SOLUCIONARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E IN

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SOLUCIONARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE 
WILLIAM ANTHONY GRANVILLE
 
Ejercicios resueltos por : LIWINTONG MARQUEZ REYES 
Problemas “ Pagina 14 “
1. Dado f (x) = x3 - 5x2 - 4x + 20 , demostrar que 
 
 a. f (1) = 12
 f (1) = (1)3 - 5 (1)2 - 4 (1) + 20 = 1 - 5 - 4 + 20 = 21 - 9 = 12
f (1) = 12 
 b. f (5) = 0
 f (5) = (5)3 - 5 (5)2 - 4 (5) + 20 = 125 - 125 - 20 + 20 = 0
 f (5) = 0.
 c. f (0) = - 2f (3)
 Primero calculamos f (3)
 f (3) = (3)3 –5 (3)2 - 4 (3) + 20 = 27 - 45 - 12 + 20 = 47 - 57 =
 f (3) = - 10 
 Luego, calculamos f (0).
 f (0) = (0)3 + 5 (0)2 - 4 (0) + 20 = 0 + 0 - 0 + 20 = 20.
 f (0) = 20 . Sustituyendo f (3) y f (0) en la función original.
 f (0) = - 2 f (3).
 20 = -2 (-10)
 20 = + 20.
 
d. f (7) = 5 f (-1)
 Primero calculamos f (-1) .
 f (-1) = (-1)3 -5 (-1)2 - 4 (-1) + 20 = - 1 -5 + 4 + 20 = - 6 + 24 = 
 f (-1) = 18.
 Luego, calculamos f (7).
 f (7) = (7)3 - 5 (7)2 - 4 (7) + 20 = 343 - 245 - 28 + 20.
 f (7) = 363 - 273 = 90. 
 Sustituyendo, f (-1) y f (7) en la función original.
 f (7) = 5. f (-1).
 90 = 5 (18).
 90 = 90. 
2. Si f (x) = 4 - 2x2 + x4, calcular :
a. f (0)
 f (0) = 4 - 2 (0)2 + (0)4 = 4 - 0 + 0 = 4
 f (0) = 4.
b. f (1) 
 f (1) = 4 - 2 (1)2 + (1)4 = 4 - 2 + 1 = 5 - 2.
 f (1) = 3.
c. f (-1) 
 f (-1) = 4 -2 (-1)2 + (-1)4 = 4 - 2 + 1 = 5 - 2
 f (-1) = 3.
 d. f (2)
 f (2) = 4 -2 (2)2 + (2)4 = 4 - 8 + 16 = 20 - 8
 f (2) = 12.
 e. f (-2) 
 f (-2) = 4 - 2 (-2)2 + (-2)4 = 4 - 8 + 16 = 20 - 8 =
 f (-2) = 12.
 
3. Si f (θ ) = sen 2θ + cos θ . Hallar :
 a. f (0)
 f (0) = sen 2 (0) + cos (0) = sen 0 + cos 0 = 0 + 1 =
 f (0) = 1.
b. f (1/2 pi ) .
 f (1/2 pi) = sen 2 pi + cos pi = sen pi + cos 900 = 0 + 0 = 0 . 
 2 2 
c. f (pi )
 f (pi) = sen 2 (pi) + cos pi = sen 3600 + cos 1800 = 0 + (-1) = -1.
f (pi) = -1.
4.- Dado f (x) = x3 - 5x2 - 4x + 20 , demostrar que :
 f (t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12.
 f (t + 1) = (t + 1)3 - 5(t + 1)2 - 4(t + 1) + 20.
 f (t + 1) = t3 + 3t2 + 3t + 1 - 5(t2 + 2t + 1) - 4t - 4 + 20.
 f (t + 1) = t3 + 3t2 + 3t + 1 - 5t2 - 10t - 5 - 4t - 4 + 20.
 Haciendo operaciones:
 f (t + 1) = t3 - 2t2 - 11t + 12.
5. Dado f (y) = y2 - 2y + 6 , demostrar que :
 f (y + h) = y2 - 2y + 6 + 2 ( y - 1) h + h2.
 f (y + h) = (y + h)2 - 2(y + h) + 6.
 f (y + h) = y2 + 2yh + h2 - 2y - 2h + 6.
 f (y + h) = y2 - 2y + 6 + 2yh - 2h + h2.
 f (y + h) = y2 - 2y + 6 + h (2y - 1) + h2.
 f (y + h) = y2- 2y + 6 + ( 2y - 1) h + h2.
 
6. Dado f (x) = x3 + 3x , demostrar que
 f (x + h) - f (x) = 3(x2 + 1) h + 3xh2 + h3.
 Primero encontramos f (x + h)
f (x + h) = (x + h)3 + 3(x + h).
f (x + h) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h.
 Luego : f (x + h) - f (x)
 f (x + h) - f (x) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - (x3 + 3x).
 f (x + h) - f (x) = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - x3 - 3x.
 Efectuando : f (x + h) - f (x) = 3x2h + 3h + 3xh2 + h3.
f (x + h) = 3h (x2 + 1) + 3xh2 + h3. 
 f (x + h) = 3 (x2 + 1) h + 3xh2 + h3.
7. Dado f (x) = 1 , demostrar que : f (x + h) - f (x) = _ 1 .
 x x2 + xh 
 Primero encontramos f (x + h) :
 f (x + h) = 1 .
 x + h
 Luego : f (x + h) - f (x) = 1 - 1 .
 x + h x
 f (x + h) - f (x) = x - (x + h)
 (x + h) x 
 f (x + h) - f (x) = x - x - h = _ h . 
 (x + h) x x2 + xh
 
8. Dado φ (z) = 4z , demostrar que:
 φ (z + 1) - φ (z) = 3φ (z)
 Primero encontramos φ (z + 1)
 φ (z+1) = 4z +1
 Luego:φ (z + 1) - φ (z) = 4z +1 - 4z. 
 φ (z + 1) - φ (z) = 4z.4 - 4z.
 φ (z + 1) - φ (z) = 4z (4 - 1) = 4z (3) = 3 (4z).
 Pero : φ (z) = 4z.
 ⇒ φ (z + 1) - φ (z) = 3φ (z).
9. Si φ (x) = ar ,demostrar que: φ (y). φ (z) = φ (y + z)
 φ (y) = ay
 φ (z) = az
 φ (y).φ (z) = ay.az = ay + z
Si: φ (x) = ax ⇒ φ (y). φ (z) = ay + z = φ (y + z).
10. Dado φ (x) = log 1 - x ,demostrar que: φ (y) + φ (z) = φ y + 
z .
 1+ x 1+ yz
 Primero calculamos φ (y) , sustituyendo en φ (x): φ (y) = log 1 - y 
.
 1+ y 
 
 Luego calculamos φ (z) , sustituyendo en φ (x) : φ (z) = log 1 - z 
. 
 1 + z
 Ahora: φ (y) + φ (z) = log 1 - y + log 1 - z = log (1 - y)(1 - z) . 
 1 + y 1 + z (1 + y)(1 + z)
 φ (y) + φ (z) = log 1 - y - z + yz = (1 + yz) - (y + z) .
 
 1+ y + z + yz (1+ yz) + (y + z)
Ahora calculamos φ (y + z) , sustituyendo en : φ (x) = log 1 - x . 
 (1 + yz) 1 + x
 1-(y + z) 1 + yz - (y + z) 
 φ (y + z) = log 1 + yz = log (1 + yz) = log (1 + yz) - (y + z)
 (1 + yz) 1 + y + z 1 + yz + y + z (1 + yz) + (y + z) 
 1+ yz (1 + yz)
 ⇒ φ (y) + φ (z) = φ y + z = log (1 + yz) - (y + z) 
 1 + yz (1 + yz) + (y + z)
11. Dado : f (x) = sen x , demostrar que 
 f (x + 2h) - f (x) = 2 cos (x + h). (sen h)
 Primero encontramos f (x + 2h)
 sen (x + 2h) = sen x. cos 2h + cos x. sen 2h.
 Por Trigonométria : cos 2x = cos2 x - sen2 x = 1 - 2sen2 x.
 sen 2x = 2sen x.cos x.
 sen (x + y) = sen x. cos y + cos x. sen y. 
 Sustituyendo en : sen (x + 2h)
 sen x (cos2 h - sen2 h) + cos x (2 sen h. cos h)
 sen x (1 - 2 sen2h) + cos x (2 sen h. cos h)
 sen x (1 - 2 sen2h) + 2 cos x . sen h. cos h.
 Luego : f (x) = sen x
 f (x + 2h) = sen x (1 - 2 sen2h) + 2cos x. sen h. cos h
 ⇒ f(x + 2h) - f(x) = sen x(1 - 2 sen2h) + 2cos x . sen h.cos h -sen h
 Haciendo operaciones , simplificando y ordenando:
 sen x - 2 sen x. sen2h + 2 cos x. sen h. cos h - sen x
 2 cos x. sen h. cos h - 2sen x. sen2h
 Factorando : 2 sen h (cos x. cos h - sen x. sen h)
 Pero : según formula , cos x. cos y - sen x. sen y = cos (x+y)
 Sustituyendo en : 
 2 sen h (cos x. cos h - sen x. sen h)
 2 sen h [(cos (x + h)] = 2 sen h. cos (x + h) = 2 cos (x + h). sen h.
 
⇒ f (x+2h) - f (x) = 2 cos (x+h). sen h .
Problemas “Paginas 21 – 22 “
Demostrar cada una de las siguientes igualdades:
2. lim 4x + 5 = 2
 x→∞ 2x + 3 
 Dividiendo númerador y denominador por x y luego sustituyendopor ∞ .
 4x + 5 4 + 5 4 + 5 .
 lim x x = x = ∞ = 4 + 0 = 4 = 2.
 x→∞ 2x + 3 2 + 3 2 + 3 2 + 0 2
 x x x ∞
3. lim 4t 2 + 3t + 2 = - 1 .
 t→0 t3 + 2t - 6 3
 Se sustituye t →0 en el numerador y denominador.
 lim 4 (0) 2 + 3(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 = - 1 . 
 t→0 (0)3 + 2(0) - 6 0 + 0 - 6 - 6 3
4. lim x 2 h + 3xh 2 + h 3 = x .
 h→0 2xh + 5h2 2
lim h (x 2 + 3xh + h 2 ) = x 2 + 3xh + h 2 
 h→0 h (2x + 5h) 2x + 5h
Se sustituye h →0 tanto en el numerador como en el denominador.
 lim x 2 + 3x(0) + (0) 2 = x 2 + 0 + 0 = x 2 = x .x = x .
 h→0 2x + 5(0) 2x + 0 2x 2 x 2
 
5. lim 6x 3 - 5x 2 + 3 = 3
 x→∞ 2x3 + 4x - 7
Primero dividimos, tanto en el numerador como en el denominador por x3.
 6 x 3 - 5 x 2 + 3 6 - 5 + 3 .
lim x 3 x 3 x 3 = x x 3 = 
 x→∞ 2 x 3 + 4 x - 7 2 + 4 - 7 
 x3 x3 x3 x2 x3 
Luego sustituyendo x →∞ y teniendo presente que todo número para ∞ = 0 .
 6 - 5 + 3 . 
 ∞ ∞ 3 = 6 - 0 + 0 = 6 = 3 . 
 2 + 4 - 7 2 + 0 - 0 2
 ∞2 ∞3 
6. lim (2z + 3k) 3 - 4k 2 z = 1
 k →0 2z ( 2z - k )2
lim (2z) 3 + 3(2z) 2 (3k) + 3(2z)(3k) 2 + (3k) 3 - 4k 2 z .
 k→0 2z [(2z)2 - 2zk + (k)2]
 lim 8z 3 + 36z 2 k + 54zk 2 + 27k 3 - 4k 2 z .
 k→0 2z (4z2 - 2zk + k2)
Sustituyendo k →0 
lim 8z 3 + 36z 2 (0) + 54z (0) 2 + 27 (0) 3 - 4(0) 2 z .
 k→0 2z [4z2 - 2z(0) + (0)2]
lim 8z 3 + 0 + 0 + 0 - 0 = 8z 3 = 1
 k→0 2z (4z2 - 0 + 0) 8z3 .
 
7. lim ax 4 + bx 2 + c = 0
 x →∞ dx5 + ex3 + fx
Dividiendo numerador y denominador para x4 . 
 a x 4 + b x 2 + c a + b + c .
lim x 4 x 4 x 4 = x 2 x 4 . x →∞ en la operación.
 x→∞ d x 5 + e x 3 + f x dx + e + f .
 x4 x4 x4 x x3
 a + b + c .
lim ∞ 2 ∞ 4 = a + 0 + 0 . 
x→∞ d.∞ + e + f ∞ + 0 + 0 
 ∞ ∞3
lim a = 0
 x→∞ ∞
8. lim ax 4 + bx 2 + c = ∞ .
 x→∞ dx3 + ex2 + fx + g
Dividiendo numerador y denominador para x4.
 a x 4 + b x 2 + c a + b + c .
lim x 4 x 4 x 4 = x 2 x 4 .
 x→∞ d x 3 + e x 2 + f x + g d + e + f + g .
 x4 x4 x4 x4 x x2 x3 x4
Sustituyendo x → ∞ en la operación.
lim a + b + c .
 x→∞ ∞ 2 ∞ 4 = a + 0 + 0 = a = ∞ 
 d + e + f + g 0 + 0 + 0 + 0 0 
 ∞ ∞2 ∞3 ∞4
 
9. lim s 4 - a 4 = 2a2
 s→a s2 - a2
 lim (s 2 + a 2 ) (s 2 - a 2 ) = s2 + a2.
s→a ( s2 - a2 )
Sustituyendo s →a en la operación.
lim a2 + a2 = 2a2
 s→a
10. lim x 2 + x - 6 = 5 .
 x→2 x2 - 4 4
lim (x + 3) (x - 2) = (x + 3) . Sustituyendo x→2 :
 x→2 (x + 2) (x - 2) (x +2)
lim (2 + 3) = 5 .
x→2 (2 + 2) 4
11. lim 4y 2 - 3 = 0
y→∞ 2y3 + 3y2
Dividimos para y3.
 4 y 2 - 3 4 - 3.
lim y 3 y 3 = y y 3 .
y→∞ 2 y 3 + 3 y 2 2 + 3
 y 3 y 3 y
Sustituyendo y→∞ en la operación :
 4 - 3 .
lim ∞ ∞ = 0 - 0 = 0 = 0 
 y→∞ 2 + 3 2 + 0 2 
 
 ∞
12. lim 3h + 2xh 2 + x 2 h 3 = - 1 .
h→∞ 4 - 3xh - 2x3h3 2x
Dividiendo todo para h3.
 3h + 2xh 2 + x 2 h 3 3 + 2x + x2
lim h 3 h 3 h 3 = h 2 h .
 h→∞ 4 - 3xh - 2x 3 h 3 4 - 3x - 2x3
 h3 h3 h3 h3 h2
Sustituyendo h→∞ en la operación :
lim 3 + 2x + x2 3 + 2x + x2
 h→∞ ∞ 2 ∞ = ∞ ∞ = 0 + 0 + x 2 = x 2 = - 1 . 
 4 - 3x - 2x3 4 - 3x - 2x3 0 - 0 - 2x3 -2x3 2x
 ∞3 ∞2 ∞ ∞
13. lim aox n + a 1x n-1 + … + a n = ao . 
x→∞ boxn + b1xn-1 + … + bn bo 
lim aox n + a 1x n .x -1 + … + a n . Dividiendo todo para el mayor exponente xn 
 x→∞ boxn + b1xn.x-1 + … + b
 aox n + a1x n .x -1 + … + an ao + a1.x-1 + … + an .
 lim x n x n x n = x n .
 x→∞ box n + b1.x n .x -1 + … + bn bo + b1.x-1 + … + bn
 xn xn xn xn
Sustituyendo ∞ en x.
 ao + a1 + … + an 
 lim ∞ ∞ = lim ao + 0 + … + 0 = ao . 
x→∞ bo + b1 + … + bn x→∞ bo + 0 + … + 0 bo 
∞ ∞
 
 
14. lim aox n + a 1x n-1 + … + a n = an
 x→0 boxn + b1xn-1 + … + bn bn
Sustituyendo x→0 en x
lim ao ( 0 ) n + a 1 ( 0 ) n-1 + … + a n = ao (0) + a1 (0) + … + an . 
x→0 b0 ( 0 )n + b1 ( 0 )n-1 + … + b n bo (0) + b1 (0) + … + bn 
lim 0 + 0 + … + an = an . 
x→∞ 0 + 0 + … + bn bn
15. lim (x + h) n - x n = nxn-1
h→0 h
Desarrollando el Binomio de Newton.
lim xn + nxn-1h + n(n-1).x n-2 .h 2 + n(n-1)(n-2).x n-3 .h 3 + … + hn - xn.
h→0 1x2 1x2x3
lim nxn-1.h + n(n-1).xn-2.h2 + n(n-1)(n-2).xn-3.h3 + … + hn
 h→0 2 6
Dividiendo todo para h .
lim nx n-1 . h + n(n-1).x n-2 . h 2 + n(n-1)(n-2).x n-3 . h 3 + … + h n .
 h→0 h 2 h 6 h h .
lim nxn-1 + n(n-1).x n-2 .h + n(n-1)(n-2).x n-3 .h 2 + … + hn-1
h→0 2 6
Sustituyendo h→0 en la operación.
lim nxn-1 + n(n-1).x n-2 ( 0 ) + n(n-1)(n-2).x n-3 ( 0 ) 2 + … + ( 0 )n-1
h→0 2 6
lim nxn-1 + 0 + 0 + … + 0 = nxn-1
h→0
 
16. lim √ x + h - √ x = 1 . 
 h→0 h 2 √x
Racionalizando el numerador:
lim ( √ x + h- √ x ) ( √ x + h + √ x ) 
h→0 h (√x + h + √x)
lim ( √ x + h ) 2 - ( √ x ) 2 = x + h - x . 
h→0 h(√x + h + √x) h(√x+h + √x)
lim h = 1 .
h→0 h (√x + h + √x) (√x + h + √x )
Sustituyendo h→0 en la operación.
lim 1 = 1 = 1 . 
h→0 (√x + 0 + √x ) (√x + √x ) 2√x 
 
17. Dado f (x) = x2 , demostrar que :
lim f (x+h) - f (x) = 2x
h→0 h
Si f (x) = x2
 f (x+h) = (x+h)2 
⇒ lim (x + h) 2 - x 2 = x 2 + 2xh + h 2 - x 2 = 2xh + h 2 = h (2x + h) = 2x + h
 h→0 h h h h .
Sustituyendo h → 0 en la operación:
lim 2x + h = 2x + 0 = 2x 
h→0
 
 
 
18. Dado f (x) = ax2 + bx + c , demostrar que:
lim f (x + h) - f (x) = 2ax + b.
h→0 h 
 
f ( x ) = ax2 + bx + c.
f (x + h) = a (x + h)2 + b (x + h) + c.
f (x + h) = a (x2 + 2xh + h2 ) + bx + bh + c.
f (x + h) = ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c.
Reemplazando en la función:
lim f (x + h) - f (x) = ax 2 + 2axh + ah 2 + bx + bh + c - (ax 2 + bx + c) .
h→0 h h
lim ax 2 + 2axh + ah 2 + bx + bh + c - ax 2 - bx - c = 2axh + ah 2 + bh .
h→0 h h
lim h (2ax + ah + b ) = 2ax + ah + b ; 
h→0 h . 
lim 2ax + a ( 0 ) + b = 2ax + b
h→0
19. Dado f (x) = 1 ,demostrar que :
 x
lim f (x + h) - f (x) = - 1 .
h→0 h x2
f(x) = 1 . 
 x
f(x+h) = 1 .
 x + h
 
 1 - 1 x - (x + h) x - x - h - h .
lim x + h x = x (x + h) = x (x + h) = x (x + h) = 
h→0 h h h h . 
 1 1 1
lim - 1 .
h→0 x (x + h).
Sustituyendo h → 0 en la operación final:
lim - 1 = - 1 = - 1 .
h→0 x (x + 0) x . x x2
20. Si f (x) = x3 , hallar
lim f (x + h) - f (x) = 3x2
h→0 h
f (x) = x3.
f (x + h) = (x + h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3.
Reemplazando estos valores:
lim f (x+h) 3 - f (x) = x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 - x 3 = 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 . 
 h→0 h h h
lim h (3x 2 + 3xh + h 2 ) = 3x2 + 3xh + h2
h→0 h .
Sustituyendo h→0 en la operación.
lim 3x2 + 3x ( 0 ) + ( 0 )2 = 3x2 + 0 + 0 = 3x2
h→0
 
Problemas “ Página 32 “
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones 
usando la regla general.
1. y = 2 - 3x
Se sustituye en la función "x" por "x + ∆x" y se calcula el nuevo 
valor de la función y + ∆y . 
y + ∆y = 2 - 3 (x + ∆X) . Se resta el valor dado de la función del
nuevo valor y se obtiene ∆y. 
 Y + ∆y = 2 - 3 (x + ∆X)
 Y + ∆y = 2 – 3X -3∆X
 y + ∆y - y = 2 - 3x - 3∆x – 2 + 3X . 
∆y = - 3∆x.
Se divide ∆y para ∆x.
∆ y = - 3 ∆ x 
∆x ∆x 
 
Se calcula el límite de este cociente cuando ∆x → 0 . 
El límite así hallado es la derivada buscada.
∆ y = - 3 ∆ x .
 ∆X ∆x . 
lim ∆x→0 
 
dy = - 3 Y’ = -3
dx 
 
2. y = mx + b.
y + ∆y = m (x + ∆x) + b.
 Y + ∆y = mX + m∆x + b
y + ∆y - y = mx + m∆x + b – mX - b
∆y = m∆X
∆ y = m ∆ x 
 ∆x ∆x
 ∆ y = m 
 ∆x 
 lim ∆x→0 
 
 dy = m . Y ‘ = m
dx 
3. y = ax2
y + ∆y = a ( X + ∆x)2.
 y + ∆y = a ( X2 +2X ∆X + ∆x2 )
 y + ∆y = aX2 +2aX ∆X + a∆x2 
 y + ∆y - y = aX2 +2aX ∆X + a∆x2 - aX2
∆y = 2aX ∆X + a∆x2
∆ y = 2ax. ∆ x + a . ∆ x 2 .
∆x ∆x ∆x . 
∆ y = 2ax + a.∆x .
∆x 
 lim ∆x→0
dy = 2ax + a (0) 
dx 
 
 dy = 2ax . Y ‘ = 2 ax
dx
 
 
4. s = 2t - t2.
s + ∆s = 2(t + ∆t) - (t + ∆t)2.
 s + ∆s = 2t + 2∆t - (t2 +2t ∆t + ∆t 2 )
 s + ∆s = 2t + 2∆t - t2 -2t ∆t - ∆t 2
 s + ∆s - s = 2t + 2∆t - t2 -2t ∆t - ∆t 2 – 2t +t2
∆s = 2. ∆t - 2t. ∆t - ∆t 2 
∆ s = ∆ t (2 - 2t - ∆ t) 
 ∆t ∆t .
∆ s = 2 - 2t - ∆t 
 ∆t
 lim ∆x→0
 
ds = 2 - 2t - 0 Y’ = 2 – 2t 
dt
5. y = cx3
y + ∆y = c ( x + ∆x)3.
 y + ∆y = c ( x3 + 3x2. ∆x + 3x.∆x2 + ∆x3 )
y + ∆y = c x3 + 3cx2. ∆x + 3cx.∆x2 + c.∆x3 
 y + ∆y - y = c x3 + 3cx2. ∆x + 3cx.∆x2 + c.∆x3 - c x3
∆y = 3cx2.∆x + 3cx.∆x2 + c ∆x3 
∆ y = 3cx 2 . ∆ x + 3cx. ∆ x 2 + c ∆ x 3 
 ∆x ∆x ∆x ∆x .
∆ y = 3cx2 + 3cx.∆x + c∆x2.
 ∆x
 lim ∆x→0
dy = 3cx2 + 3cx( 0 ) + c ( 0 )2 
dx
 
 Y ‘ = 3cx2
 
6. y = 3x - x3.
y + ∆y = 3 (x + ∆x) - (x + ∆x)3.
 y + ∆y = 3 x + 3∆x - (x3 +3X2 ∆x + 3X ∆x2 + ∆x3 )
 y + ∆y = 3 x + 3∆x - x3 -3X2 ∆x - 3X ∆x2 - ∆x3 
 y + ∆y - y = 3 x + 3∆x - x3 -3X2 ∆x - 3X ∆x2 - ∆x3 – 3X + X3.
∆y = 3∆x - 3X2 ∆x - 3X ∆x2 - ∆x3
∆ y = 3. ∆ x - 3x 2 . ∆ x - 3x.( ∆ x) 2 - ( ∆ x) 3 .
∆x ∆x ∆x ∆x ∆x
∆ y = 3 - 3x2 - 3x (0) - (∆x)2 
 ∆x 
 lim ∆x→0
dy = 3 - 3x2 . Y’ = 3 – 3x2
dx
7. u = 4v2 + 2v3.
u + ∆u = 4 (v + ∆v)2 + 2 (v + ∆v)3.
u + ∆u = 4 ( v2 + 2v∆v + ∆v2 ) + 2 ( v3 + 3v2∆v + 3v∆v2 + ∆v3 )
u + ∆u = 4 v2 + 8v∆v +4∆v2 + 2v3 + 6v2∆v + 6v∆v2 + 2∆v3 
 u + ∆u – u = 4 v2 + 8v∆v +4∆v2 + 2v3 + 6v2∆v + 6v∆v2 + 2∆v3 – 4v2 – 2v3
∆u = 8v∆v +4∆v2 + 6v2∆v + 6v∆v2 + 2∆v3
∆ u = 8v. ∆ v + 4. ∆ v 2 + 6v 2 . ∆ v + 6v. ∆ v 2 + 2. ∆ v 3 . 
 ∆v ∆v ∆v ∆v ∆v ∆v
∆ u = 8v + 4. ∆v + 6v2 + 6v. ∆v + 2. ∆v2
 ∆v
∆ u = 8v + 4(0) + 6v2 + 6v(0) + 2(0 )2 
 ∆v
 lim ∆v→0
du = 8v + 0 + 6v2 + 0 + 0 
dv
 du = 8v + 6v2 . U’ = 8v + 6v2
 
dv
8. y = x4.
y + ∆y = (x + ∆x)4.
y + ∆y = x4 + 4X3∆x + 6X2 ∆x2 + 4X∆x3 + ∆x4
y + ∆y - y = x4 + 4X3∆x + 6X2 ∆x2 + 4X∆x3 + ∆x4 - x4
∆y = 4x3. ∆x + 6x2.∆x2 + 4x.∆x3 + ∆x4.
∆ y = 4x 3 . ∆ x + 6x 2 ( ∆ x) 2 + 4x ( ∆ x) 3 + ( ∆ x) 4 
∆x ∆x ∆x ∆x ∆x .
∆ y = 4x3 + 6x2. ∆x + 4x (∆x)2 + (∆x)3 
 ∆x
∆ y = 4x3 + 6x2(0) + 4x(0)2 + ( 0 )3 
 ∆x
 lim ∆x→0
dy = 4x3 .Y ‘ = 4x3
dx
9. e = 2 .
 θ + 1
e + ∆e = 2 .
 (θ + ∆θ) + 1
 e + ∆e - e = 2 - 2 . 
 (θ + ∆θ) + 1 (θ+1)
∆e = 2 ( θ + 1) - 2[( θ + ∆θ ) + 1] .
 [(θ + ∆θ) + 1] (θ + 1)
∆e = 2 θ + 2 - 2 θ - 2. ∆θ - 2 = - 2. ∆θ .
 [(θ + ∆θ) + 1] (θ + 1) [(θ + ∆θ) + 1](θ + 1)
∆ e = - 2. ∆θ = -2 = 
 
 ∆θ [(θ + ∆θ) + 1](θ + 1)(∆θ) [(θ + ∆θ) + 1](θ + 1) 
 
∆ e = - 2 . 
 ∆θ [(θ + 0) + 1](θ + 1)
 lim ∆x→0
de = -2 = 
dθ (θ + 1) (θ + 1) 
 de = -2 .
 dθ (θ + 1)2
 Y ‘ = - 2 .
 (θ + 1)2
10. y = 3 .
 x2 + 2
y + ∆y = 3 .
 (x + ∆x)2 + 2
y + ∆y - y = 3 - 3 .
 (x + ∆x)2 + 2 x2 + 2 
∆y = 3 (x 2 + 2) - 3 [(x + ∆ x) 2 + 2] 
 [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2) 
∆y = 3x 2 + 6 -3 [x 2 + 2x. ∆ x +( ∆ x) 2 +2] 
 [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2)
∆y = 3x 2 + 6 - 3x 2 - 6x. ∆ x - 3( ∆ x) 2 - 6 = - 6x. ∆ x - 3( ∆ x) 2 .
 [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2) [(x+∆x)2 + 2] (x2 + 2)
∆ y = ∆ x (- 6x -3. ∆ x) = - 6x - 3. ∆ x = 
∆x [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2) ∆x [(x + ∆x)2 + 2] (x2 + 2) 
 
∆ y = - 6x - 3 (0) .
 ∆x [(x + 0)2 + 2] (x2 + 2)
 lim ∆x→0
dy = - 6x - 0 = - 6x . 
dx (x2 + 2) (x2 + 2) (x2 + 2)2
11. s = t + 4
 t
s + ∆s = (t + ∆ t) + 4 
 t + ∆t
s + ∆s - s = t + ∆ t + 4 - t + 4
 t + ∆t t
∆s = t (t + ∆ t + 4) - (t + 4) (t + ∆ t) = 
 (t + ∆t) t 
∆s = t 2 + t. ∆ t + 4t -(t 2 + 4t + t. ∆ t + 4. ∆ t) =
 (t + ∆t) t
∆s = t 2 + t. ∆ t + 4t - t 2 - 4t - t. ∆ t - 4. ∆ t = - 4. ∆ t .
 (t + ∆t) t (t + ∆t) t
∆ s = - 4 ( ∆ t ) .
∆t (t + ∆t) t ( ∆t ) 
 ∆ s = - 4 .
 ∆t (t + 0)t 
lim ∆t→0
 
ds = - 4 = - 4 .
dt t.t t2
 S ´= -4 / t2
12. y = 1 .
 1 - 2x
y + ∆y = 1 .
 1 - 2(x + ∆x) 
y + ∆y - y = 1 - 1 .
 1 - 2 (x + ∆x) 1 - 2x
∆y = (1 - 2x) - [1 -2(x + ∆ x)] = 1 - 2x -(1 - 2x - 2 ∆ x) = 
 [1 - 2(x+∆x)](1 - 2x) [1 - 2(x+∆x)](1 - 2x) 
∆y = 1 - 2x - 1 + 2x + 2 ∆ x = 2 ∆ x .
 [1 - 2(x+∆x)](1 - 2x) [1 - 2 (x + ∆x)](1 - 2x)
∆ y = 2 ∆ x = 2 .
 ∆x ∆x [1 - 2(x + ∆x)](1 - 2x) [1 - 2(x + ∆x)](1 - 2x)
∆ y = 2 . 
 ∆x [1 - 2 (x + 0)](1 - 2x) 
 lim ∆x→0
dy = 2 = 2 .
dx (1 - 2x) (1 - 2x) (1 - 2x)2
 
 dy = 2 
dx (1 - 2x)2
13. e = θ . 
 θ + 2
e + ∆e = θ + ∆θ .
 (θ + ∆θ) + 2
e + ∆e - e = θ + ∆θ _ θ . 
 (θ + ∆θ) + 2 θ + 2
∆e =( θ + 2) ( θ + ∆θ ) - θ [( θ + ∆θ ) + 2] = θ 2 + 2 θ + θ . ∆θ + 2 ∆θ - θ 2 - θ . ∆θ 
- 2 θ . 
 [(θ + ∆θ ) + 2](θ + 2) [(θ + ∆θ ) + 2] (θ + 2)
∆e = 2 ∆θ .
 [(θ + ∆θ) + 2] (θ + 2)
Dividiendo a ambos miembros para ∆θ y simplificando : 
 
∆ e = 2 ∆θ = 2. ∆θ .
∆θ [(θ + ∆θ) + 2] (θ + 2). ∆θ [(θ + ∆θ) + 2] (θ + 2). ∆θ .
∆ e = 2 = 2 = 2 . 
 ∆θ [(θ + 0) + 2] (θ + 2) (θ + 2) (θ + 2) (θ + 2)2
lim ∆θ →0
de = 2 = 2 .
dθ (θ + 2) (θ + 2) (θ + 2)2
14. s = At + B
 Ct + D
 
s + ∆s = A(t + ∆ t) + B .
 C(t + ∆t) + D
s + ∆s - s = A(t + ∆ t) + B - At + B
 [C(t + ∆t) + D] Ct + D
∆s = [A(t + ∆ t) + B] (Ct + D) - [C(t + ∆ t) + D] (At + B) 
 [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
∆s = [A.t + A. ∆ t + B](C.t + D) - [C.t + C. ∆ t + D](A.t + B) 
 [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
∆s = ACt 2 + ADt + AC . t . ∆ t + AD ∆ t + BCt + BD .
 [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
 - ACt 2 - BCt - ACt ∆ t - BC ∆ t - Adt - BD .
 [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
∆s = A.D. ∆ t - B.C. ∆ t = ∆ t (A.D - B.C) . 
 [C(t + ∆t) + D] (Ct + D) [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
∆ s = ∆ t (A.D - B.C) = (A.D - B.C) . 
∆t [C(t + ∆t) + D] (Ct + D) (∆t) [C(t + ∆t) + D] (Ct + D)
∆ s = (A.D - B.C) = (A.D - B.C) . 
 ∆t [C(t + 0) + D] (Ct + D) (Ct + D)(Ct + D)
 lim ∆t→0 
ds = (A.D - B.C) = (A.D - B.C) .
dt (Ct + D)(Ct + D) (Ct + D)2 
15. y = x 3 + 1 .
 x
 
y + ∆y = (x + ∆ x) 3 + 1 . 
 (x + ∆x)
y + ∆y - y = (x + ∆ x) 3 + 1 - x 3 + 1 
 (x + ∆x) x
∆y = [(x + ∆ x) 3 + 1] x - (x 3 + 1) (x + ∆ x) 
 (x + ∆x) x
∆y = {[x 3 + 3x 2 ∆ x + 3x( ∆ x) 2 + ( ∆ x) 3 ] + 1}(x) - x 4 - x 3 ( ∆ x) - x - ∆ x 
 (x + ∆x) x
∆y = x 4 + 3x 3 ∆ x + 3x 2 ( ∆ x) 2 + ( ∆ x) 3 (x) + x - x 4 - x 3 ( ∆ x) - x - ∆ x 
 (x + ∆x) x
∆y = 2x 3 . ∆ x + 3x 2 ( ∆ x) 2 + ( ∆ x) 3 (x) - 3x 2 ( ∆ x) 2 + ( ∆ x) 3 (x) - ∆ x 
 (x + ∆x) x
∆y = ∆ x [2x 3 + 3x 2 ∆ x + ( ∆ x) 2 (x) - 3x 2 ( ∆ x) + ( ∆ x) 2 (x) - 1] 
 (x + ∆x) x
Dividiendo a ambos miembros para ∆x, tenemos :
∆ y = ∆ x [2x 3 + 3x 2 ∆ x + ( ∆ x) 2 (x) - 3x 2 ( ∆ x) + ( ∆ x) 2 (x) - 1] 
∆x (x + ∆x) (x) (∆x) 
∆ y = ∆ x [2x 3 + 3x 2. ∆ x + ( ∆ x) 2 .x - 3x 2 . ∆ x + ( ∆ x) 2 .x - 1] 
∆x (x + ∆x)(x)( ∆x) 
∆ y = [2x 3 + 3x 2 ( 0 ) + (0) 2 (x) - 3x 2 (0) +(0) 2 (x) - 1] 
 ∆x ( x + 0 ) x
 lim ∆x→0
y’ = 2x 3 + 0 + 0 - 0 + 0 - 1 = 2x 3 - 1 = 2 x 3 - 1 
 x . x x2 x2 x2 
 
dy = 2x - 1 
dx x2
16. y = 1 . 
 x2 + a2
y + ∆y = 1 .
 (x + ∆x)2 + a2 
y + ∆y - y = 1 _ 1 .
 (x + ∆x)2 + a2 x2 + a2
∆y = 1 (x 2 + a 2 ) - 1 [(x + ∆ x) 2 + a 2 ] = x 2 + a 2 -[x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x) 2 + a 2 ]
 [(x + ∆x)2 + a2] (x2 + a2) [(x+∆x)2 + a2] (x2 + a2)
∆y = x 2 + a 2 - x 2 - 2x. ∆ x -( ∆ x) 2 - a 2 = - 2x. ∆ x -( ∆ x) 2 . 
 [(x + ∆x)2 + a2](x2 + a2) [(x + ∆x)2 + a2] (x2 + a2)
∆y = - ∆ x (2x + ∆ x) .
 [(x + ∆x)2 + a2] (x2 + a2)
Dividiendo a ambos miembros para ∆x, tenemos :
∆ y = - ∆ x (2x + ∆ x) = - (2x + ∆ x) .
∆x [(x + ∆x)2 + a2](x2 + a2). ∆x [(x + ∆x)2 + a2] (x2 + a2)
∆ y = - (2x + 0) . 
 ∆x [(x + 0)2 + a2] (x2 + a2)
 lim ∆x→0
 
dy = - 2x = - 2x .
dx (x2 + a2) (x2 + a2) (x2 + a2 )2
 dy = - 2x 
dx (x2 + a2 )2
 
17. y = x .
 x2 + 1
y + ∆y = x + ∆ x .
 (x + ∆x)2 + 1
y + ∆y - y = x + ∆ x - x . 
 [(x + ∆x)2 + 1] (x2 + 1)
∆y = (x + ∆ x) (x 2 + 1) - x [(x + ∆ x) 2 + 1] .
 [(x + ∆x)2 + 1] (x2 + 1)
∆y = x 3 + x + ∆ x. x 2 + ∆ x - x [x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x) 2 + 1] 
 [(x + ∆x)2 + 1] (x2 + 1)
∆y = x 3 + x + ∆ x. x 2 + ∆ x - x 3 - 2. ∆ x. x 2 - x. ( ∆ x) 2 - x .
 [(x + ∆x)2 + 1] (x2 + 1) 
∆y = - ∆ x.x 2 - x.( ∆ x) 2 + ∆ x = - ∆ x (x 2 + x . ∆ x - 1 ) .
 [(x + ∆x)2 + 1] (x2 + 1) [(x + ∆x)2 + 1](x2 + 1)
∆ y = - ∆ x (x 2 + x. ∆ x - 1) = - (x 2 + x. ∆ x - 1) . 
∆x [(x + ∆x)2 + 1](x2 + 1) . ∆x [(x + ∆x)2 + 1](x2 + 1) 
∆ y = - [x 2 + x(0) - 1] . 
 ∆x [(x + 0)2 + 1] (x2 + 1) 
lim ∆x→0
dy = -(x 2 - 1) = 1 - x 2 
dx (x2 + 1) (x2 + 1) (x2 + 1)2
 
18. y = x 2 .
 4 - x2
y + ∆y = (x + ∆ x) 2 . 
 4 - (x + ∆x)2
y + ∆y - y = (x + ∆ x) 2 - x 2 . 
 [4 - (x + ∆x)2] (4 - x2)
∆y = (x + ∆ x) 2 (4 - x 2 ) - [4 - (x + ∆ x) 2 ] x 2 .
 [4 - (x + ∆x)2] (4 - x2)
∆y = [x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x) 2 ](4 - x 2 ) - [4-(x 2 +2x. ∆ x + ( ∆ x) 2 ]( x 2 ) 
 [4 - (x + ∆x)2] (4 - x2)
∆y = 4x 2 + 8x. ∆ x + 4( ∆ x) 2 - x 4 - 2x 3 . ∆ x - x 2 .( ∆ x) 2 -[4 -x 2 -2x. ∆ x-( ∆ x) 2 ](x 2 ) 
 [4 - (x + ∆x)2] (4 - x2)
∆y = 4x 2 + 8x. ∆ x + 4( ∆ x) 2 x 4 - 2x 3 . ∆ x - x 2 . ( ∆ x) 2 - 4x 2 + x 4 + 2x 3 . ∆ x + x 2 . ( ∆ x) 2 
 [4 - (x + ∆x)2](4 - x2)
∆y = 8x. ∆ x + 4. ( ∆ x) 2 = ∆ x (8x + 4. ∆ x) .
 [4 - (x + ∆x)2](4 - x2) [4 - (x + ∆x)2](4 - x2)
Dividiendo, para ∆x , tenemos :
∆ y = ∆ x (8x + 4. ∆ x) . 
∆y [4 - (x + ∆x)2](4 - x2) . ∆x . 
∆ y = 8x + 4. ∆ x = 8x + 4( 0 ) = 
 ∆x [4 - (x + ∆x)2](4 - x2) [4 - (x + 0)2](4 - x2) 
 lim ∆x→0
 
dy = 8x + 0 = 8x 
dx [4 - x2] (4 - x2 ) (4 - x2 )2
19. y = 3x2 - 4x - 5.
y + ∆y = 3 (x + ∆x)2 - 4 (x + ∆x) - 5
y + ∆y - y = 3 (x + ∆x)2 - 4 (x + ∆x) - 5 - (3x2 - 4x -5)
∆y = 3 [x2 + 2x. ∆x + (∆x)2] - 4 (x + ∆x) - 5 - (3x2 - 4x -5)
∆y = 3x2 + 6x. ∆x + 3.(∆x)2 - 4x - 4. ∆x - 5 - 3x2 + 4x + 5 .
∆y = 6x. ∆x + 3 (∆x)2 - 4.(∆x) = (∆x) [6x + 3 (∆x) - 4]
Dividiendo para ∆x :
 ∆ y = ( ∆ x)[6x + 3 ( ∆ x) - 4] = ∆ x [6x + 3 ( ∆ x) - 4] = 6x + 3(0) - 4
 ∆x ∆x ∆x
 lim ∆x→0
dy = 6x - 4 = 2(3x - 2) 
dx 
20. s = at2 + bt + c.
s + ∆s = a (t + ∆t)2 + b (t + ∆t) + c .
 s + ∆s - s = a (t + ∆t)2 + b (t + ∆t) + c - (at2 + bt + c) .
 ∆s = a [t2 + 2t. ∆t + (∆t)2] + bt + b.∆t + c - at2 - bt - c .
∆s = at2 + 2at. ∆t + a.( ∆t)2 + bt + b. ∆t + c - at2 - bt - c .
 
∆s = 2at. ∆t + a.( ∆t)2 + b. ∆t
Dividiendo para ∆t , factorizando y simplificando :
∆ s = ∆ t (2at + a. ∆ t + b) = ∆ t (2at + a. ∆ t + b) 
∆t ∆t ∆t
 ∆ s = 2at + a( 0 ) + b = 2at + 0 + b .
 ∆t
lim ∆t→0
ds = 2at + b .
dt
21. u = 2v3 - 3v2
u + ∆u = 2 (v + ∆v)3 - 3 (v + ∆v)2
 u + ∆u - u = 2(v + ∆v)3 - 3 (v + ∆v)2 - (2v3 - 3v2)
∆u = 2[v3 + 3v2. ∆v + 3v.( ∆v)2 + (∆v3)] - 3[v2 + 2v. ∆v + (∆v)2] - 2v3 + 3v2
∆u = 2v3 + 6v2. ∆v + 6v (∆v)2 + 2 (∆v)3 - 3v2 - 6v. ∆v - 3(∆v)2 - 2v3 + 3v2 .
∆u = 6v2. ∆v + 6v (∆v)2 + 2 (∆v)3 - 6v. ∆v - 3(∆v)2
Factorizando y dividiendo para ∆v :
∆ u = ∆ v [6v 2 + 6v. ∆ v + 2. ( ∆ v) 2 - 6v - 3. ∆ v] 
∆v ∆v .
∆ u = 6v2 + 6v. ∆v + 2 (∆v)2 - 6v - 3. ∆v 
 ∆v
 lim ∆v→0
 
∆ u = 6v2 + 6v (0) + 2 (0)2 - 6v - 3 (0) .
∆v
du = 6v2 - 6v 
dv
22. y = ax3 + bx2 + cx + d .
y + ∆y = a (x + ∆x)3 + b (x + ∆x)2 + c (x + ∆x) + d .
y + ∆y - y = [a (x + ∆x)3 + b (x + ∆x)2 + c(x + ∆x) + d] - (ax3 + bx2 + cx + d) .
 y + ∆y - y = a[x3 + 3x2∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3] + b[x2 + 2x. ∆x + (∆x)2 
 + cx + c. ∆x + d - (ax3 + bx2 + cx + d)
∆y = ax3 + 3ax2.∆x + 3ax.(∆x2) + a.(∆x)3 + bx2 + 2bx.∆x + b(∆x)2
 + cx + c. ∆x + d - ax3 - bx2 - cx - d .
∆y = 3ax2.∆x + 3ax.(∆x2) + a.(∆x)3 + 2bx.∆x + b(∆x)2 + c. ∆x
Factorizando y dividiendo para ∆x :
∆ y = ∆ x (3ax 2 + 3ax. ∆ x + a.( ∆ x) 2 + 2bx + b. ∆ x + c ) 
∆x ∆x 
∆ y = 3ax2 + 3ax ( 0 ) + a.( 0 )2 + 2bx + b.( 0 ).∆x + c
∆x
 lim ∆v →0
dy = 3ax2 + 0 + 0 + 2bx + 0 + c 
dx
23. e = (a - bθ )2
e + ∆e = [a - b (θ + ∆θ )]2
e + ∆e - e = [a - b (θ + ∆θ )]2 - (a - bθ)2
 
∆e = (a - bθ - b.∆θ)2 - (a - bθ)2
∆e = [a + (-bθ) + (- b.∆θ)]2 - (a - bθ)2
∆e = a2 + (-bθ)2 + (- b.∆θ)2 + 2a.(-bθ) +2a.(- b.∆θ) +2.(-bθ).(- b. ∆θ) - [a2-2a.bθ + (bθ)2] 
∆e = a2 + (bθ)2 +(b.∆θ)2- 2a(bθ) -2a(b.∆θ) +2(bθ)(b.∆θ) - a2 + 2a.bθ - (bθ)2 
∆e = (b. ∆θ)2 -2a(b. ∆θ) + 2(bθ)(b. ∆θ)
∆e = b2(∆θ)2 - 2a(b. ∆θ) + 2(bθ)(b.∆θ)
Factorando y dividiendo para ∆θ.
∆ e = ∆θ {b 2 .( ∆θ ) - 2a.b + 2b 2 . θ } 
∆θ ∆θ .
 .
 ∆ e = b2.(∆θ) - 2a.b + 2b2.θ = b2.(0) - 2a.b + 2b2.θ 
 ∆θ 
lim ∆θ→0
 
de = 0 - 2ab + 2b2.θ = 2b2.θ - 2ab = 2b (b.θ - a ) 
dθ
24. y = (2 - x) (1 - 2x) .
y + ∆y = [2 - (x + ∆x)] [1 - 2 (x + ∆x)]
y + ∆y - y = [2 - (x + ∆x)] [1 - 2 (x + ∆x)] - (2 - x) (1 - 2x)
∆y = (2 - x - ∆x) (1 - 2x - 2.∆x) - (2 - x) (1 - 2x)
∆y = [2 + (-x) + (-∆x)] [1 + (-2x) + (-2.∆x)] - (2 - 4x - x + 2x2)
∆y = 2 - 4x - 4.∆x - x + 2x2 + 2x.∆x - ∆x + 2x.∆x + 2.(∆x)2 - 2 + 5x - 2x2.
 
∆y = - 5 ∆x + 4x. ∆x + 2.(∆x)2
Factorando y dividiendo para ∆x :
∆ y = ∆ x (-5 + 4x + 2 ∆ x) 
∆x ∆x .
 ∆ y = - 5 + 4x + 2( 0 ) 
 ∆x
lim ∆θ →0 
dy = - 5 + 4x = 4x - 5 
dx
25. y = (Ax + B) (Cx + D)
y + ∆y = [A (x + ∆x) + B] [C (x + ∆x) + D]
y + ∆y - y = [A (x + ∆x) + B] [C (x + ∆x) + D] - (Ax + B) (Cx + D).
 y - y + ∆y = (Ax + A. ∆x + B ) (Cx + C. ∆x + D ) - (Ax + B) (Cx + D).
∆y = ACx 2 + ACx.∆x + ADx + ACx.∆x + AC(∆x)2 + AD(∆x) + BCx + 
 BC.∆x + BD - ACx 2 - ADx - BCx - BD .
∆y = 2 ACx. ∆x + AC(∆x)2 + AD(∆x) + BC. ∆x
Factorando y dividiendo para ∆x.
∆ y = ∆ x (2Acx + AC. ∆ x + AD + BC) 
∆x ∆x .
∆ y = 2ACx + AC.∆x + AD + BC = 2Acx + [AC(0)] + AD + BC
 ∆x
lim ∆x →0 
 ∆ y = 2ACx + 0 + AD + BC 
 ∆θ 
 
 lim ∆x→0
dy = 2ACx + AD + BC 
dx
26. s = (a + bt)3
s + ∆s = [a + b (t + ∆t)]3
s + ∆s - s = [a + b (t + ∆t)]3 - (a + bt)3
∆s = [a + bt + b∆t]3 - [a3 + 3a2bt + 3a(bt)2 +(bt)3]
∆s = a3 + (bt) 3 + (b∆t)3+ 3a2(bt) + 3a2(b∆t) + 3a(bt) 2+ 3(bt)2(b∆t) + 
 3a(b∆t)2 + 3(bt)(b∆t)2 + 6a(bt) (b∆t) - a 3 - 3a2(bt) - 3a(bt) 2 - (bt) 3
∆s = (b∆t)3+ 3a2(b∆t) + 3(bt)2 (b∆t) + 3a (b∆t)2 + 3 (bt) (b∆t)2 + 6a (bt) (b∆t)
Factorando , dividiendo y simplificando para ∆t .
∆ s = ∆ t {(b ∆ t) 2 + 3a 2 b + 3b 3 t 2 + 3ab 2 ∆ t + 3b 3 t. ∆ t + 6ab 2 t} 
∆t ∆t .
∆ s = [b (0)2 + 3a2b + 3b3t2 + 3ab2.(0) + 3b3t.(0) + 6ab2t 
∆t
 lim ∆t→0
ds = 0 + 3a2b + 3b3t2 + 0 + 0 + 6ab2t = 3a2b + 3b3t2 + 6ab2t. 
dt
ds = 3a2b + 6ab2t + 3b3t2 = 3b ( a2 + 2abt + b2t2 ) = 
dt
ds = {3b [a + (bt)]2}
dt
 
27. y = x .
 a + bx2
y + ∆y = x + ∆ x .
 a + b (x + ∆x)2 
y + ∆y - y = x + ∆ x - x .
 a + b (x + ∆x)2 a + bx2
∆y = (x + ∆ x) (a + bx 2 ) - x {a + b (x + ∆ x) 2 } 
 [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2]
∆y = ax + bx 3 + a. ∆ x + bx 2 . ∆ x - x{a + b[x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x) 2 ]} 
 [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2]
∆y = ax + bx 3 + a. ∆ x + bx 2 . ∆ x - x{a + bx 2 + 2bx. ∆ x + b.( ∆ x) 2 } 
 [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2] 
∆y = ax + bx 3 + a. ∆ x + bx 2 . ∆ x - ax - bx 3 - 2bx 2 . ∆ x - bx.( ∆ x) 2 .
 [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2]
∆y = a. ∆ x - bx 2 . ∆ x - bx.( ∆ x) 2 . Factorando y dividiendo para ∆x:
 [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2]
∆ y = ∆ x (a - bx 2 - bx. ∆ x) .
∆x [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2] ∆x .
∆ y = a - bx 2 - bx. ∆ x = a - bx 2 - bx ( 0 ) .
 ∆x [a + b (x + ∆x)2] [a + bx2] {a + b [x + ( 0 )]2}[a + bx2]
 lim ∆x→0
∆ y = a - bx 2 - 0 .
 
 ∆x [a + bx2] [a + bx2]
 ∆x→0
dy = a - bx 2 
dx [a + bx2]2
28. y = a + bx 2 
 x2
y + ∆y = a + b (x + ∆ x) 2 
 (x + ∆x)2
y + ∆y - y = a + b (x + ∆ x) 2 - [a + bx 2 ]
 (x + ∆x)2 x2
∆y = {a + b (x + ∆ x) 2 } (x 2 ) - (x + ∆ x) 2 (a + bx 2 ) 
 (x + ∆x)2 x2
∆y ={a + b[x 2 +2x. ∆ x + ( ∆ x) 2 ]}(x 2 ) - {x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x) 2 }(a +bx 2 ) 
 (x + ∆x)2 x2 
∆y ={a + bx 2 + 2bx . ∆ x + b. ( ∆ x) 2 }(x 2 ) - {ax 2 + bx 4 + 2ax. ∆ x 
 (x + ∆x)2 x2
 + 2bx 3 . ∆ x + a ( ∆ x) 2 + bx 2 .( ∆ x) 2 }
 (x + ∆x)2 x2
∆y = ax 2 + bx 4 + 2bx 3 . ∆ x + bx 2 ( ∆ x) 2 - ax 2 - bx 4 -2ax. ∆ x - 
 (x + ∆x)2 x2
∆y = 2bx 3 . ∆ x - a( ∆ x) 2 - bx 2 . ( ∆ x) 2 
 (x + ∆x)2 x2
∆y = - 2ax. ∆ x - a( ∆ x) 2 
 (x + ∆x)2 x2
Factorando , dividiendo y simplificando para ∆x :
∆ y = ∆ x {-2ax - a ( ∆ x)} = (∆ x) {-2ax - a ( ∆ x)} 
∆x (x + ∆x)2. x2. (∆x) (x + ∆x)2. x2. (∆x) 
∆ y = {-2ax - a ( ∆ x)} = - 2ax - a ( 0 ) = - 2ax - 0
∆x (x + ∆x)2. x2 (x + 0 )2 .x2 x2.x2
 lim ∆x→0
 
dy = - 2ax = - 2a. x = - 2a 
dx x 4 x3.x x3
29. y = x 2 .
 a + bx2
y + ∆y = (x + ∆ x) 2 .
 a + b (x + ∆x)2
y + ∆y - y = (x + ∆ x) 2 - x 2 . 
 [a + b (x + ∆x)2] (a + bx2)
∆y = (x + ∆ x) 2 (a + bx 2 ) - {a + b (x + ∆ x) 2 }( x 2 ) 
 [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2 )
∆y = {x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x) 2 }(a + bx 2 ) - {a + b [x 2 + 2x. ∆ x + ( ∆ x) 2 ]}( x 2 ) 
 [a + b (x + ∆x)2 ]( a + bx2 )
∆y = {ax 2 +bx 4 +2ax( ∆ x)+2bx 3 ( ∆ x)+a( ∆ x) 2 +bx 2 ( ∆ x) 2 }-{a+bx 2 +2bx( ∆ x)+b( ∆ x) 2 }(x 2 ) 
 [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2)
∆y = ax 2 + bx 4 +2ax. ∆ x+ 2bx 3 ∆ x +a( ∆ x) 2 + bx 2 ( ∆ x) 2 - ax 2 + bx 4 + 2bx 3 . ∆ x + bx 2 ( ∆ x) 2 
 [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2 )
∆y = 2ax. ∆ x + a( ∆ x) 2 .
 [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2 )
Factorando , dividiendo y simplificando para ∆x: 
 
∆y = ( ∆ x) {2ax + a( ∆ x)} = 
 [a + b (x + ∆x)2]( a + bx2 )(∆x) 
∆y = ( ∆ x) {2ax + a( ∆ x)} .
 [a + b (x + ∆x)2](a + bx2) (∆x) .
∆ y = (2ax + a. ∆ x) = 2ax + a ( 0 ) . 
∆x [a + b (x + ∆x)2 ] ( a + bx2) [a + b (x + 0)2] (a + bx2)
 
lim ∆x→0
dy = 2ax + 0 = 2ax 
dx (a + bx2) (a + bx2) (a + bx2)2
Problemas - Paginas : 34 y 35
Aplicando las Derivadas, hallar la pendiente y la inclinación de la tangente a 
cada una de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa se indica.
1. y = x2 - 2 , siendo x = 1.
dy = 2x = 2 ( 1 ) = 2
tg α = 2 = m.
α = arc tg 2 = 63o26'5''
2. y = 2x - 1 x2 , siendo x = 3.
 2
dy = 2 - 1 . (2x) = 2 - x
dx 2
dy = 2 - x = 2 - (3) = 2 - 3 = - 1
dx
m = dy = - 1
 dx
tg α = - 1
α = arc tg - 1 = 135o 
 
3. y = 4 , siendo x = 2.
 x - 1
dy = (- 4 ) .d(x-1) = (- 4 ) .( 1 ) = (- 4 ). 
dx (x-1)2 dx(x-1)2 (x-1)2
Sustituyendo x = 2, en y'.
dy = (- 4 ) = - 4 = - 4 = - 4 .
dx (2-1)2 (1)2 1
m = - 4
tg α = - 4
α = arc tg (- 4)
α = 104o 2' 10''
4. y = 3 + 3x - x3 , siendo x = -1 
y' = 3 - 3x2
y' = 3 - 3 (-1)2 = 3 - 3 (1) = 3 - 3 = 0 .
m = tg 0 = 0 .
 α = arc tg (0) = 0o 
5. y = x3 - 3x2 , siendo x = 1
y' = 3x2 - 6x.
Sustituyendo: x = 1 , en y'.
y' = 3 (1)2 - 6(1) = 3 (1) - 6 = 3 - 6 = - 3 .
m = tg α = - 3 .
 
α = arc tg ( - 3 ) = 108o 26' 5''
6. Hallar el punto de la curva y=5x - x2 en el que la inclinación 
de la tangente es de 45o.
y = 5x - x2. Según dato del problema tg 45º = 1 .
y' = 5 - 2x. ⇒ m = 1 .
m = y' = 5 - 2x = 1.
solucionando la ecuación: 5 - 2x = 1 ; 5 - 1 = 2x
2 = x ; x = 2 .
Sustituyendo x = 2 en la ecuación original.
y = 5x - x2.
y = 5 ( 2 ) - ( 2 )2
y = 10 - 4 = 6.
y = 6 .
⇒ P ( 2 , 6 )
7. En la curva y = x3 + x hallar los puntos en los que la tangente 
es paralela a la recta y = 4x. 
Derivando la "curva" y "la recta":
y = x3 + x. y = 4x.
y' = 3x2 + 1. y' = 4 
 
m1 = 3x2 + 1. m2 = 4
Cuando 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales.
⇒ m1 = m2
3x2 + 1 = 4 . Solucionando:
 
x = ± 1.
En la curva reemplazamos x = ± 1.
y = x3 + x . y = x3 + x 
y1 = (1)3 + (1) y2 = (-1)3 + (-1) 
 
y1 = 1 + 1 y2 = -1 -1 = -2 
y1 = 2 y2 = -2
⇒ P1 (1 , 2) ⇒ P2 (-1 , -2)
En cada uno de los siguientes problemas hallar:
a) Los puntos de intercepción del par de curvas dado.
b) La pendiente y la inclinación de la tangente a cada curva, y el 
 ángulo formado por las tangentes en cada punto de intercepción.
8. y = 1 - x2.
y = x2 - 1.
Igualamos las 2 curvas.
1 - x2 = x2 - 1 .
1 + 1 = x2 + x2 = 2x2 = 2
x2 = 2/2 ; x2 = 1 ; x = ± 1
Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes:
y = 1 - x2. y = x2 - 1.
y' = - 2x. y'= 2x
Cuando: x = 1
 m1 = - 2x m2 = 2x
 m1 = - 2(1) = - 2 m2 = 2(1) = 
 
 m1 = - 2 m2 = 2
tg θ = m1 - m2 = - 2 - 2 = - 4 = - 4 = 4 .
 1+ m1.m2 1 + (-2) (2) 1 - 4 - 3 3 
tg θ = 4 ; θ = arc tg 4 = 53º 8'
 3 3 
 
Cuando: x = -1
 m1 = - 2x = - 2(-1) = 2 m2 = 2x = 2 (-1) = -2
 m1 = 2 ; m2 = - 2
 tg θ = m1 - m2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4 = - 4 .
 1+ m1.m2 1 + (2) (-2) 1 - 4 - 3 3
θ = arc tg (- 4/3) 
θ = 126º 52' 11"
 Puntos de intercepción
y = 1 - x2 ; Cuando: x = 1
y = 1 - (1)2 
 y = 1 - 1 P1 = ( 1, 0 )
 y = 0 
Cuando x = -1 
y = 1 - x2 .
y = 1 - (-1)2 P2 = ( -1 , 0 )
 y = 1 - 1 
 y = 0 
 
9. y = x2 (1)
 x - y + 2 = 0 (2)
Igualamos las 2 curvas en función de ''y'' para encontrar sus 
intercepciones.
 y = x2. (1)
y = x + 2. (2)
x2 = x + 2 
 x2 - x - 2 = 0
 (x - 2) (x + 1) = 0
x = 2 ; x = -1
Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes:
y = x2 y = x + 2
y' = 2x m1= 2x y' = 1 m2 = 1 
Cuando: x = 2
m1 = 2x m2 = 1
m1 = 2(2) = 4 m2 = 1
m1 = 4 m2 = 1
tg θ = m1 - m2 .
 1+ m1.m2
tg θ = 4 - 1 = 3 = 3 = 0,6 
 1 + (4)(1) 1 + 4 5 
θ = arc tg (0,6) = 30º57'49" 
 
 
Cuando: x = - 1
m1 = 2x m2 = 1
m1 = 2(-1) = - 2 m2 = 1
m1 = - 2 m2 = 1
tg θ = m1 - m2 = - 2 - (1) tg θ = - 2 - 1 = - 3 = 3 .
 1+ m1.m2 1 + (-2) (1) 1 - 2 -1 
θ = arc tg ( 3) 
θ = 71º 33' 54"
 
Puntos de intercepción
Cuando x = 2 Cuando x = -1
y = x2 y = x2 
 y = (2)2 = 4 . y = (-1)2 = 1
P1 (2 , 4) P2 (-1 , 1)
 
Problemas - Paginas : 44 , 45 y 46
Comprobar cada una de las siguientes derivadas.
9. d (3x 4 - 2x2 + 8) = 12x 3 - 4x
dx
d (3x 4) - d (2x2) + d (8)
dx dx dx
3.d (x 4) - 2.d (x2) + 0
 dx dx
3 (4x 3) - 2 (2x) = 12x3 - 4x 
10. d (4 + 3x - 2x3) = 3 - 6x2.
dx
d (4) + d (3x) - d (2x3)
dx dx dx
0 + 3.d (x) - 2 d (x3)
 dx dx
3(1) - 2 (3x2) = 3 - 6x2 
11. d (at5 - 5bt3) = 5at 4 - 15bt2.
dt
d (at5) - d (5bt3) = a.d (t5) - 5b.d (t3)
dt dt dt dt
 
a(5t4) - 5b (3t2) = 5at4 - 15bt2
12. d ( z 2 - z 7 ) = z - z6.
dz 2 7 
d (z 2 ) - d ( z 7 ) = 1 d (z2) - 1 d (z7) 
dz 2 dz 7 2 7
 1 (2z) - 1 (7z6) = z - z6
 2 7 .
13. d √v = 1 . dv
dx 2√v dx
 dv .
 dx = 1 . dv = 1 . dv 
2(√v)2-1 2(√v)1 dx 2√v dx 
 
14. d ( 2 - 3 ) = - 2 + 6 .
dx x x2 x2 x3
d ( 2 ) - d ( 3 ) = - 2 . dx - ( -3 ) . d ( x2 ) = (-2 ).(1) + 3 (2x) = 
dx x x2 (x)2 dx ( x2)2 dx x2 x4 
= - 2 + 6
 x2 x3
15. d (2t 4/3 - 3t 2/3) = 8 t1/3 - 2t -1/3
dt 3
d (2t4/3) - d (3t2/3) = 2 d (t 4/3) - 3 d (t2/3)
dt dt dt dt
 2. 4. t 4/3-1 - 3 . 2 . t 2/3-1 = 8 t 1/3 - 2 t -1/3 
 
 3 3 .
16. d (2x 3/4 + 4x -1/4) = 3 x -1/4 - x -5/4
dx 2
d (2x 3/4) + d (4x -1/4) = 2 d (x3/4) + 4 d (x -1/4)
dx dx dx dx
 2 . 3 . x 3/4-1 + 4 (-1). x -1/4-1 = 3 x -1/4 - x -5/4
 4 4 2
 
17. d (x2/3 - a2/3) = 2 x -1/3.
dx 3
d (x2/3) _ d (a2/3) = 2 x2/3-1 - 0 = 2 x -1/3
dx dx 3 3
18. d ( a +bx + cx 2 ) = c - a .
dx x x2
d ( a + b x + c.x. x ) = d ( a ) + d ( b ) + d ( c.x )
dx x x x dx x dx dx
(-a). d (x) + 0 + c.d (x) = -a + c (1) = c - a 
 x2 dx dx x2 x2 
19. y = √ x - 2 ; dy = 1 + 1 .
 2 √x dx 4√x x √x
dy = 1 .d (√x) - (-2) . d (√x)
dx 2 dx (√x)2 dx
dy = 1 .dx/dx + 2 .dx/dx = 1 . 1 + 2 . 1 = 1 + 1 
dx 2 2√x x 2√x 2 2√x x 2 √x 4√x x√x 
 
 
20. s = a + bt+ ct 2 ; ds = - a + b + 3c √ t .
 √t dt 2t √t 2 √t 2
s = a + bt + ct 2 = a + b. t 2/2 + c.t 4/2 = a + b.t1/2 + c.t3/2. 
 √t √t √t t1/2 t1/2 t1/2 t1/2
ds = d ( a ) + d ( b.t1/2) + d ( c.t3/2)
dt dt t1/2 dt dt
ds = - a . d ( t1/2) + b . d ( t1/2 ) + c. d ( t3/2) 
dt (t1/2)2 dt dt dt
ds = - a . 1 .t1/2-1 + b . 1 . t1/2-1 + c. 3 . t3/2-1
dt t 2 2 2
ds = - a . t -1/2 + b . t -1/2 + 3c. t 1/2 = - a + b + 3c.t 1/2 . 
dt 2t 2 2 2.t.t1/2 2.t1/2 2
ds = _ a + b + 3c. √ t 
dt 2.t.√t 2.√t 2
21. y = √ax + a . ; dy = a - a . 
 √ax dx 2.√ax 2x.√ax
y = (ax)1/2 + a = a1/2.x1/2 + a = a1/2.x1/2 + a 2/2 .
 (ax)1/2 a1/2. x1/2 a1/2. x1/2 
y = a1/2. x1/2 + a 1/2 .
 x1/2
dy = d (a1/2. x1/2) + d ( a 1/2 ) = a1/2 . d (x1/2) + a1/2.d ( x -1/2).
dx dx dx x1/2 dx dx
 
dy = a1/2. 1 . x 1/2-1 + a1/2. - 1 . x -1/2-1 = a 1/2 . x -1/2 - a 1/2 . x -3/2 
dx 2 2 2 2
dy = a 1/2 - a 1/2 
dx 2x1/2 2x3/2 
Multiplicamos y dividimos por a1/2 , a cada sumando :
dy = a 1/2 .a 1/2 - a 1/2 .a 1/2 = a - a . 
 dx 2x1/2.a1/2 2x3/2.a1/2 2x1/2.a1/2 2x.x1/2.a1/2
dy = a - a = a - a .
dx 2√x.√a 2x.√x.√a 2.√ax 2x .√ax
22. r = √1 - 2θ ; dr = - 1 .
 dθ √1 - 2θ 
r = (1 - 2θ)1/2 
dr = d [(1 - 2θ)1/2] = 1 (1 - 2θ)1/2-1.d (1 - 2θ)
dθ dθ 2 dθ
dr = (1 - 2 θ ) -1/2 .( - 2 ) = - (1 - 2θ) -1/2 = - 1 = - 1 . 
dθ 2 (1 - 2θ)1/2 √1 - 2θ 
23. f ( t ) = (2 - 3t2)3 ; f '(t) = - 18t(2-3t2)2.
f '( t ) = 3(2 - 3t2)3-1.d (2-3t2)
 dt 
 
f '( t ) = 3(2 - 3t2)2.(0 - 6t) = 3(2 - 3t2)2(-6t) = -18t (2 - 3t2)2
 
24. f (x) = ∛4 - 9x ; f '(x) = - 3 . 
 (4 - 9x) 2/3
f '(x) = (4-9x)1/3 = 1 (4-9x)1/3-1.d (4-9x) = 1 (4-9x)1/3-1.(0 - 9) =
 3 dx 3
= 1 (4-9x)1/3-1 (- 9) = - 3(4-9x) -2/3 = - 3 . 
 3 (4-9x) 2/3
 
25. y = 1 ; dy = x .
 √a2 - x2 dx (a2 - x2)3/2
y = 1 = (a2 - x2)- 1/2 . 
 (a2 - x2)1/2
dy = - 1 (a2 - x2)- 1/2 -1.d (a2 - x2) = - (a 2 - x 2 ) - 3/2 .(0 - 2x) .
dx 2 dx 2
dy = -1 . (- 2.x) = x . 
dx 2 (a2 - x2) 3/2 (a2 - x2) 3/2 
26. f (θ) = (2 - 5θ)3/5 ; f '(θ) = - 3 .
 (2 - 5θ)2/5 
f '(θ) = 3 (2 - 5θ)3/5-1 . d (2 - 5θ)
 5 dθ
f '(θ) = 3(2 - 5 θ ) -2/5 (0 - 5) = 3 (- 5 ) = - 3 .
 5 5 (2 - 5θ)2/5 (2 - 5θ)2/5
 
27. y = a - b 2 ; dy = 2b a - b . 
 x dx x2 x
dy = 2 ( a- b )2-1.d (a - b )
dx x dx x
dy = 2 a - b . d (a) - d ( b ) = 2 a - b 0 - d (b.x -1)
dx x dx dx x x dx
dy = 2 a - b [- (-b.x -1-1)] 
dx x 
dy = 2 a - b [b.x-2] = 2 a - b b = 2b a - b . 
dx x x x2 x2 x
28. y = a + b 3 ; y' = - 6b a + b 2 .
 x2 x3 x2
y'= 3 a + b 3-1 . d a + b .
 x2 dx x2 
y'= 3 a + b 2 . -b . d (x2)
 x2 (x2)2 dx
y'= 3 a + b 2 . -b (2x) = - 6b a + b 2
 x2 x4 x3 x2
 
29. y = x √a + bx ; y' = 2a + 3bx .
 2(a + bx)1/2
y = x (a + bx)1/2
y'= x.d (a + bx)1/2 + (a + bx)1/2.d (x) 
 dx dx 
y'= x. 1 .(a + bx) 1/2-1 .d (a + bx) + (a + bx)1/2(1)
 2 dx 
y'= x(a + bx) -1/2 (b) + (a + bx)1/2 = bx + (a + bx)1/2 
 2 2(a + bx)1/2
y'= bx + 2(a + bx) 1/2 .(a + bx) 1/2 = bx + 2(a + bx) = bx + 2a + 2bx.
 2(a + bx)1/2 2(a + bx)1/2 2(a + bx)1/2
y'= 2a + 3bx .
 2(a + bx)1/2
30. s = t √a2 + t2 ; s'= a 2 + 2t 2 
 √a2 + t2
s = t (a2 + t2)1/2
ds = t.d (a2 + t2)1/2 + (a2 + t2)1/2.dt
dt dt dt
ds = t. 1 .( a2 + t2)1/2-1.d (a2 + t2) + (a2 + t2)1/2.( 1 ) 
dt 2 dt
ds = t( a 2 + t 2 ) -1/2 .( 2.t ) + ( a2 + t2)1/2 = t 2 + ( a2 + t2)1/2 .
dt 2 ( a2 + t2)1/2
ds = t 2 + {(a 2 + t 2 ) 1/2 } 2 = t 2 + a 2 + t 2 = a 2 + 2t 2 . 
 
 ( a2 + t2)1/2 ( a2 + t2)1/2 √( a2 + t2)
 
31. y = a - x ; y'= - 2a .
 a + x (a + x)2
 
 (a+x).d (a-x) - (a-x).d (a+x)
 dy = dx dx = (a + x) ( -1 ) - ( a - x) ( 1 ) 
dx (a + x)2 (a + x)2 
dy = - a - x - a + x = _ 2a . 
 dx (a + x)2 (a + x)2 
32. y = a 2 + x 2 ; y' = 4a 2 x .
 
 a2 - x2 (a2 - x2)2
 
 (a2 - x2).d (a2 + x2) - (a2 + x2).d (a2 - x2)
dy = dx dx . 
dx (a2 - x2)2
dy = (a 2 - x 2 ) (2x) - (a 2 + x 2 ) (- 2x) = 2a 2 x - 2x 3 + 2a 2 x + 2x 3 
dx (a2 - x2)2 (a2 - x2)2
dy = 4a 2 x .
dx (a2 - x2)2
33. y = √ a 2 + x 2 ; y' = - a 2 .
 x x2 √a2 + x2
y = (a 2 + x 2 ) 1/2 
 x 
 
 x.d (a2 + x2)1/2 - (a2 + x2)1/2.d (x)
y'= dx dx .
 
 x2x. 1 . (a2 + x2)1/2-1.d (a2 + x2) - (a2 + x2)1/2(1)
y'= 2 dx .
 x2
 
 x(a 2 + x 2 ) -1/2 (2x) - (a2 + x2)1/2 x(a 2 + x 2 ) -1/2 ( 2 x) - (a2 + x2)1/2
y'= 2 = 2 .
 x2 x2
 x 2 - (a2 + x2)1/2 x 2 - (a 2 + x 2 ) 1/2 . (a 2 + x 2 ) 1/2 
y'= (a 2 + x 2 ) 1/2 = (a 2 + x 2 ) 1/2 .
 x2 x2 
 
 x 2 - (a 2 + x 2 ) x 2 - a 2 - x 2 -a 2 .
y'= (a 2 + x 2 ) 1/2 = (a 2 + x 2 ) 1/2 = (a 2 + x 2 ) 1/2 = 
 x 2 x 2 x 2 . 
 1 1 1
y'= - a 2 = - a 2 .
 x2(a2 + x2)1/2 x2 √a2 + x2
34. y = x ; y'= a 2 .
 √a2 - x2 (a2 - x2)3/2 
y = x . 
 (a2 - x2)1/2 
 
 (a2 - x2)1/2.d (x) - x.d {(a2 - x2)1/2}
y'= dx dx . 
 {(a2 - x2)1/2}2
 
 (a2 - x2)1/2(1) - x. 1 .(a2 - x2)1/2-1.d (a2 - x2)}
y'= 2 dx .
 (a2 - x2)2/2
 (a2 - x2)1/2 - x.(a 2 - x 2 ) -1/2 (- 2 x) } (a2 - x2)1/2 + x 2 .
 
y'= 2 = (a 2 - x 2 ) 1/2 .
 (a2 - x2)2/2 (a2 - x2)
 
 (a 2 - x 2 ) 1/2 . (a 2 - x 2 ) 1/2 + x 2 .
y'= (a 2 - x 2 ) 1/2 = (a 2 - x 2 ) 1/2 . (a 2 - x 2 ) 1/2 + x 2 . 
 (a2 - x2) (a2 - x2)(a2 - x2)1/2
y'= (a 2 - x 2 ) + x 2 = a 2 - x 2 + x 2 = a 2 . 
 (a2 - x2)3/2 (a2 - x2)3/2 (a2 - x2)3/2
35. r = θ2 √3 - 4θ ; r'= 6 θ - 10 θ 2 .
 (3 - 4θ)1/2
r = θ2 .(3 - 4θ)1/2
r'= θ2.d (3 - 4θ)1/2 + (3 - 4θ)1/2.d (θ2)
 dθ dθ 
r'= θ2. 1 .(3 - 4θ)1/2-1.d (3 - 4θ) + (3 - 4θ)1/2(2θ)
 2 dθ 
 
r'= θ 2 (3 - 4 θ ) -1/2 (- 4 ) + (3 - 4θ)1/2(2θ) = - 2 θ 2 + (2θ)(3 - 4θ)1/2
 2 (3 - 4θ)1/2 
r'= - 2 θ 2 + (2 θ )(3 - 4 θ ) 1/2 .(3 - 4 θ ) 1/2 = - 2 θ 2 + (2 θ )(3 - 4 θ ) 
 (3 - 4θ)1/2 (3 - 4θ)1/2
r'= - 2 θ 2 + 6 θ - 8 θ 2 = 6 θ - 10 θ 2 . 
 (3 - 4θ)1/2 (3 - 4θ)1/2
36. y = 1 - cx ; y'= - c .
 1 + cx (1 + cx ) √1 - c2x2
 
y = (1 - cx) 1/2 .
 (1 + cx)1/2
 (1 + cx)1/2.d [(1 - cx)1/2] - (1 - cx)1/2.d [(1 + cx)1/2] 
dy = dx dx .
dx [(1 + cx)1/2]2
 (1 + cx)1/2. 1 (1 - cx)1/2-1.d (1-cx) - (1 - cx)1/2. 1 .(1 + cx)1/2-1.d (1 + cx)
dy = 2 dx 2 dx . 
 dx (1 + cx)
 (1 + cx) 1/2 (1 - cx) -1/2 ( -c) - (1 - cx) 1/2 (1 + cx) -1/2 ( c) 
dy = 2 2 .
dx (1 + cx )
 - c (1 + cx ) 1/2 _ c (1 - cx ) 1/2 . 
dy = 2 (1 - cx) 1/2 2 (1 + cx ) 1/2 = 
dx ( 1 + cx ) 
 -c [(1 + cx) 1/2 ] 2 - c [(1 - cx) 1/2 ]2
dy = 2 (1 - cx) 1/2 (1 + cx ) 1/2 .
 (1 + cx )
 - c (1 + cx ) - c ( 1 - cx ) - c - c 2 x - c + c 2 x .
dy = 2 (1 - cx) 1/2 (1 + cx ) 1/2 = 2 (1 - cx) 1/2 (1 + cx ) 1/2 
dx ( 1 + cx ) ( 1 + cx ) . 
 1 1 
dy = - 2 c = 
dx 2 (1 - cx)1/2 (1 + cx )1/2(1 + cx ) 
dy = - c . 
 dx (1 - cx)1/2 (1 + cx )1/2(1 + cx )
dy = - c = - c .
dx ( 1 + cx ) .√1 - cx . √1 + cx (1 + cx ).√(1 - cx )(1 + cx )
 dy = _ c .
 
dx (1 + cx ) √1 - c2x2
37. y = a 2 + x 2 ; y'= 2a 2 x .
 a2 - x2 (a2 - x2) √(a4 - x4)
 
y = (a 2 + x 2 ) 1/2 
 (a2 - x2)1/2
 (a2 - x2)1/2.d (a2 + x2)1/2 _ (a2 + x2)1/2.d (a2 - x2)1/2
 dy = dx dx .
dx [(a2 - x2)1/2]2
 (a2 - x2)1/2.1. (a2 + x2)1/2-1.d (a2 + x2) _ (a2 + x2)1/2.1.(a2-x2)1/2-1.d (a2-x2) 
dy = 2 dx 2 dx . 
dx (a2 - x2)
 (a2 - x2)1/2.1.(a2 + x2)-1/2(2x) - (a2 + x2)1/2.1.(a2-x2)-1/2(- 2x)
dy = 2 2 . 
dx (a2 - x2)
 x .(a 2 - x 2 ) 1/2 + x.(a 2 + x 2 ) 1/2 
dy = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 = 
dx (a2 - x2) 
 x{(a 2 - x 2 ) 1/2 } 2 + x {(a 2 + x 2 ) 1/2 } 2 
dy = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 .
dx (a2 - x2)
 x(a 2 - x 2 ) + x (a 2 + x 2 ) a 2 x - x 3 + a 2 x + x 3 . 
dy = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 = 
dx (a2 - x2) (a2 - x2) 
 
 
 2 a 2 x . 
dy = (a 2 + x 2 ) 1/2 (a 2 -x 2 ) 1/2 = 2 a 2 x =
dx (a 2 - x 2 ) . (a2 - x2) (a2 + x2)1/2 (a2-x2)1/2
 1
dy = 2 a 2 x = 2 a 2 x =
dx (a2 - x2).√(a2 + x2)√(a2-x2) (a2 - x2)√(a2 + x2) (a2-x2)
dy = 2 a 2 x .
dx (a2 - x2).√(a4 - x4)
38. s = 3 2 + 3t ; s'=4 .
 2 - 3t (2 + 3t)2/3(2 - 3t)4/3
s = (2 + 3t) 1/3 
 (2 - 3t)1/3
 
 (2 - 3t)1/3.d (2 + 3t)1/3 _ (2 + 3t)1/3.d (2 - 3t)1/3 
ds = dt dt .
dt [(2 - 3t)1/3]2
 (2 - 3t)1/3.1. (2 + 3t)1/3-1.d (2 + 3t) _ (2 + 3t)1/3.1. (2 - 3t)1/3-1.d (2 - 3t)
ds = 3 dt 3 dt . 
dt (2 - 3t)2/3
 (2 - 3t)1/3.1. (2 + 3t)-2/3( 3 ) - (2 + 3t)1/3.1. (2 - 3t)-2/3 (- 3 )
ds = 3 3 .
dt (2 - 3t)2/3
 (2 - 3t) 1/3 + (2 + 3t) 1/3 
ds = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = 
dt (2 - 3t)2/3 
 (2 - 3t) 1/3 (2 - 3t) 2/3 + (2 + 3t) 1/3 (2 + 3t) 2/3 
 
ds = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 .
dt (2 - 3t)2/3
 (2 - 3t) 1/3+2/3 + (2 + 3t) 1/3+2/3 (2 - 3t) 3/3 + (2 + 3t) 3/3 .
ds = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 .
dt (2 - 3t)2/3 (2 - 3t)2/3
 (2 - 3t) + (2 + 3t) 2 - 3t + 2 + 3t .
ds = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = (2 + 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = 
dt (2 - 3t)2/3 (2 - 3t)2/3 
 4 .
ds = (2+ 3t) 2/3 (2 - 3t) 2/3 = 4 = (2 + 3t)2/3(2 - 3t)4/3 
dt (2 - 3t) 2/3 (2 - 3t)2/3 
 1
39. y = √2px ; y'= p .
 y
dy = 1 . (2px)1/2-1.d (2px) = 1 . (2px)-1/2( 2p ) = p .
dx 2 dx 2 (2px)1/2 
Sustituyendo: y = √2px = (2px)1/2 , en la derivada.
dy = p .
dx y
40. y = b √a2 - x2 ; y'= - b 2 x . 
 a a2y
 
y = b (a2 - x2)1/2
 a
dy = b . 1 .(a2 - x2)1/2-1.d (a2 - x2) = b . 1 .(a2 - x2)-1/2 ( - 2x ) 
dx a 2 dx a 2 
dy = - bx . Multiplicamos y dividimos por: "a . b" .
 
dx a (a2 - x2)1/2
dy = - b.x.a.b. = - b 2 x .a. .
dx a.a.b.(a2 - x2 )1/2 a2.b.(a2 - x2 )1/2
Según el problema: y = b ( a2 - x2 )1/2 ; 1 = a .
 a y b (a2 - x2 )1/2
⇒ dy = - b 2 x . a = - b 2 x . 1 = _ b 2 x .
 dx a2 b (a2 - x2 )1/2 a2 y a2y
41. y = (a2/3 - x2/3)3/2 ; y'= - 3 y .
 x
y'= 3 . (a2/3 - x2/3)3/2-1.d (a2/3 - x2/3) = 3 . (a2/3 - x2/3)1/2(0 - 2x2/3-1)
 2 dx 2 3
y'= 3 . (a2/3 - x2/3)1/2( - 2x2/3-1)
 2 3
y'= - (a 2/3 - x 2/3 ) 1/2 . Elevando al cubo y sacando raiz cúbica
 x1/3 tanto al númerador y denominador.
 
 y'= 3 -(a 2/3 - x 2/3 ) 1/2 3 = 3 -(a 2/3 - x 2/3 ) 3/2 . 
 x1/3 x3/3 
Pero: y = (a2/3 - x2/3)3/2,sustituimos en y'.
 
y'= - 3 y .
 x
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones:
42. f (x) = √2x + ∛3x ; f '(x) = 1 + 1 .
 (2x)1/2 (3x)2/3 
f (x) = (2x)1/2 + (3x)1/3 .
 
f '(x) = 1 . (2x)1/2-1.d (2x) + 1 . (3x)1/3-1.d (3x)
 2 dx 3 dx
f '(x) = (2x) -1/2 ( 2 ) + (3x) -2/3 ( 3 ) = (2x)-1/2 + (3x)-2/3 = 1 + 1 . 
 2 3 (2x)1/2 (3x)2/3
43. y = 2 - x ; y'= 2x 2 - 8x - 1 .
 1 + 2x2 (1 + 2x2)2
 (1 + 2x2).d (2 - x) - (2 - x).d (1 + 2x2) 
y'= dx dx . 
 (1 + 2x2)2
y'= (1 + 2x 2 )( - 1) - (2 - x)(4x) = - (1 + 2x 2 ) - (2 - x)(4x) 
 (1 + 2x2)2 (1 + 2x2)2
y'= - 1 - 2x 2 - 8x + 4x 2 = 2x 2 - 8x - 1 . 
 (1 + 2x2)2 (1 + 2x2)2
44. y = x ; y'= 2a - bx .
 √a - bx 2(a - bx)3/2
y = x = x . (a - bx)-1/2 .
 (a - bx)1/2
y'= x .d (a - bx)-1/2 + (a - bx)-1/2.d (x)
 dx dx
y'= x. - 1 . (a - bx)-1/2-1.d (a - bx) + (a - bx)-1/2(1)
 2 dx
y'= - x(a - bx) -2/2 (a - bx) -1/2 ( - b) + (a - bx)-1/2
 2
y'= bx(a - bx) -2/2 (a - bx) -1/2 + 2(a - bx) -1/2 
 
 2
 1 bx + 2 .
y'= (a - bx) -1/2 {bx(a - bx) -2/2 + 2} = (a - bx) 1/2 (a - bx) .
 2 2
 
 1 bx +2(a-bx) bx + 2a - 2bx .
y'= (a - bx) 1/2 (a - bx) = (a - bx) 1/2 (a - bx) 2/2 = 2a - bx . 
 2 2 2(a - bx)3/2
 
 1
45. s = √ a + bt ; s'= - (2a + bt) .
 t 2t2(a + bt)1/2
s = (a + bt) 1/2 
 t
 t.d (a + bt)1/2 - (a + bt)1/2.d (t)
ds = dt dt . 
dt t2
 t. 1 .( a + bt)1/2-1.d (a + bt) - (a + bt)1/2.(1) 
ds = 2 dt .
dt t2
 t. ( a + bt) -1/2 (b) - (a + bt)1/2 bt - (a + bt)1/2.
ds = 2 = 2(a + bt) 1/2 .
dt t2 t2
 bt - 2{(a + bt) 1/2 } 2 bt - 2(a + bt) bt - 2a - 2bt 
ds = 2(a + bt) 1/2 = 2(a + bt) 1/2 = 2(a + bt) 1/2 . 
dt t2 t2 t2
 - 2a - bt .
 
ds = 2(a + bt) 1/2 = - 2a - bt = - (2a + bt) .
dt t2 2t2(a + bt)1/2 2t2(a + bt)1/2
46. r= 3 a + b θ ; r'= - (3a + 2b θ ) .
 θ 3θ 2 (a + bθ )2/3
r = (a + b θ ) 1 /3
 θ 
 
 θ.d (a + bθ)1/3 - (a + bθ)1/3.d (θ) 
dr = d θ d θ .
dθ θ2
 θ.1 . (a + bθ)1/3-1.d (a + bθ) - (a + bθ)1/3. (1) 
dr = 3 d θ . 
dθ θ2
 θ .(a + b θ ) -2/3 (b) - (a + bθ)1/3 b θ - (a + bθ)1/3 
dr = 3 = 3(a + b θ ) 2/3 .
dθ θ2 θ2
 b θ - 3(a + b θ ) 1/3 .(a + b θ ) 2/3 b θ - 3(a + b θ ) b θ - 3a - b θ 
dr = 3(a + b θ ) 2/3 = 3(a + b θ ) 2/3 = 3(a + b θ ) 2/3 
dθ θ2 θ2 θ2 
dr = - 3a - 2b θ = - (3a + 2b θ ) .
dθ 3θ2 (a + bθ)2/3 3θ2 (a + bθ)2/3
47. y = x2 √5 - 2x ; y'= 10x - 5x 2 .
 (5 - 2x)1/2
 
y = x2(5 - 2x)1/2
dy = x2.d (5 - 2x)1/2 + (5 - 2x)1/2.d (x2)
dx dx dx
dy = x2. 1 . (5 - 2x)1/2-1.d (5 - 2x) + (5 - 2x)1/2( 2x ) 
dx 2 dx
dy = x 2 (5 - 2x) -1/2 (- 2 ) + (5 - 2x)1/2( 2x ) = - x 2 + (5 - 2x)1/2( 2x )
dx 2 (5 - 2x)1/2 
dy = - x 2 + (5 - 2x) 1/2 . (5 - 2x) 1/2 ( 2x ) = - x 2 + 2x(5 - 2x) 
dx (5 - 2x)1/2 (5 - 2x)1/2
dy = - x 2 + 10x - 4x 2 = 10x - 5x 2 .
dx (5 - 2x)1/2 (5 - 2x)1/2
48. y = x. ∛ 2 + 3x ; y'= 2(2 x + 1).
 (2 + 3x)2/3
y = x ( 2 + 3x )1/3
dy = x.d ( 2 + 3x )1/3 + ( 2 + 3x )1/3.d (x) 
dx dx dx
dy = x. 1 . (2 + 3x)1/3-1.d (2 + 3x) + (2 + 3x)1/3(1) 
dx 3 dx
dy = x.( 2 + 3x ) -2/3 ( 3 ) + ( 2 + 3x )1/3 = x + ( 2 + 3x )1/3 
dx 3 ( 2 + 3x )2/3
dy = x + ( 2 + 3x ) 1/3 .( 2 + 3x ) 2/3 = x + ( 2 + 3x ) = x + 2 + 3x .
dx (2 + 3x)2/3 (2 + 3x)2/3 (2 + 3x)2/3
 
dy = 4x + 2 = 2 (2 x + 1 ).
dx ( 2 + 3x )2/3 ( 2 + 3x )2/3
 
49. s = 2t - 1 ; s'= (t 3 + 1) .
 t2 t2. ( 2t3 - 1 )1/2
 
s = 2t - 1 1/2 ; ds = d 2t - 1 1/2
 t2 dt dt t2
ds = 1 2t - 1 1/2-1.d 2t - 1 = 1 2t - 1 -1/2.d [(2t - t -2 )] 
dt 2 t2 dt t2 2 t2 dt
ds = 1 . ( 2t - t-2 )-1/2.[2 -(-2.t -2-1 )] = . 1 .[2 + 2t -3 ] 
dt 2 2( 2t - t -2 )1/2 
 
 2 + 2 . 2t 3 + 2 2(t 3 + 1) . 
ds = (2 + 2t -3 ) = t 3 = t 3 = t 3 = 
dt 2( 2t - t -2 )1/2 2 2t - 1 1/2 2( 2t 3 - 1 ) 1/2 2( 2t 3 - 1 ) 1/ 2
 t2 ( t2 )1/2 t
ds = 2 . t .(t 3 + 1) = (t 3 + 1) . 
dt 2 . t 3. ( 2t3 - 1 )1/2 t2. ( 2t3 - 1 )1/2 
50. y = ( x + 2 )2 √x2 + 2 ; y'= 3x 3 + 6x 2 + 8x + 8 .
 (x2 + 2)1/2
y = ( x + 2 )2. ( x2 + 2 )1/2
dy = ( x + 2 )2.d ( x2 + 2 )1/2 + ( x2 + 2 )1/2.d ( x + 2 )2 
dx dx dx
 
dy = (x + 2)2. 1 . (x2 + 2)1/2-1.d (x2 + 2) + (x2 + 2)1/2.2(x + 2)2-1.d (x + 2) 
dx 2 dx dx
dy = (x + 2) 2 (x 2 + 2) -1/2 .( 2 x ) + (x2 + 2)1/2.2(x + 2)(1)
dx 2 .
dy = x (x + 2) 2 + 2(x2+2)1/2(x+2) = 
dx (x2 + 2)1/2 
dy = x(x + 2) 2 + 2(x 2 + 2) 1/2 .(x 2 + 2) 1/2 .(x + 2) 
dx (x2 + 2)1/2
dy = x (x 2 + 2x + 4) + 2( x 2 + 2)(x + 2) =
dx (x2 + 2)1/2
dy = x 3 + 2x 2 + 4x + 2(x 3 + 2x 2 + 2x + 4) 
dx (x2 + 2)1/2
dy = x 3 + 2x 2 + 4x + 2x 3 + 4x 2 + 4x + 8 = 3x 3 + 6x 2 + 8x + 8 
dx (x2 + 2)1/2 (x2 + 2)1/2
51. y = √ 1 + 2x . ; y'= x .
 ∛1 + 3x (1 + 2x)1/2 (1 + 3x)4/3
 
y = ( 1 + 2x )1/2
 ( 1 + 3x )1/3
 ( 1 + 3x )1/3.d ( 1 + 2x )1/2 - ( 1 + 2x )1/2.d ( 1 + 3x )1/3 
dy = dx dx .
dx [( 1 + 3x )1/3]2
 (1 + 3x)1/3. 1 .(1 + 2x)1/2-1.d(1 + 2x) -(1 + 2x)1/2.1.(1 + 3x)1/3-1.d (1 + 3x) 
dy = 2 dx 3 dx . 
dx ( 1 + 3x )2/3
 (1 + 3x) 1/3 (1 + 2x) -1/2 ( 2 ) _ (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) -2/3 ( 3 ) 
 
dy = 2 3 .
dx ( 1 + 3x )2/3
 (1 + 3x) 1/3 _ (1 + 2x) 1 /2
dy = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 =
dx ( 1 + 3x )2/3 
 (1 + 3x) 1/3 (1 + 3x) 2/3 - (1 + 2x) 1/2 (1 + 2x) 1/ 2
dy = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 =
 (1 + 3x)2/3
 (1+3x) - (1+2x) 1 + 3x - 1 - 2x 
dy = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 =
dx ( 1 + 3x )2/3 ( 1 + 3x )2/3
 x . 
dy = (1 + 2x) 1/2 (1 + 3x) 2/3 = x =. 
dx ( 1 + 3x )2/3 (1 + 2x)1/2(1 + 3x)2/3(1 + 3x)2/3 
dy = x = 
dx (1 + 2x)1/2 (1 + 3x)4/3
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el valor dado de x.
52. y = ( x2 - x )3 ; x = 3 .
dy = 3 ( x2 - x )3-1. d ( x2 - x )
dx dx
dy = 3 ( x2 - x )2 (2x - 1 ) ; Sustituyendo x = 3.
dx
dy = 3 [ (3)2 - 3 ]2 [2(3) - 1 ) ] 
dx
 
dy = 3 (9 - 3)2.(6 - 1) = 3(6)2.(5) = 3.(36)(5) = 540
dx
53. y = ∛x + √x ; x = 64.
y = ( x )1/3 + ( x )1/2 
dy = 1 . ( x )1/3-1.dx + 1 . ( x )1/2-1.dx
dx 3 dx 2 dx
dy = ( x ) -2/3 ( 1 ) + ( x ) -1/2 ( 1 ) = 1 + 1 .
dx 3 2 3( x )2/3 2( x )1/2
Cuando x = 64.
dy = 1 + 1 = 1 + 1 . 
dx 3(64)2/3 2(64)1/2 3(26)2/3 2(26)1/2
dy = 1 + 1 = 1 + 1 = 1 + 1 . 
dx 3(2)12/3 2(2)6/2 3(2)4 2(2)3 3(16)2(8)
dy = 1 + 1 = 1 + 3 = 4 = 1 .
dx 48 16 48 48 12
 
54. y = (2x)1/3 + (2x)2/3 ; x = 4
dy = d (2x)1/3 + d (2x)2/3
dx dx dx
dy = 1 . (2x)1/3-1.d (2x) + 2 (2x)2/3-1.d (2x) 
dx 3 dx 3 dx
 
dy = (2x) -2/3 (2) + 2 ( 2x )-1/3(2) = 2 + 4 . 
dx 3 3 3(2x)2/3 3(2x)1/3
dy = 2 + 4 = 2 + 4 =
dx 3(2.4)2/3 3(2.4)1/3 3(8)2/3 3(8)1/3 
dy = 2 + 4 = 2 + 4 =
 dx 3(23)2/3 3(23)1/3 3(22) 3(2) 
 
dy = 2 + 4 = 2 + 8 = 10 = 5 .
dx 12 6 12 12 12 6
 
55. y = √9 + 4x 2
y = (9 + 4x2)1/2 ; x = 2
dy = 1 .( 9 + 4x2 )1/2-1.d (9 + 4x2) 
dx 2 dx
dy = (9 + 4x 2 ) - 1/2 ( 8 x) = 4x . Cuando x = 2 .
dx 2 ( 9 + 4x2 )1/2
dy = 4(2) = 4(2) = 8 = 8 = 8 .
dx ( 9 + 4.22 )1/2 ( 9 + 16 )1/2 ( 25 )1/2 √25 5
56. y = 1 .
 √25 - x2
y = 1 = ( 25 - x2 )-1/2.
 ( 25 - x2 )1/2
dy = - 1 (25 - x2 )-1/2-1.d (25 - x2 ) = - (25 - x 2 ) -3/2 ( - 2 x) = 
dx 2 dx 2 
 
dy = + x . Cuando x = 3
dx (25 - x2 )3/2
dy = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 .
dx (25 - 32 )3/2 (25 - 9 )3/2 (16)3/2 (24)3/2 212/2 26 64
57. y = √ 16 + 3x ; x = 3 
 x
y = (16 + 3x ) 1/2 
 x
 x. d (16 + 3x )1/2 - (16 + 3x )1/2. d ( x )
dy = dx dx .
dx x2
 x. 1 . (16 + 3x )1/2-1.d (16 + 3x ) - (16 + 3x )1/2 ( 1 ) 
dy = 2 dx .
dx x2
 x (16 + 3x) -1/2 ( 3 ) - (16 + 3x )1/2 3x - (16 + 3x )1/2 
dy = 2 = 2(16 + 3x) 1/2 .
dx x2 x2
 3x - 2(16 + 3x) 1/2 (16 + 3x) 1/ 2 3x - 2 (16 + 3x) 3x - 32 - 6x
dy = 2(16 + 3x) 1/2 = 2(16 + 3x) 1/2 = 2(16 + 3x) 1/2 
dx x2 x2 x 2 .
 1
dy = - 32 - 3x . ; Sustituyendo: x = 3 en: dy/dx . 
dx 2x2(16 + 3x)1/2
dy = - 32 - 3(3) = - 32 - 9 = - 41 = - 41 = - 41 .
dx 2 (3)2 [(16 + 3(3)]1/2 2.9[16 + 9]1/2 18(25)1/2 18(5) 90
 
58. y = x √8 - x2 ; x = 2
y = x (8 - x2)1/2
dy = x. d (8 - x2)1/2 + (8 - x2)1/2. d (x) 
dx dx dx
dy = x. 1 .(8 - x2 )1/2-1.d (8 - x2) + (8 - x2)1/2(1) 
dx 2 dx
dy = x(8 - x 2 ) -1/2 (-2x) + (8 - x2)1/2 = - 2 x 2 + (8 - x2)1/2 
dx 2 2 .(8 - x2)1/2
dy = - x 2 + (8 - x 2 ) 1/2 (8 - x 2 ) 1/2 = - x 2 + (8 - x 2 ) = - x 2 + 8 - x 2 
dx (8 - x2)1/2 (8 - x2)1/2 (8 - x2)1/2
dy = 8 - 2 x 2 . Cuando x = 2
dx (8 - x2)1/2
dy = [8 - 2(2) 2 ] = 8 - 2(4) = 8 - 8 = 0 = 0 . 
dx (8 - 22)1/2 (8 - 4)1/2 ( 4 )1/2 2
59. y = x2 √1 + x3 ; x = 2
y = x2 (1 + x3)1/2
dy = x2. d (1 + x3)1/2 + (1 + x3)1/2.d (x2) 
dx dx dx
 
dy = x2. 1 . (1 + x3)1/2-1.d (1 + x3) + (1 + x3)1/2 (2x) 
dx 2 dx
dy = x 2 (1 + x 3 ) -1/2 ( 3x 2 ) + (1 + x3)1/2(2x) = 3 x 4 + 2x.(1 + x3)1/2 
dx 2 2(1 + x3)1/2
dy = 3x 4 + 2x.2 (1 + x 3 ) 1/2 (1 + x 3 ) 1/2 = 3x 4 + 4x ( 1 + x 3 ) 
dx 2(1 + x3)1/2 2(1 + x3)1/2
dy = 3x 4 + 4x + 4x 4 = 7 x 4 + 4 x .
dx 2(1 + x3)1/2 2(1 + x3)1/2
Sustituyendo: x = 4 en y'.
dy = 7.(2) 4 + 4(2) = 7 ( 16 ) + 8 = 112 + 8 = 120 = 20 . 
dx 2(1 + 23)1/2 2( 9 )1/2 2( 3 ) 6
60. y = (4 - x2)3 ; x = 3
dy = 3(4 - x2)3-1.d (4 - x2) 
dx dx
dy = 3(4 - x2)2(- 2x) = - 6x (4 - x2)2 . Sustituyendo: x = 3 en y'.
dx
 dy = - 6(3) (4 - 32)2 = - 18 (4 - 9)2 = - 18(- 5)2 = -18(25) = - 450
dx
61. y = x 2 + 2 
 2 - x2
 (2 - x2).d (x2 + 2) - (x2 + 2).d (2 - x2) 
dy = dx dx .
dx (2 - x2)2
 
dy = (2 - x 2 )( 2x ) - (x 2 + 2)( -2x ) = (2 - x 2 )(2x) + (x 2 + 2)(2x) 
dx (2 - x2)2 (2 - x2)2
dy = 2x [ 2 - x 2 + (x 2 + 2 )] = 2x ( 2 - x 2 + x 2 + 2 ) 
dx (2 - x2)2 (2 - x2)2
dy = 2x ( 4 ) = 8x . Sustituyendo: x = 2 en y'. 
dx (2 - x2)2 (2 - x2)2
dy = 8( 2 ) = 16 = 16 = 16 = 4 .
dx ( 2 - 22 )2 ( 2 - 4 )2 ( - 2 )2 4
62. y = √ 5 - 2x ; x = 1 .
 2x + 1 2
y = (5 - 2x) 1 /2
 2x + 1
 (2x + 1). d (5 - 2x)1/2 - (5 - 2x)1/2.d (2x + 1) 
dy = dx dx .
dx (2x + 1)2
 (2x + 1). 1 .(5 - 2x)1/2-1.d ( 5 - 2x) - (5 - 2x)1/2(2) 
dy = 2 dx .
dx (2x + 1)2
 
 (2x + 1)( 5 - 2x) -1/2 ( - 2 ) - 2 (5 - 2x)1/2 - ( 2x + 1) - 2 (5 - 2x)1/2
dy = 2 = (5 - 2x ) 1/2 . 
dx (2x + 1)2 (2x + 1)2
 - ( 2x + 1) - 2 (5 - 2x) 1/2 . (5 - 2x) 1/ 2 - 2x - 1 - 2(5 - 2x)
dy = (5 - 2x) 1/2 = (5 - 2x) 1/2 .
dx (2x + 1) 2 (2x + 1) 2 .
 1 1 
 
 -2x - 1 - 10 + 4x
dy = (5 - 2x ) 1/2 = 2x - 11 ; Cuando x = 1 .
dx (2x + 1) 2 (5 - 2x )1/2 (2x + 1)2 2 
 1
 2 . 1 . - 11 
dy = 2 = 1 - 11 = - 10 = - 10 .
dx {5 - 2.1}1/2{ 2 . 1 . + 1}2 (5 -1)1/2(1+1)4/2 (4)1/2(2)4/2 (22)1/2(2)22 2 . 
 
dy = - 10 = - 10 = - 10 = - 5 .
dx (22/2)(4) (2)(4) 8 4
63. y = x √(3 + 2x) ; x = 3
y = x (3 + 2x)1/2
dy = x.d (3 + 2x)1/2 + (3 + 2x)1/2.d (x) 
dx dx dx
dy = x . 1 . (3 + 2x)1/2-1.d (3 + 2x) + (3 + 2x)1/2 (1) 
dx 2 dx 
dy = x (3 + 2x) -1/2 ( 2 ) + (3 + 2x)1/2 = x + (3 + 2x)1/2 
dx 2 ( 3 + 2x )1/2
dy = x + (3 + 2x) 1/2 .(3 + 2x) 1/2 = x + (3 + 2x) = x + 3 + 2x .
dx ( 3 + 2x )1/2 ( 3 + 2x )1/2 ( 3 + 2x )1/2
dy = 3 + 3x ; Cuando x = 3
dx ( 3 + 2x )1/2
 
dy = 3 + 3(3) = 3 + 9 = 12 = 12 = 4.
dx ( 3 + 2.3 )1/2 (3 + 6)1/2 91/2 3
64. y = 4x + 1 ; x = 2
 5x - 1
y = (4x + 1) 1/ 2
 (5x - 1)1/2
 (5x - 1)1/2.d (4x + 1)1/2 - (4x + 1)1/2.d (5x - 1)1/2 
dy = dx dx .
dx [(5x - 1)1/2]2
 (5x -1)1/2. 1 .(4x+1)1/2-1.d (4x +1) - (4x +1)1/2. 1 .(5x -1)1/2-1.d (5x -1)
dy = 2 dx 2 dx .
dx (5x - 1)
 (5x - 1) 1/2 (4x + 1) -1/2 ( 4 ) - (4x + 1) 1/2 .(5x - 1) -1/2 ( 5 ) 
dy = 2 2 .
dx (5x - 1)
 4(5x - 1) 1/2 - 5(4x + 1) 1/ 2 4(5x - 1) 1/2 (5x - 1) 1/2 - 5.(4x + 1) 1/2 (4x + 1) 1/2 
dy = 2(4x +1) 1/2 2(5x-1) 1/2 = 2(4x +1) 1/2 (5x-1) 1/2 . 
dx (5x - 1 ) (5x - 1 )
 4(5x - 1) - 5(4x + 1) 20x - 4 - 20x - 5 - 9 .
dy = 2(4x + 1) 1/2 (5x - 1) 1/2 = 2(4x + 1) 1/2 (5x - 1) 1/ 2 = 2(4x + 1) 1/2 (5x - 1) 1/2 
dx (5x-1) (5x-1) (5x-1) 1/2 (5x-1) 1/2 .
 1
dy = - 9 = - 9 . 
dx 2(5x - 1)(4x +1)1/2(5x-1)1/2 2(5x - 1)[(4x +1)(5x-1)]1/2
Cuando x = 2.
 
dy = - 9 = - 9 .
dx 2(5.2 - 1) [(4.2 +1)(5.2-1)]1/2 2(10 - 1) [ ( 9 )( 9 ) ]1/2
dy = - 9 = - 1 = -1 = - 1 .
dx 2( 9 ) [81]1/2 2.[81]1/2 2(9) 18
65. y = x 2 - 5 ; x = 3
 10 - x2
y = (x 2 - 5) 1/2 
 (10 - x2)1/2
 (10 - x2)1/2.d (x2 - 5)1/2 - (x2 - 5)1/2.d (10 - x2)1/2 
dy = dx dx .
dx [(10 - x2)1/2]2
 (10 - x2)1/2. 1 .(x2 -5)1/2-1.d (x2 -5) - (x2 -5)1/2.1.(10 - x2)1/2-1.d (10-x2)
dy = 2 dx 2 dx .
dx (10 - x2)
 (10 - x 2 ) 1/2 (x 2 -5) -1/2 ( 2 x ) - (x 2 -5) 1/2 (10 - x 2 ) -1/2 ( - 2 x ) 
dy = 2 2 .
dx (10 - x2)
 x(10 -x 2 ) 1/ 2 + x(x 2 -5) 1 /2 x(10 -x 2 ) 1/2 (10 -x 2 ) 1/2 + x(x 2 -5) 1/2 (x 2 -5) 1/2 
dy = (x 2 -5) 1/2 (10 - x 2 ) 1/2 = (x 2 -5) 1/2 (10 - x 2 ) 1/2 . 
dx (10 - x2) (10 - x2)
 x(10 -x 2 ) + x(x 2 -5) 10x - x 3 + x 3 - 5x 5x .
dy =(x 2 -5) 1/2 (10 -x 2 ) 1/2 = (x 2 -5) 1/2 (10 -x 2 ) 1/2 = (x 2 -5) 1/2 (10 -x 2 ) 1/2 
dx (10 -x2) (10 -x2) (10 -x2) 
 
dy = 5x . ; Cuando x = 3
dx (10 -x2) (10 -x2)1/2(x2-5)1/2
dy = 5 ( 3 ) = 15 . 
 
dx (10 -32)(10 -32)1/2(32-5)1/2 (10 - 9) (10 - 9)1/2(9 - 5)1/2 
dy = 15 = 15 = 15 = 15 . 
dx ( 1 )( 12 )1/2( 4 )1/2 (1 )( 1 )( 22 )1/2 ( 1 )( 2 ) 2
 
Problemas - Pagina 50
Hallar dy para cada una de las siguientes funciones :
 dx
1. y = u6 , u = 1 + 2√x
dy = 6u5 du = 2 . 1 = 1 .
du dx 2 √x √x
Pero : dy = dy . du ⇒ sustituyendo :
 dx du dx
dy = ( 6u5) 1 = 6u 5 .
dx √x √x
2. y = √(2u - u2) , u = x3 - x
dy = 2 _ 2u . du = 3x2 - 1 
 du 2 √2u dx 
dy = 1 _ 2u .
du √2u
Sustituyendo estos resultados en : dy = dy . du
 dx du dx
 
dy = 1 _ 2u ( 3x2 - 1 ).
dx √2u
3. y = a - u ; u = b - x .
 a + u b + x
 (a + u).d (a - u) -(a - u).d (a + u) 
 
dy = du du .
du (a + u)2
dy = (a + u)( - 1 ) - (a - u)( 1 )
du (a + u)2
dy = - a - u - a + u = - 2a .
du (a + u)2 (a + u)2
 (b + x).d (b - x) - (b - x).d (b + x) 
du = dx dx .
dx (b + x)2
du = (b + x)( - 1 ) - (b - x)( 1 ) = - b - x - b + x = - 2b .
dx (b + x)2 (b + x)2 (b + x)2
Sustituyendo: dy y du en dy
 du dx dx
dy = - 2a . - 2 b = 4ab .
dx (a + u)2 (b + x)2 (a + u)2(b + x)2
 
4. y = u √a2 - u2 ; u = √1 - x2 
y = u.( a2 - u2 )1/2
dy = u.d ( a2 - u2 )1/2 + ( a2 - u2 )1/2.d ( u ) 
du du du
dy = u . 1 . ( a2 - u2 )1/2-1.d ( a2 - u2 ) + ( a2 - u2 )1/2( 1 ) 
du 2 du
dy = u ( a 2 - u 2 ) -1/2 ( - 2 u ) + ( a2 - u2 )1/2 =
dx 2 
dy = - u 2 + ( a 2 - u 2 ) 1/2 . ( a 2 - u 2 ) 1/2 
dx ( a2 - u2 )1/2
dy = - u 2 + ( a 2 - u 2 ) = - u 2 + a 2 - u 2 = a 2 - 2 u 2 .
dx ( a2 - u2 )1/2 (a2 - u2)1/2 (a2 - u2)1/2
u = √1 - x2 = ( 1 - x2 )1/2 
du = d ( 1 - x2 )1/2
dx dx
du = 1 . ( 1 - x2 )1/2-1.d ( 1 - x2 ) = ( 1 - x 2 ) -1/2 ( - 2 x ) = 
dx 2 dx 2 
du = - x .
dx ( 1 - x2 )1/2
 
Sustituyendo : dy y du en dy 
 du dx dx
dy = ( a 2 - 2 u 2 ).(- x ) = - x( a 2 - 2 u 2 ) 2/2 = 
. dx ( a2 - u2 )1/2 ( 1 - x2 )1/2 ( a2 - u2 )1/2 ( 1 - x2 )1/2 
du = x(2u 2 - a 2 ) .
dx ( a2 - u2 )1/2(1-x2)1/2
5. 15x = 15y + 5y3 + 3y5
15.d ( x ) = 15.dy + 5.3.y3-1.dy + 3.5.y5-1.dy
 dx dx dx dx
15 ( 1 ) = 15.dy + 15. y2.dy + 15.y4.dy
 dx dx dx
15 = 15dy + 15y2.dy + 15y4.dy = 15
 dx dx dx
15.dy ( 1 + y2 + y4 ) = 15
 dx
dy = 15 = 1 . 
 15 ( 1 + y2 + y4 ) ( 1 + y2 + y4 )
6. x = √y + ∛y
x = ( y )1/2 + ( y )1/3
dx = 1 . y1/2-1.dy + 1 . y1/3-1.dy
dx 2 dx 3 dx
1 = y -1/2 . dy + y -2/3 . dy
 2 dx 3 dx
1 = 1 . dy + 1 .dy
 2y1/2 dx 3y2/3 dx
 
1 = dy ( 1 + 1 ) = 1.
 dx 2y1/2 3y2/3
dy = 1 = 1 = 2y 1/2 . 3y 2/3 =
dx 1 + 1 3y 2/3 + 2y 1/2 3y2/3 + 2y1/2 
 2y1/2 3y2/3 2y1/2 3y2/3
dy = 2 y 1/2 . 3y 2/3 = 6y 2/3 . 
dx y 1/2 (3y1/6 + 2) (3y1/6 + 2) 
7. y2 = 2px.
2y2-1.dy = 2p.dx
 dx dx
2y.dy = 2p(1) ; dy = 2 p = p . 
 dx dx 2 y y
8. x2 + y2 = r2
2x + 2y2-1.dy = d (r2) ; 2x + 2y.dy = 0 ; dy = - 2 x = - x . 
 dx dx dx dx 2 y y
9. b2x2 + a2y2 = a2b2
d (b2x2) + d (a2y2) = d (a2b2)
dx dx dx
2b2x + 2a2y2-1.dy = 0
 dx
 
2a2y.dy = - 2b2x .
 dx 
dy = - 2 b 2 x = - b 2 x .
dx 2a2y a2y
 
10. √x + √y = √a.
x1/2 + y1/2 = a1/2 ; d (x1/2) + d (y1/2) = d (a1/2)
 dx dx dx
 1 . x1/2-1 + 1 .y1/2-1.dy = 0 ; x -1/2 + y -1/2 .dy = 0 
 2 2 dx 2 2 dx
 
 
 1 + 1 . dy = 0 ; 1 .dy = - 1 .
2 x1/2 2 y1/2 dx 2y1/2 dx 2x1/2
 - 1 .
dy = 2x 1/2 = - 2 y 1/2 = _ y 1/2 = - y .
dx 1 . 2 x1/2 x1/2 x
 2 y1/2
11. x2/3 + y2/3 = a2/3
 2 .x2/3-1 + 2 .y2/3-1 = d (a2/3) ; 2 x -1/3 + 2 y -1/3. dy = 0
 3 3 dx 3 3 dx
 2 + 2 . dy = 0 ; 2 . dy = _ 2 .
 3 x1/3 3 y1/3 dx 3 y1/3 dx 3 x1/3
 - 2 .
dy = 3 x 1/3 = _ y 1/3 = - 3 y . 
dx 3 y 1/3 x1/3 x 
 2 .
 
12. x3 - 3axy + y3 = 0
3x2 - 3a[x.dy + y.dx] + 3y2.dy = 3x2 - 3ax.dy - 3ay + 3y2.dy 
 dx dx dx dx dx 
3dy ( y2 - ax ) = 3ay - 3x2 ; dy = 3 ay - 3 x 2 = 3 ( ay - x 2 ) = 
 dx dx 3( y2 - ax ) 3 ( y2 - ax ) 
 
dy = ( ay - x 2 ) 
dx ( y2 - ax )
13. x3 + 3x2y + y3 = c3
3x2 + 3 [ x2.dy + y.d ( x2 ) ] + 3y2. dy = d ( c3 ) 
 dx dx dx dx
3x2 + 3[x2.dy + 2xy] + 3y2. dy = 3x2 + 3x2.dy + 6xy + 3y2.dy = 
 dx dx dx dx
3.dy ( x2 + y2 ) = - 3x2 - 6xy ; dy = - 3x 2 - 6xy . 
 dx dx 3( x2 + y2 )
dy = - 3 x ( x + 2y ) = _ ( x 2 + 2xy ) = _ x ( x + 2y ) 
dx 3 ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 )
14. x + 2√xy + y = a
x + 2.x1/2.y1/2 + y = a
dx + 2[x1/2.d (y1/2) + y1/2.d (x1/2) ] + dy = d ( a )
dx dx dx dx dx
1 + 2 [x1/2. 1 . y1/2-1. dy + y1/2. 1 . x1/2-1] + dy = 0 
 2 dx 2 dx 
1 + 2[ x 1/2 .y -1/2 . dy + y 1/2 .x -1/2 ] + dy = 0
 2 dx 2 dx
1 + 2 x 1/2 . dy + 2 y 1/2 + dy = 0 
 2 y1/2 dx 2 x1/2 dx
 1 + x 1/2 . dy + y 1/2 + dy = 0
 y1/2 dx x1/2 dx
 
dy (1 + x 1/2 ) = - 1 - y 1/2 
dx y1/2 x1/2
 ( - 1 - y 1/ 2) - x 1/2 - y 1/2 .
dy = x 1/2 = x 1/2 = - ( x 1/2 + y 1/2 ) y 1/2 = 
dx ( 1 + x 1/2 ) y 1/2 + x 1/2 x1/2 ( y1/2 + x1/2 ) 
 y1/2 y1/2
dy = _ y 1/2 = - y .
 dx x1/2 x 
15. x2 + a x y + y2 = b2
x2 + a . x1/2 . y1/2 + y2 = b2
2x + a [x1/2. d (y1/2) + y1/2.d (x1/2)] + 2y.dy = d ( b2 ) 
 dx dx dx dx
2x + a[x1/2. 1 .y1/2-1.dy + y1/2. 1 . x1/2-1] + 2y. dy = 0
 2 dx 2 dx
2x + a [ x 1/2 . y -1/ 2. dy + y 1/2 . x -1/2 ] + 2y. dy = 0
 2 dx 2 dx
2x + a [ x 1/2 . dy + y 1/2 ] + 2y.dy = 2x + a x 1/2 . dy + a y 1/2 + 2y.dy 
 2 y1/2 dx 2 x1/2 dx 2 y1/2 dx 2 x1/2 dx 
2y.dy + a.x 1/2 .dy = - 2x - a y 1/2 .
 dx 2.y1/2 dx 2x1/2
 - ( 2x + a y 1/2 )
dy ( 2y + a.x 1/2 ) = - 2x - a y 1/2 = 2x 1/2 .
dx 2.y1/2 2x1/2 ( 2y + a.x 1/2 )
 2y1/2
 - ( 2x.2x 1/2 + a y 1/2 ) - ( 4 x 3/2 + a y 1/2 ) 
dy = 2 x 1/2 = 2 x 1/2 = _ y 1/2 ( 4 x 3/2 + a y 1/2 ) 
dx 2y.2y 1/2 + a x 1/2 4 y 3/2 + a x 1/2 x1/2 ( 4 y3/2 + a x1/2 ) 
 2.y1/2 2.y1/2
 
16. x4 + 4x3y + y4 = 20
d (x4) + d (4x3y) + d (y4) = d ( 20 )
dx dx dx dx
4x3 + 4 [x3.dy + y.d ( x3 )] + 4y3.dy = 0
 dx dx dx
4x3 + 4 [x3.dy + 3x2y] + 4y3.dy = 0
 dx dx
4x3 + 4x3.dy + 12x2y + 4y3.dy = 0
 dx dx
4x3.dy + 4y3.dy = - 12 x2y - 4x3
 dx dx
4dy ( x3 + y3 ) = - 4 x2 (3y + x) 
 dx
dy = - 4 x 2 (3y + x) = _ x 2 (x + 3y ) 
dx 4 ( x3 + y3) ( x3 + y3 )
17. ax3 - 3b2xy + cy3 = 1
3ax2 - 3b2 [ x.dy + y.dx] + 3cy2.dy = d (1)
 dx dx dx
3ax2 - 3b2[x.dy + y] + 3cy2.dy= 3ax2 - 3b2x.dy - 3b2y + 3cy2.dy 
 dx dx dx dx
3cy2.dy - 3b2x.dy = 3b2y - 3ax2 = 3.dy ( cy2 - b2x ) = 3 ( b2y - ax2) 
 dx dx dx
3.dy ( cy2 - b2x ) = 3 ( b2y - ax2)
 dx 
 
dy = 3 ( b 2 y - ax 2 ) = ( b 2 y - ax 2 ) = ax 2 - b 2 y 
dx 3 ( cy2 - b2x ) ( cy2 - b2x ) b2x - cy2
18. y + x = 6 .
 x y
 ( y ) 1/2 + ( x ) 1/2 = 6
( x )1/2 ( y )1/2
x 1/2 .d (y 1/2 ) - y 1/2 .d (x 1/2 ) + y 1/2 .d(x 1/2 ) - x 1/2 .d (y 1/2 ) = 0 
 [(x1/2)]2 [ (y1/2)]2
x1/2. 1 .y1/2-1.dy - y1/2. 1 .x1/2-1 y1/2. 1 .x1/2-1 - x1/2. 1 .y1/2-1.dy
 2 dx 2 + 2 2 dx = 0
 x y
x 1/2 .y -1/2 .dy - y 1/2 .x -1/2 y 1/2 .x -1/2 - x 1/2 .y -1/2 .dy
 2 dx 2 + 2 2 dx = 0
 x y
 x 1/2 .dy - y 1/2 y 1/2 - x 1/2 .dy 
2y 1/2 dx 2x 1/2 + 2x 1/2 2y 1/2 dx = 0
 x y
x 1/2 .dy y 1/2 y 1/2 x 1/2 .dy
2y 1/2 dx - 2x 1/2 + 2x 1/2 - 2y 1/2 dx = 0
 x x y y .
 1 1 1 1
 x 1/2 . dy - y 1/2 + y 1/2 - x 1/2 . dy = 0. 
 2. x .y1/2 dx 2.x1/2.x 2.x1/2. y 2.y1/2.y dx
 1 . dy - y 1/2 + 1 - x 1/2 . dy = 0
2x1/2.y1/2 dx 2x3/2 2x1/2.y1/2 2y3/2 dx
 1 . dy - x 1/2 . dy = y 1/2 - 1 . 
 
2x1/2.y1/2 dx 2y3/2 dx 2x3/2 2x1/2.y1/2 
dy ( 1 - x 1/2 ) = y 1/2 - 1 .
dx 2x1/2.y1/2 2y3/2 2x3/2 2x1/2.y1/2
 y 1/2 - 1 y 1/2 .y 1/2 - x 2/2 y - x .
dy = 2x 3/2 2x 1/2 .y 1/2 = 2x 3/2 .y 1/2 = 2x 3/2 .y 1/2 .
 1 - x 1/2 y 2/2 - x 1/2 .x 1/2 . y - x . 
 2x1/2.y1/2 2y3/2 2x1/2.y3/2 2x1/2.y3/2
dy = (y - x ) . 2 x 1/2 .y 3/2 = x 1/2 .y 3/2 = x 1/2 . y 1/2 . y 
dx 2 x3/2.y1/2.( y - x ) x3/2.y1/2 x1/2. x . y1/2
dy = x 1/2 . y 1/2 . y = y .
dx x1/2. x . y1/2 x
Hallar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto dado. 
19. x2 + xy + 2 y2 = 28 ; ( 2 , 3 )
2x + [ x.dy + y.dx ] + 4y.dy = d (28)
 dx dx dx dx
2x + x.dy + y(1) + 4y.dy = 0 = 2x + x.dy + y + 4y.dy 
 dx dx dx dx
 x.dy + 4y.dy = - 2x - y
 dx dx
dy ( x + 4y ) = - (2x + y )
dx
dy = _ ( 2x + y ) ; En el punto ( 2 , 3 ) 
dx ( x + 4y )
m = dy = _ { 2(2) + 3 } = _ ( 4 + 3 ) = _ 7 = - 1. 
 dx { 2 + 4(3) } ( 2 + 12 ) 14 2
 
m = dy = _ 1 .
 dx 2
20. x3 - 3xy2 + y3 = 1 ; ( 2 , - 1 )
3x2 - 3 [ x.d ( y2 ) + y2.d ( x ) ] + 3y2.dy = d ( 1 )
 dx dx dx dx
3x2 - 3[2xy.dy + y2 (1)] + 3y2.dy = 3x2 - 6xy.dy - 3y2 +3y2.dy .
 dx dx dx dx
 3y2.dy - 6xy.dy = 3y2 - 3x2
 dx dx
3ydy ( y - 2x ) = 3 ( y2 - x2 ) 
 dx
dy = 3 ( y 2 - x 2 ) = ( y 2 - x 2 ) . En el punto ( 2 , 3 )
dx 3 y ( y - 2x ) y ( y - 2x )
m = dy = [ (-1) 2 - (2) 2 ] = [ 1 - 4 ] = - 3 = - 3 .
 dx (-1)[ -1 - 2 (2)] (-1)( -1 - 4) (-1)(- 5) 5
21. √2x + √3y = 5 ; (2 , 3)
( 2x )1/2 + ( 3y )1/2 = 5
 1 .( 2x )1/2-1.d (2x) + 1 .( 3y )1/2-1.d (3y) = d (5)
 2 dx 2 dx dx
(2x) -1/2 .( 2 ) + ( 3y ) -1/2 .(3) .dy = 1 + 3 .dy = 3 . dy = - 1 . 
 2 2 dx (2x)1/2 2(3y)1/2 dx 2( 3y)1/2 dx (2x)1/2
 _ 1 .
dy = ( 2x ) 1/ 2 = _ 2( 3y) 1/2 . En el punto ( 2 , 3) 
dx 3 3 (2x)1/2
 2( 3y)1/2
 
m = dy = _ 2 [ 3 (3) ] 1/2 = _ 2 ( 9 ) 1/2 = _ 2 ( 3 ) = - 1.
 dx 3 [ 2 (2) ]1/2 3 ( 4 )1/2 3 ( 2 )
22. x2 - 2√xy - y2 = 52 ; ( 8 , 2 )
x2 - 2.x1/2.y1/2 - y2 = 52
2x.dx - 2 [x1/2.d (y1/2) + y1/2.d (x1/2)] - 2y.dy = d ( 52 )
 dx dx dx dx dx
2x(1) - 2 [x1/2. 1 .(y1/2-1).dy + y1/2. 1 . (x1/2-1).dx ] - 2y.dy = 0
 2 dx 2 dx dx
2x - 2 [ x 1/2 .y -1/2 .dy + y 1/2 .x -1/2 .( 1 ) ] - 2y.dy = 0
 2 dx 2 dx
 2x - 2 [ x 1/2 . dy + y 1/2 ] - 2y.dy = 2x - 2.x 1/2 .dy - 2.y 1/2 - 2y.dy 
 2y1/2 dx 2x1/2 dx 2y1/2 dx 2x1/2 dx
2x - 2 .y 1/2 = 2 .x 1/2 .dy + 2y.dy = 0
 2.x1/2 2.y1/2 dx dx
2x - y 1/2 = x 1/2 . dy + 2y.dy = 2x - y 1/2 
 x1/2 y1/2 dx dx x1/2 
Sacando factor comun : dy .( x 1/2 + 2y ) = 2x - y 1/2 
 dx y1/2 x1/2
 2x - y 1/2 2x.x 1/2 - y 1/ 2 2x 3/2 - y 1/2 
dy = x 1/2 = x 1/2 = x 1/2 . 
dx x 1/2 + 2y x 1/2 + 2y.y 1/2 x 1/2 + 2y 3/2 
 y1/2 y1/2 y1/2 
 
dy = y 1/2 ( 2x 3/2 - y 1/2 ) . En el punto ( 8 , 2 )
dx x1/2(x1/2 + 2y3/2 )
m = dy = (2) 1/2 [ 2(8) 3/2 - (2) 1/2 ) = (2) 1/2 [ 2 (2 3 ) 3/2 - 2 1/2 ] .
 
 dx (8)1/2 [(8)1/2 + 2(2)3/2 ) 2(2)1/2 [ (23)1/2 + 2(23/2) ] 
m = dy = ( 2) 1/2 [ 2 (2 3 ) 3/2 - 2 1/2 ] = [2.2 9/2 - 2 1/2 ] =
 dx 2( 2)1/2 [(23)1/2 + 2(23/2)] 2(23/2 + 22/2.23/2) 
m = 2 2/2 . 2 9/2 - 2 1/2 = ( 2 11/2 - 2 1/2 ) = [ 2 1/2 ( 2 10/2 - 1) ] = 
 2[23/2(1 + 22/2)] 2[23/2(1 + 2)] 22/2[23/2(3)] 
m =dy = 2 1/2 ( 2 5 - 1 ) = 32 - 1 = 31 = 31 .
 dx 21/2. 21/2. 23/2. 3 24/2. 3 4.3 12
23. x3 - axy + 3ay2 = 3a3 ; ( a , a )
3x2.dx - a [ x.dy + y.dx ] + 3a.2y.dy = d ( 3a3)
 dx dx dx dx dx
3x2 ( 1 ) - a [ x.dy + y ] + 6ay.dy = 3x2 - ax.dy - ay + 6ay.dy = 0
 dx dx dx dx
6ay.dy - ax.dy = ay - 3x2 
 dx dx
a.dy {6y - x} = ay - 3x2
 dxdy = a.y - 3x 2 . En el punto (a , a)
dx a ( 6y - x )
m = dy = a(a) - 3(a) 2 = a 2 - 3a 2 = - 2a 2 = - 2 a 2 = _ 2 . 
 dx a(6.a - a) a( 5a ) 5a2 5 a 2 5
 
24. x2 - x√xy - 2y2 = 6 ; ( 4 , 1 )
x2 - x.x1/2.y1/2 - 2y2 = 6
x2 - x3/2.y1/2 - 2y2 = 6
 
2x.dx - [ x3/2. 1 .y1/2-1. dy + y1/2. 3 . x3/2-1 ] - 4y. dy = d ( 6 )
 dx 2 dx 2 dx dx
2x (1) - [ x 3/2 .y -1/2 . dy + y 1/2 . 3 . x 1/2 ] - 4y. dy = 0
 2 dx 2 dx
2x - [x 3/2 . dy + 3.x 1/2 .y 1/2 ] - 4y.dy = 2x - x 3/2 .dy - 3 x 1/2 .y 1/2 - 4y.dy 
 2y1/2 dx 2 dx 2y1/2 dx 2 dx
x 3/2 . dy + 4y . dy = 2x - 3 x 1/2 .y 1/2 
2y1/2 dx dx 2
dy ( x 3/2 + 4y) = 2x - 3 x 1/2 .y 1/2 
dx 2y1/2 2 
 2x - 3 x 1/2 .y 1/ 2 4x - 3 x 1/2 .y 1/ 2 
dy = 2 = 2 = (4x - 3 x 1/2 .y 1/2 ).y 1/2 
dx ( x 3/2 + 4y ) x 3/2 + 8y.y 1/ 2 ( x3/2 + 8.y3/2 )
 2y1/2 2 y1/2
En el punto (4,1)
dy = {4(4) - 3 (4) 1/2 .(1) 1/2 }.1 1/2 = {16 - (3)(2)(1)} (1) = {16 - 6} (1) .
dx {(4)3/2 + 8(1)3/2} {(22)3/2 + (8)(1)} {(26/2) + 8}
dy = ( 10 ) ( 1 ) = 10 = 10 = 5 .
dx { 23 + 8 } 8 + 8 16 8 
25. Demostrar que las parabolas y2 = 2px + p2 y y2 = p2 - 2px se 
cortan en ángulo recto. 
 
y2 = 2px + p2 1)
y2 = p2 - 2px 2) 
2px + p2 = p2 - 2px Sustituyendo x = 0 en 1)
2px + 2px = p2 - p2 = 0 y2 = p
4px = 0 y = ± p 
 
 
(2,1)
x = 0 ⇒ P ( 0 , p ) ; P ( 0 , - p )
Derivando ( 1) Derivando (2)
y2 = 2px + p2 y2 = p2 - 2px
2y.dy = 2p.dx + d (p2) 2y .dy = 0 - 2p.dx
 dx dx dx dx dx
2y.dy = 2p( 1 ) + 0 2y .dy = 0 - 2p.dx = - 2p
 dx dx dx
2y .dy = 2p dy = _ 2p .
 dx dx 2y
m = dy = 2p = p . m = dy = _ p .
 dx 2y y dx y
Pero : y = ± p Pero : y = ± p
⇒ m = dy = p = p . ⇒ m = dy = - p = - p .
 dx y ± p dx y ± p 
m1 = p = + 1 . m3 = -p = - 1 .
 p p
m2 = p = - 1. m4 = - p = + 1 .
 -p - p
Las 2 parábolas son perpendiculares , osea que se cortan en ángulo 
 recto , porque el producto de sus pendientes es igual a - 1 . 
 y
 
 y2 = p2 - 2px
 + p 
 o x
 
 
(2,1)
 y2 = 2px + p2
 
 
 
 - p
26. Demostrar que las circunferencias x2 + y2 - 12x - 6y + 25 = 0 
y x2 + y2 + 2x + y = 10 , son tangentes en el punto ( 2 , 1 ).
Derivando : Derivando :
x2 + y2 - 12x - 6y + 25 = 0 x2 + y2 + 2x + y = 10
2x + 2y.dy -12.dx - 6.dy +d (25) = 0 2x + 2y.dy + 2.dx + dy = d (10)
 dx dx dx dx dx dx dx dx
2x + 2y.dy -12(1) - 6.dy + 0 = 0 2x + 2y.dy + 2(1) + dy = 0
 dx dx dx dx
2x + 2y.dy -12 - 6.dy = 0 2x + 2y.dy + 2 + dy = 0 
 dx dx dx dx
2y.dy - 6.dy = 12 - 2x 2y.dy + dy = - 2x - 2
 dx dx dx dx
2 dy ( y - 3 ) = 2 ( 6 - x ) dy = ( 2y + 1 ) = - 2 ( x + 1 ) 
 dx dx
dy = 2 ( 6 - x ) = ( 6 - x ) . dy = - 2 ( x + 1 ) 
dx 2 ( y - 3 ) ( y - 3 ) dx ( 2y + 1 )
En el punto ( 2 , 1 ) En el punto ( 2 , 1 )
dy = ( 6 - x ) = ( 6 - 2 ) = 4 . dy = - 2 (2 + 1) = -2 ( 3 ) = - 6 =-2
dx ( y - 3 ) ( 1 - 3 ) - 2 dx [2(1) + 1] ( 2 + 1 ) 3
m1 = dy = - 2 m2 = dy = - 2
 dx dx
Si sus pendientes son iguales ⇒ estas curvas son tangentes.
 
 
(2,1)
 y
 x
27. Bajo que ángulo corta la recta y = 2x a la curva x2 - xy + 2y2 = 28 .
 y
x2 - xy + 2y2 = 28 
 (2, 4) y = 2x
 x
 (-2,- 4)
x2 - xy + 2y2 = 28 
y = 2x 
Sustituyendo el valor de y = 2x en 
x2 - x(2x) + 2(2x)2 = 28
x2 - 2x2 + 2(4x2) = 28 Sustituyendo el valor de x en 
x2 - 2x2 + 8x2 = 28 y = 2x
 
 
(2,1)
 0 
 a
7x2 = 28 y = 2(2) = 4 
x2 = 28 = 4 y = 2(-2) = - 4
 7
 P1 (2,4) Puntos de intercepción
x = ± 2 P2 (-2,-4)
Derivando cada curva para encontrar sus pendientes:
x2 - xy + 2y2 = 28  y = 2x 
2x - {x.dy + y.dx } + 4y.dy = d (28)
 dx dx dx dx
2x - x.dy - y(1) + 4y.dy = 0
 dx dx
2x - x.dy - y + 4y.dy = 0
 dx dx
4y.dy - x.dy = y - 2x
 dx dx
dy {4y - x} = y - 2x 
dx
dy = y - 2x . 
dx 4y - x 
Sustituyendo el punto P (-2,- 4) .
dy = - 4 -2(-2) = - 4 + 4 = 0 = 0.
dx 4(- 4) - (-2) - 16 + 2 - 14
m1 = dy = 0
 dx
 
 0 
 a
tg θ = m2 - m1 = 2 - 0 = 2 = 2
 1 + m1.m2 1 + (0)(2) 1 + 0
tg θ = 2
 θ = arc tg(2) .
θ = 630 26' 6'' .

Problemas Adicionales
1. El vertice de la parábola y2 = 2px es el centro de una elipse. El foco de
 la parábola es un extremo de uno de los ejes principales de la elipse, 
 y la parábola y la elipse se cortan en ángulo recto. Hallar la ecuación 
 de la elipse .
 y2 = 4px
 4x2 + 2y2 = p20 
 a
 F(p/2,0)
 · 
 
Si y2 = 4px  es el doble de :
 y2 = 2px 
El lado recto de  es 4p
El lado recto de  sera la mitad 2p 
Si el lado recto es 2p, por gráfico obtenemos que F (p/2,0)
El semi eje principal de la elipse es : a = p/2
El centro de la elipse es el origen (0,0)
(x-h) 2 + (y-k) 2 = 1 
 a2 b2
(x-0) 2 + (y-0) 2 = 1 ; x 2 + y 2 = 1
 a2 b2 a2 b2
Derivando para obtener la pendiente.
x 2 + y 2 = 1
a2 b2
a-2.d (x2) + b-2.d (y2) = d (1)
 dx dx dx
a-2(2x) + b-2.2y.dy = 0
 dx
 
 0 
 a
2y.b-2.dy = - 2x.a-2
 dx
dy = - 2 x.a -2 = - b 2 x . m1 = - b 2 x .
dx 2y.b-2 a2y a2y
Derivando y2 = 2px para obtener m2.
2y.dy = 2p.d (x) → 2y.dy = 2p
 dx dx dx
dy = 2 p = p → m2 = p .
dx 2y y y
Para que la parábola y la elipse se corten en ángulo recto, 
el producto de sus pendientes tiene que ser igual a -1.
( m1 ) ( m2 ) = - 1 .
 - b 2 x p = - 1 .
 a2y y 
b2 = -a 2 .y 2 = a 2 .y 2 .  ; Pero: a = p .
 -p.x p.x 2
 a2 = p 2 .
 4 
Sustituyendo en  el valor de a2 .
 p 2 .y2
b2 = 4 = p.y 2 .
 p.x 4x
 
Sustituyendo en  que es la ecuación de la elipse los valores de a2 y b2.
x 2 + y 2 = 1 4x 2 + 4x = 1 
a2 b2 p2 p 
x 2 y 2 4x 2 + 4px = 1
1 + 1 = 1 p2
p 2 p.y 2 
4 4x 4x2 + 4px = p2
 
4x 2 + 4x. y 2 = 1 
 p2 p.y2 
 
Pero : 2y2 = 4px , sustituyendo este valor en : 4x2 + 4px = p2
4x2 + 2y2 = p2 (Ecuación de la elipse ).
2. Se traza un circulo de centro (2a,0) con un radio tal que el circulo 
 corta en ángulo recto a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.Hallar el radio.
Tomamos primero a la elipse y encontramos su pendiente.
Derivando : b2x2 + a2y2 = a2b2. 
2b2x + 2a2y.dy = d (a2b2)
 dx dx
2b2x + 2a2y.dy = 0
 dx
dy = - 2 b 2 x = - b 2 x .
dx 2a2y a2y
m1 = - b 2 x .
 a2y
Luego se toma a la ecuación del circulo y se obtiene su pendiente, 
 
F'(-c,o) F(c,o) 
 
 
cuyo centro es (2a,0).
( x - 2a )2 + ( y - 0 )2 = r2.
( x - 2a)2 + y2 = r2
Derivando:
2 (x-2a) + 2y.dy = d (r2)
 dx
2 (x-2a) + 2y.dy = 0
 dx
m2 = dy = - 2 (x-2a) = - ( x - 2a )
 2y y 
Como el circulo corta en ángulo recto a la elipse, tomamos sus
pendientes.
m1 . m2 = - 1
 -b 2 x -(x - 2a) = - 1 
 a2y y
b 2 x ( x-2a ) = - 1
 a2.y2
b2x2 - 2ab2x = - a2y2
b2x2 + a2y2 = 2ab2x 
Tomamos la ecuación de la elipse:
b2 + a2 = a2b2
igualamos  y 
 
F'(-c,o) F(c,o) 
 
 
b2x2 + a2y2 = a2b2
b2x2 + a2y2 = 2ab2x
⇒ 2ab2x = a2b2
 x = a 2 b 2 = a .
 2ab2 2
Como en la ecuación de la elipse hay 2 incognitas "x" y "y",
sustituimos el valor de x = a y encontramos el valor de y.
 2 
b2x2 + a2y2 = a2b2
b2 a 2 + a2y2 = a2b2
 2
 
a 2 b 2 + a2y2 = a2b2
 4
a2y2 = a2b2 - a 2 b 2 
 4
a2y2 = 3a 2 b 2 
 4
y2 = 3a 2 b 2 = 3b 2 
 4a2 4
Como nos piden hallar el radio del circulo, sustitituimos: 
 x = a/2 y y2 = 3b2/4 en la ecuación del circulo de centro ( 2a , 0 ).
( x-2a)2 + y2 = r2 r2 = 9a 2 + 3b 2 
 4
 
F'(-c,o) F(c,o) 
 
 
 a -2a 2 + 3b 2 = r2 
 2 4 r = 9a 2 + 3b 2 = 1 √9a2 + 3b2 
 4 2
 - 3a 2 + 3b 2 = r2 r = √ 9a 2 + 3b 2 .
 2 4 2
3. Se une un punto cualquiera "p" de una elipse con los focos. Demostrar 
 que estas rectas forman con la normal a la curva en "p" ángulos agudos 
 iguales.
 Suponiendo la ecuación de la elipse:
 b2x2 + a2y2 = a2b2. y
 Encontrando su pendiente, derivando: P(x,y)
2b2x + 2a2y.dy = 0 
 dx 
dy = - 2 b 2 x = - b 2 x .
dx 2a2y a2y
Ahora la pendiente de la Normal sera:
 dx
- 1 = - 1 = a 2 y = Normal.
 m - b 2 x b2x
 a2y
Según el gráfico:
Pendiente FP = y - 0 = y ; Pendiente F'P = y - o = y .
 x - c x - c x - (-c) x + c
Aplicando la fórmula de un ángulo formado por 2 rectas:
tg θ = m2 - m1 .
 1 + m1.m2 
 
Primero para el ángulo α. 
 
 y - a 2 y 
tg α = x-c b 2 x .
 1 + a 2 y y .
 
F'(-c,o) F(c,o) 
 
 
 b2x x-c
 b 2 xy - (a 2 y ) (x-c) 
tg α = (x-c)b 2 x) = b 2 xy - a 2 xy + a 2 cy = xy (b 2 -a 2 ) + a 2 cy . 
 b 2 x(x-c) + a 2 y 2 b2x2 - b2xc + a2y2 b2x2 - b2xc + a2y2
 (b2x)(x-c)
Pero de la ecuación de la elipse :
b2x2 + a2y2 = a2b2 , despejamos a2y2
a2y2 = a2b2 - b2x2 
Y según la relación de la elipse:
a2 = b2 + c2
a2 - b2 = c2 
Sustituyendo estos valores  y  en tg α
tg α = xy (b 2 - a 2 ) + a 2 cy = - xy (a 2 -b 2 ) + a 2 cy . 
 b2x2 - b2xc + a2y2 b2x2 - b2xc + (a2b2 - b2x2)
tg α = - xy ( c 2 ) + a 2 cy = - c 2 xy + a 2 cy = cy ( a 2 - cx ) . 
 b2x2 - b2xc + a2b2 - b2x2 a2b2 - b2xc b2 (a2 - cx )
tg α = cy .
 b2
Luego calculando el ángulo β:
 a 2 y - y . a 2 y ( x+c)-b2 xy 
tg β = b 2 x x + c = (b 2 x )(x + c) = a 2 xy + a 2 cy - b 2 xy .
 1+ y a 2 y (x+c)(b 2 x)+a 2 y 2 b2x2 + b2cx + a2y2
 x+c b2x (x+c)(b2x) 
tg β = xy ( a 2 - b 2 ) + a 2 cy 
 
 b2x2 + b2cx + a2y2
Sustituyendo estos valores  y  en tg β 
tg β = xy (c 2 ) + a 2 cy = c 2 xy + a 2 cy = cy (cx+a 2 ) . 
 b2x2 + b2cx + a2b2 - b2x2 b2cx + a2b2 b2(cx+a2)
tg β = cy .
 b2
Como : tg α = tg β = cy . ⇒ sus ángulos son iguales, α = β 
 b2 
4. Demostrar que la recta Bx + Ay = AB es tangente a la elipse 
 b2x2 + a2y2 = a2b2.únicamente si se verifica que: B2a2 + A2b2 = A2B2
Para demostrar que la recta es tangente a la elipse, sus pendientes 
tienen que ser iguales.
Derivamos para cálcular la pendiente de Bx + Ay = AB 
d (Bx) + d (Ay) = d (AB)
dx dx dx
B.dx + A.dy = B + A.dy = 0
 dx dx dx
dy = _ B .
dx A
Pendiente de la elipse: b2x2 + a2y2 = a2b2 
d (b2x2) + d (a2y2) = d (a2b2)
dx dx dx
2b2x + 2a2y.dy = 0
 dx
 
dy = _ 2 b 2 x = _ b 2 x .
dx 2a2y a2y 
Igualando ambas pendientes:
_ B = _ b 2 x .
 A a2y
b 2 x = B .
a2y A
x = a 2 By  . Sustituyendo  en 
 Ab2
b2x2 + a2y2 = a2b2
b2 a 2 By 2 + a2y2 = a2b2
 Ab2
a4b2B2y2 + a2.A2.b4.y2 = a2.b2.A2.b4
a2.b2.y2(a2.B2 + A2.b2) = a2.b2.A2.b4
y2 = a 2 .b 2 .A 2 .b 4 .
 a2.b2(a2.B2 + A2.b2)
y = A 2 .b 4 . 
 (a2.B2 + A2.b2)
y = √ A 2 .b 4 = A.b 2 = A.b 2 = A .b 2 = b 2  
 √(a2.B2 + A2.b2) √(a2.B2 + A2.b2) √A2.B2 A.B B 
Como  esta en función de "y",entonces reemplazamos el valor 
de y en "x". x = a 2 By .
 Ab2 
 
 a 2 .B.A.b 2 . 
 
x = √ a 2 B 2 + A 2 b 2 = a 2 .B. A . b 2 . 
 A.b 2 A.b2 √a2B2 + A2b2 
 1
Pero: a2B2 + A2b2 = A2B2, reemplazando en "x".
x = a 2 .B = a 2 . B = a 2 .
 √A2B2 A.B A
x = a 2 .
 A
Sustituyendo ahora el valor de "x"e "y"en 
Bx + Ay = AB
B a 2 + A b 2 = AB
 A B
a 2 B + Ab 2 = AB
 A B
a 2 .B 2 + A 2 .b 2 = AB
 AB
a2B2 + A2b2 = A2B2 
B2a2 + A2b2 = A2B2 . { L.q.q.d. (Lo que se queria demostrar)}.

Problemas. Pagina 56
Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a las curvas 
siguientes en el punto dado.
2. y = x3 - 3x ; (2,2)
 
dy = 3x2 - 3 . Sustituyendo: P(2,2) en la derivada o pendiente.
dx
m = dy = 3 (2)2 - 3 = 12 - 3 = 9
 dx
Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m (x - x1)
y - 2 = 9 (x - 2)
y - 2 = 9x - 18
0 = 9x - y - 18 + 2 = 0
9x - y - 16 = 0
Ecuación de la Normal:
y - y1 = _ 1 (x - x1) 
 m1
y - 2 = - 1 (x - 2)
 9
9y - 18 = - x + 2
x + 9y - 20 = 0
3. y = 2x + 1 ; (2,5)
 3 - x
 (3-x).d (2x+1) - (2x+1).d (3-x)
dy = dx dx .
dx (3-x)2
 
dy = (3-x)(2) - (2x+1)(-1)
dx (3-x)2
dy = 6 - 2x + 2x + 1 
dx (3-x)2
m = dy = 7 . Pero: P (2,5)
 dx (3-x)2
m = 7 = 7 = 7 = 7 .
 (3 - 2)2 (1)2 1
Ecuación de la tangente:
y - y1 = m (x - x1)
y - 5 = 7 (x - 2)
y - 5 = 7x - 14 = 0
7x - y = - 9 = 0
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1
y - 5 = - 1 (x - 2)
 7
7y - 35 = - x + 2
x + 7y - 37 = 0
4. 2x2 - xy + y2 = 16 ; (3,2)
 
Derivando para encontrar la pendiente:
4x - {x.dy + y.dx } + 2y.dy = d (16) 
 dx dx dx dx
4x - x.dy - y ( 1 ) + 2y.dy = 0
 dx dx
4x - x.dy - y + 2y.dy = 0
 dx dx
dy (2y - x ) = y - 4x
dx
dy = y - 4x . Pero : P (3,2)
dx 2y - x
m = dy = 2 - 4(3) = 2 - 12 = - 10 = - 10
 dx 2(2) - 3 4 - 3 1
Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m(x - x1) . Sustituyendo: m = - 10 y P(3,2).
y - 2 = - 10 (x - 3)
y - 2 = - 10x + 30
10x + y - 32 = 0
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1
y - 2 = - 1 (x - 3 )
 
 -10
-10(y - 2) = - (x - 3) ; -10y + 20 = - x + 3 
x - 10y + 17 = 0
5. y2 + 2y - 4x + 4 = 0
2y.dy + 2.dy - 4.dx + d (4) = 0
 dx dx dx dx
2y.dy + 2.dy - 4(1) + 0 = 0
 dx dx
2y.dy + 2.dy - 4 = 0
 dx dx
2.dy ( y + 1) = 4
 dx
m = dy = 4 = 2 . Pero: P(1,-2)
 dx 2(y + 1) (y + 1)
m = 2 = 2 = - 2.
 (-2) + 1 -1
Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m (x - x1)
y - (-2) = - 2 (x - 1)
y + 2 = - 2x + 2
2x + y + 2 - 2 = 0
2x + y = 0
 
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
y - (-2) = - 1 (x - 1)
 -2
y + 2 = 1 (x - 1)
 2
2y + 4 = x - 1 = 2y + 4 .
x - 2y - 5 = 0
6. Obtener las ecuaciones de la tangente y de la normal en ( x1 , y1) a la 
 elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.
Derivando la curva: b2x2 + a2y2 = a2b2
2b2x + 2a2y.dy = d (a2b2)
 dx dx
2b2x + 2a2y.dy = 0
 dx
2a2y.dy = - 2b2x
 dx
dy = - 2 b 2 x = - b 2 x .
dx 2a2y a2y
m = - b 2 x .Pero : m1 = - b 2 x 1 .
 a2y a2y1 
Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m(x - x1) en el punto P (x1,y1)
y - y1 = - b 2 x 1 (x - x1)
 
 a2y1
a2y1 (y - y1) = - b2x1 (x - x1)
a2y1 y - a2y1.y1 = - b2x1.x + b2x1.x1
a2y1 y - a2y12 = - b2x1.x + b2x12
b2x1.x + a2y1.y = a2y12 + b2x12
Pero: b2x2 + a2y2 = a2b2
 b2x12 + a2y12 = a2b2
⇒ b2x1x + a2y1y = a2b2
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1
y - y1 = - 1 ( x - x1)
 -b 2 x 1
 a2y1
y - y1 = a 2 y 1 (x - x1)
 b2x1
b2x1 (y - y1) = a2y1 (x - x1) ;
b2x1.y - b2x1.y1 = a2y1.x - a2y1.x1
a2y1.x1 - b2x1.y1 = a2y1.x - b2x1.y
x1.y1 = (a2 - b2) = a2.y1.x - b2.x1.y . Ordenando:
a2.y1.x - b2.x1.y = x1.y1 = (a2 - b2)
7. Hallar las ecuaciones de la tangente y la Normal, y las longitudes de la sub- 
 
tangente y la sub-normal, en el punto(x1,y1) de la circunferencia x2 + y2 = r2.
Primeramente derivando la curva: x2 + y2 = r2.
2x + 2y.dy = 0
dy = - 2 x = - x .Ahora la pendiente en P (x1,y1)
dx 2y y 
m = - x1 .
 y1
Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m (x - x1)
y - y1 = - x1 (x - x1)
 y1
y1 (y - y1) = - x1 (x - x1)
y1.y - y1.y1 = - x1.x + x1.x1
y1.y - y12 = - x1.x + x12
x1x + y1y = y12 + x12
Pero: x2 + y2 = r2
 x12 + y12 = r2
Como: y12 + x12 = x12 + y12 = r2
⇒ x1x + y1y = r2
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1
y - y1 = - 1 (x - x1)
 
 -x1 
 y1
y - y1 = y1 (x - x1)
 x1
x1 (y - y1) = y1 (x - x1)
x1.y- x1.y1 = y1.x - y1.x1
y1x - x1y = x1y1 - y1x1 . ordenando:
y1x - x1y = x1y1 - x1y1
y1x - x1y = 0 o tambien : x1y - y1x = 0
Longitud de la sub-tangente:
 y1 . 
 m1
y1 = - y12
-x1 x1
y1
Longitud de la sub-normal:
m1.y1
 - x1 y1 = - x1.
 y1 
8. Demostrar que la sub-tangente de la parábola y2 = 2px es bisecada 
 por el vértice, y que la sub-normal es constante e igual a p.
Derivando para obtener la pendiente en P(x1,y1)
y2 = 2px
 
2y.dy = 2p.dx
 dx dx
dy = 2 p(1) = p . ⇒ m = p .
dx 2y y1 y1
Ecuación de la tangente:
y - y1 = m(x - x1)
y - y1 = p (x - x1)
 y1
y.y1 - y1.y1 = p.x - p.x1
y.y1 - y12 = p.x - p.x1
Pero, la ecuación de la parábola: y2 = 2px 
 y12= 2px1
⇒ y.y1 - 2px1 = p.x - p.x1
y.y1 - 2px1 + px1 - p.x = 0
y.y1 - p.x1 - p.x = 0 (ecuación de la tangente)
Luego encontrando la intercepción de la tangente con el eje "x".
y = 0 x = - x1 ⇒ las coordenadas de T (- x1, 0)
Por gráfico observamos que las coordenadas de M (x1,0) ⇒ 
demostraremos que TO = OM.
TO = {0 -(-x1) + (0 - 0)2} = ( x1 )2 = x1 = TO
OM = {(x1 - 0)2 + (0 - 0)2 = (x1)2 = x1
⇒ TO = OM.
 
Ahora demostraremos que "P" es igual a la sub-normal.
Según gráfico: MN = sub-normal.
MN = y1.m1 .sabiendo que m = p , ⇒ m1 = p .
 y1 y1
MN = y 1.m1 = y1.p = p
 
 y1
Obtener las ecuaciones de la Tangente y la Normal, y las longitudes de 
la sub-tangente y la sub-normal de cada una de las siguientes curvas en 
los puntos indicados.
9. ay = x2 ; (a,a)
y = x 2 = 1 .x2
 a a
dy = 1 (2x) en el punto (a,a)
dx a
dy = 2 a = 2 .
 
dx a .
Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m (x - x1) 
 
y - a = 2 (x - a)
y - a = 2x - 2a
2x - y - 2a + a = 0
 2x - y - a = 0
 
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
y - a = - 1 (x - a)
 2
2(y - a) = - (x - a)
2y - 2a = - x + a
x + 2y -2a - a = 0 = x + 2y - 3a.
Longitud de la sub-tangente:
y1 = a .
m1 2 
Longitud de la Sub-normal:
y1.m1
(a)(2) = 2a.
10. x2 - 4y2 = 9 ; (5,2)
Derivando para obtener la pendiente en P (5,2)
2x - 8y.dy = 0
 dx
2 x = dy = x = 5 = 5 .
8y dx 4y 4(2) 8
m = 5 .
 8
Ecuación de la Tangente:
 
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = 5 (x - 5)
 8
8(y - 2) = 5(x - 5)
8y - 16 = 5x - 25 = 5x - 8y - 25 + 16 = 5x - 8y - 9 = 0
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1
y - 2 = - 1 (x - 5)
 5 .
 8
y - 2 = - 8 (x - 5)
 5
5(y - 2) = - 8 (x - 5)
5y - 10 = - 8x + 40
8x + 5y - 10 - 40 = 8x + 5y - 50 = 0
Longitud de la sub-tangente: y1 = 2
 m1
Longitud de la Sub-normal: m1.y1 = 5 (2) = 10 = 5 .
 8 8 4
11. 9x2 + 4y2 = 72 ; (2,3).
Derivando para obtener la pendiente en P (2,3)
18x + 8y.dy = d (72)
 dx dx
 
18x + 8y.dy = 0
 dx
 9 3
m = dy = - 18 x = - 9x = - 9(2) = - 18 = - 3 . 
 dx 8 y 4y 4(3) 12 2
 4 2
Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m (x - x1)
y - 3 = - 3 (x - 2)
 2 
2(y - 3) = - 3 (x - 2)
2y - 6 = - 3x + 6
3x + 2y - 6 - 6 = 0 = 3x + 2y - 12 = 0
 
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1 
y - 3 = - - 3 (x - 2) . 
 2 
2(y - 3) = 3 (x - 2)
2y - 6 = 3x - 6
3x - 2y -6 + 6 = 0
3x - 2y = 0
Longitud de la Sub-tangente:
 
y1 = 3 = - 6 = - 2 .
m1 -3 3 .
 2
Longitud de la Sub-normal:
m1.y1 = - 3 (3) = - 9 .
 
 2 2
12. xy + y2 + 2 = 0 ; ( 3, - 2 ) .
Derivando para obtener la pendiente en P(3, - 2 )
x.dy + y.dx + 2y.dy + 0 = 0
 dx dx dx
x.dy + y (1) + 2y.dy = 0
 
 dx dx
x.dy + y + 2y.dy = 0 
 dx dx
dy (x + 2y) = - y
dx 
m = dy = - y = - (-2) = 2 = 2 = - 2.
 dx x + 2y 3 + 2(-2) 3 - 4 - 1
Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m (x - x1)
y - (-2) = -2(x - 3)
y + 2 = -2x + 6 
 
2x + y + 2 - 6 = 0
2x + y - 4 = 0
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1 
y - (-2) = - 1 (x - 3)
 -2
y + 2 = (x - 3 )
 2
2(y + 2) = x - 3
2y + 4 = x - 3
0 = x - 2y -3 - 4 = x - 2y - 7 = 0
Longitud de la Sub-tangente: y1 = - 2 = 1
 m1 - 2 
Longitud de la Sub-normal: m1.y1 = (-2)(-2) = 4
13. Cálcular el área del triángulo que forman el eje de las "x". y la 
 tangente y la normal a la curva y = 6x - x2 en el punto (5,5).
Derivamos para encontrar la pendiente en P(5,5).
y'= 6 - 2x
y'= 6 - 2(5) = 6 - 10 = - 4 = m .
m = - 4 .
Ecuación de la Tangente:
 
y - y1 = m (x - x1)
y - 5 = - 4(x - 5)
y - 5 = - 4x + 20 
4x + y - 5 - 20 = 0 
4x + y - 25 = 0 
Ahora encontramos la intercepción de la tangente con el eje "x".
Cuando y = 0 ; 4x + y - 25 = 0
 4x + 0 - 25 = 0
 4x = 25
 x = 25 . 
 4
N(25/4 , 0)
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1
y - 5 = - 1 (x - 5)
 - 4
= - 4(y - 5) = - (x - 5)
= - 4y + 20 = - x + 5
x - 4y + 20 - 5 = 0
x - 4y + 15 = 0
 Ahora encontramos la intercepción de la Normal con el eje de las "x".
Cuando y = 0 ; x - 4y + 15 = 0
x - 4(0) + 15 = 0
 
x - 0 + 15 = 0
x = - 15 ⇒ M( - 15, 0).
Cálculando la distancia MN = base del triángulo.
 
 {25 - (- 15)}2 + (0 - 0)2 = 25 + 15 2 = 85 2 = 85 .
 4 4 4 4
Area del Triángulo PMN = b . h .
 2
Base = 85 ; h = PS = 5
 4
 85 ( 5). 
 4 = 85 . 5. 1 = 425 unidades2. 
 2 4(2) 8
14. Hallar el área del triángulo que forman el eje de las "y" ,
 la tangente y la normal a la curva y2 = 9 - x en el punto (5,2)
Derivamos para encontrar la pendiente en el punto(5,2).
y2 = 9 - x
2y.dy = 0 - dx .
 dx dx
2y.dy = - 1
 dx
 m = dy = - 1 = - 1 = - 1 .
 dx 2y 2(2) 4
Ecuación de la Tangente:
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = - 1 (x - 5)
 4
 
4(y - 2) = - (x - 5)
4y - 8 = - x + 5
x + 4y - 8 - 5 = 0
x + 4y - 13 = 0
El intercepto con el eje "y".
Cuando x = 0 ; x + 4y - 13 = 0
0 + 4y - 13 = 0
4y = 13
y = 13 . M(0 ,13/4)
 4
Ecuación de la Normal:
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1
y - 2 = - 1 (x - 5)- 1 .
 4 
y - 2 = 4 (x - 5)
y - 2 = 4x - 20
4x - y - 18 = 0
El intercepto de la normal con el eje "y".
Cuando x = 0 ; 4x - y - 18 = 0
 
4(0) - y - 18 = 0
0 - y - 18 = 0
= - 18 = y = - 18
N(0 , - 18)
Cálculando la distancia MN = base del triángulo.
MN = (0 - 0)2 + (- 18 - 13/4)2 = (- 85/4)2 = 85/4.
Area del triángulo = b.h .
 2 
base = MN = 85/4.
Altura = 5 ( por gráfico se encontro esta altura).
 85 (5)
 4 = 85 . 5 . 1 = 425 unidades2. 
 2 4 . 2 8
 1
Hallar los ángulos de intercepción de cada uno de los siguientes pares 
de curvas.
15. y2 = x + 1 , x2 + y2 = 13
Primero encontramos los puntos de intercepción.
y2 = x + 1 
x2 + y2 = 13 
y2 = x + 1 
y2 = 13 - x2 
 
x + 1 = 13 - x2
x2 + x - 12 = 0
(x + 4) (x - 3) = 0
Interceptos:
 
x = - 4 M ( 3 , 2 ) ; R ( - 4 , √3 i ) 
 x = 3 N ( 3 , - 2 ) ; S ( - 4 , - √3 i )
Ahora encontramos las pendientes de cada curva.
y2 = x + 1 
2y.dy = dx + 0
 dx dx
2y.dy = 1 ; m1 = dy = 1 . 
 dx dx 2y
Sustituyendo para (3,2). dy = 1 = 1 .
 dx (2)(2) 4
x2 + y2 = 13 
2x + 2y.dy = 0
 dx
m2 = dy = - 2 x = - x . Para (3,2) ; m2 = - 3 .
 dx 2y y 2
Concluimos encontrando el ángulo de intercepción.
 - 3 - 1 - 6 - 1 - 7 .
tg θ = m2 - m1 = 2 4 = 4 4 = 4 = - 56 = 
 1 + m1 . m2 1 + ( -3 ) ( 1 ) 1 - 3 5 20
 
 2 4 8 8
tg θ = - 14 . → θ = arc tg ( - 14 ) = 1090 39' 13".
 5 5
16. y = 6 - x2 ; 7x2 + y2 = 32
Primero encontramos los puntos de intercepción.
y = 6 - x2  
7x2 + y2 = 32 
x2 = 6 - y 
x2 = 32 - y 2 
 7 
6 - y = 32 - y 2 .
 7
7(6 - y) = 32 - y2
42 - 7y = 32 - y2
y2 - 7y + 42 - 32 = 0
y2 - 7y + 10 = 0
(y - 5 ) (y - 2 ) = 0
y = 5 Sustituyendo en  y  los valores de "y".
y = 2 x2 = 6 - y = 6 - 5 = 1 . x = ± 1. ⇒ M(1 , 5) 
 M(-1, 5)
x2 = 32 - y 2 = 32 - 4 = 28 = 4. → x = ± 2. ⇒ N(2 , 2) 
 7 7 7 N(-2 , 2)
Ahora encontramos las pendientes de cada curva, trabajamos 
 
para esto con los valores positivos, M(1,5) ; N(2,2)
Para N(2,2).
y = 6 - x2 
m2 = dy = 0 - 2x = - 2x = - 2(2) = - 4
 dx
7x2 + y2 = 32 
14x + 2y.dy = 0
 dx
m1 = dy = - 14 x = - 7x = - 7( 2 ) = - 7.
 dx 2y y 2
Concluimos encontrando el ángulo de intercepción para (2,2).
tg θ = m2 - m1 = - 4 - (- 7) = - 4 + 7 = 3 = 0,1034482758621
 1 + m1.m2 1 + (-7)(- 4) 1 + (28) 29
θ = arc tg (0,1034482758621) = 50 54' 22".
El valor de las pendientes de cada curva en (1,5)
m1 = - 2x = - 2( 1 ) = - 2.
m2 = - 7x = - 7 ( 1 ) = - 7 .
 y 5 5
Concluimos encontrando el ángulo de intercepción para (1,5)
Tg θ = m2 - m1 = - 7/5 - (- 2) = - 7/5 + 2 = 3/5 = 3 .
 1 + m1.m2 1 + (-2)(-7/5) 1 + 14/5 19/5 19
Tg θ = 3 → θ = arc tg ( 3 ) = 0,1578947368421 = 80 58' 21".
 19 19
 
 
17. y = x2 ; y2 - 3y = 2x
y = x2 
y2 - 3y = 2x 
Sustituyendo  en 
(x2)2 - 3(x2) = 2x
x4 - 3x2 - 2x = 0
x(x3 - 3x - 2 ) = 0
x = 0
x3 - 3x - 2 = 0
(x + 1) (x+ 1) (x - 2) = 0
x + 1 = 0
x = - 1
x - 2 = 0
x = 2

 
Cálcular los Máximos y Mínimos de cada una de las
Funciones Siguientes. Página 69.
1. x3 - 6x2 + 9x
Primeramente derivamos:
f(x) = x3 - 6x2 + 9x.
f '(x) = 3x2 - 12x + 9.
Luego igualamos la primera derivada igual a cero.
f '(x) = 3x2 - 12x + 9 = 3(x2 - 4x + 3 ) = 0.
f '(x) = (x - 3)(x - 1) = 0 de donde:
 x = 3 ; x = 1, estos serian los valores críticos.
Luego: Para x = 3, se toma un número menor a 3, el más 
pequeño, se sustituye en la primera derivada.
x < 3 = 2,9.
f '(x) = (x - 3)(x - 1)
f '(x) = ( 2,9 - 3 )( 2,9 - 1 ) = (- 0,1 ) ( + 1,9) = - 0,19 . 
Para esta clase de resultados, no es necesario hacer el próceso 
numérico, solamente interesa el signo. 
Asi en el caso: (- 0,1) ( + 1,9) = " - " . 
Este signo negativo lo almacenamos como un primer resultado.
 
Luego:Para x = 3,se toma un número mayor que 3, el más 
pequeño,este se sustituye en la primera derivada.
x > 3 = 3,1
f '(x) = (x - 3)(x - 1).
f '(x) = (3,1 - 3)(3,1 - 1) = (+) (+) = " + ".
Este signo positivo seria el segundo resultado
 
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ", 
la función tiene un valor Mínimo .
Para saber cuanto es este valor Mínimo, reemplazamos el 
valor crítico: x = 3 en f (x).
f(x) = x3 - 6x2 + 9x.
f(3) = 33 - 6(3)2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 54 - 54 = 0
⇒ en, x = 3 hay un Mínimo = 0.
Tomando el otro valor crítico: x = 1.
Se toma un número menor que 1, el más pequeño,este se susti- 
tuye en la primera derivada.
x < 1 = 0,9.
f '(x) = (x - 3)(x - 1)
f '(x) = (0,9 -3)(0,9 -1) = ( - )( - ) = " + ". 
Este signo es el primer resultado.
Luego: para x = 1, se toma un número mayor que 1, el más 
pequeño,este se sustituye en la primera derivada.
x > 1 = 1,1.
f '(x) = (x - 3)(x - 1).
f '(x) = (1,1 - 3)(1,1 - 1) = (-) (+) = "-". Este signo negativo es el 
segundo resultado. Puesto que el signo de la derivada cambia 
de " + " a " - ", la función tiene un valor "Máximo".
Para saber cuanto es este valor Máximo, reemplazamos el 
valor crítico , x = 1 en f (x).
f(x) = x3 - 6x2 + 9x.
f(1) = 13 - 6(1)2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4
⇒ en, x = 1 hay un Máximo = 4
2. 10 + 12x - 3x2 - 2x3
f(x) = 10 + 12x - 3x2 - 2x3
f '(x) = 12(1) - 6x - 6x2 = 12 - 6x - 6x2.
 
f '(x) = - 6 (- 2 + x + x2) = 0
f '(x) = - 6 (x2 + x - 2) = 0
f '(x) = - 6(x + 2) (x - 1) = 0
 (x + 2) = 0
 x = - 2.
 (x - 1) = 0
 x = + 1.
Primero para x = - 2.
x < - 2 = - 2,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1)
f '(x) = - 6 (- 2,1 + 2)(- 2,1 - 1)
f '(x) = - 6 ( - )( - ) = " - ".
Luego: x > - 2 = - 1,9.
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1)
f '(x) = - 6 (- 1,9 + 2)(- 1,9 - 1)
f '(x) = - ( + )( - ) = " + ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "-"a "+" la 
función tiene un valor Mínimo .
Sustituimos x = -2 en f(x) para encontrar el valor númerico del
Mínimo. 
f(x) = 10 + 12x - 3x2 - 2x3
f(- 2) = 10 + 12(- 2) - 3(- 2)2 - 2(- 2)3
f(- 2) = 10 - 24 - 12 + 16 = 26 - 36 = - 10.
f(- 2) = - 10.
⇒ en x = - 2 hay un Mínimo = - 10.
Para x = 1
x < 1 = 0,9.
 
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1)
f '(x) = - 6 (0,9 + 2)(0,9 - 1) 
f '(x) = - ( + )( - ) = "+".
Luego:
x > 1 = 1,1.
Se sustituye este valor en la primera derivada:
f '(x) = - 6 (x + 2)(x - 1)
f '(x) = - 6 (1,1 + 2)(1,1 - 1)f '(x) = - 6 ( + )( + ) = "-".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "+ "a "- " la 
función tiene un valor Máximo.
Sustituimos x = 1 en f(x) para encontrar el valor numérico del 
Máximo. f(x) = 10 + 12x - 3x2 - 2x3
f(1) = 10 + 12(1) - 3(1)2 - 2(1)3
f(1) = 10 + 12 - 3 - 2 = 17
⇒ en x = 1 , hay un Máximo = 17.
3. 2x3 + 3x2 + 12x - 4.
f(x) = 2x3 + 3x2 + 12x - 4.
f '(x) = 6x2 + 6x + 12.
f '(x) = 6(x2 + x + 2).
El trinomio (x2 + x + 2) no se puede factorizar, ⇒ la función 
no tiene ni Máximos ni Mínimos.
4. x3 + 2x2 - 15x -20.
f(x) = x3 + 2x2 - 15x -20.
f '(x) = 3x2 + 4x - 15.
 
f '(x) = (3x)2 + 4(3x) - 45 = 0
f '(x) = ( 3 x + 9 ) (3x - 5) = 0 
 3 x 1
f '(x) = (x + 3) (3x - 5) = 0
 (x + 3) = 0
 x = - 3.
 (3x - 5) = 0
 x = 5 .
 3
Primero cálculamos para x = - 3.
x < - 3 = - 3,1.
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = (x + 3) (3x - 5)
f '(x) = (- 3,1 + 3) [3(- 3,1) - 5] = 0
f '(x) = ( - 0,1 ) (- 9,1 - 5) = 0
f '(x) = ( - ) ( - ) = " + ".
Luego:
x > - 3 = - 2,9.
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = (x + 3) (3x - 5)
f '(x) = (- 2,9 + 3) [3(- 2,9) - 5]
f '(x) = ( + 0,1) ( - 5,7 - 5)
f '(x) = ( + ) ( - ) = "-".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "+"a "-"la 
función tiene un valor Máximo .
Sustituimos x = - 3 en f (x) para encontrar el valor del Máximo.
f(x) = x3 + 2x2 - 15x -20.
f(- 3) = (- 3)3 + 2(- 3)2 - 15(- 3) - 20
 
f(x) = - 27 + 18 + 45 - 20 = - 47 + 63 = + 16. 
⇒ en x = - 3 hay un Máximo = 16.
Para x = 5/3.
x < 5/3 = 4/3.
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = (x + 3) (3x - 5).
f '(x) = (- 4/3 + 3) [3(-4/3 - 5]
f '(x) = (-4/3 + 9/3) [3(- 4/3) - 5]
f '(x) = (+ 5/3 ) (- 12/3 - 5)
f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".
Luego: x > 5/3 = 6/3
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = (x + 3) (3x - 5).
f '(x) = (6/3 + 3) [3(6/3) - 5]
f '(x) = ( 6/3 + 9/3) [3(6/3) - 5)] = (15/3) (18/3 -15/3)
f '(x) = ( + ) ( + ) = " + ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "- "a "+ " la 
función tiene un valor Mínimo .
Sustituimos x = 5/3 en f (x ) para encontrar el valor Mínimo.
f(x) = x3 + 2x2 - 15x -20.
f( 5/3) = (5/3)3 + 2(5/3)2 - 15(5/3) -20.
f( 5/3) = 125/27 + 2(25/9) - 75/3 - 20
f( 5/3) = 125/27 + 50/9 - 675/27 - 540/27
f( 5/3) = 125/27 + 150/27 - 675/27 - 540/27
f( 5/3) = 275/27 - 1215/27
f( 5/3) = - 940/27
⇒ en x = 5/3 hay un Mínimo = - 940/27. 
5. 2x2 - x4
f (x) = 2x2 - x4
 
f '(x) = 4x - 4x3
f '(x) = 4x(1 - x2) = 0
4x = 0
x = 0
1 - x2 = 0 
1 = x2 = 1
x = ± 1
Valores Críticos: x = 0 , x = 1 , x = - 1
Para x = 0
x < 0 = - 0,1
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4x(1 - x2)
f '(- 0,1) = 4x(1 + x)(1 - x)
f '(- 0,1) = 4(- 0,1)[1 +(-0,1) ][1 - (-0,1)]
f '(- 0,1) = (- 4,1) (1 - 0,1) (1 + 0,1)
f '(- 0,1) = ( - ) ( + ) ( + ) = " - ".
Luego: x > 0 = 0,1
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)
f '(0,1) = 4(0,1)(1 + 0,1)(1 - 0,1)
f '(0,1) = (+ 4,4)(+ 1,1)(+ 0,9)
f '(0,1) = ( + ) ( + ) ( + ) = " + ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - "a " + "
la función tiene un valor Mínimo .
Sustituimos x = 0 en f (x) para encontrar el valor Mínimo.
f (x) = 2x2 - x4
f (0) = 2(0)2 - (0)4
f (0) = 0 - 0.
⇒ en x = 0 existe un Mínimo = 0.
Para: x = 1
x < 1 = 0,9, Se sustituye este valor en la primera derivada.
 
f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)
f '(0,9) = 4(0,9)(1 + 0,9)(1 - 0,9)
f '(0,9) = ( + )( + )( + ) = " + " .
Luego:x >1 = 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)
f '(1,1) = 4(1,1)(1 + 1,1)(1 - 1,1)
f '(1,1) = ( + )( + )( - ) = "-".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "+" a "-" la 
función tiene un valor Máximo.
Sustituimos x = 1 en f (x) para encontrar el valor Máximo.
f(x) = 2x2 - x4
f (1) = 2(1)2 - (1)4
f (1) = 2 - 1 = 1
f (1 ) = 1
⇒ en x = 1 existe un Máximo = 1.
Para: x = - 1.
x < - 1 = - 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)
f '(-1,1) = 4(- 1,1)[1 + (- 1,1)] [1 - (- 1,1)]
f '(-1,1) = (- 4,4)(1 - 1,1)(1 + 1,1)
f '(-1,1) = ( - )( - )( + ) = "+". 
Luego: x > -1 = - 0,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4x(1 + x)(1 - x)
f '( - 0,9) = 4(- 0,9)[1 + (-0,9)] 1 - (- 0,9)]
f '( - 0,9) = ( -3,6) (1 - 0,9) (1 + 0,9)
f '( - 0,9) = ( - ) ( + ) ( + ) = " - ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "+ "a "-" la 
función tiene un valor Máximo.
Como colofon sustituimos x = - 1 en f (x) para encontrar el 
valor Máximo.
f (x) = 2x2 - x4
 
f (-1) = 2(-1)2 - (-1)4 = 2 - 1 = 1
⇒ en x = - 1 existe un Máximo = 1. 
6. x4 - 4x
f (x) = x4 - 4x
f '(x) = 4x3 - 4
f '(x) = 4 (x3 - 1) = 0
x3 - 1 = 0 . ⇒ x = 1 .
Para : x = 1
x < 1 = 0,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4 (x3 - 1)
f '(x) = 4 [(0,9)3 - 1]
f '(x) = 4 [(0,729 - 1]
f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".
Luego: x > 1 = 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4 [(1,1)3 - 1]
f '(x) = 4 (1,331 - 1)
f '(x) = ( + ) ( + ) = "+".
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " la
función tiene un valor Mínimo.
Sustituimos x = 1 en f (x), para encontrar el valor Mínimo.
f (x) = x4 - 4x
f (1) = (1)4 - 4(1)
f (1) = 1 - 4 = - 3
f (1) = - 3.
⇒ en x = 1 existe un Minimo = - 3.
7. x4 - x2 + 1.
f (x) = x4 - x2 + 1.
f '(x) = 4x3 - 2x = 0.
f '(x) = 4x(x2 - 1 ) = 0.
 
 2
x = 0
x2 - 1 = 0
 2 
x2 = 1 = 1 = √ 2 .
 2 √2 2
x = ± √ 2 .
 2
 
 x = 0
Valores Críticos: x = + √ 2 
 2
 x = - √ 2 
 2
Para: x = 0
x < 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4x(x2 - 1/2) = 0.
f '(x) = 4(- 0,1) [(- 0,1)2 - 1]
f '(x) = (- 4,4) [0,01 - 1)
f '(x) = ( - ) ( - ) = "+".
Luego: x > 0 = 0,1 , al igual que la anterior se reemplaza en f '(x).
f '(x) = 4(0,1) [(0,1)2 - 1]
f '(x) = (0,4) (0,01 - 1)
f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - " la 
función tiene un valor Máximo.
Sustituimos x = 0 en f (x), para encontrar el valor Máximo.
f (x) = x4 - x2 + 1.
f (0) = (0)4 - (0)2 + 1 = 0 - 0 + 1.
f (0) = 1.
 
 
⇒ en x = 0 hay un Máximo = 1
Para: x = + √ 2 = 1,414213562373 = 0,7071067811865
 2 2
x < 0,7071… = 0,7. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4x(x2 - 1/2) = 0.
f '(x) = 4(0,7) [(0,7)2 - 1/2]
f '(x) = (2,8) [(0,49 - 0,5]
f '(x) = ( + ) ( - ) = " - ".
Luego: x > 0,7071… = 0,71. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = 4(0,71) [(0,71)2 - 1/2) 
f '(x) = (2,84) [0,5041 - 0,5]
f '(x) = ( + ) ( + ) = " + ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "-"a "+" la 
función tiene un valor Mínimo. 
Sustituimos x = √2/2 ,en f(x) para encontrar el valor Mínimo.
f (x) = x4 - x2 + 1.
f(√2/2) = (2/2)4 - (√2/2)2 + 1 
f(√2/2) = ( √ 2) 4 - ( √ 2) 2 + 1
 24 22
 3
f(√2/2) = 4 - 2 + 1 = 4 - 8 + 16 = 12 = 3 .
 16 4 16 16 16 16 4
 4
 
⇒ en x = √ 2 hay un Mínimo = 3 .
 2 4 
 
Para:x = - √ 2 = - 1,414213562373 = - 0,7071067811865 
 2 2 
x < - 0,7071… = - 0,71. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 4(- 0,71) [(- 0,71)2 - 1/2]
 
f '(x) = (- 2,84) (0,5041 - 0,5)
f '(x) = ( - ) ( + ) = " - ".
Luego: x > - 0,7071 = - 0,69 .
Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
f '(x) = 4x(x2 - 1/2) = 0.
f '(- 0,69) = 4(-0,69) [(- 0,69)2 - 1/2] 
f '(- 0,69) = (- 2.76) (0.4761 - 0,5)
f '(- 0,69) = ( - ) ( - ) = "+".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "-"a "+" la 
función tiene un Mínimo . Sustituimos x = - √2/2 en f (x ) para 
encontrar el Mínimo. 
 
f (x) = x4 - x2 + 1
f (- √2/2) = - √ 2 4 - - √ 2 2 + 1 
 2 2
f (- √2/2) = 4 - 2 + 1 = 4 - 8 + 16 = 20 - 8 = 12 = 3 . 
 16 4 16 16 16 16 16 16 4
⇒ en x = - √ 2 hay un Mínimo = 3 .
 2 4
8. 3x4 - 4x3 - 12x2
f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2
f '(x) = 12x3 - 12x2 - 24x.
f '(x) = 12x(x2 -x - 2) = 0
f '(x) = x (x - 2) (x + 1) = 0
Valores Críticos : x = 0 ; x = 2 ; x = - 1.
 
Para: x = 0
x < 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en la primera deriovada.
f '(x) = x (x -2) (x + 1)
f '(x) = (-0,1) (- 0,1 - 2) (- 0,1 +1)
f '(x) = ( - ) ( - ) ( + ) = "+ ".
Luego: x > 0 = 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = x (x -2) (x + 1)
f '(x) = (0,1) ( 0,1 -2 ) (0,1 + 1)
f '(x) = ( + ) ( - ) ( + ) = "-".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "+ "a "- " la 
funcion tiene un valor Máximo. 
Sustituimos x = 0 en f(x) para encontrar el valor Máximo.
f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2
f(x) = 3(0)4 - 4(0)3 - 12(0)2
f(x) = 0 - 0 - 0 = 0
 
 Cuando : x = 0
 Máximo = 0
Para : x = 2
x < 2 = 1,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = x (x -2) (x + 1)
f '(x) = (1,9) (1,9 -2) (1,9 + 1)
f '(x) = ( + ) ( - ) ( + ) = " - ".
Luego: x > 2 = 2,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = x (x -2) (x + 1)
f '(x) = (2,1)( (2,1 -2) (2,1 + 1)
( + ) ( + ) ( + ) = "+".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "- " a "+" la 
función tiene un valor Mínimo .
 
Sustituimos x = 2 en f(x) para encontrar el valor Mínimo. 
f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2
f(2) = 3(2)4 - 4(2)3 - 12(2)2 = 48 - 32 - 48 = - 32
f(2) = - 32. 
⇒ en x = 2 existe un Mínimo = - 32.
Para: x = - 1.
x < - 1 = - 1,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = x (x -2) (x + 1)
f '(x) = (- 1,1) (-1,1 -2) (- 1,1 + 1)
f '(x) = ( - ) ( - ) ( - ) = " - ".
Luego: x > - 1 = - 0,9. 
Se sustituye este este valor en la primera derivada
f '(x) = (- 0,9) (- 0,9 -2) (- 0,9 + 1)
f '(x) = ( - ) ( - ) ( + ) = " + ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " la x 
función tiene un valor Mínimo. 
Sustituimos x = - 1 en f(x) para encontrar el valor Mínimo.
f(x) = 3x4 - 4x3 - 12x2.
f(-1) = 3(-1)4 - 4(-1)3 - 12(-1)2
f(-1) = 3(1) - 4(-1) - 12(1) = 3 + 4 - 12.
f(-1) = - 5.
⇒ en x = - 1 existe un Mínimo = - 5
9. x5 - 5x4. 
f(x) = x5 - 5x4.
f '(x) = 5x4 - 20x3.
f '(x) = 5x4 - 20x3 = 0
 
f '(x) = 5x3(x - 4) = 0
f '(x) = x3 = 0.
 x = 0.
 x - 4 = 0.
 x = 4.
Para: x = 0
x < 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 5x3(x - 4)
f '(x) = (+ 5)(- 0,1)3 [(- 0,1) - 4].
f '(x) = (+ 5)(- 0,001) (- 4,1)
f '(x) = ( + ) ( - ) ( - ) = " + ". 
Luego: x > 0 = 0,1. Se sustituye en la primera derivada.
f '(x) = 5x3(x - 4)
f '(x) = 5(0,1)3 [(0,1) - 4]
f '(x) = (5)( 0.001) ( 0,1 - 4)
f '(x) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - " la 
función tiene un valor Máximo.
Sustituimos x = 0 en f(x) para encontrar el valor Máximo.
f(x) = x5 - 5x4
f(0) = (0)5 - 5(0)4 = 0 - 0 = 0 
⇒ en x = 0 hay un Máximo = 0 .
Para: x = 4
x < 4 = 3,9. Sustituimos este valor en la primera derivada.
f '(x) = 5x3(x - 4)
f '(x) = 5(3,9)3 (3,9 - 4)
f '(x) = (5)(59.319)( - )
f '(x) = ( + ) ( + ) ( - ) = ''-".
Luego: x > 4 = 4,1. Sustituimos este valor en la primera derivada.
 
f '(x) = 5x3(x - 4)
f '(x) = 5(4,1)3(4,1 - 4)
f '(x) = (+ 5) (68.921) (+ 0,1)
f '(x) = ( + ) ( + ) ( + ) = " + ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a "+" la 
función tiene un valor Mínimo. 
Sustituimos x = 4 en f(x) para encontrar el valor Mínimo. 
f(x) = x5 - 5x4
f(4) = (4)5 - 5(4)4
f(4) = 1024 - 1280 = - 256
⇒ en x = 4 existe un Mínimo = - 256.
10. 3x5 - 20x3 
f(x) = 3x5 - 20x3
f '(x) = 15x4 - 60x2
f '(x) = 15x2(x2 - 4) = 0
f '(x) = x2(x + 2)(x - 2) = 0
x2 = 0
x = 0
x + 2 = 0
x = - 2
x - 2 = 0
x = 2
Valores Críticos : x = 0 ; x = - 2 ; x = 2 .
Para: x = 0
x < 0 = - 0,1. Se reemplaza este valor en la primera derivada.
f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)
f '(- 0,1) = (- 0,1)2(- 0,1 + 2)(- 0,1 - 2)
f '(- 0,1) = ( + 0.01) ( + ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".
 
Luego: x > 0 = 0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)
f '(0,1) = (+ 0,1)2(0,1 + 2)(0,1 - 2)
f '(0,1) = ( + ) ( + ) ( - ) = "-".
Puesto que el signo de la derivada no cambia de signo 
⇒ No hay ni Máximos ni Mínimos.
Para: x = -2
x < - 2 = - 2,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)
f '(- 2,1) = (- 2,1)2(- 2,1 + 2)(- 2,1 - 2)
f '(- 2,1) = ( + ) ( - ) ( - ) = "+".
Luego: x > - 2 = - 1,9. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)
f '(- 1,9) = (-1,9)2(-1,9 + 2)(-1,9 - 2).
f '(- 1,9) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".
Puesto que el signo de la derivada cambia de "+" a "-" la 
función tiene un valor Máximo. 
Sustituimos x = - 2 en f(x) para encontrar el valor Máximo.
f(x) = 3x5 - 20x3.
f( - 2) = 3(-2)5 - 20(-2)3.
f( - 2) = 3( - 32) - 20(- 8) = - 96 + 160 = 64.
⇒ en x = - 2 existe un Máximo = 64.
Para: x = 2.
x < 2 = 1,9. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)
f '(1,9) = (1,9)2(1,9 + 2)(1,9 - 2)
f '(1,9) = ( + ) ( + ) ( - ) = "-".
Luego: x > 2 = 2,1. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
f '(x) = x2(x + 2)(x - 2)
f '(2,1) = (2,1)2(2,1 + 2)(2,1 - 2)
f '(2,1) =`( + ) ( + ) ( + ) = "+".
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ",la 
 
función tiene un valor Mínimo. 
Sustituimos x = 2 en f(x) para encontrar el valor Mínimo.
f(x) = 3x5 - 20x3.
f(2) = 3(2)5 - 20(2)3 = 96 - 160 = - 64.
f(2) = - 64.
⇒ en x = 2 existe un Mínimo = - 64.
11. x2 + 2a 3 .
 x
f(x) = x2 + 2a 3 .
 x
f (x) = x2 + 2a3.x-1
f '(x) = 2x + (2a3)(- 1)(x -1-1)
f '(x) = 2x + -(2a3)(x -2) = 2x _ 2a 3 = 2x 3 - 2a 3 = 2(x3 - a3) . 
 x2 x2
f '(x) = 2(x - a)(x2 + ax + a2) = 0
x - a = 0
x = a
x2 + ax + a2 = 0 no se puede factorizar. 
Para: x = a.
x < a = 0,9a. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 2(x - a)(x2 + ax + a2)
f '(0,9a) = [2(0,9a - a)] [(0,9a)2 + a(0,9a) + a2)]
f '(0,9a) = 2( - ) ( + ) = " - ".
Luego: x > a = 1,1a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
f '(x) = 2(x - a)(x2 + ax + a2)
f '(1,1a) = 2(1,1a - a) [(1,1a)2 + a(1,1a) + a2)
f '(1,1a) = 2 ( + ) ( + ) = "+".
 
Puesto que el signo de la derivada cambia de "-" a "+", la 
función tiene un valor Mínimo . 
Sustituimos x = a en f(x) para encontrar el valor Mínimo. 
f(x) = x2 + 2a 3 .
 x
f(a) = (a)2 + 2a 3 .
 a 
f(a)= a2 + 2a2 = 3a3.
⇒ en x = a existe un Mínimo = 3a3.
12. 2x - a 3 .
 x2
f(x) = 2x - a 3 . 
 x2
f(x) = 2x - a3.x -2
f '(x) = 2 - a3.(-2x -2-1) = 2 + 2a3x -3 = 2 + 2a 3 = 2x 3 + 2a 3 = 0.
 x3 x3
f '(x) = 2(x3 + a3) = 0
(x + a)(x2 - ax + x2) = 0 . 
x + a = 0
x = - a
x2 - ax + x2 = 0 no se puede factorizar.
Valor Crítico : x = - a .
Para: x < - a = - 1,1a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
f '(x) = 2x 3 + 2a 3 
 x3
f '(x) = 2(- 1,1a) 3 + 2a 3 = 2( - 1,331a 3 ) + 2a 3 = - 2,662a 3 + 2a 3 
 
 (- 1,1a)3 -1,331a3 -1,331a3
f '(x) = ( - ) = " + " .
 ( - )
Luego: x > - a =- 0,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
f '(x) = 2x 3 + 2a 3 
 x3
f '(x) = 2(- 0,9a) 3 + 2a 3 = - 1,8a 3 + 2a 3 = ( + ) = " - " .
 x3 (- 0,9a)3 ( - )
Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - ", la 
función tiene un valor Máximo. 
Sustituimos x = -a en f(x) para encontrar el Máximo. 
f(x) = 2x - a 3 .
 x2
f(-a) = 2(-a) - a 3 = - 2a - a 3 = - 2a - a .
 (-a)2 a2
f(-a) = - 3a.
⇒ en x = - a hay un Máximo = - 3a.
13. x2 + a 4 .
 x2
f (x) = x2 + a 4 = x2 + a4.x -2
 x2
f '(x) = 2x + a4(-2x -2-1) = 2x - 2a4x-3 = 2x - 2a 4 = 2x 4 - 2a 4 = 0
 x3 x3
f '(x) = 2x4 - 2a4 = 2(x4 - a4) = 0
 
f '(x) = (x4 - a4) = (x2 + a2)(x2 - a2) = 0
f '(x) = x2 + a2 = 0
x2 = - a2
x = √-a2 = a.i ( imaginario).
x2 - a2 = 0
x2 = a2
x = ± a .
Para: x = a . Tomamos un x< a = 0,9a.
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 2x 4 - 2a 4 
 x3
f '(0,9a) = 2(0,9a) 4 - 2a 4 = 2 (0,6561a 4 ) - 2a 4 = 1,3122a 4 - 2a 4 
 (0,9a)3 0,729a3 0,729a3 
 f '(0,9a) = ( - ) = " - ".
 ( + )
Luego: x > a = 1,1a. 
Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 2x 4 - 2a 4 
 x3
f '(x) = 2(1,1a) 4 - 2a 4 = 2(1,4641a 4 ) - 2a 4 = 2,9282a 4 - 2a 4 = 
 (1,1a)3 1,331a3 1,331a3 
f '(x) = ( + ) = "+".
 ( + ) 
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ", la 
función tiene un Mínimo. 
 
Sustituimos x = a en f(x) para encontrar el valor Mínimo.
f(x) = x2 + a 4 .
 x2
f(a) = a2 + a 4 .
 a2 
f(a) = a2 + a2 = 2a2.
⇒ en x = a hay un Mínimo = 2a2.
Para: x = - a.
x < - a = - 1,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = 2x 4 - 2a 4 
 x3
f '(-1,1a) = 2(-1,1a) 4 - 2a 4 = 2(1,4641a 4 ) - 2a 4 = 2,9282a 4 - 2a 4 . 
 (-1,1a)3 - 1,331a3 - 1,331a3 
 
f '(-1,1a) = ( + ) = " - ".
 ( - )
Luego: x > -a = - 0,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
f '(x) = 2x 4 - 2a 4 
 x3
f '(- 0,9a) = 2(- 0,9a) 4 - 2a 4 = 2(0,6561a 4 ) - 2a 4 = 
 (- 0,9a)3 - 0,729a3 
 
f '(- 0,9a) = 0,86093442a 4 - 2a 4 = ( - ) = " + ".
 - 0,729a3 ( - ) 
 
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + ", la 
función tiene un valor Minimo. 
 
Sustituimos x = - a en f (x) para encontrar el valor Mínimo.
f (x) = x2 + a 4 .
 x2 
 f (- a) = (- a)2 + a 4 = a2 + a 4 = a2 + a2 = 2a2.
 (- a)2 a2
 
⇒ en x = - a hay un Mínimo = 2a2.
14. ax .
x2 + a2
f(x) = ax .
 x2 + a2
Derivando:
 (x2 + a2).d (ax) - (ax).d (x2 + a2)
f '(x) = dx dx .
 (x2 + a2)2
 f '(x) = (x 2 + a 2 ).a - (ax).2x = ax 2 + a 3 - 2ax 2 = a 3 - ax 2 = 0 
 (x2 + a2)2 (x2 + a2)2 (x2 + a2)2
(x2 + a2)2 ( 0 ) = 0
f '(x) = a3 - ax2 = 0
f '(x) = a(a2 - x2) = 0
a (a + x)(a - x) = 0
a + x = 0
x = - a
a - x = 0
 
a = x o x = a .
Valores Críticos: x = a ; x = - a.
Para: x = a.
x < a = 0,9a. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = a3 - ax2
f '(0,9a) = a3 - a(0,9a)2 = a3 - 0,81a3 = ( + )
Luego: x > a = 1,1a. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = a3 - ax2
f '(1,1a) = a3 - a(1,1a)2 = a3 - 1,21a3 = ( - ).
Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " - ", la 
función tiene un Máximo. 
Sustituimos x = a en f(x) para encontrar el valor Máximo.
f(x) = ax .
 x2 + a2
f(a) = a.a = a 2 = 1 . 
 a2 + a2 2a2 2
⇒ en x = a hay un Máximo = 1/2.
Para: x = - a.
x < - a = -1,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = a3 - ax2
f '(- 1,1a) = a3 - a(- 1,1a)2
f '(- 1,1a) = a3 - 1,21a3 = ( - ).
Luego: x > - a = - 0,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada
f '(x) = a3 - ax2
f '(- 0,9a) = a3 - a(- 0,9a)2 = a3 - 0,81a3 = ( + ).
La función tiene un Mínimo,el signo va de " - " a " + ".
Sustituimos x = - a en f(x) para encontrar el valor Mínimo.
f(x) = ax .
 
 x2 + a2
f(x) = a(-a) = - a 2 = - a 2 = - 1 .
 (-a)2 + a2 a2 + a2 2a2 2
⇒ en x = - a hay un Mínimo = - 1/2.
15. x 2 .
x + a
f(x) = x 2 .
 x + a
 (x + a).d (x2) - x2. d (x + a)
f '(x) = dx dx . 
 (x + a)2
f '(x) = 2x(x + a) - x 2 (1) = 2x 2 + 2ax - x 2 = 2ax + x 2 .
 (x + a)2 (x + a)2 (x + a)2
f '(x) = x(2a + x) = 0
 (x + a)2
x(2a + x) = 0
x = 0
2a + x = 0 
x = - 2a .
Valores Críticos: x = 0 ; x = - 2 a.
Para: x = 0 
x < 0 = - 0,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = x(2a + x)
f '(-0,1a) = (- 0,1a) [2a + (- 0,1a)]
f '(-0,1a) = ( - ) ( + ) = " - ".
Luego: x > 0 = 0,1a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada.
 
 f '(x) = x(2a + x)
f '(0,1a) = (0,1a)(2a + 0,1a)
f '(0,1a) = ( + )( + ) = " + ".
La función tiene un Mínimo ,el signo va de " - " a " + ".
Sustituimos x = 0 en f(x).
f(x) = x 2 .
 x + a
f(x) = 0 = 0.
 
 0 + a
⇒ en x = 0 hay un Mínimo = 0.
Para: x = - 2a .
x < -2a = - 2,1a. Se sustituye este valor en la primera derivada.
f '(x) = x(2a + x)
f '(-2,1a) = (-2,1a)[2a + (-2,1a)] 
f '(-2,1a) = ( - 2,1a)(2a - 2,1a)
f '(-2,1a) = ( - ) ( -) = " + ".
Luego: x > -2a = -1,9a. Se sustituye este valor en la 1ra derivada
f '(x) = x(2a + x)
f '(-1,9a) = (-1,9a)[2a + (-1,9a)] 
f '(-1,9a) = (-1,9a) (2a - 1,9a) = ( - ) ( + ) = " - ".
La función tiene un Máximo, el signo va de " + " a " - ".
x = -2ase sustituye en f(x).
f(x) = x 2 .
 x + a
f(x) = (-2a) 2 = 4a 2 = - 4a.
 -2a + a -a
 
⇒ en x = -2a existe un Máximo = - 4a .
16. x 2 .
x2 + a2
f(x) = x 2 .
 x2 + a2
 (x2 + a2). d (x2) - x2. d (x2 + a2)
f '(x) = dx dx .
 (x2 + a2)2
f '(x) = (x 2 + a 2 ) (2x) - x 2 (2x) 
 (x2 + a2)2
f '(x) = 2x 3 + 2a 2 x - 2x 3 = 2a 2 x = 0 . 
 (x2 + a2)2 (x2 + a2)2 
 
f '(x) = 2a2x = 0
 x = 0 .
Valor Crítico : x = 0 .
Para: x = 0 ; x < 0 = - 0,1a . Este valor se reemplaza en f '(x).
f '(x) = 2a2x
f '(-0,1a) = 2a2(-0,1a) = ( - )
Luego: x > 0 = 0,1a. Este valor se reemplaza en f '(x).
f '(x) = 2a2x
f '(0,1a) = 2a2(0,1a) = ( + ).
La función tiene un Mínimo , el signo va de " - " a " + ".
x = 0 se sustituye en f(x) para saber el valor Mínimo.
f(x) = x 2 . 
 x2 + a2
 
f(x) = 0 = 0 = 0
 02 + a2 a2
⇒ en x = 0 hay un Mínimo = 0.
17. x 2 + 2a 2 
 x2 + a2
f(x) = x 2 + 2a 2 
 x2 + a2
 (x2 + a2).d (x2 + 2a2) - (x2 + 2a2). d (x2 + a2) 
f '(x) = dx dx .
 (x2 + a2)
f '(x) = (x 2 + a 2 ).(2x) - (x 2 + 2a 2 ).(2x) = 2x 3 + 2a 2 x - 2x 3 - 4a 2 x 
 (x2 + a2) (x2 + a2)
f '(x) = - 2a 2 x = 0 .
 x2 + a2
f '(x) = -2a2x = 0
x = 0 valor crítico.
Para: x = 0
x < 0 = - 0,1a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = -2a2x 
f '(- 0,1a) = -2a2(- 0,1a) = ( + )
Luego: x > 0 = 0,1a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = -2a2x 
f '(0,1a) = -2a2(0,1a) = ( - ).
La función tiene un Máximo , el signo va de " + " a " - ".
Sustituimos x = 0 en f(x).
f(x) = x 2 + 2a 2 
 
 x2 + a2
f(x) = (0) 2 + 2a 2 = 2a 2 = 2
 (0)2 + a2 a2
⇒ en x = 0 hay un Máximo = 2 .
18. (2 + x)2 (1 - x)2
f(x) = (2 + x)2 (1 - x)2
f '(x) = (2 + x)2. d (1 - x)2 + (1 - x)2. d (2 + x)2 
 dx dx
f '(x) = (2 + x)2. 2(1 - x)2-1.(-1) + (1 - x)2.2(2 + x)2-1
f '(x) = - 2(2 + x)2.(1 - x) + 2(1 - x)2.(2 + x)
f '(x) = - 2(2 + x)(1 - x) [2 + x - (1 - x)]
f '(x) = - 2(2 + x)(1 - x) (2 + x - 1 +x) = - 2(2 + x)(1 - x)(2x + 1)
f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1) = 0
2 + x = 0
 x = - 2.
x - 1 = 0
x = 1
2x + 1 = 0
x = - 1 .
 2
 
Valores Críticos: x = - 2 ; x = 1 ; x = - 1/2.
Para: x = - 2
x < - 2 = -2,1. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)
f '(-2,1) = 2[2 + (-2,1)](-2,1 - 1)[2(-2,1) + 1]
f '(-2,1) = 2(2 - 2,1) ( - 2,1 - 1) (- 4,2 + 1)
f '(-2,1) = ( + ) ( - ) ( - ) ( - ) = " - ".
Luego: x > - 2 = - 1,9. Este valor se reemplaza en f '(x).
f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)
f '(-1,9) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)
f '(-1,9) = 2[2 + (-1,9)](-1,9 - 1)[2(-1,9) + 1]
f '(-1,9) = ( 2 )(2 - 1,9) (- 1,9 - 1)(-3,8 + 1)
f '(-1,9) = ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) = "+".
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".
Se sustituye x = - 2 en f(x).
f(x) = (2 + x)2 (1 - x)2
f(-2) = [2 + (-2)]2 [1 - (-2)]2
f(-2) = ( 2 - 2 )2 ( 1 + 2)2 = ( 0 )2 ( 3 )2 = (0)(9) = 0
⇒ en x = - 2 hay un Mínimo = 0.
Para: x = 1
x < 1 = 0,9. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)
f '(0,9) = (2) (2 + 0,9) (0,9 - 1) [2(0,9) + 1]
f '(0,9) = ( + )( + )( - )( + ) = " - ".
Luego: x > 1 = 1,1. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)
f '(1,1) = (2)(2 + 1,1)(1,1 - 1)[2(1,1) + 1]
f '(1,1) = ( + )( + )( + )( + ) = " + ".
La función tiene un Mínimo va de " - " a " + ".
Se sustituye x = 1 en f(x).
 
f(x) = (2 + x)2(1 - x)2
f(1) = (2 + 1)2(1 - 1)2 = ( 3 )2( 0 )2 = ( 9 )( 0 ) = 0
⇒ en x = 1 hay un Mínimo = 0
Para x = - 1/2.
x < - 1/2 = - 0,6. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)
f '(-0,6) = ( 2 )[2 + (-0,6)](-0,6 - 1) [2(-0,6) + 1]
f '(-0,6) = ( 2 )[2 - 0,6](- 0,6 - 1) [- 1,2 + 1]
f '(- 0,6) = ( + ) ( + ) ( - ) ( - ) = " + ".
Luego: x > - 1/2 = - 0,4. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)
f '(- 0,4) = ( 2 ) [2 + (- 0,4)] (- 0,4 - 1) [2(- 0,4) + 1]
f '(- 0,4) = ( 2 ) [2 - 0,4] (- 0,4 - 1) [ - 0,8 + 1]
f '(- 0,4) = ( + ) ( + ) ( - ) ( + ) = " - ".
La función tiene un Máximo va de " + " a " - ".
Se sustituye x = - 1/2 en f(x).
f(x) = (2 + x)2 (1 - x)2
f(- 0,5) = [2 + (- 0,5)]2 [1 - (- 0,5)]2
f(- 0,5) = ( 2 - 0,5)2 ( 1 + 0,5)2 = (1,5)2 (1,5)2 = (1,5)4 = 5,0625.
f(x) = 5,0625.
⇒ en x = - 1/2 hay un Máximo = 5,0625.
19. (2 + x)2 (1 - x)3
f(x) = (2 + x)2 (1 - x)3
f '(x) = (2 + x)2. d (1 - x)3 + (1 - x)3. d (2 + x)2 
 dx dx
f '(x) =(2 + x)2.3(1 - x )2.d (1 - x) + (1 - x)3. 2(2 + x)2-1.d (2 + x)
 dx dx
f '(x) = 3(2 + x)2(1 - x )2 ( - 1) + 2(1 - x)3(2 + x)(1)
 
f '(x) = -3(2 + x)2(1 - x )2 + 2(1 - x)3(2 + x)
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 [-3(2 + x) + 2(1 - x)]
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 [ - 6 - 3x + 2 - 2x]
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)
 
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x) = 0
(2 + x) = 0
x = - 2.
(1 - x) = 0 = 1 - x
x = 1
 - 4 - 5 x = 0 = - 4 - 5 x
 5x = - 4
x = - 4 . 
 5
Valores Críticos: x = 1 ; x = - 2 ; x = - 4/5.
Para: x = 1.
x < 1 = 0,9. Sustituyendo este valor en f '(x).
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)
f '(0,9) = (2 + 0,9)(1 - 0,9 )2 [- 4 - 5(0,9)]
f '(0,9) = (2 + 0,9)(1 - 0,9 )2 [- 4 - 4,5]
f '(0,9) = ( + ) ( + )2 ( - ) = ( + ) ( + ) ( - ) = " - ".
Luego: x > 1 = 1,1. Sustituyendo este valor en f '(x).
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)
f '(1,1) = (2 + 1,1)(1 - 1,1 )2 [ - 4 - 5(1,1)]
f '(1,1) = (2 + 1,1)(1 - 1,1 )2 [ - 4 - 5,5]
f '(1,1) = ( + ) ( - ) ( - )2 = ( + ) ( - ) ( + ) = "-".
La función no tiene ni Máximo ni Mínimo , no hay cambio de signo.
Para: x = - 2.
x < - 2 = - 2,1. Sustituyendo este valor en f '(x).
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 (- 4 - 5x)
f '(-2,1) = [2 + (-2,1)] [1 - (-2,1)]2 [- 4 - 5(-2,1)]
 
f '(-2,1) = [2 - 2,1] [1 + 2,1]2 [ - 4 + 10,5]
f '(-2,1) = ( - ) ( + )2 ( + ) = " - ". 
[no es necesario elevar ( + )2 , pues siempre es positivo; pero
si cuando ( - )2,pues al elevarse al cuadrado se hace "+".]
Luego: x > - 2 = - 1,9. Sustituyendo este valor en f '(x).
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)
f '(-1,9) = (2 + (-1,9)] [1 - (-1,9)]2 [ - 4 - 5(-1,9)]
f '(-1,9) = (2 - 1,9] [1 + 1,9]2 [ - 4 + 9,5]
f '(-1,9) = ( +) ( + ) ( + ) = " + ".
La función tiene un Mínimo, el signo cambia de " - " a " + ".
Se sustituye x = - 2 en f(x).
f(x) = (2 + x)2 (1 - x)3
f(-2) = [2 + (-2)]2 [1 - (-2)]3
f(-2) = ( 2 - 2)2 (1 + 2)3 = ( 0 ) ( 3)3 = 0
⇒ en x = - 2 existe un Mínimo = 0.
Para: x = - 4/5 = - 0,8.
x < - 4/5 = - 0,9. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)
f '(- 0,9) = [2 + (-0,9)] [1 - (-0,9)]2 [- 4 - 5(-0,9)]
f '(- 0,9) = [2 - 0,9] [1 + 0,9]2 [- 4 + 4,5]
f '(- 0,9) = ( + ) ( + ) ( + ) = "+".
Luego: x > - 4/5 = - 0,7. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = (2 + x)(1 - x )2 ( - 4 - 5x)
f '(- 0,7) = [2 + (- 0,7)] [1 - (- 0,7)] 2 [ - 4 - 5(-0,7)]
f '(- 0,7) = [2 - 0,7] [1 + 0,7]2 [ - 4 + 3,5]
f '(- 0,7) = ( + ) ( +) ( - ) = " - ".
La función tiene un Máximo, el signo va de " + " a " - ".
x = - 4/5 = - 0,8. Se sustituye en f(x).
f(x) = (2 + x)2 (1 - x)3
f(- 0,8) = [2 + (- 0,8)]2 [1 - (- 0,8)]3
f(- 0,8) = [2 - 0,8]2 [1 + 0,8]3
f(- 0,8) = (1,2)2 (1,8)3 = (1,44) (5,832) = 8,39808
 
⇒ en x = - 4/5 existe un Máximo = 8,39808 .
20. b + c(x - a)2/3
f(x) = b + c(x - a)2/3
f '(x) = d (b) + c.d (x - a)2/3
 dx dx
f '(x) = 0 + c. 2 . (x - a)2/3-1.d (x - a)
 3 dx 
 
f '(x) = 2c. (x - a)-1/3(1) = 2c = 0 .
 3 3(x - a)1/3
Si f '(x) = 0 , se anulan los valores críticos; por tanto hacemos: 1 = 0
 f '(x)
 1 = 1 = 3(x - a) 1/3 = 0 .
 f '(x) 2c 2c .
 3(x - a)1/3
3(x -a)1/3 = (2c) (0)
3(x -a)1/3 = 0
(x -a)1/3 = 0
[(x -a)1/3]3 = 03
(x -a) = 0
x = a. 
 1 = (0,9c - c)2/3 = ∛ (0,9c - c)2 = ∛(-)2 = ∛(-) =
Para: x = a.
x < a = 0,9a. Se sustituye este valor en f '(x).
 
f '(x) = 2c = 2c = 2c = + = " - " .
 3(x - a)1/3 3(0,9a - a)1/3 3∛- 0,1a -
Luego: x > a = 1,1a. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = 2c = 2c = 2c = + = " + " .
 3(x - a)1/3 3(1,1a - a)1/3 3∛ 1,1a +
La función tiene un Mínimo , va de " - " a " + ".
x = a se reemplaza en f(x), para encontrar el valor mínimo.
f(x) = b + c(x - a)2/3
f(a) = b + c(a - a)2/3 = b + c( 0 )2/3 = b + 0 = b
⇒ en x = a existe un Mínimo = b.
21. a - b(x - c)1/3.
f(x) = a - b(x - c)1/3.
f '(x) = d (a) - b .d (x - c)1/3 
 dx dx
f '(x) = 0 - b . 1 . (x - c)1/3-1. d (x - c)
 3 dx
f '(x) = - b (x - c) -2/3(1) = - b = 0
 3 3(x - c)2/3
 
 
 
 1 = - 3(x - c) 2/3 = 0
 f '(x) b
 
 
f '(x) = - 3(x - c)2/3 = 0 .
f '(x) = (x - c)2/3 = 0 .
 
f '(x) = [(x - c)2/3]3/2 = 03/2 .
f '(x) = (x - c) = 0 .
x - c = 0 ; x = c
Para: x = c.
x < c = 0,9c. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = - b = - b = - b = - = - = " - ". 
 3(x - c)2/3 3(0,9c - c)2/3 ∛(- 0,1c)2 ∛+ + 
 
 
 
 
 
Luego: x > c = 1,1c. Se reemplaza este valor en f '(x). 
 
f '(x) = - b = - b = - b = - = " - " . 
 3(x - c)2/3 3(1,1c - c)2/3 3(0,1c)2/3 +
La función no cambia de signo, entonces no hay ni Máximo ni Mínimo.
22. ( 2 + x)1/3 (1 - x)2/3.
f(x) = ( 2 + x)1/3 (1 - x)2/3.
f '(x) = ( 2 + x)1/3. d (1 - x)2/3 + (1 - x)2/3. d ( 2 + x)1/3. 
 dx dx
 
f '(x) = (2 + x)1/3. 2 .(1 - x)2/3-1.d (1 - x) + (1 - x)2/3. 1 . (2 + x)1/3-1.d (2 + x)
 3 dx 3 dx 
f '(x) = 2( 2 + x)1/3(1 - x)-1/3( - 1) + 1 (1 - x)2/3( 2 + x)-2/3( 1 ) .
 3 3
 
f '(x) = - 2 ( 2 + x)1/3(1 - x)-1/3 + 1 (1 - x)2/3( 2 + x)-2/3 
 3 3 
 
f '(x) = ( 2 + x)1/3 (1 - x)2/3 -2(1 - x) -1/3 (1 - x) -2/3 + 1(2 + x) -2/3 (2 + x) -1/3 
 3 3
 
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 2(1 - x) -1 + 1(2 + x) -1 .
 3 3 
 f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 2 + 1 .
 3(1 - x) 3(2 + x) 
 f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 2(2 + x) + (1 - x) .
 3(1 - x) (2 + x)
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 4 - 2x + 1 - x .
 3(1 - x) (2 + x)
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 3 - 3x .
 3(1 - x) (2 + x)
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 - 3 (x + 1) .
 3 (1-x)(2+x)
f '(x) = - (2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (x + 1) = 0 
 (1 - x) (2 + x)
 El signo negativo , hace cambiar el signo a un factor, en este caso (x + 1) .
f '(x) = ( 2 + x)1/3( 1 - x)2/3 (- x - 1) = 0
 (2 + x)1/3 = 0 (1 - x)2/3 = 0 - x - 1 = 0 = - x - 1
 [( 2 + x)1/3]3 = 03 [(1 - x)2/3]3/2 = 03 x = - 1
 2 + x = 0 1 - x = 0 = 1 - x
 x = - 2 x = 1
Valores Críticos: x = - 2 ; x = 1 ; x = - 1.
Para: x = - 2.
x < - 2 = - 2,1. Se reemplaza este valor en f '(x).
 
f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) 
 (1 - x) (2 + x)
f '(-2,1) = [ 2 + (-2,1)] 1/3 [ 1 - (-2,1)] 2/3 [- (-2,1) - 1] 
 [1 - (-2,1)] [2 + (-2,1)]
f '(-2) = (2 - 2,1) 1/3 (1 + 2,1) 2/3 (2,1 - 1) 
 ( 1 + 2,1) (2 - 2,1)
f '(-2) = ( - ) 1/3 ( + ) 2/3 ( + ) = ( - ) ( + ) ( + ) = ( - ) = " + " 
 ( + ) ( - ) ( - ) ( - )
Luego: x > - 2 = - 1,9. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) 
 (1 - x) (2 + x)
f '(-1,9) = [ 2 + (-1,9)] 1/3 [ 1 -(-1,9)] 2/3 [- (-1,9) - 1] 
 (1 - x) (2 + x)
f '(-1,9) = ( 2 - 1,9) 1/3 (1 + 1,9) 2/3 (1,9 - 1) 
 [1 - (-1,9)][2 + (-1,9)]
f '(-1,9) = ( + ) 1/3 ( + ) 2/3 ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) = " + " .
 (1 + 1,9)(2 - 1,9) ( + ) ( + ) ( + )
La función no cambia de signo,por tanto no tiene ni 
Máximo ni Mínimo en x = - 2.
Para: x = 1.
x < 1 = 0,9. Se remplaza este valor en f '(x).
f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) 
 (1 - x)(2 + x)
f '(0,9) = ( 2 + 0,9) 1/3 ( 1 - 0,9) 2/3 (- 0,9 - 1) 
 
 (1 - 0,9)(2 + 0,9)
f '(0,9) = ( 2 + 0,9) 1/3 ( 1 - 0,9) 2/3 (- 0,9 - 1) = ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ) = " - ". 
 (1 - 0,9)(2 + 0,9) ( + ) ( + ) ( + )
Luego: x > 1 = 1,1. Se remplaza este valor en f '(x).
f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) 
 (1 - x)(2 + x)
f '(1,1) = ( 2 + 1,1) 1/3 ( 1 - 1,1) 2/3 (- 1,1 - 1) = ( + )( - ) 2/3 ( - ) .
 (1 - 1,1)(2 + 1,1) ( - )( + )
f '(1,1) = ( + ) [( - ) 2 ] 1/3 ( - ) = ( + )( + ) 1/3 ( - ) = ( + )( + )( - ) = ( - ) = " + "
 ( - ) ( - ) ( - ) ( - )
La función tiene un Mínimo va de " - " a " + ".
Se reemplaza x = 1 en f(x).
f(x) = ( 2 + x)1/3(1 - x)2/3
f(1) = ( 2 + 1)1/3(1 - 1)2/3 = ( 3 )1/3( 0 )2/3 = 0
⇒ en x = 1 hay un Mínimo = 0 .
Para: x = - 1 .
x < - 1= - 1,1 . Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) 
 (1 - x) (2 + x)
f '(-1,1) = [ 2 + (-1,1)] 1/3 [ 1 - (-1,1)] 2/3 [- (-1,1) - 1] 
 [1 - (-1,1)] [2 + (-1,1)]
f '(-1,1) = [ 2 - 1,1] 1/3 [ 1 + 1,1] 2/3 [ + 1,1 - 1] 
 [1 + 1,1] [ 2 - 1,1]
f '(-1,1) = ( + ) 1/3 ( + ) 2/3 ( + ) = ( + ) = " + "
 ( + )( + ) ( + )
Luego: x > -1 = - 0,9 . Se reemplaza este valor en f '(x).
 
f '(x) = ( 2 + x) 1/3 ( 1 - x) 2/3 (- x - 1) 
 (1 - x)(2 + x)
f '(-0,9) = [ 2 + (-0,9)] 1/3 [ 1 - (-0,9)] 2/3 [- (-0,9) - 1] 
 [1 + 0,9] [2 - 0,9]
f '(-0,9) = ( 2 - 0,9) 1/3 ( 1 + 0,9) 2/3 ( + 0,9 - 1) 
 (1 + 0,9)(2 - 0,9)
f '(-0,9) = ( + ) 1/3 ( + ) 2/3 ( - ) = ( - ) = " - " .
 ( + ) ( + ) ( + )
La función tiene un Máximo va de " + " a " - ".
x = -1 se sustituye en f(x) para cálcular el valor Maximo.
f(x) = ( 2 + x)1/3(1 - x)2/3
f(-1) = [ 2 + (-1)]1/3[1 - (-1)]2/3 
f(-1) = [ 2 - 1]1/3[1 + 1]2/3 = ( 1 )1/3( 2 )2/3 = ∛4 
 ⇒ en x = - 1 hay un Máximo = ∛4 
23. x(a + x)2 (a - x)3.
f(x) = x(a + x)2 (a - x)3.
 
Suponiendo que: u = x(a + x)2 y v = (a - x)3 , aplicamos la 
derivada del producto: y'= u.v' + v.u' .
 f '(x) = x(a + x)2.d (a - x)3 + (a - x)3.d [x(a + x)2] 
 dx dx
f '(x) = x(a + x)2. 3(a - x)3-1.d (a - x) + (a - x)3[x.d (a + x)2 + (a + x)2.d (x)] 
 dx dx dx 
 f '(x) = x(a + x)2.3(a - x)2( - 1) + (a - x)3[x.2(a + x)2-1 + (a + )2(1)]
f '(x) = -3x(a + x)2(a - x)2 + (a - x)3 [ 2x(a + x) + (a + x)2]
 
f '(x) = -3x(a + x)2(a - x)2 + (a - x)3 (a + x)(2x + a + x)
f '(x) = -3x(a + x)2(a - x)2 + (a - x)3 (a + x)(a + 3x) 
Factorizando: (a + x)(a - x)2 
f '(x) = (a + x)(a - x)2 {-3x(a + x) + (a - x) (a + 3x)} = 0 .
f '(x) = (a + x)(a - x)2 {- 3ax - 3x2 + a2 + 3ax - ax -3x2}.
f '(x) = (a + x)(a - x)2 { -6x2 -ax + a2} = 0 .
Cambiandole el signo al factor {- 6x2 - ax + a2}.
f '(x) = - (a + x)(a - x)2 { 6x2 + ax - a2} = 0.
f '(x) = - (a + x)(a - x)2 (2x + a) (3x - a) = 0.
 
Cambiandole el signo al factor (3x - a) y anulando el signo negativo.
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) = 0.
(a + x) = 0 ⇒ x = - a .
a - x = 0 ⇒ a = x
2x + a = 0 ⇒ x = - a .
 2
a - 3x = 0 = a = 3x
3x = a
x = a .
 3
Valores Críticos: x = - a ; x = a ; x = - a/2 ; x = a/3 
 
Para: x = - a
x < -a = -1,1a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x) 
f '(-1,1a) = {a + (-1,1a)}{a - (-1,1a)}2 {2(-1,1a) + a} {a - 3(-1,1a)} = 0 
f '(-1,1a) = (a - 1,1a) (a + 1,1a)2{- 2,2a + a} (a + 3,3a) = 0
f '(-1,1a) = ( - ) ( + )2 { -} ( + ) = ( + ) 
Luego:x > - a = - 0,9a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)
f '(- 0,9a) = {a + (- 0,9a) }{a - (- 0,9a)}2 {2(- 0,9a) + a} {a - 3(- 0,9a)}
f '(- 0,9a) = {a - 0,9a) (a + 0,9a)2 (-1,8a + a) (a + 2,7a)
f '(- 0,9a) = ( + ) ( + ) ( - ) ( + ) = ( - ) . 
La función tiene un Máximo va de " + " a " - ".
x = - a se sustituye en f(x) para encontrar el valor del Máximo.
f(x) = x(a + x)2 (a - x)3
f(-a) = (-a){a + (-a)}2 {a - (-a)}3
f(-a) = (-a ){a - a)2 (a + a)3 = ( - a) ( 0 ) ( 2a)3 = 0
⇒ en x = - a existe un Máximo = 0 .
Para: x = a
x < a = 0,9a .Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)
f '(0,9a) = {a + (0,9a)} {a - (0,9a)}2 {2(0,9a) + a} {a - 3(0,9a)}
f '(0,9a) = (a + 0,9a) (a - 0,9a)2 (1,8a + a) (a - 2,7a) 
f '(0,9a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ).
Luego: x > a = 1,1a . Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)
f '(1,1a) = {a + (1,1a)} {a - (1,1a)}2 {2(1,1a) + a} {a - 3(1,1a)}
f '(1,1a) = (a + 1,1a) (a - 1,1a)2 (2,2a + a) (a - 3,3a)
f '(1,1a) = ( + ) ( - )2 ( + ) ( - ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ) 
Para x = a la función no tiene Máximos ni Mínimos, pues no 
cambian los signos.
 
Para: x = -a/2 = - 0,5a.
x < -a/2 = - 0,6a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)
f '(- 0,6a) = {a + (- 0,6a)} {a - (- 0,6a)}2 {2(- 0,6a) + a} {a - 3(- 0,6a)}
f '(- 0,6a) = (a - 0,6a) (a + 0,6a)2 {- 1,2a + a) (a + 1,8a)
f '(- 0,6a) = ( + ) ( + )2 ( - ) ( + ) = ( - ).
Luego: x > - a/2 = - 0,4a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)
f '(- 0,4a) = {a + (- 0,4a) } {a - (- 0,4a)}2 {2(- 0,4a) + a} {a - 3(- 0,4a)}
f '(- 0,4a) = {a - 0,4a) (a + 0,4a)2 ( - 0,8a + a) (a + 1,2a)
f '(- 0,4a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( + ) = ( + )
La función tiene un Mínimo, va de " - "a " + ".
x = - a/2 = - 0,5a. se reemplaza en f(x).
f(x) = x(a + x)2 (a - x)3
f(- 0,5a) = (- 0,5a) {a + (- 0,5a)}2 {a - (-0,5a)}3
f(- 0,5a) = (- 0,5a) (a - 0,5a)2 (a + 0,5a)3 
f(- 0,5a) = (-0,5a) ( 0,5a)2 ( 1,5a)3 = (-0,5a) ( 0,25a2) ( 3,375a3)
f(- 0,5a) = - 0.421875 a6 = - 421875 a6.
 1'000.000 
Dividiendo tanto al númerador y denominador para 15.625 .
f(- 0,5a) = - 421875 = - 27 a6 .
 1'000.000 64
Para: x = a/3 = 0,33…a .
x < 0,33a = 0,32a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)
f '(0,32a) ={a + (0,32a)}{a - (0,32a)}2{2(0,32a) + a}{a - 3(0,32a)}
f '(0,32a) = (a + 0,32a) (a - 0,32a)2 (0,64a + a) (a - 0,96a)
f '(0,32a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( + ) = ( + )
Luego: x > a/3 = 0,34a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a + x)(a - x)2 (2x + a) (a - 3x)
 
f '(0,34a) ={a + (0,34a)}{a - (0,34a)}2{2(0,34a) + a}[a - 3(0,34a)}
f '(0,34a) = (a + 0,34a) (a - 0,34a)2 (0,68a + a) (a - 1,02a)
f '(0,34a) = ( + ) ( + )2 ( + ) ( - ) = ( - )
La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ".
x = a/3 se sustituye en f(x).
f(x) = x(a + x)2 (a - x)3
f(a/3) = (a/3) {a + (a/3)}2 {a - (a/3)}3 
f(a/3) = (a/3) (a + a/3)2 ( a - a/3)3
f(a/3) = (a/3) ( 4a/3)2 ( 2a/3)3 = (a/3) ( 16a2/9) ( 8a3/27)
f(a/3) = 128a6/729.
⇒ en x = a/3 existe un Máximo = 128 a6 .
 729
24. (2x - a)1/3 (x - a)2/3.
f(x) = (2x - a)1/3 (x - a)2/3.
f '(x) = (2x - a)1/3 .d (x - a)2/3 + (x - a)2/3 . d (2x - a)1/3. 
 dx dx
f '(x) = (2x - a)1/3. 2 . (x - a)2/3-1.d (x -a) + (x - a)2/3. 1 . (2x - a)1/3-1.d (2x-a) 
 3 dx 3 dx
f'(x) = 2 (2x-a)1/3(x-a)-1/3 d (x) - d (a) + 1 (x-a)2/3(2x-a)-2/3 d (2x) - d (a)
 3 dx dx 3 dx dx
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)-1/3{ 1 - 0} + 1 (x-a)2/3(2x-a)-2/3{2 - 0}
 3 3
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)-1/3( 1 ) + 1 (x-a)2/3(2x-a)-2/3( 2 ) 
 3 3 
 
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)-1/3 + 2 (x-a)2/3(2x-a)-2/3 = 0
 3 3 
 
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 1 + 1 = 0
 3 x - a 2x - a
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 1 + 1 = 0
 3 x - a 2x - a
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/32x - a + x - a = 0
 3 (x - a) (2x - a)
f '(x) = 2 (2x-a)1/3 (x-a)2/3 3x - 2a = 0
 3 (x - a) (2x - a)
f '(x) = 2(2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) = 0 
 3(x - a) (2x - a)
{3(x - a)(2x - a)}( 0 ) = 0 
 
⇒ f '(x) = 2(2x-a)1/3 (x-a)2/3( 3x - 2a ) = 0
 (2x-a)1/3 = 0 (x - a)2/3 = 0 3x - 2a = 0 
 {(2x-a)1/3}3 = 03 {(x - a)2/3}3 = 03 x = 2a . 
 2x - a = 0 x - a = 0 3
 x = a/2 . x = a
 
Valores Críticos: x = a/2 ; x = a ; x = 2a/3
Para: x = a/2 = 0,5a . 
x < 0,5a = 0,4a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 
 3(x - a)(2x - a)
f '(0,4a) = 2 {2(0,4a)-a} 1/3 {(0,4a)-a} 2/3 { 3(0,4a) - 2a } 
 3{(0,4a) - a} {2(0,4a) - a}
 
 f '(0,4a) = 2 (0,8a -a) 1/3 (0,4a - a) 2/3 ( 1,2a - 2a ) 
 3(0,4a - a) ( 0,8a - a)
f '(0,4a) = ( + ) ( - ) 1/3 ( - ) 2/3 ( - ) .
 ( + ) ( - ) ( - )
"Recordar: (-)2 = "+" y ∛ - = "-".
f '(0,4a) = ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) = ( + ) = ( + ).
 ( + ) ( - ) ( - ) ( + ) 
Luego: x > a/2 = 0,6a. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 
 3(x - a) (2x - a)
f '(0,6a) = 2 {2(0,6a)-a} 1/3 {(0,6a)-a} 2/3 {3(0,6a) - 2a} 
 3{(0,6a) - a} {2(0,6a) - a}
f '(0,6a) = 2 (1,2a - a) 1/3 (0,6a -a) 2/3 (1,8a - 2a) 
 3(0,6a - a) (1,2a - a)
f '(0,6a) = ( + ) ( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( - ) = ( + ) ( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( - ) 
 ( + )( - )( + ) ( + )( - ) ( + )
 
f '(0,6a) = ( + ) ( + ) ( + ) ( - ) = ( - ) = ( + )
 ( + )( - ) ( + ) ( - )
Como no hay variación de signos:
Para x = a/2 no hay ni Máximos ni Mínimos.
Luego, para: x = a
x < a = 0,9a . Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 
 3(x - a) (2x - a)
 
f '(0,9a) = ( + ) {2(0,9a) - a} 1/3 {(0,9a) - a} 2/3 {3(0,9a) - 2a} 
 ( + ){(0,9a) - a} {2(0,9a) - a}
f '(0,9a) = ( + ) (1,8a - a) 1/3 (0,9a - a) 2/3 (2,7a - 2a) =
 ( + ) (0,9a - a) (1,8a - a)
f '(0,9a) = ( + )( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( + ) = ( + )( + )( + )( + ) = ( + ) = ( - )
 ( + ) ( - ) ( + ) ( - ) ( - )
Luego: x > a = 1,1a . Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 
 3(x - a) (2x - a)
f '(1,1a) = ( + ) {2(1,1a) - a} 1/3 {(1,1a) - a} 2/3 {3(1,1a) - 2a } 
 ( + ) {(1,1a) - a} {2(1,1a) - a}
f '(1,1a) = ( + ) (2,2a - a) 1/3 (1,1a - a) 2/3 (3,3a - 2a) 
 ( + ) (1,1a - a) (2,2a - a)
f '(1,1a) = ( + ) ( + ) 1/3 ( + ) 2/3 ( + ) = ( + ) = ( + ) 
 ( + ) ( + ) ( + ) ( + )
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".
x = a se sustituye en f(x).
f(x) = (2x - a)1/3 (x - a)2/3
f(a) = {2(a) - a}1/3 {(a) - a}2/3
f(a) = (2a - a)1/3 (a - a)2/3 = ( a )1/3 ( 0 )2/3 = 0.
⇒ en x = a existe un Mínimo = 0
Para: x = 2 a = 0,66…a .
 3
x < 2 a = 0,6 a . Se sustituye este valor en f '(x).
 3
f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 
 3(x - a) (2x - a)
 
f '(0,6a) = ( + ) {2(0,6a) - a} 1/3 {(0,6a) - a} 2/3 {3(0,6a) - 2a } 
 ( + ){(0,6a) - a} {2(0,6a) - a}
f '(0,6a) = ( + ) (1,2a - a) 1/3 (0,6a - a) 2/3 (1,8a - 2a) 
 ( + ) (0,6a - a) (1,2a - a)
f '(0,6a) = ( + )( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( - ) = ( + )( + )( + )( - ) = ( - ) = ( + ) 
 ( + )( - )( + ) ( - ) ( - )
Luego: x > 0,66… a = 0,67a . Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = 2 (2x-a) 1/3 (x-a) 2/3 ( 3x - 2a ) 
 3(x - a) (2x - a)
f '(0,67a) = ( + ) {2(0,67a) - a} 1/3 {(0,67a) - a} 2/3 {3(0,67a) - 2a} 
 ( + ){(0,67a) - a} {2(0,67a) - a}
f '(0,67a) = ( + ) (1,34a - a) 1/3 (0,67a - a) 2/3 (2,07a - 2a) 
 ( + )(0,67a - a) (1,34a - a)
f '(0,67a) = ( + )( + ) 1/3 ( - ) 2/3 ( + ) = ( + )( + )( + )( + ) = ( + ) = (-)
 ( + )( - ) ( + ) ( - ) ( - )
La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ''.
Se sustituye x = 2 a en f(x).
 3
f(x) = (2x - a)1/3 (x - a)2/3
f(2a/3) = {2(2a/3) - a}1/3 {(2a/3) - a}2/3
f(2a/3) = (4a/3 - a)1/3 (2a/3 - a)2/3
f(2a/3) = (4a/3 - 3a/3)1/3 (2a/3 - 3a/3)2/3
f(2a/3) = ( a/3 )1/3 ( - a/3)2/3 
 3 3 3
 a - a 2 = a a 2 = a 3 = a .
 
 3 3 3 9 27 3
 
⇒ en x = 2 a existe un Máximo = a .
 3 3
 
25. x + 2 . 
x2 + 2x + 4
f(x) = x + 2 .
 x2 + 2x + 4
 (x2 + 2x + 4). d (x + 2) - (x + 2). d (x2 + 2x + 4) 
f '(x) = dx dx .
 (x2 + 2x + 4)2
f '(x) = (x 2 + 2x + 4).(1) - (x + 2).(2x + 2) 
 (x2 + 2x + 4)2
f '(x) = x 2 + 2x + 4 - 2x 2 - 2x - 4x - 4 = - x 2 - 4x = 0
 (x2 + 2x + 4)2 (x2 + 2x + 4)2
 -x2 - 4x = 0 x + 4 = 0 
 - x (x + 4) = 0 x = - 4
 -x = 0 Valores Críticos:
 x = 0 x = 0 ; x = - 4.
Para: x = 0
x < 0 = - 0,1. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = - x 2 - 4x . 
 (x2 + 2x + 4)2
f '(- 0,1) = - (- 0,1) 2 - 4(- 0,1) = - (+ 0,01) + 4,4 . 
 {(- 0,1)2 + 2(- 0,1) + 4}2 ( 0,01 - 2,2 + 4)2
f '(- 0,1) = - 0,01 + 4,4 = ( + ) = ( + )
 
 
 ( + ) ( + )
Luego: x > 0 = 0,1. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = - x 2 - 4x . 
 (x2 + 2x + 4)2
f '(0,1) = { - (0,1) 2 - 4(0,1) } = (- 0,01 - 4,4) = ( - ) = ( - )
 {(0,1)2 + 2(0,1) + 4}2 {(0,01 + 0,2 + 4)2 ( + )
La función tiene un Máximo, va de " + " a " - " .
x = 0 se sustituye en f(x), para encontrar el valor Máximo.
f(x) = x + 2 .
 x2 + 2x + 4
f(0) = 0 + 2 = 2 = 1 .
 (0)2 + 2(0) + 4 4 2
⇒ en x = 0 hay un Máximo = 1 .
 2
Para: x = - 4 .
x < - 4 = - 4,1 . Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = - x 2 - 4x . 
 (x2 + 2x + 4)2
f '(- 4,1) = {- ( - 4,1 ) 2 - 4 } = - ( 16,81 - 4 ) = -16,81 + 4 . 
 {(- 4,1)2 + 2(- 4,1) + 4}2 {16,81 - 8,2 + 4}2 (20,81 - 8,2)
f '(- 4,1) = ( - ) = ( - ) 
 ( + )
Luego: x > - 4 = - 3,9. Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = - x 2 - 4x .(x2 + 2x + 4)2
f '(- 3,9) = {- (- 3,9) 2 - 4(- 3,9)} = {- (15,21- 4(- 3,9)} = 
 {(- 3,9)2 + 2(- 3,9) + 4}2 (7,8 - 7,8 + 4)2 
f '(- 3,9) = -15,21 + 15,6 = ( + ) = ( + )
 (11,8 - 7,8)2 ( + )
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".
x = - 4 se sustituye en f(x).
f(x) = x + 2 .
 x2 + 2x + 4
f(- 4) = - 4 + 2 = - 2 = - 2 = - 2 = - 1 .
 (- 4)2 + 2(- 4) + 4 16 - 8 + 4 20 - 8 12 6
⇒ en x = - 4 hay un Mínimo = 1 .
 6
26. x 2 + x + 4 .
 x + 1
f(x) = x 2 + x + 4 
 ( x + 1)
 
 
 (x + 1). d (x2 + x + 4) - (x2 + x + 4).d (x + 1) 
f '(x) = dx dx . 
 ( x + 1)2
f '(x) = (x + 1).(2x + 1) - (x 2 + x + 4).(1) 
 (x + 1)2
f '(x) = 2x 2 + x + 2x + 1 - x 2 - x - 4 = x 2 + 2x - 3 = 
 ( x + 1)2 ( x + 1)2 
 
f '(x) = (x + 3) (x - 1) = (x + 3) (x - 1) = 0
 ( x + 1)2 ( x + 1)2
x + 3 = 0 ; x - 1 = 0 . x = - 3. Valores Críticos.
 x = 1
Para: x = - 3.
x < - 3 = - 3,1. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = (x + 3) (x - 1) = 0
 ( x + 1)2
f '(-3,1) = {(-3,1) + 3}{(-3,1) -1} = (-3,1 + 3)(-3,1 -1) = 
 {(-3,1) + 1}2 (-3,1 + 1}2 
f '(-3,1) = (-) (-) = ( + ) = " + " . 
 ( - )2 ( + )
Luego: x > - 3 = - 2,9. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = (x + 3) (x - 1) = 0
 ( x + 1)2
f '(-2,9) = {(-2,9) + 3} {(-2,9) - 1} = (-2,9 + 3) (-2,9 - 1) = 0
 {(-2,9) + 1}2 (-2,9 + 1)2
f '(-2,9) = ( + ) ( - ) = ( - ) = " - " 
 ( - )2 ( + )
La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ".
x = - 3 se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Máximo.
f(x) = x 2 + x + 4 
 x + 1
 
f(-3) = (-3) 2 + (-3) + 4 = 9 - 3 + 4 = (13 - 3) = 10 = - 5
 (-3) + 1 - 2 ( -2 ) ( -2 )
⇒ en x = - 3 existe un Máximo = - 5 .
Para: x = 1.
x < 1 = 0,9. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = (x + 3) (x - 1) = 0
 ( x + 1)2
f '(0,9) = {(0,9) + 3} {(0,9) - 1} = (0,9 + 3) (0,9 - 1) =
 {(0,9) + 1}2 (0,9 + 1)2 
 
f '(0,9) = ( + ) ( - ) = ( - ) = " - "
 ( + ) ( + )
Luego: x > 1 = 1,1. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = (x + 3) (x - 1) = 0
 ( x + 1)2
f '(1,1) = {(1,1) + 3}{(1,1) - 1} = (1,1 + 3)(1,1 - 1) = ( + )( + ) =" + "
 {(1,1) + 1}2 (1,1 + 1)2 ( + ) 
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".
x = 1 se reemplaza en f(x) para encontrar el valor Mínimo.
f(x) = x 2 + x + 4 
 x + 1
f(1) = 1 2 + 1 + 4 = 1 + 1 + 4 = 6 = 3 
 1 + 1 2 2
⇒ en x = 1 existe un Mínimo = 3
 
27. x 2 + x + 4 .
x2 + 2x + 4
f(x) = x 2 + x + 4 .
 x2 + 2x + 4
 (x2 + 2x + 4).d (x2 + x + 4) - (x2 + x + 4). d (x2 + 2x + 4) 
f '(x) = dx dx .
 (x2 + 2x + 4)2
f '(x) = (x 2 + 2x + 4) (2x + 1) - (x 2 + x + 4) (2x + 2) . 
 (x2 + 2x + 4)2
f '(x) = 2x 3 + 4x 2 + 8x + x 2 + 2x + 4 - 2x 3 - 2x 2 - 8x - 2x 2 - 2x - 8 
 (x2 + 2x + 4)2
f '(x) = x 2 - 4 = 0 .
 (x2 + 2x + 4)2
x2 - 4 = (x + 2) (x - 2) = 0
x + 2 = 0
x = - 2.
x - 2 = 0 
x = 2.
x = - 2 ; x = 2 Valores Críticos .
Para: x = - 2.
x < - 2 = - 2,1. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = x 2 - 4 = 0 .
 (x2 + 2x + 4)2
f '(-2,1) = {(-2,1) 2 - 4} = (4,41 - 4) = (0 ,41) =
 {(-2,1)2 + 2(-2,1) + 4}2 {4,41 - 4,2 + 4)2 (8,41 - 4,2)2 
 
f '(-2,1) = + = " + "
 +
Luego: x > - 2 = - 1,9. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = x 2 - 4 .
 (x2 + 2x + 4)2
f '(-1,9) = {(-1,9) 2 - 4} = (3,61 - 4) = ( - ) = 
 {(-1,9)2 + 2(-1,9) + 4}2 (3,61 - 3,8 + 4)2 (7,61 - 3,8)2 
f '(-1,9) = ( - ) = " - "
 ( + )2
 
La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ".
x = - 2 se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Máximo.
f(x) = x 2 + x + 4 .
 x2 + 2x + 4
f(- 2) = {(- 2) 2 + (- 2) + 4} = (4 - 2 + 4) = 6 = 3 .
 {(- 2)2 + 2(- 2) + 4} {(4 - 4 + 4} 4 2
⇒ en x = - 2 existe un Máximo = 3/2 .
Para: x = 2.
x < 2 = 1,9. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = x 2 - 4 .
 (x2 + 2x + 4)2
f '(1,9) = {(1,9) 2 - 4} = (3,61 - 4) = ( - ) = " - ".
 {(1,9)2 + 2(1,9) + 4}2 (3,61 + 3,8 + 4)2 ( + )2
 
Luego: x > 2 = 2,1. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = x 2 - 4 .
 (x2 + 2x + 4)2
f '(2,1) = {(2,1) 2 - 4} = (4,41 - 4) = ( + ) = " + ". 
 {(2,1)2 + 2(2,1) + 4}2 {(4,41 + 4,42 + 4)2 ( + )
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".
x = 2. Se sustituye en f(x), para encontrar el valor del Mínimo.
f(x) = x 2 + x + 4 .
 x2 + 2x + 4
f(2) = 2 2 + 2 + 4 = 10 = 5 .
 22 + 2(2) + 4 12 6
⇒ en x = 2 existe un Mínimo = 5/6 .
28. (x - a) (b - x) .
 x2
f(x) = (x - a) (b - x)
 x2
 x2. d (x - a) (b - x) - (x - a) (b - x) . d (x2)
f '(x) = dx dx .
 (x2)2
 x2 {(x - a).d (b - x) + (b - x). d (x - a)} - {(x - a) (b - x)}.(2x) 
f '(x) = dx dx .
 x 4
f '(x) = x 2 {(x - a).(- 1) + (b - x).(1)} - 2x.(x - a) (b - x) 
 x 4
 
f '(x) = x 2 (-x + a + b - x) - 2x (bx - x 2 - ab + ax) 
 x 4
f '(x) = - x 3 + ax 2 + bx 2 - x 3 - 2bx 2 + 2x 3 + 2abx - 2ax 2 
 x 4
f '(x) = - 2x 3 + 2x 3 + ax 2 - 2ax 2 + bx 2 - 2bx 2 + 2abx .
 x 4
f '(x) = 2abx - ax 2 - bx 2 = x (2ab - ax - bx) = (2ab - ax - bx) = 0
 x 4 x 4 x3
f '(x) = (2ab - ax - bx) = 0
 x3
(2ab - ax - bx) = 0
 x3(2ab - ax - bx) = (x3) ( 0)
(2ab - ax - bx) = 0 = (2ab - ax - bx)
ax + bx = 2ab
x (a + b) = 2ab
x = 2ab ( valor crítico).
 a + b
Para: x = 2 ab .
 a + b
x < 2 ab = 1,9 ab , se reemplaza este valor en f '(x). 
 a+b a+b
f '(x) = (2ab - ax - bx) = 2ab - x (a + b) .
 x3 x3
x = 1,9ab ,es positivo ⇒ x3 es positivo, no lo tomamos en cuenta.
 
 a+b
f '(x) = 2ab - x (a + b)
f '(1,9ab) = 2ab - x (a + b) 
 a+b
f '(1,9ab) = 2ab - 1,9( ab ) . (a+b) = 2ab - 1,9ab = " + " .
 a + b ( a+b ) .
 
Luego: x > 2 ( ab ) = 2,1 ( ab ). Se sustituye este valor en f '(x)
 a+b a+b
f '(x) = (2ab - ax - bx) = 2ab - x (a + b) 
f '(2,1ab) = 2ab - 2,1( ab ) (a+b) = 2ab - 2,1ab = "-".
 (a+b) (a+b) 
La función tiene un Máximo, va de "+" a "-".
x = 2 ab se reemplaza en f(x), para encontrar el valor 
 a+b del Máximo.
f(x) = (x - a) (b - x)
 x2
 (2ab - a ) ( b - 2ab ) {2ab - a(a+b)} . {b(a+b) - 2ab}
f(2ab) = a+b a+b = a+b a+b . 
 a+b ( 2ab )2 4a 2 b 2 .
 a+b (a + b)2 
 
 {2ab - a 2 - ab } {ab + b 2 - 2ab }
f(2ab) = (a+b) (a+b) = (ab - a 2 ) (- ab + b 2 ) . 
 a+b 4a 2 b 2 4a2b2.
 (a + b)2
f(2ab) = (ab - a 2 ) (b 2 - ab) = a(b - a).b(b - a) = a.b .(b - a) 2 = (b - a) 2 
 a+b 4a2b 4a2b 4. a .a.b. b 4ab 
 
⇒ en x = 2ab existe un Máximo = (b - a) 2 
 a + b 4ab
30. (a - x) 3 
a - 2x
f(x) = (a - x) 3 
 
 a - 2x
 (a - 2x).d (a - x)3 - (a - x)3. d (a - 2x) 
f '(x) = dx dx .
 (a - 2x)2
 (a - 2x).3.(a - x)2.d (a - x) - (a - x)3.(- 2) 
f '(x) = dx .
 (a - 2x)2
f '(x) = 3(a - 2x)(a - x) 2 (- 1) + 2(a - x) 3 = 
 (a - 2x)2 
f '(x) = 2(a - x) 3 - 3(a - 2x)(a - x) 2 
 (a - 2x)2
f '(x) = (a - x) 2 {2(a - x) - 3(a - 2x)} 
 (a - 2x)2
f '(x) = (a - x) 2 {2a - 2x -3a + 6x } = (a - x) 2 ( 4x - a ) = 0
 (a - 2x)2 (a - 2x)2
f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0
(a - x)2 = 0
a = x
( 4x - a ) = 0
 
4x = a
x = a .
 4
Valores Criticos : x = a ; x = a/4 
Se sustituyen estos valores en f '(x).
Para x = a ; x < a = 0,9a. se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0
f '(0,9a) = {a - (0,9a)}2 { 4(0,9a) - a } = 0
f '(0,9a) = (a - 0,9a)2 (3,6a - a) = ( + )2 ( + ) = " + ".
Luego: x > a = 1,1a .Se reemplaza este valor en f '(x).
f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0 .
f '(1,1a) = {a - (1,1a)}2 {4(1,1a) - a} = (a - 1,1a)2 (4,4a - a)
f '(1,1a) = ( - )2 ( + ) = ( + ) ( + ) = " + ".
Para x =a como no hay cambio de signos, no existen Máximos 
y Mínimos.
Para x = a/4 = 0,25a.
x < a/4 = 0,24a. Se sustituye este valor en f '(x).
 
f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0
f '(0,24a) = {a - (0,24a)}2 {4(0,24a) - a} = (a - 0,24a)2 (0,96a - a).
f '(0,24a) = ( + )2 ( - ) = ( + ) ( - ) = " - ".
Luego: x > a/4 = 0,26a. Se sustituye este valor en f '(x). 
 
f '(x) = (a - x)2 ( 4x - a ) = 0
f '(0,26a) = {a - (0,26a)}2 {4(0,26a) - a} = (a - 0,26a)2 (1,04a - a)
f '(0,26a) = ( + )2 ( + ) = ( + ) = " + ".
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".
x = a/4 se reemplaza en f(x), para encontrar el valor Mínimo. 
f(x) = (a - x) 3 .
 a - 2x
 27a 3 .
 
f (x) = (a - a/4) 3 = (3a/4) 3 = 64 = 54a 3 = 27a 2 = 27 a2.
 a - 2(a/4) a - a/2 a 64a 32 32.
 2
⇒ en x = a/4 , existe un Mínimo = 27/32 a2.
31. x 2 + x - 1 
x2 - x + 1
f(x) = x 2 + x - 1 
 x2 - x + 1
 (x2 - x + 1). d (x2 + x - 1) - (x2 + x - 1). d (x2 - x + 1) 
f '(x ) = dx dx . 
 (x2 - x + 1)2 
f '(x) = (x 2 - x + 1)(2x + 1) - (x 2 + x - 1)(2x - 1) 
 (x2 - x + 1)2
f '(x) = 2x 3 - 2x 2 + 2x + x 2 - x + 1 - 2x 3 - 2x 2 + 2x + x 2 + x - 1 = 0
 (x2 - x + 1)2
f '(x) = 4x - 2x2 = 0
2x(2 - x) = 0
x = 0. 2 - x = 0 → x = 2 Valores Críticos.
Para: x = 0
x < 0 = - 0,1 , se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = 4x - 2x2 = 0
f '(- 0,1) = 4 (- 0,1) - 2(- 0,1)2 = (- 0,4) - 2(0,01) = 
f '(- 0,1) = - 0,4 - 0,02 = ( - ) = " - ".
Luego: x > 0 = 0,1, se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = 4x - 2x2 = 0
f '(0,1) = 4(0,1) - 2(0,1)2 = 4,4 - 2(0.01) = 4,4 - 0.02 = ( + ) = " + ".
La función tiene un Mínimo, va de " - " a " + ".
 
x = 0 se reemplaza en f(x), para encontrar el valor mínimo.
f(x) = x 2 + x - 1 
 x2 - x + 1
f(0) = 0 2 + 0 - 1 = - 1 = - 1 .
 02 - 0 + 1 1
⇒ en x = 0, existe un Mínimo = - 1.
Para: x = 2.
x < 2 = 1,9. Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = 4x - 2x2 
f '(1,9) = 4(1,9) - 2(1,9)2 = 7,6 - 2(3,61) = 7,6 - 7,22 = ( + ) = " + ".
Luego:x > 2 = 2,1, Se sustituye este valor en f '(x).
f '(x) = 4x - 2x2
f '(2,1) = 4(2,1) - 2(2,1)2 = 8,4 - 2(4,41) = 8,4 - 8,82 = ( - ) = "-".
La función tiene un Máximo, va de " + " a " - ".
x = 2 se reemplaza en f(x), para encontrar el valor Máximo.
 
f(x) = x 2 + x - 1 
 x2 - x + 1
f(2) = 2 2 + 2 - 1 = 5 .
 22 - 2 + 1 3
⇒ en x = 2 , exixte un Máximo = 5/3.

 
Problemas. Paginas 90, 91 y 92.
Demostrar cada una de las siguientes Derivaciones.
1. y = 3x4 - 2x3 + 6x . d 2 y = 36x2 - 12x
 dx2 
 
dy = 12x3 - 6x2 + 6.
dx
d 2 y = 36x2 - 12x
dx2
2. s = √a + bt
s = ( a + bt )1/2
ds = 1 .(a + bt)1/2-1.d (a + bt) = (a + bt) - 1/2.(b) = b . 
dt 2 dt 2 2( a + bt )1/2
ds = b . (a + bt)-1/2 
 dt 2
 
d 2 s = b .(-1 ) (a + bt)-1/2-1. d (a + bt) = - b (a + bt) -3/2 .(b) 
dt2 2 2 dt 4
d 2 s = = -b 2 .(a+bt)-3/2 . 
 
dt2 4
d 3 s = -b 2 . - 3 . (a+bt)-3/2-1.d (a+bt).
dt2 4 2 dt
d 3 s = + 3b 2 . (a+bt)-5/2.(b) = 3b 3 . (a+bt)-5/2 = 3b 3 .
dt38 8 8(a+bt)5/2
3. y = a + bx .
 a - bx
 (a-bx).d (a + bx) - (a + bx). d (a-bx) 
dy = dx dx .
dx (a-bx)2
dy = (a-bx)(b) - (a + bx)(- b) = (a-bx)(b) + (a + bx)(b) = 
dx (a-bx)2 (a-bx)2 
dy = b (a - bx + a + bx ) 
dx (a-bx)2
dy = b (2a) = 2ab .
dx (a-bx)2 (a-bx)2
d 2 y = ( - 2ab ) . d {(a-bx)2}
dx {(a-bx)2}2 dx
d 2 y = ( - 2ab ) . 2(a-bx).d (a -bx) 
dx (a-bx)4 dx
d2y = - 4ab. (a-bx)(- b) = 4ab 2 (a-bx) = 4ab 2 .
 (a-bx)4 (a-bx)4 (a-bx)3
 
4. u = √a 2 + v 2
u = (a2 + v2)1/2
du = 1 (a2 + v2)1/2-1.d (a2 + v2) = (a 2 + v 2 ) -1/2 . (2v) = 
dv 2 dv 2 
du = (a 2 + v 2 ) -1/2 . ( 2 v) = v. (a2 + v2)-1/2
dv 2 .
d 2 u = v.{d (a2 + v2)-1/2} + (a2 + v2)-1/2. dv .
dv2 dv dv
d 2 u = v. -1 . (a2 + v2)-1/2-1.d (a2 + v2) + (a2 + v2)-1/2.(1) 
 dv2 2 dv
d 2 u = - v (a 2 + v 2 ) -3/2 .( 2 v ) + (a2 + v2)-1/2 = - v2. (a2 + v2)-3/2 + (a2 + v2)-1/2 
dv2 2 .
d 2 u = -v 2 + 1 = -v 2 + (a 2 + v 2 ) = - v 2 + a 2 + v 2 = a 2 . 
dv2 (a2 + v2)3/2 (a2 + v2)1/2 (a2 + v2)3/2 (a2 + v2)3/2 (a2 + v2)3/2
 
5. y = x 2 .
 a + x
 (a+x).d (x2) - (x2).d (a+x) 
dy = dx dx = (a + x)(2x) - (x 2 )(1) = 
dx (a + x)2 (a + x)2 
dy = 2ax + 2x 2 - x 2 = 2ax + x 2 
dx (a + x)2 (a + x)2
 (a + x)2. d (2ax + x2) - (2ax + x2).d (a + x)2 
d 2 y = dx dx .
dx2 [(a + x)2]2
 (a + x)2(2a + 2x) - (2ax + x2).2. (a + x).d (a + x)
d 2 y = dx .
 
dx2 (a + x)4
d 2 y = (a + x) 2 (2a + 2x) - (2ax + x 2 ).2.(a + x)(1) 
dx2 (a + x)4
d 2 y = (a + x){ (a + x)(2a + 2x) - 2(2ax + x 2 )} = 
dx2 (a + x)4
d 2 y = (a + x){2a 2 + 2ax + 2ax + 2x 2 - 4ax - 2x 2 } =
dx2 (a + x)4 
d 2 y = (a + x) (2a 2 ) = 2a 2 .
dx2 (a + x)4 (a + x)3
6. s = t .
 √2t + 1
s = t . (2t + 1)-1/2
ds = t. d (2t + 1)-1/2 + (2t + 1)-1/2. dt 
dt dt dt
ds = t. -1 . (2t + 1)-1/2-1.d (2t + 1) + (2t + 1)-1/2(1) 
dt 2 dt
ds = -t(2t + 1) -3/2 ( 2 ) + (2t + 1)-1/2 = - t ( 2t + 1)-3/2 + (2t + 1)-1/2 
dt 2 . 
ds = - t + 1 = - t + 2t + 1 = t + 1 . 
dt (2t + 1)3/2 (2t + 1)1/2 (2t + 1)3/2 (2t + 1)3/2
 (2t + 1)3/2. d (t + 1) - (t + 1). d (2t + 1)3/2 
d 2 s = dt dt . 
dt {(2t + 1)3/2}2
 (2t + 1)3/2(1) - (t + 1). 3 . (2t + 1)3/2-1.d ((2t + 1)
d 2 s = 2 .
dt (2t + 1)3
 
 (2t + 1)3/2 - 3(t + 1)(2t + 1) 1/2 ( 2 ) 
d 2 s = 2 .
dt2 (2t + 1)3 
d 2 s = (2t + 1) 3/2 - 3(t + 1)(2t + 1) 1/2 .
dt2 (2t + 1)3
d 2 s = (2t + 1) 1/2 {(2t + 1) - 3(t + 1)} = (2t + 1) 1/2 (2t + 1 - 3t - 3) 
dt2 (2t + 1)6/2 (2t + 1)5/2 (2t + 1)1/2
d 2 s = (2t + 1) 1/2 (- t - 2) = - ( t + 2) 
dt2 (2t + 1)5/2 (2t + 1)1/2 (2t + 1)5/2
7. f (x) = x 3 - 2x 2 
 1 - x
 (1 - x). d (x3 - 2x2) - (x3 - 2x2). d (1 - x) 
f '(x) = dx dx .
 (1 - x)2
f '(x) = (1 - x).(3x 2 - 4x) - (x 3 - 2x 2 ).(- 1) 
 (1 - x)2
f '(x) = 3x 2 - 4x - 3x 3 + 4x 2 + x 3 - 2x 2 = 5x 2 - 2x 3 - 4x 
 (1 - x)2 (1 - x)2
 (1 - x)2.d (5x2 - 2x3 - 4x) - (5x2 - 2x3 - 4x). d (1 - x)2 
f ''(x) = dx dx . 
 [(1 - x)2]2
f ''(x) = (1 - x) 2 .(10x - 6x 2 - 4) - (5x 2 - 2x 3 - 4x).(2)(1 - x).d(1 - x)/dx 
 (1 - x)4
f ''(x) = (1 - x) 2 .(10x - 6x 2 - 4) - 2(5x 2 - 2x 3 - 4x)(1 - x)(-1) 
 (1 - x)4
f ''(x) = (1 - x) 2 .(10x - 6x 2 - 4) + 2(5x 2 - 2x 3 - 4x)(1 - x) 
 (1 - x)4
f ''(x) = (1 - x){(1 - x)(10x - 6x 2 - 4) + 2(5x 2 - 2x 3 - 4x)} 
 
 (1 - x)4
f ''(x) = (1 - x){10x - 6x 2 - 4 - 10x 2 + 6x 3 + 4x + 10x 2 - 4x 3 - 8x} 
 (1 - x)4
f ''(x) = (1 - x) (2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) = (2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) 
 (1 - x)4 (1 - x)3
 (1 - x)3.d (2x3 - 6x2 + 6x - 4) - (2x3 - 6x2 + 6x - 4).d (1 - x)3
f '''(x) dx dx .
 [(1 - x)3]2
 (1 - x)3.(6x2 - 12x + 6) - (2x3 - 6x2 + 6x - 4).{3(1 - x)2}.d (1 - x)
f '''(x) = dx . 
 (1 - x)6
f '''(x) = (1 - x) 3 .(6x 2 - 12x + 6 ) - (2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) {3(1 - x) 2 .(- 1)} 
 (1 - x)6
f '''(x) = (1 - x) 3 .(6x 2 - 12x + 6 } + 3(2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) (1 - x) 2 
 (1 - x)6
f '''(x) = (1 - x) 2 {(1 - x) (6x 2 - 12x + 6 ) + 3(2x 3 - 6x 2 + 6x - 4) 
 (1 - x)6
f '''(x) = (1 - x) 2 ( 6x 2 - 12x + 6 - 6x 3 + 12x 2 - 6x + 6x 3 - 18x 2 + 18x - 12) 
 (1 - x)6
f '''(x) = (1 - x) 2 ( - 6) = - 6 .
 (1 - x)6 (1 - x)4
f IV(x) = - {- 6} .d (1 - x)4 = 6 . 4(1 - x)3.d (1 - x)
 [(1 - x)4]2 dx (1 - x)8 dx
f IV(x) = 24 (1 - x) 3 (- 1) = - 24 = - 4 . 
 (1 - x)8 (1 - x)5 (1 - x)5
nota. factorial 4 = 4x3x2x1 = 24
 
8. y = 2 ;d n y = 2(-1) n n .
 x + 1 dxn (x + 1)n
Aplicamos la fórmula: c = - c . dv .
 v v2 dx
Para: dy/dx ; n = 1.
dy = - (2) . d (x + 1) = - 2 .(1) = - 2 = 2(- 1) 1 1 . 
dx (x + 1) 2 dx (x + 1) 2 (x + 1) 2 (x + 1)1+1
Nota. 1 = 1 x 1 . (factorial 1).
(-1)1= -1,porque un # negativo elevado a una potencia impar da 
como resultado un # negativo. 
Para:d 2 y/dx 2 ; n = 2.
d 2 y = - (- 2) . d {(x+1)2}= 4 (x + 1) = 4 = 2(-1) 2 2 . 
dx2 {(x + 1)2}2 dx (x + 1) 4 (x + 1)3 (x + 1)2+1
Nota. 2 = 2 x 1 . (factorial 2).
(-1)2 = +1 , porque un # negativo elevado a una potencia par da como
resultado un # positivo.
Para:d 3 y/dx 3 ; n = 3. (factorial 3 = 3x2x1)
d 3 y = - (4) . d {(x+1)3}= - 4 [3 (x + 1) 2 ] = - 12 = 2(-1) 3 3 . 
dx3 {(x + 1)3}2 dx (x + 1)6 (x + 1)4 (x + 1)3+1
Nota. 3 = 3x2x1 . (factorial 3).
(-1)3 = - 1 , porque un # negativo elevado a una potencia impar da 
como resultado un # positivo.
Ahora hacemos: d n y = 2(-1) n n .
 dxn (x + 1)n+1
Al igual que el denominador (x + 1) n+1 , (-1)n , toma los valores de
acuerdo a como se presente la derivada, sea esta "par" o "impar". 
El denominador (x + 1) n+1 , "n" recibe los valores correspondientes,
de acuerdo al exponente de la derivada. Ejm. Si es: 
dy . n sera igual a 1 ; d 2 y . n sera igual a 2 ; d 3 y . n sera igual a 3. 
dx dx2 dx3
 n = Factorial "n" ; Ejm 3 = 3x2x1
9. x2 + y2 = r 2
2x + 2y.dy = d (r2) ; 2x + 2y.dy = 0 ; dy = - 2 x = - x .
 
 dx dx dx dx 2 y y 
 y.d (-x) - (-x).dy
d 2 y = dx dx . Sustituyendo dy en d 2 y .
dx2 y2 dx dx2
 y(-1) - (-x)( -x ) - y - x 2 - y 2 - x 2 
d 2 y = y = y = y = -x 2 - y 2 =
dx2 y2 y2 y2 y3 
 
d 2 y = - (x 2 + y 2 ) . Pero: x2 + y2 = r2
dx2 y3
d 2 y = - r 2 . 
dx2 y3
10. y2 = 4ax
2y.dy = 4a.dx ; 2y.dy = 4a(1) ; dy = 4 a = 2a .
 dx dx dx dx 2y y
d 2 y = - (2a) . dy . Pero: dy = 2a
dx2 y2 dx dx y
d 2 y = - 2a . 2a = - 4a 2 . 
dx2 y2 y y3
11. b2x2 + a2y2 = a2b2
2b2x + 2a2y.dy = 0
 dx
dy = - 2 b 2 x = - b 2 x 
dx 2a2y a2y
 
 (a2y).d (-b2x) - (-b2x).d (a2y) 
d 2 y = dx dx = 
dx2 (a2y)2 
 (a2y).(-b2).dx - (-b2x).(a2).dy
d 2 y = dx dx = 
dx2 a4y2
d 2 y = - a 2 b 2 y(1) + a 2 b 2 x.dy/dx . Sustituyendo: dy/dx = - b2x/a2y
dx2 a4y2
 - a2b2y(1) + a2b2x. -b 2 x - a2b2y - b 4 x 2 - a 2 b 2 y 2 - b 4 x 2 
d 2 y = a 2 y = y = y . 
dx2 a4y2 a4y2 a 4 y 2 . 
 1
d 2 y = - a 2 b 2 y 2 - b 4 x 2 = - b 2 (a 2 y 2 + b 2 x 2 ) = - b 2 .a 2 b 2 = 
dx2 a4y3 a4y3 a4.y3 
d 2 y = - b 2 .a 2 b 2 = - b 4 . Reemplazando: (a2y2 + b2x2) = a2b2.
dx2
d 2 y = - b 2 .a 2 b 2 = - b 2 .a 2 b 2 = - b 4 .
dx2 a4.y3 a2. a2.y3 a2.y3
d 3 y = - (- b 4 ) . d (a2.y3)
dx3 (a2.y3)2 dx
d 3 y =+ b 4 . 3a2y2.dy . Sustituyendo: dy = - b 2 x 
dx3 a4.y6 dx dx a2y
 d 3 y = 3 .a 2 .b 4 .y 2 . (- b 2 x ) = - 3b 6 x . 
dx3 a2.a2.y2.y4 a2y a4y5
12. ax2 + 2hxy + by2 = 1
2ax + 2h{x.dy + y.dx } + 2by.dy = d (1)
 dx dx dx dx
 
2ax + 2h{x.dy + y(1)} + 2by.dy = 0
 dx dx
2ax + 2hx.dy + 2hy + 2by.dy = 0
 
 dx dx
2hx.dy + 2by.dy = - 2ax - 2hy
 dx dx
dy (2hx + 2by) = - 2 (ax + hy) 
dx
dy = - 2 (ax + hy) = - 2 (ax + hy) = - (ax + hy) . 
dx (2hx + 2by) 2 (hx + by) (hx + by)
dy = - 2 (ax + hy) = - 2 (ax + hy) = - (ax + hy) . 
dx (2hx + 2by) 2 (hx + by) (hx + by)
dy = - (ax + hy) = - ax - hy .
dx (hx + by) (hx + by)
 (hx + by).d {-ax - hy)} - {-ax - hy}.d (hx + by) 
d 2 y = dx dx . 
dx2 (hx + by)2
 (hx + by).(-a.dx - h.dy ) - {-ax - hy}.(h.dx + b.dy )
d 2 y = dx dx dx dx .
dx2 (hx + by)2
 (hx + by).(-a(1) - h.dy ) - {-ax - hy}.(h(1) + b.dy )
d 2 y = dx dx .
dx2 (hx + by)2
 - a.h.x - a.b.y - h2.x.dy - b.h.y.dy + a.h.x + h2.y + a.b.x.dy + b.h.y.dy 
d 2 y = dx dx dx dx 
dx2 (hx + by)2
 
 - a.h.x - a.b.y - h2xdy - b.h.y.dy + a.h.x + h2.y + abx.dy + b.h.y.dy .
d 2 y = dx dx dx dx . 
dx2 (hx + by)2
 - a.b.y - h2.x.dy + h2.y + a.b.x.dy a.b.x.dy - h2.x.dy - a.b.y + h2.y 
d 2 y = dx dx = dx dx . 
dx2 (hx + by)2 (hx + by)2
Factorizando el númerador.
 x.dy (ab - h2) - y (ab - h2 ) (ab - h2) (x.dy - y )
d 2 y = dx = dx .
dx2 (hx + by)2 (hx + by)2
 Pero: dy = - ax - hy 
 dx hx + by
 (ab - h2) {x [-(ax - hy)] - y} (ab - h2) { - ax 2 - hxy -hxy - by 2 }
d 2 y = (hx + by) = (hx + by) .
dx2 (hx + by)2 (hx + by)2
 (ab - h2) [- (ax 2 + 2hxy + by 2 ) ] 
d 2 y = (hx + by) . Pero: (ax2 + 2hxy + by2) = 1.
dx2 (hx + by)2 
 (ab - h 2 ) [- ( 1)] 
d 2 y = (hx + by) = - (ab - h 2 ) =
dx2 (hx +by) 2 (hx + by)2 (hx + by).
 1
d 2 y = - (ab - h 2 ) = h 2 - ab .
dx2 (hx + by)3 (hx + by)3.
13. x3 + y3 = 1
d (x3) + d (y3) = d (1)
dx dx dx
 
3x2 + 3y2.dy = 0
 dx
dy = - 3x 2 = - x 2 . 
dx 3y2 y2
 y2. d (- x2) - (- x2). d (y2) (y2)(- 2x) + (x2)(2y).dy 
d 2 y = dx dx = dx . 
dx2 (y2)2 y4
Sustituyendo: dy = - x2/y2.
 dx
 - 2xy2 + 2x2y . - x 2 - 2xy2 - 2x 4 - 2xy 3 - 2x 4 
d 2 y = y 2 = y = y = 
dx2 y4 y4 y 4 .
 1
d 2 y = - 2x(x 3 + y 3 ) 
dx2 y5
Pero: x3 + y3 = 1 ⇒ d 2 y = - 2x(x 3 + y 3 ) = - 2x ( 1) = - 2x . 
 dx2 y5 y5 y5
14. x4 + 2x2y2 = a4
d (x4) + 2.d (x2y2) = d (a4)
dx dx dx
4x3 + 2 {x2.d (y2) + (y2).d (x2)} = 0
 dx dx
4x3 + 2{(x2) (2y).dy + (y2) (2x) } = 0
 dx 
4x3 + 2{2x2y.dy + 2xy2} = 0
 dx
4x3 + 4x2y.dy + 4xy2 = 0
 dx
 
dy = - 4x 3 - 4xy 2 = - 4x( x 2 + y 2 ) = - (x 2 + y 2 ) 
dx 4x2y 4x2y xy 
 (x.y).d{-(x2+y2)}-{-(x2 + y2)}.d (x.y) 
d 2 y = dx dx = 
dx2 (xy)2 
 (x.y).d (-x2-y2) + (x2+y2).d (xy)
d 2 y = dx dx .
dx2 (xy)2
 (x.y).(-2x - 2y.dy) + (x2+y2).{x.dy + y.dx }
d 2 y = dx dx dx = 
dx2 (xy)2
 (x.y)(-2x - 2y.dy) + (x2+y2).{x.dy + y(1)}
d 2 y = dx dx .
dx2 (xy)2
 - 2x2y - 2xy2.dy + x3.dy + x2y + xy2.dy + y3
d 2 y = dx dx dx .
dx2 (xy)2
 - 2x2y - 2xy2.dy + x3.dy + x2y + xy2.dy + y3
d 2 y = dx dx dx .
dx2 (xy)2
 - x2y - xy2.dy + x3.dy + y3 x3.dy - xy2.dy - x2y + y3
 d 2 y = dx dx = dx dx . 
dx2 (xy)2 (xy)2
 x.dy ( x2 - y2 ) - y ( x2 - y2 ) ( x2 - y2) { x.dy - y } 
d 2 y = dx = dx . 
dx2 (xy)2 (xy)2
Pero: dy = - x 2 - y 2 .
 dx xy
 ( x2 - y2) { x.(- x 2 - y 2 ) - y} ( x2 - y2) { x .(- x 2 - y 2 ) - y}
 
d 2 y = xy = x .y .
dx2 x2y2 x2y2
 ( x2 - y2)( - x 2 - y 2 - y 2 ) ( x 2 - y 2 ) (- x 2 - 2y 2 ) 
d 2 y = y = y =
dx2 x2y2 x 2 y 2 . 
 1
d 2 y = ( x 2 - y 2 ) (- x 2 - 2y 2 ) = - x 4 - 2x 2 y 2 + x 2 y 2 + 2y 4 
dx2 x2.y2.y x2y3
d 2 y = = - x 4 - 2x 2 y 2 + x 2 y 2 + 2y 4 = 2y 4 - x 2 y 2 - x 4 . 
dx2 x2y3 x2y3
En los problemas 15 a 25 , obtener los valores de y' y y" para los 
valores dados de las variables. 
15. y = √ax + a 2 ; x = a.
 √ax
y = (ax)1/2 + a2(ax)-1/2
dy = 1 . (ax)1/2-1. d (ax) + a2.(- 1 ) (ax)-1/2-1 d (ax)
dx 2 dx 2 dx
dy = (ax) -1/2 .(a) + (-a 2 ) (ax) -3/2 (a) = a - a 3 . 
dx 2 2 2 (ax)1/2 2(ax)3/2
dy = a 2/2 - a 6/2 = a 1/2 - a 3/2 . 
dx 2.a1/2.x1/2 2.a3/2.x3/2 2x1/2 2x3/2 
Sustituyendo: x = a. 
dy = y' = a 1/2 - a 3/2 = a 1/2 - a 3/2 = 1 - 1 = 0 
 
dx 2.a1/2 2.a3/2 2. a1/2 2. a3/2 2 2
 
d 2 y = (- a 1/2 ) .d (2x1/2) - (- a 3/2 ) . d (2x3/2) = 
dx2 (2x1/2)2 dx (2x3/2)2 dx 
 
 
 
d 2 y = (-a 1/2 ) . 2 . 1 .x1/2-1 + a 3/2 . 2 . 3 .x3/2-1 = (-a 1/2 ) x -1/2 + 3a 3/2 .x1/2 
dx2 4x 2 4x3 2 4x 4x3 
d 2 y = - a 1/2 + 3a 3/2 .x 1/2 = - a 1/2 + 3a 3/2 . Sustituyendo: x = a. 
dx2 4x.x1/2 4x6/2 4x3/2 4x5/2
d 2 y = - a 1/2 + 3 a 3/2 = - 1 + 3 = - 1 + 3 . 
dx2 4a3/2 4a5/2 4a2/2 4a2/2 4a 4a
d 2 y = y" = 2 = 2 = 1 .
dx2 4a 4 a 2a
 
16. y = √25 - 3x ; x = 3
y = (25 - 3x)1/2
dy = 1 . (25 - 3x)1/2-1. d (25 - 3x) 
dx 2 dx
dy = (25 - 3x) -1/2 .( - 3 ) = - 3 .Sustituyendo: x = 3, en y'.
dx 2 2(25 - 3x)1/2 
y' = dy = - 3 = - 3 = - 3 .
 dx 2(25-3x)1/2 2[25 - 3(3)]1/2 2(25 - 9)1/2 
y' = dy = - 3 = - 3 = - 3 .
 dx 2(16)1/2 2(4) 8
d 2 y = y" = - (-3) . d {2(25 - 3x)1/2} = 
dx2 {2(25 - 3x)1/2}2 dx
 y" = 3 . 2 . 1 . (25 - 3x)1/2-1.d (25 - 3x) 
 22. [(25 - 3x)1/2]2 2 dx
 
y" = 3 . (25 - 3x)-1/2.(- 3) = - 9 = 
 
 4(25 - 3x) 4(25 - 3x). (25 - 3x)1/2 
y" = - 9 . Sustituyendo: x = 3 en y".
 4(25 - 3x)3/2
y"= - 9 = - 9 = - 9 = - 9 = 
 4[25 - 3(3)]3/2 4(25 - 9)3/2 22(16)3/2 22(24)3/2 
y"= - 9 = - 9 = - 9 .
 22(26) 28 256
17. y = x √x2 + 9 ; x = 4
y = x (x2 + 9)1/2.
y'= x.d (x2 + 9)1/2 + (x2 + 9)1/2.dx . 
 dx dx
y'= x. 1 . (x2 + 9)1/2-1.d (x2 + 9) + (x2 + 9)1/2(1)
 2 dx
y'= x (x 2 + 9) -1/2 ( 2 x) + (x2 + 9)1/2 = x2(x2 + 9)-1/2 + (x2 + 9)1/2.
 2 .
y'= x 2 + (x2 + 9)1/2 = x 2 + {(x 2 + 9) 1/2 } 2 . 
 (x2 + 9)1/2(x2 + 9)1/2 
y'= x 2 + (x 2 + 9) 2/2 = x 2 + (x 2 + 9) = 2x 2 + 9 .
 (x2 + 9)1/2 (x2 + 9)1/2 (x2 + 9)1/2
Sustituyendo: x = 4 en y'.
y'= 2x 2 + 9 = 2(4) 2 + 9 = 2(16) + 9 = 41 . 
 (x2 + 9)1/2 [42 + 9]1/2 (25)1/2 5
 (x2 + 9)1/2.d (2x2 + 9) - (2x2 + 9).d (x2 + 9)1/2. 
 
y" = dx dx .
 [(x2 + 9)1/2]2
 (x2 + 9)1/2.(4x) - (2x2 + 9). 1 .(x2 + 9)1/2-1.d (x2 + 9) . 
y" = 2 dx .
 (x2 + 9)2/2
 (x2 + 9)1/2.(4x) - (2x2 + 9).(x 2 + 9) -1/2 .( 2 x ) . 
y" = 2 .
 (x2 + 9)
 (x2 + 9)1/2.(4x) - (2x 2 + 9).(x) [(x 2 + 9) 1/2 ] 2 (4x) - (2x 2 + 9).(x) . 
y" = (x 2 + 9) 1/2 = (x 2 + 9) 1/2 .
 (x2 + 9) (x2 + 9)
y" = (x 2 + 9)(4x) - (2x 2 + 9).(x) = 4x 3 + 36x - 2x 3 - 9x = 2x 3 + 27x .
 (x2 + 9)2/2(x2 + 9)1/2 (x2 + 9)3/2 (x2 + 9)3/2
Cuando x = 4.
y" = 2x 3 + 27x = 2(4) 3 + 27(4) = 128 + 108 = 236 = 236 = 236 .
 (x2 + 9)3/2 [(4)2 + 9]3/2 (25)3/2 (52)3/2 53 125
18. x2 - 4y2 = 9 ; x = 5 ; y = 2 .
2x - 8y.dy = 0
 dx
2x = 8y.dy = 2x 
 dx 
y' = dy = 2x = x . Sustituyendo: x = 5 y y = 2 en y' 
 dx 8y 4y
y' = x = 5 = 5 .
 4y 4(2) 8
 4y.d (x) - x.d (4y) 4y(1) - x. 4 .dy 4y - 4x.dy
y"= dx dx = dx = dx .
 
 (4y)2 (4y)2 (4y)2
Sustituyendo el valor de y' o dy en y".
 dx
 4y - 4x.dy 4y - 4x. x 4y - 4x 2 . 4y.4y - 4x 2 
y"= dx = 4y = 4y = 4y = 
 (4y)2 16y2 16y2 16y2 
 
 16y 2 - 4x 2 
y"= 4y = 4 (4y 2 - x 2 ) = 4y 2 - x 2 . Cuando x = 5 y y = 2.
 16y 2 4y.16y2 16y3
 1
y"= 4y 2 - x 2 = 4(2 2 ) - 5 2 = 16 - 25 = - 9 .
 16y3 16(23) 16(8) 128
19. x2 + 4xy + y2 + 3 = 0 ; x = 2 ; y = - 1.
2x + 4 {x.dy + y.dx } + 2y.dy + d (3) = 0 
 dx dx dx dx
2x + 4 { x.dy + y(1)} + 2y.dy + 0 = 0
 dx dx
2x + 4 { x.dy + y} + 2y.dy = 0 ; 2x + 4x.dy + 4y + 2y.dy = 0
 dx dx dx dx
 
4x.dy + 2y.dy = - 2x - 4y ; 2dy (2x + y ) = - 2x - 4y 
 dx dx dx
dy = - 2x - 4y = - 2(x + 2y) = - 2 (x + 2y) = - (x + 2y) .
dx 2(2x + y) 2(2x + y) 2 (2x + y) (2x + y )
 Cuando x = 2 ; y = - 1. 
 
y' = - (x + 2y) = - {2 + 2(-1)} = - (2 - 2) = 0 = 0.
 
 (2x + y ) {2(2) + (-1)} 4 - 1 3
 (2x + y ).d { - (x + 2y)} - { - (x + 2y)}.d (2x + y ) 
y" = dx dx .
 (2x + y )2
 (2x + y ).d (- x - 2y) + (x + 2y).{2.dx + dy }
y" = dx dx dx .
 (2x + y )2
 (2x + y )(-dx - 2.dy) + (x + 2y).(2.dx + dy) 
y" = dx dx dx dx .
 (2x + y )2
 (2x + y )(-1 -2.dy) + (x + 2y).{2(1) + dy }
y" = dx dx .
 (2x + y )2
 - 2x - 4xdy - y - 2y.dy + 2x + x.dy + 4y + 2y.dy . 
y" = dx dx dx dx .
 (2x + y )2
 - 3x.dy + 3y
y" = dx = Sustituyendo dy = 0 ; x = 2 ; y = -1.
 (2x + y )2 dx
y"= - 3x(0) + 3y = 0 + 3( -1) = - 3 = - 3 = - 3 = - 1 . 
 
 (2x + y )2 {2(2) + (-1)}2 (4 - 1)2 (3)2 9 3
20. y = (3 - x2)4 ; x = 1
y' = 4(3 - x2)4-1.d (3 - x2).
 dx
y'= 4(3 - x2)3 (- 2x) = - 8x(3 - x2)3. Sustituyendo x = 1.
y'= - 8(1)[3 - (1)2]3 = - 8(3 - 1)3 = - 8(2)3 = - 8(8) = - 64 .
 
y" = (-8x).d (3 - x2)3 + (3 - x2)3.d (- 8x)
 dx dx
 
y" = (-8x).(3).(3 - x2)3-1.d (3 - x2) + (3 - x2)3.(-8) 
 dx
y"= - 24x.(3 - x2)2.(- 2x) - 8.(3 - x2)3 
y"= 48x2(3 - x2)2 - 8.(3 - x2)3 = 8(3 - x2)2[6x2 - (3 - x2)] = 
y"= 8(3 - x2)2(6x2-3+ x2) . Sustituyendo x = 1, en y".
 
y"= 8{3 - (1)2}2{6(1)2 - 3 + (1)2} = 8(3 - 1)2(6 - 3 + 1) = 
y"= 8(2)2(4) = 8(4)(4) = 128 .
21. y = √1 + 2x ; x = 4
y = (1 + 2x)1/2
dy = 1 . (1 + 2x)1/2-1.d (1 + 2x)
dx 2 dx
dy = (1 + 2x) -1/2 .( 2 ) = (1 + 2x)-1/2 = 1 . Cuando: x = 4 . 
dx 2 (1 + 2x)1/2
dy = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 .
dx [1 + 2(4)]1/2 (1 + 8)1/2 (9)1/2 (32)1/2 32/2 3
d 2 y = - 1 . (1 + 2x)-1/2-1. d (1 + 2x)
dx2 2 dx
d 2 y = - (1 + 2x) -3/2. (2) = - 1 . Sustituyendo: x = 4 en y". 
dx2 2 (1 + 2x)3/2 
d 2 y = - 1 = - 1 = - 1 = - 1 = - 1 = - 1 .
dx2 [1 + 2(4)]3/2 (9)3/2 (32)3/2 36/2 33 27
 
22. y = ∛(x2 + 4) ; x = 2 .
y = (x2 + 4)1/3
dy = 1. (x2 + 4)1/3-1. d (x2 + 4)
dx 3 dx
dy = 1. (x2 + 4)-2/3.(2x) = 2x = 2 (2) = 4 =
dx 3 3(x2 + 4)2/3 3(22 + 4)2/3 3(8)2/3 
dy = y’ = 4 = 4 . 4 = 1 .
dx 3(23)2/3 3(2)2 12 3
 3(x2 + 4)2/3. d (2x) - (2x).d [3(x2 + 4)2/3] 
y"= dx dx . 
 {3(x2 + 4)2/3}2
 3(x2 + 4)2/3.(2) - (2x).[3. 2 .(x2 + 4)2/3-1.d (x2 + 4) ]
y"= 3 dx .
 9(x2 + 4)4/3
y"= 6(x 2 + 4) 2/3 - (2x).2(x 2 + 4) -1/3 .(2x) = 6(x 2 + 4) 2/3 - 8x 2 (x 2 + 4) -1/3 
 9(x2 + 4)4/3 9(x2 + 4)4/3
 6(x2 + 4)2/3 - 8x 2 6(x 2 + 4) 2/3 . (x 2 + 4) 1/3 - 8x 2 
y"= (x 2 + 4) 1/3 = (x 2 + 4) 1/3 . 
 9(x2 + 4)4/3 9(x 2+ 4) 4/3 .
 1
y"= 6(x 2 + 4) 3/3 - 8x 2 = 6x 2 + 24 - 8x 2 = 24 - 2x 2 .
 9(x2 + 4)4/3. (x2 + 4)1/3 9(x2 + 4)5/3 9(x2 + 4)5/3
Cuando: x = 2.
 1
y"= 24 - 2(2) 2 = 24 - 8 = 16 = 16 = 16 = 1 .
 9[22 + 4]5/3 9(8)5/3 9 (23)5/3 9(2)5 9( 32 ) 18
 
 2
23. y = x √(3x - 2) ; x = 2
y = x.(3x - 2)1/2
 
dy = x.d [(3x - 2)1/2] + (3x - 2)1/2.d (x) 
dx dx dx
dy = x. 1 . (3x - 2)1/2-1.d (3x - 2) + (3x - 2)1/2.(1) 
dx 2 dx
dy = x.(3x - 2) -1/2 .(3) + (3x - 2)1/2 = 3x + (3x - 2)1/2
dx 2 2(3x - 2)1/2 
dy = 3x + 2{(3x - 2) -1/2 } 2 = 3x + 2(3x - 2) = 3x + 6x - 4 = 
dx 2(3x - 2)1/2 2(3x - 2)1/2 2(3x - 2)1/2 
 
dy = 9x - 4 .Cuando: x = 2. 
dx 2(3x - 2)1/2
y'= dy = 9x - 4 = 9(2) - 4 = 18 - 4 = 
 dx 2(3x - 2)1/2 2[3(2) - 2]1/2 2(4)1/2 
y'= 14 = 14 = 14 = 7 .
 2(22)1/2 2(2) 4 2
 2(3x - 2)1/2.d (9x - 4) - (9x - 4).d { 2(3x - 2)1/2} 
y"= dx dx .
 2(3x - 2)1/2
 2(3x - 2)1/2.(9) - (9x - 4).{ 2. 1 .(3x - 2)1/2-1.d (3x - 2) 
y"= 2 dx .
 {2(3x - 2)1/2}2
y"= 18.(3x - 2) 1/2 - (9x - 4).{ (3x - 2) -1/2 .(3)} 
 
 4(3x - 2)2/2
 18(3x - 2)1/2 - 3(9x - 4) 18(3x - 2) 1/2 (3x - 2) 1/2 - 3(9x - 4) 
y"= (3x - 2) 1/2 = (3x - 2) 1/2 . 
 4(3x - 2) 4(3x - 2)
 18(3x - 2) - 3(9x - 4) 54x - 36 - 27x + 12 27x - 24 .
y"= (3x - 2) 1/2 = (3x - 2) 1/2 = (3x - 2) 1/2 
 4(3x - 2) 4(3x - 2) 4(3x - 2)
y"= 27x - 24 = 27x - 24 . 
 4(3x - 2)2/2(3x - 2)1/2 4(3x - 2)3/2
 
Sustituyendo x = 2 en y". y"= 27(2) - 24 = 54 - 24 =
 4{3(2) - 2}3/2 4(6 - 2)3/2
y"= 30 = 30 = 30 = 30 = 30 = 15 . 
 4(4)3/2 4(22)3/2 4(2)3 4(8) 32 16
24. y2 + 2xy = 16 ; x = 3 ; y = 2
2y.dy + 2[x.dy + y.dx] = d (16)
 dx dx dx dx
2y.dy + 2[x.dy + y.(1)] = 0
 dx dx
2y.dy + 2x.dy + 2y = 0
 dx dx
2.dy (x + y) = - 2y
 dx
dy = - 2 y = - y . Cuando: x = 3 ; y = 2.
dx 2(x + y) (x + y)
 
y'= dy = - 2 = - 2 .
 dx (3 + 2) 5
 (x + y).d (- y) - (-y).d (x + y) -(x + y).dy + (y)(dx + dy)
y"= dx dx = dx dx dx
 (x + y)2 (x + y)2
 -(x + y).dy + (y)(dx + dy) -(x + y).dy + (y)(1+ dy)
y"= dx dx dx = dx dx = 
 (x + y)2 (x + y)2
y"= - x.y' - y.y' + y + y.y' = y - xy' .
 (x + y)2 (x + y)2
Sustituyendo: x = 3 ; y = 2 ; y'= - 2/5.
 2 - (3)(- 2 ) 2 + 6 16
 y"= 5 = 5 = 5 = 16 . 
 (3 + 2)2 52 25 125
 1
25. x3 - xy2 + y3 = 8 ; x = 2 ; y = 2 .
3x2 - {x.d (y2) + y2.d (x)} + 3y2.dy = d (8)
 dx dx dx dx
3x2 - {x.2y.dy + y2.(1)} + 3y2.dy = 0
 dx dx 
3x2 - 2xy.dy - y2 + 3y2.dy = 0
 dx dx
y.dy (3y-2x) = y2 - 3x2 ; dy = y 2 - 3x 2 = y 2 - 3x 2 .Cuando: x = 2 ; y = 2 
 dx dx y(3y - 2x) 3y2 - 2xy
y'= dy = 2 2 - 3(2 2 ) = 4 - 12 = - 8 = - 8 = - 2
 dx 2[3(2) - 2(2)] 2(6 - 4) 2(2) 4
 
 ( 3y2 - 2xy).d (y2 - 3x2) - (y2 - 3x2).d {( 3y2 - 2xy)} 
y"= dx dx .
 ( 3y2 - 2xy)2
 (3y2 - 2xy)(2y.dy - 6x) - (y2 - 3x2).{6y.dy - 2[x.dy + y.dx]} 
y"= dx dx dx dx .
 ( 3y2 - 2xy)2
 (3y2 - 2xy)(2y.dy - 6x) - (y2 - 3x2).{6y.dy - 2[x.dy + y(1)]} 
y"= dx dx dx .
 ( 3y2 - 2xy)2
 ( 3y2 - 2xy)(2y.dy - 6x) - (y2 - 3x2).{6y.dy - 2x.dy - 2y} 
y"= dx dx dx .
 ( 3y2 - 2xy)2
 (6y3.dy-18xy2-4xy2.dy +12x2y) - (6y3.dy-2xy2.dy-2y3-18x2y.dy+6x3.dy + 6x2y) 
y"= dx dx dx dx dx dx .
 (3y2 - 2xy)2
 6y3.dy - 18xy2 - 4xy2.dy + 12x2y - 6y3.dy + 2xy2.dy + 2y3 + 18x2y.dy - 6x3.dy - 6x2y 
y"= dx dx dx dx dx dx . 
 ( 3y2 - 2xy)2
 6y3.dy - 18xy2 - 4xy2.dy + 12x2y - 6y3.dy + 2xy2.dy + 2y3 + 18x2y.dy - 6x3.dy - 6x2y 
y"= dx dx dx dx dx dx . 
 ( 3y2 - 2xy)2
 - 18xy2 - 2xy2.dy + 6x2y + 2y3 + 18x2y.dy - 6x3.dy 
y"= dx dx dx . 
 ( 3y2 - 2xy)2
Sustituyendo: x = 2 ; y = 2 ; y'= -2
 
y"= -18(2)(2) 2 - 2(2)(2) 2 (-2) + 6(2) 2 (2) + 2(2) 3 + 18(2) 2 (2)(-2) - 6(2) 3 (-2) 
 [3(2)2 - 2(2)(2)]2 
 
y"= - (36)(4) + (8)(4) + (12)(4) + 2(8) - 72(4) + 12(8) 
 ( 12 - 8 )2
 
y"= - 144 + 32 + 48 + 16 - 288 + 96 = 192 - 432 = - 240 = - 15
 
 16 16 16
Hallar d 2 y en cada uno de los ejercicios siguientes:
 dx2 
26. y = x3 - 3 .
 x
dy = 3x2 - { (-3) . dx } = 3x2 + 3 . (1) = 3x2 + 3 . 
dx ( x )2 dx x2 x2
 d 2 y = 6x + {(-3) . d (x2)} = 6x + {- 3 .(2x)} = 6x + {- 6 x } = 6x - 6.dx2 (x2)2 dx x4 x3. x x3
 d 2 y = 6(x - 1 ) = 6(x 4 - 1 ) = 6(x 2 +1)(x 2 - 1) = 6(x 2 +1)(x+1)(x - 1) .
dx2 x3 x3 x3 x3
27. y = x 2 .
 x2 + a2
 (x2 + a2).d (x2) - (x2).d (x2 + a2) 
dy = dx dx . 
dx (x2 + a2)2
dy = (x 2 + a 2 )(2x) - (x 2 )(2x) = 2x( x 2 + a 2 - x 2 ) = 
dx (x2 + a2)2 (x2 + a2)2 
dy = 2x( a 2 ) = 2a 2 x .
dx (x2 + a2)2 (x2 + a2)2
 (x2 + a2)2.d (2a2x) - (2a2x).d (x2 + a2)2 
d 2 y = dx dx .
dx2 [(x2 + a2)2]2
 (x2 + a2)2.[2a2.dx] - (2a2x)(2)(x2 + a2)2-1.d (x2 + a2) 
d 2 y = dx dx .
dx2 (x2 + a2)4
 
d 2 y = (x 2 + a 2 ) 2 .[2a 2 .(1)] - (4a 2 x)(x 2 + a 2 ).(2x) 
d2x (x2 + a2)4
d 2 y = 2a 2 (x 2 + a 2 ) 2 - (8a 2 x 2 )(x 2 + a 2 ) = 2a 2 (x 2 + a 2 ) {x 2 +a 2 - 4x 2 } 
dx2 (x2 + a2)4 (x2 + a2) (x2 + a2)3
d 2 y = 2a 2 (a 2 - 3x 2 ) . 
 
dx2 (x2 + a2)3
28. y = ∛2 - 3x
y = (2 - 3x)1/3
dy = 1 . (2 - 3x)1/3-1.d (2 - 3x) 
dx 3 dx
dy = (2 - 3x) -2/3 (- 3 ) = - 1 = - (2 - 3x)-2/3 . 
 
dx 3 (2 - 3x)2/3
d 2 y = - (-2 )(2 - 3x)-2/3-1.d (2 - 3x) = ( 2 )(2 - 3x)-5/3.(- 3) 
dx2 3 dx 3 .
d 2 y = - 2 . 
dx2 (2 - 3x)5/3
29. y = x √a2 - x2
y = x (a2 - x2)1/2
dy = x. d (a2 - x2)1/2 + (a2 - x2)1/2.d (x)
dx dx dx
dy = x.1.(a2 - x2)1/2-1.d(a2 - x2) + (a2 - x2)1/2.(1) = 
dx 2 dx 
 
dy = x(a 2 - x 2 ) -1/2 (-2x ) +(a2 - x2)1/2 = - 2 x 2 + (a2 - x2)1/2 = 
dx 2 2 (a2 - x2)1/2
dy = -x 2 + {(a 2 - x 2 ) 1/2 }2 = -x 2 + (a 2 - x 2 ) 
dx (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2
dy = -x 2 + a 2 - x 2 = a 2 - 2x 2 .
dx (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2
 (a2 - x2)1/2.d (a2 - 2x2) - (a2 - 2x2).d (a2 - x2)1/2 
d 2 y = dx dx . 
dx2 [(a2 - x2)1/2]2
 (a2 - x2)1/2(- 4x) - (a2 - 2x2).1.(a2 - x2)1/2-1.d (a2 - x2) 
d 2 y = 2 dx . 
dx2 [(a2 - x2)1/2]2
 (a2 - x2)1/2(- 4x) - (a2 - 2x2).1.(a2 - x2)-1/2(- 2x) 
d 2 y = 2 . 
dx2 [(a2 - x2)1/2]2
d 2 y = - 4x (a 2 - x 2 ) 1/2 + x (a 2 - x 2 ) 1/2 = x (a 2 - x 2 ) 1/2 {- 4 + 1} = 
dx2 (a2 - x2) (a2 - x2)1/2 (a2 - x2)1/2 
d 2 y = - 3x .
dx2 (a2 - x2)1/2
30. y2 - 4xy = 16
2y.dy - 4{x.dy + y.dx} = d (16)
 dx dx dx
2y.dy - 4x.dy - 4y(1) = 0
 dx dx 
2dy ( y - 2x) = 4y
 
 dx
dy = 4 y = 2y . 
dx 2 ( y - 2x) ( y - 2x)
 ( y - 2x).d (2y) - (2y).d ( y - 2x)
d 2 y = dx dx .
dx2 ( y - 2x)2
 ( y - 2x)(2.dy) - (2y)[ dy - 2(1)]
d 2 y = dx dx .
dx2 ( y - 2x)2
 2y.dy - 4x.dy - 2y.dy + 4y] 4 (y - x.dy )
d 2 y = dx dx dx = dx . 
dx2 ( y - 2x)2 ( y - 2x)2
Pero: y'= 2y/y - 2x.
 4 {y - x.[ 2y ]} 4{ y (y - 2x) - 2xy} 4(y 2 - 2xy - 2xy) 
d 2 y = y - 2x = y - 2x = y - 2x = 
dx2 ( y - 2x)2 ( y - 2x) 2 ( y - 2x) 2 . 
 1 1
d 2 y = 4(y 2 - 4xy) = 4y (y - 4x) .
dx2 ( y - 2x)3 (y - 2x)3
31. x3 - 3axy + y3 = b3
3x2 - 3a{x.dy + y.dx} + 3y2.dy = d (b3)
 dx dx dx dx
3x2 - 3ax.dy - 3ay(1) + 3y2.dy = 0
 dx dx
3dy ( y2 - ax ) = 3ay - 3x2 
 dx
3dy ( y2 - ax ) = 3( ay - x2 )
 
 dx
 
dy = 3 (ay - x 2 ) = (ay - x 2 ) 
dx 3( y2 - ax ) ( y2 - ax )
 ( y2 - ax ).d (ay - x2 ) - (ay - x2 ).d ( y2 - ax ) 
d 2 y = dx dx . 
dx2 ( y2 - ax )2
 ( y2 - ax ).[a.dy - 2x ) - (ay - x2 )( 2y.dy - a.dx ) 
d 2 y = dx dx dx . 
dx2 ( y2 - ax )2
 ( y2 - ax ).[a.dy - 2x ) - (ay - x2 )( 2y.dy - a ) 
d 2 y = dx dx . 
dx2 ( y2 - ax )2
 ay2.dy - 2xy2 - a2x.dy + 2ax2 - 2ay2.dy + a2y + 2x2y.dy - ax2 
d 2 y = dx dx dx dx . 
dx2 ( y2 - ax )2
 ay2. dy -2xy2 - a2x.dy + 2ax2 - 2ay2.dy + a2y +2x2y.dy - ax2 
d 2 y = dx dx dx dx . 
dx2 ( y2 - ax )2
 - ay2.dy + ax2 - 2xy2 - a2x.dy + a2y + 2x2y.dy
d 2 y = dx dx dx .
dx2 ( y2 - ax )2
 dy (- ay2 - a2x + 2x2y ) + ( ax2 - 2xy2 + a2y ) 
d 2 y = dx .
dx2 ( y2 - ax )2
Pero: dy = y'= (ay - x 2 ) ; Sustituyendo en y" o d2y/dx2. 
 dx (y2 - ax)
 
 
 (ay - x 2 ) (- ay2 - a2x + 2x2y ) + ( ax2 - 2xy2 + a2y ) 
d 2 y = (y 2 - ax) .
dx2 ( y2 - ax )2
 (ay - x 2 )(- ay 2 - a 2 x + 2x 2 y) + (y 2 - ax) (ax 2 - 2xy 2 + a 2 y) 
d 2 y = ( y 2 - ax ) .
dx2 ( y2 - ax )2
 - a 2 y 3 - a 3 xy + 2ax 2 y 2 + ax 2 y 2 + a 2 x 3 - 2x 4 y + ax 2 y 2 - 2xy 4 + a 2 y 3 - a 2 x 3 + 2ax 2 y 2 - a 3 xy 
d 2 y = ( y 2 - ax ) . 
dx2 ( y2 - ax )2
 - a 2 y 3 - a 3 xy + 2ax 2 y 2 + ax 2 y 2 + a 2 x 3 - 2x4 y + ax 2 y 2 - 2xy 4 + a 2 y 3 - a 2 x 3 + 2ax 2 y 2 - a 3 xy 
d 2 y = ( y 2 - ax ) . 
dx2 ( y2 - ax )2
 
 -2a 3 xy + 6ax 2 y 2 - 2x 4 y - 2xy 4 . 
d 2 y = ( y 2 - ax ) . 
dx2 ( y2 - ax )2
d 2 y = -2a 3 xy + 6ax 2 y 2 - 2x 4 y - 2xy 4 . = 2axy( 3xy - a 2 ) - 2xy ( x 3 + y 3 ). 
dx2 ( y2 - ax )3 ( y2 - ax )3
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Problemas -Pagina 94
Calcular los Máximos y Mínimos de cada una de las funciones 
siguientes:
1. x3 + 3x2 - 2.
y = x3 + 3x2 - 2
y'= 3x2 + 6x
3x2 + 6x = 0
 
3x(x + 2 ) = 0
x = 0 Valores críticos de la variable.
x = - 2 
y"= 6x + 6.Se reemplaza en la 2da derivada cada valor crítico.
Si es " + " existe un Mínimo.
Si es " - " existe un Máximo.
Para: x = 0
y(0) = 6(0) + 6 = " + ". Mínimo.
Luego se sustituye dicho valor crítico en la función original
y = x3 + 3x2 - 2
y(0) = (0)3 + 3(0)2 - 2.
y(0) = - 2.
⇒ x = 0 ; Mínimo = - 2 .
Para: x = - 2 .
y" = 6x + 6
y"(-2) = 6(-2) + 6 = - 12 + 6 = " - ". Máximo.
Luego se reemplaza el valor crítico en la función original.
y = x3 + 3x2 - 2
y (-2) = (-2)3 + 3(-2)2 - 2 = - 8 + 12 - 2 = + 2.
⇒ x = - 2 ; existe un Máximo = + 2 .
2. x3 - 3x + 4 .
y = x3 - 3x + 4.
y' = 3x2 - 3.
3x2 - 3 = 0.
3 ( x2 - 1) = 0.
( x2 - 1) = 0.
( x + 1) ( x - 1) = 0.
x + 1 = 0. → x = - 1 Valores
x - 1 = 0. → x = 1 Críticos.
 
Para: x = - 1.
y"= 6x.
y"(-1) = 6(-1) = " - " . Máximo. 
Se sustituye x = -1 en la función original.
y = x3 - 3x + 4.
y = (-1)3 - 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6
⇒ x = - 1 ; existe un Máximo = 6 .
 
Para: x = 1.
y"= 6x.
y"(1) = 6(1) = " + ". Mínimo. 
Se sustituye x = 1 en la función original.
y = x3 - 3x + 4.
y = (1)3 - 3(1) + 4.
y = 1 - 3 + 4 = 2
⇒ x = 1 ; existe un Mínimo = 2.
3. 2x3 - 3ax2 + a3
y = 2x3 - 3ax2 + a3
y'= 6x2 - 6ax.
6x2 - 6ax = 0
6x(x - a) = 0
x = 0 ; x = a }Valores Críticos. 
Para: x = 0
y"= 12x - 6a. 
y"(0) = 12(0) - 6a = " - ". Máximo.
 Se sustituye x = 0 en la función original. 
y = 2x3 - 3ax2 + a3
y = 2(0)3 - 3a(0)2 + a3 = a3
⇒ x = 0 ; existe un Máximo = a3.
Para: x = a .
y"= 12x - 6a.
y"(a) = 12(a) - 6a = 6a = " + ". Mínimo. 
Se sustituye x = a en la función original.
 
y = 2x3 - 3ax2 + a3
y = 2(a)3 - 3a(a)2 + a3 = 2a3 - 3a3 + a3 = 0 
⇒ x = a ; existe un Mínimo = 0 .
4. 2 + 12x + 3x2 - 2x3 
 y = 2 + 12x + 3x2 - 2x3
y'= 12 + 6x - 6x2.
12 + 6x - 6x2 = 0 = 6x2 - 6x - 12 .
6(x2 - x - 2) = 0
(x - 2) (x + 1) = 0
x = 2 ; x = - 1} Valores Críticos.
Para: x = 2 . 
y"= 6 - 12 x.
y"= 6 - 12(2) = + 6 - 24 = " - " . Máximo. 
Se sustituye x = 2 en la función original .
y = 2 + 12x + 3x2 - 2x3
y = 2 + 12(2) + 3(2)2 - 2(2)3 = 2 + 24 + 12 - 16 = 22.
⇒ x = 2 ; existe un Máximo = 22 .
Para: x = - 1 .
y"= 6 - 12 x.
y"(-1) = 6 - 12 (-1) = 6 + 12 = " + ". Mínimo. 
Se sustituye x = -1 en la función original.
y = 2 + 12x + 3x2 - 2x3
y = 2 + 12(-1) + 3(-1)2 - 2(-1)3 = 2 - 12 + 3 + 2 = - 5.
⇒ x = - 1 ; existe un Mínimo = - 5 .
5. 3x - 2x2 - 4x 3 
 3
y = 3x - 2x2 - 4x 3 
 3
y'= 3 - 4x - 4 ( 3 x 2 ) = 3 - 4x - 4x2 = 0
 3 .
 
3 - 4x - 4x2 = 0 = 4x2 + 4x - 3 = 0
(2x)2 + 2(2x) - 3 = 0
[2x + 3] [2x - 1] = 0
2x + 3 = 0
x = - 3/2.
2x - 1 = 0
x = 1/2.
x = - 3/2 ; x = 1/2 } Valores Críticos.
Para: x = - 3/2 .
y"= - 4 - 8x 
 y"(-3/2) = - 4 - 8(-3) = - 4 + 24 = - 4 + 12 = " + ". Mínimo.
 2 2 
Se reemplaza x = -3/2 en la función original.
y = 3x - 2x2 - 4x 3 
 3
y = 3 -3 - 2 - 3 2 - 4 - 3 3 = - 9 - 2 9 - 4 - 27 = 
 2 2 3 2 2 4 3 8 
y = - 9 - 18 + 108 = - 108 - 108 + 108 =
 2 4 24 24 24 24
y = - 108 = - 54 = - 27 = - 9 . 
 24 12 6 2
⇒ x = - 3/2 ; existe un Mínimo = - 9/2 .
Para: x = 1/2 .
y"= - 4 - 8x
y"(1/2) = - 4 - 8(1/2) = - 4 - 4 = " - ". Máximo.
Se sustituye x =1/2 en la función original para calcular el valor Máximo.
y = 3x - 2x2 - 4x 3 
 3
y = 3(1/2) - 2(1/2)2 - 4(1/2)3 = 3 - 2 - 4 = 36 - 12 - 4 = 20 = 5 . 
 3 2 4 24 24 24 24 24 6 
 
⇒ x = 1/2 ; existe un Máximo = 5/6 .
4. 3x4- 4x3 - 12x2 + 2 .
y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2.
y'= 12x3 - 12x2 - 24x.
12x3 - 12x2 - 24x = 0.
12x(x2 - x - 2) = 0
x = 0
(x2 - x - 2) = 0
(x - 2 )(x + 1 ) = 0
x = 2.
x = - 1.
x = 0 ; x = 2 ; x = - 1. } Valores Críticos.
Para: x = 0 .
y"= 36x2 - 24x - 24.
y"(0) = 36(0)2 - 24(0) - 24 = - 24 = " - " . Máximo.
Se sustituye x = 0 en la función original para calcular el valor 
Máximo.
y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2.
y = 3(0)4- 4(0)3 - 12(0)2 + 2 = 2
⇒ x = 0 ; existe un Máximo = 2 .
Para: x = 2 .
y"= 36x2 - 24x - 24.
y"= 36(2)2 - 24(2) - 24 = 144 - 48 - 24 = + 144 - 72 = " + " . 
Mínimo.
Se sustituye x = 2 en la función original para calcular el valor 
Mínimo.
y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2.
y = 3(2)4- 4(2)3 - 12(2)2 + 2 = 48 - 32 - 48 + 2 = - 30.
⇒ x = 2 ; existe un Mínimo = - 30 .
Para: x = - 1 .
y"= 36x2 - 24x - 24.
 
y"= 36(-1)2 - 24(-1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36 = " + ". Mínimo.
Se sustituye x = - 1 en la función original para calcular el valor Mínimo.
y = 3x4- 4x3 - 12x2 + 2.
y = 3(-1)4- 4(-1)3 - 12(-1)2 + 2.
y = 3(+1) - 4(-1) -12(+1) + 2 = 3 + 4 - 12 + 2 = - 3.
⇒ x = - 1 ; existe un Mínimo = - 3 .
7. x4 - 4x2 + 4
y = x4 - 4x2 + 4
y'= 4x3 - 8x. 
4x3 - 8x = .
4x(x2 - 2) = 0
x = 0.
x2 - 2 = 0
x2 = 2
x = ± √2
x = 0. ; x = √2. ; x = - √2 } Valores Críticos.
Para: x = 0.
y"= 12x2 - 8.
y"(0) = 12(0)2 - 8 = 0 - 8 = " - ". Máximo.
Se sustituye x = 0 en la función original para calcular el valor Mínimo.
y = x4 - 4x2 + 4
y = (0)4 - 4(0)2 + 4 = + 4.
⇒ x = 0 ; existe un Máximo = + 4 .
Para: x = √2 .
y"= 12x2 - 8.
y"(√2) = 12(√2)2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = " + ". Mínimo.
Se sustituye x =√2, en la función original para calcular el valor 
Mínimo.
y = x4 - 4x2 + 4
y = (√2)4 - 4(√2)2 + 4 = 22 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0
⇒ x = √2 ; existe un Mínimo = 0 .
 
Para: x = - √2 .
y"= 12x2 - 8.
y"= 12(- √2)2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = " + ". Mínimo.
Se sustituye x = - √2, en la función origen para calcular el valor Mínimo.
y = x4 - 4x2 + 4 = (- √2)4 - 4(- √2)2 + 4 . 
y = (√2)4 - 4(√2)2 + 4 = 22 - 4(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0.
⇒ x = - √2 ; existe un Mínimo = 0 .
8. ax .
x2 + a2
y = ax .
 x2 + a2
 (x2 + a2).d (ax) - (ax).d (x2 + a2) 
y'= dx dx .
 (x2 + a2)2
y'= (x 2 + a 2 ).(a) - (ax)(2x) = ax 2 + a 3 - 2ax 2 = a 3 - ax 2 = 
 (x2 + a2)2 (x2 + a2)2 (x2 + a2)2
a 3 - ax 2 = 0 . 
(x2 + a2)2
a3 - ax2 = 0 , a3 = ax2 = a3 , x2 = a2 , x = ± a.
x = ± a } Valores Críticos.
Para: x = a .
 (x2 + a2)2.d (a3 - ax2) - (a3 - ax2).d (x2 + a2)2y"= dx dx .
 [(x2 + a2)2]2
 (x2 + a2)2(- 2ax) - (a3 - ax2).2(x2 + a2)2-1.d (x2 + a2) 
y"= dx .
 
 (x2 + a2)4
y"= (x 2 + a 2 ) 2 (- 2ax) - (a 3 - ax 2 ).2(x 2 + a 2 )(2x) 
 (x2 + a2)4
y"= -2x(x 2 + a 2 ){(x 2 + a 2 )a + 2(a 3 - ax 2 )} = 
 (x2 + a2)4 
y"= -2x (x 2 + a 2 ) {ax 2 + a 3 + 2a 3 - 2ax 2 )} = - 2x (3a 3 - ax 2 ) = 
 (x2 + a2)4 (x2 + a2)3
Sustituyendo: x = a , en y".
y"(a) = - 2a.a = - 2a 2 = " - ". Máximo.
 (a2 + a2)3 (2a2)3
Se sustituye x = a, en la función origen para calcular el valor Máximo.
y = ax .
 x2 + a2
y(a) = a.a = a 2 = 1 .
 a2 + a2 2a2 2
⇒ x = a ; existe un Máximo = 1/2 .
Para: x = - a .
y"(-a) = - 2a.x .
 (x2 + a2)3 
y"(-a) = - 2a.(-a) = + 2a 2 = + 2a 2 = " + " . Mínimo.
 [(-a)2 + a2]3 [a2 + a2]3 + (2a2)3
Se sustituye x = - a, en la función origen para calcular el valor Mínimo.
y = ax .
 x2 + a2
 
y(-a) = a.(-a) = - a 2 = - a 2 = - 1 .
 (-a)2 + a2 + a2 + a2 2 a2 2
⇒ x = - a ; existe un Mínimo = - 1/2 .
9. x3 + 9x2 + 27x + 9 .
y = x3 + 9x2 + 27x + 9.
y'= 3x2 + 18x + 27.
3x2 + 18x + 27 = .
3(x2 + 6x + 9) = 0.
(x2 + 6x + 9) = 0 .
(x + 3) (x + 3) = 0 .
x = - 3 } Valor Crítico.
Para: x = - 3 .
y"= 6x + 18.
y"(-3) = 6(-3) + 18 = - 18 + 18 = 0 .
Se anulan, por tanto no hay ni Máximos, ni Mínimos .
10. 12x + 9x2 - 4x3 
y = 12x + 9x2 - 4x3
y'= 12 + 18x - 12x2.
12 + 18x - 12x2 = 0.
- 6(2x2 - 3x - 2) = 0.
(2x2 - 3x - 2) = 0.
(2x)2 - 3(2x) - 2 = 0.
(2x - 4) (2x + 1) = 0.
 2 x 1
(x - 2)(2x + 1) = 0.
(x - 2) = 0.
x = 2
2x = - 1.
x = - 1 .
 
 2
x = 2 ; x = - 1/2. } Valores Críticos.
Para: x = 2 .
y"= 18 - 24x.
y"(2) = 18 - 24(2) = 18 - 48 = "-". Máximo.
Se sustituye x = 2, en la función origen para calcular el valor Máximo.
y = 12x + 9x2 - 4x3
y(2) = 12(2) + 9(2)2 - 4(2)3 = 24 + 9(4) - 4(8) = 24 + 36 - 32 = 28.
⇒ x = 2 ; existe un Máximo = 28 .
Para: x = - 1/2.
y"= 18 - 24x.
y"(-1/2) = 18 - 24(-1/2) = 18 + 24/2 = " + ". Mínimo.
Se sustituye x = -1/2, en la función para calcular el valor Mínimo.
y = 12x + 9x2 - 4x3.
y(-1/2) = 12(-1/2) + 9(-1/2)2 - 4(-1/2)3 = - 12/2 + 9(1/4) - 4(-1/8) = 
y(-1/2) = - 12/2 + 9/4 + 4/8 = - 12/2 + 9/4 + 1/2 = - 11/2 + 9/4 = - 22/4 + 9/4 = - 13/4.
⇒ x = - 1/2 ; existe un Máximo = - 13/4 .
11. x2(x - 4)2
y = x2(x - 4)2
y'= x2.d (x - 4)2 + (x - 4)2.d (x2)
 dx dx
y'= x2(2) (x - 4)2-1.d (x - 4) + (x - 4)2(2x)
 dx
y'= x2(2) (x - 4)(1) + (x - 4)2(2x)
y'= 2x2(x - 4) + (x - 4)2(2x) = 2x(x - 4)[x + (x - 4)] = 2x(x - 4)(2x - 4) 
Igualamos a cero: 2x(x - 4)(2x - 4) = 0.
2x = 0 ; x = 0.
(x - 4) = 0 ; x = 4.
(2x - 4) = 0 ; 2x = 4 ; x = 2.
 
x = 0 ; x = 4 ; x = 2. } Valores Críticos.
Para: x = 0 .
y"= 2x(x - 4).d [(2x - 4)] + (2x - 4).d [2x(x - 4)] 
 dx dx
 y"= 2x(x - 4)(2) + (2x - 4).{2x.d (x - 4) + (x - 4).d (2x) } 
 dx
 y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{2x(1) + (x - 4)(2) } 
y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{2x + 2(x - 4)}
y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{2x + 2x - 8)} 
y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8)} 
 y"(0) = 4(0)[(0) - 4] + [2(0) - 4].{4(0) - 8]}
y"(0) = (0)[- 4] + [(0) - 4].{0 - 8} = (0) + (- 4)( - 8) = 0 + 32 = " + ". Mínimo
Se sustituye x = 0, en la función para calcular el valor Mínimo.
y = x2(x - 4)2
y(0) = (0)2[(0) - 4]2 = (0) ( - 4)2 = (0)(4)2 = (0)(16) = 0.
⇒ x = 0 ; existe un Mínimo = 0 .
Para: x = 4 .
y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8)}
y"(4) = 4(4)(4 - 4) + [2(4) - 4][4(4) - 8]
y"(4) = 4(4)(0) + [4][16 - 8] = 0 + (4)(8) = "+". Mínimo.
Se sustituye x = 4, en la función para calcular el valor Mínimo.
y = x2(x - 4)2
y(4) = 42[4 - 4)2 = 16(0)2(0)2 = 0.
⇒ x = 4 ; existe un Mínimo = 0 .
Para: x = 2 .
y"= 4x(x - 4) + (2x - 4).{4x - 8)}
y"(2) = 4(2)(2 - 4) + [2(2) - 4][4(2) - 8] = 8(-2) + (4 - 4)(8 
- 8) = 
y"(2) = - 16 + (0)(0) = - 16 = "-". Máximo.
 Se sustituye x = 2, en la función para calcular el valor Máximo.
y = x2(x - 4)2y(2) = 22(2 - 4)2 = 4(-2)2 = 4(2)2 = 4(4) = 16.
 
⇒ x = 2 ; existe un Máximo = 16 .
12. x2 + x 3 - x 4 
 3 4
y = x2 + x 3 - x 4 
 3 4
y'= 2x + 1 .3x2 - 1 . 4x3 = 2x + x2 - x3.
 3 4
2x + x2 - x3 = 0.
-x(x2 - x - 2) = 0.
x = 0.
(x2 - x - 2) = 0.
(x - 2)(x + 1) = 0.
x = 2 ; x = - 1. } Valores Críticos.
Para: x = 0 .
y"= 2 + 2x - 3x2.
y"(0) = 2 + 2(0) - 3(0)2 = + 2 = " + ". Mínimo.
Se sustituye x = 0, en la función para calcular el valor Mínimo.
y = x2 + x 3 - x 4 
 3 4
y(0) = (0)2 + (0) 3 - (0) 4 = 0
 3 4
⇒ x = 0 ; existe un Mínimo = 0 .
 Para: x = 2 .
y"= 2 + 2x - 3x2.
y"(2) = 2 + 2(2) - 3(2)2 = 2 + 4 - 12 = 6 - 12 = " - ". Máximo.
Se sustituye x = 2, en la función para calcular el valor Máximo.
y = x2 + x 3 - x 4 
 3 4
 
y(2) = (2)2 + (2) 3 - (2) 4 = 4 + 8 - 16 = 4 + 8 - 4 = 8 .
 3 4 3 4 3 3
⇒ x = 2 ; existe un Máximo = 8/3 .
 Para: x = - 1 .
y"= 2 + 2x - 3x2.
y"(-1) = 2 + 2(-1) - 3(-1)2 = 2 - 2 - 3 = - 3 = " - ". Máximo.
Se sustituye x = - 1, en la función para calcular el valor Máximo.
 y = x2 + x 3 - x 4 
 3 4
y = (-1)2 + (-1) 3 - (-1)4 = 1 - 1 - 1 = 12 - 4 - 3 = 5 .
 3 4 3 4 12 12 12 12
⇒ x = - 1 ; existe un Máximo = 5/12 .
13. x2 - a 4 .
 x2
y = x2 - a 4 .
 x2
y'= 2x - { - a 4 .d (x2) }
 (x2)2 dx
 y'= 2x + { a 4 .(2x)} = 2x + 2a 4 . x = 2x + 2a 4 = 2(x + a 4 ) = 0. 
 x4 x .x3 x3 x3
 ( x + a 4 ) = 0
 x3
x 4 + a 4 = 0
 x3
x3 = 0
 
x = 0
x4 + a4 = 0
x4 = - a4
x = √- a4 = √(a4)(-1) = √a4 . √-1 = a2.i.
x = 0 ; x = a2.i } Valores críticos.
Para: x = 0 .
y'= 2x + 2a 4 . 
 x3
y"= 2 + { (- 2a 4 ) .d (x3) } = 2 - { 2a 4 . 3x2 } = 2 - 6a 4 . x 2 = 
 (x3)2 x6 x2.x4 
y"= 2 - 6a 4 = 2x 4 - 6a 4 .
 x4 x4
y"(0) = 2x 4 - 6a 4 = 2(0) 4 - 6a 4 = 0 - 6a 4 = - 6a 4 = ∞.
 x4 (0)4 0 0
Cuando y" = ∞ . No hay ni Máximos, ni Mínimos en x = 0.
Para: x = a2i, por ser un valor crítico imaginario, tampoco hay 
ni Máximos ni Mínimos.

Problemas -Pagina 98
Hallar los puntos de inflexión y el sentido de concavidad de la curva 
.
3. y = x2 .
y' = x2.
y' (x) = 2x.
y"(x) = + 2 = " + ". 
 
Siendo: y"(x) = + , por ende la curva esconcava hacia arriba 
en todos sus puntos
4. y = 5 - 2x - x2 .
y'= - 2 - 2x.
y"= - 2 = " - ". 
 y"= - , por ende la curva es concava hacia abajo en todos sus puntos.
5. y = x3 .
y'= 3x2.
y"= 6x. 
6x = 0 → x = 0.
Para: x = 0.
Primero, para x < 0 = - 0,1.
y"= 6x. 
y"= 6(- 0,1) = " - ". 
Luego, para x > 0 = 0,1.
y"= 6x. 
y"= 6( 0,1) = " + ".
Como cambia de signo, hay punto de inflexión.
x = 0 se sustituye en en la función original.
y = x3.
y = (0)3 = 0.
⇒ Punto de inflexión (0,0) .
Es concava hacia abajo, a la izquierda de (0,0).
Es concava hacia arriba, a la derecha de (0,0).
6. y = x4 .
y'= 4x3.
y"= 12x2.
12x2 = 0 .
Para: x = 0 .
Primero, para x < 0 = - 0,1. Se reemplaza este valor en y".
 y"= 12x2.
 y"= 12(- 0,1)2 = 12( 0,1)2 = " + ".
 
 Luego, para x > 0 = 0,1. Se reemplaza este valor en y".
y"= 12x2.
 y"(0,1) = 12x2 = 12(0,1) = " + ".
 Como no hay variación de signos, no hay Puntos de inflexión.
Tambien observamos que: y"= +, ⇒ la curva es concava hacia 
arriba en todos sus puntos.
7. y = 2x3 - 3x2 - 36x + 25 .
y'= 6x2 - 6x - 36.
y"= 12x - 6.
 12x - 6 = 0.
6(2x - 1) = 0.
2x - 1 = 0 → x = 1/2.
Para: x = 1/2 .
Primero, para: x < 1/2 = 0,4. Se reemplaza este valor en y".
y"= 12x - 6.
y"= 12(0,4) - 6 = 4,8 - 6 = " - ". 
Luego: x > 1/2 = 0,6. Se reemplaza este valor en y".
y"= 12x - 6.
y"= 12(0,6) - 6 = 7,2 - 6 = " + ". 
Como cambia de signo ,hay un punto de inflexión.
x = 1/2 = 0,5 en la función para determinar el punto de inflexión.
y = 2x3 - 3x2 - 36x + 25.
y = 2(0,5)3 - 3(0,5)2 - 36(0,5) + 25 = 2(0,125) - 3(0,25) - 18 + 25 = 
y = 0,25 - 0,75 + 7 = 6.5 = 13/2.
⇒ en x = 1/2 hay un Punto de inflexión (1/2 , 13/2) .
La curva es concava hacia abajo, a la izquierda de x = 1/2.
La curva es concava hacia arriba, a la derecha de x = 1/2.
8.- y = 24x2 - x4 .
y'= 48x - 4x3.
y"= 48 - 12x2.
48 - 12x2 = 0
- 12(x2 - 4) = 0.
(x2 - 4) = 0.
 
x2 = 4x . → x = ± 2.
Para: x = 2 .
Primero: para x < 2 = 1,9. Se reemplaza este valor en y".
y"= 48 - 12x2.
y"= 48 - 12(1,9)2 = 48 - 12(3,61) = 48 - 43.32 = " + ". 
Luego: x > 2 = 2,1. Se reemplaza este valor en y".
y"= 48 - 12x2.
y"= 48 - 12(2,1)2 = 48 - 12(4,41) = 48 - 52.92 = " - ". 
Como cambia de signo hay punto de inflexión.
x = 2 , en la función para determinar el punto de inflexión.
y = 24x2 - x4.
y(2) = 24(2)2 - (2)4 = 24(4) - 16 = 96 - 16 = 80.
⇒ en x = 2,hay punto de inflexión (2 , 80) .
Para: x = - 2 .
x < - 2 = - 2,1. Se reemplaza este valor en y".
y"= 48 - 12x2.
y"( - 2,1) = 48 - 12(- 2,1)2 = 48 - 12(+ 4,41) = 48 - 52.92 = " - ". 
Luego: x > - 2 = - 1,9. Se reemplaza este valor en y".
y"= 48 - 12x2.
y"= 48 - 12(- 1,9)2 = 48 - 12(3,61) = 48 - 43.32 = " + ". 
Como cambia de signo hay punto de inflexión.
x = - 2 , en la función para determinar el punto de inflexión.
y = 24x2 - x4.
 y = 24(-2)2 - (-2)4 = 24(4) - 16 = 96 - 16 = 80.
⇒ en x = - 2,hay punto de inflexión ( - 2 , 80) .
9. y = x + 1 .
 x 
y'= 1 + {(-1).d (x) } = 1 - { 1 .(1) } = 1 - 1 = x 2 - 1 = 0 .
 x2 dx x2 x2 x2
 x2 .d (x2 - 1) - (x2 - 1).d (x2) 
 
y"= dx dx = x 2 (2x) - (x 2 - 1)(2x) = 
 (x2)2 x4 
y"= 2x{x 2 - (x 2 - 1) } = 2x( x 2 - x 2 + 1) = 2 x .(1) = 2 .
 x4 x4 x3. x x3
x3 = 0.
x = 0.
Cuando x = 0, tanto en la 1ra asi como en la 2da derivada se 
vuelven infinitas, por lo tanto no hay punto de inflexión.
y'(0) = x 2 - 1 = 0 - 1 = - 1 = ∞ 
 x2 0 0
 y"= 2 = 2 = ∞ .
 x3 0
10. y = x2 + 1 .
 x
y = x2 + x -1
y'= 2x + (-1)(x-1-1) = 2x - x -2 .
y'= 2x - x -2 .
y"= 2 - (-2)(x -2-1) = 2 + 2.x-3 = 2 + 2 .
 x3
2 + 2 = 2x 3 + 2 = 0.
 x3 x3
2x3 + 2 = 0.2(x3 + 1) = 0
x3 = -1 ⇒ x = - 1 .
Para: x = - 1.
x < - 1 = - 1,1 . Se reemplaza este valor en y".
y"= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 + 2 = 2 - 2 =
 x3 (-1,1)3 (-1,331) 1,331
 
 y" = 2 - 1,502629601803 = " + " .
 
Luego: x > - 1 = - 0,9. Se reemplaza este valor en y".
 y"= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 + 2 =
 x3 (-0,9)3 (- 0,729)
y"= 2 - 2,743484224966 = " - " .
 
Como cambia de signo hay punto de inflexión.
x = - 1 , en la función para determinar el punto de inflexión.
y = x2 + 1 .
 x
 y = (-1)2 + 1 = 1 - 1 = 0.
 (-1)
⇒ en x = - 1, hay punto de inflexión ( - 1 , 0) .
Es concava hacia arriba a la izquierda de x = - 1 .
Es concava hacia abajo a la derecha de x = - 1 . 

Problemas - Pagina 100
Hallar las ecuaciones de la Tangente y la Normal en cada punto de 
inflexión.
2. 3y = x3 - 3x2 - 9x + 11
 
y = x 3 - 3x 2 - 9x + 11 
 3
y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 11 = x 3 - x2 - 3x + 11 .
 3 3 3 3 3 3
y'= 1 . 3 x2 - 2x - 3 = x2 - 2x - 3.
 3 .
y'= x2 - 2x - 3 = 0.
x2 - 2x - 3 = 0.
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3 ; x = - 1.
Para: x = 3 , se reemplaza en y" .
y'= x2 - 2x - 3
y"= 2x - 2. 
y"= 2(3) - 2 = 6 - 2 = " + ". Mínimo.
Luego: se sustituye x = 3 en la función original.
y = x 3 - 3x 2 - 9x + 11 
 3
y = 3 3 - 3(3) 2 - 9(3) + 11 = 27 - 27 - 27 + 11 = - 16 .
 3 3 3
⇒ en x = 3, hay un Mínimo = - 16/3 .
Para: x = - 1, se reemplaza en y" .
y"= 2x - 2.
y"= 2(-1) - 2 = - 2 - 2 = " - " . Máximo.
Se sustituye x = -1 en la función original.
y = x 3 - 3x 2 - 9x + 11 
 3
y = (-1) 3 - 3(-1) 2 - 9(-1) + 11 = - 1 - 3 + 9 + 11 = - 4 + 20 = 16 . 
 3 3 3 3
 
⇒ en x = - 1, hay un Máximo = 16/3 .
Para encontrar el punto de inflexión, hacemos y"= 0.
y"= 2x - 2 = 0 
2x - 2 = 0
2(x - 1) = 0 → x = 1.
Para: x = 1 .
Para: x < 1 = 0,9 .Se sustituye este valor en y".
y"= 2x - 2.
y"= 2(0,9) - 2 = 1,8 - 2 = " - ". 
Luego: x > 1 = 1,1. Se sustituye este valor en y".
y"= 2x - 2.
y"(1,1) = 2(1,1) - 2 = 2,2 - 2 = " + ".
Como cambia de signo hay punto de inflexión.
x = 1 , en la función original para determinar el punto de inflexión.
y = x 3 - 3x 2 - 9x + 11 
 3
y = 1 3 - 3(1) 2 - 9(1) + 11 = 1 - 3 - 9 + 11 = 12 - 12 = 0 = 0
 3 3 3 3
⇒ en x = 1, hay punto de inflexión ( 1 , 0) .
Ecuación de la Tangente:en el punto (1,0) .
Primero calculamos la pendiente :
y'= m .
m = y'(1) = 12 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = 1 - 5 = - 4.
 m = - 4.
y - y1 = m(x - x1)
y - 0 = - 4 (x - 1).
y = - 4x + 4.
4x + y - 4 = 0 → Ecuación de la Tangente .
 
Ecuación de la Normal: en el punto (1,0) .
y - y1 = - 1 (x - x1)
 m1
 y - 0 = - 1 (x - 1)
 - 4
y = x - 1
 4
4y = x - 1 = 4y ; x - 4y - 1 = 0 → Ecuación de la Normal. 
3. 6y = 12 - 24x - 15x2 - 2x3 .
y = 12 - 24x - 15x 2 - 2x 3 . 
 6
y = 12 - 24x - 15x 2- 2x 3 = 2 - 4x - 5x 2 - x 3 . 
 6 6 6 6 2 3
 
y'= - 4 - 5 .2x - 1 . 3x2 = - 4 - 5x - x2 
 2 3 .
y'= - 4 - 5x - x2 = 0 = x2 + 5x + 4 = 0.
(x + 4)(x + 1) = 0.
x = - 4 ; x = - 1.
Se sustituye x = 4 en y" para ver si hay Máximos o mínimos. 
y'= - 4 - 5x - x2
y"= - 5 - 2x . 
y"(4) = - 5 - 2(- 4) = - 5 + 8 = " + ". Mínimo .
Ahora: x = - 4 en la función original .
y = 12 - 24x - 15x 2 - 2x 3 . 
 
 6
y(- 4) = 12 - 24(- 4) - 15(- 4) 2 - 2(- 4) 3 = 12 + 96 - 240 + 128 = 
 6 6 
y(- 4) = - 452 = - 4 = - 2 .
 6 6 3
⇒ en x = - 4, hay un Mínimo = - 2/3 .
Se sustituye x = - 1 en y" para ver si hay Máximos o mínimos.
y"= - 5 - 2x . 
 y"(-1) = - 5 - 2(-1) = - 5 + 2 = " - ". Máximo.
Ahora: x = - 1 en la función original .
y = 12 - 24x - 15x 2 - 2x 3 . 
 6
y = 12 - 24(-1) - 15(-1) 2 - 2(-1) 3 = 12 + 24 - 15 + 2 = 23 . 
 6 6 6
⇒ en x = - 1, hay un Máximo = 23/6 .
Luego pasamos a ver si hay puntos de inflexión.
y"= - 5 - 2x = 0. 
- 5 - 2x = 0 .
- 5 = 2x → x = - 5/2 = - 2,5.
x < - 2,5 = - 2,6 . Se sustituye este valor en y".
y"= - 5 - 2x .
y"(- 2,6) = - 5 - 2(- 2,6) = - 5 + 5,2 = " + " .
 
x > - 2,5 = - 2,4. Se sustituye este valor en y". 
y"= - 5 - 2x = 0.
y"(- 2,4) = - 5 - 2(- 2,4) = - 5 + 4,8 = " - " .
Hay cambio de signo, hay punto de inflexión.
x = - 5/2 = - 2,5. 
Se sustituye en "y",para encontrar el valor del punto de inflexión.
y = 12 - 24x - 15x 2 - 2x 3 . 
 6 
 
y = 12 - 24(- 2,5) - 15(- 2,5) 2 - 2(- 2,5) 3 .
 6 
 
y = 12 + 60 - 93,75 + 31,25 = 9,5 = 19/2 = 19 . 
 6 6 6 12
 
⇒ en x = - 5/2, hay punto de inflexión ( - 5/2 , 19/12) .
Ecuación de la Tangente:en el punto (- 5/2 , 19/12) .
Primero calculamos la pendiente :
m = y'= - 4 - 5x - x2
m = y'= - 4 - 5(- 2,5) - (- 2,5)2 = - 4 + 12,5 - 6,25 = 2,25 = 9/4.
y - y1 = m(x - x1)
y - 19 = 9 [x - ( - 5/2)]
 12 4
m.c.m = 12.
12y - 19 = 27[x - ( - 5/2)]
12y - 19 = 27(x + 5/2)
12y - 19 = 27x + 135/2 = 12y - 19.
27x - 12y + 135/2 + 19 = 
27x - 12y + 173/2.(Ecuación de la tangente) .
 
 
Ecuación de la Normal: en el punto (- 5/2 , 19/12) = ( - 2,5 , 19/12).
y - 19 = - 1 [x - ( -5 )]
 12 9/4 2
y - 19 = - 4 [x + 5 ] 
 12 9 2
y - 19 = - 4 [2x + 5 ] 
 12 9 2
y - 19 = - 4 [2x + 5 ] 
 12 18 
m.c.m. = 36 .
36y - 57 = - 8 ( 2x + 5 )
 36y - 57 = - 16x - 40 .
36y + 16x - 57 + 40 = 0 .
36y + 16x - 17 = 0 . → Ecuación de la Normal.
4. y = x4 - 8x2 .
y '= 4x3 - 16x. 
4x3 - 16x = 0.
4x(x2 - 4) = 0.
x = 0. (x2 - 4) = 0. → x2 = 4. → x = ± 2 . 
y"= 12x2 - 16.
x = 0 en y". 
y"= 12x2 - 16.
y"(0) = 12(0)2 - 16 = 0 - 16 = " - ". Máximo.
x = 0 se sustituye en la función original.
y = x4 - 8x2.
y(0) = (0)4 - 8(0)2 = 0 - 0 = 0.
⇒ en x = 0, hay un Máximo = 0 .
x = 2 en y".
y"= 12x2 - 16.
y"(2) = 12(2)2 - 16 = 48 - 16 = " + ". Mínimo.
x = 2 se sustituye en la función original.
 
y = x4 - 8x2.
y(2) = (2)4 - 8(2)2 = 16 - 32 = - 16.
 ⇒ en x = 2, hay un Mínimo = - 16 .
x = - 2 en y".
y"= 12x2 - 16.
y"(-2) = 12(- 2)2 - 16 = 48 - 16 = " + ". Mínimo.
x = - 2 en función original.
y = x4 - 8x2.
y(- 2) = (- 2)4 - 8(- 2)2 = 16 - 32 = - 16 .
⇒ en x = - 2, hay un Mínimo = - 16 .
Igualando a cero la 2da derivada, para determinar puntos de inflexión
y"= 12x2 - 16 = 0.
4(3x2 - 4) = 0
(3x2 - 4) = 0
3x2 = 4 .
x2 = 4/3 .
x = √4/3 = √1,33 = ± 1,154700538379 .
Para: x = 1,15 .
x < 1,15 = 1,14 se sustituye en y". 
y"= 12x2 - 16 = 0.
y"(1,14) = 12(1,14)2 - 16 = 12(1,2996) - 16 = 15,5952 - 16 = " - ".
x > 1,15 = 1,16 se sustituye en y".
y"= 12x2 - 16 = 0.
y"(1,16) = 12(1,16)2 - 16 = 12(1,3456 0) - 16 = 16,1472 - 16 = " + ".
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = + √4/3 en la función original.
y = x4 - 8x2.
y(√4/3) = (√4/3)4 - 8(√4/3)2 = (4/3)2 - 8(4/3) = 16/9 - 32/3 = 
y(√4/3) = 16/9 - 96/9 = - 80/9.
⇒ en x = (√4/3) , hay punto de inflexión (+√4/3 , - 80/9) = (+1,15… ,- 80/9) 
Para: x = - 1,15 .
x < - 1,15 = - 1,16 , se sustituye en y". 
y"= 12x2 - 16 = 0.
 
y"(-1,16) = 12(-1,16)2 - 16 = 12(1,3456) - 16 = 16,1472 - 16 = " + ".
x > - 1,15 = - 1,14 , se sustituye en y".
y"= 12x2 - 16 = 0.
y"(- 1,14) = 12(- 1,14)2 - 16 = 12(1.2996) = 15,5952 - 16 = " - ".
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = - √4/3 en la función original. y = x4 - 8x2.
y(- √4/3) = (- √4/3)4 - 8(- √4/3)2 = (4/3)2 - 8(4/3) = 16/9 - 32/3 = 
y(- √4/3) = 16/9 - 96/9 = - 80/9.
⇒ en x = (- √4/3) , hay punto de inflexión (- √4/3 , - 80/9) = (-1,15 … , - 80/9).
5. y = 5x - x5 .
y'= 5 - 5x4 = 0.
5 - 5x4 = 0.
- 5(x4 - 1) = 0.
(x4 - 1) = 0.
(x2 + 1)(x2 - 1) = (x2 + 1)(x + 1)(x - 1). 
(x2 + 1) = 0 → x2 = - 1 . → x = i
(x + 1) = 0 → x = - 1 .
 (x - 1) = 0 → x = 1 .
y'= 5 - 5x4 = 0.
Para: x = 1 , se sustituye en y".
y"= - 20x3 . 
y"(1) = - 20(1)3 = - 20 (1) = " - ". Máximo.
x = 1 en la función original para conocer el valor Máximo.
y = 5x - x5.
y(1) = 5(1) - (1)5 = 5 - 1 = 4.
⇒ en x = 1, hay un Máximo = 4 .
Para: x = - 1, se sustituye en y".
y"= - 20x3 .
y"(- 1) = - 20(- 1)3 = - 20(- 1) = " + ". Mínimo.
x = - 1 en la función original para conocer el valor mínimo.
y = 5x - x5.
y(-1) = 5(-1) - (-1)5 = - 5 + 1 = - 4.
⇒ en x = - 1, hay un Mínimo = - 4 .
 
Igualando a cero la 2da derivada, para determinar puntos de inflexión
y"= - 20x3 .
- 20x3 = 0
x = 0. 
x < 0 = - 0,1 . Se sustituye en y".
y"= - 20x3 .
y"(- 0,1) = - 20(- 0,1)3 = - 20(- 0,001) = " + ". 
x > 0 = 0,1. Se sustituye en y".
y"= - 20x3 .
y"(0,1) = - 20(0,1)3 = - 20(0,001) = " - ". 
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = 0 en la función original.
y = 5x - x5.
y(0) = 5(0) - (0)5 = 0.
⇒ en x = 0 , hay punto de inflexión ( 0 , 0) .
6. y = 6x .
 x2 + 3
 (x2 + 3).d (6x) - (6x).d (x2 + 3) 
y'= dx dx .
 (x2 + 3)2
y'= (x 2 + 3)(6) - (6x)(2x) = 6x 2 + 18 - 12x 2 = 18 - 6x 2 = 0
 (x2 + 3)2 (x2 + 3)2 (x2 + 3)2
18 - 6x2 = 0
- 6(x2 - 3) = 0
(x2 - 3) = 0
x2 = 3
x = √3 → x = ± √3 
Tomando como referencia al 1er método de Máximos y Mínimos.
Para: x = √3 = 1,732050807569. 
x < √3 = 1,73 . Sustituimos este valor en y'.
y'= 18 - 6x 2 = 0
 (x2 + 3)2
 
y'(1,73) = 18 - 6(1,73) 2 = 18 - 6(2,9929) = 
 [(1,73)2 + 3]2 (2,9929 + 3)2 
y'(1,73) = 18 - 17,9574 = 0,04260 = " + ".
 (5,9929)2 35,91485041
x > √3 = 1,74 . Sustituimos este valor en y'.
y'= 18 - 6x 2 = 0
 (x2 + 3)2
y'(1,74) = 18 - 6(1,74) 2 = 18 - 6(1,74) 2 = 18 - 6(3,0276) = 
 [(1,74)2 + 3]2 [(1,74)2 + 3]2 (3,0276 + 3)2 
 
y'(1,74) = 18 -18,1656 = - = " - " .
 + +
Como va de " + " a " - " hay un Máximo.
Sustituyendo √3 en la función.
y= 6x = 6( √ 3) = 6 √ 3 = 6 √ 3 = √3 = 1,732050807569 
 x2 + 3 (√3)2 + 3 3 + 3 6 .
⇒ en x = √3, hay un Máximo = √3 .
Para: x = - √3 .
Primero: hacemos , x < - √3 = - 1,74. Sustituimos este valor en y'.
y'= 18 - 6x 2 = 0
 (x2 + 3)2
y'(- 1,74) = 18 - 6(- 1,74) 2 = 18 - 6(3,0276) = 18 - 18.1656 = - = " - "
 [(- 1,74)2 + 3]2 (3,0276 + 3)2 + +
Luego: hacemos , x > - √3 = - 1,72 . Sustituimos este valor en y'.
y'= 18 - 6x 2 = 0
 (x2 + 3)2
y'(-1,72) = 18 - 6(-1,72) 2 = 18 - 6(2,9584) = 18 - 17.7504 = + = "+" 
 
 [(-1,72)2 + 3]2 [2,9584 + 3]2 (5,9584)2 +
Como va de " - " a " + " hay un Mínimo.
Sustituyendo - √3 en la función.
y = 6x .
 x2 + 3
y = 6(- √ 3) = - 6 √ 3 = - 6 √ 3 = - √3 = - 1,732050807569 . 
 (- √3)2 + 3 3 + 3 6 .
⇒ en x = - √3, hay un Mínimo = - √3 = - 1,732050807569 .
Tomando la segunda derivada, para ver si hay puntos de inflexión.
y'= 18 - 6x 2 = 0
 (x2 + 3)2
 (x2 + 3)2.d (18 - 6x2) - (18 - 6x2).d (x2 + 3)2 
y"= dx dx . 
 (x2 + 3)2
 (x2 + 3)2(- 12x) - (18 - 6x2)(2)(x2 + 3)2-1.d (x2 + 3) 
y"= dx . 
 (x2 + 3)2
y"= (x 2 + 3) 2 (-12x) - 2(18 - 6x 2 )(x 2 +3)(2x) = 
 (x2 + 3)2 
 (x2 + 3)2
y"= - (2x)(x 2 + 3){6(x 2 + 3) + 2(18 - 6x 2 ) =
 (x2 + 3)2
y"= - (2x) (x 2 + 3) {6(x 2 + 3) + 2(18 - 6x 2 ) = 
 (x2 + 3)2 (x2 + 
3)2
 (x2 + 3) (x2 + 3) 
 
 
y"= - 2x {6x 2 + 18 + 36 - 12x 2 ) = - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0.
 (x2 + 3) (x2 + 3)
- 2x ( 54 - 6x2 ) = 0.
x = 0.
( 54 - 6x2 ) = 0.
54 = 6x2 = 54
x2 = 54 = 9
 6
x = ± √9 = ± 3
 
Para: x = 0 .
x < 0 = - 0,1 . Se sustituye este valor en y".
y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0.
 (x2 + 3)
y"(- 0,1) = - 2(-0,1) [ 54 - 6(- 0,1) 2 ] = 0,2[54 - 6(0,01)] = 2,7 - 0,06 = + = "+" 
 [(- 0,1)2 + 3] (0,01 + 3) + +
Luego: x > 0 = 0,1 . Se sustituye este valor en y".
y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0.
 (x2 + 3)
y"(0,1) = - 2(0,1) { 54 - 6(0,1) 2 } = (- 0,1) { 54 - 6(0,01)} = 
 [(0,1)2 + 3] + 
y"(0,1) = (- 0,1)(54 - 0,06) = ( - )( + ) = - = " - ".
 + + +
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = 0 se sustituye en la función original, para calcular el valor 
del punto de inflexión . 
y = 6x .
 x2 + 3
y(0) = 6(0) = 0 = 0.
 
 (0)2 + 3 3
⇒ en x = 0 , hay punto de inflexión ( 0 , 0) .
Para : x = 3 . 
x < 3 = 2,9 . Se sustituye en y".
y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0.
 (x2 + 3)
y"(2,9) = - 2(2,9) { 54 - 6(2,9) 2 } = (- 5,8) {54 - 6( 5,8)} = 
 [(2,9)2 + 3] + 
y"= (- 5,8)(54 - 34,8) = ( - ) ( + ) = - = " - ".
 + + +
Luego: x > 3 = 3,1 . Se sustituye este valor en y.
y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0.
 (x2 + 3)
y"(3,1) = - 2(3,1){54 - 6(3,1) 2 } = (- 6,2){ 54 - 6 (9,61)} = 
 [(3,1)2 + 3] + 
y"= (- 6,2) (54 - 57,66) = ( - ) ( - ) = + = " + ".
 + + +
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = 3, en la función original,para calcular el valor del punto 
de inflexión .
y = 6x .
 x2 + 3
y(3) = 6(3) = 18 = 3 .
 (3)2 + 3 12 2
⇒ en x = 3 , hay punto de inflexión ( 3 , 3/2) .
 
Para: x = - 3 . 
x < - 3 = - 3,1 .Se sustituye este valor en y".
y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0.
 (x2 + 3)
y"(-3,1) = - 2(-3,1) { 54 - 6(-3,1) 2 } = (6,2){54 - 6(9,61)} = 
 [(-3,1)2 + 3] [(3,1)2 + 3] 
y"= (6,2) (54 - 57,66) = ( + ) ( - ) = - = " - ".
 + + +
Luego: x > - 3 = - 2,9 . Se sustituye este valor en y".
y"= - 2x ( 54 - 6x 2 ) = 0.
 (x2 + 3)
y"(- 2,9) = - 2(- 2,9){54 - 6(- 2,9) 2 } = (5,8){54 - 6(5,8)} = 
 {(- 2,9)2 + 3] (5,8 + 3) 
y"(- 2,9) = (5,8)(54 - 34,8) = (5,8)(54 - 34,8) = ( + ) ( + ) = " + ".
 + + +
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = - 3 , en la función original.
y = 6x .
 x2 + 3
y(-3) = 6(-3) = - 18 = -18 = - 3 .
 (-3)2 + 3 9 + 3 12 2
⇒ en x = - 3 , hay punto de inflexión ( - 3 , - 3/2) .
7. y = x3 + 6x2 .
 
y'= 3x2 + 12x .
3x2 + 12x = 0.
3x(x + 4) = 0 .
x = 0 .
(x + 4) = 0 .
x = - 4 .
y"= 6x + 12 .
Para: x = 0. Se sustituye este valor en y".
y"= 6x + 12 .
y"= 6(0) + 12 = "+". Hay un Mínimo. 
Sustituimos x = 0 en la función. y = x3 + 6x2 .
y(0) = (0)3 + 6(0)2 = 0 .
⇒ x = 0 , existe un Mínimo = 0 .
Para: x = - 4. Se sustituye este valor en y".
y"= 6x + 12 .
y"(- 4) = 6(- 4) + 12 = - 24 + 12 = "-". Hay un Máximo.
Sustituimos x = (- 4) en la función.
y = x3 + 6x2 .
y(- 4) = (- 4)3 + 6(- 4)2 = - 64 + 6(16) = - 64 + 96 = 32.
⇒ x = - 4 , existe un Máximo = 32 .
Tomando la segunda derivada, para ver si hay puntos de inflexión.
y"= 6x + 12 = 0.
6x + 12 = 0.
6(x + 2) = 0 . → x = - 2 .
Para: x = - 2, para saber si tiene punto de inflexión .
x < - 2 = - 2,1 .Se sustituye este valor en y".
y"= 6x + 12 = 0.
y"(- 2,1) = 6(- 2,1) + 12 = - 12,6 + 12 = " - ".
Luego: x > - 2 = - 1,9 . Se sustituye este valor en y".
y"= 6x + 12 = 0.
y"(- 1,9) = 6(- 1,9) + 12 = - 11,4 + 12 = " + ".
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = - 2 , en la función original.
y = x3 + 6x2 .
 
y( -2) = (- 2)3 + 6(- 2)2 = - 8 + 6(4) = - 8 + 24 = 16.
⇒ en x = - 2 , hay punto de inflexión ( - 2 , 16) .
8. y = 4 + 3x - x3.
y'= 3 - 3x2 .
3 - 3x2 = 0. → - 3(x2 - 1) = 0. → (x2 - 1) = 0. → x = ± 1 . 
x = 1 , se sustituye en y".
y"= - 6x.
y"(1)= - 6(1) = " - ". Hay un Máximo .
x = 1 en la función original para calcular el valor Máximo. 
y = 4 + 3x - x3.
y(1) = 4 + 3(1) - (1)3 = 4 + 3 - 1 = 6.
⇒ x = 1 , existe un Máximo = 6 .
Para: x = - 1. Se sustituye este valor en y".
y"= - 6x.
y"(- 1) = - 6(- 1) = " + ". Hay un Mínimo .
x = - 1 en la función original para calcular el valor Mínimo.
y = 4 + 3x - x3.
y(- 1) = 4 + 3(- 1) - (- 1)3 = 4 - 3 + 1 = 2.
⇒ x = - 1 , existe un Mínimo = 2 .
Tomando la 2da derivada, para saber si hay puntos de inflexión.
y"= - 6x.
- 6x = 0
x = 0
Para: x = 0.
x < 0 = - 0,1 .Se sustituye en y".
y"= - 6x.
y"(- 0,1) = - 6(- 0,1) = " + ".
Luego: x > 0 = 0,1 .Se sustituye este valor en y".
y"= - 6x.
y"(0,1) = - 6(0,1) = " - ".
Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = 0 , en la funciónoriginal.
 
y = 4 + 3x - x3.
y(0) = 4 + 3(0) - (0)3 = 4 + 0 - 0 = 4.
⇒ en x = 0 , hay punto de inflexión ( 0 , 4) .
9. 3y = 4x3 - 18x2 + 15x .
y = 4x 3 - 18x 2 + 15x = 4 x 3 - 18x 2 + 15x = 4x 3 - 6x2 + 5x .
 3 3 3 3 3
y'= 4 .3x2 - 12x + 5 = 4x2 - 12x + 5 .
 3
4x2 - 12x + 5 = (4x)2 - 12(4x) + 20 = 0 .
(4x - 10) (4x - 2) = 2 (2x - 5). 2 (2x - 1) = (2x - 5) (2x - 1) = 0 .
 2 x 2 2 x 2
(2x - 5) = 0
x = 5/2 .
(2x - 1) = 0 .
x = 1/2 .
y' = 4x2 - 12x + 5 .
y"= 8x - 12 .
Para: x = 5/2 .Se sustituye en y".
y"= 8x - 12 .
y"(5/2) = 8(5/2) - 12 = 20 - 12 = " + ". Hay un Mínimo.
x = 5/2 = 2,5 se sustituye en la función original.
y = 4x 3 -18x 2 + 15x = 4(2,5) 3 - 18(2,5) 2 + 15(2,5) = 
 3 3 
y = 4(15,625) - 18(6,25) + 15(2,5) .
 3 
 
y = 62,5 -112,5 + 37,5 = 100 -112,5 = -12,5 = -125/10 = - 125 = 
 3 3 3 3 30
y = - 25/6 .
⇒ x = 5/2 , existe un Mínimo = - 25/6 .
Para: x = 1/2. Se sustituye en y".
y"= 8x - 12 .
y"(1/2) = 8(1/2) - 12 = 4 - 12 = " - " . Máximo .
x = 1/2 = 0,5 en la función original .
y = 4x 3 - 18x 2 + 15x = 
 3 
y(0,5) = 4(0,5) 3 -18(0,5) 2 + 15(0,5) = 4(0.125) -18(0,25) + 7,5 =
 3 3 
y(0,5) = 0,5 - 4,5 + 7,5 = 8 - 4,5 = 3,5 = 35/10 = 35 = 7 .
 3 3 3 30 6 3 
⇒ x = 1/2 , existe un Máximo = 7/6 .
10. y = (x - a)3 + b .
y'= 3(x - a)3-1.d (x - a)
 dx
y '= 3(x - a)2(1) = 3(x - a)2 = 0 
3(x - a)2 = 0
(x - a)2 = 0
x = a .
y"= 3(2) (x - a)2-1.d (x - a)
 dx
y"= 6 (x - a)(1) = 6(x - a) .
Sustituyendo x = a , en y" , para saber si hay un Máximo o Mínimo.
y"= 6 (x - a)
 
y"(a) = 6 (a - a) = 6(0) = 0. No hay ni Máximos ni Mínimos.
Luego: haciendo y"= 0 , para detectar los puntos de inflexión.
6 (x - a) = 0
(x - a) = 0
x = a
Tomamos un x < a = 0,9a .Reemplazamos este valor en y".
y"= 6 (x - a)
y"(0,9a) = 6 [0,9a - a] = 5 (- 0,1a) = " - ".
Tomamos un x > a = 1,1a . Reemplazamos este valor en y".
y"= 6 (x - a)
y"(1,1a) = 6 (1,1a - a) = 6 (0,1a) = " + ".
Hay cambio de signo; ⇒ hay punto de inflexión.
x = a , en la función original , para encontrar el punto de inflexión. 
y = (x - a)3 + b .
y(a) = (a - a)3 + b = b .
⇒ en x = a , hay punto de inflexión ( a , b) .
11. 12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 .
12.y'= 4(x - 1)4 - 1.d (x -1) - 24(2)(x -1)2-1.d (x -1)
 dx dx
12y'= 4(x - 1)3(1) - 48(x - 1)(1) . 
12y'= 4(x - 1)3 - 48(x - 1) .
12y'= 4(x - 1)[ (x - 1)2 - 12] .
y'= 4(x - 1)[ (x - 1) 2 - 12] = 0
 12 
y'= (x - 1)[ (x - 1) 2 - 12] = 0
 3 
(x - 1)[(x - 1)2 - 12] = 0
(x - 1)
 
x = 1
[(x - 1)2 - 12] = 0
(x - 1)2 - (√12)2 = 0 .(Diferencia de Cuadrados) .
{(x - 1) + √12} {(x - 1) - √12} = {x - 1 + √12} {x - 1 - √12} = 0 
{x - 1 + √12 } = 0
x = 1 - √12 = 1 - 3,464101615138 = - 2,464101615138 .
 x = - 2,464101615138 .
{x - 1 - √12 } = 0
x = 1 + √12 = 1 + 3,464101615138 = 4,464101615138 .
x = 4,464101615138 .
Luego: Veremos si hay Máximos y Mínimos .
y'= (x - 1)[ (x - 1) 2 - 12] = 0
 3 
y'= (x - 1) (x - 1) 2 - 12(x - 1) = (x - 1)3 - 4(x - 1)
 3 3 3
 y"= 1 . 3 . (x - 1)3-1.d (x - 1) - 4.d (x - 1) = 
 3 dx dx
y"= (x - 1)2(1) - 4(1) = (x - 1)2 - 4.
x = 1. en y", para saber si hay Máximos o Mínimos.
y"= (x - 1)2 - 4 .
y"(1) = [(1) - 1)]2 - 4 = (1 - 1)2 - 4 = 0 - 4 = " - ". Máximo.
x = 1 en la función original para calcular el valor Máximo.
12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 .
12y = (1 - 1)4 - 24(1 -1)2 = 0.
⇒ x = 1 , existe un Máximo = 0 .
Para: x = - 2,464101615138; se sustituye en y".
y"= (x - 1)2 - 4 .
y"(-2,46…) = (- 2,46 - 1)2 - 4 = (- 3,46)2 - 4 = 11,9716 - 4 = + Mínimo.
 
x = -2,464101615138 en la función original.
12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 .
12y = (-2,464101615138 - 1)4 - 24(-2,464101615138 -1)2 .
12y = (- 3,464101615138 )4 - 24(- 3,464101615138 )2.
y = 144 - 24(12) = 144 - 288 = - 144 = - 12 .
 12 12 12
⇒ x = -2,464101615138 , existe un Mínimo = - 12 .
x = 4,464101615138. Se sustituye en y".
y"= (x - 1)2 - 4 .
y"(4,46…) = (4,46 - 1)2 - 4 = (3,46)2 = " + ". Mínimo.
x = 4,46…en la función original.
12y = (x - 1)4 - 24(x -1)2 .
12y = (4,464101615138 - 1)4 - 24(4,464101615138 -1)2 .
12y = (3,464101615138)4 - 24(3,464101615138)2 = 144 - 24(12) = 
12y = 144 - 288 = - 144 .
y = - 144 = - 12
 12
⇒ x = 4,464101615138 , existe un Mínimo = - 12 .
 
Ahora veremos si hay Puntos de Inflexión:
Para: x = 1 .
x < 1 = 0,9 .Se sustituye en y".
y"= (x - 1)2 - 4 .
y"(0,9) = (0,9 - 1)2 - 4 = (0,1)2 - 4 = 0,01 - 4 = - .
x > 1 = 1,1 .Se sustituye en y".
y"= (x - 1)2 - 4 .
y"(1,1) = (1,1 - 1)2 - 4 = (0,1)2 - 4 = 0,01 - 4 = - .
No hay variación de "signos" ⇒ no hay Punto de Inflexión.
Para: x = -2,464101615138 .
x < -2,464101615138 = - 2,47 .Se sustituye en y".
y"= (x - 1)2 - 4 .
y"(- 2,47) = (- 2,47 - 1)2 - 4 = ( -3,47)2 - 4 = 12,0409 - 4 = "+".
x > -2,464101615138 = - 2,46 .Se sustituye en y".
 
y"= (x - 1)2 - 4 .
y"( -2,46) = (- 2,46 - 1)2 - 4 = (- 3,46)2 - 4 = 11,9716 - 4 = "+".
No hay variación de "signos" ⇒ no hay Punto de Inflexión.
Para: x = 4,464101615138 .
x < 4,464101615138 = 4,46 .Se sustituye en y".
y"= (x - 1)2 - 4 .
y"( 4,46) = ( 4,46 - 1)2 - 4 = ( 3,46)2 - 4 = 11.9716 - 4 = + .
x > 4,464101615138 = 4,47 .Se sustituye en y".
y"= (x - 1)2 - 4 .
y"( 4,47) = ( 4,47 - 1)2 - 4 = ( 3,47)2 - 4 = 12.0409 - 4 = + .
No hay variación de "signos" ⇒ no hay Punto de Inflexión.
12. y = x2(9 - x2)
y'= x2.d (9 - x2) + (9 - x2).d (x2)
 dx dx
y'= x2(-2x) + (9 - x2).(2x) = - 2x[x2 - (9 - x2)] = - 2x(x2 - 9 + x2) =
y'= - 2x(2x2 - 9) = - 4x3 + 18x .
= - 4x3 + 18x = - 2x(2x2 - 9) = 0
 x = 0
(2x2 - 9) = 0
x2 = 9/2 = 4,5 .
x = ± 2,12132034356
"Los valores críticos en y" para obtener los Máximos y Mínimos".
Para: x = 0 .
y"= - 12x2 + 18 .
y"(0) = - 12(0)2 + 18 = 0 + 18 = + . Mínimo .
x = 0 en la función original, para calcular el valor Mínimo.
y = x2(9 - x2)
y(0) = (0)2(9 - 02) = (0)(9) = 0
⇒ x = 0 , existe un Mínimo = 0 .
Para: x = 2,12132034356 .
 
x < 2,12132034356 = 2,12. Se sustituye este valor en y".
y"= - 12x2 + 18 .
y"(2,12) = -12(2,12)2+18 = -12(4,4944)+18 = 
y"(2,12) = - 53,9328 + 18 = "-". Máximo.
x = 2,12132034356 en el origen, para calcular el valor Máximo.
y = x2(9 - x2)
y(2,12…) = (2,12…)2[9 - (2,12…)2] = 4,5(9 - 4,5) = 4,5(4,5) = 20,25
 ⇒ x = 2,12132034356 , existe un Máximo = 20,25 .
Para: x = - 2,12132034356 .
x < - 2,12132034356 = - 2,13. Se sustituye este valor en y".
y"= - 12x2 + 18 .
y"(- 2,13) = -12(- 2,13)2 + 18 = -12(4,5369) + 18 = 
y"(- 2,13) = - 54,4428 + 18 = - Máximo.
x = - 2,12132034356 en la función , para calcular el valor Máximo.
y = x2(9 - x2)
y(- 2,12…) = (- 2,12…)2[9 - (- 2,12…)2] = 
y(- 2,12…) = (4,5)[9 - (4,5)] = (4,5)(4,5) = 20,25.
⇒ x = - 2,12132034356 , existe un Máximo = 20,25 .
13. y = 2x5- 5x2 .
y'= 10x4 - 10x = 0.
10x(x3 - 1) = 0.
x = 0 .
(x3 - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1) = 0.
x - 1 = 0 .
(x2 + x + 1) = 0 (no se puede factorizar).
Para: x = 0. en y" para ver si hay Máximos y mínimos.
y"= 40x3 - 10 . 
y"(0) = 40(0)3 - 10 = 0 - 10 = " - " . Máximo.
x = 0 en la función original para detectar el valor Máximo. 
y = 2x5 - 5x2 .
y(0) = 2(0)5 - 5(0)2 = 0.
⇒ x = 0 , existe un Máximo = 0 .
Para: x = 1 . Se sustituye este valor en y" .
 
y"= 40x3 - 10 . 
y"(1) = 40(1)3 - 10 = 40 - 10 = " + ". Mínimo. 
x = 1 en la función original para detectar el valor Mínimo.
y = 2x5 - 5x2 .
y(1) = 2(1)5 - 5(1)2 = 2 - 5 = - 3 .
 ⇒ x = 1 , existe un Mínimo = - 3 .
14. y = 3x5 - 5x3 .
y'= 15x4 - 15x2 .
15x4 - 15x2 = 0.
15x(x2 - 1) = 0 .
x = 0 
(x2 - 1) = (x + 1)(x - 1) = 0 .
Primero veremos si hay máximos y Mínimos.
Para: x = 0 se sustituye en y".
y"= 60x3 - 30x
y"= 60(0)3 - 30(0) = 0.
Puesto que y"= 0, no hay Máximos y Mínimos.
Para: x = 1. Se sustituye en y" .
y"= 60x3 - 30x
y"= 60(1)3 - 30(1) = 60 - 30 = " + ". Mínimo.
x = 1 en la función original.
y = 3x5 - 5x3 = 3(1)5 - 5(1)3 = 3 - 5 = - 2 .
⇒ x = 1 , existe un Mínimo = - 2 .
Para: x = - 1. Se sustituye en y" .
y"= 60x3 - 30x
y"= 60(-1)3 - 30(-1) = - 60 + 30 = - . Máximo .
x = - 1 en la función original para detectar el valor Máximo.
y = 3x5 - 5x3 = 3(-1)5 - 5(-1)3 = 3(-1) -5(-1) = - 3 + 5 = + 2 .
⇒ x = - 1 , existe un Máximo = + 2 .
 Hacemos : y" = 0 , para detectar los puntos de inflexión .
y"= 60x3 - 30x .
60x3 - 30x = 0 .
 
30x(2x2 - 1) = 0 .
x = 0.
(2x2 - 1) = 0.
x2 = 1/2 = ± 0,7071067811865.
Para: x = 0 .
x < 0 = - 0,1 . Se sustituye este valor en y".
y"= 60x3 - 30x .
y"= 60(- 0,1)3 - 30(- 0,1) = 60(- 0,001) + 3 = - 0,06 + 3 = " + " .
x > 0 = 0,1. Se sustituye este valor en y".
y"= 60x3 - 30x .
y"= 60(0,1)3 - 30(0,1) = 60(0,001) - 3 = 0,06 - 3 = " - " .
 Hay cambio de signo; hay punto de inflexión.
x = 0 , en la función original, para saber el punto de inflexión.
y = 3x5 - 5x3 .
y = 3(0)5 - 5(0)3 = 0.
Punto de Inflexión ( 0 , 0 ) .
Para: x = 0,7071067811865 .
x < 0,7071067811865 = 0,70. Se sustituye este valor en y".
y"= 60x3 - 30x = 60(0,70)3-30(0,70) = 60( 0,343 ) - 21 = 
y"= 20,58 - 21 = "-".
x > 0,7071067811865 = 0,71. Se sustituye este valor en y".
y"= 60x3 - 30x .
y"= 60(0,71)3 - 30(0,71) = 60(0,357911) - 21,3 = 
y"= 21,47466 - 21,3 = "+".
Hay cambio de signo; si hay punto de inflexión.
x = 0,7071067811865 , en la función original.
y = 3x5 - 5x3 .
y = 3(0,7071067811865)5 - 5(0,7071067811865)3 = 
y = 3(0,1767766952966) - 5(0,3535533905933) = 
y = 0,5303300858899 - 1,767766952966 = -1,237436867077
Punto de Inflexión (0,7071067811865 , -1,237436867077) .
 
Para: x = - 0,7071067811865 .
x < - 0,7071067811865 = - 0,71. Se reemplaza en y".
y"= 60x3 - 30x .
y"= 60(- 0,71)3 -30(- 0,71) = 60(- 21,47466) + 21,3 =
y"= - 21,47466 + 21,3 = "-"
x > - 0,7071067811865 = - 0,70 . Se reemplaza en y".
y"= 60x3 - 30x .
y"= 60(- 0,70)3 - 30(- 0,70) = 60(- 0,343) + 21 = - 20,58 + 21 = "+".
Hay cambio de signo; si hay punto de inflexión.
x = - 0,7071067811865 , en la función original.
y = 3x5 - 5x3 .
y = 3(- 0,7071067811865)5 - 5(- 0,7071067811865)3 = 
y = 3(- 0,1767766952966) - 5(- 0,3535533905933) = 
y = - 0,5303300858899 + 1,767766952966 = + 1,237436867077
Punto de Inflexión (- 0,7071067811865 , + 1,237436867077).
15. y = x5- 5x4
y'= 5x4 - 20x3
5x4 - 20x3 = 0
5x3(x - 4) = 0
x = 0.
x - 4 = 0
x = 4.
Sustituimos estos valores críticos en y"= 20x3 - 60x2 ., para 
detectar los Máximos o Mínimos.
Para: x = 0 .
y"= 20x3 - 60x2 . 
y"= 20(0)3 - 60(0)2 = 0.
No Hay Ni Máximos Ni Mínimos, para x = 0 . 
Para: x = 4 .
y"= 20x3 - 60x2 . 
y"= 20(4)3 - 60(4)2 = 20(64) - 60(16) = 1280 - 960 = + .Mínimo .
x = 4 se sustituye en la función original.
 
y = x5- 5x4
y = (4)5- 5(4)4 = 1024 - 1280 = - 256 .
⇒ x = 4 , existe un Mínimo = - 256 .
 Hacemos : y" = 0 , para detectar los puntos de inflexión .
y"= 20x3 - 60x2 . 
20x3 - 60x2 = .
20x2(x - 3) = 0.
x = 0 .
x - 3 = 0
x = 3
Para: x = 0 .
x < 0 = - 0,1. Se reemplaza este valor en y". 
y"= 20x3 - 60x2 . 
y"= 20(- 0,1)3 - 60(- 0,1)2 = 20(- 0,001) - 60(0,01) = - 0,02 - 0,6 = "-" 
x > 0 = 0,1 . Se reemplaza este valor en y".
y"= 20x3 - 60x2 . 
y"= 20(0,1)3 - 60(0,1)2 = 20(0,001) - 60(0.01) = 0,02 - 0,6 = - 058 = "-". 
No Hay Puntos de Inflexión, para x = 0. 
Para: x = 3 .
x < 3 = 2,9. Se reemplaza este valor en y".
y"= 20x3 - 60x2 . 
y"= 20(2,9)3 - 60(2,9)2 = 20(24,389) - 60(8,41) = 487,78 - 504,6 = "-". 
x > 3 = 3,1 . Se reemplaza este valor en y".
y"= 20x3 - 60x2 . 
y"= 20(3,1)3 - 60(3,1)2 = 20(29,791) - 60(9,61) = 595,82 - 576,6 = +. 
Hay cambio de signo; si hay punto de inflexión.
x = 3 , en la función original.
y = x5- 5x4
y = (3)5- 5(3)4 = 243 - 5(81) = 243 - 405 = - 162.
Punto de Inflexión ( 3 , - 162) .
Ecuación de la Tangente:En el punto de inflexión(3 , - 162).
Primero calculamos la pendiente.
 
m = y'= 5x4 - 20x3 en el punto(3,-162)
m = y'= 5(3)4 - 20(3)3 = 5(81) - 20(27) = 405 - 540 = - 135 .
Luego, calculamos la ecuación de la tangente: y - y1 = m(x - x1) 
y - (-162) = - 135(x - 3)
y + 162 = - 135x + 405
135x + y + 162 - 405 = 0
135x + y - 243 = 0 → Ecuación de la Tangente .
Ecuación de la normal: En el punto de inflexión(3 , - 162) .
y - y1 = - 1 (x - x1) 
 m1
y - (-162) = - 1 (x - 3) . → y + 162 = (x - 3) . 
 -135 135 
 
135(y + 162) = x - 3
x - 3 = 135y + 135(162) .
x - 135y - 135(162) = 0 .
 x - 135y - 21870 = 0 . → Ecuación de la Normal .
16. y = x(x2 - 4)2
y'= x.d (x2 - 4)2 + (x2 - 4)2.d (x)
 dx dx 
y'= x(2) (x2 - 4)2-1.d (x2 - 4) + (x2 - 4)2(1)
 
 dx
y'= 2x(x2 - 4)(2x) + (x2 - 4)2 = (x2 - 4)[4x2 + (x2 - 4)] = 
y'= (x2 - 4)[4x2 + x2 - 4] = (x2 - 4)(5x2 - 4) = 0. 
 
(x2 - 4)(5x2 - 4) = 0. 
(x2 - 4) = 0.
x2 = 4
x = ± √4 = ± 2 .
 
(5x2 - 4) = 0.
5x2 = 4 .
x2 = 4/5 .
x = ± √4/5 = ± √ 0,8 = ± 0,8944271909999 . 
Los valores críticos se sustituyen en y",para saber si hay 
Máximos o Mínimos.
y'= (x2 - 4)(5x2 - 4)
y"= (x2 - 4).d (5x2 - 4) + (5x2 - 4).d (x2 - 4)
 dx dx
y"= (x2 - 4)(10x) + (5x2 - 4)(2x) = 2x[5(x2 - 4) + (5x2 - 4)] = 
y"= 2x(5x2 - 20 + 5x2 - 4) = 2x(10x2 - 24) = 20x3 - 48x.
y"= 20x3 - 48x.
Para: x = 2 .Se reemplaza en y" .
y"= 20x3 - 48x. 
y"= 20(2)3 - 48(2) = 20(8) - 96 = 160 - 96 = + . Mínimo .
x = 2 se reemplaza en la función original .
y = x(x2 - 4)2 .
y = (0)[(0)2 - 4]2 = (0)(- 4) = 0
⇒ x = 2 , existe un Mínimo = 0 .
Para: x = - 2 .Se sustituye en y" .
y"= 20x3 - 48x. 
y"= 20(-2)3 - 48(-2) = 20(- 8) - (-96) = 
y"= - 160 + 96 = - . Máximo .
x = - 2. 
 Los valores críticos se sustituyen en y",para saber si hay 
Máximos o Mínimos
y = x(x2 - 4)2
y = (- 2)[(- 2)2 - 4]2 = (- 2)(4 - 4)2 = (- 2)(0) = 0 . 
⇒ x = - 2 , existe un Máximo = 0 .
Para: x = 0,8944271909999 . Se reemplaza este valor en y".
 
y"= 20x3 - 48x. 
y"= 20(0,8944271909999)3 - 48(0,8944271909999).
y"= 20(0,7155417527999) - 48(0,8944271909999).
y"= 14,310835056 - 42,932505168 = - . Máximo .
 x = 0,8944271909999 en la función, para conocer el valor Máximo.
y = x(x2 - 4)2
y = (0,8944271909999)[( 0,8944271909999)2 - 4]2 = 
y = (0,89…)(0,8 - 4)2 = (0,89…)( - 3,2)2 = 
y = (0,89…)(10,24) = 9,158934435839 
⇒ x = 0,8944271909999 , existe un Máximo = 9,158934435839 .
Para: x = - 0,8944271909999 .Se reemplaza este valor en y" .
y"= 20x3 - 48x. 
y"= 20(- 0,8944271909999)3- 48(- 0,8944271909999).
y"= 20(- 0,7155417527999) - 48(- 0,8944271909999).
y"= - 14,310835056 + 42,932505168 = + . Mínimo .
 x = - 0,8944271909999 en la función, para conocer el valor Mínimo.
y = x(x2 - 4)2
y = (- 0,8944271909999)[(- 0,8944271909999)2 - 4]2 = 
y = (- 0,89…)(0,8 - 4)2= (- 0,89…)( - 3,2)2 = 
y = (- 0,89)(10,24) = - 9,158934435839 .
⇒ x = - 0,8944271909999 , existe un Mínimo = - 9,158934435839 .
17. ay = x2 + a 4 .
 x2
a.y'= 2x + ( - a 4 ) .d (x2)
 ( x2 )2 dx
a.y'= 2x + ( - a 4 ) (2x) = 2x - 2a 4 . x = 2x - 2a 4 = 
 x 4 x . x3 x3 
ay'= 2x 4 - 2a 4 = .
 x3 
 
 2x 4 - 2a 4 ) .
y'= x 3 = 2x 4 - 2a 4 = 2x 4 - 2a 4 = 2 x 3 .x - 2 a 3 . a = 
 a ax3 ax3 ax3 a. x3 a .x3 
 1
y'= 2x - 2a 3 .
 a x3
y"= 2 .dx - (- 2a 3 ) . d (x3) = 2(1) + (2a 3 )(3x 2 ) = 2 + 6a 3 .x 2 = 
 a dx (x3)2 dx a x6 a x2.x4 
y"= 2 + 6a 3 . x 2 = 2 + 6a 3 .
 a x2.x4 a x4 
Para: x = a. Se reemplaza este valor en y".
y"= 2 + 6a3 → 2 + 6 a 3 = 2 + 6 a 3 = 2 + 6 ."+". Mínimo.
 a x4 a a4 a a .a3 a a
 x = a. Se sustituye en la función original .
ay = x2 + a 4 .
 x2
ay = a2 + a 4 = a2 + a2 = 2a2.
 a2
y = 2a 2 = 2a . a = 2a.
 a a. 
⇒ x = a , existe un Mínimo = 2a .
Para: x = - a .Se reemplaza este valor en y" .
y"= 2 + 6a 3 .
 a x4
 
y"= 2 + 6a 3 = 2 + 6 a 3 = 2 + 6 = " + " . Mínimo .
 a (- a)4 a a3.a a a 
x = - a .Se sustituye en la función original.
ay = x2 + a 4 .
 x2
ay = (- a)2 + a 4 = a2 + a 2 . a 2 = 2a2 = 
 (- a)2 a2
 
y = 2 a .a = 2a. 
 a . 
⇒ x = - a , existe un Mínimo = 2a .
Tomamos la 2da derivada. Para detectar Puntos de Inflexión.
y"= 2 + 6a 3 = 0 .
 a x4
 2 + 6a 3 = 2x 4 + 6a 4 = 0 .
 a x4 a . x4
2x4 + 6a4 = 2(x4 + 3a4) = (x4 + 3a4) = x4 = - 3a4 .
x = ∜- 3a4 . 
El valor es imaginario,por tanto no hay puntos de inflexión.
18. ay = x2 + 2a 3 .
 x
a.y'= 2x + (- 2a 3 ) .dx = 2x - 2a 3 (1) = 2x - 2a 3 = 2x 3 - 2a 3 = 
 x2 dx x2 x2 x2 
 2x 3 - 2a 3 .
 
y'= x 2 = 2x 3 - 2a 3 = 2 x 2 .x - 2a 2 .a = 2x - 2a 2 .
 a a.x2 a. x2 a .x2 a x2.
 
y'= 2x - 2a 2 = 2x 3 - 2a 3 = 0
 a x2 ax2 
x = 0 ; 2x3 - 2a3 = 2(x3 - a3) = 0 ; x3 = a3 → x = a .
Ahora calculamos y".
y'= 2x - 2a 2 .
 a x2.
y"= 2 . dx - (- 2a 2 ) .d (x2) = 2 + 2a 2 (2x) = 
 a dx (x2)2 dx a x4 
y"= 2 + 4a 2 .x = 2 + 4a 2 x = 2 + 4a 2 .
 a x3.x a x .x3 a x3
Para: x = a . Se sustituye en y".
y"= 2 + 4a 2 .
 a x3
y"= 2 + 4a 2 = " + " . Mínimo . 
 a (a3)
x = a en la función original.
ay = x2 + 2a 3 .
 x
ay = a2 + 2. a .a 2 = a2 + 2a2 = 3a2.
 a .
y = 3a 2 = 3a
 a
 
⇒ x = a , existe un Mínimo = 3a .
La 2da derivada , para ver si hay Máximos y mínimos .
y"= 2 + 4a 2 = 0.
 a x3
2 + 4a 2 = 2x 3 + 4a 3 = 2x 3 + 4a 3 = 2(x 3 + 2a 3 ) = 0.
a x3 a.x3 a.x3 a.x3
x3 + 2a3 = 0 ; x3 = - 2a3 ; x = ∛- 2a3 = - ∛2a3 = -1,259921049895 a .
x = ∛- 2a3 = - ∛2a3 = -1,259921049895 a .
Para: x = -1,259921049895a .
x < -1,259921049895a = - 1,26. Se sustituye en y". 
y"= 2 + 4a 2 .
 a x3
y"= 2 + 4a 2 = 2 + 4 a 2 = 
 a (-1,259921049895a )3 a (- 1,25…a.a2)3 
y"= 2 - 4 = 2 - 2 = 0
 a 2a a a
No hay Puntos de Inflexión, porque y"= 0 .

 
Problemas - Pagina 115
Derivar cada una de las siguientes funciones
1. y = ln (ax + b)
y'= 1 .d (ax + b) 
 (ax + b) dx
y'= 1 . (a) = a . 
 (ax + b) (ax + b)
2. y = ln (ax2 + b)
y'= 1 .d (ax2 + b)
 (ax2 + b) dx
y'= 1 .(2ax) = 2ax .
 (ax2 + b) (ax2 + b)
3. y = ln (ax + b)2 .
y'= 1 . d (ax + b)2
 (ax + b)2 dx
y'= 1 . 2(ax + b)2-1.d (ax + b)
 (ax + b)2 dx
y'= 2(ax + b)(a) = 2a. (ax + b) = 2a . 
 
 (ax + b)2 (ax + b) (ax + b) (ax + b)
4. y = ln ax n 
y'= 1 .d (ax n)
 ax n dx
y'= 1 (n.a.x n-1) = (n.a.x n-1) = n. a . x n .x -1 = n.x-1 = n .
 ax n a.x n a.x n x
5. y = ln x3 .
y'= 1 .d (x3) = 1 .d (x3) 
 x3 dx x3 dx
y'= 1 (3x2) = 3 x 2 = 3 . 
 x3 x2.x x
6. y = ln 3 x[ = (ln x)3]
y'= 3(ln x)3-1.d (ln x) = 3(ln x)2. 1 .d (x) = 3(ln x) 2 (1) = 
 dx x dx 
y'= 3(ln x) 2 = 3 ln 2 x .
 x x
7. y = ln (2x3 - 3x2 + 4) .
 y'= 1 . d (2x3 - 3x2 + 4) = 1 .(6x2 - 6x) = 
 (2x3 - 3x2 + 4) dx (2x3 - 3x2 + 4) 
y'= (6x 2 - 6x) = 6x(x - 1) =
 (2x3 - 3x2 + 4) (2x3 - 3x2 + 4)
 
8. y = log 2 .
 x
 
y'= log e . d (2/x) = log e.(- 2 ).dx = x. log e (- 2 ) = 
 2/x dx 2/x x2 dx 2 x2 
y'= - 2 log e. x = - log e .
 2.x.x x
9. y = ln x 2 .
 1 + x2
 (1+x2).d (x2) - (x2).d (1 + x2)
 (1 + x2).d (x2) - (x2).d (1 + 
x2)
y'= 1 d x 2 = 1 + x 2 dx dx . 
 x 2 dx 1 + x2 x2 (1 + x2)2
 1 + x2
 
y'= 1 + x 2 (1 + x 2 )(2x) - (x 2 )(2x) = (1 + x 2 ) (2x + 2x 3 - 2x 3 )
 x2 (1 + x2)2 x2 (1 + x2)2 
y'= (1 + x 2 ) (2x + 2x 3 - 2x 3 ) = (1 + x 2 ) { 2.x } = 
 x2 (1 + x2)2 x . x (1 + x2)2
y'= (1 + x 2 ) ( 2. x ) = 2 .
 x . x.(1 + x2) (1 + x2) x (1 + x2)
10. y = ln √9 - 2x2 .
y = ln (9 - 2x2)1/2 .
y'= 1 . d (9 - 2x2)1/2 
 (9 - 2x2)1/2 dx
y'= 1 . 1 .(9 - 2x2)1/2-1.d (9 - 2x2)
 (9 - 2x2)1/2 2 dx
 
y'= (9 - 2x 2 ) -1/2 (- 4x) = - 4 x = - 2x .
 2(9 - 2x2)1/2 2 .(9 - 2x2)1/2.(9 - 2x2)1/2 (9 - 2x2) 
11. y = ln (ax √a + x ) .
y'= 1 .d (ax √a + x ) = 
 (ax √a + x ) dx
 
y'= 1 .{a[x.d (√a + x ) + (√a + x ).d (x)] } 
 (ax √a + x ) dx dx
y'= 1 .{a[ x + (√a + x )(1)] } .
 (ax √a + x ) 2√a + x .
y'= {a[ x + 2( √ a + x )( √ a + x ) ] } = a[ x + 2(a + x)] =
 2.(ax √a + x ) (√a + x ) 2.a.x.(√a+x)2 
y' = a .(x + 2a + 2x ) = 2a + 3x .
 2. a .x.(a+x) 2x(a+x)
12. f(x) = x ln x
f '(x) = x .d (ln x) + (ln x).d (x)
 dx dx
f '(x) = x . 1 .d (x) + (ln x)(1) = 1 + ln x
 x dx
13. f (x) = ln (x + √1 + x2 )
f '(x) = 1 . d [x + √(1 + x2) ] = 
 (x + √1 + x2 ) dx 
f '(x) = 1 { 1 + 2x } = 
 [(x + √(1 + x2) ] (2√1 + x2)
 
f '(x) = 1 . [2 √ 1 + x 2 + 2x ] = 
 [x + √(1 + x2 ) ] (2√1 + x2) 
f '(x) = [2( √ 1 + x 2 ) + 2x ] .
 [x + √(1 + x2 ) ](2√1 + x2)
f '(x) = 2 (x + √ 1 + x 2 ) = 1 = 
 (x + √1 + x2 ). ( 2 .√1 + x2) (√1 + x2) 
f '(x) = 1 . √ 1 + x 2 = √ 1 + x 2 = √ 1 + x 2 
 √1 + x2 √1 + x2 (√1 + x2)2 (1 + x2)
 (√1 + x2)2 1 + x2
 
14. s = ln a + bt = ln a + bt 1/2. 
 a - bt a - bt 
 
 s' = 1 . d a + bt 1/2
 a + bt 1/2 dt a - bt
 a - bt
s'= (a - bt) 1/ 2 . 1 . a + bt 1/2-1.d a + bt 
 (a + bt)1/2 2 a - bt dt a - bt
 (a - bt).d (a + bt) - (a + bt).d (a - bt) 
s'= (a - bt) 1/ 2 . 1 . a + bt -1/2 dt dt . 
 (a + bt)1/2 2 a - bt (a - bt)2
 
s'= (a - bt) 1/ 2. a - bt 1/2. (a - bt)(b) - (a + bt)(- b)
 2(a + bt)1/2 a + bt (a - bt)4/2
s'= (a - bt) 1/2 .(a - bt) 1/ 2 ab - b 2 t + ab + b 2 t . 
 2(a + bt)1/2(a + bt)1/2 (a - bt)(a - bt)1/2(a - bt)1/2
s'= 1 . ab - b 2 t + ab + b 2 t = 2 .ab = ab .
 2(a + bt) (a - bt) 2(a + bt)(a - bt) (a2 - b2t2) 
 
15. f(x) = x2 ln x2 .
f '(x) = x2.d (ln x2) + ln x2.d (x2)
 dx dx
f '(x) = x2( 1 ).d (x2) + ln x2(2x) = x2( 1 )(2x) + ln x2(2x) = 2x(1 + ln x2) .
 x2 dx x2 
16. y = enx .
y'= enx.d (nx) = enx(n) = n enx 
 dx
17. y = 10nx .
y'= (10nx)(ln 10).d (nx) = (10nx)(ln 10)(n) = n(10nx)(ln 10) 
 dx
 2 
18. y = ex 
 2 2 2
y = ex .d (x2) = e x (2x) = 2x. e x .
 
19. y = 2 .
 ex
y'= - 2 . d (ex ) = - 2. e x .d (x) = - 2. e x .(1) = - 2 . 
 {e x}2 dx ex. ex dx ex e x ex
20. s = e√t
s'= e√t.d (√t) = e√t . 1 = e √ t .
 dt 2√t 2√t
21. z = b2y .
z'= b2y.ln b.d (2y) = 2.b2y.ln b.
 dy
22. u = s es .
u'= s.d (es) + es.d (s) = s. es.ds + es(1) = s. es.(1) + es = s. es + es = es(s + 1) .
 ds ds ds
 
23. v = e u .
 u
 u.d eu - eu.d (u) u.eu.du - eu.(1)
v'= du du = du = u.e u (1) - e u = u.e u - e u = e u (u - 1) . 
 u2 u2 u2 u2 u2
24. y = ln x .
 x
 x.d (ln x) - (ln x).d (x) x . 1 .dx - (ln x)(1)
y'= dx dx = x dx = 1 - ln x .
 x2 x2 x2
25. y = ln (x2 ex) .
y'= 1 .d (x2 ex) = 1 { x2.d ( ex) + (ex).d (x2) } 
 (x2 ex) dx (x2 ex) dx dx
y'= 1 { x2( ex).d (x) + (ex)(2x) } = { x 2 ( e x )(1) + (e x )(2x) } = 
 (x2 ex) dx dx (x2 ex) 
 
y'= x 2 ( e x ) + 2x(e x ) = x . e x (x + 2) = x + 2 = x + 2 = 1 + 2 . 
 (x2 ex) x . x. e x x x x x
26. y = e x - 1 .
 ex + 1
 (ex + 1).d (ex - 1) - (ex - 1).d (ex + 1)
y'= dx dx . 
 (ex + 1)2
 (ex + 1)( ex).d (x) - (ex - 1).(ex).d (x) 
y'= dx dx .
 (ex + 1)2
y'= (e x + 1)( e x )(1) - (e x - 1).(e x )(1) = (e x + 1)( e x ) - (e x - 1).(e x ) = 
 (ex + 1)2 (ex + 1)2
y'= (e x ) [(e x + 1) - (e x - 1) } = (e x ) ( e x + 1 - e x + 1) = e x (2) = 2.e x .
 (ex + 1)2 (ex + 1)2 (ex + 1)2 (ex + 1)2
 
27. y = x2 e -x .
y'= x2.d (e -x) + (e -x).d (x2) = x2(e-x).d (- x) + (e -x)(2x) . 
 dx dx dx 
 
y'= x2(e-x)(- 1) + (e -x)(2x) = - x2(e-x) + (e -x)(2x) = - x(e-x)(x - 2) = -x(x - 2) 
 ex
28. y = a (ex/a - e-x/a)
y'= a[(ex/a).d ( x ) - (e-x/a).d ( - x ) ] 
 dx a dx a
y'= a[(ex/a)( 1 ) - (e-x/a)(- 1 ) ]
 a a
y'=. a . ( e x/a ) + a . (e -x/a ) = (ex/a) + (e-x/a).
 a a . 
 
y'= ex/a + 1 = (e x/a . e x/a + 1 ) = ( e x/a ) 2 + 1 ) = ( e 2x/a + 1 ) . 
 ex/a ex/a ex/a ex/a
29. y = e x - e - x 
 e x + e -x
 (e x + e -x).d (e x - e -x) - (e x - e -x).d (e x + e -x) 
y'= dx dx .
 (e x + e -x)2
 
 (e x + e -x)[(e x).d (x) - (e -x).d (-x)]- (e x - e -x)[(e x).d (x) + (e -x).d (-x)] 
y'= dx dx dx dx .
 (e x + e -x)2
y'= (e x + e -x ){(e x )(1) - (e -x )(-1)} - (e x - e -x ){(e x )(1) + (e -x )(-1) } 
 (e x + e -x)2
y'= (e x + e -x )(e x + e -x ) - (e x - e -x )(e x - e -x ) = (e x + e -x ) 2 - (e x - e -x ) 2 
 (e x + e -x)2 (e x + e -x)2
y'= (e x ) 2 + 2 e x e -x + (e -x ) 2 - {(e x ) 2 - 2 e x e -x + (e -x ) 2 } 
 (e x + e -x)2
 
y'= e 2x + 2 e x e -x + e -2x - {e 2x - 2 e x .e -x + e -2x } 
 (e x + e -x)2
y'= e 2x + 2 e x e -x + e -2x - e 2x + 2 e x .e -x - e -2x 
 (e x + e -x)2
 
y'= e 2x + 2 e x e -x + e -2x - e 2x + 2 e x .e -x - e -2x 
 (e x + e -x)2
y'= 4 e x e -x .
 (e x + e -x)2
Pero: e x e -x = e x-x = e0 = 1 
 
 4 .
⇒ y'= 4 (1) = 4 = 4 = 1 = 4(e -x ) 2 = 4(e -2x ) = 1 . 
 e x + 1 2 e x .e -x + 1 2 1 + 1 2 2 2 22 4 e 2x
 e -x e -x e -x (e -x)2 
30. s = ln t 2 .
 t2
 (t2).d (ln t2) - (ln t2).d (t2) 
s'= dt dt .
 (t2)2
 ( t2 )( 1 ).d ( t2) - (ln t2)(2t) 
s'= . t 2 dt = 2t - 2t(ln t 2 ) = 2. t (1 - ln t 2 ) = 2 (1 - ln t 2 ) .
 t4 t4 t . t3 t3 
 
31. f(x) = ln √ x 2 +1 - x 
 √x2+1 + x
Racionalizando el denominador:
f(x) = ln (√ x 2 +1 - x).( √ x 2 +1 - x) = ln (√ x 2 +1 - x) 2 = 
 (√x2+1 + x).(√x2+1 - x) (√x2+1)2 - (x)2
f(x) = ln ( √ x 2 +1 - x) 2 = 2 ln ( √ x 2 +1 - x) = 2 ln (√ x 2 +1 - x) = 
 (√x2+1)2 - (x)2 (x2+1) - (x)2 x2 + 1 - x2 
 
 f(x) = 2 ln (√x2+1 - x) . 
 d (x2 + 1) 
f '(x) =2 1 .d (√x2+1 - x) = 2 1 dx - dx 
 
 (√x2 + 1 - x) dx (√x2 + 1 - x) 2√x2 + 1 dx .
 
f '(x) = 2 2 .x - 1 . 
 (√x2+1 - x) 2 √x2 + 1 
 
f '(x) = 2 x - 1 = 2 x - ( √ x 2 + 1) 
 (√x2+1 - x) √x2 + 1 (√x2 + 1 - x) √x2 + 1 
 
f '(x) = 2 x - √ x 2 - 1) = 2 - ( √ x 2 +1 - x) 
 (√x2+1 - x) √x2 + 1 (√x2+1 - x) √x2 + 1
f '(x) = - 2 .
 √x2 + 1
32. y = x x
y'= x.xx-1.dx + ln x . xx. dx = x.xx-1.(1) + ln x . xx. (1) = x.xx-1 + ln x . xx. 
 dx dx
y'= x.xx.x-1 + ln x . xx = x1-1.xx + ln x . xx = x0.xx + ln x . xx = (1)xx + ln x . xx = 
y'= xx + ln x . xx = xx (1 + ln x) .
33. y = x
√x
y'= √x.x
√x - 1.d (x) + ln x. x√x.d (√x)
 dx dx
y'= √x.x
√x.x -1.(1 ). + ln x. x√x. 1 . = √x.x 
√ x + ln x. x √ x 
 2√x x 2√x
y'= 2. √ x. √ x. x 
√ x + x.ln x. x √ x = 2x . x √ x + x.ln x. x √ x = 
 2.x.√x 2.x.√x 
 
y'= x.x 
√ x (2 + ln x) 
 2x√x
34. s = a t
 t
s = a t .
 t t
 
 
 (t t).d (at)-(at).d (t t) (t t ){(at)(ln a)d (t)} - (at){t(t t-1).d (t) + (ln t)(tt).d(t)}
s'= dt dt = dt dt dt .
 (t t)2 t 2t
s'= (t t ) {(a t )(ln a)(1)} - (a t ){t.t t .t -1 )(1) + (ln t)(t t )(1)} 
 t 2t 
s'= (t t ) {(a t )(ln a)} - (a t ) { t 1 .t t . t -1 ) + (ln t)(t t )} = .
 t 2t
s'= (t t ) {(a t )(ln a)} - (a t ){t t ) + (ln t)(t t )} . 
 t 2t
s'= (t t ) {(a t )(ln a)} - (a t )(t t ) - (a t ) (ln t)(t t ) =
 t t.t t
s'= ( t t ) (a t ){ln a - 1 - ln t} = (a t ){ln a - ln t - 1} 
 t t. t t t t
 (at){ln a - 1}
s'= t = a t ln a - 1 = a t ln a - 1.
 tt tt t t t
35. y = x ∛ (3x + a) 
 √(2x + b)
y = x(3x + a) 1/3 .Tomando logaritmos naturales a ambos miembros:
 (2x + b)1/2 y luego derivando.
ln y = ln x(3x + a) 1/3 
 (2x + b)1/2
ln y = ln x(3x + a)1/3 - ln (2x + b)1/2
ln y = ln x + ln (3x + a)1/3 - ln (2x + b)1/2 
ln y = ln x + 1 ln (3x + a) - 1 ln (2x + b)
 3 2
Derivando:
 
 1 . dy = 1 . dx + 1 . 1 .d (3x + a) - 1 . 1 .d (2x + b) 
 y dx x dx 3 (3x + a) dx 2 (2x + b) dx 
1 . dy = 1 .(1) + 1 . 1 .(3) - 1 . 1 .(2) 
y dx x 3 (3x + a) 2 (2x + b) 
1 . dy = 1 + 1 . 3 - 1 . 2 .
y dx x 3 (3x + a) 2 (2x + b)
1 . dy = 1 + 1 . 3 - 1 . 2 .
y dx x 3 (3x + a) 2 (2x + b) 
1 . dy = 1 + 1 - 1 .
y dx x (3x + a) (2x + b)
dy = 1 + 1 - 1 y.
dx x (3x + a) (2x + b)
36. y = √ (4 + x 2 ) .
 x √(4 - x2)
y = (4 + x 2 ) 1/2 . Tomando logaritmos naturales a ambos miembros: 
 x .(4 - x2)1/2 y luego derivando.
ln y = ln (4 + x 2 ) 1/2 .
 x .(4 - x2)1/2
ln y = ln (4 + x2)1/2 - ln {x .(4 - x2)1/2}
ln y = 1 . ln (4 + x2) - {ln x + ln (4 - x2)1/2}
 2
ln y = 1 . ln (4 + x2) - {ln x + 1 . ln (4 - x2)
 2 2
ln y = 1 . ln (4 + x2) - ln x - 1 . ln (4 - x2)
 2 2
 1 .y'= 1 . 1.d (4 + x2) - 1 .d (x) - 1 . 1 .d (4 - x2)
 y 2 (4 + x2) dx x 2 (4 - x2) dx
1 .y'= 1 . 1 .(2x) - 1 .(1) - 1 . 1 .(- 2x)
y 2 (4 + x2) x 2 (4 - x2) 
 
1 .y'= 1 . 1 .(2x) - 1 .(1) - 1 . 1 .(- 2x)
y 2 (4 + x2) x 2 (4 - x2) 
1 .y'= x - 1 + x .
y (4 + x2) x (4 - x2) 
 
y'= x - 1 + x y .
 (4 + x2) x (4 - x2) 
37. y = xn (a + bx)m
Tomando logaritmos naturales a ambos miembros:
ln y = ln [xn (a + bx)m]
ln y = ln xn + ln (a + bx)m
ln y = n.ln x + m.ln (a + bx) . Ahora derivando:
 1 .y'= n . 1 .d (x) + m. 1 .d (a + bx)
 y x dx (a + bx) dx
1 .y'= n . 1 .(1) + m .(b)
y x (a + bx) 
 
1 .y'= n . + mb .
y x (a + bx) 
y'= n . + mb y .
 x (a + bx) 
 

 
Problemas -Pagina 124
5. y = sen ax
y'= cos ax .d (ax) = (cos ax )(a) = a cos ax
 dx
4. y = 3 cos 2x
y'= 3(- sen 2x).d (2x) = (- 3 sen 2x)(2) = - 6 sen 2x .
 dx 
5. s = tg 3t
s'= (sec23t).d (3t) = (sec23t)(3) = 3(sec23t) = 3 (sec 3t)2. 
 dt
8. u = 2 cot 1 v
 2
u'= 2 - csc2 1 v .d 1 v
 2 dv 2
u'= 2 - csc2 1 v . 1 = - csc2 1 v 
 2 2 2
9. y = sec 4x
y'= (sec 4x)(tg 4x).d (4x)
 dx
 
y'= (sec 4x)(tg 4x).(4) = 4(sec 4x)(tg 4x).
10. ϱ= a csc bθ
ϱ'= a [(-csc bθ )(cot bθ ).d (bθ )]
 dθ
ϱ '= a [(-csc bθ )(cot bθ ).(b)] = -ab [(csc bθ )(cot bθ )]
11. y = 1 .sen2x
 2
y = 1 .(sen x)2
 2
y'= 1 .[2(sen x).d (sen x)]
 2 dx
y'= 1 .[2(sen x)(cos x)] = (sen x)(cos x) 
 2
12. s = √cos 2t
s = (cos 2t)1/2
s'= 1 . (cos 2t)1/2-1.d (cos 2t)
 2 dt
s'= 1 . (cos 2t)-1/2.(- sen 2t).[d (2t)] = 
 2 dt
s'= 1 . (cos 2t)-1/2.(- sen 2t).(2) = (cos 2t)-1/2.(- sen 2t). 
 2
s'= (- sen 2t)
 (cos 2t)1/2
13. ϱ= ∛(tg 3θ )
 (sec23θ ).d (3θ )
ϱ '= d θ .
 3(∛tg 3θ )2
 
ϱ '= (sec 2 3 θ ).( 3 ) = (sec 2 3 θ ) .
 3(∛tg 3θ )2 (∛tg 3θ )2
14. y = 4 .
 √(sec x)
y = 4 .
 (sec x)1/2
y'= - 4 . d [(sec x)1/2]
 [(sec x)1/2]2 dx
y'= - 4 . 1 . (sec x)1/2-1.d (sec x)
 [(sec x)2/2] 2 dx
y'= - 4 . 1 . (sec x)-1/2.(sec x)(tg x).d (x)
 (sec x) 2 dx 
 y'= - 4 . 1 . (sec x)-1/2.(sec x)(tg x).d (x)
 (sec x) 2 dx 
y'= - 2 (tg x)(1) = - 2 (tg x) .
 (sec x)1/2 (sec x)1/2
15. y = x cos x
y'= x.d (cos x) + (cos x).d (x) 
 dx dx
y'= x.(-sen x).d (x) + (cos x)(1)
 dx 
y'= - x.(sen x)(1) + (cos x) = cos x - x.sen x
16. f (θ ) = tg θ - θ
f '(θ ) = sec2θ - 1 = tg2θ .
17. ϱ= sen θ 
 θ
 θ .d (sen θ ) - (sen θ ).d (θ )
ϱ'= d θ d θ .
 θ 2
 
 
 θ .(cos θ ).d (θ ) - (sen θ )(1)
ϱ'= d θ . 
 θ 2 
 
ϱ '= θ .(cos θ )(1) - (sen θ ) = θ .(cos θ ) - (sen θ ) .
 θ 2 θ 2
18. y = sen 2x cos x
y'= sen 2x .d (cos x) + (cos x).d (sen 2x) 
 dx dx
y'= sen 2x .(-sen x).d (x) + (cos x)(cos 2x).d (2x) 
 dx dx 
y'= - sen 2x .(sen x).(1) + (cos x)(cos 2x)(2) . Ordenando:
 
y'= - sen 2x .(sen x) + 2(cos 2x) (cos x) = 2(cos 2x) (cos x) - sen 2x (sen x)
19. y = ln [sen (ax) ]
y'= 1 . d [sen (ax)]
 sen (ax) dx
y'= cos (ax). d (ax) = cot ax .(a) = a cot ax
 sen (ax) dx
20. y = ln √(cos 2x)
y = ln (cos 2x)1/2
y = . 1 .ln (cos 2x)
 2 
Derivando:
y'= . 1 . 1 . d (cos 2x)
 2 (cos 2x) dx
y'= . 1 .(-sen 2x). d (2x)
 2 (cos 2x) dx
y'= . 1 .(-sen 2x). (2) = . 1 .(-sen 2x). (2) = - tg 2x 
 2 (cos 2x) 2 (cos 2x) 
 
 
21. y = ϱax sen bx
y'= ϱax.d (sen bx) + (sen bx).d (ϱax)
 dx dx
y'= ϱ ax.(cosbx).d (bx) + (sen bx).(ϱax).d (ax) 
 dx dx
y'= ϱ ax.(cosbx).(b) + (sen bx).(ϱax).(a) = (ϱ ax)[b(cosbx) + a (sen bx)]
y'= ϱ ax[a (sen bx) + b(cosbx)]
22. s = ϱ -t cos 2t
s'= ϱ -t .d (cos 2t) + (cos 2t).d (ϱ -t)
 dt dt
s'= ϱ -t .(-sen 2t).d (2t) + (cos 2t).(ϱ -t).d (-t)
 dt dt
s'= ϱ -t .(-sen 2t).(2) + (cos 2t).(ϱ -t).(-1)
s'= - 2ϱ -t .(sen 2t) - (cos 2t).(ϱ -t).
s'= - ϱ -t [ 2(sen 2t) + (cos 2t)].
23. y = ln tg x . 
 2
y = 1 . d ( tg x ) = 
 tg x dx 2 .
 2
y = 1 . sec2 x .d ( x ) = 1 . sec2 x . 1 .
 tg x 2 dx 2 tg x 2 2 
 2 2 
 
 sec2 x 
y = 2 . 1 = . 1 . sec2 x . cot2 x . 
 tg x 2 2 2 2 
 2 
24. y = ln 1 + sen x
 1 - sen x
 
y = ln 1 + sen x 1/2
 1 - sen x
y = . 1 . ln 1 + sen x 
 2 1 - sen x
y'= . 1 . 1 . d 1 + sen x .
 2 1 + sen x dx 1 - sen x
 1 - sen x
 
 (1 - sen x).d (1 + sen x) - (1 + sen x).d (1 - sen x) 
y'= . 1 . 1 - sen x . dx dx . 
 2 1 + sen x (1 - sen x)2
y'= . 1 . 1 - sen x (1 - sen x)(cos x) - (1 + sen x)( - cos x)
 2 1 + sen x (1 - sen x)2
y'= . 1 . 1 - sen x cos x - sen x cos x + cos x + sen x cos x 
 2 1 + sen x (1 - sen x)2
y'= . 1 . 1 - sen x cos x + cos x = . 1 . 1 - sen x 2 cos x . 
 2 1 + sen x (1 - sen x)2 2 1 + sen x (1 - sen x)2
y'= . 1 . 1 - sen x cos x + cos x = . 1 . (1 - sen x) 2 cos x . 
 2 1 + sen x (1 - sen x)2 2 1 + sen x (1 - sen x)(1 - sen x)
Por Algebra y Trigonometría, tenemos:
(1 + sen x)(1 - senx) = 1 - sen2x = cos2x .
y'= 1 cos x = cos x = cos x = cosx . 
 1 + sen x (1 - sen x) 1 - sen2x cos2x cos x. cos x
y'= 1 = sec x
 cos x
25. f (θ ) = sen(θ + a) cos(θ - a)
f '(θ ) = sen(θ + a) .d [cos(θ - a)] + [cos(θ - a)] .d [sen(θ + a)]
 
 dθ dθ 
 
f '(θ ) = sen(θ + a).[-sen(θ - a)].d (θ - a) + [cos(θ - a)].[cos(θ + a)].d (θ + a)
 dθ dθ 
 f '(θ ) = - sen(θ + a)[sen(θ - a)](1) + [cos(θ - a)][cos(θ + a)](1)
f '(θ ) = - sen(θ + a)[sen(θ - a)] + [cos(θ - a)][cos(θ + a)] , ordenando:
f '(θ ) = [cos(θ - a)][cos(θ + a)] - sen(θ + a)[sen(θ - a)] .
Por Trigonometría:cos(x + y) = cos x cos y - sen x sen y .
[cos(θ - a)][cos(θ + a)] - sen(θ + a)[sen(θ - a)] = cos 2θ .
Sustituimos en f '(θ ) .
f '(θ ) = cos 2θ
26. f (x) = sen2(pi -x) .
f (x) = [sen(pi-x)]2
f '(x) = 2[sen(pi-x)]2-1.d sen(pi-x)
 dx
f '(x) = 2[sen(pi -x)] .[cos(pi-x)].d (pi -x)
 dx
f '(x) = 2[sen(pi -x)] .[cos(pi-x)].(-1) = - 2[sen(pi -x)] .[cos(pi-x)].
27. ϱ= . 1 . tg 3 θ - tg θ + θ
 3 
ϱ= . 1 . (tg θ )3 - tg θ + θ
 3 
ϱ '= . 1 . 3 . (tg θ )3-1 .d (tg θ ) - sec2θ .d (θ ) + d (θ )
 3 dθ dθ dθ
ϱ '= . 1 . 3 . (tg θ )2 .(sec2 θ ).d (θ ) - sec2θ .(1) + (1)
 3 dθ 
ϱ '= (tg θ )2 .(sec2 θ ).(1) - sec2θ + 1
ϱ '= (tg θ )2 .(sec2 θ ) - sec2θ + 1 
 
Pero: sec2 θ = 1 + tg2θ → sec2 θ - tg2θ = 1 ,sustituyendo en ϱ' .
ϱ '= (tg θ )2 .(sec2 θ ) - sec2θ + (sec2 θ - tg2θ ) .
ϱ '= (tg θ )2 .(sec2 θ ) - sec2θ + sec2 θ - tg2θ ) .
ϱ '= (tg θ )2 .(sec2 θ ) - tg2θ ) = tg2θ ( sec2 θ - 1) .
Por Trigonometría: sec2 θ - 1 = tg2θ .
ϱ '= tg2θ (tg2θ ) = tg4θ .
28. y = xsenx
y'= sen x . xsenx-1 .d (x)+ ln x . xsenx . d (sen x) 
 dx dx
y'= sen x . xsenx.x -1.(1) + ln x . xsenx . (cos x).d (x) 
 dx
y'= sen x . xsenx.x -1 + ln x . xsenx . (cos x).(1). 
y'= sen x . xsenx.x -1 + ln x . xsenx . (cos x).
y'= . xsenx[sen x . x -1 + ln x . (cos x)].
y'= . xsenx[sen x . + ln x . (cos x)].
 x
29. y = (cos x)x
y'= x.(cos x)x-1.d (cos x) + ln cos x . (cos x)x.d (x) 
 dx dx
 
y'= x.(cos x)x.(cos x)-1.(-senx).d (x) + ln cos x . (cos x)x.(1).
 dx
y'= x.(cos x)x.(-senx).(1) + ln cos x . (cos x)x.
 (cos x)
 
y'= - x.(cos x)xtg x. + ln cos x . (cos x)x. Ordenando:
y'= ln cos x . (cos x)x - x.(cos x)xtg x.
 
y'= (cos x)x[ln cos x - x.tg x]. Pero : y = (cos x)x , sustituyendo en y'.
y'= y [ln cos x - x.tg x].
Hallar la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:
30. y = sen kx
y'= (cos kx).d (kx)
 dx
y'= (cos kx).(k) = k(cos kx)
y'= k(cos kx)
y"= k(- sen kx).d (kx)
 dx
y"= k(- sen kx).(k) = - k2sen kx
31. ϱ= . 1 . cos 2θ .
 4
ϱ= . 1 .(-sen 2θ ).d (2θ )
 4 dθ
 ϱ= . 1 .(-sen 2θ ).(2) = - 1 .sen 2θ 
 4 2
ϱ= - 1 .(cos 2θ ).d (2θ ) 
 2 dθ
ϱ= - 1 .(cos 2θ ).(2) = - cos 2θ . 
 2 
32. u = tg v .
u'= sec2v.d (v) = sec2v = (secv)2 .
 dv
u"= 2(sec v)2-1.d (sec v) = 2(sec v)(sec v)(tg v).d (v) 
 dv dv
u"= 2(sec v)(sec v)(tg v)(1) = 2(sec2v)(tg v) .
 
33. y = x cos x
y'= x .d (cos x) + (cos x).d (x)
 dx dx
y'= x .(-sen x).d (x) + (cos x).(1)
 dx
 y'= - x .(sen x).(1) + (cos x) = (cos x) - x .(sen x) .
y"= (-sen x).d (x) - [x .d (sen x) + (sen x).d (x)]
 dx dx dx
y"= (-sen x).(1) - [x .(cos x).d (x) + (sen x).(1)]
 dx
y"= (-sen x) - [x .(cos x)(1) + (sen x)]
y"= -sen x - x .cos x - sen x = -2 sen x - x .cos x
34. y = sen x
 x
 x .d (sen x) - (sen x).d (x) x .(cos x).d (x) - (sen x).(1) 
y'= dx dx = dx .
 x2 x2
y'= x .(cos x).(1) - (sen x) = x .(cos x) - (sen x) . 
 x2 x2 
 (x2).d [x .(cos x) - (sen x)] - [x .(cos x) - (sen x)] .d (x2)
y"= dx dx . 
 (x2)2
 (x2){[x .d (cos x).d (x) + cos x .d (x)] - (cos x).d (x)} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x)
y"= dx dx dx . 
 x4
y"= (x 2 ){[x (- sen x)(1) + cos x (1)] - (cos x)(1)} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) .
 x4
 
y"= (x 2 ){[x (- sen x) + cos x ] - (cos x)} - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) .
 x4
 
y"= (x 2 ){ - x sen x + cos x - cos x } - [x .(cos x) - (sen x)] (2x) .
 x4
y"= - x 3 sen x - 2x 2 cos x + 2x sen x = x {- x 2 sen x - 2x cos x + 2 sen x} .
 x4 x . x3
y"= {- x 2 sen x - 2x cos x + 2 sen x} .
 x3
Ordenando:
y"= 2 sen x - 2x cos x - x 2 sen x .
 x3
35. s = ϱ t . cos t
s'= ϱ t .d (cos t) + (cos t).d (ϱ t)
 dt dt 
s'= ϱ t .(- sen t).d (t) + (cos t)(ϱ t).d (t)
 dt dt
s'= - ϱ t .(sen t)(1) + (cos t)(ϱ t)(1)
s'= - ϱ t .(sen t) + (cos t)(ϱ t) = (cos t)(ϱ t) - ϱ t .(sen t) .
s'= ϱ t (cos t - sen t) .
s"= ϱ t .d [(cos t - sen t)] + (cos t - sen t) .d (ϱ t)
 dt dt 
s"= ϱ t [(-sen t).d (t) - (cos t).d (t)] + (cos t - sen t)(ϱ t).d (t)
 dt dt dt
s"= ϱ t [(-sen t)(1) - (cos t)(1)] + (cos t - sen t)(ϱ t)(1)
s"= - ϱ t [sen t + cos t] + (cos t - sen t)(ϱ t)
s"= - ϱ t sen t - ϱ t cos t + ϱ t cos t - ϱ t sen t .
s"= ϱ t { - sen t - cos t + cos t - sen t } .
 s"= ϱ t { - sen t - cos t + cos t - sen t } .
s"= ϱ t { - sen t - sen t } = ϱ t { - 2 sen t} = - 2 ϱ t sen t .
36. s = ϱ -t sen 2t
 s'= ϱ -t .d (sen 2t) + (sen 2t).d (ϱ -t)
 dt dt
s'= ϱ -t .(cos 2t).d (2t) + (sen 2t).(ϱ -t).d (- t)
 dt dt
s'= ϱ -t .(cos 2t)(2) + (sen 2t).(ϱ -t)(- 1) .
s'= 2 ϱ -t .(cos 2t) - (sen 2t).ϱ -t 
s' = ϱ -t {2 cos 2t - sen 2t}
s"= ϱ -t .d {2 cos 2t - sen 2t} + {2 cos 2t - sen 2t} .d (ϱ -t) 
 dtdt
s"= ϱ -t.{2(-sen 2t).d (2t) - (cos 2t).d (2t)} + {2cos 2t - sen 2t}.(ϱ -t).d (-t)
 
 dt dt dt 
s"= ϱ -t.{- 2 (sen 2t).(2) - (cos 2t).(2)} + {2cos 2t - sen 2t}.(ϱ -t).(-1) 
s"= ϱ -t.{- 4 (sen 2t) - 2(cos 2t)} + {2cos 2t - sen 2t}.(- ϱ -t). 
s"= - ϱ -t.(-){- 4 (sen 2t) - 2(cos 2t)} + {2cos 2t - sen 2t}. 
s"= - ϱ -t.{ 4 sen 2t + 2 cos 2t + 2cos 2t - sen 2t}. 
s"= - ϱ -t.{ 4 sen 2t + 2 cos 2t + 2cos 2t - sen 2t}. 
s"= - ϱ -t.{ 3 sen 2t + 4 cos 2t }.
37. y = ϱ ax sen bx .
y'= ϱ ax .d (sen bx) + (sen bx).d (ϱax) .
 dx dx 
y'= ϱ ax .(cos bx).d (bx) + (sen bx).(ϱax).d (ax)
 dx dx 
y'= ϱ ax .(cos bx).(b) + (sen bx).(ϱax).(a)
y'= ϱ ax {b(cos bx) + a(sen bx)} .
y"= ϱax .d {b(cos bx) + a(sen bx)} + {b(cos bx) + a(sen bx)}.d (ϱax) 
 dx dx
y"= ϱax.{b(-sen bx).d (bx)+a(cos bx).d (bx)}+{b(cos bx)+a(sen bx)}(ϱ ax).d (ax)
 dx dx dx 
y"= ϱax.{- b(sen bx).(b) + a(cos bx).(b)} + {b(cos bx) + a(sen bx)}.(ϱ ax)(a)
y"= ϱax.{- b2(sen bx) + ab(cos bx)} + {b(cos bx) + a(sen bx)}.[a ϱ ax)]
y"= ϱax.{- b2(sen bx) + ab(cos bx) + a[b(cos bx) + a(sen bx)]}.
y"= ϱax.{- b2(sen bx) + ab(cos bx) + ab(cos bx) + a2(sen bx)]}.
y"= ϱax.{(sen bx)(a2 - b2) + 2ab(cos bx)]}.
y"= ϱax.{ (a2 - b2) (sen bx) + 2ab(cos bx)}.
Hallar dy/dx en cada una de las siguientes funciones:
38. y = cos(x - y) .
y'= [ - sen(x - y)].d (x - y)
 dx
y'= [ - sen(x - y)].(dx - y')
 dx 
y'= [ - sen(x - y)].(1 - y') .
y'= - sen(x - y) + sen(x - y).y' .
sen(x - y) = sen(x - y).y' - y'.
sen(x - y) = y'[sen(x - y) - 1] = sen(x - y) .
 
y'= sen(x - y) .
 [sen(x - y) - 1]
39. ϱy = sen (x + y)
ϱy.y'= [cos (x + y)].d (x + y) .
 dx
ϱy .y'= {[cos (x + y)].[ dx + y']} .
 dx
ϱy .y'= {[cos (x + y)].[1 + y' } .
 ϱy .y'= cos (x + y) + cos (x + y). y' .
ϱy .y' - cos (x + y). y' = cos (x + y)
y'[ϱy - cos (x + y)] = cos (x + y)
y'= cos (x + y) .
 [ϱ y - cos (x + y)]
40. cos y = ln (x + y)
(- sen y).y'= 1 .d (x + y) 
 (x + y) 
(- sen y).y'= (1 + y') 
 (x + y)
(- sen y).y'(x + y) = (1 + y')
y'(-sen y)(x + y) = 1 + y'
y'(-sen y)(x + y) - y'= 1
y'[(- sen y)(x + y) - 1] = 1 .
y'= 1 = 1 .
 [(- sen y)(x + y) - 1] - [1 + (sen y)(x + y) ]
y'= - 1 = - 1 .
 [1 + (sen y)(x + y) ] [1 + (x + y) (sen y)]
En los problemas 41 a 50, hallar el valor de dy/dx para el valor dado de x ( en 
radianes) .
 
41. y = x - cos x ; x = 1
y'= 1 - (- sen x).d (x)
 dx
y'= 1 - (- sen x).(1) = 1 + sen x. Cuando : x = 1 .
y'= 1 + sen (1) = 1 + sen 1 = 1 + 0,841470984 = 1, 841470984 .
42. y = x sen x ; x = 2
 2
y'= x .d ( sen x ) + ( sen x ).d (x) 
 2 2 dx
y'= x ( cos x ).d ( x ) + ( sen x )(1) 
 2 2 2 
 
y'= [x ( cos x )]( 1 ) + ( sen x ) . Cuando : x = 2 
 2 2 2 
y'= [2( cos 2 )]( 1 ) + ( sen 2 ) .
 2 2 2
y'=[2.( cos 1 )]( 1 ) + ( sen 1 ) .
 2 
 y'= ( cos 1 ) + ( sen 1 ) = 0,5403023058681 + 0,8414709848079 . 
y'= 1,381773290675 .
43. y = ln cos x . x = 0,5
y'= l . d (cos x)
 cos x dx
y'= (- sen x) .d (x)
 cos x dx
y'= - tg x .(1) = - tg x . cuando : x = 0,5 .
y'= - tg 0,5 = - 0,5463024898438 .
 
44. y = . e x . 
 x
 
 x .d (e x ) - (ex).d (x) x .(ex).d (x) - (ex).(1)
y'= . dx dx = dx . 
 x2 x2
y'= x .(e x ).(1) - (e x ) = x .(e x ) - (e x ) = (e x ){x - 1} . Cuando: x = - 0,5 . 
 x2 x2 x2
y'= (e -0,5 ){- 0,5 - 1} = (e -0,5 ){- 1,5} = - 1,5 = - 1,5 .
 (- 0,5)2 0,25 (0,25)(e0,5) (0,25)(1,648721271)
 y'= -1,5 = 3,633705965843 .
 0,412180317 
45. y = sen x . cos 2x ; x = 1.
y'= sen x .d (cos 2x) + (cos 2x).d (sen x) 
 dx dx 
 
y'= sen x .(- sen 2x).d (2x) + (cos 2x).(cos x).d (x) 
 dx dx 
y'= sen x .(- sen 2x).(2) + (cos 2x).(cos x).(1) 
 
y'= - 2sen x .(sen 2x) + (cos 2x).(cos x) . 
y'= - 2sen (1) .{sen 2(1)} + {cos 2(1)}.(cos 1) .
 y'= - 2sen 1 .{sen 2} + {cos 2}.(cos 1) . Cuando: x = 1 .
y'= - 2sen 1 .{sen 2} +.(cos 1) {cos 2} . 
y'= - 2(0,8414709848079)( 0,9092974268257) + (0,5403023058681) 
 ( - 0,4161468365471) .
 
y'= -1,519653293531 + 0,5403023058681 - 0,4161468365471
y'= - 1,53029480252 - 0.224845095366 = - 1,755139897886
46. y = ln √tg x ; x = 1 pi
 4 
 
y = ln [(tg x)1/2]
y'= 1 .d [(tg x)1/2]
 [(tg x)1/2] dx 
y'= 1 . 1 .[(tg x)1/2-1.d (tg x)]
 [(tg x)1/2] 2 dx 
y'= (tg x) -1/2 .[.(sec2x).d (x)]
 2[(tg x)1/2] dx 
y'= [.(sec 2 x).(1)] .
 2[(tg x)1/2.(tg x)1/2] 
y'= [(sec 2 x)] . Cuando: x = pi .
 2[(tg x)] 4
 1 1 .
y'= [(sec 2 pi /4)] = cos 2 pi /4 = (cos 0,7853981633974) 2 = 
 2[(tg pi /4)] 2[(tg pi /4)] 2(tg 0,7853981633974) 
 1
 
 1 1 .
y'= (0,7071067811865) 2 = 0,5 = 1 = 1 = 1.
 2(1) 2 2(0,5). 1 
 1
47. y = ex sen x ; x = 2 .
y'= ex .d (sen x) + (sen x).d (ex) 
 dx dx
y'= ex .(cos x).d (x) + (sen x).(ex).d (x) 
 dx dx 
y'= ex .(cos x).(1) + (sen x).(ex).(1)
y'= ex (cos x) + (sen x) (ex).
y'= ex(sen x + cos x) . Cuando : x = 2 .
y'= e2(sen 2 + cos 2) .
 
 
y'= (7,389056099)(0,909297426 - 0,416146836) = 
y'= (7,389056099)(0,49315059) = 3,643956611 .
48. y = 10 e-x cos pix ; x = 1 .
y'= 10[e-x.d (cos pix) + (cos pix).d (e-x)]
 dx dx
y'= 10[e-x.(- sen pix).d (pix) + (cos pix).(e-x).d (-x)]
 dxdx
y'= 10[e-x.(- sen pix).(pi ) + (cos pix).(e-x).(-1)]
y'= 10[- pi e-x sen pix - e-x cos pix]
y'= -10[ e-x (pi sen pix + cos pix] . Cuando: x = 1 .
y'= -10{ e-1 [pi sen (pi )(1)] + [cos (pi)(1)]} .
y'= -10{ e-1 [pi sen pi + cos pi]} .
y'= -10{ e-1 [pi (0) + (- 1)]} .
y'= -10{ e-1 [0 - 1]} .
y'= -10{ e-1 [-1]} = + 10. e-1 = 10 = 10 = 3,678794412
 e1 2,718281828
49. y = 5 ex/2 sen pi x ; x = 2 .
 2 
y'= 5[ex/2.d (sen pi x ) + (sen pi x ).d (ex/2)] .
 dx 2 2 dx
y'= 5[ex/2.(cos pi x ).d (pi x ) + (sen pi x ).(ex/2).d (x/2)] .
 2 dx 2 2 dx
y'= 5[ex/2(cos pi x )( pi ) + (sen pi x )(ex/2)( 1 )] .
 2 2 2 2
y'= 5(ex/2). 1 .[ pi (cos pi x ) + (sen pi .x )] . Cuando: x = 2
 2 2 2 
 
 y'= 5(e2/2). 1 .[ pi (cos pi . 2 ) + (sen pi . 2 )] .
 2 2 2 
y'= 5(e1). 1 .[ pi (cos pi ) + (sen pi )] .
 2 
Pero: sen pi = 0 ; cos pi = - 1 .
y'= 5(e)[ pi (-1) + (0)] = 5(e)[- pi ] = -(2,5)(2,718281828)(3,14159265359). 
 2 2 
y'= - 21,34933555308
50. y = 10 e-x/10 sen 3x ; x = 1 .
y'= 10[e-x/10 .d (sen 3x) + (sen 3x).d (e-x/10)]
 dx dx 
y'= 10[e-x/10 .(cos 3x).d (3x) + (sen 3x).(e-x/10).d (- x/10)]
 dx dx 
 
y'= 10[e-x/10 .(cos 3x)(3) + (sen 3x)(e-x/10)( - 1 )]
 10 
y'= 10.[e-x/10] [3(cos 3x) - (sen 3x)] . Cuando: x = 1
 10
y'= 10.[e-1/10] [3(cos 3.1) - (sen 3.1)]
 10
y'= 10 . [3(cos 3) - (sen 3)]
 [e-1/10] 10
y'= 10 . [3(-0,98992496) - 0,1411200080599]
 1,105170918 10
y'= (9,048374180979) [-2,969977489801 - 0,01411200080599]
y'= (9,048374180979) [-2,984089490606]
y'= -27.00115830053 = - 27 .
 

Problemas-Pagina 133
4. y = arc cos x .
 a
 d ( x ) _ 1 _ 1 . _ 1 .
y'= _ dx a = a = a = a .
 1 - x 2 1 - x 2 a 2 - x 2 √ (a 2 - x 2 ) .
 a a2 a2 √a2
 - 1 .
y'= a = - a = - 1 = - √(a2 - x2) . 
 √ (a 2 - x 2 ) a√(a2 - x2) √(a2 - x2) . 
 a 
 
5. y = arc sec x .
 a
 d ( x ) 1 1 1 . 
y'= dx a = a = a = a = 
 
 x x 2 - 1 x x 2 - 1 x x 2 - a 2 x{ √ (x 2 - a 2 )} 
 a a a a2 a a2 a√a2 
 1 .
y'= a = a 2 = a .
 x √ x 2 - a 2 . ax√x2 - a2 x√x2 - a2 
 a.a
6. y = arc cot x .
 a 
 d x - 1 .
y'= _ dx a = a = - a . a = 
 1 + x 2 a 2 + x 2 a (a2 + x2) 
 a a2 
y'= - a = .
 (a2 + x2) 
 
7. y = arc sec 1 .
 x
 d 1 - 1 - 1 .
y'= dx x = x 2 = x 2 = .
 
 1 1 2 - 1 1 1 - 1 1 1 - x 2 
 x x x x2 x x2
 - 1 .
y'= x 2 = - x 2 = - 1 .
 1 √ (1 - x 2 ) x2 √(1 - x2) √(1 - x2)
 x √x2 
 
8. y = arc csc 2x
 d (2x)
y'= _ dx = - 2 = - 1 . 
 2x √(2x)2 - 1 2x √(2x)2 - 1 x √ (2x)2 - 1
9. y= arc sen √x .
 d (√x) 1 . 
y'= dx = 2 √ x = 1 = 1 = 1 . 
 √1 - (√x)2 √1 - x 2 √x √ (1 - x) 2 √x(1 - x) 2√(x - x2)
10. θ = arc vers e2
 d (e2)
d θ = de = 2e = 2e = 2e = 2e = 
de √2e2 (e2)2 √2e2 - e4 √e2(2 - e2) √e2 . √(2 - e2) e √(2 - e2) 
 
d θ = 2 e = 2 .
de e √(2 - e2) √(2 - e2)
11. y = x arc sen 2x .
y'= x.d (arc sen 2x) + (arc sen 2x).d (x) 
 dx dx 
 d (2x)
y'= x. dx + (arc sen 2x).(1)
 √1 -(2x)2 
 
y'= x. 2 + (arc sen 2x) = arc sen 2x + 2 x . 
 √1 - 4x2 √1 - 4x2 
12. y = x2 arc cos x .
y'= x2.d (arc cos x) + (arc cos x).d (x2)
 dx dx
 - d (x)
 
y'= x2 . dx + (arc cos x).(2x)
 √[1 - (x)2] 
 
y'= x 2 . (-1) + 2x(arc cos x) = 2x arc cos x - x 2 .
 √(1 - x2) √(1 - x2)
13. f (u) = u √a2 - u2 + a2 arc sen u .
 a 
f '(u) = {u .d [√(a2 - u2)] + [√(a2 - u2)].d (u)} + a2{d (arc sen u )}
 du du a 
 d u .
f '(u) = {u . (- 2 u) + [√(a2 - u2)].(1)} + a2 du a . 
 2 √(a2 - u2) 1 - u 2 . 
 a
 1 .
f '(u) = - u 2 + √ (a2 - u2) + a2 a . 
 √(a2 - u2) 1 - u 2 . 
 a2
f '(u) = - u 2 + √(a2 - u2) + a . 
 √(a2 - u2)a 2 - u 2 . 
 a2
f '(u) = - u 2 + √(a2 - u2) + a . 
 √(a2 - u2) √ a 2 - u 2 . 
 √a2
 
 a .
f '(u) = - u 2 + √(a2 - u2) + 1 . 
 √(a2 - u2) √ a 2 - u 2 . 
 a
f '(u) = - u 2 + √(a2 - u2) + a 2 . 
 √(a2 - u2) √a2 - u2 
f '(u) = - u 2 + { √ (a 2 - u 2 )} 2 + a 2 = - u 2 + a 2 - u 2 )} 2 + a 2 = 2a 2 - 2u 2 . 
 √(a2 - u2) √(a2 - u2) √(a2 - u2) 
 
f '(u) = 2 (a 2 - u 2 ) = 2(a 2 - u 2 ) 2/2 = 2 (a2 - u2)1/2 = 2 √(a2 - u2)
 √(a2 - u2) (a2 - u2)1/2
14. f(x) = √(a2 - x2) + a arc sen x .
 a 
 d (a2 - x2) d x 1 .
f '(x) = dx + a dx a = - 2 x + a a .
 2 √(a2 - x2) √{1 - ( x )2} 2√(a2 - x2) √1 - x 2 . 
 a a2 
 a .
f '(x) = - 2 x + a = - x + 1 .
 2 √a2 - x2 √ a 2 - x 2 √(a2 - x2) √ (a 2 - x 2 ) .
 a2 √a2
f '(x) = - x + 1 = - x + a = a - x . 
 √(a2 - x2) √ (a 2 - x 2 ) √(a2 - x2) √(a2 - x2) √(a2 - x2)
 a
f '(x) = (a - x) 2/2 = (a - x) 1/2 (a - x) 1/2 = (a - x) 1/2 = (a - x) 
 √(a + x)(a - x) (a + x)1/2 (a - x)1/2 (a + x)1/2 (a + x)
15. v = a2 arc sen u - u √(a2 - u2)
 a 
v'= a2{ d ( arc sen u ) } - { u .d {√(a2 - u2) + √(a2 - u2).d (u) }
 du a du du
 1 .
v'= a2 a - u - 2 u + √(a2 - u2) (1) 
 √{1-( u )2} 2√(a2 - u2) 
 a 
 a 2 .
v'= a + 2 u 2 - √(a2 - u2) . 
 √ 1 - u 2 2 √(a2 - u2)
 a2 
 
v'= a + u 2 - √(a2 - u2) = 
 √ a 2 - u 2 √(a2 - u2) 
 a2
 
v' = a + u 2 - √(a2 - u2) = a + u 2 - √(a2 - u2) = 
 √(a 2 - u 2 ) √(a2 - u2) √ (a 2 - u 2 ) √(a2 - u2)
 √a2 a
v'= a 2 + u 2 - √(a2 - u2) = a 2 + u 2 -{ √ (a 2 - u 2 )} 2 . 
 √(a2 - u2) √(a2 - u2) √(a2 - u2)
v'= a 2 + u 2 - (a 2 - u 2 ) = a 2 + u 2 - a 2 + u 2 = 2 u 2 .
 √(a2 - u2) √(a2 - u2) √(a2 - u2)
 
 
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	 Puntos de intercepción
	Puntos de intercepción
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