Lógica Matemática Paulo Henrique 2ª Webconferência Mod B

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LÓGICA MATEMÁTICA 
WEBCONFERÊNCIA II 
Prof. Paulo Henrique 
ROTEIRO 
• ANÁLISE COMBINATÓRIA 
• PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
• ARRANJO 
• PERMUTAÇÃO 
• COMBINAÇÃO 
 
• LÓGICA PROPOSICIONAL 
• PROPOSIÇÕES 
• PRINCÍPIOS 
• TIPOS DE PROPOSIÇÕES 
• CONECTIVOS 
• TABELA-VERDADE 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
EXEMPLO 
• UMA MULHER PRECISA SE ARRUMAR PARA UMA FESTA. ELA 
TEM 10 BLUSAS E 5 CALÇAS. DE QUANTAS FORMAS DISTINTAS 
ELA PODE SE VESTIR? R: 10*5 = 50 
• E SE INCLUÍSSEMOS 3 PARES DE SAPATOS, 5 PARES DE BRINCOS, 
6 TIARAS... 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
PARA n CONJUNTOS FINITOS COM m ELEMENTOS CADA, O 
PRINCÍPIO SEGUE: 
 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
2 ? ? 0 
ARRANJO 
• ARRANJO PODE SER COM OU SEM REPETIÇÕES. 
 
• MAS O QUE ISTO QUER DIZER? 
 
• COM REPETIÇÕES SIGNIFICA QUE AS SOLUÇÕES PARA 
DETERMINADO PROBLEMA PODEM SER UTILIZADAS MAIS DE 
UMA VEZ: 
 
• EX: USANDO OS ALGARISMOS 1,2,3,4 e 5, QUANTAS SENHAS COM 4 DÍGITOS 
PODEM SER FORMADAS? 
ARRANJO COM REPETIÇÕES 
• NO EXEMPLO, PODEMOS VER QUE OS ALGARISMOS PODEM 
APARECER MAIS DE UMA VEZ NOS DÍGITOS DA SENHA. 
 
• QUANDO TEMOS ESSA SITUAÇÃO DE REPETIÇÃO, UTILIZAMOS A 
FÓRMULA AN,K = NK , ONDE N É A QUANTIDADE DE SOLUÇÕES 
QUE TEMOS, E K A QUANTIDADE DE ETAPAS A RESOLVER. 
 
• NO EXEMPLO TEMOS 5 ALGARISMOS (SOLUÇÕES) PARA 4 
DÍGITOS (ETAPAS). LOGO, 54 = 625 SENHAS POSSÍVEIS. 
 
• O P.F.C. TAMBÉM RESOLVE: 5.5.5.5 = 625 
ARRANJO SEM REPETIÇÕES 
• NO ARRANJO SEM REPETIÇÕES, AS SOLUÇÕES SÓ PODEM SER 
UTILIZADAS UMA VEZ. 
 
 
 
 
• NA EQUAÇÃO, n REPRESENTA AS SOLUÇÕES E p AS ETAPAS. 
 
• EX: NUM CAMPEONATO COM 6 TIMES, QUANTAS SÃO AS POSSIBILIDADES PARA 
OS 3 PRIMEIROS COLOCADOS. 
ARRANJOS 
OBSERVAÇÃO: 
 
A ORDEM IMPORTA, 
OU SEJA, 
SE MUDAR A ORDEM, TEMOS UM 
RESULTADO DIFERENTE. 
PERMUTAÇÃO 
• UM TIPO DE ARRANJO SEM REPETIÇÕES, ONDE A QUANTIDADE 
DE ETAPAS A RESOLVER É IGUAL À QUANTIDADE DE SOLUÇÕES. 
 
• EX: DE QUANTAS FORMAS DIFERENTES PODEMOS ORGANIZAR 
UM LIVRO DE QUÍMICA, UM DE MATEMÁTICA E UM DE FÍSICA 
NUMA PRATELEIRA? 
• TEMOS 3 POSIÇÕES PRA ALOCAR 3 LIVROS. 
• CADA POSIÇÃO É UMA ETAPA. 
• CADA LIVRO É UMA SOLUÇÃO. 
• PELA FÓRMULA DE ARRANJO SEM REPETIÇÃO TEMOS: A3,3 = 3! / (3-3)! = 3!/0! = 6 
• PODEMOS TAMBÉM CONSIDERAR: Pn = n!  P3 = 3! 
 
 
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS 
REPETIDOS 
• DE QUANTAS FORMAS DISTINTAS PODEMOS REORDENAR AS 
LETRAS DA PALAVRA SAPATO? 
 
• NÃO BASTA APENAS PERMUTARMOS AS 6 LETRAS. 
 
• DEVEMOS CONSIDERAR QUE A LETRA A SE REPETE DUAS VEZES. 
• LOGO, TEMOS: P6 = 6! / 2! 
 
• E SE A PALAVRA FOSSE BANANA? P6 = 6! / (3! * 2!) 
COMBINAÇÃO 
• DIFERENTE DE ARRANJOS, ONDE A ORDEM DOS ELEMENTOS 
QUE COMPÕEM A SOLUÇÃO É IMPORTANTE, NA COMBINAÇÃO 
INDEPENDENTE DA ORDEM, O RESULTADO É O MESMO. 
 
• VEJAMOS: QUANTAS COMISSÕES DE 3 PESSOAS PODEMOS 
FORMAR COM ANA, CARLA, MARIA, IARA e MARCELA? 
 
• COMISSÃO 1 {ANA, CARLA, MARIA} 
• COMISSÃO 2 {CARLA, MARIA, ANA} 
• A ORDEM DOS MEMBROS MUDOU, MAS A COMISSÃO É A 
MESMA. 
COMBINAÇÃO 
• O FATO DE NÃO CONSIDERAR A ORDEM ESTÁ PRESENTE NA 
FÓRMULA DA COMBINAÇÃO. 
 
 
 
• A RESPOSTA PARA O NÚMERO DE COMISSÕES É: 
• C5,3 = 5! / 3! * (5-3)! = 5! / 3! * 2! = 10 
LÓGICA PROPOSICIONAL 
PROPOSIÇÕES 
• PROPOSIÇÃO É TODO O CONJUNTO DE PALAVRAS OU 
SÍMBOLOS QUE EXPRIMEM UM PENSAMENTO DE SENTIDO 
COMPLETO. 
 
 1. A lua é um satélite da terra. 
2. O Brasil está na América do Norte. 
3. 3 x 5 = 5 x 3 
4. Onde você mora? 
5. Que belo jardim é o desta praça! 
6. Escreva um verso. 
 
PROPOSIÇÕES 
• NA LÓGICA PROPOSICIONAL SÓ TRABALHAMOS COM 
PROPOSIÇÕES AFIRMATIVAS, NAS QUAIS PODEMOS DIZER SE 
SÃO VERDADEIRAS (V) OU FALSAS (F). 
 
 1. A lua é um satélite da terra. (V) 
2. O Brasil está na América do Norte. (F) 
3. 3 x 5 = 5 x 3 (V) 
4. Onde você mora? (INTERROGATIVA) 
5. Que belo jardim é o desta praça! (EXCLAMATIVA) 
6. Escreva um verso. (IMPERATIVA) 
PRINCÍPIOS 
• DOIS PRINCÍPIOS REGEM A LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
• PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: 
• UMA PROPOSIÇÃO NÃO PODE SER VERDADEIRA E FALSA AO MESMO TEMPO. 
 
• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: 
• UMA PROPOSIÇÃO SÓ PODE TER DOIS VALORES  V OU F 
TIPOS DE PROPOSIÇÕES 
• SIMPLES: UMA ÚNICA AFIRMATIVA. 
 p: A terra é um planeta. (V) 
q: O sol é um satélite. (F) 
r: Marte é uma estrela. (F) 
 
• COMPOSTA: DUAS OU MAIS PROPOSIÇÕES SIMPLES. 
 
P: A terra é um planeta e Brasília é um país. 
Q: O sol é um satélite ou Machado de Assis era escritor. 
R: Se Marte é uma estrela, então Maio tem 31 dias. 
 S: Tomate é uma fruta, se e somente se, a cebola não é fruta. 
 
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
• PERCEBA QUE NAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS, NÃO FOI 
INFORMADO AINDA O VALOR LÓGICO DELAS (V ou F). 
 
P: A terra é um planeta e Brasília é um país. 
Q: O sol é um satélite ou Machado de Assis era escritor. 
R: Se Marte é uma estrela, então Maio tem 31 dias. 
S: Tomate é uma fruta, se e somente se, a cebola não é fruta. 
 
• QUEM DETERMINA O VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO 
COMPOSTA SÃO SEUS CONECTIVOS, MARCADOS EM NEGRITO. 
CONECTIVOS 
• CONJUNÇÃO (E  ^) 
• DISJUNÇÃO (OU  v) 
• DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU EXC.  v) 
• CONDICIONAL (SE...ENTÃO  ) 
• BICONDICIONAL (SE, E SOMENTE SE  ) 
 
• OPERADOR DE NEGAÇÃO (NÃO  ~) 
CONECTIVOS 
• PARA DETERMINAR O VALOR DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS, 
CADA CONECTIVO POSSUI ALGUMAS REGRAS ESPECÍFICAS. 
 
• AS REGRAS SÃO EXPRESSAS POR MEIO DE TABELAS-VERDADE. 
 
• ESSA TAMBÉM É A FORMA NA QUAL DISPOSMOS OS VALORES 
DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES QUE COMPÕEM AS PROPOSIÇÕES 
COMPOSTAS. 
 
• VEJAMOS... 
TABELA VERDADE 
TABELA VERDADE 
• O VALOR LÓGICO DE UMA EXPRESSÃO COMPOSTA DEPENDE 
UNICAMENTE DOS VALORES LÓGICOS DAS EXPRESSÕES 
SIMPLES QUE COMPÕEM A MESMA, E DOS CONECTIVOS 
LÓGICOS. 
 
• NA TABELA – VERDADE FIGURAM TODOS OS POSSÍVEIS 
VALORES LÓGICOS DA PROPOSIÇÃO COMPOSTA. 
 
• ELES CORRESPONDEM A TODAS AS POSSÍVEIS ATRIBUIÇÕES DE 
VALORES LÓGICOS ÀS PROPOSIÇÕES SIMPLES COMPONENTES. 
 
TABELA VERDADE 
• DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES COMPONDO UMA PROPOSIÇÃO 
COMPOSTA TERIAM SEUS VALORES ASSIM DISTRIBUÍDOS: 
 
 
 
 
 
 
• NA UNIDADE 3 VEREMOS UMA FORMA DE CONSTRUIR A 
TABELA VERDADE E DISTRIBUIR OS VALORES DAS PROPOSIÇÕES 
SIMPLES. 
TABELAS DOS CONECTIVOS 
• COMO DITO ANTERIORMENTE, OS CONECTIVOS POSSUEM 
TABELAS PARA DITAR AS REGRAS SOBRE QUE VALORES UMA 
PROPOSIÇÃO COMPOSTA DEVE ASSUMIR. 
 
• COMEÇAMOS COM A TABELA DO OPERADOR DE NEGAÇÃO (~) 
 
 
p: A TERRA É PLANA 
~p: A TERRA NÃO É PLANA 
 NÃO É VERDADE QUE A TERRA É PLANA 
 É FALSO QUE A TERRA É PLANA 
 
CONJUNÇÃO (^) 
• p ^ q (LEIA-SE p E q) 
 
 
 
 
 
 
 
• PELA TABELA VERDADE VEMOS QUE, UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA 
POR CONJUNÇÃO SÓ SERÁ VERDADEIRA SE AS PROPOSIÇÕES 
SIMPLES FOREM AMBAS VERDADEIRAS. 
CONJUNÇÃO 
DISJUNÇÃO (v) 
• p v q (LEIA-SE p OU q) 
 
 
 
 
 
 
• PELA TABELA VERDADE VEMOS QUE, UMA PROPOSIÇÃO 
COMPOSTA POR DISJUNÇÃO SÓ SERÁ FALSA SE AS 
PROPOSIÇÕES SIMPLES FOREM AMBAS FALSAS. 
 
DISJUNÇÃO 
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
• p v q (LEIA-SE OU p OU q) 
 
 
 
 
 
 
• PELA TABELA VERDADE VEMOS QUE, UMA PROPOSIÇÃO 
COMPOSTA POR DISJUNÇÃO EXCLUSIVA SÓ SERÁ FALSA SE AS 
PROPOSIÇÕES SIMPLES TIVEREM O MESMO VALOR. 
 
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
• UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA POR ESTE TIPO DE DISJUNÇÃO 
SÓ PODERÁ SER VERDADEIRA SE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES 
EXCLUIR A POSSIBILIDADE DE OUTRATAMBÉM SER 
VERDADEIRA. 
 
• EX: JOÃO É PARAIBANO OU SERGIPANO. 
CONDICIONAL (->) 
• p -> q (LEIA-SE SE p ENTÃO q) 
 
 
 
 
 
 
• PELA TABELA VERDADE VEMOS QUE, UMA PROPOSIÇÃO 
COMPOSTA POR CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA SE A PRIMEIRA 
SIMPLES FOR VERDADEIRA E A SEGUNDA SIMPLES FOR FALSA. 
CONDICIONAL 
BICONDICIONAL (<->) 
• p <-> q (LEIA-SE p SE, E SOMENTE SE q) 
 
 
 
 
 
• PELA TABELA VERDADE VEMOS QUE, UMA PROPOSIÇÃO 
COMPOSTA POR BICONDICIONAL SÓ SERÁ VERDADEIRA SE AS 
PROPOSIÇÕES SIMPLES TIVEREM O MESMO VALOR. 
 
BICONDICIONAL 
• ROMA FICA NA EUROPA (V), SE E SOMENTE SE, A NEVE É 
BRANCA (V). (V) 
 
• VASCO DA GAMA DESCOBRIU O BRASIL (F), SE E SOMENTE SE, 
TIRADENTES FOI ENFORCADO (V). (F)