A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
198 pág.
Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

Pré-visualização | Página 1 de 50

Um convite a` Matema´tica
Fundamentos-lo´gicos,
com Te´cnicas de Demonstrac¸a˜o,
Notas Histo´ricas
e
Curiosidades
por
Daniel Cordeiro de Morais Filho
Universidade Federal de Campina Grande
Para Magna e Joa˜o Pedro, com amor.
2
Prefa´cio
A ide´ia que nos fez escrever este livro foi a de preencher a lacuna de um texto que apresen-
tasse os fundamentos ba´sicos da Lo´gica-Matema´tica usando a pro´pria Matema´tica. Visa´vamos um texto
que pudesse ser usado por professores do Ensino Me´dio, por alunos do u´ltimo ano dessa fase como
do primeiro ano das universidades, e por demais interessados. E´ justamente nesta passagem da vida
estudantil que a maioria de nossos alunos se chocam - e muitos se traumatizam! - ao se depararem
com o formalismo e a abstrac¸a˜o que requerem as primeiras disciplinas de Matema´tica das universidades.
Este choque decorre, principalmente, de careˆncias na formac¸a˜o de alunos e professores, e de um En-
sino Me´dio que, na maioria das vezes, na˜o fornece um preparo adequado aos alunos, treinando-os para
usar o raciocı´nio lo´gico-dedutivo que posteriormente lhes sera´ cobrado. Junta-se a este danoso fato, al-
guns livros-texto que trazem erros conceituais, na˜o distinguem definic¸a˜o de demonstrac¸a˜o, provam fatos
matema´ticos com exemplos, fazem mal uso de notac¸o˜es, entre outros disparates.
Ainda temos o fracasso de certos cursos introduto´rios de Lo´gica e Fundamentos da Matema´tica, que
se perdem em teorias, na˜o conseguem corrigir falhas impregnadas na formac¸a˜o dos alunos
([Hellmeister, 2001]), nem preparar-lhes adequadamente para o Magiste´rio ou para disciplinas mais adi-
antadas, ensinando-lhes como a Matema´tica realmente funciona.
E´ necessa´rio despertar em professores do Ensino Me´dio e em nossos jovens alunos o espı´rito crı´tico,
o raciocı´nio correto, o cuidado com a linguagem, para que repassem esses conhecimentos a`s pro´ximas
gerac¸o˜es.
Nosso objetivo neste livro e´ que, em curto intervalo de tempo, o leitor possa compreender como a
Matema´tica funciona, como as ide´ias da Matema´tica surgem e se desenvolvem, e comece desde cedo, a
dar atenc¸a˜o ao mı´nimo rigor que as ide´ias matema´ticas demandam, aprendendo a se comunicar com uma
linguagem clara, precisa e fundamentada na Lo´gica. Cremos que quanto mais cedo um estudante puder
ter acesso a esses conhecimentos, mais facilmente aprendera´ va´rios outros to´picos que ira˜o aparecer ao
longo de sua formac¸a˜o.
Tivemos a intenc¸a˜o de escrever o livro com uma linguagem cativante e leve. Trabalhamos com
diversos casos reais de erros e dificuldades em relac¸a˜o a esses temas que alunos e professores encontram
em livros-texto e enfrentam nas salas de aula e em seus cotidianos. Tambe´m objetivamos despertar a
curiosidade dos leitores para va´rios to´picos que julgamos interessantes, tanto da Matema´tica como de
sua histo´ria.
Para ler o livro e´ necessa´rio, basicamente, conhecimentos matema´ticos do Ensino Me´dio, principal-
mente os da Teoria Elementar dos Nu´meros e da Geometria Plana.
O texto destina-se a ser adotado em cursos iniciais de Fundamentos de Matema´tica, de Lo´gica
Matema´tica, de Resoluc¸a˜o de problemas, em cursos de preparac¸a˜o para Olimpı´adas de Matema´tica,
de aperfeic¸oamento para professores dos Ensino Fundamental e Me´dio e em outros cursos de natureza
semelhante.
Aos leitores ressaltamos os seguintes fatos:
• As definic¸o˜es esta˜o grifadas em fontes negrito-ita´licas;
• O nome de matema´ticos, quando aparecem pela primeira vez, bem como de suas principais obras,
tambe´m sa˜o grifados em fontes negrito-ita´licas;
• As refereˆncias bibliogra´ficas esta˜o escritas entre [colchetes];
• As palavras estrangeiras esta˜o escritas em ita´lico;
3
• Ao enunciarmos certas definic¸o˜es, fizemos uso de ide´ias intuitivas e de noc¸o˜es preliminares que
certamente os leitores teˆm de alguns temas, mas que so´ posteriormente foram abordados com
detalhes;
• Algumas refereˆncias, mesmo na˜o citadas nos capı´tulos, sa˜o sugesto˜es para consultas posteriores e
constam na bibliografia;
• Os exercı´cios se propo˜em contemplar os mais diversos casos em que possam se apresentar os
temas estudados;
• Como sugesta˜o, o Capı´tulo 1 e as Sec¸o˜es 7.2 e 7.3 podem ser propostas como leituras individuais
ou apresentadas pelos pro´prios alunos como algum trabalho da disciplina na qual o livro esteja
sendo usado;
• As citac¸o˜es foram tiradas do Mathematical Quotation Server no sı´tio eletroˆnico
http://math.furman.edu/mqs.html e revertidas para o Portugueˆs pelo autor.
A Revista do Professor de Matema´tica (RPM) e o livro [Elon Lages Lima (editor), 2001], ambos
editados pela Sociedade Brasileira de Matema´tica, foram, ale´m de inspirac¸a˜o, raza˜o de va´rios temas que
abordamos ao longo do texto. Utilizamos a u´ltima refereˆncia como fonte para criar va´rios exercı´cios
baseados em fatos reais, com o intuito de desenvolver o senso crı´tico do leitor em relac¸a˜o aos livros
dida´ticos e a` maneira como esses livros abordam alguns desses temas.
Agradecemos aos seguintes colegas por sugesto˜es e correc¸o˜es: Aˆngelo Roncalli, Antoˆnio Branda˜o,
Claudianor Oliveira Alves, Daniel Pellegrino, Francisco Ju´lio de Arau´jo Correˆa, Lu´cio Guerra, Marcelo
Martins dos Santos, Samuel Duarte, Sinval Braga, Toma´s Edson Barros e Vandik Estevam. Agradec¸o ao
professor Jose´ Lindonberg Possiano Barreiro pela ajuda com o Latex.
Contamos com sugesto˜es e colaborac¸a˜o de todos. Sabemos do risco de escrever um texto desta
natureza, com tantos conselhos ao iniciantes. Reconhecemos o perigo de tropec¸ar naquilo que esta´
sendo sugerido. O autor e´ o u´nico responsa´vel por eventuais falhas ou deslizes. Daı´, a importaˆncia das
valiosas opinio˜es que esperamos que nos cheguem. Usem o enderec¸o: daniel@dme.ufcg.edu.br
Caso pudermos cumprir um pouco daquilo que imaginamos, nos daremos satisfeitos por nossa mo-
desta tentativa de melhorar o Ensino.
************************************************************
NOTA IMPORTANTE: Nosso livro tem a finalidade de apresentar, de maneira pra´tica, conhecimen-
tos ba´sicos da Lo´gica para facilitar o ensino e aprendizagem, visando alunos iniciantes na Matema´tica e
professores dos Ensino Fundamental e Me´dio. Portanto, esta´ longe de ser um texto onde se possa estudar,
em profundidade, ide´ias e teorias da Lo´gica-Matema´tica e dos Fundamentos da Matema´tica. Tais teorias,
principiaram com Leibniz (1646-1716) e tiveram seu apogeu, principalmente, no comec¸o do Se´culo XX,
com os trabalhos de expoentes brilhantes, como Zermelo (1871-1953), Fraenkel (1891-1965), Bertrand
Russel (1872-1970), Fre´ge (1848-1925), Go¨del (1906-1978), Peano (1858-1932), Whitehead (1861-
1947), Hilbert (1862-1943), Brouwer (1881-1966), entre outros. O estudo mais profundo dessas teorias
pertencem a disciplinas bem mais especializadas e avanc¸adas.
Portanto, para dar o mı´nimo de formalismo possı´vel e manter nossa proposta, tivemos de explorar
noc¸o˜es intuitivas que os leitores certamente possuem de certos temas e, por vezes, assumimos uma
apresentac¸a˜o ate´ certo ponto, ingeˆnua, de alguns outros temas.
Esperamos que o texto possa servir de estı´mulo aos leitores mais interessados para prosseguirem em
estudos mais avanc¸ados da Lo´gica.
4
CAPI´TULO 1
A notac¸a˜o matema´tica
A good notation has a subtlety and suggestiveness which at times make it almost seem like
a live teacher.
“Uma boa notac¸a˜o possui uma engenhosidade e uma sugestividade que, a`s vezes, a faz
parecer com um professor de verdade”
Bertrand Russell (1872-1970)
In J. R. Newman (ed.) The World of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1956.
1.1 Para que servem as notac¸o˜es matema´ticas?
Hoje as notac¸o˜es constituem os elementos ba´sicos da linguagem simbo´lica matema´tica, mas nem
sempre as notac¸o˜es foram usadas como fazemos atualmente, com

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.