funções analíticas I - 2 questões de prova resolvidas

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Funções Analíticas I
2 questões de prova
(2,5 pontos) A representação geométrica dos números complexos z que satisfazem a
igualdade 2|z−i|=|z−2| formam uma circunferência com raio r e centro no ponto de
coordenadas (a,b). Calcule r, a, b e 9(a2+b2+r2) ?
R.: Escrevendo z=x+yi a igualdade dada se escreve como:
4 [x2+( y−1)2]=x2−4 x+4+ y2
4(x2+ y2−2 y+1)=x2−4 x+4 xy2
4 x2+4 y2−8 y+4−x2+4−4− y2=0
3x2+3 y2+4 x−8 y=0ou(x+ 2
3
)
2
+( y−4
3
)
2
=20
9
a=−23 eb=
4
3
r=√( 209 )=√203
9(a2+b2+r2)=9[(−2
3
)
2
+( 4
3
)
2
+( √20
3
)
2
]=[ 4+16+20
9
]=40
(2,5 pontos) Tome w , z∈ℂ . Prove que o número E=z⋅w¯+ z¯⋅w é um número real.
R.:
 
E=z⋅w¯+ z¯⋅w
z=a+bi
w=c+di
E=(a+bi)⋅(c−di)+(a−bi)⋅(c+di)
E=ac−adi+cdi−bdi2+ac+adi−cbi−bdi2
E=2ac+bd+bd
E=2 ac+2bd
E=2(ac+bd )
Elsimar Coelho