divisAúo-de-vetores

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Guia	
  para	
  divisão	
  de	
  grandezas	
  vetoriais.	
  
Considere	
  o	
  seguinte	
  problema:	
  
Dados	
  dois	
  vetores	
  A	
  e	
  B,	
  ortogonais	
  entre	
  si,	
  encontre	
  os	
  vetores	
  C	
  que	
  satisfaçam	
  a	
  seguinte	
  
relação:	
   𝑨 = 𝑩×𝑪.    (𝑰)	
  
Como	
   os	
   vetores	
   A	
   e	
   B	
   são	
   ortogonais	
   entre	
   si,	
   é	
   possível	
   se	
   escolher	
   um	
   sistema	
   de	
  
coordenadas	
  em	
  que	
   𝑨 = 𝐴!𝒊,	
  𝑩 = 𝐵!𝒋	
  
e	
   𝒊×𝒋 = 𝒌.	
  
	
  
Aqui,	
  𝒊,	
  𝒋	
  e	
  𝒌	
  são	
  versores	
  ortogonais	
  nas	
  direções	
  cartesianas	
  i,	
   j	
  e	
  k	
  e	
  𝐴!	
  e	
  𝐵!	
  são	
  números	
  
reais	
  com	
  sinais	
  arbitrários.	
  
Definido	
  o	
  sistema	
  de	
  coordenadas,	
  o	
  vetor	
  C	
  pode	
  ser	
  escrito	
  da	
  seguinte	
  maneira:	
  𝑪 = 𝐶!𝒊 + 𝐶!𝒋 + 𝐶!𝒌.	
  
Substituindo-­‐se	
  C	
  na	
  expressão	
  (I),	
  que	
  relaciona	
  A,	
  B	
  e	
  C,	
  obtém-­‐se:	
  𝐴!𝒊 = 𝐵!  𝒋×(𝐶!𝒊 + 𝐶!𝒋 + 𝐶!𝒌)	
  𝐴!𝒊 = 𝐵! 𝐶!   𝒋×𝒊 + 𝐶!   𝒋×𝒋 + 𝐶!   𝒋×𝒌 .	
  
Lembrando-­‐se	
  que	
  	
     𝒊×𝒋 = 𝒌	
     𝒋×𝒌 = 𝒊	
     𝒌×𝒊 = 𝒋	
  𝒊×𝒊 = 𝒋×𝒋 = 𝒌×𝒌 = 𝟎,	
  
Obtém-­‐se	
   𝐴!𝒊 = 𝐵! −𝐶!  𝒌 + 𝐶!  𝒊 .	
  
A	
  solução	
  para	
  𝐶!,𝐶!	
  e	
  𝐶!	
  em	
  função	
  de	
  𝐴!	
  e	
  𝐵!	
  pode	
  ser	
  obtida	
  igualando-­‐se	
  cada	
  uma	
  das	
  
componentes	
  vetoriais	
  da	
  equação	
  acima	
  𝐴!𝒊 = 𝐵!𝐶!𝒊	
  
0 = −𝐵!𝐶!𝒌,	
  
De	
   onde	
   obtém-­‐se	
   que	
  𝐶! = 𝐴!/𝐵!	
   e	
  𝐶! = 0.	
   O	
   vetor	
  C	
   que	
   satisfaz	
   a	
   equação	
   (I)	
   é	
   dado,	
  
então,	
  por	
  
𝑪 = 𝐶!𝒋 + 𝐴!𝐵! 𝒌.	
  
Note	
  que	
  não	
  há	
  restrições	
  sobre	
  a	
  componente	
  𝐶!𝒋,	
  que	
  aponta	
  na	
  direção	
  de	
  B.	
  Como	
  𝐶!	
  é	
  
um	
  parâmetro	
  livre,	
  o	
  sistema	
  admite	
  infinitas	
  soluções.	
  Dessa	
  maneira,	
  o	
  módulo	
  do	
  vetor	
  C	
  é	
  
arbitrário,	
   assim	
   como	
   sua	
   direção.	
   Ele	
   habita	
   o	
   plano	
   normal	
   ao	
   vetor	
  A,	
   com	
   a	
   condição	
  
imposta	
  de	
  que	
  a	
  sua	
  componente	
  perpendicular	
  ao	
  vetor	
  B	
  possua	
  intensidade	
  !!!!.	
  
Este	
   procedimento	
   é	
   útil	
   em	
   eletrostática	
   para	
   se	
   determinar,	
   por	
   exemplo,	
   qual	
   o	
   vetor	
  
indução	
  magnética	
  B	
  que	
  gera	
  uma	
  força	
  magnética	
  A	
  medida	
  sobre	
  uma	
  partícula	
  carregada	
  e	
  
de	
  velocidade	
  C	
  conhecida.	
  
Um	
  procedimento	
  semelhante	
  pode	
  ser	
  adotado	
  considerando-­‐se	
  o	
  produto	
  escalar	
  entre	
  dois	
  
vetores.	
  	
  
	
  
Considere,	
  agora,	
  um	
  escalar	
  A	
  e	
  um	
  vetor	
  B.	
  Desejo	
  encontrar	
  o	
  vetor	
  C	
  que	
  satisfaz	
  a	
  relação	
  𝐴 = 𝑩 ⋅ 𝑪.    (𝑰𝑰)	
  
É	
  possível	
  se	
  definir	
  um	
  sistema	
  de	
  coordenadas	
  em	
  que	
  𝑩 = 𝐵!𝒊,	
  
e	
   𝒊×𝒋 = 𝒌.	
  
Aqui,	
  𝒊,	
  𝒋	
  e	
  𝒌	
   são	
  versores	
  ortogonais	
  nas	
  direções	
  cartesianas	
   i,	
   j	
  e	
  k	
  e	
  𝐴	
  e	
  𝐵!	
   são	
  números	
  
reais	
  com	
  sinais	
  arbitrários.	
  
Considerando	
  este	
  sistema	
  de	
  coordenadas,	
  o	
  vetor	
  C	
  pode	
  ser	
  escrito	
  como	
  𝑪 = 𝐶!𝒊 + 𝐶!𝒋 + 𝐶!𝒌.	
  
Substituindo-­‐se	
  C	
  na	
  expressão	
  II,	
  obtém-­‐se:	
  𝐴 = 𝐵!𝒊 ⋅ 𝐶!𝒊 + 𝐶!𝒋 + 𝐶!𝒌 	
  𝐴 = 𝐵! 𝐶! 𝒊 ⋅ 𝒊 + 𝐶! 𝒊 ⋅ 𝒋 + 𝐶! 𝒊 ⋅ 𝒌 .	
  
Lembrando-­‐se	
  que:	
   𝒎 ⋅ 𝒏 = 𝛿!,!,	
  
obtemos	
  
𝐴 = 𝐵!𝐶!.	
  
Da	
  expressão	
  acima,	
  encontra-­‐se	
  𝐶! = 𝐴/𝐵!.	
  Logo,	
  o	
  vetor	
  C	
  que	
  satisfaz	
  a	
  equação	
  (II)	
  é	
  dado	
  
por	
  
𝑪 = 𝐴𝐵! 𝒊 + 𝐶!𝒋.	
  
Note	
   que,	
   similarmente	
   ao	
   caso	
   do	
   produto	
   vetorial,	
   os	
   parâmetros	
  𝐶!	
   e	
  𝐶!	
   são	
   arbitrários.	
  
Logo,	
  o	
  vetor	
  C	
  possui	
  módulo	
  e	
  direção	
  arbitrários	
  no	
  espaço.	
  A	
  única	
  condição	
  imposta	
  sobre	
  
este	
  vetor	
  é	
  que	
  sua	
  componente	
  vetorial	
  paralela	
  ao	
  vetor	
  B	
  possua	
  intensidade	
  𝐴/𝐵!.