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primos diferentes de dois sa˜o ı´mpares.”
(f) “Na˜o ha´ nenhum nu´mero primo diferente de dois que na˜o seja ı´mpar.”
(g) “Nenhum nu´mero primo e´ diferente de dois, a menos que seja ı´mpar.”
11. No que segue, n e´ um nu´mero natural. Dado o conjunto {a, a1, a2, a3, . . .} ⊂ R, considere a
sentenc¸a:
∀ε ∈ R, ε > 0, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ |an − a| < ε.
Assinale dentre as frases abaixo, aquela que na˜o corresponde ao que esta sentenc¸a significa:
(a) Para cada nu´mero real ε > 0, existe um nu´mero natural n0, de sorte que |an−a| < ε, sempre
que n ∈ {n0 + 1, n0 + 2, n0 + 3, . . .}.
(b) Para qualquer que seja o nu´mero real positivo ε, existe um nu´mero natural n0, tal que
|an − a| < ε, caso n > n0.
(c) Para todo nu´mero real ε > 0, existe um nu´mero natural n0, de sorte que, se
n ∈ {n0 + 1, n0 + 2, n0 + 3, . . .}, enta˜o |an − a| < ε.
(d) Para todo nu´mero real ε positivo, temos |an − a| < ε para algum n > n0, onde n0 e´ um
nu´mero natural.
(e) Dado um nu´mero real ε positivo, existe um nu´mero natural n0, de modo que, se n > n0,
enta˜o |an − a| < ε.
12. Dentre as afirmac¸o˜es a seguir, detecte quais delas na˜o representam a ide´ia do que seja um nu´mero
par.
Um nu´mero par e´ um nu´mero inteiro m tal que
(a) m = 2k, para algum k ∈ Z.
(b) m e´ da forma 2k, para todo k ∈ Z.
(c) ∀k ∈ Z,m = 2k.
(d) ∃k ∈ Z; m = 2k.
2.1.3 Curiosidade: Os paradoxos lo´gicos
A Lo´gica, mesmo com todo seu rigor, pode incrivelmente levar a contradic¸o˜es nos raciocı´nios, aos quais
chamamos paradoxos. Em nosso texto, um paradoxo e´ uma frase autocontradito´ria, falsa e verdadeira
ao mesmo tempo, que contraria o Princı´pio da Na˜o-contradic¸a˜o. Advertimos que os paradoxos em nada
maculam a Lo´gica e a importaˆncia do correto pensar.
A seguir apresentaremos alguns deles.
1. E´ impossı´vel construir uma ma´quina (um computador, por exemplo) que sempre determine se
qualquer frase e´ verdadeira ou falsa. Se tal ma´quina existisse, ela determinaria que a frase abaixo
e´ falsa e verdadeira ao mesmo tempo:
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2.1. Como formular um resultado matema´tico? Sentenc¸as, sentenc¸as abertas e quantificadores
“Esta ma´quina na˜o vai determinar que essa frase e´ verdadeira.”
De fato, se a frase acima for verdadeira, enta˜o a ma´quina vai determinar que ela e´ falsa. E se for
falsa, a ma´quina vai determinar que ela e´ verdadeira! Logo, essa frase na˜o pode ser uma sentenc¸a
conforme definimos.
Contendo ide´ias semelhantes, vale apresentar os paradoxos abaixo:
2. (Paradoxo do barbeiro) Numa determinada cidade havia um barbeiro que barbeava apenas, e ta˜o
somente, as pessoas que na˜o se barbeavam.
Estude o valor lo´gico da afirmac¸a˜o:
“O barbeiro se barbeava.”
3. (Paradoxo do mentiroso) Acredita-se que na Gre´cia Antiga, la´ pelo Se´culo V I a.C., ja´ se con-
heciam os paradoxos ([Nelson, 1989], p.196). O filo´sofo cretense Epimeˆnides afirmava “Eu estou
mentindo!”, e saı´a perguntando se era verdade ou na˜o o que tinha acabado de falar. O que voceˆ
lhe responderia? Analise as consequ¨eˆncias de sua resposta.
4. Por fim, responda: a resposta a` pergunta abaixo e´ “sim” ou “na˜o”?
“Sua resposta a essa pergunta e´ ‘na˜o’?”
Ha´ outros paradoxos famosos na Matema´tica (vide Nota de Rodape´ 13 da Sec¸a˜o 1.2) e va´rias histo´rias
interessantes, ate´ mesmo na Literatura ([Al-Din, 2001]), que usam basicamente as mesmas ide´ias dos
paradoxos acima.
Figura 2.1: Exemplo de rigor e formalismo matema´tico, veˆ-se nesta versa˜o das obras de Arquimedes (c.
287-212 a.C.) do Grego para o Latim (1910) refereˆncia aos Elementos de Euclides. No tı´tulo da pa´gina
leˆ-se em Latim “Segundo o Me´todo de Erato´stenes”
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Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
2.2 Conectivos e proposic¸o˜es compostas.
(O Ca´lculo Proposicional)
Comecemos esta sec¸a˜o recordando duas operac¸o˜es muito importantes envolvendo conjuntos: unia˜o e
intersec¸a˜o. Mesmo sendo conhecidos desde os primeiros anos de cole´gio, esses conceitos ainda causam
muitas du´vidas, principalmente quando se apresentam os conjuntos-soluc¸a˜o de equac¸o˜es ou inequac¸o˜es,
e e´ comum ver-se que se confundem unio˜es com intersec¸o˜es.
A partir de dois conjuntos quaisquer A e B, podemos formar dois outros conjuntos:
1) O primeiro, constituı´do pelos elementos de A juntamente com os elementos de B, chamado A
unia˜o B (ou A reunia˜o B) e representado por A ∪ B. Escrevemos x ∈ A ∪ B, se x ∈ A ou x ∈ B.
Portanto, tenha em mente que a unia˜o esta´ relacionada com a conjunc¸a˜o gramatical “ou”.
2) O segundo conjunto e´ formado pelos elementos de A que tambe´m sa˜o elementos do conjunto B,
chamado A intersec¸a˜o B e denotado por A ∩ B. Escrevemos x ∈ A ∩ B, se x ∈ A e x ∈ B. Portanto,
fixe bem que a intersec¸a˜o esta´ relacionada com a conjunc¸a˜o gramatical “e”.
Dizemos que uma unia˜o A ∪B e´ disjunta quando A ∩B = ∅.
Observe que, geralmente, na Linguagem Coloquial, quando se emprega a conjunc¸a˜o gramatical ou,
o fazemos no sentido excludente: “Voceˆ mora na capital ou no interior?”, “Pedro e´ filho de Maria ou
de Joana?”, “Hoje a`s 7 h vai fazer calor ou frio?!”, etc. No uso cotidiano, o comportamento e´ como se
a unia˜o de dois conjuntos fosse algo separado de sua intersec¸a˜o.
No uso matema´tico, quando ao se referir a qualquer unia˜o, sempre deve-se levar em considerac¸a˜o a
intersec¸a˜o, ja´ que para dois conjuntos quaisquer A e B temos A ∩ B ⊂ A ∪ B, e nem sempre a unia˜o e´
disjunta (ou seja, nem sempre e´ verdade que A ∩ B = ∅). Dessa forma, diferentemente da Linguagem
Cotidiana, na Matema´tica nunca usarı´amos numa frase as conjunc¸o˜es gramaticais e/ou simultaneamente.
Na Linguagem Matema´tica isso seria um pleonasmo enfa´tico! Matematicamente, quando usamos o
“ou”, deve-se entender que tambe´m estamos considerando a possibilidade de ocorrer o “e”. E´ necessa´rio
que estes conceitos fiquem bem entendidos.
Como no caso de conjuntos, quando trabalhamos com proposic¸o˜es matema´ticas, tambe´m podemos
construir outras proposic¸o˜es a partir de proposic¸o˜es dadas, juntando-se a` essas proposic¸o˜es certas pala-
vras, chamadas conectivos lo´gicos, ou simplesmente, conectivos. Por exemplo, “na˜o”, “se ....enta˜o”,
“se, e somente se”, “ou” e “e” sa˜o conectivos. Observe que utilizamos alguns desses conectivos nos
exemplos da Sec¸a˜o 2.1 para formar as proposic¸o˜es P3, P6, P8 e P10. Proposic¸o˜es desse tipo sa˜o chamadas
proposic¸o˜es compostas, pois foram formadas por outras proposic¸o˜es com o auxı´lio de conectivos. Opor-
tunamente, chama-se proposic¸o˜es simples a`quelas que na˜o conteˆm mais de uma proposic¸a˜o em sua
formac¸a˜o. Em alguns textos de Lo´gica, as proposic¸o˜es simples sa˜o tambe´m chamadas proposic¸o˜es atoˆ-
micas.
Quando for importante enfatizar, denotaremos por P (R1, R2, . . . , Rk) uma sentenc¸a composta P
constituı´da de k sentenc¸as simples R1, R2, . . . , Rk. Portanto, no decorrer do texto, quando na˜o explı´cito,
denotaremos por P,Q,R, S, T etc. sentenc¸as compostas ou simples.
As definic¸o˜es anteriores sa˜o o passo inicial para o estudo do chamado Ca´lculo Proposicional ou
Ca´lculo Sentencial ou ainda, Ca´lculo das Sentenc¸as, que e´ a parte da Lo´gica que, entre outras coisas,
trata de sentenc¸as compostas resultantes de operac¸o˜es lo´gicas envolvendo sentenc¸as, e de seus valores
lo´gicos.
Comecemos tratando dos conectivos “e” e “ou”. O estudo de outros conectivos e do Ca´lculo Proposi-
cional continuara´ ao longo de outros capı´tulos.
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2.2. Conectivos e proposic¸o˜es compostas.
(O Ca´lculo Proposicional)
Como ocorre com os conjuntos, se temos duas proposic¸o˜es P e Q, podemos formar duas novas
proposic¸o˜es:
P e Q (conjunc¸a˜o das sentenc¸as P e Q)
e
P ou Q (disjunc¸a˜o das sentenc¸as P e Q).
Seguindo a linguagem da Lo´gica Simbo´lica Formal (que usa apenas sı´mbolos), denota-se a proposic¸a˜o
conjuntiva por P ∧Q (leˆ-se: ‘P e Q’), e a disjuntiva por P ∨Q (leˆ-se: ‘P ou

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