exercicios integrais

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ATIVIDADE 4 (1).pdf
ATIVIDADE 4 DE APLICAÇÃO DE INTEGRAIS: 
COMPRIMENTOS, SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO E INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 
COMPRIMENTO DE UM ARCO 
 
1) Calcule o comprimento do arco da curva y = 
2/3x
 de x=0 a x=5. (resp: 
27
335
unid.) 
 
2) Calcule o comprimento do arco da curva x = 3.
2/3y
- 1 de y = 0 a y = 4 . 
(resp:
243
8
(82
82
-1)unid.) 
 
3) Calcule o comprimento do arco da catenária y =
2
1
a( 
axe /
 + 
axe /
) de x = 0 a x = a 
(resp: 
)
1
(
2
1
e
ea 
unid.) 
 
Obs: Quando observamos os cabos elétricos suspensos dos postes de uma rede elétrica repare que 
eles formam uma curva que parece um arco de parábola, porém não é o gráfico de uma função 
polinomial. O seu nome é catenária, do latim catena, cadeia. 
 
 
4) Calcule o comprimento do arco da curva x = 
2t
, y = 
3t
 de t = 0 a t = 4.(resp: 
)13737(
27
8

) 
5) O comprimento de arco de f(x) = entre (8, 3) e (27, 8) Resp: 19,65 
 
6)O comprimento de arco de f(x) = entre (0, 0) e (4, 8). Resp: 
 
7) Ache a área de superfície de revolução gerada pela rotação da curva 
24 xy 
 
no intervalo [-1,1]. (resp: 8 u.a.) 
 
8) Calcule a área de superfície de revolução gerada pela rotação em torno do eixo dos y do arco de 
x=
3y
 de y = 0 a y = 1. (resp:
)11010(
27


u.a.) 
Dica: 
dy
dy
dx
yfS
d
c
 






2
1)(2
 
 
9) Calcule por integração a área do cone de revolução gerado pelo segmento de reta 
10,
3
 x
x
y
, em torno do eixo x. (resp. 

9
10 u.a.) 
 
10) Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva y = e
x
 , [0,1], ao redor do eixo x. 
(resp:   )12ln(21ln1 22  eeeeS  
 
 
 
exercicios de areas polares.pdf
ÁREAS EM COORDENADAS POLARES 
Exercicio 1: Calcular a área limitada pelas pétalas da 
rosácea r = a.sen(2 ), a > 0 
 
 
 
 
 
Exercicio 2: Calcular a área limitada pela 
lemniscata 
r2 = 4.cos(2 ). 
 
 
 
 
 
Exercicio 3: Calcular a área entre a 1a e a 
2avolta da espiral (exponencial) r = e , com 
0  . 
 
 
 
 
Exercicio 4: Esboce a limaçon (com laço) de 
equação polar r = a.(1 – 2sen( )) e 
determine uma expressão em integrais que 
represente a área da região do plano que se 
encontra no interior da curva e fora do laço. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Determine uma expressão em 
integrais que represente a área da região do 
plano sombreada na figura ao lado onde 
temos o arco da espiral de Arquimedes de 
equação polar r =  ; -     . 
 
 
 
 
Exemplo 10: Determine uma expressão em 
integrais que represente a área da região do 
plano interior a ambas as curvas de equações 
polares 
r =1 + cos(  ) e r = 3cos(  ) 
 
r =1 + cos(  ) é equação de uma cardióide e r 
= 3cos(  ) é equação de um círculo. 
Obtendo a interseção das duas curvas : 
3cos(  ) = 1 + cos(  )  cos(  ) = 1/2  
 =   /3 + 2k 
 
 
exercicios-aula.docx
	
		
		Universidade Presbiteriana Mackenzie
- Faculdade de Computação e Informática –
Disciplina: Cálculo II
Exercícios aula 
Professor: Gastón Henriquez
		
		Nome: 
		Matrícula:
		Turma: ___
		Semestre: ____
		Assinatura:
		Nota: ( ) 
		Visto:
 Estes são exercícios propostos devem ser realizados no decorrer das aulas e consultar as dúvidas pertinentes.
1- Calcular 
2- Calcular 
3- Calcular 
4- Calcular 
5- Calcular 
6- Calcular 
7- Calcular 
8- Calcular 
9- Calcular 
10- Calcular 
exerciciosporparte.docx
		
		Universidade Presbiteriana Mackenzie
- Faculdade de Computação e Informática –
Disciplina de Cálculo II
Exercicios
Prof. Gastón Henriquez
		
		Nome do Aluno: 
		Matrícula:
		Turma: ___
		Semestre: ____
		Assinatura:
		Nota: ( )
		Visto:
Calcular as integrais por integração por parte:
		
		
		1
		
		
		
		2
		
		
		
		3
		
		
		
		4
		
		
		
		5
		
		
		
		6
		
		
		
		7
		
		
		
		8
		
		
int-parte-exemplos.pdf
Integração por Partes 
Proposição: Temos, 
 
 
Demonstração da proposição: 
(u.v)´= u´.v + u.v´  
 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
u = x  du = dx 
dv = cos(x)dx  v = sen(x) I = x.sen(x) + cos(x) + C 
Exemplo 2: 
 
u = x
2
 + 3x  du = (2x + 3)dx dv = sen(x)dx  v = -cos(x) 
 
 
 
 
u = 2x + 3  du = 2.dx dv = cos(x)dx  v = sen(x) 
 
 
(Tente inverter a escolha. O que acontece?) 
 
Observação 1: De modo geral, em integrais das formas 
 
onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo, respectivamente, 
u = f(x)  du = f´(x).dx dv = cos(x)dx  v = sen(x) ou 
u = f(x)  du = f´(x).dx dv = sen(x)dx  v = -cos(x) 
 
Exemplo 3: 
 
u = x  du = dx dv = exdx  v = e 
Observação 2: De modo geral, em integrais da forma 
 
onde f(x) é um polinômio tomamos 
u = f(x)  du = f´(x).dx dv = axdx  v = ax/ln(a) 
 
Exemplo 4: 
 
u = ln(x)  du = dx/x dv = dx  v = x 
Exemplo 5: 
 
u = ln(x)  du = dx/x dv = dx  v = x 
 
Observação 3: De modo geral, em integrais da forma 
 
onde f(x) é uma função polinomial, tomamos 
 
dv = f(x)  v = uma primitiva de f(x) 
Exemplo 6: 
 
u = arctg(x)  du = dx/(x2 +1) dv = dx  v = x 
Exemplo 7: 
 
u = arctg(x)  du = dx/(x2 +1) dv = dx  v = x 
Exemplo 8: 
 
 dv = dx  v = x 
Exemplo 9: 
 
u = e
ax
  du = a.eax.dx 
 
 
u = e
ax
  du = a.eax.dx 
 
 
 
 
Exemplo 10: 
 
 
lista-caculo-ii.pdf
 
 
Lista de exercícios Calculo II 
Calcule a integral nos exercícios de 1 até 24 
 
 
 
 
 
 GABARITO 
 
 
 
Nos exercícios 1 a 18, calcule a integral indicada, utilizando a técnica de 
integração por partes. 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
 
 
 
 
Nos exercícios 1 a 13, use substituição trigonométrica para calcular a integral dada. 
 
 
Use esta substituição para resolver as integrais dos exercícios 26 a 28: 
 
 
 
 
 
 GABARITO 
 
 
 
 
 
 
Nos exercícios 1 a 24, resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de 
uma técnica de integração 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
 
 
 
 
Em cada um dos exercícios 1 a 6 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. 
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R
em torno do eixo E dado. 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
listaintegraldefinida.pdf
 
UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE 
- Faculdade de Computação e Informática – 
Prof. Gastón Henriquez 
 
CALCULO II 
 
 
Nome do Aluno: Matrícula: 
Turma: ___ Semestre: ____ Assinatura: 
Nota: ( ) Visto: 
 
 
1) Calcule as integrais definidas. 
a) 
dx
3
0
 4
 R: 12 
b) 
dx 
4
0 x
 R: 8 
c) 

4
0
dx 
2
x
 R: 4 
d) 
 
2
0
dx )52( x
 R: 14 
e) 
 
5
0
dx )5( x
 R: 25/2 
f) 
 
3
1
2 dx )34( xx
 R: 4/3 
g) 
 
0
3
dx )2(x
 R: 3/2 
h) 
dx 
2
0
3
 x
 R: 
5
28
 
i) 
 
4
0
2)4( dxxx
 R: 32/3 
j) 
dx 
13
2 x
 R: ln(3) – ln(2) 
 
2) Utilizando o método de integração por 
substituição, calcule as integrais definidas. 
a) 
 
1
0
32 )1( dxxx
 R: 15/8 
b) 
 
1
0
2 1 dxxx
 R: 1/3 
c) 
 
4
0 12
1
dx
x
 R: 2 
d) 
 
9
1 2)1(
1
dx
xx
 R: 1/2 
e) 


2
0 221
dx
x
x
 R: 1 
f) 
dxx 1
1
1 
 R: 
2
3
4
 
g) 
 
2
0
3 )21( 2 dxx
 R: 156 
h) 
dxxx 
0
1
32)21)(4(
 R: 0 
i) 

2
1 2)3(
1
dx
x
 R: 1/18 
3) Esboce a região correspondente a cada uma 
das integrais definidas, depois calcule as 
integrais. 
 
a) 
dx 4
3
1
 R: 8 
b) 
 
3
0
 )2( dxx
 R: 21/2 
c) 

2
0
2 dxx
 R: 8/3 
d) 
 
2
0
 )24( dxx
 R: 4 
 
 
4) Encontre a área da região limitada pelo gráfico 
da função definida por: 
 
232 2  xxy
, o eixo dos 
x
 e as retas verticais 
0x
 e 
2x
. 
 
 R: 10/3 
 
5) Calcule a integral definida envolvendo valor 
absoluto. 
 
 
2
0
|12| dxx
 
 
Lembrete: 









2
1
 ;12
2
1
 );12(
 |12|
xx
xx
x 
 
 
 R: 5/2 
resumo aulas prova 2.pdf
RESUMO DE AULAS: CALCULO II 
 
 
Volume de um Sólido de Revolução 
 
 Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é 
chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado 
eixo de revolução. 
 
 Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do 
eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone. 
 
 
 
 Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo 
dos y, obtemos um cilindro. 
 
 
 Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação 
em torno do eixo dos x, da região plana R. 
 
 
 
 Seja f contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da 
região delimitada pelos gráficos de f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por: 
 
  
b
a
2
dxxf.V
. (*) 
 
 A fórmula (*) pode ser generalizada para outras situações: 
 2 
I – A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b. 
 
 
 Supondo f(x)  g(x),  x  [a,b], o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em 
torno do eixo dos x, é dado por: 
 
       
b
a
22
dxxgxf.V
. 
 
 
II – Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y. 
 
 
 
 Neste caso, temos: 
  
d
c
2
dyyg.V
. 
 
 
 3 
III – A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. 
 
 
 Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos: 
 
   
b
a
2
dxLxf.V
. 
 
 
 
Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: 
 
   
d
c
2
dyMyg.V
. 
 
Exercícios 
 
1) A região R, limitada pela curva y = 
2x
4
1
, o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno 
do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. (Resp. V = 1023 /80 u.v.) 
 
 
 Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
 
 4 
 
2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada 
pela parábola y =
 2x13
4
1

 e pela reta y =
)5x(
2
1

.(Resp. V = 64 /5 u. v.) 
 
 Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
 
 
3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o 
gráfico da função y = senx e o eixo dos x, de 
2


 e até 
2
3
. (Resp. V = ² u.v.) 
 
 Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
 
4) A região R, delimitada pela parábola x = 
1y
2
1 2 
 e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em 
torno da reta x = -1. Desenhe e determinar o volume do sólido de revolução obtido. 
 5 
 
(Resp. V = 448 /15 u.v.) 
 
 
 
 
Área de uma Superfície de Revolução 
 
 
 Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície 
de revolução. 
 
 Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S, obtida 
quando uma curva C, de equação y = f (x), x  [a,b], gira em torno do eixo dos x (ver Figura a 
seguir). 
 
 
 
Definição: Seja C uma curva de equação y = f (x), onde f e f ’ são funções contínuas em [a,b] e 
f (x)  0,  x  [a,b]. A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C 
ao redor do eixo dos x, é definida por 
 
 
   
b
a
2
dxx'f1).x(f.2A
. 
 
 
OBS: Se a curva girar em torno do eixo dos y, a área será dada por: 
 
 
   
d
c
2
dyy'g1).y(g.2A
 
 
Exercícios 
 
1) Ache a área do parabolóide, obtido pela revolução do arco de parábola y = x², 0  x  2, em 
torno do eixo do x. 
 
(Resp. A = 13 / 3 u.a.) 
 
2) Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0  x  9, em torno do 
eixo do y. 
 
(Resp. A  258,8468 u.a.) 
 6 
Coordenadas Polares 
 
 
 No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da 
medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. 
 
 A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares. 
 
 
 
 
 O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. 
 
 
 O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r,), onde r representa a 
distância entre a origem e o ponto P, e  representa a medida, em radianos do ângulo 
orientado AÔP. 
 
 
OBS: (i)  > 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário. 
 
 (ii)  < 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido horário. 
 
 (iii) (0, ), , representa o pólo ou origem. 
 
 
As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma 
grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semi-retas partindo de O:
7 
Exercício Marque o ponto tendo o conjunto dado de coordenadas polares: 
 
(a) 







3
2
,3
 (b) 







6
5
,4
 (c) 







4
5
,4
 (d) 







3
4
,2
 
 
 
Conversão de coordenadas polares 
 
 y 
 
 x 
 
 Ás vezes pode ser necessário converter a representação cartesiana para a polar; ou 
vice-versa. Para visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do 
segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual 
2


com o eixo 
positivo y. 
 
 Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas 
polares (r, ), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante. 
 
 
 Observemos que: 
 
 
1) r > 0  cos  = 
r
x
h
ca

 e sen  = 
r
y
h
co

 
  
(*)
sen.ry
cos.rx




 
2) r < 0  cos  = 
r
x
r
x
h
ca




 e sen  = 
r
y
r
y
h
co




 
 Elevando (*) ao quadrado e somando ambos temos: 
(x,y) : coordenadas cartesianas 
 
(r,) : coordenadas polares 
 
 8 
 
 
x² + y² = r².cos² + r².sen² = r².(cos² + sen²) = r². 
 
 
 r =  
22 yx 
. 
 
 
OBS : tg  = y / x   = arct (y/x). 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercícios 
 
 
1) Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes pontos cujas 
coordenadas polares são dadas: 
 
(a) (4, 

6
1
) (b) (2, 

4
3
) (c) (- 4, 

3
2
) (d) (- 2, 

4
7
 ) 
 
 
Resp. (23, 2) Resp. (-1,-1) Resp. (2, -23) Resp. (- 2, 22) 
 
 
2) Encontre um conjunto de coordenadas polares para cada um dos seguintes pontos cujas 
coordenadas cartesianas retangulares são dadas. Tome r > 0 e 0   < 2. 
 
(a) (1, - 1) (b) (- 3, 1) (c) (2,2) (d) (- 2,- 23 ) 
 
 
Resp. (2, 315º) Resp. (2, 150º) Resp. (22, 45º) Resp. (4, 240º) 
 
 
3) Marque o ponto (2, 

2
1
) tendo o conjunto dado de coordenadas polares; depois encontre 
outro conjunto de coordenadas polares para o mesmo ponto, tal que: 
 
(a) r < 0 e 0   < 2 (b) r > 0 e - 2 <   0 (c) r < 0 e - 2 <   0 
 
 
Resp. (-2, 

2
3
) Resp. (2, 

2
3
) Resp. (-2, 

2
1
) 
 
 
 4) Obtenha uma equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar r² = 2.sen2. 
 
 (Resp. (x² + y²)² = 4xy) 
 
 
5) Encontre a equação polar do gráfico tendo a equação cartesiana (x² + y²)² = 4.( x² - y²). 
 
(Resp. r² = 4.cos2) 
 
 
 9 
Gráficos de Equações com Coordenadas Polares 
 
 
 O gráfico de F(r, ) = 0 é formada por todos os pontos cujas coordenadas polares 
satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita; isto é, 
r = f (). 
 
 Os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do gráfico: 
 
 
(i) Construir uma tabela a partir de valores de  (0, 
6

 , 
4

, 
3

, 
2

, ... ) selecionados; 
 
 
(ii) Encontrar os valores de  para os quais a curva passa pelo pólo; 
 
 
(iii) Verificar simetria. A simetria do gráfico de uma equação polar pode ser freqüentemente 
constatada fazendo-se substituições convenientes na equação e testando para ver se a nova 
equação é equivalente à original. A tabela seguinte mostra algumas substituições que 
acarretam a simetria indicada. 
 
 
Substituições Simetria 
(r, ) por (r, - ) Eixo - x 
(r, ) por (- r, ) Origem 
(r, ) por (r,  - ) Eixo - y 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercícios Esboçar o gráfico das seguintes funções: 
 
 
1) r = 2 4) r = 1- 2.cos 
2) r = 1 + 


6
 5) r = 4.cos2 
3) r = 3 + 2.sen 
 
 
 
Comprimento de arco em coordenadas polares 
 
 
 O comprimento de arco da curva por r = f () entre  =  e  =  é dado por 
 
 
    


 df)('fL
22
 
 
 
desde que f ’ exista e seja contínua no intervalo [,]. 
 10 
 
 
Exercícios 
 
1) Encontre o comprimento de arco de  = 0 a  =  da cardióide r = 2.(1 - cos ). 
 
(Resp. L = 16 u.c.) 
 
 
2) Determine o comprimento da espiral de equação r = e/2, de  = 1 a  = 2. 
 
(Resp. L  2,4 u.c.) 
 
 
Áreas em Coordenadas Polares 
 
 
 Queremos encontrar a área A, da Figura delimitada pelas retas  =  e  =  e ela 
curva r = f (), que é dada por: 
 
  


 df.
2
1
A
2
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercícios 
 
1) Encontre a área da região limitada pela cardióide r = 2 + 2 cos. 
 
(Resp. A = 6 u.a.) 
 
2) Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3. 
 
(Resp. A  3 /4 u.a.) 
 
3) Encontrar a área da região entre os laços interno e externo da limaçon r = 1 - 2.sen. 
 
(Resp. A  8,34 u.a.) 
 
4) Encontre a área da região comum limitadas pelo círculo r = - 6.cos e pela cardióide 
r = 2- 2.cos. 
 
(Resp. A = 5 u.a.) 
 
 11 
 
Comprimento de arco em coordenadas cartesianas 
 
 
 Seja f uma função suave (f e sua derivada f ’ são contínuas) em [a,b]. O comprimento de 
arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por: 
 
 
   
b
a
2
dxx'f1L
 
 
 
 
 
 
Obs: Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = g(y) em vez de y = f(x). Neste 
caso, o comprimento do arco da curva de A(g(c),c) até B(g(d),d) é dado por: 
 
 
   
d
c
2
dyy'g1L
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8]. 
 (Resp. L  9,0734 u.c.) 
 
2) Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4). 
 (Resp. L  7,6 u.c.) 
 
3) Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x -2 do ponto onde x = 1 ao ponto x = 2. 
 (Resp. L = 33/16 u.c) 
 12 
 
 
 
Comprimento de arco uma curva plana dada por suas Equações Paramétricas 
 
 
 Vamos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma paramétrica 
pelas equações. 
 
 




10 t,tt),t(yy
)t(xx 
 
 
onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas contínuas e x’(t)  0 para todo 
 10 t,tt
 
 
 
 
 Neste caso, conforme vimos, estas equações definem
uma função y = f(x), cuja 
derivada é dada por 
.
)t('x
)t('y
dx
dy
)x('f 
 Segue então, através de uma substituição, que: 
 
 
     






1
0
t
t
2
b
a
2
dt)t('x
)t('x
t'y
1dxx'f1L
, 
 
onde t0 = a e t1 = b. 
 
 
 Portanto, 
     
1
0
t
t
22
dtt'y)t('xL
. 
 
Exercícios 
 
 
1) Ache o comprimento de arco da curva paramétrica x = t³/3 e y = t²/2 no intervalo [0,1]. 
 
(Resp. L = (2.2 – 1)/3  0,61 u.c.) 
 
 
2) Calcular o comprimento de arco da hipociclóide x = 2.sen³t e y = 2.cos³t. 
 
(Resp. L = 12 u.c.) 
 
 
RESUMO AULAS.pdf
 
RESUMO DAS AULAS DE CALCULO II 
 
Primitiva de uma função 
 
Dada a função f, definida num intervalo real, chamamos de primitiva de f à função g, 
tal que g’(x) = f(x). 
Assim, se f(x) = 2x então as funções: 
 g(x) = x²; g(x) = 2x + 4; g(x) = 2x – 10, são algumas das primitivas de f. 
Devemos considerar que as diversas primitivas de uma função f, diferenciam-se por uma 
constante real. Assim, podemos estabelecer a família de primitivas de f como sendo g(x) = 
x² + c, onde c é um número real. 
Exemplo 
Calcule a primitiva das funções abaixo: 
 
 a) f(x) = 3x² 

 g(x) = x³ + c 
 
 b) f(x) = senx 

 g(x ) = cosx + c 
 
 c) f(x) = 
x
1
 

 g(x) = 
n
x + c 
Integral Indefinida 
 
O processo pelo qual se determina a primitiva de uma função dada denominamos de 
Integral, assim, dada à primitiva f(x) + c de uma função F(x) a relação entre f e F é expressa 
por: 
 
 
  CxfdxxF )()(
 , que se lê na parte esquerda, integral de F(x) com relação à x, igual a 
integral definida que é f(x) + C. 
Fórmulas de Integração; 
 
 
INTEGRAL IMEDIATA 
As principais funções têm suas integrais diretamente obtidas por meio das regras de 
derivação. Assim: 
 
1. 
 duu
m
 = 
1
1


m
um
 + C 
 
2. 
 uducos
 = senx + C 
 
3. 
 xdxsen
 = - cosx + C 
 
4. 
 u
du
 = 
n
 u + C 
 
5. 
 dua
u
 = 
na
au

 + C 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. 
 dxx
3
 = 
13
13

x
 = 
4
4x
 + C 
 
Questão 2. 
 xdcos
 = senx + c 
 
Questão 3. 
 dx
x2
 = 
2
2
n
x

 + C 
 
 
Propriedades da integral definida 
 
 Se f e g são funções contínuas e K um número real então: 
 
1. 
 dxxfk )(.
 = K. 
 dxxf )(
 
 
2. 
  dxxgf ))((
 = 
  dxxgdxxf )()(
 
 
3. 
   dxxgf ))((
 = 
  dxxgdxxf )()(
 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. 
  dxxx )13(
2
 = 
   dxxdxdxx 23
2
 = 
Cx
xx
 2
2
3
3
23 
 
Questão 2. 


dx
x
xx
2
23 35
 = 

 )35( 2xx
 = 
C
x
x
x

3
5
2
2 
 
Questão 3. 
  dxx
x )
4
5(
 = 
  x
dx
dxx 45
 = 
Cnx
n
x
 

4
5
5
 
 
Questão 4. 
  dxxe
x )cos35(
 = 5
  xdxdxe
x cos3
 = 5e x + 3 senx + C 
 
Questão 5. 
  dxxx )(
2
 = 
 dxx
2
 - 
 dxx 2
1 = 
C
xx

3
2
3
2
3
3 
 
Questão 6. 
 dxn
x )5.3( 
 = 
 dxn
x35
 = 3 x . 
Cn 5
 
 
Questão 7. 
  dxx
2)43(
 = 
  dxxx )16249(
2
 = 3x³ + 12x² + 16x + C 
 
Questão 8. 


dx
x
x 2)1(
 = 


dx
x
xx
2
1
221
 = 
 

dxxxx )2( 2
3
2
1
2
1
 = 
Logo substituindo os valores: 
 


dx
x
x 2)1(
 = 2x 21 + 
2
3
3
4
x
 + 
Cx 2
5
5
2 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO: VARÁVEIS AUXILIARES 
 
Em alguns casos para se encontrar a integral do tipo 
 dxxf )(
, torna-se conveniente, fazer 
uma substituição de variável. Por exemplo: seja calcular 
  .)1(2
42 dxxx
 Fazendo u = (x² + 1), teremos 
x
dx
du
2
, onde du = 2xdx e. 
dx =
x
du
2
 , substituindo-se na integral acima: 
 x
du
ux
2
..2 4
 = 
 duu
4
 = 
5
5u
 , fazendo a volta 
temos: 
  dxxx )1(2
2 C
x


5
)1( 52
. 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. Calcular integral indefinida: 
  dxx
9)5(
 
Solução: fazendo u = x – 5 temos 
1
dx
du
 ou du = dx, substituindo-se: 
 
 
  10
10
9 uduu
 , então; 
 

 C
x
dxx
10
)5(
)5(
10
9
 
 
Questão 2. Calcular integral indefinida: 
  dxxx 32
2
 
 
 Solução: fazendo u = x² - 3, temos du = 2x dx 

 dx = 
x
du
2
 então 
 
 
  32
2xx
dx = 
 x
du
ux
2
.2
 = 
3
.2
2
3
2
1 u
duu 
 = 
C
x


3
)1(2 32 
 
Questão 3. Calcular integral indefinida: 
 
dx
x
x
13
2 
 
 Solução : u = x³ - 1 

 du = 3x² dx 

 dx = 
23x
du
 
 
 
 2
2
3
.
x
du
u
x
 = 
 u
du
3
1
 = 
nu
3
1
 = 
Cxn  )1(
3
1 3
 
 
Questão 4. Calcular integral indefinida: 
  dxx
x
tgxdx
cos
sen
 
 
 Solução: u = cosx 

 du = -senx dx 

 dx = - 
x
du
sen
 
 
 
  )sen
(
sen
x
du
u
x
 = - 
 u
du
 = - 
nu
 = - 
Cxn )(cos
 
 
Questão 5. Calcular integral indefinida: 
  dxxx 4
2
 
 
 Solução : u = x² + 4 

 du = 2x dx 

 dx = 
x
du
2
 
 
 
 x
du
ux
2
.
 = 
 duu 2
1
2
1 = 
2
3
.
2
1 2
3
u = 
3
3u = 
C
x


3
42 
 
Questão 6. Calcular integral indefinida: 
 dxx
e x
2
1
 
 
 Solução : u = 
x
1
 

 du = - 
dx
x2
1
 

 dx = - x² du 
 
 
  )(
2
2
dux
x
eu
 = - 
 due
u
 = - e u = - e x1 + C 
 
Questão 7. Calcular integral indefinida: 
 
dx
e
e
x
x
3)1(
 
 
 Solução : u = e
1x
 

 du = 
xe
 dx 

dx = 
xe
du
 
 
 
 x
x
e
du
u
e
.
3
 = 

 duu 3
 = - 
22
1
u
 = - 
C
ex

 2)1(2
1
 
 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Por definição , sabemos que se duas funções u e v são diferenciáveis então: 
d (uv) = u dv + v du ou u dv = d (uv) – v (du), onde : 
 
 
udv
 = u v - 
vdu
 
 
Como foi mostrada a integração por partes se aplica no geral em funções expressas como 
produto de duas funções dadas. Assim, torna-se necessário à escolha minuciosa das partes 
u e dv, de modo
a tornar a integral dada mais simples possível.Em geral podemos usar a 
regra L I A T E, indicando a ordem de escolha, sendo temos, Logaritmica, Inversa 
Trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial 
 
Exemplos: 
 Questão 1. 
 dxxx .sen.
 
 
 Solução: 
 Fazendo u = x, temos du = dx e 
 
 dv = senx dx têm-se v = 
 xdxsen

 v = - cosx 
 
 Substituindo na fórmula 
udv
 = uv - 
vdu
 , temos : 
 
 
 dxxx .sen
 = x.(-cosx) - 
  dxx)cos(
 = -x cosx + 
 xdxcos
 então: 
 
 
 dxxx .sen.
 = -x cosx + senx + C 
 
 Vale salientar que as escolhas de u e v foi bastante feliz, visto que recaímos em uma 
integral de solução simples. 
 Para comprovar o fato, vejamos o caso em que a escolha fosse feita de outra forma: 
Fazendo u = senx temos du = cosx dx 
 
dv = x dx 

 v = 
 dxx.
 

 v = 
2
2x
 
 
 
Substituindo na fórmula 
udv
 = uv - 
vdu
, temos: 
 
 dxxx .sen.
 = senx. (
2
2x
) - 
 dx
x
x )
2
.(cos
2 o que torna o cálculo da integral muito mais 
complexo. 
 
Questão 2. 
 dxex
x..
 
 
 Solução: 
 
 Fazendo u = x 

 du = dx 
 
 dv = e x dx 

 v = 
 dxe
x
 

 v = e x , substituindo na fórmula: 
 
 
 dxex
x..
 = x.e x - 
 dxe
x.
 = x.e x - e x = e x ( x – 1) + C 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
Se f(x) é uma função tal que g(x) é uma primitiva então: 
  Cxgdxxf )()(
. 
A integral definida de f(x) num intervalo de limites a e b é a diferença 
g(b) – g(a) a qual indicamos por: 
 
 

b
a
dxxf )(
 = g(b) – g(a) 
 
Propriedades da integral definida 
 
 Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo de integração [a , b] e c é uma 
constante qualquer, então: 
 
P1. 
 
b
a
b
a
dxxfcdxxcf )()(
 
 
P2. 
  
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
 
 
P3. 
  
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
 para a < c < b 
 
P4. 
 
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO 
 
 Se f(x) é uma função contínua no intervalo de integração [a, b] e se g(x) é uma primitiva 
dessa função, então: 
 
 
b
a
b
a agbgxgdxxf )()()]()(
 
Exemplos: 
 
Questão 1.Calcular a integral definida: 


1
1
2.dxx
 
 
 Solução: 
 
 


1
1
2dxx
 = 
3
3x
]
1
1
 = 
33 )
3
1
()
3
1
(


 = 
27
2
 
 
 
Questão 2. Calcular a integral definida: 
 
1
0
2 1
2
dx
x
x
 
 
 Solução: 
 
 Calculando a integral: 
 
 Fazendo u = x² + 1 

 du = 2x dx 

 dx = 
x
du
2
 
 
 

1
0
2
2
x
du
u
x
 = 

1
0
u
du
 = 
nu
 = 
)1( 2 xn
]
1
0
 = 
1)2( nn  
 = 
2n
 
 
 
 
 
Questão 3. 



1
1
32 )2( dxxx
 
 
 Solução: 
 
 



1
1
32 )2( dxxx
 = [
43
2 43 xx

]
1
1
 = 















4
1
3
2
4
1
3
2
 = 
3
4
 
 
 
APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA: CALCULO DE ÁREAS 
 
 
Dada à função f contínua em [ a , b ] e não negativa, a área A da figura abaixo é dada por A 
= 

b
a
dxxf )(
 f(x) 
 
 
 a b 
 
 
A área A pode ser interpretada como a área limitada pela curva contínua y = f(x) , pelo eixo X 
e pelas retas x = a e x = b . 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. Achar a área limitada pela curva y = x³ + 3x², pelo eixo X e pelas retas 
 x = 0 e x = 2. 
 
 Solução: A = 
 
2
0
23 )3( dxxx
 
 
 A = [ 
3
4
4
x
x

 ]
2
0
 = 12 u.a. 
0 2 
 
Questão 2. Achar a área limitada pela curva y = 6x + x² - x³, pelo eixo X no primeiro 
quadrante. 
 
 
 
Solução: A = 
 
3
0
32 )6( dxxxx
 = 3
0
43
2
43
3 






xx
x
 0 3 
A = 







4
4
3
3
33
43
2
- 







4
0
3
0
03
43
2
 
Finalmente temos: 
 
A = 
4
63
u.a. 
 
 
 Questão 3. Calcular a área limitada pela curva y = - x² + 3x - 6, pelo eixo X, 
no intervalo [ 1 , 3 ]. 
 1 3 
Solução: A = 
 
3
1
2 )63( dxxx
= 3
1
23
6
2
3
3








x
xx 
 
Substituindo os valores, obtemos 
 A = - 
3
26
u.a. 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 
Na definição de área ficou estabelecido, na aula e por definição, que f(x) era uma função 
contínua e não negativa em [a, b]. Se f(x) é negativa em [a , b] , ou seja , se a curva está 
abaixo do eixo X, então, o valor de A = 

b
a
dxxf )(
 é negativo. Essas áreas são denominadas 
de áreas negativas. De um modo geral, se f(x) < 0 em [a , b] Então, 
 
b
a
Axf .)(
. 
Dessa forma, no exemplo anterior o resultado da área será: A = - ( - 
3
26
 ) = 
3
26
.u.a. 
É muito importante lembra que para o cálculo de áreas sob curvas é necessário o 
conhecimento do comportamento gráfico das funções, pois existem como nos exemplos 1 e 
2, funções cujos gráficos situam-se abaixo e acima do eixo X. 
Assim, a área total absoluta entre uma curva, o eixo X em um intervalo [a, b] é: 
Área total = 
  )()( ivasáreasnegativasáreasposit
 
De um modo geral se f(x) 
0
 em [ a , c] e f(x)
0
em [c , b], 
Então, a área total absoluta é A = 

b
a
dxxf )(
 =
 
c
a
b
c
dxxfdxxf )()(
 = A
1
- A
2
 
 
 
 
 A
1
 
 a c b 
 
 A
2
 
 
A figura esquemática a ideia de um Área 1, Positiva e um Área 2, Negativas, 
 
Questão 4. Achar a área limitada pela curva y = senx , o eixo X em [0 , 2

] 
 
Solução: 
 
Tomando como base o gráfico da função: 
 
 
 0 

 2

 
 
 
 
 
Temos: A = 

2
0
sen xdx
 = 
 
 
0
2
sensen xdxxdx
= 

   
 2
0 coscos xx 
 
 
 A = - (cos

- cos0) +(cos 2

 - cos 

) = 2 + 2 = 4 u.a. 
 
 
 
Questão 5. Achar a área limitada pela curva y = 2x + x² - x³ , pelo eixo X e pela retas 
 x = - 1 e x = 1. 
Solução: 
Gráfico ao lado mostra a forma da curva f(x): 
 -1 0 1 
A = -



0
1
32 )2( dxxxx
 + 
 
1
0
32 )2( dxxxx
 
Integrando temos 
 
A = - 0
1
43
2
43








xx
x
 + 1
0
43
2
43







xx
x
 
Substituindo os limites de Integração temos: 
A = 
)
12
5
(
12
13

 = 
2
3
 u.a. 
Observação: Repare que a primeira Área está sob a curva logo, por definição colocamos (-) 
antes da integral visando garantir o valor positivo da área a ser calculada. 
 
AREA ENTRE CURVAS: APLICAÇÃO 
 
 
Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas no intervalo [a , b], tais que 
 0
)()( xfxg 
 para todo x do intervalo, então a área A da região compreendida entre os 
gráficos de f(x) e g(x) de x = a até x = b é dada por: 
 A = 
 
b
a
dxxgxf )]()([
 
Exemplo: 
Questão 6. Achar a área limitada pelas curvas: y = x² e y = x. 
 
 
 
 Solução: 
Achando os pontos de interseção das curvas: 
 x² = x 

 x² - x = 0 

 x’= 1 ou x’’ = 0 
 .......................................................................................... 0 1 
 
Então a área entre as curvas fica definida pela integral 
 A = 
 
1
0
2)( dxxx
 = 1
0
32
32







xx = 
6
1