AD2 Probabilidade e Estatística 2009 1 Gabarito

Fundação CECIE RJ - Vice Presidênc ia de Educação Superior a Distância Curso de Tecnologia em Sistemas de C omputação Disciplina Probabilidade e Estatística AD2 1° semestr e de 2009 Professores: Otton Teixeira da Silveira Filho e Regina Célia de Paula Toledo 1 - Primeira questão (2,0 pontos) Dado o gráfico a baixo: a) Demonstre que f(x) é um a densidade; Da figura tiramos que os valores da f unção apresentada é positiva para todos os valores, o qu e cumpre uma das condições de ser densidade d e probabil idade. Podemos dividir a figura abaixo em três regiões: A primeira um retângulo de m edidas 1 por 1/5, depois um trapézio de bases 1/5 e 1/3 e a outra dim ensão també m igual a 1 e finalmente um trapézio de bases 1/3 e 1/5 e outra dimensão 2. O total dá a área 1, as sim f(x) é den sidade de probabilidade. b) Calcule o valor médio; Para este item e o próximo, será necessário o cálculo de integrais. Para isto, teremos que determinar a forma da função como função de x. O primeiro trecho é uma f unção constante. O segundo determinamos pela equação da reta que liga os pontos (1, 1/5) com (2, 1/3). O terceiro segmento é dad o também pelo cálculo da equação da reta que une os pontos (2, 1/3) com (4, 1/ 5). Assim, tere mos f \ue09e x \ue09f= 1 / 5 ; x \u2208 \ue09e 0, 1 \ue09f f \ue09e x \ue09f= 1 / 15 \ue09e 1 \ue083 2x \ue09f ; x \u2208 \ue09e 1, 2 \ue09f f \ue09e x \ue09f= 1 / 15 \ue09e 7 \u2212 x \ue09f ; x \u2208 \ue09e 2, 4 \ue09f Va mos usar a definição de valor médio dada por \ue0c2 = \u222b 0 4 xf \ue09e x \ue09f dx = \u222b 0 1 x 5 dx \ue083 \u222b 1 2 x 15 \ue09e 1 \ue083 2 x \ue09f dx \ue083 \u222b 2 4 x 15 \ue09e 7 \u2212 x \ue09f d x ou \ue0c2 = x 2 10 \u2223 0 1 \ue083 1 15 \ue09e x 2 2 \ue083 2x 3 3 \ue09f \u2223 1 2 \ue083 1 15 \ue09e 7 x 2 2 \u2212 x 3 3 \ue09f \u2223 2 4 = 31 15 = 2,0666... c)Calcule a variância; Parti mos da definição de variância \ue0c8 2 = \u222b 0 4 x 2 f \ue09e x \ue09f dx = \u222b 0 1 x 2 5 dx \ue083 \u222b 1 2 x 2 15 \ue09e 1 \ue083 2 x \ue09f dx \ue083 \u222b 2 4 x 2 15 \ue09e 7 \u2212 x \ue09f d x ou \ue0c8 2 = x 3 15 \u2223 0 1 \ue083 1 15 \ue09e x 3 3 \ue083 2x 4 4 \ue09f \u2223 1 2 \ue083 1 15 \ue09e 7x 3 3 \u2212 x 4 4 \ue09f \u2223 2 4 = 14 3 30 = 5 ,433 3... De p osse do segund o momento de probabilidad e, podemos calcular o segundo momento centrado de probabilidade, ou seja, a variância, que é dada por \ue0c8 2 \u2212\ue0c2 2 = 5,433 3... \u2212 \ue09e 2,0 666 ... \ue09f 2 = 1 ,16 224 OBS: Devido à erros em situações anteriores esta questão s erá dada como correta s e o aluno chegar ao cálculo do segundo m omen to de probabilidade. d) Calcule a moda. A moda vem direto da definição, ou seja, é o valor onde a f unção atinge seu máximo, ou seja, 2. 2 \u2013 Segunda questão (1,5 pontos) Verifique se as expressões abaixo são funções de probabili dade: Observe que a f unção b toma valores negativos para x > 1. Assim, ela é descartada. As funções a e c são não n egativas no domínio especificado. Assim, resta testar se a integral de cada função é igual a 1. a) f \ue09e x \ue09f= 2 \ue09e 1 \u2212 x \ue09f ; 0 \u2264 x \u2264 1 \u222b 0 1 2 \ue09e 1 \u2212 x \ue09f dx = 2 \ue09e \u222b 0 1 dx \u2212 \u222b 0 1 x dx \ue09f = 2 \ue09e x \u2223 0 1 \u2212 x 2 2 \u2223 0 1 \ue09f = 2 \ue09e 1 \u2212 1 2 \ue09f= 1 É fun ção de probabilidade b) f \ue09e x \ue09f= 2 \ue09e 1 \u2212 x \ue09f ; 1 \u2264 x \u2264 2 Não é função de probabilidade c) f \ue09e x \ue09f= s en \ue09e x \ue09f ; 0 \u2264 x \u2264\ue0c6 / 2 \u222b 0 \ue0c6 / 2 sen \ue09e x \ue09f dx = \u2212 cos \ue09e x \ue09f\u2223 0 \ue0c6 / 2 = 1 É fun ção de probabilidade 3 \u2013 Terceira questão (1,0 ponto) Uma empresa fazia um levantamento do setor de atendimento ao consumidor. O tempo de atendimento de cada cliente, T, foi modelado por uma densidade Exponencial (2). Calcule: Pela definição do modelo Exponencial X ~ ex p \ue09e \ue0b7 \ue09f , onde aqui \u03b1=2, a probabili dade é calculada como P \ue09e a \ue084 X \ue084 b \ue09f= \u222b a b \ue0b7 e \u2212 \ue0b7 x dx = e \u2212\ue0b7 a \u2212 e \u2212 \ue0b7 b a) P \ue09e T \ue084 2 \ue09f P \ue09e X \ue084 2 \ue09f = \u222b 0 2 2 e \u2212 2 x dx = 1 \u2212 e \u2212 4 = 0 .9 816 8 pois a distribuição é nula para valores menores que zero. b) P \ue09e T \ue084 2 \u2223 T \u2264 4 \ue09f P \ue09e T \ue084 2 \u2223 T \u2264 4 \ue09f= P \ue09e T \ue084 2 \ue09f P \ue09e T \ue084 4 \ue09f = 1 \u2212 e \u2212 4 1 \u2212 e \u2212 8 = 0 .9 8 1 68 0 ,9 9 9 66 = 0 , 98 201 Observe que o mesmo r esultado pode ser obtido pelo complemento de P \ue09e 2 \ue084 T \ue084 4 \ue09f pois P \ue09e 2 \ue084 T \ue084 4 \ue09f = \u222b 2 4 2 e \u2212 2 x dx = e \u2212 4 \u2212 e \u2212 8 = 0 ,0 179 8 e o comple mento 1 \u2212 0,0 17 98 = 0 ,9 82 01 4 \u2013 Quarta questão (1,5 pontos) Um fabricante de pastilhas de freios modelou a duração de seu produto por um modelo Normal. Assim, a durabilidade média foi es timada em 30 000 km e o desvio padrão encontrado foi de 600 km. Se uma amostra de cem pastilhas for sorteada, qual será o número esperado de partilhas com durabilidade inferior a 25 000 km? Qual seria a probabilidade com a mesma amostra se o desvio padrão fosse de 1000 km? Para sim plificar, trabalharemos num a escala d e milhares de quilômetros, ou seja, \u03bc = 30, \u03c3 = 0,6. Assim, a probabilidade de encontrarmos partilhas com durabilidade m enor que 25 000 km será P \ue09e X \ue084 25 \ue09f= P \ue09e \ue097 X \u2212 \ue0c2 \ue0c8 / \ue08d n \ue084 25 \u2212 30 0,6 / 1 0 \ue09f= P \ue09e Z \ue084\u2212 83 , 33... \ue09f \u2248 0 Para o caso de \u03c3 = 1 te remos P \ue09e X \ue084 25 \ue09f= P \ue09e \ue097 X \u2212 \ue0c2 \ue0c8 / \ue08d n \ue084 25 \u2212 30 1 / 10 \ue09f= P \ue09e Z \ue084\u2212 50 \ue09f\u2248 0 5 \u2013 Quinta questão (2,0 pontos) Uma nova cola rápida foi testada colando barras de madeira sempre com a mesma área de recobrimento. Foram feitos 10 testes e se verificou que, em média, a resistência era de 200 kg/cm 2 . O desvio padrão foi de 50 kg/cm 2 . Estime o intervalo de confiança para a média para o coeficiente de confiança igual a 95%. A fórmula para o cálculo do intervalo de confiança é IC \ue09e \ue0c2 , \ue0b9 \ue09f= [ \ue097 X \u2212 z \ue0b9 / 2 \ue0c8 \ue08d n ; \ue097 X \ue083 z \ue0b9 / 2 \ue0c8 \ue08d n ] Aqui temos que \u03b3 = 0,95 o que corresponde na tabela d a dis tribuição Normal para z \u03b3/2 =1,96. Além disto \u03c3 = 50 e n = 10. Assim tere mos IC \ue09e \ue0c2 , \ue0b9 \ue09f= [ 20 0 \u2212 1 ,96 5 0 \ue08d 10 ; 2 0 0 \ue083 1, 96 50 \ue08d 10 ] = [ 169, 009 ; 2 30 ,990 ] 6 \u2013 Sexta questão (2,0 pontos) Um novo aditivo de com bustível estava sendo testado. O obj etivo desta adição era di minuir a quantidade de um poluente específico X. O fabricante, na sua publicidade, afirma que há uma redução média de 22%. O novo combustível foi usado em oitenta veículos e foi observado uma redução de, em média , 20% no nível do poluente com variância 5%. Suponha que a variável aleatória R, redução do poluente, tenha distribuição Normal. Teste, ao nível de significância de 10%, a afirm ação do fabricante de combustível. Qual a probabilidade do erro s er do tipo II? Houve um problema de redação desta questão que pode ter gerado confus ão. Examinaremos o po tencial despoluidor do aditivo e os valores testados serão as porcentagens. Pela definição, a probabilidade de um erro de tipo II é dada por \ue0b8 = P \ue09e err o ti po II \ue09f= P \ue09e nã o reje ita r H 0 \u2223 H 0 fal sa \ue09f Fare mos o teste: H 0 : \u03bc = 22 ver sus H a : \u03bc \u226022. Assim, \ue0b8 = P \ue09e \ue097 X \ue084 x c \u2223 \ue0c2 = 22 \ue09f= P \ue09e x c \u2212 22 \ue08d 5 / 80 \ue09f= P \ue09e Z \ue084 z c \ue09f ou seja, z c = x c \u2212 22 \ue08d 5 / 80 = x c \u2212 2 2 4 \u21d2 x c = 22 \ue083 4 z c para \u03b2 = 0,1 temos pela tabela de distribuição Normal z c = - 1,29. Assim, x c = 16,84 A região crítica será R C = { x \u2208 \u211d : x \ue084 16 ,84 } e a probabilidade de um erro tipo II para média 20% será \ue0b8 \ue09e 20 \ue09f= P \ue09e \ue097 X \u2209 R C \u2223 \ue0c2 = 20 \ue09f= P \ue09e \ue097 X \ue084 20 \ue09f ou \ue0b8 \ue09e 20 \ue09f= P \ue09e \ue097 X \u2212 20 4 \ue084 16 ,84 \u2212 2 0 4 \ue09f = P \ue09e Z \ue084 \u2212 0, 79 \ue09f= 0,285 2

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