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Departamento de Engenharia de Minas - EEUFMG 
 
 
 
 
 
CURSO: 
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E OPERAÇÃO DE LAVRA 
(A CÉU ABERTO E SUBTERRÂNEA) 
 
I Etapa – Introdução ao Planejamento de Lavra 
 
 
Universidade Corporativa Chemtech 
 
 
 
 
Professores: 
 
Cláudio Lúcio Lopes Pinto 
Prof. Associado, Dr. 
Universidade Federal de Minas Gerais 
 
José Ildefonso Gusmão Dutra 
Prof. Associado, Dr. 
Universidade Federal de Minas Gerais 
 
 
 
Setembro de 2008 
 
Departamento de Engenharia de Minas - EEUFMG 
Rua Espírito Santo, 35 – Sala 702 - Belo Horizonte, MG 
 
 Departamento de Engenharia de Minas - EEUFMG 
CURSO DE INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO 
E OPERAÇÃO DE LAVRA 
 
 
PROGRAMA 
 
I Etapa – Introdução ao Planejamento de Lavra (8 horas-aula) 
 
Pág. 
1. Fundamentos do planejamento ...............................................................................3 
1.1. Conceito de planejamento...............................................................................3 
1.2. Aspectos gerais de um empreendimento em mineração.................................5 
1.3. Fases do planejamento ...................................................................................7 
1.3.1. Estudo conceitual ....................................................................................7 
1.3.2. Estudo preliminar ....................................................................................7 
1.3.3. Estudo de viabilidade ..............................................................................8 
1.4. Custos do planejamento...................................................................................9 
2. Planejamento a longo, médio e curto prazos ........................................................13 
2.1. Planejamento a longo prazo..........................................................................14 
2.2. Planejamento a médio prazo.........................................................................14 
2.3. Planejamento a curto prazo...........................................................................15 
3. Modelo geológico ..................................................................................................16 
4. Modelo econômico de blocos ................................................................................17 
4.1. Valor econômico de blocos ...........................................................................19 
5. Determinação dos limites da cava.........................................................................20 
5.1. Métodos manuais ..........................................................................................20 
5.2. Técnica do cone flutuante .............................................................................23 
5.3. Algorítmo de Lerchs-Grossmann...................................................................30 
5.3.1. Abordagens para o planejamento da cava final ....................................30 
5.3.2. Aspectos relevantes da otimização de cava final ..................................41 
5.4. Parametrização de jazidas ............................................................................42 
5.5. Razão de extração ........................................................................................46 
5.5.1. Relação estéril/minério (aspectos geométricos)....................................46 
5.5.2. Relação estéril/minério (aspectos econômicos) ....................................48 
6. Bibliografia.............................................................................................................51 
 
 
 
 
 
 
 
 Departamento de Engenharia de Minas - EEUFMG 
I ETAPA – INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO DE LAVRA 
 
 
1. Fundamentos do Planejamento 
 
1.1. Conceito de planejamento 
 
O planejamento de lavra é o resultado de um conjunto de tarefas que visam ao 
melhor aproveitamento dos recursos minerais. Melhor aproveitamento esse que se dá sob 
o ponto de vista da otimização da recuperação do bem mineral útil em função da 
maximização do lucro. Os modelos matemáticos e computacionais atualmente 
empregados no planejamento de lavra buscam exatamente a otimização da quantidade de 
bem mineral útil recuperada em função do lucro máximo. E embora possa parecer que a 
busca por lucro máximo conduza a um baixo aproveitamento dos recursos, esses modelos 
têm mostrado que o melhor aproveitamento desses recursos é conseguido com a 
maximização do lucro. 
Entretanto, deve-se ressaltar que o lucro máximo não consiste no lucro percentual 
máximo, mas sim no volume de lucro máximo. Isso somente é conseguido com a 
utilização do efeito de escala. 
Fisicamente o planejamento de lavra objetiva extrair a maior quantidade de 
minério e a menor quantidade de estéril. Contudo, muitas vezes a extração do minério ou 
a sua liberação (minério pronto para extração, livre de estéril, mas que não foi ainda 
extraído) só é possível quando o estéril é retirado dentro de um cronograma planejado 
economicamente. 
Seguem abaixo algumas definições importantes: 
 
Minério: Mineral ou composto de minerais que pode ser recuperado (conhecido, 
lavrado e processado) com resultados lucrativos. 
 
Estéril: Mineral ou composto de minerais desprovido de valor econômico, lavrado para 
liberação do minério. 
 
O conceito de extração dirigida para os engenheiros pode ser simplificado por: 
 
Beneficio = receita – custos 
 
Receita = material recuperado x preço unitário 
 
Custo = material lavrado x custo unitário 
 
O valor do minério é, salvo considerações especiais como minerais de interesse 
estratégico, função do mercado (oferta e demanda). Novas tecnologias, continuamente 
em desenvolvimento, interferem nas relações acima reduzindo custos (novos 
equipamentos, por exemplo) e aumentando ou reduzindo a receita (competição ou 
 
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substituição de matérias primas, por exemplo). Como conseqüência novas tecnologias 
podem transformar estéril em minério, e vice-versa. 
 
Pesquisa: Fase de um empreendimento minério que compreende a prospecção (procura) 
e exploração (conhecimento) dos bens minerais. 
 
Desenvolvimento: Procedimentos realizados para permitir o início do processo de lavra 
do minério (acessos, energia, construções civis, insumos, 
decapeamento, etc.) 
 
Produção: Recuperação, extração, lavra ou explotação dos bens minerais e sua 
adequação (beneficiamento ou tratamento) as condições do mercado. 
 
Ocorrência Mineral: Presença de um ou mais minerais em local definido e em condições 
(qualidade e quantidade) distintas de uma situação comum 
(anomalia). 
 
Jazida: ocorrência mineral com potencialidade de recuperação econômica. 
 
Mina: Jazida mineral em que ocorrem processos de recuperação mineral (lavra). 
 
As informações mais importantes decorrentes da pesquisa mineral são as 
definições de Recursos Minerais: inferido, indicado e medido e Reserva Mineral: provável 
e provada. Essas informações serão mais precisas quanto maior for o conhecimento 
sobre as ocorrências. 
Para demonstrar a variação e o grau de certezas geológicas, os recursos podem 
ser divididos em medidos, indicados e inferidos. 
 
• Medidos: A quantidade (tonelagem e/ou volume) e a qualidade (teor) são 
calculadas a partir das informações de afloramentos, trincheiras, furos de 
sondagem. Por analogia, valores interpolados. 
• Indicados: As informações são obtidas de forma similar àquela dos recursos 
medidos, mas amostragem e medidas são mais distantes e com menor 
grau de confiabilidade. Por analogia, valores extrapolados. 
• Inferidos: As estimativas são baseadas em evidencias geológicas assumindo uma 
continuidade generalizada na qual a confiança nas informações é 
menor que nas duas definições anteriores. 
 
Otermo reserva refere-se à existência, e as características físico-químicas de uma 
ocorrência mineral e não se refere aos equipamentos, estruturas, etc. necessários para 
recuperação mineral. 
As reservas são classificadas como: 
 
• Reserva provada: Parte do recurso mensurado como reserva (medida e indicada) 
que se pode provar sua viabilidade técnica e econômica de 
explotação. 
 
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• Reserva provável: Parte dos recursos inferidos e indicados que se pode definir a 
possibilidade, futura talvez, de explotação. 
 
Atualmente esses conceitos estão sendo amplamente discutidos. A revisão destes 
conceitos introduzida no código de mineração Australiano de Recursos e Reservas 
(JORC), assim como o texto Classificação de recursos minerais de autoria do engenheiro 
Sergio Martins são leituras recomendadas. 
 
 
1.2. Aspectos gerais de um empreendimento em mineração 
 
O diagrama da figura abaixo mostra o processo de suprimento de substâncias 
minerais no mercado. Como se pode notar, uma mudança positiva no mercado local cria 
uma nova demanda ou aumenta a demanda existente para os produtos minerais. Em 
resposta a novas demandas, recursos financeiros são aplicados na pesquisa mineral 
resultando em novas descobertas de depósitos. Outro aspecto a considerar é que por 
meio do aumento de preço, os minerais podem tornar-se economicamente viáveis. É 
importante salientar ainda que depósitos antes economicamente inviáveis, podem passar 
a sê-lo, por exemplo, com o desenvolvimento tecnológico. 
Processo de suprimento mineral 
 
Os processos envolvidos na recuperação dos bens minerais são geralmente 
subdivididos em quatro fases: Prospecção, Exploração, Desenvolvimento e Explotação 
(lavra). As duas primeiras fases constituem a pesquisa mineral, a qual é responsável pelo 
estudo e caracterização da ocorrência mineral. 
As informações obtidas na pesquisa mineral são fundamentais para a avaliação 
do depósito mineral bem como para o estudo de viabilidade da mineração. Após a 
avaliação e a viabilização do depósito mineral, tais informações passam a constituir a 
base para o planejamento e o projeto do empreendimento mineiro. 
Durante o processo de modelagem do depósito, dependendo do porte do 
empreendimento, uma grande quantidade de informações é gerada. Com os modelos 
 
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computacionais disponíveis atualmente é possível organizar estas informações para 
produzir um modelo tri-dimensional do depósito. Esse modelo considera as seguintes 
características: topografia, capeamento, geologia, estrutura, geomecânica, espessuras 
dos corpos, teores, tipologias etc.. 
O planejamento da mina envolve um processo complexo que depende, além dos 
aspectos técnicos, da localização, da experiência em gerenciamento de mina, das 
condições econômicas e da legislação. De maneira resumida, pode-se dizer que o 
planejamento de lavra deve buscar o método melhor e mais econômico possível para 
extrair o minério. Em outras palavras, o planejamento deve procurar o processo ótimo de 
mineração que possa resultar no lucro máximo. Entretanto, para maximizar o lucro torna-
se necessário minimizar os custos e aumentar a recuperação na lavra ou buscar uma 
combinação das duas coisas. 
O detalhamento dos processos utilizados, os “lay-out”, as especificações de 
equipamentos, o método de lavra, entre outros fatores dependem dos seguintes fatores: 
1. características naturais e geológicas do corpo mineral: Tipo de minério, distribuição 
espacial, topografia, hidrologia, características ambientais de sua localização 
características metalúrgicas, etc. 
2. fatores econômicos: Custos operacionais e de investimento, razão de produção, 
condições de mercado, etc. 
3. fatores legais: regulamentações locais, regionais e nacionais, políticas de incentivo 
a mineração, etc. 
4. fatores tecnológicos: equipamentos, ângulos de talude, altura de bancada, 
inclinação de rampas etc. 
 
A dificuldade na determinação desses fatores torna evidente a complexidade das 
operações envolvidas na recuperação do bem mineral e, por conseqüência, também a 
importância do planejamento de tais operações. O objetivo do planejamento mineiro é, 
portanto, a recuperação organizada do bem mineral, de forma a obter o máximo lucro 
possível e otimizar a quantidade dos recursos extraídos. 
A figura abaixo representa a capacidade relativa de influenciar os custos de cada 
fase do empreendimento de mineração. 
Estudo
Preliminar
Estudo
Conceitual
Estudo
de
Viabilidade
Projeto
e
Construção
Comissio-
"Start Up" Operação
PLANEJAMENTO IMPLEMENTAÇÃO PRODUÇÃOFASES
ESTÁGIOS
DECISÃO
DE
INVESTIMENTO
namento
Fechamento
 
Capacidade relativa de influência nos custos 
 
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Como mostra a figura, a fase de planejamento apresenta a melhor oportunidade de 
minimizar o capital de investimento e os custos operacionais do projeto final pela 
maximização da operacionalidade e da lucratividade do empreendimento. O contrário 
também é verdade. Nenhuma outra fase do projeto apresenta a mesma possibilidade de 
conduzir a um desastre técnico ou financeiro como a fase do planejamento. 
No início do estudo conceitual, a capacidade de influência nos custos do projeto é 
relativamente grande. Quando as decisões são tomadas corretamente, durante a fase de 
planejamento, a influência das fases seguintes nos custos do empreendimento diminui 
rapidamente. A capacidade de influenciar no custo do projeto diminui ainda mais quando 
novas decisões são tomadas durante o estágio de projeto na fase de implementação. No 
final desta fase não existe, praticamente, mais chance de influenciar nos custos das fases 
seguintes. 
 
 
1.3. Fases do planejamento 
 
O planejamento, como mostra a figura anterior, pode ser constituído por três 
fases: Estudo Conceitual, Estudos Preliminares e Estudos de Viabilidade. 
 
1.3.1. Estudo Conceitual 
 
O primeiro estágio, estudo conceitual, representa a transformação das idéias 
iniciais do projeto em proposições de investimento. Utiliza-se, nesta fase, situações 
comparativas e técnicas de estimação de custo, como por exemplo, os casos 
históricos. Em termos de precisão dos resultados de estimação de custos, tanto de 
investimento quanto de operação, apresentados no relatório de avaliação preliminar, 
são, normalmente considerados aceitáveis se apresentam erros da ordem de 30%. 
 
1.3.2. Estudo preliminar 
 
Os estudos preliminares apresentam um nível de detalhamento, cujos 
resultados ainda não são suficientes para se tomar uma decisão de investimento. Seu 
principal objetivo é determinar se o projeto conceitual justifica uma análise mais 
detalhada através de um estudo de viabilidade. Esse estudo deve ser visto como o 
intermediário entre um estudo conceitual de baixo custo e um estudo de viabilidade de 
alto custo. Alguns desses estudos são realizados por duas ou três pessoas da 
empresa com acesso a consultores de vários campos de conhecimento. A lista 
seguinte apresenta as seções importantes que compõem um relatório intermediário de 
avaliação. 
 
1. Objetivo 
2. Conceitos Técnicos 
3. Conhecimento Inicial 
4. Tonelagem e Teor 
 
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5. Programação de Lavra e Produção 
6. Estimação de Custos de Investimento 
7. Estimação de Custos Operacionais 
8. Estimação de Receita 
9. Impostos e Aspectos Financeiros 
10. Fluxo de caixa 
 
A precisão das estimações de custo, nesta fase, situa-se em torno de 20%, 
dependendo do grau de detalhamento dos itens relacionados acima, que por sua vez 
dependem da quantidade e da qualidade das informações disponíveis. 
 
1.3.3. Estudo de viabilidade 
 
O estudo de viabilidade é a essência do processode avaliação de mina. No 
projeto de mineração esse estudo representa uma estimação de engenharia econômica à 
viabilidade comercial do referido projeto. É o resultado de um procedimento relativamente 
formal obtido por meio da análise das várias relações que existem entre a grande 
quantidade de fatores que afetam o projeto em questão direta ou indiretamente. Em 
essência, o objetivo desse estudo é refinar os fatores básicos que regem as mudanças 
para o sucesso do projeto. Uma vez definidos e estudados todos os fatores relativos ao 
projeto, um esforço deve ser feito no sentido de quantificar o maior número possível de 
variáveis, visando à determinação de um valor potencial ou custo para o bem mineral. 
Como um projeto progride a partir dos resultados iniciais da exploração, até que 
as decisões para desenvolver e lavrar os recursos sejam tomadas, um número 
considerável de análises deve ser realizado, cada qual baseado numa quantidade 
crescente de informações, requerendo tempo adicional para essas tarefas, com o objetivo 
de aumentar a precisão dos resultados. 
Supondo uma decisão favorável para continuação do projeto, a próxima 
seqüência de decisões deve ser fundamentada em estudos que utilizem informações 
muito mais detalhadas. Esse estudo designado de pré-viabilidade ou estudo econômico 
intermediário é baseado em quantidades crescentes de dados relativos a informações 
geológicas, projetos preliminares de engenharia, planejamento de lavra e de instalações 
de beneficiamento e estimação inicial de receitas e custos. 
Os estudos econômicos intermediários devem considerar as informações e 
análises dos itens seguintes: projeto descritivo, geologia, lavra, beneficiamento, 
necessidades operacionais, transporte, cidades próximas e vantagens relativas, 
necessidade de mão-de-obra, legislação e análise econômica. 
O estudo de viabilidade considera uma análise detalhada de todos os parâmetros 
incluídos no estudo econômico intermediário, justamente com outros fatores pertinentes 
relativos a aspectos legais e políticos que afetam a viabilidade do projeto. 
O estudo de viabilidade deve fornecer todos os conhecimentos técnicos, 
ambientais e comerciais (capacidade de produção, aporte tecnológico, custos de 
investimento e operacional, receitas, taxa de retorno, etc.) para a tomada de decisão de 
implementação ou não do projeto. O relatório (ou os resultados) produzido nesta fase será 
o documento básico para todas as fases subseqüentes do projeto. 
 
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Uma metodologia proposta para o estudo de viabilidade compreende onze itens 
distribuídos em três fases: 
• Fase I - Planejamento: 
Itens 
01 Estabelecimento de um comitê gerencial 
02 Estabelecimento da equipe de estudos 
03 Desenvolvimento e sistematização do estudo 
04 Desenvolvimento de um plano de ação 
 
• Fase II - Organização: 
Itens 
05 Identificação dos requerimentos adicionais 
06 Identificação de membros para a equipe de trabalho 
07 Desenvolvimento da estrutura organizacional e definição de 
responsabilidades 
08 Desenvolvimento de planos e programações secundárias 
09 Identificação dos especialistas necessários 
10 Avaliação e contratação dos consultores 
 
• Fase III - Execução: 
Itens 
11 Execução, Monitoramento e Controle 
 
 
1.4. Custos do planejamento 
 
O custo desses estudos varia substancialmente de acordo com o porte, natureza do 
projeto, tipos de estudos e pesquisas, numero de alternativas a serem investigadas, etc.. 
Dessa forma, a ordem de grandeza em termos de estudos técnicos, excluindo itens como 
sondagens, testes metalúrgicos, estudos de impacto ambiental podem ser expressos ( 
Hustrulid 1995) em termos do capital para o investimento total: 
• Estudo conceitual: 0.1 a 0.3 % 
• Estudo preliminar : 0.2 a 0.8 % 
• Estudo de viabilidade : 0.5 a 1.5% 
 
Conteúdo de um relatório intermediário de avaliação 
 
• Breve descrição sobre o conhecimento existente sobre o investimento. 
• Conceitos técnicos 
• Conclusões com comentários e recomendações 
• Tonelagem de minério e qualidade 
• Escala de produção 
• Capital e estimativa de custo 
• Lucro estimado 
 
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• Taxas de financiamento 
• Fluxo de caixa 
 
Taylor 1977 apresenta uma proposta de conteúdo detalhado para o relatório 
intermediário, conforme a tabela mostrada a seguir: 
 
Conteúdo de um relatório intermediário de avaliação 
 
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Conteúdo de um relatório de estudo de viabilidade 
 
As principais funções desse relatório são: 
 
• Prover através de uma estrutura compreensível de fatos detalhados e 
comprovados concernentes ao projeto mineral. 
 
• Apresentar um esquema apropriado de lavra contendo desenhos ou figuras ou 
fotos e lista de equipamentos, com detalhamento de previsão de custos e 
resultados. 
 
• Indicar aos proprietários do projeto a lucratividade do projeto considerando que 
os equipamentos operam dentro das especificações 
 
• Mostra de forma inteligível e concisa aos proprietários, parceiros, sócios ou 
fontes de financiamento. 
 
 
Apresenta-se, na seqüência, uma proposta de Taylor (1977) para o detalhamento 
do estudo: 
 
 
 
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Conteúdo de um estudo de viabilidade 
 
 
 
2. Planejamento a longo, médio e curto prazos 
 
 
Uma das principais tarefas do engenheiro no desenvolvimento de um 
empreendimento mineiro a céu aberto é o planejamento da cava. Há basicamente três 
grupos de fatores envolvidos nesse planejamento. 
a) Fatores naturais e geológicos: condições geológicas, tipos de minérios, 
condições hidrológicas, topografia e características metalúrgicas do minério. 
b) Fatores econômicos: teor e tonelagem do minério, razão de extração, teor de 
corte, custo operacional, custo de investimento, lucro desejado, razão de produção e 
condições de mercado. 
c) Fatores tecnológicos: equipamentos, ângulo de talude, altura da bancada, 
rampa da estrada, limites de propriedade e limites da cava. 
Pode-se afirmar, sem sombra de dúvida, que a determinação do limite da cava 
final é a consideração mais importante e trabalhosa no planejamento de lavra. Para 
 
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confirmar esta afirmação basta lembrar que todas as decisões no projeto de lavra são 
baseadas neste limite final de cava. Igual importância deve ser dada ao desenvolvimento 
de uma seqüência ótima de lavra e de um cronograma de produção ao longo da vida da 
mina. 
Como um primeiro passo, tanto para o planejamento a longo prazo como no 
médio prazo, os limites da cava devem ser determinados. Esses limites definem a 
quantidade de bem mineral lavrável e a quantidade de rejeito e estéril associados que 
devem ser movimentados durante as operações de produção. O tamanho, geometria e 
locação da cava final são importantes para o planejamento de bota-foras, barragens de 
rejeito, plantas de concentração e demais instalações industriais. 
 
 
2.1. Planejamento a longo prazo 
 
No planejamento longo prazo, procura-se definir o limite da cava final. Ao longo 
do tempo esse plano deve sofrer mudanças como conseqüência de mudanças na 
economia de mercado, aumento do conhecimento do corpo de minério e melhoria na 
tecnologia de mineração. Deste modo, o planejamento longo prazo deve sofrer 
atualizações a intervalos de tempo visando adequá-lo a novas situações. 
O limite final da cava define a fronteira além da qual a lavra de um determinado 
bem mineral deixa de ser econômica. Portanto, dentro deste limite não podem ser 
construídas estruturas permanentes da mina, tais como: plantas de beneficiamento, 
barragem de rejeito etc. 
Existembasicamente três grupos principais de abordagem para o planejamento 
de cava final: 
a) Abordagem manual 
b) Abordagem computacional 
c) Combinação de ambas 
 
 
2.2. Planejamento a médio prazo 
 
No planejamento médio prazo, a escala e a seqüência de produção devem 
merecer atenção especial. Os equipamentos e os sistemas de operação da mina são 
implantados visando a atender a produção dentro de critérios ótimos de produtividade, 
buscando manter a viabilidade operacional e a exposição de minério de modo a garantir a 
continuidade da lavra para atender aos compromissos de produção da empresa. 
O objetivo da programação de produção é a maximização do valor presente 
líquido e o retorno do investimento que pode ser derivado da extração, concentração e 
venda de algum produto do depósito mineral. O método e a seqüência de extração, o teor 
de corte e a estratégia de produção são afetados pelos seguintes fatores primários: 
a) Locação e distribuição do minério com relação a topografia e cota 
b) Tipos de minério, características físicas e teor 
c) Despesas diretas com operação associadas com a lavra e o beneficiamento 
 
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d) Custo de capital inicial e de reposição necessários para iniciar e manter a 
operação 
e) Custos indiretos 
f) Fatores de recuperação dos produtos e valores 
g) Restrições de mercado e de capital 
h) Considerações ambientais e políticas 
 
 
2.3. Planejamento a curto prazo 
 
Esse planejamento tem como objetivo, uma lavra para um mínimo de seis meses 
e um máximo de um ano. De uma maneira geral esse planejamento não está baseado no 
conceito de cava ótima, mas sim em determinar áreas de lavra e desenvolvimento no 
curto prazo, com o maior fluxo de caixa, contudo limitado pelo conceito econômico e 
geométrico da cava ótima. 
Desta forma o planejamento de curto prazo é uma serie de seqüências de 
expansões que o seu somatório deverá ser fisicamente a exaustão da reserva lavrável e o 
resultado econômico a relação estéril minério global. Cada planejamento curto prazo 
objetiva a relação custo benefício teórica: 
 
Rb = rendimentos / todos os custos > 1 
 
O engenheiro de Minas através do estudo da distribuição de teores e 
conhecimento topográfico poderá chegar a um planejamento estratégico de curto prazo 
com o benefício máximo. 
A figura abaixo mostra uma seqüência de lavra. A sequência de extração para 
uma relação custo beneficio alta seria a seqüência de lavra de A a G. 
 
 
Sequenciamento de lavra 
 
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3. Modelo geológico 
 
 
O modelo geológico é utilizado para caracterizar os recursos minerais. 
Atualmente usa-se o modelo geológico tri-dimensional, que consiste em uma compilação 
de todas as informações geológicas, observações e estudos disponíveis, organizados de 
forma a representar e esclarecer as particularidades geológicas do depósito, sob um 
ponto de vista empírico e genético. 
O modelo pode ser extremamente simples ou altamente complexo, dependendo 
da natureza dos recursos, da disponibilidade de informações, ou do grau de sofisticação 
do modelo de estudo empregado. 
O modelo empírico representa a compilação e integração de numerosos tipos de 
informações químicas, mineralógicas, estruturais e não raramente numericamente 
quantificáveis. O modelo genético ou conceitual procura esclarecer a distribuição e origem 
das características importantes de modo útil e prático. O modelo geológico sempre deve 
ser atualizado ou revisto à medida que novas informações são obtidas. 
Os problemas fundamentais da caracterização de recursos minerais com o 
objetivo de avaliar e estimar a reserva mineral são a quantidade de informação geológica, 
a análise e interpretação desta informação e a extensão dessa interpretação a partes não 
pesquisadas da área. Tais informações muitas vezes não apresentam um grau de 
representatividade aceitável e, mesmo assim, a partir delas são feitas sínteses dos 
valores quantitativos e qualitativos que servem para a elaboração do relatório final sobre a 
área pesquisada. 
Em termos mais simples, a imprecisão dos resultados está nos questionamentos: 
onde está localizado o recurso mineral (minério), quais são seus limites (forma do corpo), 
qual é sua qualidade e quantidade (teor) e qual é a natureza do ambiente associado a 
este recurso. Infelizmente essa simplificação no modelo conduz a modelos de corpos com 
limites bem definidos, que somente acontecem em poucos tipos específicos de depósitos. 
Mais comumente, os depósitos são irregulares e apresentam uma distribuição de teores 
bastante irregular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A figura a seguir é uma representação simples e objetiva que ilustra a estimação 
da definição de um modelo geológico. 
 
 
 
 
Em resumo, um levantamento geológico bem conduzido com base numa 
interpretação criteriosa das informações é a única receita para uma boa caracterização do 
depósito. 
 
 
 
4. Modelo econômico de blocos 
 
 
Com a evolução dos computadores e o crescente desenvolvimento de modelos 
matemáticos empregados no planejamento e projeto de lavra, o modelo de blocos tornou-
se uma ferramenta indispensável para o engenheiro de minas. A divisão em blocos é uma 
maneira de discretizar o domínio a ser estudado por meio de um modelo matemático 
sendo o tamanho do bloco a menor porção que o “olho” matemático do modelo consegue 
“enxergar”. 
A representação de corpos de minério por meio de modelo de blocos ao invés da 
representação por seções e o armazenamento das informações em computadores de alta 
capacidade de memória e velocidade de processamento tem oferecido novas 
possibilidades ao planejamento de lavra. O uso de computadores possibilita a atualização 
rápida dos planos de lavra como também permite a abordagem de um grande número de 
parâmetros por meio da análise de sensibilidade. 
 
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O dimensionamento do bloco unitário leva em conta as características da 
mineralização e a quantidade de informações disponíveis. O tamanho do bloco é uma 
função da quantidade de informações disponíveis para a estimação das variáveis de 
interesse contidas no mesmo. De um modo geral pode-se afirmar que, para uma 
determinada quantidade de informações (por exemplo, amostras de sondagem), quanto 
menor for o tamanho do bloco, maior será o erro na estimação do bloco e, 
conseqüentemente, menor será a confiabilidade do modelo. 
O modelo de blocos é, portanto, a base para a grande maioria dos projetos de 
cava desenvolvidos por computador (modelos). 
Para definir todo o domínio é necessário determinar um bloco retangular grande o 
suficiente para conter todo o volume do depósito mineral a ser estudado. Os blocos do 
domínio podem ser de vários tamanhos e formas. 
 
Domínio global e discretizado em blocos 
 
 
A posição geométrica de um bloco é fixada em relação a um sistema coordenado 
apropriado. A cada bloco são atribuídas informações relativas à geologia, mecânica de 
rochas, processamento mineral e custo. Há vários tipos de modelos de blocos, entretanto, 
o modelo de bloco regular tridimensional é o mais largamente utilizado na prática. A altura 
do bloco normalmente é coincidente com a altura da bancada de lavra ou múltiplo dela. A 
seção horizontal normalmente tem a forma de um quadrado ou retângulo. A principal 
característica de um modelo de bloco tridimensional é que todos os blocos possuem as 
mesmas dimensões e forma. 
A atribuição de valores para cada bloco pode ser feita por meio de várias técnicas 
de interpolação. Dentre elas, as mais utilizadas são: 
a) Geoestatística usando Krigagem; 
b) Inverso da potência da distância, e 
c) Método dos polígonos. 
 
No sentidofísico de utilização, o modelo de blocos toma a forma de um arquivo 
de computador, no qual são armazenadas as informações relativas a posição, dimensões 
e variáveis de interesse. A figura mostra um modelo de blocos com representação dos 
blocos extraídos. 
 
 
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Modelo de blocos com representação de blocos extraídos 
 
 
 
 
 
Modelo de blocos com representação da superfície topográfica e geologia 
 
 
 
 
 
4.1. Valor econômico de blocos 
 
Na busca de um critério de otimização para maximizar o valor total da cava, o 
principal problema enfrentado no planejamento da cava se restringe a encontrar uma 
 
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coleção de blocos que forneçam o valor máximo possível; sujeito, naturalmente, às 
restrições impostas ao projeto. Deste modo, o valor econômico de cada bloco é de 
fundamental importância no planejamento de lavra. 
Cada bloco dentro do domínio pode ser caracterizado por: 
 
a) Receita = R = Valor da porção recuperável e vendável do bloco; 
b) Custos diretos = CD = custos que podem ser atribuídos diretamente ao bloco 
(ex. Custos de perfuração, desmonte, carregamento e transporte) 
c) Custos indiretos = CI = custos totais que não podem ser alocados 
individualmente a cada bloco. Tais custos são dependentes do tempo (ex: 
salários de pessoal administrativo e de gerência, custos de pesquisa etc.) 
 
Considerando estes parâmetros de custo, o valor econômico do bloco (VEB) pode 
ser definido como: 
VEB = R – CD 
 
Na fórmula acima é possível notar que o lucro ou prejuízo não é contemplado no 
valor econômico do bloco. Para determinar o lucro ou prejuízo é necessário considerar 
também os custos indiretos (CI): 
 
Lucro (ou prejuízo) = Σ(VEB) -CI 
 
Blocos de estéril e rejeito da mina apresentam VEB negativo, uma vez que não 
apresentam receita. Blocos de minério e blocos contendo tanto minério como estéril (ou 
rejeito de mina) podem apresentar VEB menor igual ou maior do que zero dependendo da 
quantidade e qualidade do minério neles contido. 
Qualquer critério de otimização para o planejamento da cava final deve pois 
considerar: 
Máximo Z = Σ (VEB)j 
 
Deve ser considerado que esse máximo sempre está sujeito às restrições impostas 
pela estabilidade de taludes e operações mineiras. 
 
 
 
5. Determinação dos limites da cava 
 
5.1. Métodos manuais 
 
A abordagem manual para o planejamento de cava final é um método tradicional 
de planejamento. Ela é baseada fundamentalmente no conceito de relação estéril/minério. 
Constitui-se num método de tentativa e erro cujo sucesso depende muito mais da 
habilidade e decisão do engenheiro de minas que executa o planejamento. 
 
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Diversos detalhes preliminares são requeridos antes de iniciar o planejamento 
manual da cava, incluindo: 
a) Seções verticais mostrando claramente os limites do minério e a distribuição 
de teores dentro do minério e o estéril; 
b) Planta de cada nível da mina mostrando os limites correspondentes de minério 
e de estéril; 
c) Ângulo de talude máximo admissível para os vários tipos de rocha; 
d) Largura mínima do fundo da cava proposta; 
e) Curvas de extração relevantes mostrando a variação da razão de extração 
com o teor de minério e possíveis preços de venda. 
 
Normalmente, o método manual utiliza três tipos de seções verticais (conforme a 
figura abaixo) para representar o depósito mineral: seção vertical, seção longitudinal e 
seção radial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de seções verticais usados no método manual de planejamento de cava 
 
Em cada seção deverão estar representados os teores de minério, a topografia 
da superfície, a geologia, o controle estrutural e qualquer outra informação importante 
para o planejamento. A relação estéril/minério é usada para traçar os limites da cava em 
cada seção. Os limites da cava são colocados em cada seção de modo que a quantidade 
de bem mineral nessa seção apresente uma receita que cubra as despesas, inclusive com 
o estéril. Uma vez lançado o minério e o estéril na seção calcula-se a relação 
estéril/minério na seção e compara-se com a relação estéril/minério econômica. Se a 
relação estéril/minério calculada é menor do que a relação econômica, a cava pode ser 
ampliada na referida seção. Caso a relação estéril minério seja maior, o limite da cava na 
seção é diminuído. Esse processo continua até que o limite da cava seja colocado num 
ponto onde a relação estéril/minério calculada seja igual à relação estéril/minério 
econômica. Vale lembrar que a relação econômica é aquela de lucro máximo. O lucro 
máximo não é necessariamente aquele que maximiza a quantidade de minério nem o 
lucro percentual mas sim ao volume máximo de lucro. 
Na primeira figura, o teor do lado direito da cava foi estimado em 0,6% de cobre. 
Com um preço de $ 2,25 por kg de cobre, a relação de extração limite (na figura seguinte) 
 
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é de 1,3:1. A linha para o limite da cava final foi encontrada usando o ângulo de talude e 
locada num ponto que forneça uma relação estéril/minério de 1,3:1. No limite 
Comprimento no estéril (XY) / Comprimento no minério (YZ) = 1,3/1 
 
Limites da cava em seção vertical 
 
 
 
 
Razões de extração para diferentes teores de minério e preços de metal 
 
No lado esquerdo da seção, o limite da cava para o teor de 0,7% de cobre é 
determinado da mesma forma usando uma relação de extração de 1,7:1. Se o teor do 
minério muda, a razão de extração de corte também muda. 
Do mesmo modo, os limites da cava são estabelecidos na seção longitudinal com 
as mesmas curvas de razão de extração. 
Uma vez definida a cava em cada seção, o próximo passo é transferir os limites 
da cava de cada seção para um mapa do depósito. Após a transferência dos limites da 
cava em cada seção para o mapa, deve ser feita a suavização da curva para os limites da 
cava na superfície e para cada nível considerado. 
Após ter concluído a suavização dos limites em planta, a razão de extração deve 
ser revista par verificar se continua satisfazendo a razão de extração econômica. 
 
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5.2. Técnica do cone flutuante 
 
O método consiste numa pesquisa do contorno ótimo por tentativas. O ápice do 
cone é movido de um bloco de minério para outro, sendo feito o cálculo do valor do cone 
para cada posição explorada. Quando o valor calculado é positivo, o cone é dito como 
contribuição positiva para o lucro da cava, e armazenado para ser lavrado, com os blocos 
de minério e estéril contidos no cone. O método identifica e conserva em memória os 
sucessivos cones fortes e fracos. Os sucessivos cones vão sendo transformados com 
adições e subtrações de blocos tal como na normalização das árvores construídos no 
ALG. 
O método apresenta um grave problema, conhecido como “cones fracos, que em 
determinadas situações de decisão de lavra de blocos de minério, remove significativo 
excesso de estéril ou não remove o bloco de minério que em outros algoritmos 
otimizadores (como Lerch-Grossmann) seriam lavrados. Na verdade, o programa não é 
otimizador. 
Tão logo foi divulgado, o método de Lerchs & Grossmann foi possível a 
operacionalização do método clássico de Cones Deslizantes (“moving coning methods”), 
que até então como aplicação isolada, frustrava as primeiras tentativas de otimização de 
cavas. 
O cálculo é feito a partir de uma matriz de blocos em que os teores dos blocos são 
calculados por métodos consagrados como krigagem ou inverso do quadrado da 
distância. A continuidade do procedimento conduz a um teor mínimo de explotação e, um 
ângulo determinado para a inclinação das paredes dacava. Coloca-se o cone no primeiro 
bloco econômico (maior que o teor mínimo de explotação) que exista na matriz de blocos, 
começando de cima para baixo e da esquerda para a direita fazendo-se a avaliação de 
todos os blocos com valores positivos acima do teor mínimo estabelecido para a 
explotação, como mostra a figura 7.4.1. A viabilidade econômica do cone é calculada 
utilizando a seguinte fórmula: 
 B = (Pr x RM x G x NB - (MM + P) x NB - (ME x NE)) x VB x DA 
 
onde 
 
B = Benefício 
Pr = Preço de venda do metal (mineral) 
RM = Recuperação Metalúrgica (metálica) 
G = Teor médio 
NB = Número de blocos com G como teor médio 
MM = Custo de extração e transporte de cada tonelada de minério 
P = Custo de processamento para cada tonelada de minério 
ME = Custo de extração e transporte para cada tonelada de estéril 
NE = Número de blocos estéreis 
VB = Volume do bloco 
DA = Densidade aparente 
 
 
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Se o benefício é positivo, todos os blocos incluídos dentro do cone são 
selecionados e retirados da matriz de blocos, originando uma nova superfície. Pelo 
contrário, se o benefício é negativo, a matriz permanece como está e o vértice do cone 
translada-se ao segundo bloco cujo valor está acima do teor mínimo de lavra, e o 
processo é repetido. 
 
Otimização econômica pelo método dos cones flutuantes 
 
No exemplo da figura acima, se o primeiro cone gera resultados positivos, o 
segundo cone apenas geraria blocos já avaliados positivamente, pois a sua 
economicidade é mais do que provável. Se o benefício é negativo no primeiro cone e 
positivo no segundo, o cone volta a transladar-se ao primeiro cone, pois a extração dos 
blocos do segundo cone pode viabilizar a extração do primeiro cone. A técnica é portanto, 
interativa e termina quando forem avaliados todos os blocos que possuam teores acima 
do teor mínimo de explotação, e não se possa aumentar mais o tamanho da cava, nem 
lateralmente nem para baixo. Economicamente, o algoritmo finaliza a sua avaliação 
quando os valores líquidos de todos os blocos avaliados não apresentarem mais nenhum 
valor positivo acima de um teor mínimo determinado para a cava de explotação. 
Na figura seguinte é mostrada uma matriz representativa de um modelo de blocos 
cuja otimização se realizará seguindo o método dos cones flutuantes. O processo se 
realiza da seguinte forma: 
 
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Matriz de blocos representativa do método dos cones flutuantes 
 
a) O primeiro nível apresenta um bloco com valor positivo; posto que não existem 
blocos superiores, sua extração geraria resultados positivos, sendo o valor do cone 
do bloco (+1), conforme a seguinte figura: 
 
Primeiro cone incremental para o método dos cones flutuantes. 
 
b) O cone seguinte será definido pelo bloco do nível 2 e coluna 4 (+4). O valor do cone 
será: 
-1-1-1+4 = +1 
 
Como o valor do cone é positivo, o cone é extraído (figura abaixo). 
 
Segundo cone incremental para o método dos cones flutuantes 
 
c) O bloco seguinte a ser analisado será o do nível 3 e coluna 3 (+7). O valor desse 
cone é: 
 
-1-1-2-2+7 = +1 
 
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Novamente o valor do cone é positivo, portanto também será extraído (figura abaixo). 
 
Terceiro cone incremental para o método dos cones flutuantes. 
 
d) Finalmente, o último cone será definido pelo nível 3 e coluna 4 (+1), cuja extração 
gerará o seguinte valor: 
 
-2+1 = -1 
 
Neste caso, o valor é negativo por isso não será extraído (figura abaixo). 
 
Quarto cone incremental para o método dos cones flutuantes. 
 
O desenho final da cava é o mostrado na figura que segue: 
 
Desenho final da cava de explotação para o método dos cones flutuantes 
 
O valor total da cava será dado por: 
 
-1-1-1-1-1+1-2-2+4+7 = +3 
 
Nessa simulação simples, o desenho final obtido é o ótimo. 
 
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Contudo, esse método de otimização nem sempre oferece a situação ótima, pois 
podem apresentar-se diferentes situações problemáticas. De certo, duas possíveis 
segundo BARNES, 1982: 
 
a) O primeiro problema se apresenta quando blocos positivos são analisados 
individualmente. A extração de um único bloco positivo pode não se justificar, mas 
a combinação deste bloco com outros blocos que se sobrepõem pode-se gerar um 
cone com valores positivos. JOHNSON (1973, apud JIMENO, 1997) havia 
denominado essa situação como o problema do suporte mútuo. Na primeira e na 
quarta figuras da seqüência é representada essa situação (HUSTRULID e 
KUCHTA, 1995). O cone definido pelo bloco do nível 3 e coluna 3 (+10) tem um 
valor de: 
 
-1-1-1-1-1-2-2-2+10 = -1 
 
 
Matriz inicial de blocos para análise do primeiro 
tipo de problema do método dos cones flutuantes. 
 
 
 
Já que o resultado final do cone é negativo, não se extrai (figura abaixo). De igual 
forma, o cone estabelecido segundo o bloco do nível 3 e coluna 5 (+10) terá um valor de: 
 
-1-1-1-1-1-2-2-2+10 = -1 
 
 
Primeiro cone cuja extração não se realiza para o método dos cones flutuantes 
 
 
 
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Também neste caso não se realizaria a sua explotação (figura abaixo). Portanto, 
usando a análise simples dos cones flutuantes, nenhum bloco será extraído nas duas 
simulações realizadas. Entretanto, devido à superposição (suporte mútuo) que 
apresentam ambos os cones anteriores, o valor de suas combinações apresentariam 
resultados positivos: 
 
-1-1-1-1-1-1-1-2-2-2-2-2+10+10 = +3 (10) 
 
 
Segundo cone cuja extração não se realiza 
para o método dos cones flutuantes. 
 
Este desenho seria a autêntica otimização (figura abaixo). Esta situação pode-se 
apresentar com grande facilidade em jazidas reais, e a otimização simples pelo método 
dos cones flutuantes não a considera. Portanto, contemplar a técnica interativa, 
comentada anteriormente, resulta no único caminho para resolver situações deste tipo. 
 
Desenho ótimo autêntico para o para o método dos cones flutuantes. 
 
b) A segunda situação problemática se apresenta quando o método inclui blocos sem 
benefício no desenho final da cava. Esta discussão pode reduzir o valor líquido da 
explotação. A primeira e a terceira figuras da seqüência mostram o problema. Dada 
a matriz da primeira figura, o cone correspondente ao bloco do nível 3 e coluna 3, 
(vide segunda figura da seqüência) definirá um valor de: 
 
-1-1-1-1-1+5-2-2+5 = +1 
 
 
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Matriz de blocos para análise do segundo tipo de 
problema para o método dos cones flutuantes 
 
 
Cone de tamanho maior para o bloco do nível 3 e coluna 3 do 
segundo tipo de problema do método dos cones flutuantes 
 
Desde que o valor deste cone seja positivo, não implica que deva ser extraído. 
Como se observa na figura abaixo, o valor do bloco correspondente ao nível 2 e coluna 2 
terá um valor de: 
-1-1-1+5 = +2 
que será o valor do desenho ótimo, pois, uma vez extraído este, o seguinte gerará 
resultados negativos (nível 3 e coluna 3): 
 
-1-1-2-2+5 = -1 
 
Cone menor para o bloco do nível 2 e coluna 2 do segundo tipo de 
problema para o método dos cones flutuantes. 
 
 
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Nesse caso, o valor do cone menor (nível 2 e coluna 2) é maior que o valor do 
cone maior (nível 3 e coluna 3). 
Apesar destes problemas, o método é muito simples em seu conceito, fácil de 
programar e de resolver num curto espaço de tempo. Apesar das variações que têm sido 
publicadas não terem produzido uma verdadeira otimização existe um número importante 
de aspectos positivos que possibilita a esta técnica ser uma das mais utilizadas.a) O método é uma informatização das técnicas manuais, e por isso os usuários 
podem utilizá-lo, entender o que estão fazendo e sentirem-se satisfeitos com os 
resultados. 
b) O algoritmo é muito simples, permitindo uma fácil e ágil interface com outros 
programas de mineração. 
c) O algoritmo gera resultados suficientemente seguros e confiáveis. 
 
 
5.3. Algorítmo de Lerchs-Grossmann 
 
5.3.1. Abordagens para o planejamento da cava final 
 
Vários tipos de abordagem têm sido utilizados no planejamento da cava final. A 
preferência por um método particular normalmente é baseada na familiaridade e na 
disponibilidade de um aplicativo do modelo a ser utilizado. Outro fator determinante é a 
disponibilidade de informações exigidas pelo modelo. 
A tabela a seguir mostra vários tipos de métodos para projeto de cava final de 
acordo com a abordagem empregada. Esses métodos foram desenvolvidos entre 1964 e 
1987. A simulação e a programação dinâmica são as técnicas mais empregadas. As 
técnicas de simulação incluem os cones móveis e as técnicas de programação dinâmica 
incluem o algorítmo de Lerchs & Grossman e suas modificações incluindo algorítmos bi e 
tridimensionais. 
 
Tipos de abordagem para planejamento de cava final 
 
 Métodos básicos 
Autor 
M
an
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G
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et
riz
a
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ão
 
Axelson (1964 X 
Lerchs & Grossman (1965) X X 
Pana (1965) X 
Meyer (1966) X 
Erikson (1968) X 
Fairfield & Leigh (1969) X 
 
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 Métodos básicos 
Johnson & Sharp (1971) X 
Francois-Bongarçon & 
Marechal (1976) X 
Lee & Kim (1979) X 
Koenigsberg (1982) X 
Wilke & Wright (1984) X 
Shenggui & Starfield (1985) X 
Wright (1987) X 
 
 
Métodos computacionais e mistos 
 
Uma vez que os detalhes a serem considerados no planejamento de uma mina a 
céu aberto normalmente são numerosos, o uso do computador torna-se necessário. Esses 
detalhes incluem: 
a) O teor e a distribuição de teores dentro do depósito; 
b) Os custos de mineração; 
c) Propriedades das rochas e o correspondente ângulo de talude admissível por 
tipo de rocha; 
d) Recuperação metalúrgica e 
e) Preço de venda. 
 
As informações importantes são inicialmente registradas no modelo de blocos. As 
velocidades envolvidas no armazenamento das informações, no processamento das 
mesmas e na apresentação dos resultados são importantes para o planejamento de lavra 
para: 
a) Aplicar algoritmos de planejamento cuja implementação seria impossível sem 
o computador e; 
b) Examinar muito mais opções de projeto e assim possibilitar resultados 
melhores. 
 
A utilização de métodos computacionais no planejamento de cava pode ser 
dividida em dois grupos: 
 
a) Métodos assistidos por computador. O cálculo é feito pelo computador sob o 
controle direto do engenheiro. O computador não executa o projeto inteiro mas somente 
realiza o trabalho de cálculo com o engenheiro controlando o processo. Exemplo disso é a 
utilização da técnica de Lerchs-Grossman. 
b) Métodos automáticos. Eles são capazes de executar o planejamento da cava 
final para um dado conjunto de restrições físicas econômicas sem a intervenção do 
engenheiro. Uma categoria de métodos automáticos compreende técnicas 
matematicamente ótimas usando programação linear e dinâmica ou fluxo de rede. Uma 
segunda categoria utiliza os métodos heurísticos, tal como o método dos cones flutuantes 
que produz uma cava aceitável mais não necessariamente produz uma cava ótima. 
 
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Algoritmos de otimização 
 
A implementação computacional de modelos para determinação de cava final 
ótima em mineração a céu aberto avançou consideravelmente nos últimos anos. Quatro 
famílias genéricas de métodos computadorizados são utilizadas na indústria mineral: 
 
a) Método por Incrementos, uma variante computadorizada do tradicional método 
manual de “push-back”; 
b) Algoritmo utilizando Teoria dos Grafos, o mais conhecido é o Algoritmo de 
Lerch & Grossman (ALG); 
c) Algoritmo dos Cones Móveis também chamado de Cones Flutuantes; 
d) Método de Parametrização Técnica de Reservas. 
 
Método por incrementos 
 
Dentro deste grupo enquadram-se os métodos gráficos e alguns métodos 
algébricos para efetuar a otimização da cava final. 
Esse método tradicional, descrito por Pana e Daverey (1973), considera a área 
delimitada pela jazida dividida em seções verticais paralelas, obtidas por meio de um 
método bidimensional, para cada uma das quais determina-se a cava final ótima pelo 
deslocamento das linhas que possam representar suas paredes (observado o ângulo de 
talude) e os “push&back” necessários. As seções adjacentes são, então, aproximadas 
para que passem a atender, no sentido longitudinal, à inclinação pré-fixada para as suas 
paredes. 
Este método tem uso clássico no cálculo manual, porém dentro de um grau 
aceitável de exatidão, tem servido também a implementações que embora explorem as 
capacidades do computador, exigem considerável esforço técnico do usuário. 
O processo pode ser bem ajustado para depósitos com características pouco 
variáveis numa determinada direção, e cujas seções estudadas sejam perpendiculares a 
essa direção. Caso contrário, o ajuste para três dimensões, a partir de seções otimizadas, 
pode fugir da solução ótima procurada. 
 
Algoritmo de Lerchs & Grossman (ALG) 
 
Usando a técnica de Programação Dinâmica, Lerchs, H. e Grossman, I. (1965) 
introduzem, juntamente com um algoritmo de otimização bi-dimensional de cavas, o 
tratamento algébrico para a discretização da jazida em blocos tecnológicos. 
Lerchs e Grossmann propuseram um algoritmo matemático que permite desenhar 
o contorno de uma explotação a céu aberto de tal forma que se maximize a diferença 
entre o valor total da mineralização explotada e o custo total da extração do minério e 
estéril. Este trabalho foi o começo das aplicações da informática na otimização de 
explotações a céu aberto, sendo o artigo que tem tido maior incidência nesta temática 
aplicada à indústria mineira. Contudo, seu uso não é universalmente aceito provavelmente 
pelas seguintes razões: 
a) Complexidade do método em termos de compreensão e programação. 
 
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b) Tempo requerido, em termos de ordenação para obtenção do desenho. Este fato tem 
gerado a criação de um grande número de algoritmos alternativos, como o algoritmo 
de KOROBOV, que reduz o tempo necessário para a otimização do desenho. Este 
problema aumenta se existe a necessidade de realizar uma análise de sensibilidade 
que gera múltiplos desenhos em função de mudanças nas variáveis tais como 
custos, preços, teores mínimos de lavra etc. Contudo, a chegada, nos últimos anos, 
de equipamentos de informática potentes a baixo custo tem minimizado, 
notavelmente, este problema. 
c) Dificuldade para incorporar mudanças nos ângulos de taludes da cava de explotação. 
d) O critério de otimização se baseia no benefício total, enquanto deveria ser baseado 
no Valor Atual Líquido (VAL). Esta dificuldade é comum na maior parte dos 
algoritmos existentes e tem uma solução difícil. 
 
Considerando insatisfatoriamente a extensão deste método para três dimensões, 
devido à necessidade de manterem-se as aproximações que em última análise afastam a 
solução do ótimo, estes autores apresentam no mesmo trabalho um segundo algoritmo, 
derivado da Teoria dos Garfos, que trata do problema, colocado sob as hipóteses 
características de discretização da jazida em blocos, através da procura do fecho máximoem um grafo associado. O benefício B associado de lavra i é representado por Bi, o 
problema de otimização em pauta pode ser formulado como sendo a busca da 
combinatória de blocos que maximizaram ΣiBi , respeitando os constrangimentos 
pertinentes ao caso em estudo. O contorno que satisfaz as restrições geométricas 
impostas, é representado por um fecho do grafo G=(X,v). 
O algoritmo de Lerchs & Grossman (ALG) (1965), demonstrou que atinge o 
objetivo desejado com um número finito de iterações. 
A grande vantagem obtida com a introdução dos conceitos de Programação 
Dinâmica na resolução dos problemas da cava final ótima, sem duvida, está relacionada 
com a rapidez na obtenção da solução, particularmente interessante para a avaliação de 
alternativas na programação da produção. 
 
Método de Lerchs & Grossmann bidimensional (D) 
 
O modelo bi-dimensional desenvolvido por Lerchs & Grossmann, acumula 
características de simplicidade e precisão, sendo aplicável à determinação das 
configurações ótimas para a extração de blocos de cada seção vertical de um depósito 
mineral assim discretizado. 
A figura abaixo mostra os procedimentos básicos para o uso do algoritmo de 
Lerchs & Grossmann para o planejamento de cava final. O esquema da figura a mostra 
uma seção vertical de um modelo de blocos com os valores econômicos de cada bloco, 
mij, escritos em cada bloco. Adicionalmente uma linha de “blocos de ar” foi sobreposta na 
seção como a linha 0. Essa linha serve como a linha de partida. Ela é necessária para 
determinar o limite da cava como a soma máxima dos valores econômicos dos blocos na 
seção, sujeita à restrição do ângulo máximo de talude de 1:1 bloco para ambos os lados 
da seção. 
Na ordem para extrair um bloco no nível “i”, todos os blocos diretamente acima 
dele na coluna “j” , devem ser extraídos primeiro, designadamente os blocos nos níveis “i-
 
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1”, “i-2” etc. O valores econômicos dos blocos, mij , dos blocos em qualquer coluna, abaixo 
incluindo o bloco em consideração devem ser somados para dar o valor da coluna de 
blocos, Mij , sendo: 
Mij = Σmij , para j = 1,2,... 
 
Entretanto, para lavrar um bloco particular do nível “i”, é necessário não somente 
a extração de todos os blocos diretamente acima desse bloco na mesma coluna, mas 
também todos os blocos dentro do cone de remoção mínimo formado pelo ângulo de 
talude. 
Agora, considerando qualquer bloco, bij , na coluna “j” em relação à coluna vizinha 
“j-1”, a restrição de talude assumida de 1:1 obriga que o bloco bij pode somente ser 
lavrado juntamente com o bloco bi-1, j-1 , bloco bi, j-1 ou o bloco bi+1, j-1. 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 
2 -6 5 5 5 5 5 5 -6 
3 -7 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -7 
4 -8 -8 -8 3 -8 -8 -8 -8 
a) 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 
2 -8 3 3 3 3 3 3 -8 
3 -15 1 1 1 1 1 1 -15 
4 -23 -7 -7 4 -7 -7 -7 -23 
b) 
 
 
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 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
1 -2 -2 -1 2 5 8 11 14 
2 X 1 4 7 10 13 16 X 
3 X X 2 5 8 11 X X 
4 X X X 7 0 X X X 
c) 
Ilustração do uso do algoritmo de Lerchs & Grossmann 
 
Evidentemente, deve-se procurar extrair esse bloco bij com a melhor combinação 
possível com os três blocos vizinhos para a maximização do valor econômico da cava no 
referido bloco. 
Com Pij representando o valor ótimo obtido pela extração dos blocos que 
procuram maximixar o valor, incluindo o bloco bij , Pij pode ser escrito como: 
 
 Pi -1, j –1 
Pij = Mij + Max Pi, j –1 
 Pi +1, j –1 
 
A equação acima é a fórmula recursiva que dá a relação aplicável a qualquer 
bloco na seção. Portanto, é possível usar esta equação para derivar todas as fronteiras de 
cava possíveis na seção e a partir delas determinar a cava limite com valor máximo. 
Na prática deve-se começar a partir do bloco superior esquerdo da seção (por 
exemplo, com o bloco b00 ) e continuar aplicando a equação de Pij de modo descendente 
nas colunas da esquerda para a direita. 
A determinação do valor econômico do bloco na cava, Pij , para cada bloco é feita 
durante a sequência. Os blocos são examinados na seguinte ordem: nível a nível dentro 
de cada coluna. Seguindo as colunas da esquerda para a direita. No fim da sequência, 
cada bloco terá seu valor na cava, Pij , e uma seta apontando para o vizinho ótimo na 
direção contrária ( aquele Pi, j –1 Max, escolhido para o cálculo de Pij . 
Por exemplo, para o bloco b24 , figura 7.4.15 três possíveis combinações podem 
ser feitas. Sendo elas com os blocos b13, b23 ou b33 conduzindo aos valores: 
 
 P13 
P24 = M24 + Max P23 
 P33 
 
dando: 
 -1 
P24 = 3 + Max 4 
 2 
 
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A partir da fórmula acima o bloco vizinho b23 é o ótimo entre os vizinhos, sendo 
indicado pela seta que sai do bloco b24 apontando para o bloco b23 na figura 7.4.15c. 
O traçado da fronteira da cava ótima é feito a partir do último bloco de ar da direita 
(bloco b09 na figura 7.4.15c) seguindo as setas que apontam para o bloco ótimo na coluna 
da esquerda. 
O ALG deu margem a verdadeira revolução, impulsionando a pesquisa de novos 
métodos e permitindo-se o apoio de outros, como os propostos por Vallet (1976) ou ainda 
por Bongarcon e Marechal (1976). 
Embora inicialmente não tenha sido completamente aceito na prática por requerer, 
como os demais métodos então utilizados, um esforço subjetivo de aproximação das 
paredes laterais e fundo das cavas com relação as secções verticais vizinhas , esse 
método foi estendido posteriormente para otimização tri-dimensional com perspectivas 
favoráveis a obtenção de resultados mais satisfatórios como no método de Johnson e 
Sharp (1971), seguindo o esquema do ALG, sendo adaptado à obtenção de uma solução 
analítica para substituir a aproximação empírica das cavas estabelecidas nas seções 
transversais do depósito, por otimização bi-dimensional. 
O problema de suavização da cava no sentido longitudinal surge em virtude dos 
cálculos das cavas transversais serem desenvolvidos isoladamente, sem qualquer 
preocupação quanto à compatibilidade dos resultados com respeito às seções contíguas. 
Em conseqüência, os contornos resultantes dificilmente se ajustam devido a inevitável 
defasagem dos níveis estabelecidos para exploração econômica em cada seção 
transversal. 
Johnson e Sharp (1971), propuseram um método para estender estes cálculos ao 
levantamento dos contornos para cada possível nível de exploração que venha a ser 
fixado visando a composição da cava conjuntamente com as demais seções contíguas. 
Evidentemente a cava resultante observará as imposições quanto à inclinação máxima, já 
que estará fundamentada nos cálculos parciais de cavas viáveis possíveis. 
No mercado, o ALG encontra-se implementado em programas como Whittle ( 
Whittle Programming) e Maxpit (Earthworks) com suas devidas modificações. 
O algoritmo de programação dinâmica bidimensional (2D) de LERCHS e 
GROSSMANN, que determina, em seções, a configuração ótima dos blocos a extrair, tem 
como a grande maioria das técnicas bidimensionais, seu maior problema na complexidade 
e notável esforço que deve ser realizado para suavizar o fundo da cava, assim como para 
assegurar que as seções, nas diferentes direções, possam unir-se umas as outras, pois, 
como o método trabalha a duas dimensões de forma independente, não possibilita 
nenhuma segurança de que uma seção apresente um desenho compatível, 
geometricamente, com a seguinte. Ainda mais, a suavização que se pode realizar para 
conseguir a desejada tridimensionalidadejamais gerará uma solução ótima. 
Existem diferentes opções para solucionar este problema. Uma delas é recorrer 
ao algoritmo tridimensional (3D) de LERCHS e GROSSMANN. A outra é optar por 
algoritmos que, sem possuir o caráter tridimensional, proporcionem uma solução que 
acrescente, ao menos parcialmente, uma tridimensionalidade ao problema. Um exemplo é 
o algoritmo denominado por BARNES como 2 ½ D. 
Na figura seguinte são mostradas cinco seções consecutivas de um hipotético 
bloco tridimensional a otimizar. Começando com a primeira seção, se determinam os 
 
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desenhos ótimos de explotação para cada um dos níveis considerados (quatro no 
presente exemplo, figura 7.4.17). Uma vez calculados estes (definidos com uma versão 
ligeiramente modificada do algoritmo de LERCHS e GROSSMANN 2D), se obtém os 
valores líquidos para cada um dos desenhos, que são: 
 
 Nível 1 → 2, Nível 2 → -3, Nível 3 → 1 e Nível 4 → -7 
 
 
 
 
Seções para o desenvolvimento do método de Lerchs&Grossmann 2½ D. 
 
 
 
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Desenhos de explotações ótimas para análise da seção 1 da figura anterior 
 
Esse processo se repete com as quatro seções restantes. Para combinar as cinco 
seções e gerar, portanto, um efeito tridimensional, é necessário obter uma seção 
longitudinal que cruze, de forma perpendicular, as cinco seções consecutivas. 
Observando a figura acima, pode-se verificar que a extração mais profunda na primeira 
seção alcança a coluna de no 4. Por isso, cria-se uma coluna com quatro valores que 
correspondem aos valores líquidos para cada nível, já calculados anteriormente (2, -3, 1 e 
-7). Da mesma forma se faz com as seções restantes, obtendo a figura abaixo, a qual se 
otimiza de forma semelhante às anteriores. 
 
 
Seção longitudinal para o método de Lerchs&Grossmann 2 ½ D 
 
 
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Contorno longitudinal ótimo para o método de Lerchs&Grossmann 2 ½ D 
 
O valor líquido para o material presente na explotação a céu aberto se obtém 
somando os valores dos blocos presentes ao longo do contorno final figura anterior, isto é: 
 
Valor da cava = 2 + 0 + 5 + 0 + (-1) = 6 (15) 
 
Uma vez que os níveis do fundo da cava para as seções transversais tenham sido 
calculados, giram-se as seções originais e selecionam as correspondentes, de acordo 
com os valores mostrados anteriormente (vide figura abaixo). 
Dessa forma se consegue obter o efeito tridimensional desejado, ao combinar as 
duas dimensões das seções originais com a terceira dimensão definida pela seção 
longitudinal transversal (vide duas últimas figuras). 
 
Seções longitudinais ótimas da cava para o método de Lerchs&Grossmann 2 ½ D 
 
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Dado o grande número de operações que o programa necessita realizar para 
otimizar a cava, o tamanho dos blocos a serem estudados constitui um ponto crucial no 
desenvolvimento do método. A escolha dos tamanhos dos blocos deve considerar as 
quatro etapas a seguir: 
 
a) Desenho do corpo mineralizado: o tamanho dos blocos é função, logicamente, da 
forma e tamanho do corpo de minério, assim como do suporte utilizado. Em 
qualquer caso, o tamanho pode ser pequeno, gerando-se, freqüentemente, 
modelos com milhões de blocos. 
b) Estimação dos valores dos blocos: nesta etapa deve-se buscar uma solução de 
compromisso considerando os dois fatores seguintes: (1o) a menor Unidade 
Seletiva de Lavra (USL), de tal forma que não se possa estabelecer um tamanho 
de bloco tão pequeno que não possa ser extraído seletivamente e, (2o) a 
suavização, não elegendo tamanhos tão grandes que gerem valores de teores 
artificiais pela forte suavização. Em geral, o tamanho do bloco pode ser maior que 
na etapa anterior. 
c) Desenho da cava: de acordo com grande experiência que existe no desenho das 
cavas a partir da técnica de otimização, um modelo que inclua entre 100.000 e 
200.000 blocos pode ser mais que suficiente para os objetivos almejados. Isto 
conduz para que o tamanho do bloco, novamente, seja maior que na etapa 
anterior. 
d) Análise de sensibilidade: quando se quer realizar um série de otimizações 
considerando, p. ex., diferentes preços da matéria prima, um modelo de 20.000 a 
50.000 blocos dá, praticamente, os mesmos resultados de um modelo constituído 
pelos 100.000 a 200.000 blocos da etapa anterior. Esta nova diminuição do 
número de blocos economiza uma notável quantidade de tempo e gera resultados 
bastante satisfatórios. 
 
Na próxima figura será mostrado o tipo de curva que se obtém quando se 
representa o valor total da cava em função das tonelagens correspondentes. Como se 
pode observar, o valor máximo apresenta-se em uma zona de comportamento suave, não 
existindo um pico claramente definido. Este fato tem um efeito muito importante no 
processo de otimização. Assim, se os pequenos desvios são produzidos em zonas que 
correspondem aos desenhos não ótimos (figura abaixo 17, zona A), estas mudanças 
podem ter conseqüências importantes no valor final da cava. Pelo contrário, se os desvios 
são definidos a partir do desenho ótimo (figura abaixo, zona B), desenho gerado pelo 
algoritmo de LERCHS e GROSSMANN 3D, o efeito que é produzido no valor final da cava 
é mínimo. A diminuição no número de blocos de 200.000 a 25.000 gera, em termos 
médios e considerando um grande número de tipos de jazidas diferentes, erros que não 
superam 1% (segundo WHITTLE, 1992). 
 
 
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Representação do valor final da cava em função de suas correspondentes tonelagens. 
 
 
5.3.2. Aspectos relevantes da otimização de cava final 
 
a) É importante ressaltar que a etapa de modelagem geológica e avaliação de 
reservas deve ser realizada adequadamente independente do método de 
otimização de cava a ser utilizado; 
b) Os dois principais métodos de otimização de cava final são: Lerchs&Grossmann e 
Parametrização Técnica de Reservas; 
c) O método dos cones flutuantes não é otimizante devido ao problema dos cones 
fracos; 
d) Os métodos que utilizam Lerchs&Grossmann já têm embutido uma função 
econômica para maximizar o valor presente líquido do empreendimento e partindo 
da premissa de um sequenciamento previamente executado. Entretanto, cuidados 
especiais deverão ser tomados para se ter uma função econômica que realment 
retrate as condições do projeto em estudo. Fatores como escala de produção, 
custos variáveis durante a vida do empreendimento, variação do preço de venda 
do minério etc. devem ser analisados com o devido cuidado. 
e) A parametrização técnica de reservas é um método prático e flexível. Possibilita a 
consideração de diversos parâmetros técnicos antecedendo a análise econômica, 
dando então enfoque a condições de engenharia que não podem ser sub-
avaliadas. 
f) A técnica de parametrização de reservas possibilita programar geometrias 
parciais ótimas, fornecendo o sequenciamento ótimo da mina até a exaustão. 
g) Em qualquer método de otimização de cava final a etapa de operacionalização 
(ou suavização) do contorno da cava final é obrigatória. Esta etapa exige do 
engenheiro e projetista, especial cuidado para não fugir da solução ótima obtida 
pelo programa, devido à colocação de acesso, cristas e bermas. 
h) No contexto de sequenciamento de lavra, a principal condicionante é a 
maximização do valor presente líquido do empreendimento. Porém objetivos em 
termos de qualidade, relação estéril/minério e quantitativos de produção podem 
ser atingidos. 
i) O valor do bloco depende fortemente de quando ele vai ser movimentado, ou 
seja, seu valor é função do tempo. 
 
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5.4. Parametrização de jazidas 
 
Em umaproposta inovadora, Bongarçon e Marechal (1976), baseados em 
estudos de G. Matheron (1975), abandonam o ponto de vista geométrico e combinatório 
para tratarem do problema de cava final por meio de uma aproximação funcional. 
Utilizaram para isso a técnica de Análise Convexa. 
A idéia básica sintetiza-se em voltar o problema para a determinação de uma 
função de parametrização, a partir da qual torna-se possível a obtenção imediata de uma 
família de cavas ótimas, independente da conjuntura econômica subjacente ao problema, 
o que é mais uma das vantagens destes métodos de otimização. 
O estudo de variabilidade de soluções relativamente a um dado parâmetro passa 
a ser imediato, sem exigir qualquer processamento adicional de cálculo do programa. Em 
outras palavras, o conhecimento de todos os projetos potencialmente ótimos do ponto de 
vista da maximização da quantidade de metal, permite a comparação dos mesmos com 
antecedência às flutuações de mercado. 
A maximização da quantidade de metal contido, com a minimização de remoção 
de material, garante soluções ótimas, em que a escolha da cava entre a família de cavas 
ótimas pode ser obtida, por exemplo, pela cava de maior benefício. 
A Parametrização Técnica de Reservas é então, em resumo, a procura dos 
projetos que pertençam à superfície convexa que sobrepõe ao conjunto de todas as cavas 
possíveis. A figura 7.6.1 ilustra as disposições dos diferentes projetos. 
Como se pode verificar na figura a seguir, as cavas máximas estão contidas numa 
serie que define o chamado envelope superior do domínio das cavas possíveis. 
Na modelagem adotada por Vallet, R. (1976), há uma pequena variação na 
definição do grafo G=(V,A) associado à jazida discretizada em blocos de lavra: a lei de 
antecedência de que o bloco j deva preceder o bloco i no processo de extração, gera o 
arco (vi,vj)∈A. 
O conceito básico é encontrar todos os projetos que maximizem a seguinte 
fórmula: 
Q - θT - λV 
 
onde: 
 
Q é a quantidade de metal 
θ é o teor de corte 
T é a tonelagem de minério 
λ é similar ao teor e representa parâmetros de ligação do tamanho da cava ou a relação 
entre custos de mineração e preço do metal 
V é a tonelagem total de minério e estéril 
 
 
 
 
 
 
 
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O conjunto de projetos e as cavas tecnicamente ótimas (curva do envelope) 
 
 
Uma aproximação alternativa para a otimização da cava é parametrizar a 
geometria da cava como uma função do número de variáveis. Esta aproximação foi 
desenvolvida por MATHERON (1975) e tem sido utilizada em inúmeras situações. A 
aproximação divide o problema em duas partes distintas - técnica e econômica. Numa 
primeira etapa as geometrias são pré-selecionadas e, posteriormente são avaliadas do 
ponto de vista econômico/financeiro. 
O algoritmo que permite a aplicação desta técnica foi concebido por 
BONGARÇON e MARECHAL (1976). 
A parametrização assume que somente a geometria da cava de algum interesse é 
que maximiza a quantidade de recurso (mineral, metal). A hipótese é baseada na 
observação de que a maioria das funções de rendimento, de forma complexa, aumenta 
com a quantidade de recurso (mineral, metal) e que a cava para um corpo de minério 
particular pode então ser definida por um número mínimo de parâmetros técnicos: 
quantidade de recurso (mineral, metal), tonelagem total e tonelagem selecionada. 
Embora o método produza soluções paramétricas que são inteiramente 
consistentes, ele não é rigorosamente ótimo e tem encontrado resistência para sua 
utilização em processos de otimização de cava. 
Ao contrário das técnicas de otimização clássicas a Parametrização Técnica 
trabalha a partir do conteúdo metálico recuperável de cada bloco de lavra e dos volumes 
de minério e estéril. 
O modelo visa obter geometrias com diferentes volumes totais, maximizando seu 
conteúdo metálico em cada caso, ou seja, num caso real é possível definir inúmeras 
Cavas técnicas ótimas no topo em um gráfico Q(T,V)
OTIMIZAÇÃO DE CAVA
Parametrização Técnica de Reservas
Análise convexa
Cavas 
técnicas 
ótimas
Cavas 
possíveis
 
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cavas com mesmo volume V (minério + estéril), porém apenas uma delas maximiza a 
quantidade de metal contido recuperável. 
 
Esse método adota a função: 
 
K=Q -λV - θT 
 
para a determinação do valor de cada bloco de lavra, onde Q é a quantidade de metal 
recuperável, V é o volume total (minério + estéril), T é o volume de minério e λ e θ são 
parâmetros técnicos definidos anteriormente. 
Segundo DAGDELEN E BONGARÇON (1982), os parâmetros λ e θ, não devem 
ser entendidos como as relações entre custos e preços, mas sim como parâmetros de 
corte, fazendo com que a função K represente famílias de planos, tangentes á superfície 
formada pelas cavas de metal recuperável máximo. 
A figura a seguir mostra o universo de cavas de um depósito hipotético, onde cada 
cava é representada por seu volume total V e respectiva quantidade de metal recuperável 
Q. A linha S representa as cavas de quantidade máxima de metal recuperável, como 
aquelas de número 1, 2, 3, 4 e 5, porém, somente as cavas 1, 3 e 5 são otimizadas, pois 
encontram-se na envoltória convexa C, definida pela da variação dos parâmetros λ e θ,. 
Por outro lado, o valor de K conforme expresso na equação anterior tem todas as 
características de uma função beneficio pois é inegável que é crescente com Q e é 
decrescente com V e T. COLÉOU (1989, apud PRATTI, 1995), chega a fazer analogia 
entre a expressão K e a função beneficio clássica: 
 
B = aQ - bV - cT 
 
onde 
 
a é o preço unitário do metal 
b é o custo unitário de extração 
c é o custo unitário de beneficiamento 
 
Assim, o parâmetro λ corresponderia aos possíveis valores a serem assumidos 
por b/a e θ corresponderia a c/a. 
Seja qual for a interpretação dada aos parâmetros λ e θ, para cada par deles 
estabelece-se uma cava otimizada, que é obtida pela aplicação do algoritmo de LERCHS 
e GROSSMANN aos blocos de lavra com valores atribuidos pela função K, ou pelo 
algoritmo de BONGARÇON. Em qualquer dos casos obtém-se como resultado final um 
conjunto de cavas otimizadas subsequentes. 
Na etapa seguinte, essas cavas otimizadas de diferentes volumes V serão 
avaliadas por critério econômico/financeiro, finalizando assim a escolha da cava a ser 
seguida como meta de longo prazo. 
 
 
 
 
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Superfície C envoltória de máximos convexos 
 
 
O algoritmo estabelecido promove soluções para o contorno final de uma cava. 
Há, contudo, virtualmente, números ilimitados de maneiras de procura por um contorno 
final, cada maneira tendo um modelo de fluxo de caixa diferente. A figura abaixo mostra 
alguns fluxos de caixa possíveis a título ilustrativo. 
 
 
Modelos de fluxos de caixa em função do tempo. 
Q
V
1
3 5
S
C
2
4
K
 
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Como mostra a figura acima, existem duas sequências extremas de lavra, ou seja, 
sequências de lavra por cavas e por níveis. A sequência no 1 é realizada com a divisão da 
cava global otimizada em várias outras cavas menores, e assim, a lavra é realizada 
passando por cada uma destas cavas menores. A sequência no 2 é definida pela lavra por 
níveis, onde cada nível é esgotado antes do inicio da lavra do nível subsequente. Essas 
duas estratégias de lavra diferem na velocidade de remoção de estéril e evolução do teor 
médio do minério de interesse, provocando diferenças sensíveis no fluxo de caixa do 
negocio. 
Do ponto de vista estritamente financeiro, a primeira estratégia apresenta 
melhores resultados pelo adiamento de custos de remoção de estéril e antecipação de 
resultados pela lavra com teores de corte