AULA 3 - ESA 037 –Tópicos Especiais: Tratamento de dados ambientais

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24/08/2017
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Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Sanitária e 
Ambiental
Prof. Samuel Rodrigues Castro
ESA 037 – Tópicos Especiais: Tratamento de dados ambientais
Distribuição normal
Distribuição amostral das médias
Na aula de hoje...
Aula anterior
• Probabilidade: permite uma ideia inicial da distribuição de frequência
da variável de interesse;
• Distribuição normal: modelo descrito por 2 parâmetros (posição e
escala)
• Padrão: N(0, 1)
Distribuição das variáveis na prática
• Distribuição normal como uma linha suave existe apenas
teoricamente;
• Na prática: histogramas que se aproximam, em maior ou menor grau
de uma curva normal;
• Para variáveis de distribuição descontínua
ou assimétrica, o modelo da curva normal
não fornece conclusões confiáveis.
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Distribuição das variáveis na prática
Transformações mais usadas para tornar as distribuições mais próximas
de uma normal:
• 𝑥′ = log 𝑥 𝑜𝑢 𝑥′ = ln(𝑥)
• 𝑥′ = 𝑥
• 𝑥′ =
1
𝑥
• 𝑥′ = 𝑥2
Distribuição amostral das médias
Considere a alcalinidade média no rio Paraibuna como sendo de
19,6 mg de CaCO3/L e desvio padrão de 7,7 mg/L. Se em uma
amostra recente de 16 observações a média for 16,2 mg, estará
ela indicando que a alcalinidade no rio se modificou?
Um ponto a considerar é saber se a diferença obtida (-3,4 mg)
pode ser atribuída a uma diminuição real na alcalinidade ou a
um erro aleatório, já que a média está baseada em uma
amostra e não na população de valores possíveis.
Para decidir sobre a significância estatística da diferença
entre uma média amostral ( 𝑥)e o parâmetro tomado como
referência (μ), é necessário saber como é o comportamento
aleatório das médias amostrais, isto é, como é a sua
distribuição probabilística.
Gosset, 1908
Distribuição amostral das médias
Média aritmética: medida de tendência central mais amplamente
utilizada, sendo a melhor medida quando se supõe que a população
segue uma distribuição normal.
• Inexistência de viés  a média das médias aritméticas de todas as amostras possíveis
será igual à média aritmética da população.
• Eficiência  precisão da estatística de amostragem como um meio de estimar o
parâmetro da população.
Considerada medida resistente de localização???
• Consistência  efeito do tamanho da amostra na
utilidade de uma estimativa. Quanto maior o tamanho
da amostra, menor a variação entre a média
aritmética da amostra e a da população.
Distribuição amostral das médias
Ex.: considere uma população hipotética de 4 valores:
- Calcule a média da população (μ)
- Calcule o desvio padrão da população (σ)
= 25
= 11,2
x = 10; 20; 30; 40
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Distribuição amostral das médias
Ex.: considere uma população hipotética de 4 valores:
- Retiram-se, agora, dessa população todas as amostras aleatórias possíveis de dois
elementos, repondo novamente o primeiro para que haja outra vez quatro elementos
possíveis para a segunda retirada  amostragem com reposição.
x = 10; 20; 30; 40
Quantas são as amostras possíveis?
Quais são as médias possíveis?
 𝑥 f fr
10 1 0,0625
15 2 0,1250
20 3 0,1875
25 4 0,2500
30 3 0,1875
35 2 0,1250
40 1 0,0625
 16 1,0000
Distribuição amostral das médias
Distribuição de frequências da população
Distribuição de frequências das médias 
de amostras de 2 elementos
Distribuição amostral das médias
Teorema do limite central: à medida que o tamanho da amostra
se torna suficiente grande, a distribuição da média aritmética das
amostras será aproximadamente normal, com média μ e variância
σ2/n. Isso torna-se verdadeiro, independente do formato da
distribuição dos valores individuais na população.
• Funciona bem para amostras pequenas (n = 4 ou 5) na maioria dos casos,
quando a população é contínua, unimodal e simétrica;
• Em muitos casos de interesse prático, se n ≥ 30, a aproximação normal será
satisfatória, independente da forma da população;
• Se n < 30, teorema do limite central funcionará se a distribuição da
população não for muito diferente da normal.
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Distribuição amostral das médias
Se x é o resultado de um dado não viciado, que pode assumir valores 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Sabe-se que para um lançamento, temos uma equiprobabilidade onde cada face possui
um sexto de chances:
1 lançamento f fr
1 1 1 0,1667
2 2 1 0,1667
3 3 1 0,1667
4 4 1 0,1667
5 5 1 0,1667
6 6 1 0,1667
Média 3,5 6 1,0000
O teorema central do limite nos diz que, à medida que aumentamos o tamanho
desta amostra (digamos, se jogarmos o dado 2 mil vezes e anotarmos os resultados),
a média amostral se aproximará cada vez mais da média populacional, que é 3,5.
Médias f fr
1 1 0,027778
1,5 2 0,055556
2 3 0,083333
2,5 4 0,111111
3 5 0,138889
3,5 6 0,166667
4 5 0,138889
4,5 4 0,111111
5 3 0,083333
5,5 2 0,055556
6 1 0,027778
36 1,000000
2 lançamentos
Maior tendência das médias à distribuição normal
Distribuição amostral das médias
• Se a variável x tem distribuição normal, as médias de todas as
amostras aleatórias de igual tamanho, originárias dessa população,
distribuem-se também segundo uma curva de Gauss;
Se a distribuição de x não for Normal, são necessárias
amostras grandes para que a distribuição amostral das
médias seja uma distribuição normal.
Distribuição amostral das médias
• A distribuição amostral das médias tem centro em μ (média da
população). A variabilidade é expressa pelo desvio padrão das médias
ou erro padrão da média, σ( 𝑥). O erro padrão pode ser obtido de duas
maneiras:
a) Usando os desvios de cada média amostral em relação a μ, conforme, onde f é o número
de vezes em que cada média ocorreu; ou
b) Pela fórmula, onde n é o tamanho da amostra.
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Distribuição amostral das médias
Ex.: Em uma linha de produção, um aparelho de empacotamento que abastece
caixas de cereal com 368 g está ajustado de modo que a quantidade de cereal
em uma caixa seja normalmente distribuída c/ média 368 g.
O desvio padrão da população para esse processo é conhecido como sendo
igual a 15 g.
Se uma amostra de 25 caixas for escolhida aleatoriamente das milhares que
são abastecidas por dia e o peso médio for calculado, qual a probabilidade da
amostra ter uma média aritmética entre 365 e 368 g?
Distribuição amostral das médias
A partir do estudo da distribuição normal, a área entre qualquer valor x e a
média da população μ pode ser encontrada convertendo-se para unidades z
padronizadas e encontrando o valor apropriado na tabela de distribuição
normal.
0,3413 = 34,13% de todas as 
amostras possíveis teriam uma 
média entre 365 e 368 g
Distribuição amostral das médias
• Resultado explicado pelo fato de que cada amostra consiste de 25
valores diferentes, alguns pequenos e outros grandes.
• A média dilui a importância de qualquer valor individual,
principalmente quando o tamanho da amostra é grande.
• A chance da média de uma amostra de 25 valores estar mais próxima
da média da população é maior do que a de um único valor individual
7,93% < < 34,13
Distribuição amostral das médias
Ex.: Como os resultados seriam afetados pelo uso de um tamanho de amostra
maior, por ex., 100 caixas?
Portanto, seria de se esperar que 47,72% das amostras possíveis de
tamanho igual a 100 tivessem uma média entre 365 e 368 g.
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Distribuição amostral das médias
Ex.: Com base nas 25 caixas, qual o intervalo em torno da média da população
que inclui 95% das médias das amostras?
Z
Portanto, 95% de todas as médias de amostras baseadas em amostras 
de 25 caixas devem estar entre 362,12 e 373,88 g.
Distribuição amostral das médias
Ex.: Certo investigador mediu a pressão arterial de cinco executivos do sexo
masculino, na faixa de 40 a 44 anos, escolhidos aleatoriamente, e obteve osvalores 135; 143; 149; 128 e 158 mmHg.
A média observada nessa amostra foi de 142,6 mmHg. Serão esses dados
suficientes para afirmar que os executivos apresentam pressão arterial
diferente da média de 129 mmHg e desvio padrão de 15 mmHg (média e
desvio observados na população dessa idade)?
Dica: Necessário conhecer quais limites do intervalo de desvios não significativos 
para médias de amostras de 5 pessoas retiradas aleatoriamente dessa população
Distribuição amostral das médias
Dica: Necessário conhecer quais limites do intervalo de desvios não significativos 
para médias de amostras de 5 pessoas retiradas aleatoriamente dessa população
Para um nível de significância α = 5%, tem-se o
intervalo que determina a região de 95% no centro da
curva da distribuição amostral das médias e duas
regiões de 2,5%.
Limite inferior do intervalo = 115,9 mm Hg
Limite superior do intervalo = 142,1 mm Hg
Portanto, a média de 142,6 mm Hg (dos 5 executivos) 
desvia-se significativamente da média da população de 
homens da mesma faixa etária.
Distribuição amostral das médias
Sequência de procedimentos para se determinar a significância de um
desvio:
1. Escolher inicialmente o critério ou o nível de significância desejado (ex.: α = 0,05)
2. Obter o valor crítico de Z da tabela (ex.: Z α = 0,05 = 1,96)
3. Calcular o afastamento entre 𝑋 e μ em erros padrão:
4. Regra de decisão:
A média amostral está 2,03 erros acima de μ
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Distribuição amostral das médias
Considere a alcalinidade média no rio Paraibuna como sendo de
19,6 mg de CaCO3/L e desvio padrão de 7,7 mg/L. Se em uma
amostra recente de 16 observações a média for 16,2 mg, estará
ela indicando que a alcalinidade no rio se modificou?
Um ponto a considerar é saber se a diferença obtida (-3,4 mg)
pode ser atribuída a uma diminuição real na alcalinidade ou a
um erro aleatório, já que a média está baseada em uma
amostra e não na população de valores possíveis.
Para decidir sobre a significância estatística da diferença
entre uma média amostral ( 𝑥)e o parâmetro tomado como
referência (μ), é necessário saber como é o comportamento
aleatório das médias amostrais, isto é, como é a sua
distribuição probabilística.
Distribuição amostral das médias
Estimativa do intervalo de confiança da média
• Em geral, pode-se interpretar que uma estimativa do intervalo de confiança de 95%
significa que, se todas as amostras possíveis de um mesmo tamanho n fossem
retiradas, 95% delas iriam conter a verdadeira média da população.
O nível de confiança é simbolizado por (1 – α) x 100%, onde α é a proporção de 
caudas da distribuição que estão fora do intervalo de confiança.
Distribuição amostral das médias
Estimativa do intervalo de confiança da média
Ex.: Um fabricante produz papel para impressoras. O comprimento esperado é
de 11 polegadas e o desvio padrão conhecido é de 0,02 polegadas. São
selecionadas amostras periódicas para verificar se o comprimento médio se
mantém em 11 polegadas.
Uma amostra de 100 folhas foi selecionada e o comprimento médio foi de
10,998. Estimar o intervalo de confiança de 95% do comprimento médio do
papel da população.
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• Testes de hipótese
... apenas para indicar diferenças
Vc não aceita H0 
 vc não rejeita!
H0 = 
H1 ≠
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