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Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

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a primeira letra da palavra latina radix, que significa raiz.
Com o passar do tempo, acredita-se que R transformou-se em √. Junto a` letra R, escrevia-se q ou
c, as primeiras letras das palavras latinas quadratus e cubus para representar que se estava extraindo
a raiz quadrada ou cu´bica, respectivamente. Ja´ p e m, hoje substituı´dos pelos atuais sı´mbolos + e −,
respectivamente, vinham das palavras plus e minus, que significam soma e subtrac¸a˜o em Latim; os
sı´mbolos b e c substituı´am nossos atuais pareˆnteses.
As expresso˜es acima na˜o sa˜o invenc¸o˜es, elas aparecem no livro Algebra, que foi bastante influente
em seu tempo, escrito pelo italiano Rafael Bombelli (1526-1572) que, dentre outros feitos, foi o primeiro
matema´tico a conceber nu´meros imagina´rios para raı´zes de polinoˆmios.
Por sinal, so´ para voceˆ treinar a traduc¸a˜o desses sı´mbolos para a Linguagem Matema´tica atual,
Bombelli calcula uma expressa˜o para soma das raı´zes acima e a apresenta como:
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Capı´tulo 1. A notac¸a˜o matema´tica
R.c.b232.p.R.q.53312.c
Apenas com este exemplo, ja´ percebe-se a necessidade de se usar uma notac¸a˜o universal, que todos
sejam capazes de compreender o que os sı´mbolos utilizados significam matematicamente. Conve´m
ressaltar que, no tempo de Bombelli, alguns outros autores usavam sı´mbolos diferentes dos dele e, que
apenas posteriormente, e´ que se conseguiu uniformizar a notac¸a˜o alge´brica e seu uso. A invenc¸a˜o da
imprensa e a consequ¨ente facilidade de impressa˜o de livros para a divulgac¸a˜o de resultados cientı´ficos
favoreceram a uniformizac¸a˜o das notac¸o˜es matema´ticas, o que ainda levaria muitos anos para chegar ao
esta´gio atual.
Qualquer folheada em algum texto matema´tico bastante antigo pode revelar um mundo de sı´mbolos
esdru´xulos e obsoletos que eram usados centenas de anos atra´s. Alguns deles sa˜o ta˜o complicados
visualmente que hoje chegam a ser engrac¸ados (Veja o exercı´cio no final da sec¸a˜o).
Concluı´mos, informando que com o decorrer do tempo e com o desenvolvimento da Matema´tica,
a preocupac¸a˜o com a uniformizac¸a˜o dos sı´mbolos matema´ticos tornou-se ta˜o premente, que no final
do se´culo XIX , alguns comiteˆs foram criados exclusivamente para este propo´sito. Hoje, felizmente,
os sı´mbolos e as convenc¸o˜es matema´ticas mais comuns sa˜o usados e teˆm os mesmos significados em
qualquer parte do mundo e em qualquer lı´ngua, mesmo as que usam alfabetos diferentes do nosso (salvo,
talvez, por raras excec¸o˜es).
EXERCI´CIOS:
1. O exercı´cio a seguir e´ apenas um jogo de adivinhac¸a˜o que so´ requer um pouco de cuidado. Ligue
cada expressa˜o escrita ha´ centenas de anos a` sua expressa˜o usada em nossos dias, que esta´ escrita
em Linguagem Matema´tica atual.
(i) R.V.cu.R.325.p˜.18.m˜.R.V.cu..R.325.m˜.18 (a)
√
B6 + Z6 − Z3 = D3
Pedro Nun˜ez (1567)
(ii) x potestas +
y potestate− x potesta
y gradui + x gradu
in x gradum (b) 3
√√
325 + 18− 3
√√
325− 18
Vieta (1634)
(iii) 12L M 1Q p 48 aequalia 144M 24L P 2Q (c) senA >
cosB
tanC2(7− 4)
Guillaume Gosselin (1577)
(iv)
√
B plano − plano − plani + Z solido − solido − Z solidoaequetur D cubo (d) xm +
ym − xm
yn + xn
· xn
Franc¸ois Vie`te (1591) e depois
(v) sA3|2 scBpitC2, 7 4˜ (e) 12x− x2 + 48 = 144− 24x+ 2x2
Pierre He´rigone (1644)
(Vide [Cajori, 1993] para as expresso˜es acima)
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1.4. Uma viagem pelas notac¸o˜es do passado
1.4.1 Curiosidade: Como surgiu o sı´mbolo de igualdade?
O sı´mbolo de igualdade “=” usado hoje em dia, foi inventado pelo matema´tico ingleˆs Robert Recorde
(1510-1558). Recorde escreveu em Ingleˆs, um dos primeiros livros significativos sobre A´lgebra (The
Whetstone of Witte, Londres, 1557), onde utiliza o novo sı´mbolo.
Segundo suas pro´prias palavras:
“Porei, como muitas vezes emprego neste trabalho, um par de paralelas, ou retas geˆmeas de um
mesmo comprimento, assim: , porque duas coisas na˜o podem ser mais iguais.”
No tempo de Recorde, o sı´mbolo de igualdade usado era talvez quatro vezes maior do que o usado
atualmente. Tambe´m eram bem maiores o sı´mbolo de mais + e o de menos −. Alguns autores tambe´m
usavam o sı´mbolo “∝” para representar a igualdade e, naquela e´poca, era comum cada um usar sua
notac¸a˜o particular. Mas a notac¸a˜o de Recorde para a igualdade prevaleceu, talvez por ser uma notac¸a˜o
inteligente, bem ao modelo do que comentamos no comec¸o do capı´tulo.
Figura 1.2: Fac-simile do Livro de Robert Record, onde pode ver-se o sı´mbolo de igualdade
1.4.2 Outros episo´dios da histo´ria das notac¸o˜es
I) Euler mais uma vez!
Leonard Euler, ale´m de excepcional matema´tico, foi um grande inventor de va´rias notac¸o˜es que hoje
utilizamos amplamente e nem nos damos conta disso. Seja em Trigonometria, A´lgebra ou Ana´lise,
sempre se depara com uma de suas brilhantes convenc¸o˜es. Vejamos algumas delas:
a) Em 1706, o ingleˆs William Jones utilizou pela primeira vez a letra grega pi para representar a
raza˜o do comprimento de uma circunfereˆncia pelo comprimento do seu diaˆmetro. Mas foi Euler que
contribuiu definitivamente para o uso desta notac¸a˜o (1736). William Jones e´ o exemplo de algue´m que,
desapercebidamente, acabou marcando sua presenc¸a na Histo´ria por causa de uma simples notac¸a˜o.
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Capı´tulo 1. A notac¸a˜o matema´tica
O sı´mbolo pi vem da primeira letra da palavra perı´metro e periferia escritas em grego: pi²ριµ²τρoζ e
piεριϕερια;
b) Notac¸a˜o f(x) para uma func¸a˜o (1734);
c) Notac¸a˜o lnx para o logaritmo natural;
d) Notac¸a˜o
∑
para somato´rio. O sı´mbolo
∑
vem da letra grega sigma maiu´scula, correspondente a
nosso “s”, primeira letra da palavra summam (‘soma’ em Latim) (1755);
e) Uso das letras minu´sculas a, b, c, . . . para os lados de um triaˆngulo, e das maiu´sculas A,B,C, . . .,
para os respectivos ve´rtices opostos;
f) Notac¸a˜o i para a unidade imagina´ria
√−1 (1777);
g) Notac¸a˜o e para a base do logaritmo natural (1727 ou 1728).
([Nelson, 1989] p.120; [Cajori, 1993] p.8, p.13, p.61, p.128, p.268 & [Boyer, 1974])
Figura 1.3: Leonard Euler (1707 - 1783)
II) Foi Rene´ Descartes17 quem introduziu a notac¸a˜o x2, x3, etc.; ele tambe´m foi o primeiro a usar
as primeiras letras do alfabeto para representar quantidades conhecidas, e as u´ltimas, para as inco´gnitas.
([Nelson, 1989] p. 93)
17Rene´ Descartes (1596-1650), filo´sofo e matema´tico franceˆs, foi um dos precursores do Ca´lculo Infinitesimal e, junta-
mente com Pierre de Fermat, um dos inventores da Geometria Analı´tica. Introdutor do racionalismo filoso´fico, foi o fundador
da Filosofia Moderna, onde e´ sempre lembrado por sua ma´xima: “Cogito ergo sum” (Discurso da Raza˜o, 1637), que e´
traduzido do Latim, como: “Penso, logo existo!”
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CAPI´TULO 2
A lo´gica-matema´tica
“Na˜o se preocupe com suas dificuldades em Matema´tica, posso assegurar-lhe que as
minhas sa˜o bem maiores”
Albert Einstein (1879-1955)
“Talvez o maior paradoxo de todos e´ que ha´ paradoxos na Matema´tica.”
E. Kasner & J. Newman
Mathematics and the Imagination, New York, Simon and Schuster, 1940.
2.1 Como formular um resultado matema´tico? Sentenc¸as,
sentenc¸as abertas e quantificadores
Primeiramente, os resultados matema´ticos devem ser expressos com a exatida˜o necessa´ria que exi-
gem. Na Linguagem Matema´tica na˜o ha´ lugar para ambigu¨idades, para figuras de linguagem ou para
meta´foras, que sa˜o ta˜o comuns e ate´ mesmo apreciadas na Linguagem Coloquial ou Litera´ria.
No dia-a-dia, algue´m que diz uma frase do tipo “Estou chegando num minuto!!!”, significa que ela
vai chegar em pouco tempo. Ja´ na Matema´tica, “um minuto” representa um minuto mesmo, sessenta
segundos. Sem querer ser chato, matematicamente, essa pessoa na˜o pode levar nenhum segundo a mais,
nem a menos para chegar! Na˜o e´ a` toa que a Matema´tica e´ uma Cieˆncia Exata, e e´ dessa forma que ela
funciona. Felizmente

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