 20 III. (400 ÷ 40) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 Os resultados são diferentes, e, portanto, a propriedade associativa não é válida para a divisão. 3.3 Propriedade do elemento neutro A ideia de elemento neutro na multiplicação é a mesma que na adição. Aqui também a palavra “neutro” dá a ideia de algo que não altera determinada situação. Então, o elemento neutro da multiplicação é aquele que, multiplicado por qualquer outro número, não altera esse número. Então, o número que não altera o outro em uma multiplicação é o número 1. O 1 é “neutro” em uma multiplicação, ou, ainda, de acordo com a propriedade do elemento neutro: Em uma multiplicação de um número natural por 1, o produto terá como resultado o próprio número. Logo, o elemento neutro da multiplicação é o número 1. É possível afirmar que existe elemento neutro na divisão? Podemos pensar no número 1, já que, ao dividir qualquer número por ele, o resultado será o próprio número. Entre- tanto, se dividirmos uma unidade por qualquer quantidade de partes, o resultado não será o númerode partes. Assim: 23 ÷ 1 = 23 1 ÷ 23 ≠ 23 Logo, não existe elemento neutro na divisão. 3.4 Propriedade distributiva Como calcular 5 × 7 sem saber a tabuada? A operação 5 × 7 representa cinco parcelas iguais a 7. Assim: 5 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 Podemos dizer, ainda, que 5 × 7 é igual a três grupos com sete unidades somados a dois grupos com sete unidades. Logo: 5 × 7 = (2 + 3) × 7 = 2 × 7 + 3 × 7 = 14 + 21 = 35 Isso é válido também para a subtração. Como calcular 9 × 6? Simples: 9 × 6 é igual ao total de elementos contidos em nove grupos com seis unidades cada um. Então, é possível afirmar que, se existissem dez grupos com seis unidades cada um, um deles seria excluído. Portanto: 9 × 6 = (10 – 1) × 6 = 6 × (10 – 1) = 10 × 6 – 1 × 6 = 60 – 6 = 54 Essa é a propriedade distributiva, que expressa o seguinte: Quando um número natural é multiplicado por uma adição (ou subtração), multiplica-se esse número por cada um dos termos e depois se efetua a soma (ou subtração). Agora, então, vamos analisar se a propriedade distribu- tiva é válida para a divisão. Isso seria equivalente a dizer, por exemplo, que 70 ÷ 5 = 70 ÷ (4 + 1) = 70 ÷ 4 + 70 ÷ 1. Vamos verificar com cálculos? Resolva e compare os resultados: a. 70 ÷ 5 b. 70 ÷ (4 + 1) c. 70 ÷ 4 + 70 ÷ 1 Um problema foi encontrado: 70 ÷ 4 não é uma divisão exata e, portanto, o resultado da primeira expressão é diferente do da última. Logo, a propriedade distributiva não é válida para a divisão. 265 Operações com números naturais: multiplicação e divisão Capítulo 4 A saúde e o princípio multiplicativo A multiplicação é a base de um raciocínio muito importante para a Matemática, chamado princípio multi- plicativo. Este constitui uma ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos. Como o princípio multiplicativo pode ajudar na resolução de problemas? Leia o texto abaixo: De acordo com a classificação dos alimentos, as frutas são alimentos reguladores, pois ajudam no equilíbrio de diversas funções do organismo e contribuem para melhorar nossa resistência contra muitas infecções. As frutas são ricas em sais minerais, vitaminas e fibras. Veja alguns exemplos na tabela abaixo: Vitamina Frutas que apresentam a vitamina Benefícios para o organismo A mamão, pêssego e açaí Contribui para uma boa visão e ajuda no cresci- mento. B6 banana e abacate É antioxidante e auxilia na respiração celular. C laranja, limão e abacaxi Previne gripes e infecções e auxilia o sistema imunológico. Se um nutricionista recomendar que seu paciente consuma uma dose diária de três frutas, estando cada uma delas relacionada a uma das vitaminas listadas anteriormente, de quantos modos ele poderá fazê-lo? Observe o diagrama de possibilidades: mamão laranja limão abacaxi abacate laranja limão abacaxi banana pêssego laranja limão abacaxi abacate laranja limão abacaxi banana açaí laranja limão abacaxi abacate laranja limão abacaxi banana Analisando o diagrama, o paciente poderia ingerir três frutas diariamente de 18 formas diferentes. Percebemos que, nele, cada uma das três primeiras possibilidades pode ser combinada com qualquer uma das duas opções de frutas que possuem vitamina B6. Cada uma dessas frutas, por sua vez, pode ser combinada com cada uma das três opções de frutas que apresentam vitamina C. Logo, de cada um dos três primeiros “galhos” do diagrama surgem outros seis “galhos”, dos quais surgem outros 18 “galhos”, ou, ainda, pelo princípio multiplicativo, 3 × 2 × 3 = 18 formas diferentes. CONTEXTUALIZANDO © C ri st ie G ue va ra /i St oc k 266 MATEMÁTICA I 6º Ano Propriedade distributiva: facilitando operações A propriedade distributiva é fundamental, pois permite “quebrar” operações de multiplicação complicadas em operações muito mais simples. Por exemplo, para calcular 13 × 9, aplicamos a proprie- dade distributiva para escrever: 13 × 9 = (10 + 3) × 9 = 10 × 9 + 3 × 9 Como multiplicar um número natural por 10 é muito fácil (basta acrescentar um zero à direita do numeral), sabemos que 10 × 9 = 90. Uma vez memorizada a tabuada, sabe-se que 3 × 9 = 27. Logo, continuando os cálculos: 10 × 9 + 3 × 9 = 90 + 27 = 117 Tente usar um raciocínio similar para fazer as operações abaixo: a. 14 × 9 = _______________________________ b. 50 × 6 = _______________________________ c. 27 × 8 = _______________________________ APROFUNDANDO Multiplicando com os dedos das mãos Você conhece um modo rápido para poder calcular a multiplicação entre dois números maiores que 5 e menores que 10? Por exemplo, vamos calcular 8 × 6. Para isso, pensaremos na quantidade de unidades a mais que 5 que cada número tem. Então, pensa- remos em 8 – 5 = 3 e em 6 – 5 = 1. Agora, em uma das mãos, abaixemos três dedos e, na outra, um dedo. Abaixaremos, portanto, quatro dedos no total. A quan- tidade de dedos abaixados será multiplicada por 10. Assim, 4 × 10 = 40. Temos dois dedos levantados em uma das mãos e quatro dedos levantados na outra. Multiplicaremos essas quantidades e obteremos 2 × 4 = 8. Somaremos as duas quantidades anteriores e encontra- remos o valor pedido: 40 + 8 = 48. Logo, 8 × 6 = 48. APROFUNDANDO 267 Operações com números naturais: multiplicação e divisão Capítulo 4 Você sabe fazer com as mãos a tabuada de 9? Associe cada um dos seus dedos a um número de 1 a 10, seguindo sua posição e em ordem crescente. O mindinho direito será o dedo 1, o anelar direito, o número 2, o dedo médio direito, o dedo 3, e assim sucessivamente, até o mindinho esquerdo, correspondente ao 10. Então, vamos fazer a tabuada do 9. • Para calcular 1 × 9, vamos abaixar o dedo 1 (o mindinho direito). Não existem dedos antes do abaixado e existem nove dedos depois dele. Temos como resultado 9. Portanto, 1 × 9 = 9. • Para calcular 2 × 9, vamos abaixar o dedo 2 (anelar direito). Existe um dedo antes do abaixado e oito dedos depois dele. Temos como resultado 18. Portanto, 2 × 9 = 18. • Para calcular 7 × 9, vamos abaixar o dedo 7 (indicador esquerdo). Existem seis dedos antes do abaixado e três dedos depois dele. Temos como resultado 63. Portanto, 7 × 9 = 63. APROFUNDANDO Exercícios conceituais 01. Pensei em um número. Multipliquei-o por 12 e obtive 180. Descubra qual foi o número em que pensei. 02. Um número dividido por oito resulta em 72. A divisão é exata. Determine que número é esse. 03. Um número dividido por 15 resulta em 13, com resto 11. Determine que número é esse. 04. Determine os números desconhecidos, efetuando os cálculos adequados: a. 9 230 b. 131.774 136 c. 10 2.458 204 d. 23 3.098 25 05. Explique com suas palavras cada propriedade operatória aprendida no capítulo (comutatividade, associatividade, elemento neutro e distributiva) e dê exemplos. Exercícios contextualizado s 01. Na casa de Duda, a torneira está com defeito e não para de gotejar. Ela colocou um recipiente para coletar a água e aproveitá-la para molhar as plantas do quintal e lavar o terreiro. Ao final do dia, verificou que havia no recipiente 7 litros de água, mas só conseguiu fazer o reparo após 13 dias da constatação do problema. Durante todo esse tempo, o vazamento manteve-se constante, ou seja, vazou a mesma quantidade de água diariamente. Então, quantos litros de água foram recolhidos no total? 268 MATEMÁTICA I 6º Ano 02. Carolina comprou 5 pacotes de pirulitos. Cada pacote tinha 80 pirulitos. Ela deu a metade deles para sua irmã e o resto dividiu entre ela e 3 amigos. Com quantos pirulitos Carolina ficou? 03. Um grupo de oito amigos foi ao restaurante Le Bom para uma confraternização. Em um primeiro momento, pediram uma bebida para cada um e três entradas. Depois de algum tempo, pediram o prato principal, estrogonofe de carne, e mais uma bebida para cada um. Depois de comerem, somente quatro amigos resolveram pedir sobremesa: mousse de chocolate. Ao pedirem a conta, verificaram no cardápio os valoresdos itens solicitados para conferir o valor total: Entrada R$12,00 Bebida R$4,00 Estrogonofe de carne R$16,00 Lasanha R$18,00 Mousse de chocolate R$7,00 a. Qual o valor total da conta? b. Se os oito amigos dividirem a conta igualmente, qual será a despesa de cada um? 04. Felipe tem uma fábrica que produz camisetas. Ele tinha apenas três funcionárias, e cada uma produzia 35 camisas por dia, trabalhando 20 dias por mês. Felipe resolveu contratar mais uma funcionária: Amanda. a. Quantas camisetas as três funcionárias produziam em um mês, antes da contratação de Amanda? b. Se não houve alteração na quantidade de camisetas produzidas no mês com a contratação de Amanda, quantas camisetas cada uma das quatro funcionárias deverá produzir em um mês? 05. Em um posto de combustível, há três bombas de gasolina e duas bombas de álcool. Em um dia, são vendidos, aproximadamente, 352 litros de gasolina em cada bomba. De álcool, são vendidos, aproxima- damente, 236 litros em cada bomba. Quantos litros de combustível esse posto vende em uma semana? 06. Ricardo é motorista de caminhão em uma distribuidora de material de construção. O caminhão que Ricardo dirige tem capacidade para carregar 15 m3 de areia, e ele precisa entregar uma compra de 200 m3 de areia, que será utilizada em uma obra. Quantas viagens com o caminhão Ricardo precisará fazer, no mínimo, para concluir a entrega? © vi tp ho /i St oc k 07. Para uma festa de aniversário em sua casa, Carla precisou comprar 7 pacotes de copos descartáveis, 3 pacotes de pratos e 2 pacotes de guardanapos no supermercado. Com esses itens, Carla gastou R$48,00. Sabendo que cada pacote de prato custou R$3,00 e cada pacote de guardanapos, R$2,00, quanto custou cada pacote de copos descartáveis? 08. Fernando era responsável pela confecção da folha de pagamento da empresa em que trabalhava. Como não tinha muita experiência, ele elaborou o esquema a seguir. Nele, constam os nomes dos funcionários, a quantidade de faltas sem justificativas e o salário mensal de cada um, caso não haja faltas. Se o funcionário falta ao trabalho e não justifica com documentação adequada, é descontado o equivalente ao dia de serviço. Funcionário Faltas sem justificativas Salário (mensal) Adamastor 1 R$960,00 Cremilson 0 R$960,00 Fernando 0 R$1.530,00 Jadilson 2 R$840,00 Marinalva 0 R$1.020,00 Vadilson 1 R$840,00 269 Operações com números naturais: multiplicação e divisão Capítulo 4 a. Qual seria a despesa da empresa com a folha de pagamento, nesse mês, se não houvesse nenhuma falta? b. Considerando que o mês comercial tem 30 dias, calcule o valor que Cremilson ganha por dia. c. Considerando somente o desconto referente às faltas de Jadilson, quanto ele recebeu nesse mês? 09. Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual foram contratados dois ônibus. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31 entraram no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que seja transportada a mesma quantidade de alunos nos dois? 10. Paulo se dirigiu à emergência de um hospital com uma forte gripe. Após exames laboratoriais, o clínico que o atendeu prescreveu um antibiótico que deveria ser tomado da seguinte forma: um comprimido de oito em oito horas por 15 dias. Ao pedir na farmácia o remédio, o balconista informou que cada caixa continha sete comprimidos. A quantidade de caixas de antibiótico que ele deve comprar para todo o tratamento é: (A) 3. (B) 5. (C) 6. (D) 7. Exercícios de aprofundamento 01. Contando a partir de um domingo, em que dia da semana cairá o centésimo dia? © su ns to ck /i St oc k (A) Quinta-feira. (B) Quarta-feira. (C) Terça-feira. (D) Segunda-feira. (E) Domingo. 02. Havia alguns bombons em uma caixa. Sílvia pegou metade deles, e, depois, Antônio pegou metade do que sobrou. Em seguida, Clara pegou metade do que havia restado na caixa, deixando seis bombons. Quantos bombons havia inicialmente na caixa? Rascunho 270 MATEMÁTICA I 6º Ano © Th ia go S an to s/ iS to ck Objetivos – Conhecer outra forma de representar multiplicações de fatores iguais; – compreender o cálculo de potências de números naturais; – entender a radiciação como a operação inversa da potenciação. – BNCC: EF06MA03. Todo início de ano as pessoas fazem diversas promessas. Uma das mais comuns é economizar. Um desafio chamado “desafio das 52 semanas” teve grande repercussão em um desses momentos. Ele consiste em economizar um valor a cada semana do ano. Na primeira semana você guarda 1 real, e a cada semana seguinte você deve acrescentar um real ao valor da semana anterior; ou seja, na segunda semana você guarda 2 reais, na terceira, 3 reais, e assim por diante. Ao final das 52 semanas, a pessoa que cumprir o desafio economizará R$1.358,00. Para os apressadinhos que precisam juntar uma quantia maior em menos tempo, existem outras versões do desafio. Uma delas se baseia em economizar um real no primeiro dia, e a cada dia seguinte se economiza o dobro do dia anterior; ou seja, no segundo dia se economiza 2 reais, no terceiro dia, 4 reais, e assim sucessivamente. Dessa forma, em uma semana, essa pessoa conseguirá juntar R$127,00. Neste capítulo, estudaremos potenciação, que nos ajuda a calcular o valor a se economizar durante os dias desse desafio. Aprenderemos também a operação inversa da potenciação, que é a radiciação. Você conseguiria economizar R$127,00 durante uma semana sem pesar no seu bolso? OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO6o ANO CAPÍTULO 5 MATEMÁTICA I 1. Potenciação de números naturais No texto motivador, o segundo desafio consiste em economizar o dobro do valor guardado no dia anterior. Diante disso, podemos escrever da seguinte forma os valores diários a economizar: 1o dia: 1 real; 2o dia: 2 reais; 3o dia: 2 × 2 = 4 reais; 4o dia: 2 × 2 × 2 = 8 reais; 5o dia: 2 × 2 × 2 × 2 = 16 reais; 6o dia: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 reais; e assim por diante. Observando esses valores, podemos destacar a exis- tência de um padrão em sua construção. Você consegue perceber que padrão é esse? Note que, nas sequências numéricas acima, as multipli- cações envolvem o mesmo fator, o número 2. Imagine como seria a sequência numérica do décimo dia! Para facilitar e simplificar a escrita dessas multiplica- ções, podemos utilizar a potenciação, que é definida como um produto de fatores iguais. Veja alguns exemplos: I. 3o dia: 2 × 2 = 22 = 4 reais (note que 22 equivale a uma multiplicação em que o fator 2 aparece duas vezes); II. 4o dia: 2 × 2 × 2 = 23 = 8 reais (note que 23 equivale a uma multiplicação em que o fator 2 aparece três vezes); III. 5o dia: 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 reais (note que 24 equivale a uma multiplicação em que o fator 2 aparece quatro vezes); e assim sucessivamente. Com essa representação, o décimo dia seria descrito mais facilmente. Observe: 10o dia: 29 = 512 reais, equivalendo a uma multiplicação em que o fator 2 aparece nove vezes. Assim, uma pessoa que segue o desafio consegue economizar 26 = 64 reais só no 7o dia, juntando um total de 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 reais em uma semana. 1.1 Definição A potenciação é uma operação matemática que compreende o produto de fatores iguais. Veja, por exemplo, o valor que se economiza no quinto dia do desafio: 5o dia = 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 reais. Observe que o produto 2 × 2 × 2 × 2 pode ser represen- tado por meio da potência 24. Nela, o fator 2 é multiplicado por ele mesmo quatro vezes. Nesse exemplo, dizemos que o 2 é a base da potência, ou seja, aquele número que se repete. Já o 4 é chamado de expoente, que indica a quantidade de vezes que a base vai se repetir. E, por fim, o 16 é chamado de potência, isto é, o resultado da operação (potenciação). Assim: base expoente potência24 = 16 Veja outros exemplos: 32 = 3 × 3 = 9 56 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15.1625 43 = 4 ×
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