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uma premissa falsa:
Premissa maior: Todos os gatos sa˜o pardos (Premissa falsa)
Premissa menor: Pretinho e´ um gato (de cor preta) (Premissa verdadeira)
Conclusa˜o:............................................... (Conclusa˜o falsa)
4. Explique o silogismo usando a Linguagem de Conjuntos. Mais uma vez, evidencia-se a forte
ligac¸a˜o da linguagem de conjuntos e a Lo´gica.
1Vide Nota de Rodape´ 3 da Subsec¸a˜o 5.3.1
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2.4. Argumentos, sentenc¸as condicionais e sentenc¸as implicativas
Figura 2.2: Detalhe do afresco “A Academia de Plata˜o” (1508-1511) do pintor renascentista Rafael
(1483-1520), mostrando Aristo´teles e Plata˜o
2.4.3 Sentenc¸as condicionais
Em nosso texto, sentenc¸a condicional e´ uma sentenc¸a composta
“Se P enta˜o Q”,
formada por duas sentenc¸as P e Q, ligadas pelo conectivo “Se...enta˜o” e tal que a sentenc¸a Q pode ser
deduzida da sentenc¸a P , todas as vezes em que admitirmos a ocorreˆncia de P .
Vejamos exemplos de sentenc¸as condicionais.
EXEMPLO 1: Se n e´ um nu´mero inteiro divisı´vel por 10, enta˜o n e´ um nu´mero par.
e´ uma sentenc¸a condicional, onde
P : n e´ um nu´mero inteiro divisı´vel por 10
e
Q: n e´ um nu´mero par.
Como todo nu´mero divisı´vel por 10 tambe´m e´ divisı´vel por 2, ou seja, e´ par, temos a sentenc¸a Q
deduzida da sentenc¸a P .
EXEMPLO 2: Se um triaˆngulo e´ retaˆngulo, enta˜o o quadrado da medida da hipotenusa e´ igual a
soma dos quadrados das medidas dos catetos
Neste exemplo temos:
R: Um triaˆngulo e´ retaˆngulo
e
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
S: O quadrado da medida da hipotenusa e´ igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos
Apesar de na˜o ser ta˜o imediato como no exemplo anterior, sabemos que a proposic¸a˜o R pode ser
deduzida da proposic¸a˜o S (faremos isso no Capı´tulo 14).
Para nossos objetivos, a maneira de checar que uma sentenc¸a “Se P enta˜o Q” e´ condicional, sera´ por
meio de uma demonstrac¸a˜o, com a qual se pode deduzir a sentenc¸a Q, assumindo-se a sentenc¸a P . Este
procedimento e´ chamado me´todo dedutivo.
Como vimos na sec¸a˜o precedente, os argumentos sa˜o usados para se fazer deduc¸o˜es e, assim, executar
os passos de uma demonstrac¸a˜o. Neste texto, ale´m de estarmos trabalhando com a Lo´gica Bivalente,
nossos argumentos estara˜o sustentados por duas regras que precisamos admitir. A primeira e´ a gene-
ralizac¸a˜o: se algo vale para todos elementos de um conjunto, enta˜o vale para cada elemento desse
conjunto. A segunda regra e´ a modus pones: se as sentenc¸as “Se P , enta˜o Q” e “P” ocorrem, enta˜o,
necessariamente, a sentenc¸a “Q” tambe´m ocorre. Note que mesmo sem nos darmos conta, aplicamos
constantemente essas regras nos raciocı´nios do dia-a-dia.
Em termos gerais, uma demonstrac¸a˜o matema´tica e´ um processo de raciocı´nio lo´gico-dedutivo no
qual, admitindo-se a sentenc¸a P , deduz-se, por argumentac¸a˜o, a sentenc¸aQ. Ou ainda, uma demonstrac¸a˜o
garante que a sentenc¸a Q ocorre todas as vezes em que P ocorrer. Retornaremos mais detalhadamente
a esses temas na Sec¸a˜o 6.1. Neste ponto, apenas as ide´ias ba´sicas que se teˆm desses conceitos sa˜o o
suficiente para o que queremos.
Numa deduc¸a˜o matema´tica, os elementos usados como ponto de partida para armar um raciocı´nio
sa˜o chamados premissas. As concluso˜es sa˜o deduzidas por argumentac¸o˜es a partir de um conjunto
estabelecido de premissas.
Na pra´tica, dependendo das circunstaˆncias, muitas vezes usa-se uma expressa˜o do tipo “Se P enta˜o
Q”, sem que necessariamente tenha-se uma demonstrac¸a˜o de que Q se infere de P . Mesmo quando
isso ocorre, e´ comum ainda chamar-se sentenc¸a condicional a uma sentenc¸a desse tipo. Por este fato,
ao trabalharmos com sentenc¸as escritas na forma condicional, e caso seja necessa´rio distinguir as que
possuem uma demonstrac¸a˜o das que na˜o possuem, iremos substituir a expressa˜o sentenc¸a condicional
por sentenc¸a condicional va´lida, no caso em que existir essa demonstrac¸a˜o, e adotaremos a terminologia
sentenc¸a condicional na˜o-va´lida, caso contra´rio.
UM FATO MUITO IMPORTANTE:
Conve´m agora comparar a definic¸a˜o da Tabela-verdade 2.3 de uma sentenc¸a condicional P → Q que
demos na Subsec¸a˜o 2.4.3, com o que pode ocorrer com a demonstrac¸a˜o de uma sentenc¸a condicional
“Se P , enta˜o Q”, que definimos nesta sec¸a˜o2:
i) De uma sentenc¸a verdadeira P so´ e´ possı´vel deduzir-se uma sentenc¸a verdadeira Q (Compare
com o 1o caso da Tabela-verdade 2.3), ou ainda, de uma sentenc¸a verdadeira na˜o se pode deduzir uma
sentenc¸a falsa (Compare com o 2o caso da Tabela-verdade 2.3);
Por exemplo, sabemos que a sentenc¸a ‘1 = 0’ na˜o ocorre (e´ uma sentenc¸a falsa), e que a sentenc¸a
‘1 = 1’ ocorre (e´ uma sentenc¸a verdadeira), logo, por um processo lo´gico-dedutivo, na˜o sera´ possı´vel
deduzir a sentenc¸a ‘1 = 0’ da sentenc¸a 1 = 1. A regra geral e´: na˜o se pode deduzir sentenc¸as falsas de
sentenc¸as verdadeiras.
ii)Ja´ no caso em que a sentenc¸a P for falsa (ou uma das premissas for falsa) e´ possı´vel deduzir uma
sentenc¸a Q que pode ser falsa ou verdadeira (O mesmo ocorre com os 3o e 4o casos da tabela-verdade).
2Em textos bem mais avanc¸ados e´ possı´vel provar que existe uma correlac¸a˜o do conceito de sentenc¸a condicional (Se P ,
enta˜o Q) dado nesta sec¸a˜o, com aquele (P → Q), dado na Sec¸a˜o 2.4.3. Isso e´ garantido pelo Teorema da Adequac¸a˜o e
Correc¸a˜o.
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2.4. Argumentos, sentenc¸as condicionais e sentenc¸as implicativas
Vamos ilustrar este fato com dois exemplos:
Sejam ‘P : 1 = 0’ e ‘Q : 1 = 1’. Da sentenc¸a P , decorre que 1 = 0 e 0 = 1. Daı´, somando os
respectivos termos dos lados esquerdo e direito dessas igualdades, temos 1 + 0 = 0 + 1, donde 1 = 1.
Logo, a sentenc¸a ‘Se P , enta˜o Q’ e´ va´lida nesse caso em que P e´ falsa e Q e´ verdadeira. No exemplo
que demos, deduzimos uma sentenc¸a verdadeira de uma sentenc¸a falsa (Compare com o 3o caso da
Tabela-verdade 2.3).
Ainda da sentenc¸a P , podemos deduzir que, se 1 = 0, enta˜o 1 + 2 = 0 + 2 ou seja, 3 = 2. Dessa
maneira, considerando‘Q : 3 = 2’, a sentenc¸a ‘Se P , enta˜o Q’ e´ va´lida, nesse caso em que P e´ falsa e
Q e´ falsa. Neste exemplo, deduzimos uma sentenc¸a falsa de uma outra tambe´m falsa ( Compare com o
4o caso da Tabela-verdade 2.3).
Finalizamos esse para´grafo afirmando que todas as proposic¸o˜es matema´ticas, mesmo na˜o estando
explı´cito, sa˜o sentenc¸as condicionais do tipo
‘Se P enta˜o Q’.
EXERCI´CIOS:
1. Nos exercı´cios a seguir, assinale as alternativas verdadeiras.
(a) Ao se utilizar premissas falsas, pode-se deduzir concluso˜es:
i. Verdadeiras
ii. Falsas
iii. Nada se pode afirmar.
(b) Ao se utilizar premissas verdadeiras, pode-se deduzir concluso˜es:
i. Verdadeiras
ii. Falsas
iii. Nada se pode afirmar.
2. Enuncie dois silogismos na forma de sentenc¸as condicionais.
3. Complete os silogismos:
(a) O que tem folhas e´ um livro (Premissa maior falsa)
Uma a´rvore tem folhas (Premissa menor verdadeira)
(Conclusa˜o falsa)
(b) Todo nu´mero par e´ maior do que cinco (Premissa maior falsa)
9 e´ um nu´mero par (Premissa menor falsa)
(Conclusa˜o verdadeira)
4. Deˆ exemplos de silogismos na Matema´tica que tenham premissas falsas e conclusa˜o falsa; premis-
sas falsas e conclusa˜o verdadeira; premissa maior verdadeira, premissa menor falsa e conclusa˜o
verdadeira.
5. Verifique se as afirmac¸o˜es matema´ticas que voceˆ conhece podem ser formuladas na forma “Se P ,
enta˜o Q”.
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
2.4.4 Sentenc¸as implicativas
Na Subsec¸a˜o 2.3.1 vimos que o sı´mbolo ‘⇒’ e´ usado na Lo´gica Formal para denotar as chamadas
implicac¸o˜es lo´gicas (ou materiais). Ja´ na Sec¸a˜o 1.2, vimos que o mesmo sı´mbolo e´ usado para re-
presentar a palavra implica ou acarreta no seguinte caso: Dadas duas proposic¸o˜es P e Q, em vez de
escrever ‘a proposic¸a˜o P implica a proposic¸a˜o