gabarito cn unidade 1

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MATEMÁTICA 
2009/1 
MÓDULO VI 
 
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
UNIDADE 1 
 
 
 
TÓPICO 1 
Pg.16 
 
1 
Sugestão de resposta: 
 Quando a resolução analítica de um dado problema se torna inviável, utiliza-se o cálculo 
numérico, que consiste em encontrar soluções numéricas para o problema através de 
determinados métodos. 
 
 
2 
Sugestão de resposta: 
Erros de modelagem, erros de arredondamento e erros de truncamento. 
 
 
3. 
a) ( )1028 
Vamos fazer sucessivas divisões por 2 até obter o quociente 1: depois, basta pegarmos os 
valores dos restos obtidos na ordem inversa a que foram encontrados, sendo que o primeiro 
dígito da sequência será o último quociente (0 ou 1). 
 
28 2 
0 7 2 
 
1 3 2 
 
1 1 
 
 
 
Portanto, ( ) ( )210 111028 =
 
 
- ATENTE PARA A ORDEM EM QUE OS NÚMEROS SÃO CONSIDERADOS: 
DO ÚLTIMO PARA O PRIMEIRO - 
 
 
b)
 
( )1053 
53 2 
1 26 2 
 0 13 2 
 1 6 2 
 0 3 2 
 1 1 
 
 
 
Portanto, ( ) ( )210 11010153 =
 
 
- ATENTE PARA A ORDEM EM QUE OS NÚMEROS SÃO CONSIDERADOS: 
DO ÚLTIMO PARA O PRIMEIRO - 
 
 
c)
 
( )10120 
120 2 
0 60 2 
 0 30 2 
 0 15 2 
 1 7 2 
 1 3 2 
 1 1 
 
 
 
Portanto, ( ) ( )210 1111000120 =
 
 
- ATENTE PARA A ORDEM EM QUE OS NÚMEROS SÃO CONSIDERADOS: 
DO ÚLTIMO PARA O PRIMEIRO – 
 
 
d)
 
( )1064 
64 2 
0 32 2 
 0 16 2 
 0 8 2 
 0 4 2 
 0 2 2 
 0 1 
 
 
 
Portanto, ( ) ( )210 100000064 =
 
 
- ATENTE PARA A ORDEM EM QUE OS NÚMEROS SÃO CONSIDERADOS: 
DO ÚLTIMO PARA O PRIMEIRO - 
 
 
 
e)
 
( )1064,0
 
Como o número é menor do que zero, o processo para transformá-lo em número binário é um 
pouco diferente. Ao invés de dividi-lo por 2, multiplicamos por 2. Depois separamos a parte 
inteira da decimal e repetimos o processo na parte decimal até que resulte em zero ou numa 
dízima periódica. Depois, é só pegar a parte inteira para compor o número. 
 
...36,0136,1268,0
68,0168,1284,0
84,0184,1292,0
92,0192,1296,0
96,0096,0248,0
48,0048,0224,0
24,0024,0212,0
12,0112,1256,0
56,0056,0228,0
28,0128,1264,0
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
 
 
Portanto, ( ) ( )210 ...1010001111,064,0 = 
 
 
f)
 
( )1012,3 
( ) ( )210 113 =
 
...36,0136,1268,0
68,0168,1284,0
84,0184,1292,0
92,0192,1296,0
96,0096,0248,0
48,0048,0224,0
24,0024,0212,0
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
+==⋅
 
Portanto, ( ) ( )210 ...0001111,012,3 = 
 
 
4 
Conversão de números na base binária para números decimais: 
Parte inteira - multiplicar pelas potências de 2. 
Parte “decimal” - multiplica-se pelas potências negativas de 2. 
a) ( ) ( )10012 202202110 =+=⋅+⋅= 
 
b) ( ) ( )100122 5104212021101 =++=⋅+⋅+⋅= 
 
c) ( ) ( )100122 6024202121110 =++=⋅+⋅+⋅= 
 
d) ( ) 01234562 202021212021211101100 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 
( )10108004803264 =++++++=
 
 
e) ( ) 65432102 20202121202121101100,1 −−−−−− ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 
( )1043 6875,10625,0125,05,012
1
2
10
2
11 =+++=++++=
 
 
f) ( ) ( )10332102 625,0125,05,002
10
2
1021202120101,0 =++=+++=⋅+⋅+⋅+⋅= −−− 
 
 
5 
Sugestão de Resposta: 
Porque um número decimal finito pode ter representação binária infinita. Além disso, por mais 
preciso que seja o computador, ele possui um número finito de bits para sua representação 
numérica. 
 
6 
Sugestão de Resposta: 
Erros de truncamento são erros que aparecem quando precisamos arredondar um determinado 
número infinito ou mesmo truncar um processo muito grande. 
 
 
 
TÓPICO 2 
p. 32 
 
 
1. 
a) 22y15y2 =−+ 
7y
7y)12(
1522yy2
=
=⋅−
−=−
 
 
 
b) h2162h9 +=− 
 
7
18h
18h7
18h)29(
216h2h9
2h216h9
=
=
=⋅−
+=−
++=
 
 
 
 
2 
a) 0x6x 2 =+ 
( 0x0)6x(x =⇒=+ ou ) ( 0x06x =⇒=+ ou )6x −=
 
 
 
b) 0x9 2 = 
0xx0x
9
0
x
21
2
2
==⇒=
=
 
 
 
c) 09x5 2 =− 
5
3
x
5
9
x
5
9
x
9x5
2
2
±=⇒
=⇒
=⇒
=
 
5
3
x1 −=⇒ e 5
3
x2 +=
 
5
5
5
3
x1 ⋅−=⇒ e 5
5
5
3
x2 ⋅+= 
5
53
x1 −=⇒ e 5
53
x2 +=
 
 
d)
 
025x 2 =− 
 
5x25x25x2 ±=⇒=⇒= 
5x1 −=⇒ e 5x2 += 
 
 
e)
 
02x3x 2 =+− 
2c ,3b ,1a =−== 
ca4b2 ⋅⋅−=∆ 
( ) ⇒>=−=⋅⋅−−=∆ 01892143 2 A equação tem duas soluções distintas! 
a2
b
x1
∆+−
= e 
a2
b
x2
∆−−
= 
12
1)3(
x1
⋅
+−−
= e 
12
1)3(
x2
⋅
−−−
= 
2
13
x1
+
= e 
2
13
x 2
−
= 
2x1 = e 1x2 = 
 
 
 
f)
 
012y14y2 2 =+− 
06y7y
2
0
2
12y14y2 22
=+−⇒=
+−
 
6c ,7b ,1a =−== 
ca4b2 ⋅⋅−=∆ 
( ) ⇒>=−=⋅⋅−−=∆ 02524496147 2 A equação tem duas soluções distintas! 
a2
b
x1
∆+−
= e 
a2
b
x2
∆−−
= 
12
25)7(
x1
⋅
+−−
= e 
12
25)7(
x2
⋅
−−−
= 
2
57
x1
+
= e 
2
57
x2
−
= 
6x1 = e 1x2 =
 
 
 
 
3 
a)
 
0kx12x2 =+− 
 
kc ,12b ,1a =−== 
 Para que 0kx12x2 =+− tenha duas raízes reais e distintas, 0ca4b2 >⋅⋅−=∆ . 
 Então 
 
36k
4
144kk
4
144
k4144
0k4144
0k14)12( 2
<→<→>
>
>−
>⋅⋅−−=∆
 
 
 
b)
 
0k3x6x2 2 =+−
 
 
 
k3c ,6b ,2a =−== 
 Para que 0k3x6x2 2 =+− não tenha raízes reais, 0ca4b2 <⋅⋅−=∆ . 
 
2
3k
24
36kk
24
36
k2436
0k2436
0k324)6( 2
>→>→<
<
<−
<⋅⋅−−=∆
 
 
 
 
4 
 
a)
 
x
1x
2x
53 +=
−
+
 ( )
( )
( )( )
( )x2x
1x2x
x2x
x5x2x3
−
+−
=
−
+−
 ( )
01x
2
0
2
2x2
02x2
02xxxx3
2xxx5x6x3
2xxx5x2x3
2
2
2
22
22
22
=+
=
+
=+
=++−−
−−=+−
−−=+−
 
ix1x 12 =⇒−= e ix2 −= 
 
 
 
b) 
2
3
1x
1
x
1
=
−
+
 ( )
( )
( )
( )







==
+
=
+−−
=
==
−
=
−−−
=
>=−=−−=∆
=+−→=−+−
=+−−
−=−
−=+−
⋅−⋅
−⋅⋅
=
⋅−⋅
⋅⋅+⋅−⋅
2
6
12
6
57
3.2
25)7(
x
3
1
6
2
6
57
3.2
25)7(
x
02524492.3.4)7(
02x7x302x7x3
0x3x32x4
x3x32x4
x3x3x22x2
21xx
1xx3
21xx
2x121x1
2
1
2
22
2
2
2
 
 
 
 
5 
a) 
x
1x
2x
53 +=
−
+ 
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
1x
2x2
2xxx5x6x3
2x1xx5x2x3
x2x
2x1x
x2x
x5
x2x
x2x3
2
2
22
−=
−=
−−=+−
−+=+−
−
−+
=
−
+
−
−
 
Portanto, não tem solução real.
 
 
 
b) 
2
3
1x
1
x
1
=
−
+ 
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
02x7x3
x3x3x22x2
1xx3x221x
21xx
1xx3
21xx
x2
21xx
21x
2
2
=+−
−=+−
−=+−
−
−
=
−
+
−
−
 
 
( )





−=
−=
±−
=
⋅
±−
=
∆±−
>=−=⋅⋅−−=∆
=+−
2x
3
1
x
6
57
32
257
a2
b
02524492347
02x7x3
2
1
2
2
 
 
 
6 
a) 06x5x 24 =+− 
O primeiro passo para resolver essa equação biquadrada é fazer uma mudança de variável, e 
considerar 2xy = . Nossa equação passa a ser 06y5y2 =+− , que já sabemos resolver: 
6c ,5b ,1a =−==
 
12425614)5(ca4b 22 =−=⋅⋅−−=⋅⋅−=∆ 






=
−
=
=
+
=
⇒
±
=
⋅
±−−
=
⋅
∆±−
=
2
2
15y
3
2
15y
2
15
12
1)5(
a2
by
2
1
 
Encontrados os pontos y que satisfazem essa equação, precisamos desfazer a mudança de 
variável. 
{ }3,2,2,3S
x2x2xy
x3x3xy
2
2
2
2
22
1
2
1
211
−−=⇒




=±⇒=⇒=
=±⇒=⇒=
 
 
 
 
b) 405x5 4 = 
Supondo 2xy = , temos 



−=
=
⇒±=⇒=⇒=⇒=
9y
9y
9y81y
5
405y405y5
2
1222
. 
Desfazendo a substituição, 
{ }3,i3,i3,3S
xi3x9xy
x3x9xy
2
2
2
2
22
1
2
1
2
11
−−=⇒




=±⇒=−⇒=
=±⇒=⇒=
 
 
 
 
 
 
 
TÓPICO 3 
p.60 
 
1 
 
a) 





−=−+−
=−+
=+−
13x3x2x4
6xx3x2
3xxx
321
321
321
 
Forma matricial: 
{ 32144 344 21
BX
3
2
1
A
13
6
3
x
x
x
324
132
111










−
=










⋅










−−
−
−
, onde 
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
89
6)2(12)4(49
)3()1(21)1(2)4(31)4()1()1(122)3(31
324
132
111
Adet
−=
−−−=
+−+−−−++−=
−⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅⋅−−⋅−⋅−+⋅⋅+−⋅⋅=
−−
−
−
=
 
 
Vamos agora determinar os valores das incógnitas 321 x,x,x 
 
Adet
Ddet
x 1
x
1 = , onde 










−−
−
−
=
3213
136
113
D
1x
 
 
( ) ( )
( ) ( )
1
)27(28
18639131227
)3()1(63)1(2)13(31)13()1()1(126)3(33
3213
136
113
Ddet
1x
−=
−−−=
+−−−−+−=
−⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅⋅−−⋅−⋅−+⋅⋅+−⋅⋅=
−−
−
−
=
 
Logo .1
1
1
Adet
Ddet
x 1
x
1 =
−
−
== 
 
 
Adet
Ddet
x 2
x
2 = , onde 










−−−
−=
3134
162
131
D
2x
 
( ) ( )
( ) ( )
3
)29(32
131824122618
)13()1(1)3(32)4(61)4()1(31)13(2)3(61
3134
162
131
Ddet
2x
−=
−−−=
+−−−+−−=
−⋅−⋅+−⋅⋅+−⋅⋅−−⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅⋅=
−−−
−=
 
Logo .3
1
3
Adet
Ddet
x 2
x
2 =
−
−
== 
 
 
 
Adet
Ddet
x 3
x
3 = , onde 










−−
−
=
1324
632
311
D
3x
 
( ) ( )
( ) ( )
523
261236241239
)13()1(2126)4(33()4(6)1(322)13(31
1324
632
311
Ddet
3x
−=−−=
++−−++−=
−⋅−⋅+⋅⋅+−⋅⋅−−⋅⋅−+⋅⋅+−⋅⋅=
−−
−
=
 
 
 
Logo .5
1
5
Adet
Ddet
x 3
x
3 =
−
−
== 
 
 
b)










=










⋅










33
27
42
z
y
x
332
223
254
 
 
{ {
BXA
33
27
42
z
y
x
332
223
254










=




















43421
 
 
Análogo ao feito em a). 
 
 
15Adet −=
 
 
 
 
3
Adet
Ddet
x45Ddet xx ==→−= 
 
4
Adet
Ddet
y60Ddet yy ==→−= 
 
5
Adet
Ddet
z75Ddet zz ==→−=
 
 
2 
 
a) 





=−+
=++
=++
3x2x3x4
2x2xx
1x4x2x3
321
321
321
 
 
Matricialmente, 
{ {
BX
3
2
1
A
3
2
1
x
x
x
234
211
423










=










⋅










−
4434421
. 
 
Matriz estendida: 










−
=
3234
2211
1423
S . 
 
1º Pivotamento: 
11 LL ←







←
←
←
←
⇒
1b
4a
2a
3a
2
23
22
11
 












=+⋅−←
=+⋅−←
=+⋅−←
=+⋅−←
⇒+⋅





−=+⋅





−←
3
521
3
1b
3
224
3
1
a
3
112
3
1
a
013
3
1
a
LL
3
1LL
a
aL
2
32
22
21
2121
11
21
2 













=+⋅





−←
−=−⋅





−←
=+⋅





−←
=+⋅





−←
⇒+⋅





−=+⋅





−←
3
531
3
4b
3
2224
3
4
a
3
132
3
4
a
043
3
4
a
LL
3
4LL
a
aL
3
33
32
31
3131
11
31
3 
 
Nova matriz estendida: 












−
=
3
5
3
22
3
10
3
5
3
2
3
10
1423
S . 
 
Segundo pivotamento: 
11 LL ← ; 
22 LL ← 











=+−←
−=−−←
=+−←
=+−←
⇒+−=+⋅








−=+⋅





−←
0
3
5
3
5b
8
3
22
3
2
a
0
3
1
3
1
a
000a
LLLL
3
1
3
1
LL
a
aL
3
33
32
31
323232
22
32
3 
Nova matriz estendida: 
 










−
=
0800
3
5
3
2
3
10
1423
S , que é uma matriz triangular superior. 
 
Sistema equivalente: 







=⇒=−
=+
=++
0x0x8
3
5
3
x2
3
x
1x4x2x3
33
32
321
 
 
5x
3
5
3
x
3
50
3
2
3
x
2
22
=⇒=⇒=⋅+
 
3x101x3110x310452x31x4x2x3 1111321 −=⇒−=⇒=+⇒=⋅+⋅+⇒=++ 
Portanto, 0x,5x,3x 321 ==−= .
 
 
 
b) 










=










⋅









 −
13
7
7
z
y
x
823
142
126
 









 −
=
13823
7142
7126
S
 
 
Primeiro Pivotamento - nova matriz estendida: 
 












−
=
6
57
6
5110
3
14
3
4
3
100
7126
S 
 
Segundo Pivotamenton - nova matriz estendida: 












−
=
10
81
10
8100
3
14
3
4
3
100
7126
S 
 
Portanto, 1x,1y,1z === 
 
 
 
c) 





=





⋅





7917595,1
0
x
x
61
11
2
1
 
Matriz estendida: 






=
7917595,161
011S 
Pivotamento - nova matriz estendida: 




−
=





⇒





=
358352,0
358352,0
x
x
7917595,150
011S
2
1
.
 
 
 
 
3 
 
a)





−=+−
=−+
=−+
1xx3x2
3x3x4x4
5xx3x2
321
321
321
 
Primeiro Pivotamento: Nova matriz estendida: 










−−
−−−
−
=
6260
7120
5132
S ; 
 
 
Segundo Pivotamento: Nova matriz estendida: 










−−−
−−
=
15500
7120
2
11
2
502
S ; 
 
 
Terceiro Pivotamento: Nova matriz estendida: 










−−=
15500
4020
2002
S
 
 
 
Portanto, .3,2,1 321 === xxx 
 
 
 
b) 










−
=










⋅









 −
1
1
4
z
y
x
421
001
111
 
 
 
Matriz estendida: 










−
−≈










−
−
=
1421
4111
1001
1421
1001
4111
S . 
 
 
Primeiro Pivotamento: Nova matriz estendida: 










−
−=
2420
3110
1001
S ; 
 
 
Segundo Pivotamento: Nova matriz estendida: 










−=
4600
3110
1001
S ; 
 
 
Terceiro Pivotamento: Nova matriz estendida: 










−=
4600
6
14010
1001
S ; 
 
 
Portanto, .3
2z,3
7y,1x =−== 
 
 
4 
 
a)





=+−
=++−
−=++
3x10x3x2
20x2x4x
12xx2x5
321
321
321
 
Resolvendo o sistema: 
 















−
−=
186,04,0
012,0
001
L ; 









=
5,1100
2,24,40
125
U
 ; 














−
=
23
6,17
12
Y 
 









−
=










=
2
3
4
3
2
1
x
x
x
X
 
 
Det A = 253 
 
 
Cálculo da inversa de A: 
 










−
=
−
186,023,0
012,0
001
1L 
 










−
−
=
−
09,000
04,023,00
009,02,0
1U 
 










−
−
−
=
−
09,008,002,0
04,020,006,0
009,018,0
1A
 
 
 
 
b) 





−=−
=++
=+−
2x3x4
3x2x2x
9xx4x3
31
321
321
 
 
Resolvendo o sistema: 















=
16,133,1
0133,0
001
L ; 










−
−
=
700
67,133,30
143
U
 ; 















−
=
14
0
9
Y 
 










−
=










=
2
3
9
x
x
x
X
3
2
1
 
 
Det A = -50 
 
Cálculo da inversa de A: 
 















−−
−=
−
16,18,0
0133,0
001
1L ; 















−
=
−
14,000
07,03,00
14,04,033,0
1U 










−
−=
−
14,022,011,0
07,019,016,0
14,018,009,0
1A
 
 
Obs: Pode ocorrer pequenas variações nos valores, advindas dos arredondamentos 
feitos nos cálculos.
TÓPICO 4 
p. 80 
 
1, 
a) 





=











792,1
0
x
x
.
61
11
2
1
 
 






=











7917595,1
0
x
x
.
61
11
2
1
 
 
 
Método de Jacobi 
 
k 1x y 1x∆ y∆ max∆ 
0 0 0 0 0 0 
1 0 0,299 0 0,299 0,299 
2 -0,299 0,299 0,299 0 0,299 
3 -0,299 0,348 0 0,049 0,049 
4 -0,348 0,348 0,049 0 0,049 
5 -0,348 0,357 0 0,009 0,009 
 
 
Método de Gauss-Siedel: 
k 1x y 1x∆ y∆ max∆ 
0 0 0 0 0 0 
1 0 0,299 0 0,299 0,299 
2 -0,299 0,349 0,299 0,05 0,299 
3 -0,349 0,357 0,05 0,008 0,05 
4 -0,357 0,358 0,008 0,001 0,008 
 
b)
 










=



















 −
13
7
7
z
y
x
.
823
142
126
 
 
Método de Jacobi 
k x y z x∆ y∆ z∆ max∆ 
0 0 0 0 0 0 0 0 
1 1,167 1,75 1,625 1,167 1,75 1,625 1,75 
2 0,854 0,76 0,75 0,313 0,99 0,875 0,99 
3 1,038 1,136 1,115 0,184 0,376 0,365 0,376 
4 0,974 0,952 0,952 0,064 0,184 0,163 0,184 
5 1,008 1,025 1,022 0,034 0,073 0,07 0,073 
6 0,995 0,99 0,991 0,013 0,035 0,031 0,035 
7 1,002 1,005 1,004 0,007 0,015 0,013 0,015 
8 0,999 0,998 0,998 0,003 0,007 0,006 0,007 
 
 
Método de Gauss-Siedel 
k x y z x∆ y∆ z∆ max∆ 
0 0 0 0 0 0 0 0 
1 1,167 1,166 0,896 1,167 1,166 0,896 1,167 
2 0,927 1,062 1,012 0,24 0,104 0,116 0,24 
3 0,981 1,006 1,006 0,054 0,056 0,006 0,056 
4 0,999 0,999 1,001 0,018 0,007 0,005 0,018 
5 1 1 1 0,001 0,001 0,001 0,001 
 
 
 
2 
 
Candidatos Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 Média 
Candidato 1 8,7 6,2 7,5 5,1 7,35 
Candidato 2 5,6 9,2 6,1 7,5 6,97 
Candidato 3 5,1 4,5 9,4 4,5 5,72 
Candidato 4 6,1 4,5 5,3 8,9 5,74 
 
Sistema: 
 
. 







=+++
=+++
=+++
=+++
74,5x9,8x3,5x5,4x1,6
72,5x5,4x4,9x5,4x1,5
97,6x5,7x1,6x2,9x6,5
35,7x1,5x5,7x2,6x7,8
4321
4321
4321
4321
 
 
I 1x 2x 3x 4x 1x∆ 2x∆ 3x∆ 4x∆ total∆ 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
1 0,845 0,243 0,034 -0,077 0,845 0,243 0,034 0,077 0,845 
2 0,687 0,380 0,091 -0,072 0,158 0,137 0,057 0,005 0,158 
3 0,538 0,428 0,146 -0,027 0,149 0,048 0,055 0,045 0,149 
4 0,430 0,421 0,187 0,026 0,108 0,007 0,041 0,001 0,108 
5 0,368 0,388 0,211 0,071 0,062 0,033 0,024 0,045 0,062 
6 0,345 0,350 0,220 0,101 0,023 0,038 0,009 0,030 0,038 
7 0,347 0,318 0,220 0,115 0,002 0,032 0,000 0,014 0,032 
8 0,361 0,298 0,215 0,119 0,014 0,020 0,005 0,004 0,020 
9 0,377 0,289 0,209 0,116 0,016 0,009 0,006 0,003 0,016 
10 0,391 0,286 0,204 0,111 0,014 0,003 0,005 0,005 0,014 
11 0,400 0,288 0,200 0,106 0,009 0,002 0,004 0,005 0,009 
 
 
3 
a) ( )( )

=⋅−−+
+−=+⋅+
13xi32ix
i32xxi43
21
21
 





 +−
=





⋅





−−
+
13
i32
x
x
i32i
1i43
2
1
 














+




−
=













+





⋅













−
+





− 0
3i
13
2
t
t
i
s
s
31
04i
20
13
2
1
2
1
 






⋅−−
⋅+−
=





⇒












−
−
−
=












⇒











−
=












⋅












−−
−
−−
7,2i1,2
7,0i9,0
x
x
7,2
7,0
1,2
9,0
t
t
s
s
0
3
13
2
t
t
s
s
2031
1304
3120
0413
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
 
 
 
b)



=−
=+
i2xx
4xx
21
21
 
 














+





=













+





⋅













+





− 2
0i
0
4
t
t
i
s
s
00
00i
11
11
2
1
2
1
 






−
+
=





⇒












−
=












⇒












=












⋅












−
−
i2
i2
x
x
1
1
2
2
t
t
s
s
2
0
0
4
t
t
s
s
1100
1100
0011
0011
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1