Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf
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Um convite a` Matema´tica
Fundamentos-lo´gicos,
com Te´cnicas de Demonstrac¸a\u2dco,
Notas Histo´ricas
e
Curiosidades
por
Daniel Cordeiro de Morais Filho
Universidade Federal de Campina Grande
Para Magna e Joa\u2dco Pedro, com amor.
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Prefa´cio
A ide´ia que nos fez escrever este livro foi a de preencher a lacuna de um texto que apresen-
tasse os fundamentos ba´sicos da Lo´gica-Matema´tica usando a pro´pria Matema´tica. Visa´vamos um texto
que pudesse ser usado por professores do Ensino Me´dio, por alunos do u´ltimo ano dessa fase como
do primeiro ano das universidades, e por demais interessados. E´ justamente nesta passagem da vida
estudantil que a maioria de nossos alunos se chocam - e muitos se traumatizam! - ao se depararem
com o formalismo e a abstrac¸a\u2dco que requerem as primeiras disciplinas de Matema´tica das universidades.
Este choque decorre, principalmente, de care\u2c6ncias na formac¸a\u2dco de alunos e professores, e de um En-
sino Me´dio que, na maioria das vezes, na\u2dco fornece um preparo adequado aos alunos, treinando-os para
usar o racioc\u131´nio lo´gico-dedutivo que posteriormente lhes sera´ cobrado. Junta-se a este danoso fato, al-
guns livros-texto que trazem erros conceituais, na\u2dco distinguem definic¸a\u2dco de demonstrac¸a\u2dco, provam fatos
matema´ticos com exemplos, fazem mal uso de notac¸o\u2dces, entre outros disparates.
Ainda temos o fracasso de certos cursos introduto´rios de Lo´gica e Fundamentos da Matema´tica, que
se perdem em teorias, na\u2dco conseguem corrigir falhas impregnadas na formac¸a\u2dco dos alunos
([Hellmeister, 2001]), nem preparar-lhes adequadamente para o Magiste´rio ou para disciplinas mais adi-
antadas, ensinando-lhes como a Matema´tica realmente funciona.
E´ necessa´rio despertar em professores do Ensino Me´dio e em nossos jovens alunos o esp\u131´rito cr\u131´tico,
o racioc\u131´nio correto, o cuidado com a linguagem, para que repassem esses conhecimentos a`s pro´ximas
gerac¸o\u2dces.
Nosso objetivo neste livro e´ que, em curto intervalo de tempo, o leitor possa compreender como a
Matema´tica funciona, como as ide´ias da Matema´tica surgem e se desenvolvem, e comece desde cedo, a
dar atenc¸a\u2dco ao m\u131´nimo rigor que as ide´ias matema´ticas demandam, aprendendo a se comunicar com uma
linguagem clara, precisa e fundamentada na Lo´gica. Cremos que quanto mais cedo um estudante puder
ter acesso a esses conhecimentos, mais facilmente aprendera´ va´rios outros to´picos que ira\u2dco aparecer ao
longo de sua formac¸a\u2dco.
Tivemos a intenc¸a\u2dco de escrever o livro com uma linguagem cativante e leve. Trabalhamos com
diversos casos reais de erros e dificuldades em relac¸a\u2dco a esses temas que alunos e professores encontram
em livros-texto e enfrentam nas salas de aula e em seus cotidianos. Tambe´m objetivamos despertar a
curiosidade dos leitores para va´rios to´picos que julgamos interessantes, tanto da Matema´tica como de
sua histo´ria.
Para ler o livro e´ necessa´rio, basicamente, conhecimentos matema´ticos do Ensino Me´dio, principal-
mente os da Teoria Elementar dos Nu´meros e da Geometria Plana.
O texto destina-se a ser adotado em cursos iniciais de Fundamentos de Matema´tica, de Lo´gica
Matema´tica, de Resoluc¸a\u2dco de problemas, em cursos de preparac¸a\u2dco para Olimp\u131´adas de Matema´tica,
de aperfeic¸oamento para professores dos Ensino Fundamental e Me´dio e em outros cursos de natureza
semelhante.
Aos leitores ressaltamos os seguintes fatos:
\u2022 As definic¸o\u2dces esta\u2dco grifadas em fontes negrito-ita´licas;
\u2022 O nome de matema´ticos, quando aparecem pela primeira vez, bem como de suas principais obras,
tambe´m sa\u2dco grifados em fontes negrito-ita´licas;
\u2022 As refere\u2c6ncias bibliogra´ficas esta\u2dco escritas entre [colchetes];
\u2022 As palavras estrangeiras esta\u2dco escritas em ita´lico;
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\u2022 Ao enunciarmos certas definic¸o\u2dces, fizemos uso de ide´ias intuitivas e de noc¸o\u2dces preliminares que
certamente os leitores te\u2c6m de alguns temas, mas que so´ posteriormente foram abordados com
detalhes;
\u2022 Algumas refere\u2c6ncias, mesmo na\u2dco citadas nos cap\u131´tulos, sa\u2dco sugesto\u2dces para consultas posteriores e
constam na bibliografia;
\u2022 Os exerc\u131´cios se propo\u2dcem contemplar os mais diversos casos em que possam se apresentar os
temas estudados;
\u2022 Como sugesta\u2dco, o Cap\u131´tulo 1 e as Sec¸o\u2dces 7.2 e 7.3 podem ser propostas como leituras individuais
ou apresentadas pelos pro´prios alunos como algum trabalho da disciplina na qual o livro esteja
sendo usado;
\u2022 As citac¸o\u2dces foram tiradas do Mathematical Quotation Server no s\u131´tio eletro\u2c6nico
http://math.furman.edu/mqs.html e revertidas para o Portugue\u2c6s pelo autor.
A Revista do Professor de Matema´tica (RPM) e o livro [Elon Lages Lima (editor), 2001], ambos
editados pela Sociedade Brasileira de Matema´tica, foram, ale´m de inspirac¸a\u2dco, raza\u2dco de va´rios temas que
abordamos ao longo do texto. Utilizamos a u´ltima refere\u2c6ncia como fonte para criar va´rios exerc\u131´cios
baseados em fatos reais, com o intuito de desenvolver o senso cr\u131´tico do leitor em relac¸a\u2dco aos livros
dida´ticos e a` maneira como esses livros abordam alguns desses temas.
Agradecemos aos seguintes colegas por sugesto\u2dces e correc¸o\u2dces: A\u2c6ngelo Roncalli, Anto\u2c6nio Branda\u2dco,
Claudianor Oliveira Alves, Daniel Pellegrino, Francisco Ju´lio de Arau´jo Corre\u2c6a, Lu´cio Guerra, Marcelo
Martins dos Santos, Samuel Duarte, Sinval Braga, Toma´s Edson Barros e Vandik Estevam. Agradec¸o ao
professor Jose´ Lindonberg Possiano Barreiro pela ajuda com o Latex.
Contamos com sugesto\u2dces e colaborac¸a\u2dco de todos. Sabemos do risco de escrever um texto desta
natureza, com tantos conselhos ao iniciantes. Reconhecemos o perigo de tropec¸ar naquilo que esta´
sendo sugerido. O autor e´ o u´nico responsa´vel por eventuais falhas ou deslizes. Da\u131´, a importa\u2c6ncia das
valiosas opinio\u2dces que esperamos que nos cheguem. Usem o enderec¸o: daniel@dme.ufcg.edu.br
Caso pudermos cumprir um pouco daquilo que imaginamos, nos daremos satisfeitos por nossa mo-
desta tentativa de melhorar o Ensino.
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NOTA IMPORTANTE: Nosso livro tem a finalidade de apresentar, de maneira pra´tica, conhecimen-
tos ba´sicos da Lo´gica para facilitar o ensino e aprendizagem, visando alunos iniciantes na Matema´tica e
professores dos Ensino Fundamental e Me´dio. Portanto, esta´ longe de ser um texto onde se possa estudar,
em profundidade, ide´ias e teorias da Lo´gica-Matema´tica e dos Fundamentos da Matema´tica. Tais teorias,
principiaram com Leibniz (1646-1716) e tiveram seu apogeu, principalmente, no comec¸o do Se´culo XX,
com os trabalhos de expoentes brilhantes, como Zermelo (1871-1953), Fraenkel (1891-1965), Bertrand
Russel (1872-1970), Fre´ge (1848-1925), Go¨del (1906-1978), Peano (1858-1932), Whitehead (1861-
1947), Hilbert (1862-1943), Brouwer (1881-1966), entre outros. O estudo mais profundo dessas teorias
pertencem a disciplinas bem mais especializadas e avanc¸adas.
Portanto, para dar o m\u131´nimo de formalismo poss\u131´vel e manter nossa proposta, tivemos de explorar
noc¸o\u2dces intuitivas que os leitores certamente possuem de certos temas e, por vezes, assumimos uma
apresentac¸a\u2dco ate´ certo ponto, inge\u2c6nua, de alguns outros temas.
Esperamos que o texto possa servir de est\u131´mulo aos leitores mais interessados para prosseguirem em
estudos mais avanc¸ados da Lo´gica.
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CAPI´TULO 1
A notac¸a\u2dco matema´tica
A good notation has a subtlety and suggestiveness which at times make it almost seem like
a live teacher.
\u201cUma boa notac¸a\u2dco possui uma engenhosidade e uma sugestividade que, a`s vezes, a faz
parecer com um professor de verdade\u201d
Bertrand Russell (1872-1970)
In J. R. Newman (ed.) The World of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1956.
1.1 Para que servem as notac¸o\u2dces matema´ticas?
Hoje as notac¸o\u2dces constituem os elementos ba´sicos da linguagem simbo´lica matema´tica, mas nem
sempre as notac¸o\u2dces foram usadas como fazemos atualmente, com