A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
198 pág.
Um convite à matemática Daniel C Filho.pdf

Pré-visualização | Página 9 de 50

Q’).
Na Lo´gica Formal, pode-se ver a conjunc¸a˜o, a disjunc¸a˜o e as sentenc¸as geradas por outros conectivos,
como resultante de operac¸o˜es de sentenc¸as.
Vamos aos exemplos de sentenc¸as conjuntivas e disjuntivas:
EXEMPLO 1: Se temos as proposic¸o˜es
P : “Existe x ∈ R, tal que x2 > 2 ”
e
Q: “Existe x ∈ R, tal que x+ 3 > 1”
podemos construir as proposic¸o˜es:
P ∧Q: “Existe x ∈ R, tal que x2 > 2 e x+ 3 > 1”
e
P ∨Q: “Existe x ∈ R, tal que x2 > 2 ou x+ 3 > 1”.
Definiremos, e e´ bem natural de aceitar, que uma proposic¸a˜o conjuntiva
P ∧Q
seja verdadeira, apenas no caso em que as duas proposic¸o˜es P e Q o forem; e reciprocamente, ape-
nas quando as proposic¸o˜es P e Q forem ambas verdadeiras, e´ que a proposic¸a˜o P e Q tambe´m sera´
verdadeira.
Por sua vez, definimos que uma proposic¸a˜o disjuntiva
P ∨Q
e´ verdadeira, apenas quando pelo menos uma das proposic¸o˜es P ou Q for verdadeira; e reciprocamente,
apenas quando, ou a proposic¸a˜o P ou a proposic¸a˜o Q for verdadeira (pelo menos uma das duas for
verdadeira), e´ que a proposic¸a˜o P ∨Q sera´ verdadeira.
EXEMPLO 2:
P : 3 > 1 (Proposic¸a˜o verdadeira)
Q: −1 > 0 (Proposic¸a˜o falsa)
P ∨Q: 3 > 1 ou −1 > 0 (Proposic¸a˜o verdadeira)
P ∧Q: 3 > 1 e −1 > 0 (Proposic¸a˜o falsa).
Ainda sobre o valor lo´gico de sentenc¸as disjuntivas, podemos construir sentenc¸as logicamente ver-
dadeiras bastante bizarras, como: “ 3 < 7 ou na lua se fabrica queijo do reino com leite de soja tirado
de um ornitorrinco marciano”. O fato e´ se´rio, mas a u´ltima sentenc¸a e´ so´ uma brincadeira!
33
Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
Qual a relac¸a˜o de unia˜o e intersec¸a˜o de conjuntos com disjunc¸a˜o e conjunc¸a˜o de sentenc¸as?
Uma resposta e´ a seguinte: Sejam P e Q duas proposic¸o˜es que se referem a propriedades de um
elemento pertencente a um conjunto universo U. Associemos a` P o conjunto P ⊂ U dos elementos que
gozam de P , e a` proposic¸a˜o Q, o conjunto Q ⊂ U dos elementos que gozam de Q. Dessa forma, o
conjunto dos elementos que satisfazem a sentenc¸a disjuntiva P ∨Q e´ P∪Q, e o conjunto dos elementos
que satisfazem a sentenc¸a conjuntiva P ∧Q e´ P ∩ Q.
EXEMPLO 3: No Exemplo 1 temos U = R, P = (−∞,−√2) ∪ (√2,∞), Q = (−2,+∞) e
daı´, resulta que os conjuntos que satisfazem P ∨ Q e P ∧ Q sa˜o, respectivamente, P ∪ Q = R e
P ∩ Q = (−2,−√2) ∪ (√2,+∞).
NOTA: Na˜o se deve confundir os sı´mbolos. Observe que ∨ e ∧ sa˜o usados, respectivamente, para
conjunc¸a˜o e disjunc¸a˜o de sentenc¸as, enquanto ∪ e ∩ sa˜o usados para denotar, respectivamente, unia˜o e
intersec¸a˜o de conjuntos.
2.2.1 Tabelas-verdade
Voceˆ deve ter notado a partir dos exemplos que demos na sec¸a˜o anterior, que o valor lo´gico de uma
proposic¸a˜o composta, resultante de uma operac¸a˜o lo´gica de sentenc¸as, depende dos conectivos e dos
valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples que a compo˜em, e na˜o de seus conteu´dos em si. Lembre-se
dessa informac¸a˜o quando apresentarmos outras operac¸o˜es lo´gicas definidas com outros conectivos.
Uma maneira pra´tica de encontrar e exibir os valores lo´gicos de proposic¸o˜es compostas e´ usando um
dispositivo chamado tabela-verdade. Nas tabelas-verdade, denotamos por V o valor lo´gico “verdade”,
e por F o valor lo´gico “falso” de uma proposic¸a˜o. Como, pelos Princı´pios do Terceiro Excluı´do e
da Na˜o-contradic¸a˜o, toda proposic¸a˜o esta´ associada a um u´nico valor lo´gico (F ou V), usando uma
tabela verdade e´ possı´vel determinar os valores lo´gicos de uma proposic¸a˜o composta P (R1, R2, . . . , Rk),
levando em considerac¸a˜o os conectivos e as possibilidades dos valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples
R1, R2, . . . , Rk que a compo˜em.
As tabelas-verdade teˆm larga aplicac¸a˜o, em particular, na Linguagem Dual da Computac¸a˜o, em cir-
cuitos ele´tricos, etc.
Como exemplo, veja como podemos dispor numa tabela-verdade os valores lo´gicos de proposic¸o˜es
conjuntivas e disjuntivas que definimos na sec¸a˜o anterior:
P Q P ∧Q P ∨Q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Tabela 2.1: Tabela verdade da conjunc¸a˜o e disjunc¸a˜o
Adiantamos que na˜o e´ difı´cil verificar que uma tabela verdade de uma sentenc¸a composta
P (R1, R2, . . . , Rk), formada por k sentenc¸as simples R1, R2, . . . , Rk, tem exatamente 2k linhas. Este
e´ o Exercı´cio 1(h) proposto na Sec¸a˜o 15.1.
Na medida em que apresentarmos algum conectivo, iremos exibir a tabela-verdade de proposic¸o˜es
formadas por este conectivo.
34
2.2. Conectivos e proposic¸o˜es compostas.
(O Ca´lculo Proposicional)
EXERCI´CIOS:
1. Explique porque “10 ≥ 10” e´ uma sentenc¸a verdadeira.
2. Classifique no Exercı´cio 1 da Sec¸a˜o 2.1 as proposic¸o˜es compostas e as proposic¸o˜es simples.
3. Determine o valor lo´gico das seguintes sentenc¸as, justificando sua resposta:
(a) Existem dois nu´meros primos entre os nu´meros 22 e 32, ou pi >
√
3.
(b) Se x e´ um nu´mero real, enta˜o x3 − 1 > 0 e 2x > 0.
(c) −3 > 9 e 5 < 3, ou 25 > 3.
4. Complete a tabela verdade abaixo:
P Q R P ∧Q Q ∨R P ∧R P ∧ (Q ∨R) (P ∧Q) ∨ (P ∧R)
V V V
V V F
V F V
F V V
V F F
F V F
F F V
F F F
5. Sejam x, y ∈ R. Responda as seguintes perguntas, justificando sua resposta (Observac¸a˜o: estamos
trabalhando com Matema´tica.):
(a) Se voceˆ na˜o conhece os nu´meros x e y, e algue´m afirma que
“x > 0 ou y > 0”,
pode-se concluir que:
i. x pode ser negativo?
ii. y pode ser zero?
iii. x pode ser negativo ou zero?
iv. y na˜o pode ser negativo?
(b) E se essa pessoa diz que
“x > 0 e y < 0”,
enta˜o:
i. x ou y pode ser nulo?
ii. x e y podem ser nulos?
iii. x ou y podem ser positivos ?
iv. x pode ser negativo ou nulo ou y pode ser positivo?
6. Marque a alternativa correta para as seguintes questo˜es. Sua resposta so´ e´ va´lida com a respectiva
justificativa.
35
Capı´tulo 2. A lo´gica-matema´tica
(a) O conjunto A = {x ∈ R; (x− 2)(x− 1) = 0} pode ser representado na forma
i. A = {x ∈ R; x = 2 e x = 1}
ii. A = {x ∈ R; x = 2 ou x = 1}
(b) Sejam A = {x ∈ R; x ≥ 9}, B = {x ∈ R; x > 9} e C = {9}. Assim, tem-se:
i. A = B ∩ C
ii. A = B ∪ C
(c) Se x, y ∈ R sa˜o tais que x
y
< 0, podemos afirmar que:
i. x < 0 ou y < 0
ii. x < 0 e y < 0
iii. x > 0 ou y < 0
iv. x < 0 ou y > 0
v. (x > 0 e y < 0) ou (x < 0 e y > 0)
vi. (x > 0 ou y < 0) e (x < 0 ou y > 0)
(d) Se x, y ∈ R sa˜o tais que x.y > 0, podemos afirmar que:
i. x > 0 ou y > 0
ii. x > 0 e y > 0
iii. (x > 0 e y > 0) ou (x < 0 e y < 0)
iv. (x > 0 ou y > 0) e (x < 0 ou y < 0)
7. Ao resolverem uma equac¸a˜o alge´brica do segundo grau na varia´vel x, quatro alunos escreveram
suas respostas de maneiras distintas. Eles afirmaram que as raı´zes da equac¸a˜o eram:
(a) “x = 2 e x = 3”
(b) “x = 2 ou x = 3”
(c) “x1 = 2 e x2 = 3”
(d) “x1 = 2 ou x2 = 3”
Quais das respostas esta˜o formuladas de maneira correta? Por queˆ?
2.3 Sentenc¸as equivalentes na Lo´gica Formal
Na Lo´gica Formal, duas sentenc¸as compostas P (R1, R2, . . . , Rk) e Q(R1, R2, . . . , Rk) sa˜o ditas
equivalentes se possuem as mesmas tabelas-verdade. Quando isso ocorre, representamos esse fato por
P (R1, R2, . . . , Rk) ≡ Q(R1, R2, . . . , Rk),
que e´ lido como “(a sentenc¸a) P e´ equivalente a (sentenc¸a) Q”. Alguns textos utilizam a igualdade em
vez do sı´mbolo “≡” para representar equivaleˆncia de sentenc¸as.
Quem fez o Exercı´cio 4 da sec¸a˜o anterior, agora pode constatar que as sentenc¸as P ∧ (Q ∨ R) e
(P ∧Q) ∨ (P ∧R) sa˜o equivalentes.
Listamos a seguir as principais propriedades de equivaleˆncia de conjunc¸a˜o e disjunc¸a˜o de proposic¸o˜es
que valem na Lo´gica Simbo´lica:
36
2.3. Sentenc¸as equivalentes na Lo´gica Formal
IDEMPOTEˆNCIA COMUTATIVIDADE
P ∧ P ≡ P P ∧Q ≡ Q ∧ P
P ∨ P ≡ P P ∨Q ≡ Q ∨ P
ASSOCIATIVIDADE DISTRIBUTIVIDADE
(P ∧Q) ∧R ≡ P ∧ (Q ∧R) P ∧ (Q ∨R) ≡ (P ∧Q) ∨ (P ∧R)
(P ∨Q) ∨R ≡ P ∨ (Q ∨R) P ∨ (Q ∧R) ≡ (P ∨Q) ∧ (P ∨R)
Tabela 2.2: Tabelas-verdade

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.