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Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

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Q’, escrevemos simplesmente, ‘P ⇒ Q’.
A sentenc¸a P ⇒ Q e´ chamada sentenc¸a implicativa.
Na verdade, para no´s, ‘P ⇒ Q’ e´ apenas uma outra maneira de escrever uma sentenc¸a condicional
‘Se P , enta˜o Q’. Em nosso texto, sentenc¸as implicativas e condicionais representam a mesma ide´ia, so´
que escritas de formas diferentes. Dessa maneira, escreveremos ‘P ⇒ Q’ quando a sentenc¸a Q puder
ser deduzida da sentenc¸a P . Neste caso, diremos que a sentenc¸a P implica a sentenc¸a Q.
Assim, uma outra maneira de enunciar os exemplos da sec¸a˜o anterior e´:
EXEMPLO 3: n e´ um nu´mero inteiro divisı´vel por 10⇒ n e´ um nu´mero par.
Na implicac¸a˜o anterior, a primeira sentenc¸a e´
P : n e´ um nu´mero inteiro divisı´vel por 10
e a segunda e´
Q: n e´ um nu´mero par.
Como ja´ vimos, todo nu´mero inteiro divisı´vel por 10 tambe´m e´ divisı´vel por 2, ou seja, e´ par. Logo, a
primeira sentenc¸a P implica a segunda sentenc¸a Q. Em nosso texto, a menos que trate-se exclusivamente
da Lo´gica Formal, e´ sempre nesses casos que o sı´mbolo “⇒” sera´ usado.
EXEMPLO 4: Um triaˆngulo e´ retaˆngulo ⇒ o quadrado da medida da hipotenusa e´ igual a soma
dos quadrados das medidas dos catetos
Mais uma vez, a linguagem dos conjuntos se revela extremamente u´til para ajudar a manipular e
entender o uso do sı´mbolo “⇒” e das sentenc¸as formadas por implicac¸o˜es lo´gicas: sejam P e Q duas
proposic¸o˜es que se referem a propriedades de um elemento pertencente a um conjunto universo U. As-
sociemos a` sentenc¸a P ao conjunto P ⊂ U, dos elementos que gozam de P , e a` sentenc¸a Q ao conjunto
Q ⊂ U, dos elementos que gozam de Q. Feito isso, resulta que a implicac¸a˜o “P ⇒ Q” e´ verdadeira
sempre que P ⊂ Q e, reciprocamente, se P ⊂ Q, enta˜o “P ⇒ Q” e´ verdadeira. Como ja´ frisamos, a
mesma ide´ia vale para sentenc¸as condicionais.
(Observac¸a˜o: No decorrer do texto, ao nos referirmos ao fato acima, iremos convencionar, salvo
menc¸a˜o contra´ria, que P e Q esta˜o contidos no mesmo conjunto universo U.)
Voltemos ao nosso primeiro exemplo. Se
P = {n ∈ Z; n e´ divisı´vel por 10}
= {. . . − 30,−20,−10, 0, 10, 20, 30, 40, . . .}
e
Q = {n ∈ Z; n e´ par} = {. . . − 8,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .},
enta˜o, como P ⊂ Q temos P ⇒ Q, e reciprocamente, como P ⇒ Q, mesmo se na˜o soube´ssemos quem
sa˜o os conjuntos P e Q, terı´amos P ⊂ Q. Sempre que conveniente, iremos recorrer a essa maneira de
interpretar implicac¸o˜es usando a linguagem de conjuntos.
Quanto a`s sentenc¸as condicionais ou implicativas, observamos que vale a propriedade transitiva
(Exercı´cio 3), ou seja:
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2.4. Argumentos, sentenc¸as condicionais e sentenc¸as implicativas
i) “Se P , enta˜o Q” e “Se Q, enta˜o R” resulta “Se P , enta˜o R”.
ii)“P ⇒ Q” e “Q⇒ R” resulta “P ⇒ R”.
EXERCI´CIOS:
1. Deˆ treˆs exemplos na Matema´tica de sentenc¸as condicionais verdadeiras e as reescreva na forma
implicativa. Na˜o use exemplos que decorrem de definic¸o˜es e, capriche!
2. Deˆ treˆs exemplos na Matema´tica de sentenc¸as implicativas verdadeiras e as reescreva na forma
condicional. Na˜o use exemplos que decorrem de definic¸o˜es, nem os exemplos do Exercı´cio 1 e,
novamente, capriche.
3. Usando a linguagem de conjuntos, explique a transitividade da implicac¸a˜o de proposic¸o˜es sobre a
qual falamos na observac¸a˜o final desta sec¸a˜o.
4. Sejam P ,Q e R treˆs sentenc¸as, de sorte que P ⇒ Q e Q⇒ R. E´ verdade que P ⇒ Q⇒ R e´ uma
sentenc¸a? Justifique sua resposta.
5. Use o sı´mbolo de implicac¸a˜o para ligar as proposic¸o˜es abaixo em sua ordem natural lo´gica, cons-
truindo dessa forma, novas proposic¸o˜es.
(a) Q : y ∈ Z e´ tal que y = 19− 13
3
+ 7 =
27
3
= 9
P : y = 9
(b) C : a1, a2, . . . , an ∈ R e´ uma Progressa˜o Geome´trica
U :
n∑
i=1
ai =
a1(1− rn)
1− r
T : a1, a2, . . . , an e´ uma sequ¨eˆncia tal que
a2
a1
=
a3
a2
= . . . =
an
an−1
= r
(c) V : O volume de P e´ o produto da a´rea da base pela altura
X: P e´ um paralelepı´pedo
Z: P e´ um prisma
(d) G : x =
9
2
H : 5x− 3x = 9
I : x ∈ Q e´ tal que 3x+ 9 = 5x
L : 2x = 9
(e) D : senα e cosα teˆm sinais opostos
E : tanα e´ negativo
F :
pi
2
+ 2kpi < α < pi + 2kpi ou
3pi
2
+ 2kpi < α < 2pi + 2kpi, k ∈ Z
6. Verifique: “x3 − 6x+ 2 = 0⇒ x5 + 2x2 − 36x+ 12 = 0.”
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
2.4.5 Curiosidade: a verdade sobre as verdades lo´gicas
Como ja´ vimos, em um processo lo´gico-dedutivo, admite-se o fato das premissas serem verdadeiras para
deduzir a conclusa˜o. Observe que na frase anterior, escrevemos: “admite-se o fato das premissas serem
verdadeiras”, o que e´ diferente de afirmar que: “as premissas sa˜o verdadeiras”!
Essa ide´ia ocorre ate´ mesmo no dia-a-dia. Vejamos: uma pessoa afirma
“Se eu ganhar dinheiro suficiente, vou comprar o carro dos meus sonhos”.
Se a pessoa cumprir, de fato, o que diz, a sentenc¸a acima e´ verdadeira, independente dela ter ganhado
dinheiro ou na˜o.
Vamos a um caso da Matema´tica. Provamos na Subsec¸a˜o 2.4.3 que a sentenc¸a
“Se 1 = 0, enta˜o 1 = 1”
e´ va´lida, mesmo na˜o sendo a premissa ‘1 = 0’ verdadeira.
Mais uma vez, sentenc¸as condicionais sa˜o va´lidas quando, ao admitir-se o fato de que as premissas
ocorrem (que sa˜o verdadeiras), se puder deduzir que a conclusa˜o tambe´m ocorre (e´ verdadeira). Note
o termo: admitir. Na˜o estamos dizendo que as premissas devam ser verdadeiras. Veja os exemplos do
Exercı´cio 3 da Subsec¸a˜o 2.4.3
Em resumo, sentenc¸as condicionais podem ser va´lidas, independente dos valores lo´gicos das premis-
sas e das concluso˜es! Tudo depende do que se admite como verdadeiro. E´ assim que a Lo´gica funciona.
EXERCI´CIOS:
Deˆ exemplos de sentenc¸as condicionais verdadeiras que tenham premissas falsas.
2.5 Duas notac¸o˜es que se costumam confundir
Temos percebido que algumas pessoas confundem facilmente o sı´mbolo de implica “⇒” com o de
igualdade “=”. Vimos na Subsec¸a˜o 2.4.4 como utilizar o sı´mbolo de implicac¸a˜o, vamos agora discorrer
sobre a igualdade.
Primeiramente, uma coisa so´ e´ igual a ela mesma, esse e´ um dos princı´pios lo´gicos ba´sicos que
estamos assumindo.
Para quaisquer objetos a, b e c, admitiremos treˆs propriedades importantes que a igualdade satisfaz:
• a = a (Propriedade reflexiva);
• Se a = b, enta˜o b = a (Propriedade sime´trica);
• Se a = b e b = c, enta˜o a = c (Propriedade transitiva).
(Ressaltamos que essas mesmas propriedades podem valer para outras relac¸o˜es diferentes da igual-
dade (Exercı´cio 2))
Vejamos como essa noc¸a˜o e´ repassada a` Matema´tica. So´ por curiosidade, a ide´ia de igualdade nos
permite dar uma definic¸a˜o muito interessante do conjunto vazio:
∅ = {x; x 6= x}.
Voceˆ, com certeza, ja´ deve ter visto va´rios casos de objetos matema´ticos aparentemente diferentes,
mas que na realidade sa˜o iguais. Por exemplo, quanto voceˆ acha que vale a expressa˜o:
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2.5. Duas notac¸o˜es que se costumam confundir
√
4 + 2
√
3−
√
4− 2
√
3 ?
Apesar de seu aspecto este´tico parecer um pouco complicado, ela vale simplesmente 2. Voceˆ podera´
provar esse resultado no Exercı´cio 3 mais adiante.
Por via das du´vidas, deˆ uma olhada com cuidado nos seguintes conjuntos:
1. Nu´meros reais que sa˜o abscissa e ordenada da intersec¸a˜o das retas de equac¸o˜es
y
3
+
x
2
= 2 e
y = 5− x;
2. {2, 3};
3. {x ∈ R; x2 − 5x+ 6 = 0}.
Mesmo escritos de formas diferentes, voceˆ pode checar que os treˆs conjuntos acima sa˜o os mesmos
(Lembre-se de que, para verificar se dois conjuntos A e B sa˜o iguais, basta checar que A ⊂ B e B ⊂ A).
A maneira de apresenta´-los apenas varia diante do contexto no qual se esta´ trabalhando.
EXERCI´CIOS:
1. Escreva uma representac¸a˜o do conjunto vazio diferente da que demos. Use a criatividade, solte a
imaginac¸a˜o!
2. A inclusa˜o “⊂” de conjuntos goza das propriedades reflexiva, sime´trica e transitiva?