Polinômios Algébricos

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1
 
 
 
 
 
 
 
Elieser Facco 
 
 
 
POLINÔMIOS ALGÉBRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS 
2008 
 2
Elieser Facco 
 
 
 
POLINÔMIOS ALGÉBRICOS 
 
 
 
Trabalho final de graduação apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura – Área de Ciências 
Naturais e Tecnológicas, do Centro Universitário Franciscano, como requisito parcial para obten-
ção do grau de Licenciado em Matemática. 
 
 
Orientador: Alcibíades Gazzoni 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santa Maria, RS 
2008 
 
 3
RESUMO 
 
Neste trabalho recordou-se que os polinômios são series de monômios, que por sua vez são 
expressões matemáticas na forma axn e teve-se por objetivo estudar os polinômios algébricos, 
em especial, a fatoração de polinômios. O importante resultado conhecido como Teorema 
Fundamental da Álgebra demonstrado por Gauss mostrou que todo polinômio p(x) = 0 possui 
pelo menos uma raiz real ou complexa. Por esse teorema, toda equação polinomial p(x) = 0 
sempre tem raiz em C, ou seja, qualquer polinômio p(x) de grau n, com n ≥ 1, tem ao menos 
uma raiz complexa. Sendo assim, a partir do estudo da Álgebra é possível constatar que os 
polinômios são fórmulas eficazes para resolver problemas em nosso cotidiano. Portanto, a 
fatoração é um tópico fundamental no ensino, em qualquer nível, e é uma forma de se obter 
uma expressão algébrica para se chegar, em geral, a um resultado mais simples e equivalente 
. 
 
 
Palavras-chave: polinômio. fatoração. álgebra. 
 
 
ABSTRACT 
 
In this paper recalled that the series of polynomials are monomial, which in turn are mathe-
matical expressions as axn and has been the objective of studying the algebraic polynomial, in 
particular, the factorization of polynomials. The important result known as Fundamental 
Theorem of Algebra shown by Gauss has shown that every polynomial p (x) = 0 has at least 
one actual or root complex. For this theorem, every polynomial equation p (x) = 0 always has 
roots in C, meaning any polynomial p (x) of degree n, with n 1, has at least a root complex. 
Thus, from the study of algebra you can see that all polynomials are effective formulas for 
solving problems in our daily lives. So the factorization is a crucial topic in education at any 
level, and is a way to get an algebraic expression to arrive, in general, a result simplerand 
equivalent. 
 
 
 
Keywords: polynomial. factorization. algebra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
SUMÁRIO 
 
 
INTRODUÇÃO....................................................................................................................... 05 
DESENVOLVIMENTO................................................................................................……. 07 
2.1 FATORAÇÃO................................................................................................................... 07 
2.1.1 SIMPLIFICAÇÃO DE CÁLCULOS ALGÉBRICOS COM FATORAÇÃO.......…... 07 
2.1.2 FATORAÇÃO PELO FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA..................................….. 08 
2.1.3 FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO...................................................................… 09 
2.1.4 FATORAÇÃO PELA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS: X2 – Y2 .............….. 09 
2.1.5 FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO: X2 + 2XY + Y2......…... 09 
2.1.6 COMPLEMENTO DE QUADRADOS E FATORAÇÃO DE TRINÔMIOS DO 
SEGUNDO GRAU ................................................................................................................. 
09 
2.2 POLINÔMIOS ALGÉBRICOS ...................................................................................… 10 
2.2.1 DIVISÃO DE POLINÔMIOS....................................................................................… 10 
2.2.2 TEOREMA DO RESTO................................................................................................ 11 
2.2.3 TEOREMA DE D’ALEMBERT................................................................................… 11 
2.2.4 DISPOSITIVO DE BRIOT – RUFFINI....................................................................… 12 
2.2.5 RAIZ DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL...........................................................… 13 
2.2.6 PESQUISA DE RAÍZES INTEIRAS............................................................................ 13 
2.2.7 PESQUISA DE RAÍZES RACIONAIS.....................................................................… 14 
2.2.8 PESQUISA DE RAIZES REAIS................................................................................... 16 
2.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA..........................................................… 17 
2.3.1 TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO..................................….. 17 
2.3.2 RAÍZES MÚLTIPLAS...............................................................................................… 18 
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................................... 19 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................…... 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
1 INTRODUÇÃO 
 
Todo professor acredita ser importante o ensino da Álgebra, mas é uma tarefa árdua 
trabalhar com ela, porque os alunos possuem dificuldades para entendê-la e fazer operações. 
O processo de ensino e aprendizagem da Álgebra inicia-se desde o ensino fundamental e mui-
tas vezes não é bem entendida provocando deficiências que, se não sanadas, geram dificulda-
des na compreensão de conteúdos que são estudados mais tarde. 
Em matemática as equações polinomiais, também são conhecidas como equações al-
gébricas. Ao trabalhar com este tipo de equação é necessário saber trabalhar com os concei-
tos, operações e propriedades da Álgebra. Determinar as raízes de polinômios é um dos pro-
blemas mais antigos da matemática. Alguns polinômios tal como f(a) = a2 + 1, não possui raiz 
real. Mas, se levarmos em conta o conjunto dos números complexos, então todo polinômio 
possuiu pelo menos uma raiz. Esse resultado representa a solução de um dos problemas fun-
damentais da matemática. 
Com o uso das equações podemos responder questionamentos a respeito de números 
desconhecidos. Por exemplo, quando se quer saber qual o número que, adicionando duas uni-
dades obtêm-se o dobro deste mesmo número subtraído de quatro unidades, precisamos de-
terminar o valor desconhecido de x tal que x + 2 = 2x – 4. 
Segundo Gilberto G, Garbi, “as equações - algébricas, diferenciais, trigonométricas ou 
de qualquer outra natureza – constituem, pelo menos do ponto-de-vista prático, a parte mais 
importante da Matemática” (1997, p. 1). Com isso, averiguaremos que o estudo da matemáti-
ca e em especial o estudo das equações algébricas fazem parte da vida do ser humano e que 
ninguém no mundo consegue viver sem resolver algum tipo de equação ou problema. Desta 
forma todo trabalho realizado para elucidar as equações matemáticas é de suma importância. 
A partir do estudo da álgebra é possível constatar que os polinômios são fórmulas efi-
cazes de resolver problemas encontrados no dia-a-dia da vida humana. 
No momento em que “... uma equação algébrica é colocada sob a forma 
1 2
0 1 2 1 0
n n
n n n
a x a x a x a x a−
− −
+ + + + + =L (n inteiro e positivo) diz-se que ela está em sua For-
ma Canônica e passa-se a chamá-la de Equação Polinomial. O respectivo polinômio é também 
conhecido como função racional inteira da variável x” (Gilberto 1997, p. 5). 
Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função 
matemática ℜ→ℜ:f definida por 
0 1 2 2 3 3 n( ) ... np x a a x a x a x a x= + + + + + , 
 6
onde 0 1 2, , , ..., na a a a , são números reais, denominados coeficientesdo polinômio. O coefici-
ente a0 é o termo constante ou independente. 
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro 
em x. 
Uma das funções polinomiais mais importantes é ℜ→ℜ:f definida por 
2( )f x ax bx c= + + . Ao procurarmos os zeros desta função utilizamos a fórmula de Báskara, 
que ao deduzi-la fazemos algumas manipulações algébricas, que nos instigam a procurar a 
forma fatorada da equação 2 + 0ax bx c+ = . Estas idéias nos motivaram a fazer o estudo das 
equações polinomiais de grau n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
2 DESENVOLVIMENTO 
 
2.1 FATORAÇÃO 
 
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, 
chamadas fatores. Assim, quando falamos em fatoração estamos dizendo que existe uma for-
ma simples de isolar um fator para se chegar à solução de algum problema, através da multi-
plicação de fatores. Ou seja, fatorar é obter uma expressão algébrica onde se isola um fator 
para se chegar, em geral, a um resultado mais simples e equivalente. 
Exemplo: ( )ax ay a x y+ = + . 
 
 2.1.1 Simplificação de Cálculos Algébricos com Fatoração 
 
Muitas vezes os cálculos podem ser simplificados se fizermos fatorações, daí a impor-
tância desse tópico. 
Considerando um terreno qualquer com formato dado abaixo, ou seja, dois retângulos 
de comprimentos diferentes e de larguras iguais: 
 
É possível calcular a área total do terreno de duas maneiras distintas. 
Na primeira, somam-se os comprimentos dos retângulos e calcula-se diretamente a á-
rea. Na segunda maneira, calcula-se a área de cada retângulo e depois somamos ambas. 
 Como as duas formas de cálculo dão o mesmo resultado, então podemos escrever da 
seguinte forma: 
 1 .
 2 .
Área do retângulo ax
Área do retângulo bx
=
=
 
Somam-se então as duas áreas dos retângulos dados: ax bx+ 
 ( ).
 ( ) .
Comprimento total do retângulo a b
Área do retângulo a b x
= +
= +
 
 8
Desta forma, se esses dois resultados representam a mesma área, eles têm de ser iguais, ou 
seja: 
( ) ax bx a b x+ = + . 
 
Observa-se que ax bx+ é a soma de duas parcelas e ( ) a b x+ é o produto de dois fato-
res, sendo um deles x e o outro a + b. 
Toda vez que em uma soma de duas ou mais parcelas de qualquer problema houver fa-
tor comum a todas as parcelas dadas (como no exemplo o x em “ ax bx+ ”), é possível fatorar 
essa expressão, e esse fator comum no problema será um dos fatores da expressão após ser 
fatorada. 
No entanto, existe também a fatoração de um polinômio, que consiste em transformá-
lo em um produto de polinômios de graus menores, ou mais simples, em linguagem não-
matemática. Essa fatoração é indispensável na resolução de equações do segundo grau ou 
maior. 
Quando se fatora uma expressão, na verdade, transforma-se esta expressão em fatores 
de uma multiplicação. Para conseguirmos isto, utilizamos algumas técnicas tais como: 
 
2.1.2 Fatoração pelo Fator Comum em Evidência 
 
Considere o polinômio 14ab + 7bc. O fator comum 7b aparece nas duas parcelas, 
então podemos colocar em destaque ou em evidência. 
Dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum, a forma fatorada de um 
polinômio colocando o fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em 
evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio. Assim, 
14 72 e 
7 7
ab bc
a c
b b
= = , 
logo a forma fatorada de 14ab + 7bc é 14 7 7 (2 ).ab bc b a c+ = + 
 Observe que o fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos entre 
parenteses. 
No exemplo, 2 3 4 2 3 412 4 -8 4(3 + 1 -2 )x x x x x x+ = , coloca-se o fator numérico comum 
em evidência. Agora, precisamos verificar se é possível dividir cada um dos termos que estão 
dentro do parênteses, por um mesmo fator literal (que contém letra). Neste caso pode-se notar 
que o fator x2 serve para dividir cada um dos termos da expressão. Desta forma, escreve-se o 
 9
x
2 antes dos parênteses, ao lado do número 4, e divide-se cada um dos termos por ele. Portan-
to, 2 24 (3 1 - 2 ).x x x+ 
 
2.1.3 Fatoração por Agrupamento 
 
Observa-se o polinômio 2 2 2ab b a b− + − . Este polinômio não possui um fator comum 
para ser aplicado em todos os seus termos, a saída é fazer pequenos grupos de polinômios a 
partir do polinômio principal. Vejamos: ab − b2 + 2a − 2b = (ab − b2) + (2a − 2b), logo pode-
se fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal: 
ab − b2 = b(a − b) e 2a − 2b = 2(a − b). 
 Assim, obtem-se a fatoração de ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 2(a − b). Nota-se que 
os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova fatoração: (a − b)(b + 2). A forma 
fatorada é ab − b2 + 2a − 2b = b(a − b) + 2(a − b) = (a − b)(b + 2). 
 
2.1.4 Fatoração pela Diferença de Dois Quadrados: 2 2 x y− 
 
Esta técnica consiste em notar que uma expressão, ou parte dela, nada mais é que o re-
sultado de um produto notável do tipo produto da soma pela diferença. Neste caso, percebe-se 
que a expressão 2 2 x y− é o resultado do desenvolvimento do produto notá-
vel ( )( )x y x y+ − . Portanto ao invés de escrever 2 2 x y− simplesmente escreve-se sua fato-
ração ( )( )x y x y+ − , pois 2 2 ( )( )x y x y x y− = + − . 
 
2.1.5 Fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito: 2 22x xy y+ + 
 
Assim como o caso anterior, esta técnica consiste em notar que a expressão, ou parte 
dela, nada mais é que o resultado de um produto notável do tipo ( )2ba + . Neste caso, perce-
be-se que a expressão 2 22x xy y+ + é o resultado do desenvolvimento do produto notá-
vel 2( )x y+ . Deste modo ao invés de escrever 2 22x xy y+ + simplesmente escreve-se 2( )x y+ , 
pois 2 2 22 ( )x xy y x y+ + = + . 
 
 
 
 
 10
2.1.6 Completamento de Quadrados e Fatoração de Trinômios do Segundo Grau 
 
Observando-se a expressão 2 6 5 x x+ + nota-se que com 9 unidades teremos um qua-
drado perfeito. Então, somando-se e subtraindo-se 9 na expressão, e usando a diferença de 
dois quadrados, tem-se: 
[ ] [ ]
2 2
2
2
6 5 6 9 5 9 
 = ( + 6 9) (5 9)
 = ( 3) 4
 = ( 3) 2 ( 3) 2
 = ( 5) ( 1),
x x x x
x x
x
x x
x x
+ + = + + + − =
+ + − =
+ − =
+ + + − =
+ +
 
que é a forma fatorada da expressão dada. 
 
Para a expressão 2 5 6 x x− + tem-se: 
2
2 2
2
5 55 6 = 5 +6 
2 2
5 1
 
2 4
5 1 5 1
 . 
2 2 2 2
 ( 2) ( 3).
x x x x
x
x x
x x
 
− + + + − = 
 
 
= − − = 
 
      
= − + − − =      
      
= − −
 
 
Se quisermos determinar os valores de x que anulam ambos os trinômios 2 6 5 x x+ + e 
2 5 6 x x− + , então igualando a zero tem-se 
2 6 5 ( 5)( 1) 0 x x x x+ + = + + = e 2 5 6 ( 2)( 3) 0x x x x− + = − − = , 
 donde resulta 5 ou 1 e 2 ou 3x x x x= − = − = = , respectivamente. Tais valores são as raízes 
dos trinômios. Isto evidencia que a fatoração também está relacionada à determinação das 
raízes de uma equação. 
Observa-se que, quando o coeficiente de x2 é igual a 1, o coeficiente de x é a soma das 
raízes com o sinal trocado e o termo sem variável é o produto das raízes. Generalizando: se 
1 2 1 2+ e . s x x p x x= = , então
2 0 x sx p− + = , pode ser escrito como 2 1 2 1 2( ) 0x x x x x x− + + = , 
ou seja, 1 2( )( ) 0x x x x− − = , onde 1 2 e x x são as raízes do trinômio do segundo grau cujo coe-
ficiente de 2x é um. 
Para a expressão 0,,,,2 ≠ℜ∈++ aecbaondecbxax , temos: 
 11
( )
2 2
2
2
1 2 12
1 2
 + 
 
 ( ) 
 ( )( ),
b c
ax bx c a x x
a a
a x sx p
a x x x x x x
a x x x x
 
+ + = + =  
= − + =
 = − + + = 
= − −
 
que é a forma fatorada de 2 .ax bx c+ + 
 
 Neste trabalho se observa que todo polinômio de grau 1n > , pode ser fatorado como 
um produto de fatores do tipo .x r− 
 
2.2 POLINÔMIOS ALGÉBRICOS 
 
São equações polinomiais ou algébricas redutíveis a forma 
1 -2 2
1 2 2 1 0 0
n n n
n n na x a x a x a x a x a
−
− −
+ + + + + + =L , 
 sendo Cx ∈ a incógnita, 1 2 1 0, , ..., , , n na a a a a− coeficientes complexos (reais ou não), com 
∗Ν∈≠ nean ,0 . 
 
2.2.1 Divisão de Polinômios 
 
Segundo IEZZI a divisão de polinômios se dá quando: “Dados dois polinômios f (di-
videndo) e g ≠ 0 (divisor), dividirmos f por g para determinar dois outros polinômios q (quo-
ciente) e r (resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes: I) q g + r = f ; II) 
grau de f < grau de g (ou r = 0 , caso em que a divisão é chamada exata)”(1995, p.70). 
Por isso, quando queremos dividir um polinômio ( )f x , que é o dividendo, por outro 
( )g x , que é o divisor, determinamos um quociente ( )q x e um resto ( )r x (o grau de r tem que 
ser menor que o grau de ( )g x de modo que ( ) ( ) ( ) ( ).f x g x q x r x= + 
Uma das formas mais usadas para dividir polinômios é o método das chaves que se pa-
rece bastante com a divisão algébrica usada normalmente por todos nós. 
Para melhor podermos entender como funciona o método das chaves, usaremos a e-
xemplificação feita por TROTTA: 
Façamos, passagem por passagem, a divisão do polinômio a(x) = 3x3 – 13x2 + 37x 
– 50 pelo polinômio b(x) = x2 – 2x +5 , pelo método da chave. Dividimos, inicial-
mente, 3x3 por x2, encontrando 3x. Multiplicamos 3x por x2 – 2x + 5 e vemos 
 12
“quanto falta para 3x3 – 13x2 + 37x – 50”, isto é, subtraímos 3x3 – 6x2 + 15x de 
3x3 – 13x2 + 37x – 50. Enquanto o grau do resto for maior ou igual ao grau de x2 – 
2x + 5, continua-se a divisão. Dividimos, então, - 7x2 por x2, encontrando -7. Mul-
tiplicamos -7 por x2- 2x + 5 e vemos” quanto falta para – 7x2 + 22x – 50”. Nesse 
ponto terminamos a divisão, pois o grau de 8x – 15 é inferior ao de x2 – 2x + 5. 
Portanto, nesta divisão: o quociente é q(x) = 3x – 7 e o resto r(x) = 8x – 15 (1980, 
p.242). 
 
 Como vimos a divisão de polinômios através do método das chaves nos possibilita 
determinar o quociente ( ) q x e o resto ( ), r x e com isso podemos fatorar o polinômio conhe-
cido como dividendo. A divisão de polinômios está relacionada a fatoração. 
2.2.2 Teorema do Resto 
 Dado um polinômio f, o resto da divisão deste polinômio f por x – a é igual ao valor 
numérico de f em a. 
Demonstração 
Utilizando a definição de divisão já citada acima por Iezzi, temos: 
( )( - ) ( ) ( ),q x x a r x f x+ = 
onde, q e r formam o quociente e o resto. Como o grau de x a− é 1, logo, o resto r é nulo ou 
tem grau zero; portanto, r é um polinômio constante, ou seja r =k. 
Utilizando x = a, para calcular os valores dos polinômios da igualdade acima, temos: 
( )( - ) ( ) ( ),q a a a r a f a+ = 
Portanto, ( )r f a= . 
 
2.2.3 Teorema de D’Alembert 
 
Um polinômio p(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, a é raiz de p(x), isto é, 
p(a)=0. 
 
Demonstração 
Pelo teorema do resto, temos que p(a) = r é o resto da divisão de p(x) por x – a, portan-
to, p(x) é divisível por (x – a) ⇔ r = 0 ⇔ p(a) = 0 ⇔ a é raiz de p(x). 
Exemplo: 
O polinômio p(x) = x2 – 9 é divisível por x – 3, pois x2 – 9 = (x + 3) (x – 3). 
Tem-se que 3 é raiz do p, pois p(3) = 32 - 9 = 0. 
Obs.: O resultado do teorema se constitui num procedimento para determinar raízes. 
Daí, se a é raiz de p(x), então p(x) = q(x).(x – a). Assim, as raízes de p(x) são, além de a, as 
raízes do quociente q(x). 
 13
Exemplo: 
O polinômio p(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 é divisível por x – 1. Então, x3 – 6x2 + 11x – 6 
= (x2 – 5x + 6) (x – 1). As outras raízes de p(x) são as raízes de x2 – 5x + 6, que são 2 e 3. 
Temos x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 3).(x – 2).(x – 1). 
 
2.2.4 Dispositivo de Briot – Ruffini 
 
O dispositivo de Briot – Ruffini, como veremos, torna a divisão por polinômios do ti-
po x – a fácil e rápida uma vez que a forma é diferente do método da chave, mas chega ao 
mesmo resultado e de forma mais rápida e sem tanta conta. Agora veremos como é este mé-
todo. 
Consideremos, por exemplo, a divisão do polinômio p(x) = 3x3 + 4x2 + 7x +1 por x – 
2. Para efetuá-la através do método de Ruffini, devemos dispor os coeficientes do polinômio 
p(x) precedidos da raiz de x – 2, que é o número 2. 
Primeiro repete-se, abaixo do primeiro coeficiente, o próprio número, neste caso o 3 
 2 3 4 7 1
 
 3 
 
A seguir multipliquemos o 3 que foi repetido pelo 2 e somamos com o 4, o resultado 
3 x 2 + 4 = 10 escrevemos abaixo do próprio 4. 
 2 3 4 7 1
 
 3 10 
 
Agora vamos fazer a mesma coisa com o 10 que está abaixo do 4. Multipliquemos o 
10 por 2 e somamos com o coeficiente seguinte de p(x), que é 7. Assim, o resultado de 10 x 2 
+ 7 = 27 colocamos também abaixo do próprio 7. 
 2 3 4 7 1
 
 3 10 27
 
Finalmente, façamos o mesmo com o 27 que escrevemos abaixo do 7. Multipliquemos 
o 27 por 2 e somamos com o 1. O resultado escrevemos abaixo do próprio 1. 
 14
 
 
Portanto, obtivemos um quociente q(x) = 3x2 + 10x + 27 e um resto r(x) = 55. Se o 
resto tivesse dado zero teríamos assim um exemplo de polinômio de raiz igual a 2. 
 
2.2.5 Raiz de uma Equação Polinomial 
 
Denomina-se raiz da equação algébrica an xn + an - 1xn-1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 o 
valor r de x que satisfaz a igualdade, ou seja, o valor tal que: 
an r
n
 + nn-1 r
n-1
 + ...+ a1 r + a0 = 0. 
Exemplo: 
Na equação x2 -7x + 10 = 0, se substitui-se x = 5, temos: 52 -7.5 +10 = 0 ⇒ 25 – 35 + 
10 = 0. Logo, 5 é raiz da equação dada. 
2.2.6 Pesquisa de Raízes Inteiras 
 
Numa equação polinomial de coeficientes inteiros, pode-se obter suas eventuais raízes 
inteiras, como veremos no teorema abaixo. 
 Teorema: 
Se r é uma raiz inteira da equação polinomial com coeficientes inteiros: 
an . x
n
 + an-1.x
n-1
 + ... + a2 x
2
 + a1.x + a0 = 0, então r é divisor de a0. 
Demonstração 
Se r é raiz da equação, então: 
an . r
n
 + an-1.r
n-1
 + ... + a2 r
2
 + a1.r + a0 = 0 
⇒ an. r
n
 + an-1.r
n-1
 + ... + a2 r
2
 + a1.r = - a0 
⇒ r (an. rn-1 + an-1.rn-2 + ... + a2 r + a1) = - a0 . 
Como estamos supondo que r e todos os coeficientes da equação são inteiros, a ex-
pressão anterior, que se encontra entre parêntes, também resultará num número inteiro, que 
indicaremos por k. Lembrando que dados dois números inteiros a e b, diz-se que a é divisor de 
 2 3 4 7 1
 
 3 10 27 55
 15
b quando existe um numero inteiro c, tal que c.a = b. Então k.r = - a0, implica que r é divisor 
de a0. 
Exemplo: 
Se r é raiz inteira de x3 – 10x2 + 26x – 12 = 0, tem-se: r3 – 10r2 + 26r – 12 = 0⇒ 
r
3
 – 10r2 + 26r = 12 ⇒ r(r2 – 10r + 26) = 12. 
Mas, estamos supondo que r é um número inteiro, logo, r2 -10r + 26 também é. Pelo 
teorema anterior sabe-se que as eventuais raízes inteiras da equação são os divisores de 12 (ou 
– 12), ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 e ± 12. Verificando esses valores na equação, um a um, por 
Ruffini, temos: 
 
 
Logo, conclui-se que 6 é raiz. 
 
2.2.7 Pesquisa de Raízes Racionais 
 
De maneira análoga à feita com as raízes inteiras, pode-se demonstrar o teorema se-
guinte. 
Teorema 
Se o número racional p/q, com p e q primos entre si e q ≠ 0, é uma raiz da equaçãopolinomial com coeficientes inteiros: 
an . x
n
 + an-1.x
n-1
 + ... + a1.x + a0 = 0, então p é divisor de a0 e, além disso q é divisor de an. 
 
 
Demonstração: 
Se 
q
p
 é uma raiz da equação polinomial, temos: 
an . n
n
q
p
+ an – 1 . 1
1
−
−
n
n
q
p
 + an - 2. 2
2
−
−
n
n
q
p
 + ... + a1 . 
q
p
 + a0 = 0 
Multiplicando a equação por qn, temos: 
anpn + an -1pn - 1 q + an - 2pn - 2q2 + ... + a1pqn - 1 + a0qn = 0 
Isolando anpn e, depois, a0qn, temos: 
I) anpn = - q[an - 1pn - 1 + an - 2pn - 2q + ... + a1pqn - 2 + a0qn - 1] 
II) a0qn = - p[anpn - 1 + an - 1pn - 2q + ... + a1qn - 1] 
Como a0, a1, a2, ..., an, p e q são inteiros, decorre que: 
 6 1 - 10 26 -12 
 
 1 - 4 2 0
 
 16
α = [an - 1pn - 1 + an - 2pn - 2q + ... + a0qn - 1] é inteiro e 
β = [anpn - 1 + an - 1pn - 2q + ... + a1qn - 1 ] é inteiro. 
Assim, retomando I) e II), vem: 
 
q
pa nn
 = - α ∈ Ζ e 
p
qa n0
= - β ∈ Ζ 
Isto significa que: 
I) anpn é divisível por q, mas, como pn e q são primos entre si, então an é divisível por 
q. 
II) a0qn é divisível por p e, como qn e p são primos entre si, a0 é divisível por p. 
 
 Exemplo: 
Determinar as raízes racionais de 3x3+ x2 + x – 2 = 0. 
Pelo teorema anterior sabe-se que se 
q
p
 é uma raiz racional da equação, então p é di-
visor de – 2( ± 1, ± 2); q é divisor de 3 ( ± 1, ± 3), logo, para 
q
p
 temos as seguintes possibili-
dades: ± 1, ± 1/3, ± 2 e ±
3
2
. Fazendo uma verificação, vê-se que 
3
2
 é raiz, logo: 
 
 
 
Como 3x2 + 3x + 3 = 0 não tem raízes reais, conclui-se que a única raiz racional da 
equação é 
3
2
. 
Uma conseqüência do resultado é que: toda equação polinomial de coeficientes intei-
ros e cujo coeficiente do termo de maior grau é 1, se possuir raízes racionais, elas serão to-
das inteiras. 
2.2.8 Pesquisa de Raízes Reais 
 
Se as raízes não forem números inteiros e nem racionais, então podemos pesquisar as 
raízes reais de equações polinomiais por métodos de aproximação. Nos cursos de cálculo de-
monstra-se o resultado abaixo. 
 
 
 2/3 3 1 1 - 2
 
 3 3 3 0
3
2
 
 17
Teorema: 
Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais e sejam a, b ∈ R com a<b. Se 
p(a).p(b)<0, então existe pelo menos uma raiz real de p(x) no intervalo ]a,b[. 
Sem fazer a demonstração pode-se fazer a seguinte análise: se p(a).p(b) < 0, então p(a) 
e p(b) tem sinais contrários. Suponhamos, por exemplo, que se tenha p(a) > 0 e p(b) < 0. En-
tão, olhando para o gráfico de y = p(x), vê-se que quando x = a o gráfico situa-se acima do 
eixo das abscissas. Já para x = b ele está abaixo do mesmo. O gráfico da função polinomial, 
sendo uma curva continua que liga esses dois pontos, terá obrigatoriamente que cortar o eixo 
das abscissas ao menos uma vez no intervalo ]a,b[. Ao cortá-lo tem-se então um ponto de abs-
cissa x0 tal que p(x0) = 0; logo, x0 é uma raiz de p(x). 
Portanto, existe pelo menos uma raiz real de p(x) no intervalo ]a,b[. 
 
 
 
 
 
 
Podemos lembrar o que fez Gauss, em 1799, que ainda hoje é considerado um dos 
maiores resultados em matemática de todos os tempos. É um dos resultados mais importante 
da teoria das equações algébricas e é conhecida com a denominação abaixo. 
 
 2.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
 
Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n, com n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz 
complexa (real ou não). 
 18
Por esse teorema, toda equação polinomial p(x) = 0 sempre tem raiz em C, ou seja, 
qualquer polinômio p(x) de grau n, com n ≥ 1, tem ao menos uma raiz complexa. 
Vamos usar este resultado com o fim de obtermos outras conclusões para equações po-
linomiais. 
 
 
2.3.1 Teorema da Decomposição de Um Polinômio 
 
O teorema da decomposição é conseqüência do Teorema Fundamental da Álgebra. I-
remos utilizá-lo para dar uma idéia de como se conclui que os polinômios de grau maior que 1 
podem ser decompostos num produto de fatores do primeiro grau. 
Seja p(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 um polinômio de coeficientes complexos e 
grau n (n ≥ 1). Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, p(x) admite uma raiz complexa r1. En-
tão, pelo teorema de D’Alembert, p(x) é divisível por x – r1; logo: 
p(x) = (x – r1).q1(x), 
onde q1(x) é um polinômio de grau n – 1. 
 Aplicando o Teorema Fundamental da Álgebra ao polinômio q1(x) chega-se a 
q1(x) = (x – r2).q2(x), 
onde r2 é uma raiz de q1 e, portanto de p(x). 
Logo, 
p(x) = (x – r1) (x – r2).q2(x) 
 Repetindo este procedimento n vezes chega-se a: 
p(x) = an(x –r1) (x – r2) ... (x – rn), 
onde an é o coeficiente de xn em p(x), com isto vê-se que todo polinômio de grau maior que 1 
pode ser decomposto num produto de fatores do 1º grau. 
 Da decomposição deduz-se imediatamente que r1, r2, ... rn são as únicas raízes de p(x). 
Assim, todo polinômio de grau n possui exatamente n raízes complexas. 
 
 
Exemplo: 
 Na decomposição do polinômio p(x) = x3 – 4x2 + x + 6 em fatores do primeiro grau, 
temos que as eventuais raízes inteiras de p(x) são os divisores de 6, ou seja, ± 1, ± 2, ± 3 e 
± 6. Verifica-se que – 1, 2 e 3 são raízes de p(x). Portanto, p(x) pode ser decomposto em p(x) 
= (x +1) (x – 2) (x – 3). 
 19
2.3.2 Raízes Múltiplas 
 
Uma raiz r de uma equação polinomial p(x) = 0 é uma raiz de multiplicidade m, com 
m natural não-nulo, quando p(x) = (x – r)m.q(x), onde q(x) é um polinômio tal que q(r) ≠ 0. 
Na decomposição de um polinômio p(x) em um produto de fatores do 1º grau, pode 
ser que existam dois ou mais fatores iguais. Por exemplo, no polinômio: 
p(x) = 7(x – 4) (x – 4) (x – 4) (x + 2) (x +1) (x + 1), 
há três fatores iguais a x - 4, um igual a x +2, e dois iguais a x + 1. Neste caso, diremos que: 4 
é raiz tripla (de multiplicidade 3), -2 é raiz simples (de multiplicidade 1) e -1 é raiz dupla (de 
multiplicidade 2). 
Enfim, diremos que r é raiz de multiplicidade m de p(x) quando, na decomposição de 
p(x) em fatores do 1º grau, aparecem m e somente m fatores iguais a x – r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Ao chegar ao final deste trabalho pode-se dizer algumas coisas que são fundamentais 
para quem pensa em estudar matemática. Primeiro que ela faz parte da sua vida, pois não po-
de-se imaginar como seria a vida humana sem a matemática. A todo o momento nos depara-se 
com números e problemas que exigem raciocínio para obtermos sua solução. Assim, pensar 
matematicamente faz parte da essência humana que busca até mesmo entender e registrar to-
dos os acontecimentos da sua vida. 
Em segundo lugar posso concluir que o estudo da fatoração algébrica é de fundamen-
tal importância no ensino básico e a falta de uma compreensão significativa é responsável por 
muitas das deficiências que se observa no inicio do curso superior. E o estudo do Teorema 
Fundamental da Álgebra, e suas conseqüências, assumem uma importância muito grande para 
atuar de forma mais eficiente como futura professora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. Makron, São Paulo, 
1997. 
 
IEZZI, Gelson, Fundamentos de Matemática Elementar, complexos, polinômios e 
equações; editora: Atual, São Paulo, 1995. 
 
 
TROTTA, Fernando, Imenes, Luiz Márcio P., Jakubovic, José, Matemática Aplica-
da, segundo grau, Editora: Moderna, São Paulo, 1980.